equivalencias logicas

Razonamiento Lógico Lic. Elvis Ven Hermes Malaber

EQUIVALENCIAS LOGICAS

Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Se denota: P Ξ Q o P ↔ Q

Se lee: “P es equivalente a Q” o viceversa

Ejemplos:

a) [(pq)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación)

b) (p→q) ↔ [p ↔ (p q)] (Expansión 1)

c) (p→q) ↔ [q ↔ (p q)] (Exp. 2)

d) p ↔ p (q ~q) (Exp. 3)

e) p ↔ p (q ~q) (Exp. 4)

LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS

La tradición aristotélica ha considerado como fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele que se trata de una tautología. Esto significa que no podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras igual de válidas. Dichos principios son los siguientes:

1. Principio de Identidad: Una proposición solo es idéntica a sí mismo.

Forma Lógica: p ↔ p

2. Principio de No-contradicción: No es posible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.

Forma Lógica: ~ (p ~p)

3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia.

Forma Lógica: p ~p

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES (Leyes Lógicas O Tautológicas)

Leyes Conmutativas (Conm.)

(pq) ↔ (q p)

(pq) ↔ (qp)

(p↔q) ↔ (q↔p)

(p ↮ q) ↔ (p ↮ q)

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Leyes Asociativas (Asoc.)

p(qr) ↔ (pq)r

p(qr) ↔ (pq) r

p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r

Leyes Distributivas (Distrib.)

(pq) r ↔ (pr) (qr)

(pq) r ↔ (pr) (qr)

p→(qr) ↔ (p→q)(q→p)

p→(qr) ↔ (p→q)(q→p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES

Doble Negación (DN)

~ ~ p ↔ p

~ ~ ~ p ↔ ~p

Teoremas de De Morgan (DM)

~(pq) ↔ ~p~q

~(pq) ↔ ~p~q

pq ↔ ~(~p~q)

pq ↔ ~(~p~q)

Idempotencia (Idem.)

pp ↔ p

pp ↔ p

Def. del condicional (Def. cond.)

p → q ↔ ~pq

p → q ↔ ~(p~q)


Def. del bicondicional (Def. Bicondicional)

p ↔ q ↔ (p→q) (q→p)

p↔q ↔ [ (pq) (~p~q) ]

Def. de la disyunción fuerte (Def. DF)

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p ↮ q ↔ ~ (p ↔ q)

p ↮ q ↔ (pq) (~p~q)

Absorción (Abs.)

p (p q) ↔ p

p (p q) ↔ p

p (~p q) ↔ pq

p (~p q) ↔ pq

Transposición (Trans.)

p→q ↔ ~q→~p

p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)


Ley de Exportación:

a) ( p Λ q) → r Ξ p → (q → r)

b) ( P1ΛP2 Λ …ΛPn) → r Ξ ( P1 ΛP2Λ…ΛPn-1) → (Pn → r)

Consideremos que T es una fórmula tautológica, C es una fórmula contradictoria y Q es una fórmula consistente (Proposición).

Leyes de Complemento o Adicionales

T Q ↔ Q ( V es Neutro de la Conjunción : p Λ V Ξ p )

C Q ↔ C T Q ↔ T

C Q ↔ Q ( F es neutro de la Disyunción : p v F Ξ p )

T → Q ↔ Q C → Q ↔ T

Q → T ↔ T Q → C ↔ ~Q

Observación: estas leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es valido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.

Ejemplos:

1.- Demostrar que: (p→q) ↔ (~q →~p)

Solución:

(p→q) ↔ (~q →~p)

↔ ~ (~q ) V ~p Ley de la Condicional

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↔ q V ~p Ley de la Doble Negación

↔ ~p V q Ley Conmutativa

↔ p → q Por Definición

2.- Simplificar la siguiente proposición: A = (~pq) →(q → p)

Solución:

A = ~ (~pq) V (q → p) Ley de la Condicional

= ( p v ~q) v (~q v p ) Ley de Morgan y Condicional

= ( p v ~q) v ( p v ~q) Ley Conmutativa

= p v ~ q Idempotencia

EJERCICIOS

1.- Demostrar que:

a) p ~q ↔ ~(p → q) b) p ↔ (q v ~q) →p

c) ~ [~ (p q) →~q ] v q ↔ q

2.- Simplificar y representar mediante Circuito:

a) ~ [ p ↔ ~(q v r) ] b) ~(p) ↔ (p → ~ q)

R: p Λ (q v r) R: ~ p v p

c) (p v q) → [(~p v q) → (p q) ] R: p v ~ q

3.- Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes:

a) p → (r v ~ q) b) (q → ~p) v ( ~r → ~ p)

Nota: Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de verdad o mediante la simplificación.

4.- Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas:

1. [(p→q) → (r→s)] ↔ ~(~s→~r)→~(~q→~p)

2. [(p→q)→r] ↔ [(pr) (~qr)]

3. [(pq) r] s ↔ ~[~(pq)→r] → s

4. ~(pqr) ↔ ~p~q~r

5. p→[~p→(q→r)] ↔ (p~pq)→r

5.- Responda las siguientes preguntas:

6. ¿Cuál es la relación entre bicondicional y equivalencia?

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7. ¿Qué es una tautología? ¿Qué cosas pueden ser tautológicas?

8. ¿Cuál es la relación entre lógica proposicional y teoría de conjuntos?

9. ¿Podemos leer lógicamente las equivalencias usando las tablas de verdad? ¿Cómo? Dé unos ejemplos.

10. Si lo son ¿en qué sentido son importantes los principios lógicos? ¿qué correcciones le harías a los principios lógicos?

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