Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Una equivalencia lógica es una similitud en grados de verdad existente entre 2 o más expresiones, siendo cualquiera de ellas válidas; es decir cualquiera de estas expresiones puede ser usada en la demostración de un supuesto, sin que ello implique variación en el resultado final por el cambio o sustitución de cualquiera de ellas.

La demostración de equivalencias más comúnmente usada es mediante el método de tablas de verdad.

Él o no esta informado o él no es honesto. ~P v ~QNo es verdadero que él esté informado y sea honesto. ~(PΛQ)

P Q PΛQ~(PΛ

Q)~P v ~Q

~(PΛQ) ↔ ~P v ~Q

V V V F F V

V F F V V V

F V F V V V

F F F V V V

Sea P, el está informado y Q, el es honesto.Tenemos la siguiente tabla de verdad para demostrar que las anteriores afirmaciones son equivalentes.

En el algebra declarativa, se manipulan expresiones lógicas donde las variables y las constantes representan valores de verdad. También se manejan esquemas para la solución de equivalencias lógicas.

Algunos de estos esquemas son:

A Λ ~A ≡ F Esquema 1A Λ F ≡ F Esquema 2

Ejemplo:

(P Λ Q) Λ ~Q ≡ P Λ (Q Λ ~Q) (P Λ Q) Λ ~Q ≡ P Λ F(P Λ Q) Λ ~Q ≡ F

Aplicando el esq. 2 tenemosAplicando el esq. 3 tenemosSolución

Para hacer más fácil la manipulación de expresiones en el algebra declarativa suele eliminarse los condicionales y bicondicionales primero antes de ejecutar otros esquemas.

Para la eliminación del condicional se usa el siguiente esquema:

P →Q ≡ ~P v ~Q Esquema 4

Para la eliminación del bicondicional se usan los siguientes esquemas:

P ↔Q ≡ (P Λ Q) v (~P Λ ~Q) Esquema 5P ↔Q ≡ (~P v Q) Λ (P v ~Q) Esquema 6

Ejemplo: Elimine los → y los ↔ de la siguiente expresión.

(P→Q Λ R) v ((R↔S) Λ (Q v S))(~P v Q Λ R) v ((R↔S) Λ (Q v S))(~P v Q Λ R) v (((~R v S) Λ (R v ~S)) Λ (Q v S))

Usando el esq. 4 eliminamos el condicionalUsando el esq. 6 eliminamos el bicondicional

Solución.

LEYESLEYES NOMBRENOMBRE

P v ~P ≡ VP Λ ~P ≡ F

Ley del Medio excluidoLey de Contradicción

P v F ≡ PP Λ V ≡ P

Leyes de Identidad

P v V ≡ VP Λ F ≡ F

Leyes de Dominación

P v P ≡ PP Λ P ≡ P

Leyes de Idempotencia

~(~P) ≡ P Ley de Doble Negación

P v Q ≡ Q v PP Λ Q ≡ Q Λ P

Leyes Conmutativas

(P v Q) v R ≡ P v (Q v R)(P Λ Q) Λ R ≡ P Λ (Q Λ R)

Leyes Asociativas

(P v Q) Λ (P v R) ≡ P v (Q Λ R)(P Λ Q) v (P Λ R) ≡ P Λ (Q v R)

Leyes Distributivas

~(P Λ Q) ≡ ~P v ~Q~(P v Q) ≡ P Λ Q

Leyes De Morgan

Simplificar: (P3 Λ ~ P2 Λ P3 Λ ~ P1) v (P1 Λ P3 Λ ~ P1) Por la ley de la contradicción

(P3 Λ ~ P2 Λ P3 Λ ~ P1) v (P3 Λ F) Por la ley de Dominación

(P3 Λ ~ P2 Λ P3 Λ ~ P1) v F Por la ley de Identidad

P3 Λ ~ P2 Λ P3 Λ ~ P1Por la ley de Idempotencia en P3

~ P1 Λ ~ P2 Λ P3 Ordenando tenemos la solución

Simplificar: (P Λ Q) v (Q Λ R) ≡ Q Λ (P v R) Por la ley Distributiva

Q Λ (P v R) ≡ Q Λ (P v R) Solución

Simplificar: ~(~P Λ Q) v P) ≡ F Por la ley del Medio Excluido

~(V Λ Q) ≡ F Por la ley de Identidad

~(V) ≡ F Negando V

F ≡ F Solución

Son formas estándar para las expresiones lógicas, existen dos tipos de formas normales, formas normales disyuntivas y formas normales conjuntivas. Conjuncion= Λ =Y Disyuncion=V=0

Forma norma disyuntiva Forma normal conjuntiva

Se dice que una expresión lógica está en forma normal disyuntiva si está escrita como una disyunción, en el cual todos los términos son conjunciones de literales.

Se dice que una expresion logica está en forma normal conjuntiva si está escrita como una conjunción de disyunciones de literales.

1. Eliminar todas las → y ↔.2. Si la expresión contiene cualquier subexpresión compuesta negada,

elimínela.3. Una vez encontrada una expresión sin ninguna subexpresión

compuesta negada, use las dos leyes siguientes para reducir el alcance de V.

a.) Av(B ΛC)= (AvB) Λ (AvC)b.) (A ΛB)vC= (AvC) Λ (BvC)

EJEMPLO: ~((P v ~Q) Λ ~R)

P Q R F

V V V V

V V F F

V F V V

V F F F

F V V F

F V F F

F F V V

F F F F

Si una función , tal como f, esta dada pon una tabla de verdad, sabemos exactamente para que asignaciones es verdadera, por consiguiente, podemos seleccionar los términos mínimos que hacen a la función verdadera y formar la disyunción de estos términos mínimos.

La complementación es un modo eficiente de negar una expresión, es decir el complementario de A es siempre la negación de A.EJEMPLO: A= (P Λ Q) v ~RLa complementación puede utilizarse para hallar la forma normal conjuntiva a partir de una tabla de verdad de cualquier función f. Primero se determina la forma normal disyuntiva de ~f y Luego se realiza la complementación.EJEMPLO:

P Q R F

V V V V

V V F V

V F V F

V F F F

F V V V

F V F V

F F V F

F F F V

En el razonamiento existen argumentos válidos y otros que no lo son; los argumentos no válidos se llaman Falacias.

Los patrones de razonamiento pueden expresarse de varias formas, la conclusión se establece después de las premisas y se presenta mediante palabras como “Por tanto”, “En conclusión” y “Como consecuencia”

Si el esquema de razonamiento es válido se usa el símbolo╞ para separar las premisas de la conclusión.

El símbolo╞ también es usado para denotar tautologías.

Un argumento es válido si la conclusión de deduce lógicamente, siempre que se cumplan todas las premisas.

Para saber si la conclusión de las premisas es verdadera se toman las premisas y se realiza una conjunción entre ellas.

La demostración de la validez entre las premisas y la conclusión se realiza bajo el condicional, si el resultado es una Tautología podemos decir que el razonamiento es válido.

Las equivalencias lógicas crean Implicaciones Lógicas, cualquier implicación lógica se puede demostrar mediante el método de tabla de verdad.

Un argumento es válido si las premisas en su conjunto implican lógicamente la conclusión.

Si A1, A2, A3,… An son las premisas y C la conclusión, se debe mostrar que la siguiente expresión es una tautología:

A1Λ A2 Λ A3… Λ An → C

Para poder demostrar una implicación mediante el método de tabla de verdad, se escriben en columnas cada una de las partes de la expresión y en una columna con el rótulo de PREMISAS se escribe el valor de verdad mediante la conjunción entre las premisas, también se reserva otra columna con el rótulo de VÁLIDO la cual nos indicara si las premisas implican o no la conclusión; tal como se puede apreciar en el ejemplo.

P Q R (P→Q) (Q→R) PREMISAS

(P→R) VÁLIDO

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Considere la siguiente expresión P→Q, Q→R╞ P→R y demuestre si es válida la conclusión respecto de las premisas.

Como se puede apreciar en la anterior tabla de verdad, la conclusión es válida, puesto que todas las asignaciones posibles conducen a V en la columna válido.

Muchos argumentos lógicos, son, argumentos compuestos en el sentido de que la conclusión de un argumento es la premisa para el próximo. Toda demostración es una secuencia de tales argumentos.

El siguiente ejemplo tiene que ver con el razonamiento usado por Sherlock Holmes en relación con un asesinato en particular1:

““Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció ¿Fue por motivos políticos o fue una mujer? asesinato, puesto que nada desapareció ¿Fue por motivos políticos o fue una mujer? Ésta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia Ésta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinos políticos se complacen demasiado en hacer esta última suposición. Los asesinos políticos se complacen demasiado en hacer sólo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, había sido realizado muy sólo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, había sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por toda la habitación, deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo ahí todo el tiempo.”mostrando que estuvo ahí todo el tiempo.”

Para expresar esta cita, utilizamos las siguientes variables proposicionales:

P1: Fue un robo.

P2: Algo desapareció.P3: Fue político.P4: Fue una mujer.P5: El asesino huyó inmediatamente.P6: El asesino dejó huellas por toda la habitación.

1 Citado de Un Estudio en EscarlataUn Estudio en Escarlata

DERIVACION FORMAL REGLA COMENTARIO

1. P1→ P2 Premisa Si fue un robo, hubiera desaparecido algo.

2. ~P2 Premisa No desapareció nada.

3. ~P1 1,2, MT No fue un robo.

4. ~P1 → P3 v P4 Premisa Si no fue un robo, fue algo político o fue una mujer.

5. P3 v P4 3,4, MP Fue político, o una mujer.

6. P3 → P5 Premisa Si hubiera sido algo político, el asesino hubiera huido inmediatamente.

7. P6 → ~P5 PremisaSi el asesino dejó huellas por toda la habitación, no pudo haber huido inmediatamente.

8. P6 Premisa El asesino dejó huellas por toda la habitación.

9. ~P5 7,8, MP El asesino no huyó inmediatamente.

10. ~P3 6,9, MT No fue político.

11. P4 5,10, SD Por consiguiente, fue una mujer.

La siguiente tabla nos muestra la demostración de la motivación del crimen, obsérvese que tras cada premisa aparece una nueva de acuerdo al enunciado y a la premisa anterior, también aparecen nuevas premisas por medio de las reglas de inferencia.

MP: Modus Ponens MT: Modus Tollens SD: Silogismo Disyuntivo

Son demostraciones formalizadas, estos sistemas de derivaciones tienen unas características en común:

* Existe una lista de argumentos lógicos admisibles, llamados Reglas de Inferencia.

* Es una lista de expresiones lógicas que originalmente se encuentra vacía, se le pueden ir añadiendo expresiones si constituyen una premisa o si pueden obtenerse a partir de expresiones previas aplicando alguna regla de inferencia. Este proceso se continúa hasta que se alcanza la conclusión.

* Las reglas de inferencia deben ser elegidas de forma tal que solo se deriven resultados válidos.

* Un sistema para hacer derivaciones no solo debe ser válido sino completo.

REGLA NOMBRE

A, B ╞ A Λ B Ley de Combinación

A Λ B ╞ B Ley de Simplificación

A Λ B╞ A Variante de la ley de Simplificación

A ╞ A v B Ley de Adición

B ╞ A v B Variante de la ley de Adición

A, A → B╞ B Modus Ponens

~B, A → B╞ ~A Modus Tollens

A → B, B → C╞ A → C Silogismo Hipotético

A v B, ~A╞ B Silogismo Disyuntivo

A v B, ~B╞ A Variante del Silogismo Disyuntivo

A → B, ~A → B╞ B Ley de Casos

A ↔ B╞ A → B Eliminación de la Equivalencia

A ↔ B╞ B → A Variación de eliminación de la equivalencia

A → B, B → A╞ A ↔ B Introducción de la equivalencia

A, ~A╞ B Ley de Inconsistencia

Para demostrar A → B en matemáticas, se utiliza con frecuencia el siguiente argumento informal:

1. Se supone A, y se añade A a las premisas.

2 Se demuestra B, utilizando A si es necesario.

3 Se prescinde de A, lo que significa que A no es necesariamente verdadera y se escribe A → B.

TEOREMA 1: Sean A y B dos expresiones, y sean A1, A2, A3 … las premisas. Si B, A1, A2, A3… juntos implican lógicamente C, entonces A1, A2, A3,… implican lógicamente B → C

Ejemplo: Una pareja tiene un niño, y están esperando un segundo hijo. Demostrar que si el segundo niño es una niña entonces la pareja tendrá una niña y un niño.

Solución: Sea P “El primer hijo es un niño”. Sea Q “el segundo hijo es una niña”. Queremos demostrar Q → P Λ Q, dado que la premisa es P. De acuerdo al teorema de la deducción puede hacerse como sigue:

1. P es verdadero: la pareja tiene un niño.

2. Se supone Q; esto es, se supone que el segundo hijo es una niña.

3. A partir de P y Q se concluye P Λ Q por la ley de Combinación.

4. En este momento concluimos que Q → P Λ Q, es trivialmente verdadera aun si Q resulta falsa, si resulta verdadera puede ser licenciada la conclusión.