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Equilibrio
I. RomeroETSI Industriales, Universidad Politecnica de Madrid
30 de agosto de 2017
En este tema se estudia el equilibrio de unaclase de cuerpos, los prismaticos, que son el ob-jeto de estudio de la Resistencia de Materiales.Despues de describir especıficamente como sonestos cuerpos, se analizan las condiciones deequilibrio estatico y se introducen los concep-tos de fuerza y momentos internos. Estos dosconceptos son centrales en el estudio mecanicode piezas y estructuras y se definen expresio-nes y sımbolos graficos para poder describir demanera inequıvoca su valor en todo punto deun cuerpo.
1. Los solidos prismaticos
El objeto de la mecanica de solidos es el estu-dio de la transmision de fuerzas, de la deforma-cion y de la resistencia de los cuerpos deforma-bles. Para alcanzar estos objetivos, la mecanicade solido emplea ecuaciones en derivadas par-ciales cuya solucion aproximada solo es posi-ble mediante ordenadores. Existen, sin embar-go, algunos solidos deformables “sencillos” quese pueden analizar facilmente, sin necesidad deprogramas de calculo, como han hecho los in-genieros durante casi 200 anos. Estos solidossencillos son las vigas, las placas, las laminas ylas membranas, aunque en este curso nos limi-tamos al estudio de las primeras.
Una viga es un solido deformable con una di-mension mucho mas grande que las otras dos.Desde el punto de vista geometrico, una vigase puede describir como un solidos prismatico,es decir, generado por una seccion recta rıgidacuyo centro recorre una curva que llamamosgeneratriz. Este tipo de cuerpos es, a pesar desu sencillez, extremadamente comun en maqui-nas, estructuras, incluso en la naturaleza.
Uno de los objetivos basicos de la Resistenciade Materiales (y de todos los metodos de anali-
Figura 1: Un solido prismatico generado poruna seccion recta circular.
sis basados en esta) es la determinacion, paracualquier valor de las solicitaciones exteriores,la posicion, o mejor dicho, la variacion de la po-sicion de todas las secciones transversales deuna viga. Como las secciones son rıgidas, sudesplazamiento viene dado por un vector queindica cuanto cambia la posicion de su centrode area y un vector que refleja su giro relativo.Esto significa que las secciones transversales delas vigas tridimensionales tienen 6 grados delibertad (3 desplazamientos, 3 giros) y en lasvigas de problemas plano, 3 (dos desplazamien-tos y un giro alrededor del eje normal al planode la estructura).
Como consecuencia de la definiciongeometrica de un solido prismatico, encualquiera de sus secciones (perpendicularesa la generatriz) se puede definir un triedoortonormal. En estos apuntes utilizaremos laconvencion de que el eje x de este triedro coin-cide con la normal saliente. Los ejes y, z sondirecciones principales de la seccion transver-sal y junto con x definen un triedro dextrogiro.La figura 2 ilustra esta construccion.
1
x y
z
Figura 2: Triedro intrınseco definido en unaseccion cualquiera de un solido prismatico.
2. Equilibrio
Un cuerpo se encuentra en equilibrioestatico si la resultante de todas las fuerzasque actuan sobre el y su momento resultantecon respecto a cualquier punto son ambos nu-los. Si las fuerzas y los momentos que actuan
sobre el cuerpo se denotan como {F i}Nf
i=1 y{M i}Nm
i=1 entonces las condiciones de equilibrioestatico son
Nf∑i=1
F i = 0 ,
Nf∑i=1
ri × F i +
Nm∑i=1
M i = 0 ,
(1)
siendo ri el vector de posicion de la fuerza F i
respecto de un punto cualquiera.La condicion de equilibrio estatico se estudia
en Mecanica Clasica y deriva de las ecuacionesde Newton y Euler. En cuerpos deformablessin embargo es necesario extender su enunciadopara afirmar que un solido deformable esta enequilibrio estatico sin todo el y cualquiera desus partes satisfacen las ecuaciones 1.
Observaciones:
a) En un problema tridimensional hay 6ecuaciones de equilibrio. En un problemaplano, solo 2.
b) Si se plantea la ecuacion de equilibrio demomentos (de un cuerpo o una parte deeste) en mas de un punto parece que seconsiguen mas ecuaciones, pero en reali-dad las nuevas ecuaciones son linealmentedependientes de las primeras.
c) La extension del equilibrio a cualquiera delas regiones de un solido, finitas o infinite-simales, se puede razonar de manera abs-tracta al intentar explicar por que ningunaregion de un solido en equilibrio se mueve.De manera mas “fısica” se puede derivareste resultado si se contempla la naturale-za atomica de un cuerpo y se estudian lasfuerzas entre dos subconjuntos de atomosde un mismo cuerpo.
d) Las fuerzas y momentos que actuan sobreun cuerpo incluyen las reacciones de susapoyos. Ver la seccion 6.
3. Esfuerzos
Si en un cuerpo deformable separamos unaregion cualquiera, es posible que las fuerzas ymomentos exteriores que actuan sobre ella noesten en equilibrio estatico. Como esta regionha de estar en equilibrio concluimos que la par-te del cuerpo que no estamos considerando de-be de ejercer algun tipo de fuerzas y momentossobre la region considerada. Se llaman fuer-zas y momentos internos los ejercidos porla parte del cuerpo que no se considera sobre laseccion transversal en donde lo hemos separa-do. Estas fuerzas no se pueden medir de mane-ra directa porque se ejercen sobre una seccioninterior al cuerpo, que solo vemos porque he-mos imaginado que separamos el cuerpo. Sinembargo, han de existir pues si no existieran laparte separada podrıa acelerarse.
N
Mz
Mt
Ty
Tz
My
Figura 3: Esfuerzos sobre una seccion transver-sal de un solido prismatico.
Las fuerzas y momentos internos sobre unaseccion transversal pueden tener cualquier
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modulo y direccion. Al ser ambas cantidadesvectoriales, se pueden calcular sus respectivascomponentes en cualquier base. En particular,las componentes de las fuerzas y momentos in-ternos sobre un seccion expresados en el triedrointrınseco de la misma se llaman los esfuer-zos. En una viga habra por tanto 6 esfuerzos:las componentes de la fuerza interna segun losejes x, y y z se conocen respectivamente co-mo el esfuerzo normal (N) y los esfuerzoscortantes en direccion de y y z (Ty, Tz). Porsu parte, las tres componentes del momento in-terno en el triedro intrınseco son el momentotorsor (Mt) y los momentos flectores seguny y z (My,Mz).
4. Condiciones de ligadura
Cuando dos vigas se sueldan, las partestransmiten a traves de la union soldada todoslos esfuerzos posibles (fuerzas y momentos).Existen ligaduras entre vigas que no transmi-ten todos los esfuerzos sino que anulan uno,varios, o alguna combinacion entre ellos. Estetipo de uniones se conocen como libertades yaportan ecuaciones adicionales a las del equi-librio que permiten analizar la estatica de lapieza o estructura.
Una libertad que anula el esfuerzo normalque se transmite a traves de una seccion seconoce como deslizadera . Otra que anula elmomento flector, bien rotula o articulacion .Ademas hay otras libertades para las que noexisten nombres estandard, como aquella queanula el cortante, o la que anula la fuerza endireccion de una barra.
5. Sustentaciones
Cada seccion de una viga tiene 6 grados delibertad (3 en problemas planos) y por tan-to cuando se aplica fuerzas a una estructura opieza, cada seccion se desplaza pudiendo modi-ficarse uno o mas de estos grados de libertad.Existen maneras de impedir estos desplaza-mientos y se llama sustentacion a cualquiersujecion que restringe el valor de uno o masgrados de libertad. Cuando una sustentacion
limita un grado de libertad es que es capaz decrear una fuerza o momento que es responsablede que aquel sea cero. Estas fuerzas/momentosse conocen como reacciones.
Hay tantos tipos de sustentaciones comocombinaciones posibles de restricciones sobreuna seccion. Limitandonos al caso plano, solohay tres grados de libertad en una seccion y portanto el numero posible de sustentaciones esmenor. La restriccion mas comun es el apoyosimple que restringe los dos desplazamientosde una seccion, aunque no su giro. En la figu-ra 4 se puede apreciar el sımbolo que se em-plea habitualmente para representar esta res-triccion y una foto de un apoyo real. Como serestringen dos desplazamientos, el apoyo tienedos reacciones.
El segundo tipo de sustentacion es el apoyomovil . En este caso, la restriccion que se im-pone es que el desplazamiento perpendicular ala superficie de apoyo sea nulo. En la figura 5se pueden apreciar dos casos de apoyos movi-les. El tercer caso mas comun de sustentaciones el llamado empotramiento. Esta sustenta-cion restringe todos los grados de libertad, esdecir desplazamientos y giro, de la superficiesujeta. En la figura 6 se puede observar un ca-so real de ese tipo de restriccion y el sımboloque se emplea para representarlo.
Existen mas tipos de opoyos que restringencombinaciones especıficas de restricciones enproblemas planos o tridimensionales. En todoslos casos los esquemas de sımbolos deben decomunicar de forma unıvoca que grados de li-bertad son los restringidos.
6. Calculo de reacciones yesfuerzos
Todos los problemas de Resistencia de Ma-teriales comienzan con un estudio de las condi-ciones de equilibrio en la pieza. En la mayorıade los casos, se necesita conocer las reaccionesy todos los esfuerzos en todas los solidos.
Las reacciones sobre una estructura se pue-den calcular, en muchos casos, empleando lascondiciones de equilibrio estatico sobre todaesta, y las ecuaciones adicionales proporciona-
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Y
X
RY
RX
Figura 4: Apoyo simple: esquema y foto.
Y
X
R
Y
X
R
Figura 5: Esquema de apoyos moviles.
Y
X
RY
RXMR
Figura 6: Empotramiento: esquema y foto.
das por las libertades. En el caso de los esfuer-zos, estos se obtienen a partir de las mismasecuaciones, pero cuando se separa un solido poraquella superficie en donde se desean conocerlos esfuerzos.
En algunos casos, las ecuaciones de la estati-ca y las de las libertades son suficientes pa-
ra calcular tanto reacciones como esfuerzos encualquier seccion transversal de cualquier partede la estructura y se dice que esta es isostati-ca . Cuando no es posible (porque hay dema-siadas incognitas — reacciones o esfuerzos —e insuficientes ecuaciones) se dice que la es-tructura es hiperestatica , siendo el exceso de
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incognitas el grado de hiperestaticidad o deindeterminacion estatica de la misma.
El grado de hiperestaticidad es una propie-dad de la estructura, no de sus cargas, y depen-de de sus apoyos y de como esten conectadassus elementos. De forma un poco intuitiva sepuede decir que el exceso de apoyos (mas de 6en el caso tridimensional o 3 en el plano) gene-ra una hiperestaticidad externa. Ademas, lasceldas cerradas de barras o vigas aumentan elnumero de incognitas y por tanto son respon-sables de una hiperestaticidad interna.
Para una estructura o pieza plana el gradode hiperestaticidad se puede calcular usando laexpresion
NH = NR− 3 + 3×NC −NL,
siendo NR el numero de reacciones, NC elnumero de celdas cerradas y NL el numerode libertades. Esta formula proporciona unacondicion necesaria, pero no suficiente, que de-be emplearse con cautela porque solo es validacuando el solido no tiene movimientos de meca-nismo. En este caso la expresion anterior puededar resultados ilogicos.
7. Leyes y diagramas deesfuerzos
En el analisis de estructuras es necesario co-municar el valor de los esfuerzos en cada sec-cion y, a menudo, expresarlos matematicamen-te de alguna manera para poder calcular conellos u obtener informacion adicional.
El sentido de los esfuerzos. No es igualun esfuerzo axial que “sale” de la seccion queotro que “entra”. De la misma manera, el es-fuerzo cortante puede ser de tal manera quelas fuerzas internas den un par horario, o bienantihorario. Por ultimo, los momentos internospueden aplastar las fibras superiores o las infe-riores de la seccion. Para distinguir los dos ca-sos posibles orientar cada esfuerzo, se empleansımbolos que indican graficamente la orienta-cion de las fuerzas y momentos internos. Estossımbolos deben de acompanar en todo momen-to los valores numericos de los esfuerzos, para
que no haya duda de como son estos. En la fi-gura 7 se dibujan los tres esfuerzos posibles enun problema plano y los sentidos de cada unode ellos.
Diagramas de esfuerzos. Estos son repre-sentaciones graficas que comunican el moduloy el sentido de todos los esfuerzos en todas lassecciones de una estructura sometida a cargasde forma inequıvoca. Para que cumplan su ob-jetivo, todo diagrama debe de ir acompanadode los sımbolos que indiquen la orientacion delos esfuerzos en cada seccion.
Leyes de esfuerzos. Son representacionesmatematicas de las fuerzas y momentos inter-nos en un solido prismatico. Deben de propor-cionar, de forma inequıvoca, el valor de cada es-fuerzo en todas las secciones transversales delsolido. Como son funciones matematicas, lasleyes de esfuerzo solo se pueden definir parasolidos o partes de ellos, en los que la posicionde la seccion transversal este claramente de-terminada por un sistema de coordenadas, queen estas notas indicaremos como X. Ademas,para cada uno de estos solidos o sus partes,un diagrama de signos ha de describir que seentiende por esfuerzos positivos y negativos.
A menudo las leyes de esfuerzos no se puedenexpresar matematicamente con una funcion di-ferenciable, sino que es necesario emplear fun-ciones definidas a trozos. Para facilitar la des-cripcion de este tipo de funciones se emplea lafuncion rampa, tambien llamado el corchete deMacaulay.
El corchete de Macaulay. La funcion 〈·〉 :R→ R esta definida como:
〈x〉 =
{x si x ≥ 0
0 si x < 0 .(2)
Ejemplo 1. La ley de momentos flectores dela viga de la figura 8 se puede escribir como:
M(X) =
{P2X si 0 ≤ X ≤ L/2P2 (L−X) si l/2 ≤ X ≤ L ,
(3)
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N T M
Figura 7: Los tres esfuerzos sobre una seccion (normal N , cortante T y flector M) y sus dossentidos posibles.
P
X
L
Figura 8: Ejemplo 1.
o tambien simplemente como
M(X) =P
2〈X〉 − P 〈X − L/2〉 . (4)
En esta expresion, y mas abajo, se ha supuestoque el momento flector es positivo cuando estacomo en la lınea superior de la figura 7. Aun-que el signo asociado al sentido de un esfuerzoes totalmente arbitrario, es necesario declararcomo positivo o negativo el considerado cuan-do este se desea expresar analıticamente.
x a1
M1
a2
M2
F1
b1
F2
b2c1 d1
q1
c2 d2
q2
Figura 9: Carga general sobre una viga recta
Expresion general de las leyes de cor-tantes y momentos en un tramo de vi-ga. Consideremos finalmente el caso generalde una viga recta sometida a Np cargas pun-tuales, Nm momentos concentrados y Nq car-gas distribuidas constantes y perpendiculares a
la generatriz tal y como aparece en la figura 9.En este caso las leyes de cortantes y momentosen cualquier punto de la viga se pueden expre-sar como:
T (x) =
Np∑i=1
Pi〈x− bi〉0
+
Nq∑i=1
qi(〈x− ci〉 − 〈x− di〉),
M(x) =
Nm∑i=1
Mi〈x− ai〉0 +
Np∑i=1
Pi〈x− bi〉1
+
Nq∑i=1
qi2
(〈x− ci〉2 − 〈x− di〉2),
(5)si aceptamos que 〈0〉0 = 0. Para que los signosde estas expresiones sean correctos es necesa-rio que las cargas esten colocadas en el sentidoindicado en la figura 9.
Reglas para dibujar diagramas de esfuer-zos. La interpretacion de las expresiones (5)permiten enunciar algunas “reglas” que ayu-dan a dibujar diagramas de esfuerzos sin ape-nas calculos. Para los diagramas de esfuerzoscortantes:
Los momentos concentrados no tienenningun efecto en ellos.
Cada fuerza concentrada Pi produce un“salto” en el diagrama hacia arriba de esetamano (si la fuerza es hacia abajo, el saltosera tambien en esa direccion).
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Una fuerza distribuida qi produce un cam-bio de pendiente en el cortante de valorigual a |qi| y de sentido igual al de la fuer-za.
Si construimos los diagramas de izquierda a de-recha, para los diagramas de momentos flecto-res:
Un momento concentrado Mi como el dela figura produce un “salto” del diagramade valor |Mi| hacia arriba, si el momentoes como el de la figura 9 y hacia abajo siel momento es el opuesto.
Cada fuerzas concentrada Pi produce unincremento en la pendiente del diagrama.
Si la fuerza es como en la figura 9, el in-cremento es anti-horario, y horario en elcaso contrario.
Una fuerza distribuida qi produce un in-cremento en la curvatura del diagrama demomentos flectores. Si qi es hacia arriba,el diagrama de flectores “se curva haciaarriba” y viceversa.
Ademas de estas reglas, se debe de tener encuenta que existen libertades en las que algunesfuerzo se anula. Por ultimo, es util compro-bar que el modulo y direccion de los esfuer-zos es coherente con las reacciones en todos losapoyos o extremos libres de la estructura.
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