equilibrio de una aprticula en el plano

7/29/2019 Equilibrio de Una Aprticula en El Plano

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TEMA 4.2. EQUILIBRIO DE LAPARTICULA EN EL PLANO YEN EL ESPACIO.

SUBTEMA 4.2.1. EQUILIBRIO DELA PARTICULA EN EL PLANO.


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Primera condicin del equilibrio(traslacional).

Un cuerpo se encuentra en equilibrio

traslacional si y solo si la suma

vectorial de las fuerzas que actan

sobre el es igual a cero. Cuyas

ecuaciones son las siguientes:

Fx= 0 y Fy= 0.


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Segunda condicin del equilibrio(rotacional).

Para que un cuerpo est en equilibriode rotacin, la suma de los momentoso torcas de las fuerzas que actan

sobre l respecto a cualquier puntodebe ser igual a cero.Matemticamente esta ley se expresacon la ecuacin:

M=0. M= M1 + M2 + M3 + Mn= 0. =0. = 1 + 2 + 3 + n = 0.


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PRIMERA LEY DE NEWTON:Ley de la inercia

Todos los cuerpos tienden a permanecer en elestado de movimiento que tienen a menosque una causa externa (fuerza) altere dicha

condicin En forma general si un cuerpo esten reposo o en movimiento rectilneouniforme, querr seguir en ese estado amenos que una fuerza externa se aplique a

ese cuerpo y le haga cambiar esta condicinde reposo o movimiento.


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TERCERA LEY DE NEWTON.Ley de accin y reaccin

Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre unsegundo cuerpo, ste ejercer a su vezuna fuerza sobre el primero de igual

magnitud pero de sentido contrario


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CONCEPTO DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

a) Hacer un dibujo que represente claramente elproblema que se desea resolver (solo si no seproporciona la figura, si aparece, siga con el paso B).

b) Construye un diagrama de cuerpo libre

sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel efectoque recibe el cuerpo, provocado por su contacto conotros cuerpos o por la fuerza gravitacional y queoriginan que se encuentren en equilibrio. Indique lamagnitud, direccin y sentido de las fuerzas

conocidas. Use smbolos para sealar las cantidadesque se desconocen.


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c) Haga un sistema de referenciautilizando ejes rectangulares y coloqueal cuerpo en equilibrio en el origen del

sistema de coordenadas.d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que

necesite para encontrar las respuestas a

las incgnitas buscadas.


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PROBLEMAS DE APLICACIN DE LAPRIMERA CONDICION DEL EQUILIBRIO.

La resolucin de problemas en las cuales seutiliza la primera condicin del equilibrio(traslacional), es el procedimiento inverso al

clculo del vector resultante, por el mtodoanaltico (Teorema de Pitgoras), ya que eneste tipo de problemas, se asume deantemano que la resultante es igual a cero, es

decir, ahora de lo que se trata es hallar lamagnitud de las fuerzas o vectores quemantienen a un cuerpo en equilibrio.


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En estos problemas, se hace uso de igual forma delas funciones trigonomtricas coseno, para lascomponentes X de las fuerzas o vectores y el seno,para las componentes, en ocasiones tambin se usa

la funcin tangente si se desconoce el ngulo ongulos con los cuales se aplican las fuerzas.Mediante una serie de despejes y sustitucin devalores en las ecuaciones que se obtengan, se hallanlos valores de las fuerzas o vectores. Los signos de

las X y las Y en los cuadrantes, de igual forma sedeben de tener en cuenta, para obtener los resultadoscorrectos como se observan en los siguientesejercicios.


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1.- Una pelota de 100 N suspendida deun cordel es tirada hacia un lado por otrocordel B y mantenida de tal forma que el

cordel A forme un ngulo de 30 con lapared vertical. Dibuje el diagrama decuerpo libre y encuntrese las tensiones

en los cordeles A y B de acuerdo a lasiguiente figura.


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100 N

A

B= 30


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DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.

B

A

W = 100 N

= 60X

Y


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En el diagrama de cuerpo libre que la cuerdaA, forma un ngulo de 60 con el eje X, en elsegundo cuadrante, esto se sustenta en el

teorema sobre tringulos que dice que En untringulo, la suma de los ngulos internos esigual a 180, si la cuerda A, forma con lapared vertical, un ngulo de 30, la pared

forma con el eje X, un ngulo de 90,entonces, la cuerda A, forma un ngulo de 60con el eje X.


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Cuadro de fuerzas.

F comp. X comp. Y A 60 - A cos 60 A sen 60 B 0 B 0 W 0 0 -100 N

Fx =- A cos60+ B = 0 Fy = A sen 60-100 N = 0Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad con diferente signo:

Fx = B = A cos60Fx = B = A (0.5). Como desconocemos A y B, esta ltimaexpresin queda como la ecuacin 1.Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, con diferente signo:Fy = A sen 60 = 100 N. Fy = A (0.8660) = 100 N.De esta ltima expresin podemos despejar A, pasando el valor de 0.8660,

dividiendo al peso de 100 N:A = 100 N = 115.47 Newtons.

0.8660Ahora regresamos a la ecuacin 1: B = A (0.5). Y sustituimos el valor de A parahallar B tenemos: B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newtons.

Entonces los valores de A = 115.47 Newtons. Y B = 57.73 Newtons.


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2.- Dos cuerdas T1 y T2, sostienen unobjeto cuyo peso es de 500 N, como seve en la figura siguiente, elaborar el

diagrama de cuerpo libre y hallar lastensiones de las cuerdas T1 y T2.


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500 N

40

T1T2


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Diagrama de cuerpo libre.

40

T1

X

Y

T2

W = 500 N


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Como observamos en el diagrama de cuerpolibre, la cuerda T1, forma un ngulo de 40,respecto al eje X en el primer cuadrante, esto

es debido a que es un ngulo alterno interno,respecto al ngulo que forma T1, respecto altecho, la cuerda T2, est en forma horizontalsobre el eje X, entre el segundo y tercer

cuadrantes, y el peso W, se encuentra sobreel eje Y, hacia abajo entre el tercer y cuartocuadrantes.


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Cuadro de fuerzas.

F Comp. X Comp. Y T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40 T2 0 - T2 0 W 0 -500 N Fx =T1 cos 40- T2 =0 Fy= T1 sen 40-500 N = 0.

Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo: Fx = T1 cos40 =

T2. Fx = T1 (0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta ltima expresinqueda provisionalmente como la ecuacin 1. De la Fy, pasamos el peso del otrolado de la igualdad, con signo positivo: Fy= T1 sen 40 = 500 N. Ahora sacamosel seno de 40 : Fy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valor de T1, tenemos:T1 = 500 N = 778 Newtons.

0.6427 Ahora regresamos a la ecuacin a la ecuacin 1, T1 (0.7660) = T2. y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos: T2 = 778 N x 0.7660 = 596 Newtons. Las tensiones son entonces: T1 = 778 Newtons. Y T2 = 596 Newtons.


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3.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 Nest suspendido de una armadura comose ve en la figura. Determinar el valor de

la tensin de la cuerda y el empuje de labarra.


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Esquema y diagrama de cuerpolibre.

T

E

35

500 N

E

T

Tx

T y

35


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Cuadro de fuerzas.

F comp. X comp. Y T 35 -T cos 35 T sen 35 E 0 E 0 W 0 0 -500 N

Fx = -T cos 35 + E = 0 Fy =T sen 35- 500 N = 0.De la Fx, pasamos -T cos 35, del otro lado de la igualdad con signo positivo:

Fx = E = T cos 35. Ahora sacamos el coseno de 35. E = T (0.8191). Comodesconocemos E y T, esta ltima expresin queda provisionalmente como laecuacin 1. Ahora de la Fy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad consigno positivo:

Fy = T sen 35 = 500 N. Ahora sacamos el seno de 35.T (0.5735) = 500 N. Despejando T, tenemos:T = 500 N = 871. 68 Newtons.

0.5735Ahora regresamos a la ecuacin 1 para hallar el valor del Empuje E, y sustituyendo elvalor de T, tenemos:

E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newtons .Entonces los resultados son:T = 871. 68 Newtons. Y E = 714.08 Newtons.


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Como el cuerpo est en equilibrio: Fx = 0 = E + (-Tx) Fy = 0 = Ty + (-P) Sustitucin: Fx = E T cos 35= 0 E = T cos 35. Fy = T sen 35- P = 0 T sen 35 = P T = P_____ = 500 N = 871.68 N sen 35 0.5736

Sustituyendo el valor de la tensin para encontrar el del empujetenemos: E = T cos 35 = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.


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4.- Calcular el ngulo, la tensin y elempuje de la siguiente armadura:

T

E

=

900 N

E

T

Tx

T y

=

3 m

5 m


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Solucin: Primero debemos hallar el ngulo que formala tensin T con el eje x: Vemos que la componente Y,del tringulo rectngulo es de 3 metros y lacomponente X, es de 5 metros, por lo cual vienen

siendo los catetos opuesto y adyacente del ngulo encuestin por lo cual se puede utilizar la funcintrigonomtrica tangente: (cateto opuesto entreadyacente):

tan = 3 m = 0.6 . = tan-1 0.6 = 31. 5 m Una vez hallado el ngulo ya podemos hallar la

tensin y el empuje.


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Cuadro de fuerzas.

F comp. X comp. Y T 31 -T cos 31 T sen 31 E 0 E 0 W 0 0 -900 N

Fx = -T cos 31 + E = 0 Fy =T sen 31- 900 N =0 De la Fx, pasamos -T cos 31 del otro lado de la igualdad con signo positivo.

Fx = E = T cos 31 , ahora sacamos el coseno de 31 . E = T (0.8571). Comodesconocemos E y T, sta ltima expresin queda como la ecuacin 1. Ahora dela Fy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: Fy = Tsen 31 = 900 N. Ahora se saca el seno de 31. Fy = T (0.5150) = 900 N. Deesta expresin despejamos la tensin T.

T = 900 N = 1747.57 Newtons. 0.5150 Ahora regresamos a la ecuacin 1, para hallar el valor del empuje E: E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 Newtons. Entonces los resultados son: = 31, T = 1747.57 N, E = 1498.02 N.


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5.- Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de lafigura siguiente que soportan un peso de 300 N.

300 N

34 56

T1T2


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X

Y

T1

5634

W = 300 N


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Cuadro de fuerzas.

F comp. X comp. Y T1 56 T1cos 56 T1 sen 56 T2 34 -T2 cos 34 T2 sen 34 W 0 0 -300 N Fx = T1cos 56-T2 cos 34 = 0. Fy =T1 sen 56 + T2 sen 34-300 N = 0. De la Fx, pasamos T2 cos 34, del otro lado de la igualdad con signo positivo: Fx = T1cos 56 = T2 cos 34. Ahora sacamos los cosenos de los ngulos: Fx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para expresarlo en relacin a T2 en una sola

cantidad: T1 = 0.8290 T2 0.5591 T1 = 1.4827 T2. Ecuacin 1. Como desconocemos T1 y T2, esta ltima expresin queda provisionalmente

como la ecuacin 1. Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso del otro lado de laigualdad con signo positivo: Fy =T1 sen 56 + T2 sen 34 = 300 N. Ahora sacamos los senos de losngulos: Fy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en laecuacin 1: Fy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Se realizan las multiplicaciones: Fy = T2(1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.

Dado que las dos cantidades tienen como factor comn a T2, entonces se pueden sumar: Fy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N = 167.76 newtons. 1.7882 Ahora regresamos a la ecuacin 1, para hallar el valor de T1: T1 = 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons. Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.


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6.- Un tanque de acero debe colocarseen la fosa mostrada en la figura deabajo. Sabiendo que = 20,

determnese la magnitud de la fuerza Prequerida si la resultante R de las dosfuerzas aplicadas en A debe de ser

vertical.


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X

Y

= 20

P = ?

425 lb

30

R


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Cuadro de fuerzas.

F comp X comp. Y P 20 P cos 20 P sen 20 425 lb 30 - 425 cos 30 425 sen 30 Fx = P cos 20 - 425 cos 30 = 0. Fy = P sen 20 + 425 sen 30 = 0. Fx = P cos 20 = 425 cos 30. Fx = P (0.9396) = 425 (0.8660).

Fx = P (0.9396) = 368 lb. Despejando Ptenemos: P = 368 lb = 391.7 lb. 0.9396

7 D bl j t C


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7.- Dos cables se amarran juntos en C y se cargan comose muestra en la figura. Determnese la tensin en elcable AC.


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X

Y TAC

5030

500 N

TBC


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Cuadro de fuerzas.

F comp. X comp. Y TAC 50 TAC cos 50 TAC sen 50 TBC 30 - TBC cos 30 TBC sen 30 W 0 0 - 500 N Fx = TAC cos 50 - TBC cos 30 = 0. Fx = TAC cos 50 = TBC cos 30. Fx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660).

Despejando TAC

tenemos: TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC 1.3474 ec. 1. 0.6427


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Fy = TAC sen 50 + TBC sen 30 - 500 N = 0. Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: Fy = TAC sen 50 + TBC sen 30= 500 N. Sacando los senos de los ngulos: Fy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N Sustituyendo el valor de TAC de la ecuacin 1, tenemos: Fy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N Fy =TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N. Efectuando la multiplicacin: Fy =TBC (1.0321) + TBC (0.5) = 500 N. Como TBC es un factor comn a

ambas cantidades, estas se pueden sumar: Fy =TBC ( 1.5321) = 500 N. Despejando el valor de TBC tenemos: TBC

= 500 N = 326.34 Newtons. 1.5321 Para encontrar el valor de TAC regresamos a la ecuacin 1: TAC = TBC 1.3474 TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons.


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8.- La vista desde el helicptero en lafigura de abajo muestra a dos personasque jalan a una obstinada mula.

Encuentre la fuerza que una tercerapersona tendra que ejercer sobre lamula para hacer la fuerza resultante

igual a cero. Las fuerzas se miden enNewtons.


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60

F1 = 120 N

75

F2 = 80 N

R

X

Y


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Cuadro de fuerzas.

F comp X comp. Y F1 60 120 N cos 60 120 N sen 60 F2 75 - 80 N cos 75 80 N sen 75 R 0 0 0. Fx = 120 N cos 60- 80 N cos 75. Fx = 120 x 0.5 - 80 N x 0.2588 Fx = 60 N 20.70 N = 39.3 N i componente en x.

Fy = 120 N sen 60+ 80 N sen 75. Fy = 120 N (0.8660) + 80 N (0.9659) Fy = 103.92 N + 77.27 = 181.19 N j componente en y. Este problema se resolvi en una

forma diferente a los 7 primeros, lo que se hizo, fue hallar las componentes de la resultantede las dos fuerzas que ejercen las dos personas, en este caso 39.3 N y

181.19 N, pero como lo que se pide en el problema es la fuerza que ejercera una tercerapersona para que la fuerza resultante sea cero, entonces la respuesta del ejercicio es:

R = - 39. 3 N i (componente en X) y 181.19 N j (componente en Y). Expresado en lascomponentes rectangulares de la fuerza. Recordando que el vector equilibrante es de la

misma magnitud, y direccin que la fuerza resultante, pero de sentido contrario.

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