EPET Nº 3Curso: 2º II Tema: División de Polinomios

Integrantes: Aranda Carlos, Pérez Mezquida, Damián.

Profesor: Hugo Valderrey

División

Regla de Ruffini

Teorema del resto

División

A fin de facilitar la división de polinomios, es conveniente disponerlo como para realizar una

división entre números naturales. Hay que ordenar y completar los polinomios. Daremos un

ejemplo para dividir P (x) por Q (x) que te mostraremos a continuación.

P(x) = 6x4 + 2x2 - 5x + 2 Y Q(x) = X2 – 3 + 2X

• Completo y ordeno en potencias decrecientes

ambos polinomios.

• Los dispongo como en una división de números

naturales.

• Para hallar el primer monomio del polinomio cociente, divido 6x4/x2= 6x2

P(x) = 6x4 + 0 x3 +2x2 - 5x + 2

Q(x) = X2 + 2X - 3

6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2

6x2

6x2 6x4 + 12x3 – 18x2

-

0 – 12x3 + 20x2

1º resto

6x4 + 0x3+ 2x2 – 5x + 2

6x4 + 12x3 – 18x2 -

-12x3 + 20x2 - 5x

x2 + 2x - 3

6x4 + 0x3+ 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3

6x2 – 12x + 44

6x2 – 12x

-12x3 + 20x2 - 5x

-12x3 - 24x2 + 36x Cociente

44x2 - 41x + 2

44x2 - 88x +132

-129x + 134 Resto

X2 + 2 x - 3

• Multiplico 6x2 por el polinomio

divisor para restar del dividendo

y obtener el primer resto.

• Agrego al resto el monomio siguiente. Divido -

12x3 /x2=-12x

Obtengo así el segundo monomio del cociente.

• Reitero los pasos anteriores. La división concluye

cuando el resto es de grado menor que el divisor.

6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3

6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 X2+ 2 x - 3

-

6x4 + 12x3 – 18x2 -

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un procedimiento que permite dividir dos polinomios, siempre que el divisor tenga la forma x – a.

Por ejemplo, en la división (-2x3 + 5x2 - 4x + 2) : (x – 3) podemos calcular los coeficientes del polinomio cociente mediante la

siguiente disposición:

• Se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado;

• A la izquierda se escribe a (es 3);

• El primer coeficiente queda igual (es -2)

• El segundo coeficientes se obtiene efectuando -2 . 3 y

sumando este resultado a 5 (es -1);

-2 +5 - 4 + 2

Resto

• El tercer coeficiente se obtiene efectuando -1 . 3 y sumando este resultado a -4 (es -7);

• Por último, multiplicamos -7 . 3 y le sumamos 2; así obtenemos el resto (19).

• Por lo tanto, el cociente de la división es: -2x2 – x – 7 (es un grado menor que el dividendo) y el resto es -19.

3

-2

-6

+

-1

+

-3

-7

-21

-19

+

Teorema del resto

A veces interesa conocer sólo el resto de una división, no el cociente.

P (x) : (x – a) = C (x) y R es el resto P (x) = (x – a) . C(x) + R

x = a P (a) = (a – a) . C(x) + R

0

P (a) = R

El resto es el valor numérico de P cuando x vale a

Por ejemplo, en el caso anterior en el que aplicamos la regla de Ruffini:

(-2x3 + 5x2 - 4x + 2) : (x – 3)

Si calculamos P (3) = -2 . 33 + 5 . 32 - 4 . 3 + 2

P(3) = -2 . 27 + 5 . 9 – 12 + 2

P(3) = -54 + 45 – 12 + 2

P(3) = -19 que es el resto