enteros - njctlcontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/... · 2014-11-10 · · los...
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ENTEROS
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Temas a desarrollar· Definición de N° Enteros · Valor Absoluto · Comparación y Orden de los N° Enteros· Suma de Enteros· Convertir la Resta en Suma· Revisión de Sumas y Restas con Enteros· Multiplicando Enteros· Dividiendo Enteros· Potenciación· Reglas de la Potenciación
Click sobre el tema para ir a la sección
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1 ¿Sabes lo qué es un N° Entero?
Yes
No
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{...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
Definición de N° Entero:
Es el conjunto de Números Naturales, sus opuestos y el cero.
Definición de N° Entero
Ejemplos de N° Enteros:
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Clasifica cada número como un Entero o no5
-6
0 -21 -65 1 3.2-6.32
92.34437 x 103
½ ¾3¾ π 5
entero No entero
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-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
Los Enteros sobre la Recta Numérica
Enteros Negativos
Enteros Positivos
Los números a la izquierda del cero son menores que cero
Los números a la derecha del cero son mayores que cero
El cero no es nipositivo ni negativo
`
Cero
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2 ¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de N° Enteros?
A 0B -8C -4.5D 7E 1/2
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3 ¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de N° Enteros?
A 1/2B 6C -4D 0.75E 25%
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Ustedes pueden escuchar: "tiene que patear el tiro libre desde una distancia de 20 m al arco."
Esto puede ser representado con un N° Entero: +20 o 20
O, "La lluvia caída este último año ha sido de 100 mm menos que el anterior"
Esto puede representarse como un N° Entero: -100
Los N° Enteros pueden representar situaciones cotidianas
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Los Enteros en nuestro mundo
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1. Gasté $6
2. Ganancia de 11 kg
3. Depositaron $700
4. 10 grados bajo cero
5. 8 golpes bajo la cintura
6. 350 m sobre el nivel del mar
Escribe un N° Entero para representar cada situación:
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4 ¿Cuál de los Enteros que se muestran abajo representa mejor la siguiente situación?
El efecto en su billetera cuando gasta $10 .
A -10B 10C 0D +/- 10
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5 ¿Cuál de los Enteros que se muestran abajo representa mejor la siguiente situación?
Repartiendo folletos gana $40 por día.
A -40B 40C 0D +/- 40
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6 ¿Cuál de los Enteros que se muestran abajo representa mejor la siguiente situación?
Usted buceó 35 pies para explorar un barco hundido.
A -35B 35C 0D +/- 35
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Los números -4 y 4 se muestran sobre la recta numérica.
Ambos números están a 4 unidades del 0, pero 4 esta a la derecha del 0 y -4 esta a la izquierda del
cero.
Los números -4 y 4 son opuestos. Los Opuestos se encuentran a la misma distancia del CERO.
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7 ¿Cuál es el Opuesto de -7?
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8 ¿Cuál es el Opuesto de 18?
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Los Enteros se usan en los juegos.
Por ejemplo, en el juego Jeopardy:· se ganan puntos por cada respuesta correcta.· se pierden puntos por cada respuesta incorrecta.· y se puede obtener al final un record positivo o negativo.
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Cuando un participante contesta correctamente una pregunta de $200 : Record: $200Cuando da una respuesta incorrecta de $100: Record = $100Y cuando da una respuesta incorrecta de $300: Record = - $200
¿Cómo llegó a tener un record negativo?
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9 Después de las siguientes respuestas dadas por un concursante ¿Cuál sería la puntuación?
$100 incorrecta $200 correcta$50 incorrecta
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10 Después de las siguientes 3 respuestas dadas por un concursante ¿Cuál seria la puntuación?
$200 correcta$50 correcta$300 incorrecta
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11 Después de las siguientes 3 preguntas dadas por un concursante ¿Cuál es su puntación?
$150 incorrecta$50 correcta$100 correcta
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· Los Enteros están formados por los N° Naturales, sus opuestos y el cero.
· En la Recta Numérica se ubican los números negativos a la izquierda del cero y los números positivos a la derecha de éste.
· El cero no es un número positivo ni negativo.
· Los Enteros pueden representar situaciones de la vida cotidiana.
Repaso
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Valor Absoluto de Enteros
El valor absoluto es la distancia a un número desde el cero sobre la recta numérica, independientemente del sentido.
La distancia y el Valor Absoluto nunca son negativos (son positivos o cero).
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
¿Cuál es la distancia desde el 0 al 5?
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
¿Cuál es la distancia desde el 0 al -5?
Valor Absoluto de EnterosEl valor absoluto es la distancia a un número desde el cero sobre la recta numérica, independientemente del sentido.
La distancia y el Valor Absoluto nunca son negativos (son positivos o cero).
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales
4
¿Cuál es el |4|?
Esto se lee, "el valor absoluto de 4"
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-4 = 4
-9 = 9
= 99
Usa la recta numérica para encontrar el valor absoluto de:
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Rta.
Rta.
Rta.
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-712 Encontrar
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-2813 Encontrar
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5614 ¿Cuál es ?
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-815 Encontrar
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316 Encontrar
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17 ¿Cuál es el valor absoluto de los números que muestra el generador?
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18 ¿Cuál/es de los siguientes números tiene a 15 como su valor absoluto?
A -30B -15C 0D 15
E 30
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19 Cuál/es de los siguientes números tiene a 100 como su valor absoluto?
A -100B -50C 0
D 50E 100
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Comparando Enteros Positivos Un entero puede ser igual, menor o mayor que otro entero.
Los símbolos que usaremos son:
Igual "=" Menor que "<" Mayor que ">"
Por ejemplo:
4 = 4 4 < 6 4 > 2
Cuando usamos < o >, recuerda que la parte cerrada del símbolo va del lado del número más pequeño.
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20 El Entero 8 es ______ 9.
A =B <C >
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21 El Entero 7 es ______ 7.
A =B <C >
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22 El Entero 3 es ______ 5.
A =B <C >
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Para comparar enteros, dibujamos puntos sobre la recta numérica.
Los números que están más a la derecha son mayores.
Los número que están más a la izquierda son menores.
Uso de la Recta Numérica
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
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Colocar los número en el lugar correcto sobre la recta numérica.
4
-45
-3
-2
3
0
2 -5
-1 1
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4-4 5-3 -2 30 2-5 -1 1
Ahora, puedes decir:
¿Cuál es el Entero mayor?
¿Cuál es el menor?
click to reveal
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Colocar los siguientes Número Enteros sobre la recta numérica.
-3 -1 0
5
4
-2
-72 -5
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-3 -1 0 54-2-7 2-5
Ahora, puedes decir:
¿Cuál es el Entero mayor?
¿Cuál es el menor?
click to reveal
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Comparando Enteros Negativos
Cuanto mayor sea el valor absoluto de un entero negativo, menor será el número entero. Esto se debe a que está más lejos del cero, pero en sentido negativo.
Por ejemplo:
-4 = -4 -4 > -6 -4 < -2
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
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Comparando Enteros Negativos
Una manera de pensar esto es en términos del dinero. Usted va a comprar y debe pagar $20 pero solo tiene $10.Entonces el dueño del almacen le ofrece sacar fiado los $20, pero Usted prefiere deberle $10 antes que $20.
Este dinero que debe puede considerarse como un importe negativo, ya que necesita saldar esa cuenta para volver a cero, es decir, para no deber.
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23 El entero -4 es ______ -4.
A =B <C >
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
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24 El entero -4 es ______ -5.
A =B <C >
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
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25 El entero -20 es ______ -14.
A =B <C >
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26 El entero -14 es ______ -6 .
A =B <C >
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Comparando todos los Enteros
Cualquier número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo.
Cualquier número negativo es menor que cero y que cualquier número positivo.
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27 El entero -4 es ______ 6.
A =B <C >
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28 El entero -3 es ______ 0.
A =B <C >
Slide 57 / 239
29 El entero 5 es ______ 0.
A =B <C >
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30 El entero -4 es ______ -9.
A =B <C >
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31 El entero 1 es ______ -54.
A =B <C >
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32 El entero -480 es ______ 0.
A =B <C >
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Arrastre y suelte el símbolo apropiado de desigualdad entre los siguientes pares de Enteros:
1) -3 5
3) 63 36
5) -6 -3
7) -24 -17
9) 8 _____ -8
2) -237 -259
4) -10 -15
6) 127 172
8) -2 -8
10) -10 _____ -7
< >< >
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1. COLOCAR EL SÍMBOLO APROPIADO DE DESIGUALDAD ENTRE LOS ENTEROS:
A) -250 -125
B) 390 -2
C) -56 87
D) 390 378
E) 15 -15
2. RESOLVER APLICANDO EL MÉTODO DEL VALOR ABSOLUTO Y DE LA RECTA NUMÉRICA:
A) 15 + (-7) =
B) -3 - 6 =
C) -9 + 4 =
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Un termómetro puede imaginarse como una recta numérica vertical. Los números positivos están sobre el cero y los negativos debajo del cero.
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33 Si la lectura de la temperatura en un termómetro es de 10℃ ¿Cuál será la nueva lectura si la temperatura:
cae 3 grados?
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34 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es 10℃ ¿Cuál será la nueva lectura si la temperatura:
aumenta 5 grados?
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35 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es 10℃ ¿Cuál será la nueva lectura si la temperatura:
baja 12 grados?
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36 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es -3℃, ¿Cuál será la nueva lectura si la temperatura:
cae 3 grados?
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37 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es -3℃ ¿Cuál será la nueva lectura si la temperatura:
aumenta 5 grados?
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38 Si la lectura de la temperatura de un termómetro es -3℃ ¿ Cuál será la nueva lectura si la temperatura:
cae 12 grados?
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Símbolos
Usaremos "+" para indicar suma y "-" para la resta.
Utilizaremos los paréntesis para mostrar las cosas más claras. Por ejemplo, si tenemos que sumar -3 a 4 lo escribiremos: 4 + (-3), lo cual es más claro que poner 4 + -3.
O si queremos restar -4 de -5 escribiremos:-5 - (-4), lo cual es más claro que poner -5 - -4.
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Aquí aprenderemos como hacer para sumar y restar Enteros usando la recta numérica.
La suma y la resta son operaciones inversas (ellas tienen el efecto opuesto). Si sumamos un número y luego restamos el mismo número nada cambiaría.
La suma deshace a la resta y viceversa.
Suma de Enteros: Un camino sobre la recta numérica
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1. Comenzamos en cero2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número: -Hacia la derecha si el número es positivo -Hacia la izquierda si el número es negativo3. Caminamos el número de pasos dados por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
Suma de Enteros: Un camino sobre la recta numérica
Aquí veremos como trabajar.
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Hagamos 3 + 4 sobre la resta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
1. Comenzamos en cero 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el número de pasos dados por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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Hagamos 3 + 4 sobre la resta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
1. Comenzamos en cero2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el número de pasos dados por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
· Avanzar hacia la derecha cuando el número es positivo.
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Hagamos 3 + 4 sobre la resta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
1. Comenzamos en cero2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
· Avanzar hacia la derecha cuando el número es positivo.
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Hagamos -4 + (-5) sobre la resta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hagamos -4 + (-5) sobre la resta numérica.
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el números de pasos indicado porel segundo número.4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
· Vamos hacia la izquierda para los números negativos.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hagamos -4 + (-5) sobre la resta numérica.
· Vamos hacia la izquierda para los números negativos.
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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Hagamos -4 + 9 sobre la resta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hagamos -4 + 9 sobre la resta numérica.
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el números de pasos indicado porel segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
· Vamos hacia la izquierda para los números negativos.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hagamos -4 + 9 sobre la resta numérica.
· Avanzar hacia la derecha para los números positivos.
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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Hagamos 5 + (-7) sobre la resta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
1. Comenzamos en cero. 2. Caminamos el número de pasos indicados por el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hagamos 5 + (-7) sobre la resta numérica.
1. Comenzamos en cero.2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el números de pasos indicado porel segundo número.4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
· Avanzar hacia la derecha para los números positivos.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hagamos 5 + (-7) sobre la resta numérica.
· Moverse hacia la izquierda para los números negativos.
1. Comenzamos en cero.2. Caminamos el número de pasos que indica el primer número.3. Caminamos el número de pasos dado por el segundo número. 4. Mira hacia abajo y estarás justo sobre la respuesta.
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Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto
Podemos sumar usando siempre la recta numérica.
Pero si estudiamos nuestros resultados, podemos ver como conseguir los mismos resultados sin tener que trazar la recta numérica.
Vamos a obtener las mismas respuestas pero de una manera mas simple.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
3 + 4 = 7
-4 + 9 = 5
5 + (-7) = -2
-4 + (-5) = -9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Podemos ver aquí algunas pautas que nos permiten crear normas para obtener estas respuestas sin hacer el dibujo.
Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto
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Para sumar enteros con el mismo signo: 1. Sumamos el valor absoluto de los enteros. 2. El signo se mantiene igual.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-103 + 4 = 7
-4 + (-5) = -9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
3 + 4 = 7; ambos signos son positivos; entonces 3 + 4 = 7
4 + 5 = 9; ambos signos son negativos; entonces -4 + (-5) = -9
Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto
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Interpretando el Método del Valor Absoluto
La razón por la cual se utiliza el método del valor absoluto es:
El valor absoluto es la distancia que viajas en un sentido, positivo o negativo.
Si ambos números tienen el mismo signo, las distancias se suman, ya que ambos te están pidiendo que viajes en el mismo sentido.
Si caminas 1 km hacia el oeste y luego 2 km más hacia el oeste, estarás a 3 km al oeste del punto de partida.
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Para sumar enteros con diferentes signos: 1. Encuentre la diferencia de los valores absolutos de los números enteros. 2. Mantenga el signo del entero con mayor valor absoluto.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-4 + 9 = 5
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-105 + (-7) = -2
9 - 4 = 5; 9 > 4, y 9 es positivo; entonces -4 + 9 = 5
7 - 5 = 2; 7 > 5 y 9 es negativo; entonces 5 + (-7) = -2
Suma de Enteros: Usando Valor Absoluto
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Interpretando el Método del Valor Absoluto
Si los signos de los enteros son diferentes:
Para la segunda etapa de tu viaje te mueves en sentido contrario a la primera etapa, deshaciendo algo del viaje original. La distancia total a la que estás del punto de partida será la diferencia entre las dos distancias.
El signo de la respuesta debe ser el mismo que el del número mayor, ya que éste está en el sentido en el que viajó más lejos.
Si caminas 1 km hacia el oeste y luego 2 km hacia el este, tu estarás a 1 km al este de donde comenzaste.
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3911 + (-4) =
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40-9 + (-2) =
Slide 94 / 239
415 + (-8) =
Slide 95 / 239
424 + (12) =
Slide 96 / 239
43-14 + 7 =
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44-4 + (-4) =
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45-5 + 10 =
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Restando EnterosRestar un número es lo mismo que sumar su opuesto.
Podemos ver esto desde la recta numérica, recordando las reglas para los diferentes sentidos. Comparamos esto en dos problemas: 8 - 5 y 8 + (-5).
Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 pasos a la izquierda, ya que el signo negativo nos dice que hay que moverse en el sentido opuesto al que sería para +5.
Para "8 + (-5)" nos movemos 8 pasos a la derecha, y luego 5 pasos a la izquierda ya que estamos sumando -5.
Por cualquier camino, encontraremos que el resultado es +3.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
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Restando los Enteros NegativosComparemos estos dos problemas: 8 - (-2) y 8 + 2.
Para "8 - (-2)" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 2 pasos a la derecha, ya que el signo negativo nos dice que hay que movernos en el sentido opuesto a lo que sería para -2.
Para "8 + 2" nos movemos 8 pasos a la derecha, y luego 2 pasos a la derechaya que estamos sumando 2.
Por cualquier camino, terminaremos llegando a +10.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
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Restando EnterosCualquier resta puede convertirse en suma haciendo lo siguiente:
· Cambiando el signo de resta al de suma.
· Cambiando el entero después del signo de resta por su opuesto.
Ejemplos:
5 - (-3) es lo mismo que 5 + 3
-12 - 17 es lo mismo que -12 + (-17)
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46 Convertir el problema de resta en un problema de suma.
8 – 4
A -8 + 4B 8 + (-4)
C -8 + (-4)D 8 + 4
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47 Convertir el problema de resta en un problema de suma.
-3 – (-10)
A -3 + 10
B 3 + (-10)
C -3 + (-10)
D 3 + 10
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48 Covertir el problema de resta en un problema de suma.
-9 – 3
A -9 + 3
B 9 + (-3)
C -9 + (-3)
D 9 + 3
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49 Convertir el problema de resta en un problema de suma.
6 – (-2)
A -6 + 2
B 6 + (-2)
C -6 + (-2)
D 6 + 2
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50 Convertir el problema de resta en un problema de suma.
1 - 9 A -1 + 9
B 1 + (-9)
C -1 + (-9)
D 1 + 9
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51 Calcular la suma o resta.
-6 – 2
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52 Calcular la suma o resta.
-10 + 6
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53 Calcular la suma o resta.
7 – (-4)
Slide 112 / 239
54 Calcular la suma o resta.
4 – 7
Slide 113 / 239
55 Calcular la suma o resta.
5 + (-5)
Slide 114 / 239
56 Calcular la suma o resta.
9 + (-8)
Slide 115 / 239
57 Calcular la suma o resta.
-4 + (-5)
Slide 116 / 239
58 Calcular la suma o resta.
-2 – (-3)
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59 Calcular la suma o resta.
-2 + 4 + (-12)
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60 Calcular la suma o resta.
5 - 6 + (-7)
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61 Calcular la suma o resta.
-8 - (-3) + 5
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62 Calcular la suma o resta.
16 - (-9) - 21
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63 Calcular la suma o resta.
19 + (-12) - 11
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SímbolosHasta ahora, ustedes han usado el símbolo "x" para indicar multiplicación. Por ejemplo "3 veces 4" puede ser escrito como 3 x 4.
Sin embargo, esto será un problema más adelante ya que la letra "x" es usada en Álgebra como una variable.
Hay dos caminos que usaremos para indicar una multiplicación: 3 veces 4 será escrito como 3∙4 o 3(4).
Otros símbolos usados comúnmente en multiplicación son los siguientes: * [ ] { } ( ) Por ejemplo "3 veces 4" podría ser escrito como: 3*4 3[4] 3{4} 3(4)
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Paréntesis
El segundo método mostrado en la multiplicación, 3(4), es poniendo el segundo número entre paréntesis.
Los paréntesis también se han utilizado para otros propósitos. Cuando queremos sumar -3 a 4 lo escribimos como 4 + (-3), lo cual es más claro que poner 4 + -3.
Además, cualquier operación que esta entre paréntesis se hace primero. La manera de escribir que queremos restarle 4 a 6 y luego dividirlo por 2 sería (6 - 4) / 2 = 1. Al quitar los paréntesis se produciría 6 - 4/2 = 4, ya que trabajamos de izquierda a derecha.
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Multiplicando Enteros
La multiplicación es simplemente una forma rápida de escribir varias sumas.
Todos éstos son equivalentes:3∙43 +3 + 3 + 3 4 + 4 + 4
Todos ellos son igual a 12.
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Multiplicando Enteros
Ya conocemos como sumar usando la recta numérica.
Vamos a hacer lo mismo con la multiplicación realizando una suma repetida.
Para ello vamos a empezar en cero y luego simplemente vamos a ir adicionando repetidamente: 3+3+3+3 o 4+4+4.
Debemos obtener el mismo resultado por cualquier camino, en este caso, 12.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3
Hagamos 4 x 3 sobre la recta numérica.
11 1312 14 16 1715
Lo haremos como 3+3+3+3 y también como 4+4+4
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3 11 1312 14 16 1715
Intentemos hacer 5 x 2 sobre la recta numérica.
Lo haremos como 5+5 y también como 2+2+2+2+2
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Multiplicando Enteros Negativos
Vamos a utilizar el mismo método para determinar las reglas para multiplicar enteros negativos.
Si tenemos 4 x (-3) podemos pensar esto como que a (-3) lo sumamos por sí mismo 4 veces. Pero no sabemos como pensar en sumar el 4 a sí mismo -3 veces, así que vamos a obtener nuestra respuesta de la siguiente manera:
4 x (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)
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10 2 3-17 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-13-15-16 -14 -12
4 x (-3) Sobre la Recta Numérica
4 x (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)
Así podemos ver que 4 x (-3) = -12
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4∙34 + 4 + 412
4(-3)(-3) + (-3) + (-3)-12
Al multiplicar enteros positivos el resultado es positivo.
Al multiplicar un entero negativo y un entero positivo el resultado es negativo.
¿Qué pasa cuando multiplicamos dos números enteros negativos? ¿Cuál es el signo de (-4)(-3)?
Regla de los Signos para la Multiplicación de Enteros
?
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Multiplicando Enteros Negativos
No podemos sumar algo a sí mismo un número negativo de veces; no sabemos que significa eso.
Pero podemos pensar en nuestra regla anterior, donde un signo (-) nos dice que debemos cambiar el sentido.
10 2 3-17 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-13-15-16 -14 -12
-5 - (-2) = -5 + 2
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Multiplicando Enteros Negativos
Así que si pensamos en (-4)(-3) como -(4)(-3) podemos ver que la respuesta será el opuesto a (-12), es decir, +12.
Cada signo negativo nos hace cambiar de sentido una vez, así que dos signos negativos multiplicados entre sí nos lleva de nuevo al sentido positivo.
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4∙34 + 4 + 412
4(-3)(-4) + (-4) + (-4)-12
Al multiplicar enteros positivos el resultado es positivo.
Al multiplicar un entero negativo y un entero positivo el resultado es negativo.
Al multiplicar dos enteros negativos el resultado es positivo.
Regla de los Signos para la Multiplicación de Enteros
(-4)(-3)-((-4) + (-4) + (-4))-(-12)12
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Cada vez que multipliques por un número negativo, cambiarás de signo.
Al multiplicar por un número negativo harás que la respuesta sea negativa.
Al multiplicar por un segundo número entero negativo cambiará la respuesta para volver a ser positivo.
1(-3) = -3 -3(-4) = 12
Multiplicando Enteros
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Cuando multiplicamos dos números con el mismo signo (+ o -), el producto es positivo.
Cuando multiplicamos dos números con diferentes signos, el producto es negativo.
Multiplicando Enteros
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También podemos ver estas reglas cuando observamos los siguientes patrones:
3(3) = 9 -5(3) = -153(2) = 6 -5(2) = -103(1) = 3 -5(1) = -53(0) = 0 -5(0) = 03(-1) = -3 -5(-1) = 53(-2) = -6 -5(-2) = 103(-3) = -9 -5(-3) = 15
Multiplicando Enteros
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64 ¿Cuál es el resultado de 3∙7?
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65 ¿Cuál es el resultado de 5(-4)?
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66 ¿Cuál es el resultado de -3(-6)?
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67 ¿Cuál es el resultado de (-3)(-9)?
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68 ¿Cuál es el resultado de -8∙7?
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69 ¿Cuál es el resultado de -5(-9)?
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70 ¿Cuál es el resultado de 4(-2)(5)?
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71 ¿Cuál es el resultado de -2(-7)(-4)?
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72 ¿Cuál es el resultado de 6(3)(-8)?
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Símbolos de División
Seguramente has usado más frecuentemente el símbolo "÷" para representar la división. Otros símbolos usados son "/" y " "
También se representa a la división como una fracción. Recuerda que:: 9 9÷3 = 33
Ambas son maneras diferentes de mostrar una división.
= 3
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Dividiendo EnterosLa división es la operación inversa de la multiplicación, asi como la resta es la operación inversa de la suma.
Cuando divides un entero, por un número, estas buscando cuantas veces al segundo número deberías sumarlo para obtener el primer número.
Por ejemplo, ya que 5∙2 = 10, esto significa que podríamos dividir a 10 en 5 veces 2, o 2 veces 5.
Esto es justo lo que hacíamos sobre la recta numérica para la multiplicación, pero hacia atrás.
Intentemos hacer 10 ÷ 2
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3 11 1312 14 16 1715
Resolver 10 ÷ 2 sobre la recta numérica
Es decir, cuantas longitudes de 2 sería necesario sumar para llegar a 10.
La respuesta es 5: el número de flechas rojas de longitud 2 que de extremo a extremo dan una longitud total de 10.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3 11 1312 14 16 1715
Resolver 10 ÷ 5 sobre la recta numérica
Es decir, cuantas longitudes de 5 serían necesarias sumar para obtener 10.
La respuesta es 2: el número de flechas verdes de longitud 5 que, de extremo a extremo, dan un total de longitud 10.
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10 2 3-17 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-13-15-16 -14 -12
-12 ÷ 3 Sobre la recta numéricaEsto puede leerse como cuantos pasos de longitud 3 debo hacer para llegar a -12.
Cada flecha roja representa un paso de longitud 3, para que podamos ver que -12 ÷ 3 = -4 (La
respuesta es negativa porque los pasos son a la izquierda.)
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-15 ÷ 3 = -5
Sabemos que -5(3) = -15, así que tiene sentido que -15 ÷ 3 = -5.
También sabemos que 3(-5) = -15. Así que, ¿Cuál es el valor de -15 ÷ -5?
El valor debe ser 3 positivo, porque3(-5) = -15
-153 = -5
Dividiendo Enteros
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El cociente de dos números enteros positivos es positivo.
El cociente de un número entero positivo y un entero negativo es negativo.
El cociente de dos números enteros negativos es positivo.
Dividiendo Enteros
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73 Encuentra el valor de 32 ÷ 4
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74 Encuentra el valor de -4812
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75 Encuentra el valor de -27-9
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76 Encuentra el valor de -255
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77 Encuentra el valor de 0-13
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Potencias de Números EnterosLa potencia es una manera rápida de escribir una multiplicación repetida, al igual que una multiplicación es una manera rápida de escribir una suma repetida.
Todas las siguientes maneras de expresión son equivalentes: 24
2∙2∙2∙2 16
En este ejemplo 2 es elevado a la cuarta potencia. Esto significa que al 2 lo multiplico por sí mismo 4 veces.
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Potencia de Número EnterosBases y Exponentes
Cuando "elevamos un número a una potencia",
El número con el cual comienza se llama base, y el número que potenciamos se llama exponente.
La expresión completa se llama potencia.
24
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Cuando un número es escrito como una potencia, esta escrito en forma exponencial. Si lo resolvemos, es decir, si multiplicamos la base y simplificamos la respuesta, el número esta escrito en la forma estándar.
EJEMPLO:
35 = 3(3)(3)(3)(3) = 243Potencia Notación Expandida Forma Estándar
Tratemos de hacer:1. Escribir 53 en la forma estándar.
2. Escribir 7(7)(7)(7)(7)(7)(7) como una potencia.
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78 ¿Cuál es la base en esta expresión? 32
Slide 165 / 239
79 ¿Cuál es el exponente en esta expresión? 32
Slide 166 / 239
80 ¿Cuál es la base en esta expresión? 73
Slide 167 / 239
81 ¿Cuál es el exponente en esta expresión? 43
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82 ¿Cuál es la base en esta expresión? 94
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CuadradosCuadrados - Al elevar un número a la potencia 2 se dice que calculamos su cuadrado.
22 es dos al cuadrado, y 4 es el cuadrado de 232 es tres al cuadrado, y 9 es el cuadrado de 342 es cuatro al cuadrado, y 16 es el cuadrado de 4
23 4
Area2 x 2 =
4 unidades2
Area =3 x 3 =
9 unidades2
Area =4 x 4 =
16 unidades2
34
2
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Esto viene del hecho de que el área de un cuadrado cuyos lados tienen longitud 3 es 3x3 o 32 = 9;
El área de un cuadrado cuyos lados tienen longitud 5 es 5x5 o 52 = 25;
¿Cuál sería el área de un cuadrado con lado de longitud 6?
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CubosCubos - Al elevar un número a la potencia 3 se dice que calculamos su cubo.
23 es dos al cubo, y 8 es el cubo de 233 es tres al cubo, y 27 es el cubo de 343 es cuatro al cubo, y 64 es el cubo de 4
Esto viene del hecho de que el volumen de un cubo cuyos lados tienen longitud 3 es 3x3x3 o 33 = 27;
El volumen de un cubo cuyos lados tienen longitud 5 es 5x5x5 o 53 = 125;
etc.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3
Vamos a hacer 22 sobre la recta numérica
11 1312 14 16 1715
22 = 2 x 2
Implica viajar una distancia de 2, dos veces. a
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3
Vamos a hacer 32 sobre la recta numérica.
11 1312 14 16 1715
32 = 3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9
Implica viajar una distancia de 3, tres veces.
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3
Hagamos 23 sobre la recta numérica.
11 1312 14 16 1715
23 = 2 x 2 x 2 23 = (2 x 2) x 2 Primero, viajamos una distancia de 2, 2 veces: 4 23 = 4 x 2 = 8 Luego, viajamos una distancia de 4, dos veces: 8
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3
Hagamos 42 sobre la recta numérica.
11 1312 14 16 1715
42 = 4 x 4 = 4+4+4+4 = 16
Viajar una distancia de 4, cuatro veces
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3
Hagamos 24 sobre la recta numérica.
11 1312 14 161715
24 = 2 x 2 x 2 x 224 = 2 x 2 x 2 x 2 Primero, una distancia de 2, dos veces: 424 = 4 x 2 = 8 x 2 Luego, viajamos una distancia de 4, dos veces: 824 = 8 x 2 = 16 Y por último, viajamos una distancia de 8, dos veces: 16
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83 Evaluar 32.
Slide 178 / 239
84 Evaluar 52.
Slide 179 / 239
85 Evaluar 82.
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86 Evaluar 53.
Slide 181 / 239
87 Evaluar 72.
Slide 182 / 239
88 Evaluar 22.
Slide 183 / 239
Todas las siguientes expresiones son equivalentes:
34
3∙3∙3∙3 81
Si ahora tomamos(-3)4
(-3)(-3)(-3)(-3)81
En este ejemplo aún así obtenemos 81. ¿Por qué?
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Si tomamos (-3)3
Esto es equivalente a(-3)(-3)(-3)
Que es igual a-27
¿Por qué es este ejemplo negativo?
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89 Evaluar (-5)2.
Slide 186 / 239
90 Resolver (-2)3.
Slide 187 / 239
91 Resolver (-4)4.
Slide 188 / 239
92 Resolver (-7)2.
Slide 189 / 239
93 Resolver (-3)5.
Slide 190 / 239
Recordemos...todas estas expresiones son equivalentes: 34
3∙3∙3∙3 81En ambos ejemplos el resultado es 81.
Si tomamos - 34
Nos da -81
Esta respuesta es negativa porque - 34 representa el opuesto de 34.
(-3)4
(-3)(-3)(-3)(-3)81
Nota: Cuando no hay paréntesis, resolvemos el exponente primero y luego aplicamos el signo negativo!!
Slide 191 / 239
94 Resolver -52.
Slide 192 / 239
95 Resolver -23.
Slide 193 / 239
96 Resolver -44.
Slide 194 / 239
97 Resolver -72.
Slide 195 / 239
98 Resolver -35.
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Reglas de la Potenciación - Multiplicación
Solo se puede multiplicar directamente números que tienen exponentes si las bases son las mismas. Si las bases son las mismas, se coloca la misma base y se suman los exponentes.
(43)(42) = 4(3+2) = 45
La explicación a esto es la siguiente: (43)(42) = (4x4x4)(4x4) = 4x4x4x4x4 = 45
Esto se cumple para cualquier base, no solo para 4, así que esta regla siempre funciona.
Slide 198 / 239
99(54)(53) = 5?
Slide 199 / 239
100(43)(42) = 4?
Slide 200 / 239
101(37)(31) = 3?
Slide 201 / 239
102(24)(2-2) = 2?
Slide 202 / 239
103(158)(153) = 15?
Slide 203 / 239
104(64)(6-8) = 6?
Slide 204 / 239
105 (43)(42)(45) = 4?
Slide 205 / 239
106 (24)(25)(27) = 2?
Slide 206 / 239
107 (64)(6?) = 610
Slide 207 / 239
108(57)(5?) = 53
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Reglas de la Potenciación - DivisiónSe pueden dividir directamente los números que tienen exponente si las bases son las mismas.
Si las bases son las mismas, se coloca la misma base y se resta al exponente del numerador el del denominador.
75 = 7x7x7x7x7 = 72
73 = 7x7x7
Esto se cumple para cualquier base, no solo para 7, esta regla funciona siempre.
75 ÷ 73 = 7(5-3) = 72
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10954 ÷ 53 = 5?
Slide 210 / 239
11074 ÷ 73 = 7?
Slide 211 / 239
11193 ÷ 96 = 9?
Slide 212 / 239
11234 ÷ 38 = 3?
Slide 213 / 239
113814 ÷ 86 = 8?
Slide 214 / 239
11484 ÷ 84 = 8?
Slide 215 / 239
115 (55)(53)÷ 52 = 5?
Slide 216 / 239
116 98 ÷ 9? = 95
Slide 217 / 239
117 66 ÷ 6? = 613
Slide 218 / 239
118 4? ÷ 48 = 43
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Reglas de la Potenciación - Exponente ceroCUALQUIER base diferente de cero al ser elevada al exponente cero es igual a uno.Considerando el siguiente patrón de potencias:
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
_ 2_ 2
_ 2
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11980 = ?
Slide 221 / 239
12040 = ?
Slide 222 / 239
121(-5)0 = ?
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122250 = ?
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Reglas de la Potenciación - Potencia de otra potencia
¿Qué sucedería si una potencia es elevada a otra potencia?
Vemos que...
(34)2 = 34(34) = [3(3)(3)(3)][3(3)(3)(3)] = 38
(a3)4 = (a3)(a3)(a3)(a3) = a(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a) = a12
¿Qué puedes notar?
Simplificando: (52)6
Movamos la caja para ver la regla ... (xm)n = xmn
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123(38)3 = 3?
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124(139)12 = 13?
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125(28)5 = 2?
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126(114)8 = 11?
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Reglas para la Potenciación - Exponentes Negativos
Considerando el siguiente patrón de potencias:23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2-1= 2-2=
2-3=
_ 2_ 2
_ 2_ 2_ 2
_ 2
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Exponentes Negativos
Considerando el patrón de potencias para cualquier número distinto de cero:
5-2 = Entonces, = 52
= 1 _ = 25
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1272-1 = ?
Dar la respuesta como una fracción
Slide 232 / 239
128
= ? 14-1
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12910-2 = ?
Slide 234 / 239
1305-1 = ?
Slide 235 / 239
131
= ? 1
3-3
Slide 236 / 239
1322-5 = ?
Slide 237 / 239
133
= ? 15-2
Slide 238 / 239
134
= ? 19-2
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