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Fundamentos de Matemticas.

PAC1-2012.

Sigifredo Quirs Molina. [1] ID: 1-1041 -918. Grupo: C.

Nombre: Sigifredo Quirs Molina.

Identificacin: 1-1041-918.

Centro Universitario: San Jos.

Ensayo virtual # 2.

Knigsberg, el ajedrez y Facebook

Hace algunos aos en mi juventud, el canal 13 (SINART), transmita un programa que nunca me perda, creo que se llamaba Conexiones by James Burke. y qu tena este programa televiso de espacial?, pues la verdad, para un pblico joven como el de hoy da posiblemente nada!, es ms lo tachara de aburrido. Sin embargo, en vida marc un pequeo hito en la visin de cmo las cosas y situaciones que a la vista parecen completamente dispares en su fondo guardan una estrecha relacin, a veces casi mgica.

He de confesar que para la historia y la lengua no soy gran conocedor deseara ser tan ingenioso como Cervantes es precisamente que este programa cautivaba mi atencin, la forma en que los hechos histricos se entrelazan y daban origen a otras situaciones o modificaban su propio entorno hasta desembocar en un elemento concreto que hoy da nos parece algo tan simple y cotidiano; por ejemplo, cmo surgi la bombilla elctrica.

Cual arista se une a su vrtice, era de admirar la forma tan astuta en la cual el presentador llevaba al espectador a travs de una situacin histricamente compleja y la reduca a un esquema muy simple de comprender; podra resumirlo as: cada hecho histrico representa un vrtice del esquema, a su vez cada hecho entrelazado o modificador de su propio entorno se le puede unir mediante una arista orientada y as terminar con un grafo ordenado.

Pero un momento!, es muy pronto para terminar aqu este relato. Hay cosas que el espectador de esta lectura se ha de preguntar en este punto Qu es un grafo? Qu son los vrtices y las aristas? Ser este otro de los temas extraos del mundo de los

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matemticos? Existe una aplicacin en la vida cotidiana ms all de la ancdota de un estudiante?

Son muchas preguntas para contestar en un par de renglones. As que al igual que mi programa de antao, intentar mediante una serie de relatos y otros cuestionamientos mantener su atencin e inters para desmaraar estas preguntas propuestas por quin escribe este documento.

Toca el turno esta semana dar una pincelada a un tema que concierne a la topologa, ese extrao mundo de la matemtica donde una taza de caf equivale a una dona toroide dicho con mayor propiedad pero no se preocupe ese extrao mundo de deformaciones lo dejar para otra ocasin. En su lugar, le propongo que iniciemos recordando el problema del recorrido del inspector y el viajero propuesto por Pascal C a Suzana y su amigo el curioso reportero (encuentro 12 de la unidad didctica). Al leerlo con atencin notar que al final se menciona a Leonhard Euler y la ciudad prusiana de Knigsberg.

Pues bien es aqu donde empieza mi historia, esta ciudad clebre por sus siete puentes que hacia el ao 1735 una a cuatro zonas dividas por el ro Preel. Un problema muy popular por aquella poca consista en preguntarse si era posible recorrer la ciudad pasando slo una vez por los puentes.

En ese ao, el matemtico de origen suizo Leonhard Euler present una manera diferente de resolver este acertijo, es de este mismo problema que se considera como el punto de partida de la topologa, aunque ya en el siglo XVII otro matemtico suizo Leibniz, haba ya aportado sus semillas tratando de enunciar propiedades geomtricas bsicas de las figuras sin recurrir a sus magnitudes.

Para Euler este problema se poda representar mediante una especie de esquema (hoy da conocido como grafo) en el cual cada una de las zonas la represent con un punto llamado vrtice o nodo, y cada puente que los una mediante un segmento o arco denominado arista; para l, el problema estara resuelto se lograba trazar el

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mismo esquema si levantar el lpiz del papel ni pasar dos veces por la misma arista. Le parece conocido este tipo de acertijo? , trate de dibujar un sobre abierto as.

Pues bien, Leonhard lleg determinar que realizar este recorrido era imposible, se percat que si en el esquema (grafo) existan ms de dos vrtices con un grado impar el problema no tena solucin, siendo el grado de un nodo la suma del nmero aristas que salan o llegaban a este.

Tan genial es su solucin que hoy da a los problemas que consisten en trazar un recorrido sin pasar por la misma arista dos veces y llegando nuevamente al nodo de partida se le conoce como camino euleriano.

Por cuanto al problema del viajero, lo plante el matemtico irlands sir William R. Hamilton a mediados del siglo XIX. A este personaje se le ocurri un juego bastante peculiar; con un dodecaedro en el cual cada esquina tena el nombre de una ciudad, su juego consista en viajar a lo largo de las lneas y visitar cada ciudad exactamente una vez y volver a la cuidad de partida. A las rutas que se completen bajo las condiciones anteriores se les llama circuito o ciclo hamiltoniano y al grafo que contiene al menos un ciclo hamiltoniano recibe el nombre de grafo hamiltoniano.

Para continuar con la travesa que iniciamos, viajemos a unos 1 981 km al sur oeste de Knisberg (ahora Kaliningrado) a Francia.

Hasta el siglo XVIII el ajedrez era un juego relegado a la nobleza y la aristocracia, sin embargo, comienza a popularizarse e irrumpe en el mundo universitario y era cada vez ms frecuente observar a los cafs organizar partidas y torneos, el ambiente por aquella poca era propicio para que los sectores intelectuales se dieran reunin en lugares famosos como el Caf de la Regence o el de las peas literarias ubicado en la calle de la vieja comedia en Pars. Imaginemos a uno de estos destacados ajedrecistas de aquel tiempo: Kermur Sire de Legal o Franois A. Danican Philidor, sentado una tarde parisina con su taza de caf frente a un tablero intentando ser uno de los mejores

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tratando de desentraar todas las prodigiosas jugadas de las piezas que componen su ajedrez.

Es as que uno de sus camaradas le propone resolver el siguiente predicamento:

En un tablero 3x3 hay tres caballos blancos y tres caballos negros. Moviendo alternadamente las piezas blancas y negras, trata de que los caballos blancos intercambien posiciones con los caballos negros

Le propongo a usted espectador que mientras termina la lectura lo intente resolver.

Unir los hechos ocurridos en Knigsberg y Francia en el siglo XVIII se puede representar mediante un grafo donde los nodos sern estos pases o ciudades y la arista algn hecho o acontecimiento en comn.

Dejemos por un momento a nuestro amigo ajedrecista y volvamos a nuestro tiempo, se imagina usted a Euler utilizando Facebook! Qu podra decirnos l sobre las redes sociales? Claro imaginar usted, que tambin las redes sociales no escapan a la matemtica, la informacin que se encuentra inmersa en estas redes tambin se pueden representar con grafos. En este caso los nodos representan personas y las aristas algn tipo de relacin social: amistad, matrimonio, ir a la escuela con, por ejemplo.

Para el marketing obtener informacin sobre los gustos e intereses de las personas es de gran importancia. As que una red social como Facebook se convierte en un motor de mercadeo boca a boca.

Este fenmeno de las redes sociales le ha dado cabida al anlisis de grafos en este mbito, pues con ellos y otras herramientas matemticas se puede medir la intensidad que tiene una persona para influenciar en sus publicaciones y el inters que tienen otros seguidores en sus enlaces, lo que la convierte en una fuente de datos de miles de millones de consultas sobre productos, servicios y otros.

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De regreso a nuestro amigo el ajedrecista francs, ya tiene la solucin y desea compartirla con sus colegas de juego, sin embargo, en el siglo XVIII, no tena la facilidad del e-mail, por lo que, la enva por carta.

Ahora el problema de los grafos se traslada a las rutas de entrega. Recuerda el juego del dodecaedro de Hamilton? Pues ahora le encontramos otra aplicacin ms a la teora de grafos. Aqu esta teora se vuelve especialmente til cuando se trata de elegir rutas en las que se minimice el recorrido tratando de hacerlo sin pasar varias veces por el mismo lugar, es en esta situacin que nuestro astuto cartero debera buscar un ciclo hamiltoniano para sus entregas del da en la ciudad.

Es impresionante como un problema clebre de una ciudad de Prusia, un ajedrecista del siglo XVIII y una red social, se terminaron relacionando para producir lo que usted mi atento lector acaba de leer; mi ensayo sobre grafos.

Quiero agradecer toda su atencin y espero que haya disfrutado tanto el leerlo, como yo el escribirlo. No me quiero despedir sin antes mostrarle la solucin que me lleg de la carta del problema con las piezas del ajedrez:

El problema se puede resolver numerando las filas de 1 a

3 y las columnas como a,b,c. As cada columna se puede

identificar mediante un grafo en donde los puntos

representan cada casilla del tablero y las aristas los saltos

que puede dar el caballo en las casillas correspondientes.

Por lo que resulta el diagrama de la derecha.

El diagrama se puede simplificar an ms si se representa con en la siguiente

figura. Ahora las soluciones se pueden obtener fcilmente. Bastar ir moviendo los

caballos en un mismo sentido alrededor del octgono, hasta que cada uno ocupe la

posicin del que le sigue: a1-c2, b3-a1, c1-b3, c3-a2, a2-c1, b1-c3, a3-b1, c2-a3.

Sigifredo Quirs Molina.

Muchas gracias.

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Referencias Bibliogrficas

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Garca Tscar, J. (28 de Diciembre de 2011). we choose the moon . Recuperado el 24 de Marzo de 2012, de we choose the moon : http://wechoosethemoon.es/2011/teoria-grafos-redes-sociales/

Gmez Ortega, J. A., & Nieto Said, J. H. (23 de Setiembre de 2011). Represntar grficamente el problema. XXIII Simposio Iberoamericano de Educacin Matemtica . San Rafael, Heredia, Costa Rica.

Johonsonbaugh, R. (2005). Matemticas Discretas (Sexta edicin ed.). (M. A. Gonzlez Osuna, Trad.) Mxico: Pearson Educacin.

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