El ensayo CBR en detalle

1.- Introducción¿Que es un ensayo CBR? Intentaré explicarlo sin meterme en detalles y con un lenguaje que todos entiendan.

El ensayo CBR sirve para medir la resistencia de un terreno de cara a utilizarlo en una carretera, es decir, si ponemos ese terreno debajo del asfalto, y lo apisonamos bien, queremos saber si tras pasar muchos camiones terminarán saliéndole baches a la carretera o no.

El procedimiento comienza por medir que significa "lo apisonamos bien", y eso se hace con el ensayo PROCTOR, que consiste en medir la densidad del material tras humedecerlo y aplastarlo: se humedece con 3 o 4 cantidades diferentes de agua, se compacta, y se mide su densidad. Ahora se dibuja una gráfica humedad-densidad uniendo los puntos obtenidos y se busca "visualmente" el máximo de la curva. Ese máximo corresponde a una cierta humedad (la óptima) y corresponde a un cierta densidad (la máxima).

Ahora se trata de saber, para ese densidad "máxima" (o un 98% de ella si no somos muy optimistas respecto de cuanto conseguiremos compactar -apisonar- el terreno en la práctica), cuanto aguantará el terreno.

Para ello se toman tres cilindros rellenos de este material, y se compactan con un martillo especial, dándoles martillazos, pero a unos moldes más y otros menos, de forma que el que más se compacte consiga, aproximadamente la densidad máxima proctor.

Ahora se "mide" el indice CBR de cada uno: Se va poniendo carga sobre el cilindro hasta que comprimimos el terreno 0.25 mm (0.1" en la norma ASTM), y comparamos la carga obtenida con la que aguantaría un terreno "ideal", que se fijó en su día en 1000 PSI (libras por pulgadas) usando un "terreno ideal" para carreteras de la zona de California (de aquí lo de C.B.R. o "California Bearing Ratio", algo así como "porcentaje de aguante Californiano").

Esto nos da un porcentaje: si nuestro terreno compactado con X golpes nos aguanta 600 PSI (hemos necesitado aplicarle esa presión para que se hundiese 0.25 mm) y el terreno ideal aguanta 1000 PSI, nuestra muestra de terreno tiene un índice CBR del 60%.

Finalmente, tomamos los 3 índices CBR obtenidos para los diferentes moldes (con diferentes compactaciones), medimos sus densidades, y trazamos una gráfica densidad-índice CBR. Como sabemos por el PROCTOR cual es la densidad que realmente alcanzaremos en obra, solo resta mirar, para esa "densidad objetivo" qué indice CBR nos da la gráfica.

Ese es el indice CBR que tendrá nuestro material una vez colocado en la carretera, humedecido con la humedad óptima, y compactado (apisonado) correctamente.

Finalmente, en obra solo nos quedaría tener cuidado con una cosa: Tras humedecer y apisonar una parte de terreno y antes de asfaltar, debemos medir la humedad y densidad real para asegurarnos de que hemos alcanzado el punto óptimo "PROCTOR" o necesitamos añadir más agua y volver a apisonar. Este es el ensayo de "densidad in-situ" que suele hacerse por métodos radioactivos para agilizar.

2.- Variaciones según la norma del CBR

El ensayo CBR incluido en HCLab permite aplicar varias normativas (ASTM, UNE, NLT y las normas Mexicana, Chilena, Colombiana y Peruana). Aunque los cálculos que se realizan son básicamente los mismos (la norma ASTM es la base de todas las demás normas), existen pequeñas diferencias que pasamos a comentar.

Las normas actualmente disponibles para el ensayo CBR son estas:

NLT 111/87 (Norma Española antigua).

UNE 103.502:1995 (Norma Europea actual).

ASTM D1883-07 (Norma U.S.A. "original").

M-MMP-1-11-08 (Norma Mexicana).

INV E-148-07 (Norma Colombiana).

NCh1852.Of81 (Norma Chilena, para una sola probeta).

MTC E 132 - 2000N (Norma Peruana, para una sola probeta).

Veamos las pequeñas diferencias entre ellas punto por punto.

2.1) Número de golpes por capa:

Es una guía de cuantos golpes por capa (los moldes se van rellenando en 2 o más capas, según nos indique la norma para cada tipo de uso previsto) habría que darle a un molde, con una maza estandarizada y desde una altura fija, para conseguir una "energia de compactación" equivalente a la utilizada en el ensayo proctor con el que obtubimos la densidad máxima, es decir, si le damos 60 golpes "estandar" el molde debería conseguir, aproximadamente, la densidad máxima indicada en el proctor.

UNE y NLT: 60 golpes.

ASTM, Mexico, Colombia, Perú y Chile: 56 golpes.

Nota: Chile no indica golpes pero te remite a normas específicas de compactación (NCh1534/1 y 2) donde, para el molde en cuestión, indica 56 golpes por capa.

En la norma ASTM y, en general, en todas las normas americanas, el número de golpes no es totalmente fijo y se permite usar más o menos golpes si vemos que no conseguimos alcanzar la densidad máxima proctor, que al fin y al cabo es el objetivo final de darle todos estos golpes (en los cálculos siguientes solo se necesita saber la densidad alcanzada, no cuantos golpes le tuvimos que dar).

2.2) Lecturas de Cargas:

Una vez tenemos los 3 moldes correctamente "golpeados", hemos de presionarlos hasta que cedan 0.25 mm (0.1") y luego seguir hasta que cedan 0.5 mm (0.2"), ya que necesitamos las cargas aplicadas en ambos casos (ya dije que la introducción era algo "simplificada").

Respecto de qué unidades se han de usar para anotar estas cargas, cada norma usa las que ve bien, algunas usan cargas y otras presiones, y la mayoría mezcla 2 o 3 posibles unidades. La verdad es que ninguna hace mención sobre que solo valga usar unas unidades, al final se van a convertir a un % por lo que ninguna norma se preocupa mucho.

Pero por tener una guía, estas son las unidades en que se tratan estos temas:

NLT: Usa kN o kp para las lecturas (unidades de fuerza) pero luego usan PSI, MPa o kp/cm2 (unidades de presión) para la comparación con los valores ideales.

UNE: Se usa N, kN o kp para todo (no convierte las cargas a presiones nunca).

ASTM: No indican unidades para las lecturas (usan "loads", cargas), y usan PSI o MPa para las presiones ideales.

Mexico: usa kN para todo (no convierten las cargas a presiones nunca).

Colombia: Solo hablan de kPa y PSI (es extraño ver los kPa, se suelen usar MPa).

Chile: No indica unidades de las lecturas, pero pide pasarlas a presiones en MPa.

Perú: Hablán de kg e incluyen la conversión a libras.

Nota: El ensayo CBR de HCLab pregunta siempre cargas en kp, pero se puede eligir una "constante de anillo" adecuada, de forma que si usamos una constante de 0.102 podemos introducir las cargas en kN.

2.3) Convertir cargas en presiones:

Solo tenemos que dividir la carga por el diámetro del pistón usado para aplicar la carga, que aunque en la práctica son los mismos, según las normas su diámetro varia ligeramente (en teoría, la superficie del pistón ha de ser de 3 pulgadas cuadradas):

ASTM, Mexico, Colombia, Perú: 49.63 mm.

UNE y NLT: 49.60 mm.

Chile: 49.5 mm. (indica que se utilice un área de 19.35 cm2, lo que corresponde a 49.635 mm)

2.4) Penetraciones "objetivo":

Ya tenemos unas cargas aplicadas con un pistón de un cierto diámetro, es decir, presiones, pero necesitamos anotar la presión que corresponde con unas ciertas deformaciones (o penetraciones) del molde especiales.

ASTM, Mexico, Colombia, Perú y Chile: Usan 0.1" (2.54 mm) y 0.2" (5.08 mm).

UNE y NLT: Usan valores redondeados de 2.5 y 5 mm.

Nota 1: En la introducción solo hablé de 2.5 mm. por simplificar la explicación.

Nota 2: Esta pequeña diferencia hace que el valor "ideal" sea ligeramente distinto aunque se mida a partir del mismo suelo.

2.5) Presiones ideales:

Ya tenemos dos cargas (o presiones) por cada molde, correspondientes a las penetraciones "objetivo": ahora podemos comparar nuestros moldes con el "caso ideal", ya que este "caso ideal" viene dado por las dos cargas -o presiones- necesarias para alcanzar las dos penetraciones "objetivo" en un molde con ese material "ideal".

En cada norma nos dan el caso ideal usando parejas de cargas y/o presiones, una para 2.5 mm (0.1") y la otra para 5 mm (0.2").

NLT 2.5 mm: 1000 PSI, 6.90 Mpa. ó 70.31 kp/cm2.

NLT 5.0 mm: 1500 PSI, 10.35 Mpa ó 105.46 kp/cm2.

UNE 2.5 mm: 13.2 kN ó 1346.9 kp.

UNE 5.0 mm: 20 kN ó 2040.8 kp (1 kN = 1000/9.8 kp = 102 kp).

ASTM 0.1": 1000 PSI ó 6.90 MPa.

ASTM 0.2": 1500 PSI ó 10.30 Mpa.

México 0.1": 13.34 kN.

México 0.2": 20.01 kN. (iguales que ASTM si se usa g=10).

Colombia 0.1": 1000 PSI ó 6.90 MPa.

Colombia 0.2": 1500 PSI ó 10.35 Mpa (aparece tambien como 10.3 en otro punto).

Chile 0.1": 6.90 MPa ó aprox. 70 kp/cm2.

Chile 0.2": 10.30 Mpa ó aprox. 105 kp/cm2.

Perú 0.1": 6.90 MN/m2 (ó MPa) ó 70.31 kgf/cm2 ó 1000 lb/pulgada2 (PSI).

Perú 0.2": 10.35 MN/m2 (ó MPa) ó 105.46 kgf/cm2 ó 1500 lb/pulgada2 (PSI).

Nota: La UNE utiliza un valor de g = 9.8 m/s2 en sus conversión kN a kp, mientras que la norma Mexicana parece traducir los valores de la ASTM a kN usando g = 10 m/s2.

2.6) Índice CBR de cada molde:

De las dos penetraciones "objetivo" hemos obtenido dos cargas por molde, pero necesitamos un único índice CBR para el molde. En teoría habría que convertir cargas a presiones, compararlas con la dos presiones ideales, obteniendo dos porcentajes, y finalmente quedarnos con uno de ellos. En la páctica esto se resume en multiplicar las dos cargas por dos coeficientes que nos den directamente esos porcentajes, más un criterio para elegir uno de los dos porcentajes que hemos obtenido.

Nota: Los coeficientes por los que multiplicar las cargas salen de comparar con los valores ideales del punto 2.5) aunque hay que convertirlos antes a kp. En las normas similares a la ASTM (México, Colombia y Chile) he utilizado g = 10 m/s2 tal como veo que ellos usan, y de esta forma los coeficientes salen iguales a los de la norma ASTM. Más abajo se incluyen ejemplos de estos cálculos.

UNE : Max(CBR2.50 * 0.0742, CBR5.00 * 0.049)

NLT : Max(CBR2.54 * 0.0735, CBR5.08 * 0.049)

ASTM : Max(CBR2.54 * 0.0749, CBR5.08 * 0.050)

Mexico: Min(CBR2.54 * 0.0749, CBR5.08 * 0.050)

Colombia: Max(CBR2.54 * 0.0749, CBR5.08 * 0.050)

Chile: Max(CBR2.54 * 0.0749, CBR5.08 * 0.050)

Perú: Max(CBR2.54 * 0.0749, CBR5.08 * 0.050)

Notas:

La norma UNE nos da ya los coeficiente a utilizar precalculados.

La norma NLT usa coeficientes distintos a todas las otras normas porque el radio de la placa es 0.3 mm inferior a la ASTM y las penetraciones objetivo son diferentes a las de la UNE, aparte no indica si se debe usar g=10 o 9.8 por lo que utilicé el valor "correcto" de 9.8, mientras que ASTM parece preferir g = 10.

México da las cargas ideales en kN, para convertirlas he usado g = 10 m/s2 de forma que los coeficientes coincidan con los de la ASTM.

Solo la normativa Mexicana utiliza el menor de los dos valores.

La norma ASTM y la peruana "MTC E 132" comentan que, si el mayor índice es el correspondiente a 0.2" no nos lo creamos a la primera y repitamos el molde antes de dar por bueno el valor para 0.2", pero al final hemos de tomar el mayor de los dos.

Ejemplo de conversión a kp para la norma ASTM:

Presión máxima a 2.54 mm. Según ASTM es 6.9 MPa = 6.9 N/mm2.

Como diámetro es 49.63 mm, obtenemos superficie 1934.54 mm2.

Presión máxima * superficie = carga máxima = 13348.35 N.

Si g = 9.8 carga máxima = 13348.35/9.8 = 1362.076 kp.

Si g = 9.8 coeficiente = 100/1362.076 = 0.0734

Si g = 10 carga máxima = 13348.35/10 = 1334.835 kp.

Si g = 10 coeficiente = 100/1334.835 = 0.0749

Ejemplo de conversión a kp para la norma Mexicana:

Carga máxima 13.34 kN (similar al coef. ASTM para g=10).

13340/10 = 1334.000 kp (1334.835 en ASTM).

100/1334 = 0.0749 (con más precisión 0.07496251874).

Nota: En la norma Mexicana hubiese sido algo más exacto usar un coeficiente redondeado a 0.0750, pero no merecía la pena sobre todo sabiendo que se basa en la ASTM y que la diferencia se debe a redondeos en la conversión entre unidades.

2.7) Gráfica densidades / índices CBR:

Una vez se tienen los 3 moldes, disponemos de sus 3 densidades y sus tres ínidices CBR, y tenemos que representarlos en una gráfica, que se utiliza para determinar el ínidice CBR que correspondería con la densidad "objetivo" (densidad proctor * compactación objectivo).

Pues resulta que algunas normas piden explicitamente situar las densidades en el eje X de esta gráfica (ASTM, Colombia y Mexico), mientras la UNE piede hacerlo en el eje Y.

La NLT no lo menciona, así que por "proximidad" a la UNE se usa el eje Y para las densidades, mientras que la norma Chilena tampoco lo menciona, y por proximidad a la ASTM se utiliza el eje X.

Nota: En el resto de gráficas (densidad/humedad, densidad/absorción y densidad/hinchamiento) la densidad ocupa el mismo eje que en la gráfica anterior de densidad/CBR.

2.8) Tipo de CBR "por edades":

Existe una variante del CBR algo especial donde, a diferencia de los casos "normales" comentados, no se hacen tres moldes con diferentes densidades, sino que se hacen tres moldes para ser ensayados a tres edades distintas, y no se busca el ínidice CBR para una cierta "densidad objetivo", sino para una cierta "edad objetivo" de 7 días.

La idea es que se ensaya un suelo con un cierto añadido de Cal, y esta mezcla, una vez humedecida, tarda un tiempo en "fraguar", con lo que se necesita ensayar el suelo a los 7 días de ser mezclado.

Este sistema aparece comentado, al menos, el el PG-3 español, pero desconozco si existe norma alguna al respecto (el PG-3 es un "pliego de condiciones" español para carreteras, no una normativa).

En estos casos (admitidos por el ensayo CBR de HCLab mediante un tercer tipo de proctor: "Normal", "Modificado" y "Por edades") lo que se pretende es ensayar a 1, 3 y 7 días de edad para tener una "curva de fraguado" y con ella poder, posteriormente, estimar el índice CBR que se obtendrá a 7 días conociendo solo el de 1 y 3 días (es similar a romper probetas de hormigón a 7 y 28 días para obtener un "coeficiente de recuperación" que nos prediga la resistencia a 28 a partir de la de 7).

Otra posibilidad es ensayar a más de 7 días para saber si la mezcla sigue mejorando con el tiempo o se estanca en el índice CBR obtenido a 7 días.

En cualquier caso, todo lo comentado aquí serviría para el CBR por edades con solo cambiar "densidades" por "días" al calcular el índice CBR final y utilizar como "densidad objetivo" el 7.

3.- Cálculos realizados en el CBR

Aparte de las pequeñas diferencias comentadas entre normas, el procedimiento es siempre el mismo, así que vamos a detallar, paso a paso, como se harían los cálculos internos de un ensayo CBR, con especial énfasis en los "puntos grises" de la norma y como automatizar su resolución. Para el ejemplo aplicaremos los coeficientes de la norma UNE.

3.1) Cálculo de densidades, humedades y absorciones:

Es lo primero a calcular para cada uno de los tres moldes, y lo más importante de cara al índice CBR final será la densidad de cada molde.

3.1.1) Empezamos con la Humedad antes de la inmersión:

Agua_antes = Tara+Suelo+Agua - Tara+SueloSuelo_antes = Tara+Suelo - TaraHumedad_antes = 100 * Agua_antes/Suelo_antes

3.1.2) Calculamos la densidad seca (antes de la inmersión):

Suelo+Agua = Molde+Suelo+Agua - MoldeSuelo_Despues = 100 * Suelo+Agua / (100 + Humedad_antes)Agua = Suelo+Agua - Suelo_DespuesDensidad_Seca = Suelo_Despues / Volumen_molde

3.1.3) Calculamos la energía de compactación:

Se calcula como un porcentaje sabiendo que 60 golpes corresponden al 100% de la energía de compactación (o 56 golpes según la norma utilizada).

Compactación = Numero_Golpes / 60 * 100 (redondeado al entero más próximo).

3.1.4) Volvemos con la humedad despues de la inmersión:

Nota 1: Tara+Suelo después de la inmersión es un cálculo solo si se puso el 100% del suelo en la estufa. Si solo se seca en estufa una porción, entonces será un dato que el operario debe introducir. Aquí suponemos que se introduce el 100% en la estufa, por lo que se puede calcular. Ademas, la tara después de la inmersión coincide con el peso del molde.

Nota 2: Se obtiene sacando el suelo del molde tras la inmersión, y usando los 25 mm. de la parte superior. La normativa Chilena comenta que se puede medir también la humedad promedio de toda la probeta de forma opcional (el ensayo utilizado en HCLab no contempla una segunda humedad tras la inmersión, aunque se puede incluir como anotación en el ensayo).

Tara+Suelo_Despues = Molde + Suelo_DespuesAgua_Despues = Tara+Suelo+Agua_Despues - Tara+Suelo_DespuesSuelo_Despues = Tara+Suelo_Despues - Tara_DespuesHumedad_Despues = 100 * Agua_Despues / Suelo_Despues

Nota: Las normativas ASTM, Mexicana y Chilena piden incluir en los resultados la "humedad tras inmersión", que es igual a la Humedad_Antes + Agua_Absorbida, por lo que algunas normas piden el "agua absorbida" y otras la "densidad tras inmersión".

3.1.5) Lo siguiente es calcular el agua absorbida:

Agua_Absorbida = Humedad_Despues - Humedad_Antes

3.2) Hinchamientos individuales:

El hinchamiento se mide dejando a remojo el molde totalmente relleno de material, y midiendo tras 96 horas cuanto ha aumentado en altura.

Este incremento en altura se compara con la altura inicial para obtener un % de hinchamiento. Esta altura inicial corresponde con la altura del molde (177.8 mm) menos la altura del collar de expansión (50.8 mm), es decir, 127 mm de altura inicial.

Nota: Se pueden llegar a medir hinchamientos negativos.

Hinchamiento = (Lectura_Final - Lectura_Inicial ) * 100 / 127

3.3) Gráfica de penetraciones y cargas empleadas:

3.3.1) Cargas aplicadas:

Las penetraciones en milímetros están fijadas por las distintas normas. Las cargas introducidas se suponen en kp y se multiplican, si existe, por una constante de anillo (podemos usar una constante de 0.102 si preferimos introducir kN, por ejemplo).

Fuerza_Real = Fuerza * Constante_Anillo

3.3.2) Calculo de los desplazamientos del origen "según norma":

Este es el punto más conflictivo de todas las normas (todas copian de la ASTM): matemáticamente hablando es un disparate lo que se propone, pero usando la intuición se entiende cual es el propósito: Si las primeras cargas solo sirvieron para "asentar" las piedrecitas de la parte superior del molde, esas medidas serán "falsas" y las penetraciones que medimos a continuación todas "arrastrarán" este error.

A nivel de ensayo se propone dejar una carga inicial suave durante un rato para que la superficie se asiente y podamos comenzar el ensayo sin falsas mediciones, pero al final, estas medidas falsas afloran, y si miramos la gráfica "carga-penetración" se suele ver que la curva no siempre "va a morir" al origen de la gráfica, así que al final, tenemos que calcular ese "desplazamiento del origen" y restarlo en todas las medidas de penetraciones posteriores si queremos un resultado fiable.

Todas las normas existentes proponen hacerlo detectando "el punto de inflexión" de la gráfica y usarlo para calcular el corte de la gráfica con el origen (a imagen de la norma ASTM), pero en la practica no es posible usar ese método de forma automatizada, ya que se basa en la intuición del técnico en varios aspectos.

Por un lado, lo normal es tener varios puntos de inflexión, pero la norma solo contempla la existencia de uno, por lo que el técnico debe elegir uno intuitivamente. Por otro lado, y aunque solo existiera un punto de inflexión, este puede no ser apropiado para usar su tangente tal como describe la norma para calcular el desplazamiento del origen. En general, solo en casos idealizados este método puede ser aplicado.

Se incluye a continuación un ejemplo gráfico de aplicación de la norma al pie de la letra a un molde de un CBR real que da lugar a un cálculo totalmente erróneo del desplazamiento.

Por un lado, se ven varios puntos de inflexión (marcados con un círculo amarillo), y en cada uno de ellos se ha trazado la tangente (en azul) para comprobar si corta donde intuitivamente esta el origen de la gráfica.

Si elegimos el más favorable para la aplicación del método de la tangente (en este ejemplo parece ser el segundo de los puntos) y trazamos la tangente, vemos claramente (línea roja) que no corta al eje donde

intuitivamente debería, por lo que da lugar a un desplazamiento de la gráfica del orden de 0.5 mm, cuando a simple vista debería de ser del orden de 0.25 mm.

Como puede apreciarse en el gráfico, no solo el resultado obtenido usando el segundo punto es erróneo, lo peor es que si eligiésemos automáticamente el punto de inflexión más próximo al origen (el primero de ellos), obtendríamos un desplazamiento negativo, que desplazaría a la gráfica a la derecha en lugar de a la izquierda, dando lugar a índices CBR del orden de la mitad del correcto, o incluso, como se observa en el tercero de los puntos, no podríamos obtener un índice CBR tras desplazar la gráfica ya que esta quedaría desplazada más alla de los 2.5 mm e incluso de los 5 mm.

3.3.3) Cálculo de desplazamientos del origen "mejorado":

El método utilizado por HCLab está diseñado para dar unos resultados similares al "método intuitivo" indicado en la norma, pero sin ser tan sensible a pequeñas variaciones en puntos individuales. De esta forma, el método puede ser aplicado automáticamente sin peligro de caer en un caso como el comentado arriba.

El método consiste en calcular la parábola que mejor se ajusta por mínimos cuadrados a los puntos obtenidos, y luego obtener el punto de corte de dicha parábola con el eje Y=0 más cercano a X=0 (siempre existe un segundo punto de corte "lejano").

A continuación mostramos el mismo caso del punto anterior pero esta vez usando "el método de la parábola".

Como se vé, este método nos da el desplazamiento correcto, del orden de 0.25 mm, y el hecho de que algunos puntos aislados no sigan la curva teórica no distorsiona en absoluto el desplazamiento obtenido, como ocurre en el método de la tangente.

Nota: Física y matemáticamente, sería más adecuado hacer un ajuste logarítmico en lugar de usar parábolas, ya que el asentamiento claramente es un proceso localmente logarítmico (cuanto más se asienta, más dificil es aumentar dicho asientamiento). La realidad es que la diferencia entre utilizar un tipo u otro de función es del orden de la milésima de milímetro, por lo que en la práctica son métodos equivalentes.

3.3.4) Estabilidad del método de cálculo de los desplazamientos:

Para ilustrar esta estabilidad del método frente a pequeñas variaciones en las lecturas individuales, mostramos el caso anterior con dos de los puntos ligeramente modificados, de forma que la gráfica sea menos abrupta y más similar a un caso ideal.

Como se puede ver, un ligero cambio en los datos nos lleva a unos cálculo de desplazamiento totalmente diferente al caso original, de nuevo con tangentes imposibles que cortan al eje X en valores negativos. Es decir, el método original es muy inestable frente a perturbaciones (mala cosa para un método matemático cualquiera).

Ahora vemos este mismo caso modificado con el método de la parábola.

Como se observa, el resultado obtenido vuelve a ser de 0.25 mm sin importar esos mínimos cambios introducidos. Si se prueba haciendo pequeños cambios en algunos puntos, siempre se obtiene un desplazamiento casi idéntico: el método es muy estable frente a perturbaciones en los datos.

3.4) Indices CBR individuales:

Una vez se han obtenido los desplazamientos necesarios para aplicarlos a la gráfica, se calculan dos índices CBR por cada molde, uno con el valor de carga correspondiente a 2.5 mm de penetración (0.1" en las normas americanas) y un segundo en 0.5 mm (0.2" en normas americanas), quedandonos con el mayor de los dos (el menor en la norma Mexicana).

Nota: Es equivalente desplazar la gráfica -0.25 mm (a la izquierda) que sumar 0.25 a la X en la que queremos calcular la altura de la gráfica, es

decir, usaremos X = 2.5+0.25 sobre la gráfica original en lugar de usar X = 2.5 sobre la gráfica desplazada, ya que el resultado es el mismo.

Para el primero de los dos candidatos a índice CBR se toma X = 2.5 mm + desplazamiento, es decir, 2.75 mm en el ejemplo comentado, y se busca el valor de Y (altura) en la gráfica para esta X, obteniéndose un valor en kp.

X = 2.5 mm + Desplazamiento = 2.75 mm.kp = Altura de la gráfica en X = 2.75 mm.CBR2.5 = kp * 0,0742

Nota: El coeficiente 0,0742 varia ligeramente entre normas como se vio anteriormente.

El segundo índice CBR se calcula de forma similar pero para 5 mm (0.2") y con otro coeficiente:

X = 5.0 mm + Desplazamiento = 5.25 mm.kp = Altura de la parábola en X = 5.25 mm.CBR5.0 = kp * 0,049

Finalmente, se toma el mayor de los dos índices obtenidos como índice CBR del molde.

CBR = Max(CBR2.5, CBR5.0)

Nota: La normativa Mexicana, por otro lado igual a la ASTM, indica que se ha de elegir el MENOR de los dos valores, mientras que la ASTM indica que si el segundo fuese mayor, se repetiría el molde por si fuese un error, y luego se toma el mayor de los dos.

3.5) Indice CBR final:

Llegados a este punto, tenemos tres moldes con tres índices CBR, pero solo existe un suelo y por tanto solo necesitamos un ínidice CBR "final" que mezcle los tres obtenidos de forma correcta.

3.5.1) La densidad "objetivo":

Es la densidad prevista en la obra real y para la cual se quiere obtener el índice CBR, se calcula en función de la densidad óptima proctor y el porcentaje de compactación previsto, que suele ser del 95, 98 o 100% según lo "optimista" que sea el ingeniero.

Dens_CBR = Dens_Proctor * Compactacion_prevista / 100

3.5.2) El índice CBR correspondiente a la densidad objetivo:

Una vez obtenidos los tres índices CBR y sabiendo las densidades secas de cada uno de los moldes, se ha de calcular el índice CBR que correspondería a la densidad prevista que llamamos Dens_CBR.

Este cálculo se realiza mediante interpolación por splines cúbicos, tomando los puntos (Densidad_Seca, Indice_CBR) correspondientes a los tres moldes, y hallando a continuación el valor de Y para una X = Dens_CBR, que sería el valor final del índice CBR para la compactación elegida.

Nota: Este mismo sistema de interpolación es utilizado para calcular el hinchamiento, la humedad y la absorción final, tomando como puntos los formados por (Densidad_Seca, Hinchamiento) , (Densidad_Seca, Humedad) y (Densidad_Seca, Absorción) respectivamente, tal como se ve en las tres gráficas pequeñas.

Nota: Suele darse el índice CBR para diferentes % de compactación, de forma que si se nos pide alcanzar un cierto índice CBR en obra, podamos elegir la mejor compactación a posteriori: igual pensábamos llegar el 98% pero con el 95% vemos que se obtiene un CBR suficientemente alto y nos ahorramos un par de días compactando el suelo.

3.6) Los splines cúbicos utilizados al interpolar:

Las curvas utilizadas para interpolar un conjunto de n puntos (P1, P2, ... Pn), donde cada punto Pi = (Pix, Piy) con Piy = índice CBR del molde i-esimo y Pix = su densidad seca en nuestro caso, se conocen como "Splines cúbicos de Hermite" y, en especial, la variante por "diferencias finitas" (http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_Hermite_spline).

El nombre es largo e impone: "Spline cúbico de Hermite por diferencias finitas", pero realmente es el sistema matemáticamente más simple para unir los puntos "sin que se note", y lo de "sin que se note" se resumen en los puntos A, B y C de más abajo.

Estas curvas se calculan como la unión de n-1 tramos de curva, donde cada tramo une dos puntos consecutivos de la lista.

Cada uno de estos n-1 tramos de curva se define en forma paramétrica como Fi(t) = (Fix(t), Fiy(t)), con t entre 0 y 1, donde ambas componentes son polinomios de tercer grado y han de cumplir estas propiedades (definición de spline de Hermite):

A) Cada tramo de curva Fi(t) une Pi con Pi+1, es decir:

Fi(0) = Pi

Fi(1) = Pi+1

B) Las derivadas coinciden en los puntos de unión, es decir:

Fi'(1) = F'i+1(0)

C) Las derivadas segundas son nulas en los puntos de unión, es decir:

Fi''(0) = Fi''(1) = 0

Nota: En el punto B no se concreta cuanto ha de ser la derivada en cada punto de unión, por eso se utiliza la variante por "diferencias finitas" comentada, que para entendernos nos indica qué esta derivada (es un

vector) ha de ser la mitad de la línea que une el punto anterior con el posterior (ver ejemplo más adelante).

Por tanto, para el cálculo de cada tramo se necesitarán los puntos anterior y posterior, es decir, necesitamos en total cuatro puntos por tramo: Pi-1, Pi, Pi+1 y Pi+2.

Es necesario pues duplicar los puntos iniciales y finales de forma que se añada a la lista de puntos un P0 y un Pn+1, para poder calcular los tramos primero y último. Esta duplicación -que es un mero artifício matemático- se consigue definiendo P0=P1 y Pn+1=Pn, es decir, duplicamos el primer y último punto, obteniendo así la lista de puntos (P0, P1, ... Pn, Pn+1).

Nota: Normalmente -en la propia wikipedia- se usa otro artifício matemático en lugar de duplicar los puntos inicial y final, que es usar una fórmula distinta en estos dos casos. Personalmente me parece mucho más sencillo duplicar puntos que jugar con las fórmulas (pero es lo mismo).

Una vez definidos los términos, pasamos a desglosar el cálculo de estas funciones Fi(t) = (Fix(t), Fiy(t)) con la ayuda de este esquema.

3.6.1) Las derivadas V1 y V2:

Primero calculamos los vectores V1 y V2 que unen el punto anterior y posterior en cada uno de los dos puntos a unir (Pi y Pi+1) y dividimos las longitudes a la mitad. Obtenemos así dos vectores V1 y V2, que serán usados como las derivadas en los puntos inicial y final del tramo.

Si realizamos los cálculos coordenada a coordenada, obtendríamos estas formulas:

V1x = 0.5*(Pi+1x - Pi-1x)V1y = 0.5*(Pi+1y - Pi-1y)V2x = 0.5*(Pi+2x - Pix)V2y = 0.5*(Pi+2y - Piy)

3.6.2) Funciones auxiliares:

Para simplificar la formula final de Fi(t), se definen cuatro funciones polinómicas cubicas auxiliares:

C1(t) = 2*t3-3*t2+1C2(t) = t3-2*t2+tC3(t) = -2*t3+3*t2

C4(t) = t3-t2

3.6.3) Finalmente, las formulas de Fx(t) y Fy(t) serían:

Fx(t) = C1(t)*Pix + C2(t)*V1x + C3(t)*Pi+1x + C4(t)*V2xFy(t) = C1(t)*Piy + C2(t)*V1y + C3(t)*Pi+1y + C4(t)*V2y

Nota 1: Al ser estas funciones una combinación lineal de polinomios de grado tres, serán ellas mismas también polinomios de grado tres "a tramos", de aquí el nombre de cubicas, porque tanto la coordenada X como la Y ambas son polinomios cúbicos.

Nota 2: Las ecuaciones del punto 3.6.2 son consecuencia directa de las propiedades que exigimos a la curva, pero su deducción no entra en los objetivos de este artículo.

4.- Incertidumbre y margen de error

Según las normativas genéricas, como la UNE-EN ISO IEC 17.025=2005, se debe incluir en las actas de resultados una estimación del margen de error -la incertidumbre- del resultado, siempre que esto sea posible. Por ir al grano: en este ensayo eso no es posible.

La propia ASTM dice al respecto dos cosas: la dispersión de los resultados ante repeticiones no se ha determinado por dificil y costosa, aunque comenta que unos test particulares lo sitúan en el orden del 9.2 y el 6.9% según el método de compactación utilizado. Estos test fueron sobre siete repeticiones, por lo que son solo estimaciones.

Pero el problema real viene con el error inherente al método de cálculo, no a imprecisiones de ciertas medidas: no se puede obtener una cota máxima del error que se produce al seguir este método. La norma ASTM dice al respecto "There is no accepted reference value for this test method, therefore, bias cannot be determined".

La explicación es sencilla: Toda norma que en algún punto pida que "unamos los puntos obtenidos con una curva más o menos suave" y la

usemos como parte del proceso de obtención del resultado, como ocurre también con en PROCTOR, llevan asociado un error en ese paso que es teórica y prácticamente ilimitado.

Dependiendo de como se interprete el párrafo, de si usamos interpolación o lo hacemos a mano, según que tipo de curva usemos al interpolar, o según el pulso y la gracia que se tenga si se unen a mano, obtendremos una curva u otra, y por tanto un resultado diferente. Se pueden encontrar casos donde esta elección produce resultados tan dispares que el error que se produce al elegir una y no otra es tan grande como queramos, por lo que no hay un "error máximo" que podamos utilizar.

Si tiene dudas a este respecto, revise las conclusiones del punto 3.3.2 y siguiente, aquí comprobábamos con un caso real como la forma de "unir los puntos con una curva suave" puede suponer obtener un CBR del valor que más nos interese.

En el caso del CBR, comparado con otros donde la curva se utiliza para encontrar un valor máximo (el proctor por ejemplo), es aún más problemático, ya que se dan como ciertas dos premisas falsas: que la curva que obtengamos tendrá un solo punto de inflexión, y que la tangente a ese punto de inflexión apuntará directamente al verdadero origen de coordenadas de la gráfica. Ambas suposiciones son falsas y producen resultados disparatados.