TEMA:

CAPITULO 3

ENERGIA

ESPECIFICA

Y

REGIMEN

CRITICO

1. OBJETIVOS

Comprobar la teoría relacionada con el concepto de energía específica, analizando el flujo sobre un

escalón o resalto en el fondo de un canal rectangular.

Calcular y verificar la presentación del régimen crítico del flujo en la cresta del escalón, con sus

correspondientes profundidad crítica yc, y energía específica mínima, Emín.

Visualizar y dibujar el perfil hidráulico del flujo a través del escalón.

Dibujar y comparar las curvas de E vs. y, teórica y experimental, correspondientes a un caudal dado,

Q.

Dibujar la Línea de Energía Total, H, correspondiente a un caudal determinado, Q.

2. APLICACIÓN

En el diseño de conductos abiertos como son los canales es importante definir la energía específica

que presenta el flujo en una determinada sección, ya que esto nos permite definir la capacidad para

desarrollar un trabajo, así mismo la determinación del tirante critico tiene una aplicación directa en

la definición del tipo del régimen que presenta un determinado escurrimiento, ya que si el tirante

con que fluye un determinado caudal es menor que el tirante crítico, se sabe que el escurrimiento es

en régimen supercrítico (rápido) y si es mayor que el crítico entonces el escurrimiento es en régimen

suscritico (lento).

3. FUNDAMENTOS TEORICOS

ENERGIA TOTAL:

La energía total en una sección cualquiera de un flujo se expresa por medio de la suma de las

energías de posición y cinética, es decir:

Energia total=Energia posicion+Energiade presion+Energiade velocidad

3.1. ENERGIA ESPECIFICA (E)

La energía específica, E, en la sección de un canal, se define como la energía que posee el

flujo, por unidad de peso del agua que fluye a través de la sección, medida con respecto al

fondo del canal, entonces la ecuación de Bernoulli para una sección de canal se expresa así:

E=z+ y+α v2

2g

Donde Z = 0 (ya que el nivel de referencia es el fondo del canal) obteniéndose la ecuación de

la energía especifica:

E= y+α v2

2g………………………….(1)

De la ecuación (1), considerando α= 1, se tiene:

E= y+ v2

2 g……………………………(2)

Pero, de la ecuación de continuidad, para un canal de cualquier forma se tiene:

v=QA……………………………………(3)

Sustituyendo en (3), en (2), resulta:

E= y+ Q2

2 g A2……………………….(4 )

Suponiendo que Q es constante y A es función del tirante, la energía especifica es

únicamente función del tirante.

Si la ecuación * se grafica dará una curva de dos ramas lo cual se puede apreciar del

siguiente análisis:

Si y→0⟹ A→0 ,luego :Q2

2g A2→∞⟹ E→∞

Si y→∞⟹ A→∞, luego :Q2

2g A2→0⟹ E→∞

Es decir E→∞, cuando y→0, así como cuando y→∞, lo que indica que para valores de

intervalo 0< y<∞, habrán valores definidos de E, y que debe de haber un valor mínimo de E.

CURVA DE ENERGIA VS TIRANTE

En la figura se presenta de manera gráfica la ecuación mediante la curva ABC con dos ramas. La

abscisa de cualquier punto P sobre la curva representa la energía específica en la sección donde

ocurre la carga de presión y cosθ, esta a su vez representada por la ordenada. La rama AC se

aproxima asintóticamente al eje horizontal y la BC a la línea OD que pasa por el origen con

inclinación de 45°. Existe una tercera rama de la curva no mostrada en la figura y que corresponde a

las soluciones son tirante negativo sin interés practico.

3.2 EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA ENERGIA ESPECÍFICA PARA UN CANAL TRAPEZOIDAL

Consideremos:

A. Una sección trapezoidal de ancho de solera.

b=0,75 m y talud Z=1

B. Un caudal Q=0,40 m³/s

Luego el área será

A= (0,75 + y) y

Sustituyendo valores en (3.4) resulta:

E= y+ 0,402

2×9,81((0,75+ y ) y )2

E= y+ 0,0082

((0,75+ y ) y )2

Calculando los valores numéricos de E para diferentes valores de y, se obtiene el Cuadro 3.1.

CUADRO 3.1. Valores de E de la ecuación (3.5) para diferentes valores de y

y E y E0,0750,0800,0900,100

2,21681,93981,52471,2349

0,270

0,290

0,37810,38010,38260,4053

L a existencia de tirante crítico implica que:

Es la condición de flujo para la cual circula un caudal dado con el mínimo nivel de energía específica.

Es la condición de flujo para la cual con un nivel de energía específica dado circula el máximo de

0,1100,1300,1500,1800,2000,250

1,02630,75660,59990,47260,42710,3812

0,300

0,350

0,400

0,500

0,600

0,800

1,000

1,400

0,43880,52100,61250,80531,00271,4009

Análogamente, para un Q=0,20 m³/s y los mismos valores de b=0,75 y Z=1, la ecuación (3.4) se expresa:

E= y+ 0,202

2×9,81((0,75+ y ) y )2

E= y+ 0,0020

((0,75+ y ) y )2

De la cual, para diferentes valores de y se obtiene el cuadro 3.2.

CUADRO 3.2. Valores de E de la ecuación (3.6), para diferentes de y

y E y E0,040,050,060,070,080,090,100,150,170,18

2,04291,30000,90680,67700,53360,43990,37680,25970,25180,2514

0,190,200,250,300,350,400,500,801,001,40

0,25270,25540,28200,32020,36350,40950,50510,80131,00701,4002

Graficando los valores de los valores de los cuadros 3.1. y 3.2. Se obtiene la Figura 3.1, en la que se puede observar que la gráfica de la energía especifica es una hipérbola asíntota al eje horizontal E y de la recta que pasa por el origen, y tiene una inclinación de 45° respecto a la horizontal (para canales de pendientes pequeñas). La Figura 3.2. Muestra también esta relación.

La Figura 3.2. Muestra que para una determinada energía específica existen dos valores del tirante: y₁,y₂, denominados tirante alternos o tirantes correspondientes, excepto en el punto en que la energía específica es la mínima con la cual puede pasar el caudal Q a través de la sección y para la cual existe un solo valor del tirante, yc, denominado tirante crítico y a la cual corresponde una velocidad llamada crítica. El estado del flujo que se desarrolla con el tirante crítico recibe el nombre de estado o régimen crítico.

FIGURA 3.1. Curvas De Energía Específica

FIGURA 3.2. Relación Entre El Tirante y E

3.2. REGIMEN CRITICO (estado crítico)

Se dice que en un canal o en alguna sección de él, está trabajando bajo un

régimen crítico, cuando:

Posee la energía especifica mínima para un canal dado , o

Posee el caudal máximo para una energía especifica dada, o

Posee la fuerza específica mínima para un caudal dado.

El estado crítico del flujo se define como la condición para la cual el número de

Froude es igual a la unidad. Una definición más común es aquella que dice que

es el estado del flujo para el cual la energía específica toma un valor mínimo,

para un caudal dado.

De lo anterior, los términos del régimen crítico pueden definirse como sigue:

CAUDAL O GASTO CRÍTICO:

Es el caudal máximo para una energía específica determinada, o el caudal que

se producirá con una energía especifica mínima.

TIRANTE CRITICO

Es el tirante hidráulico que existe cuando el caudal es máximo para una

energía específica determinada o el tirante al que ocurre un caudal

determinado con la energía especifica mínima.

VELOCIDAD CRÍTICA

Es la velocidad media cuando el caudal es crítico.

PENDIENTE CRÍTICA

Es el valor particular de la pendiente del fondo del canal, para la cual este

conduce un caudal Q en régimen uniforme y con energía especifica mínima, o

sea, que en todas sus secciones se tiene el tirante crítico, formándose el flujo

critico uniforme.

REGIMEN SUBCRITICO

Son las condiciones en las que los tirantes son mayores que los críticos, las

velocidades menores que las críticas y los números de froude menores que 1.

Es un régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales principales o de

navegación.

REGIMEN SUPERCRITICO

Son las condiciones hidráulicas en los que los tirantes son menores que los

críticos, las velocidades mayores que las críticas y los números de froude

mayores que 1. Es un régimen rápido, torrencial, pero perfectamente estable,

puede usarse en canales revestidos.

Los tipos de flujos están claramente representados en la curva de energía específica, donde la

zona superior de la curva específica corresponde al flujo subcritico ( y2> yc) y la inferior al flujo

supercrítico (y1< yc), de la siguiente figura:

EL NÚMERO DE FROUDE: es una especie de indicador universal en la caracterización

del flujo de superficie libre.

F= v

√gy

La condición de flujo supercrítico se produce cuando F>1, el flujo subcritico para

F<1, y crítico para F=1.

En flujo subcritico una perturbación puede moverse hacia aguas arriba, esto significa

en términos prácticos, que mecanismos o condiciones de control tales como una

compuerta o una caída influyen sobre las condiciones de flujo aguas arriba del control;

por ello se afirma que el flujo subcritico está controlado por las condiciones de aguas

abajo.

Por otra parte, en flujo supercrítico una perturbación solo puede viajar hacia aguas

abajo; estableciendo los posibles controles únicamente del lado de aguas arriba.

De lo anterior se puede indicar que, toda singularidad (entiendase como esta, un

cambio de pendiente, cambio de forma de la seccion, cambio de rugosidad), en un

regimen subcritico crea efectos hacia aguas arriba, mientras que en un regimen

supercritico, crea efectos hacia aguas abajo.

Resumiendo lo que se ha visto respecto al flujo critico, las maneras que podran usarse

para establecer el tipo de flujo en un canal son:

A. POR MEDIO DE LOS TIRANTES

Si y< yc, el flujo es supercritico o rapido.

Si y ¿ yc, el flujo es critico.

Si y> yc, el flujo es subcritico o lento.

B. POR MEDIO DE LA PENDIENTE DE FONDO (S f)

Si S f<Sc, el flujo es supercritico o rapido.

Si S f=Sc, el flujo es critico.

Si S f>Sc, el flujo es subcritico o lento.

C. POR MEDIO DEL NUMERO DE FROUDE (F)

Si F<1, el flujo es supercritico o rapido.

Si F=1, el flujo es critico.

Si F>1, el flujo es subcritico o lento.

D. POR MEDIO DE LAS VELOCIDADES MEDIAS

Si V <V , el flujo es supercritico o rapido.

Si V ¿V c, el flujo es critico.

Si V >V c, el flujo es subcritico o lento.

TIPOS DE FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

TIPOS DE FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

3.4 ECUACIONES DEL REGIMEN CRITICO

CALCULO DEL VALOR DEL NUMERO DE FROUDE PARA LAS CONDICIONES DEL FLUJO

CRITICO

De la ecuacion de continuidad se tiene: Q=vA

Sustituyendo en (3.10), se tiene: V c

2 Ac2

G=Ac

3

T c

V c2

g=AcT C

Pero: yc=AcTC

, luego: V c

2

g= y c

V c2

g y c=1

Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros, se tiene:

V c2

√g yc=1

Por definicion: F= v

√gy

Por lo tanto: F c=1

Sera el valor del numero de froude para las condiciones de flujo critico, para el caso de

una seccion cualquiera.

RELACIONES ENTRE LOS PARAMETROS PARA UN REGIMEN CRITICO

SECCION RECTANGULAR

Las condiciones teóricas en que se desarrollan el régimen crítico están dadas por la siguiente ecuación:

Q2

g=A3CT C

Esta ecuación indica que dada la forma de la sección del canal y el caudal, existe un tirante crítico único y viceversa. Veamos a continuación para las secciones más usuales las fórmulas que relacionan los parámetros en un régimen crítico.

A = byT=b

Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario sustituyendo valores en la ecuación anterior (3. 1 5) se tiene:

Q2

g=b3 y3cb

y3c=Q2b2

g

yc=3√ Q2b2g

Se define la relación q = Q/b como caudal unitario o caudal por unidad de ancho, luego:

yc=3√ Q2b2g = 3√ q2g

Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección rectangular

2) Relación entre la velocidad y el tirante critico crítico, en la ecuación anterior sustituyendo (3. 15) sustituyendo Q = vA se tiene:

v2c A2c

g=A3cT C

v2cg

=AcT C

=b ycbC

v2cg

= yc

vc=√ yc g

3) Relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico: de la ecuación de la energía específica, se tiene:

E= y+v2c2 g

Para las condiciones críticas se expresa como:

Emin= yc+vc2

2g

Sustituyendo las ecuaciones se tiene:

Emin= yc+vc2

2

Emin=32yc

4) número de froude:

Sabemos que F= V

√gy

En este caso para la sección rectangular se tiene:

y= AT

=byb

= y

F= V

√gy

De la ecuación (3.16) se obtiene:

v2cg y c

=1

vc√g yc

=1

De donde se observa que:

F=1

SECCION TRIANGULAR

1. De la relacion entre el tirante y el caudal:

Sustituyendo valores en Q2

g=Ac

2

T C, se tiene:

A=Z y2

A=2Zy

Q2

g=z3 yc

6

2Z yc

yc6=2Q

2

gZ2

yc=5√ 2Q2gZ2

…………….∗¿

De la ecuacion * permite el calculo directo del tirante critico en una seccion

triangular.

2. Relacion entre la velocidad y el tirante critico:

En la ecuacion anteior *, sustituyendo la ecuacion de continuidad, resulta:

yc5=2vc

2 Ac2

g Z2

Pero: Ac=Z yc2, luego → yc

5=2vc

2Z2 yc4

gZ2

yc=2vc

2

g………… ..∗¿

vc=√ g yc23. Relacion entre la energia especifica minima y el tirante critico:

De la ecuacion (3.19), se tiene:

v c2

2g=yc4

Sustituyendo este valor en (3.17), resulta: Emin= yc+yc4

Emin=54yc

SECCION TRAPEZOIDAL

Y c=2V c

2

g …………… 3.19

Dónde : vc=√ g yc23) relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico:

De la ecuación 3.19, se tiene:

2V c2

g=yc4

Sustituyendo este valor en 3.17, resulta:

Emin= yc+yc4

Emin=54yc

Sección trapezoidal

A=by+z y2

T=b+2 zy

b+Z→concidos

Relación entre el tirante y el caudal:

Sustituyendo valores en 3.10, se tiene:

Q2

g=

(by¿¿c+Z yc2)2

b+2Z yc…… ..(3.20)¿

Solución de la ecuación

Método algebraico

Como se observa en (3.20), se tiene una ecuación en función de yc, es decir:

f ( yc)=(by¿¿c+Z yc

2)2

b+2 Z yc=Q

2

g=Cte…….(3.21)¿

La ecuación (3.21) resulta por el método de tanteos (al igual que el cálculo del tirante normal), permite obtener el tirante crítico.

Método grafico

El cálculo del tirante crítico, se puede determinar haciendo uso del nomograma preparado por VEN TE CHOW (figura 3.25)

De la ecuación (3.10), se tiene:

Q2

g=Ac

3

T c

También:

Q√g

=Ac

3

T c1 /2………(3.22)

Si analizamos las dimensiones del segundo miembro de la ecuación (3.22), se tiene:

A3 /2

T 1 /2=

(L2)3 /2

(L)1/2= L3

(L)1/2=(L)5 /2=(L)2.5

Como se observa, Ac

3/2

T c1/2 , tiene como dimensiones L2.5 , para que esta relación de como

resultado un valor adimensional, se debe dividir entre una longitud elevado a la 2.5, en este caso se puede dividir entre b2.5

Dividiendo ambos miembros de 3.22 entre b2.5, resulta:

Q

√gb2.5=

Ac3/2

T c1/2b2.5

…… ..(3.23)

CURVA PARA DETERMINAR DE TIRANTE CRITICO VEN TE CHOW

Donde Q y b son conocidos, luego

Ac3 /2

Tc1 /2b2.5

=cte

Con este valor, en la figura 3.5, como eje x, se entra en la parte superior hasta interceptar a la curva Z, luego se encuentra Yc/b, de donde se calcula yc. Este proceso se muestra en la figura:

La figura permite calcular el tirante critico (conocidos Q y b o d) para una sección rectangular,

trapezoidal y circular. Para este último caso se entra con Ac

3 /2

Tc1 /2d5/2

por la parte interior.

PROBLEMAS RESUELTOS