28

Des

embr

e 2

00

9

SCM / Notícies / 28Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

• Carme Cascante nova degana de la UB

• Els dèficits del català a les universitats

• Polèmica sobre l’IEMath • Entrevista a Montse Casals

XII Trobada de la SCMsobre «Geometria,evolució i matemàtica»

Cob SCM Num 28.pdf 1 19/01/10 15:18

Societat Catalana de Matematiques

President: Carles Perello VallsVicepres.: Josep Lluıs Sole ClivillesSecretaria: Marianna Bosch CasaboTresorera: M. Teresa Martınez-SearaVocals: Ramon Eixarch

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Josep M. Mondelo GonzalezIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albo

Manuel Udina AbelloEnric Ventura Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesDesembre 2009. Numero 28

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

enric.ventura@upc.edu

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

XII Trobada de la SCM.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Report de la Junta 1Informe comptable 2

Internacional 4Estudiants catalans fora de Catalunya 42010 Mathematics Subject Classification 9Comite d’Educacio de l’EMS 10

Noticiari 10Nova degana de la UB 10XIV JAEM Girona 2009 12Els xips als GEMT2009 14Associacio MMACA 16Activitats amb l’ajut de la SCM 17Les universitats informen 23

Activitats de la SCM 26Dotzena Trobada Matematica 26Sisena Jornada d’Ensenyament de les Matematiques 28El curs 2008-2009 del projecte Estalmat 29Conferencia inaugural del curs 2009-2010 31

Agenda 32

Contribucions 34IEMath 34Els deficits del catala a les universitats 39La fallida de la Combi 3 40Grip i estadıstica: que els nombres no ballin 42

Premis 45Quantitative arithmetic of projective varieties 45Premis i borses Ferran Sunyer i Balaguer 47Premi Shaw 2009 47Premi Albert Dou 48

Parlem de llibres 49En agraıment a l’editorial Nivola 49Una lectura del Disquisitiones de Gauss 52

Raco biografic 53

Webs de matematiques 56

Problemes 57

Tesis 62

La Junta informa

Report de la Junta

Iniciem un nou any fent balanc de la feina feta.El passat 11 de novembre, la Marta Sanz-Sole vainaugurar el curs amb una conferencia tituladaLes possibilitats de fer diana amb trajectoriesa l’atzar i seguidament vam celebrar l’assem-blea anual, on es va fer balanc de les activitatsdutes a terme, i dels acords presos durant aquestperıode. Novament, utilitzarem el resum de l’as-semblea per informar de la tasca realitzada i deles propostes i projectes d’aquest curs.

Actes i conferencies. Despres de la conferenciainaugural, impartida el curs passat per JoaquimOrtega, l’ultima activitat de l’any 2008, a finalsde novembre, va ser un acte de commemoraciodels dos-cents anys de les mesures del meridiafetes per en Francesc Arago, organitzat conjunta-ment amb la Societat Balear de Matematiques ila Societat Catalana d’Historia de la Cienciai de la Tecnica. Ja entrat l’any 2009, es va col-laborar en una conferencia d’Avner Friedman alCRM sobre biologia matematica el mes de marc.Al juny es va celebrar la XII Trobada Matemati-ca, titulada Geometria, evolucio i matematica,200 anys del naixement de Darwin i 150 de lapublicacio de l’Origen de les especies. A l’a-gost, la Societat va participar, juntament ambla Societat Catalana de Fısica, en una serie deconferencies a la Universitat Catalana d’Estiude Prada. Al setembre va tenir lloc la 6a Jorna-da d’Ensenyament, organitzada conjuntamentamb la FEEMCAT i Xeix sobre el tema de lesrevistes d’ensenyament. I l’ultima activitat haestat la conferencia de Jesus Hernandez titula-da Anastasio da Cunha: matematico, poeta,hereje, portugues. Trobareu en aquest numeroinformacio mes detallada d’aquests actes.

Olimpıada, Cangur, Estalmat. Com sempre, elprotagonista d’aquest apartat es la prova Can-gur, estrella com no n’hi ha, amb una popu-laritat i uns exits sempre creixents. Enguanyla cerimonia d’entrega de premis es va fer a laUniversitat Pompeu Fabra i va comptar ambla presencia del president de la Generalitat. Peral Cangur 2010 sembla que la tendencia de parti-cipacio creixent es confirma, tambe augmenta elnombre de seus per realitzar les proves i, en con-

sequencia, la complexitat de gestio que tot aixosuposa. Cal informar que, despres de molts anysd’una dedicacio intensa i extraordinariamenteficac, en Josep Grane deixa la direccio de lacomissio. La comissio encarregada de les provessegueix formada per Marta Berini, Antoni Go-ma i Josep Grane. La Junta agraeix a JosepGrane la seva valuosa i infatigable dedicacio,moltes vegades poc visible pero absolutamentcrucial.

Publicacions. El Butlletı 24 va sortir el juliol pas-sat i esta en proces el 25. La SCM/Notıcies 27tambe va sortir el juliol i, en el moment de l’as-semblea, s’estava tancant el numero de desem-bre que ara teniu a les mans. Com a novetatdel curs, recollim la col.leccio de monografieselectroniques disponibles a la nostra web quedirigeix en Josep Pla amb en Ramon Nolla i enPelegrı Viader. Se n’han publicat dues de noves,Geometria axiomatica, d’Agustı Reventos iEvolutes en superfıcies, de Xavier Montell, ise n’esta preparant una tercera.

Pla de futur. S’informa de la convocatoria d’unnou premi, el Premi Albert Dou, en memoriadel professor que ens va deixar el 18 d’abril de2009. Un cop consultat el comite cientıfic, es vadecidir destinar el premi a un article que ressaltil’aspecte humanıstic i la importancia social dela matematica. Es donara cada dos anys, el ter-mini sera el 30 de maig i es formara un jurat dematematics i no matematics. El primer premi,que te una dotacio de 2.500 euros es donara a lapropera assemblea, coincidint amb la finalitzaciodel mandat de la Junta.

S’informa tambe dels congressos en que par-ticipa la SCM:• El congres Joint Mathematical Conference

CSASC 2010, organitzat per la Societat Ma-tematica Txeca juntament amb l’Austrıaca,la Catalana, l’Eslovaca i l’Eslovena es fara aPraga el gener del 2010

• El congres Joint SIAM/RSME-SCM-SEMAMeeting emerging topics in dynamical sys-tems and partial differential equations (DSP-DEs’10), que se celebrara a Barcelona el junyde 2010, en que es preveu molta participacio.

1

• Un congres amb la Societat Matematica Su-eca a Barcelona, el 16 i 17 de setembre de2010, que s’organitza prennent com a modelel congres catala-txec del 2006.

S’informa tambe de la proposta de publicaruna nova revista destinada a l’ensenyament deles matematiques dels diferents nivells educa-tius. La questio s’esta endarrerint perque estemintentant fer un projecte conjunt amb la FEEM-CAT amb una participacio del 50 % per partde cada entitat, i la feina de coordinacio, quees va iniciar el desembre de 2008, esta resultantmes lenta del que ens pensavem (la FEEMCATse’n disculpa perque amb les JAEM de Gironala feina s’ha endarrerit). Si per Nadal encarano hi ha cap acord, es molt possible que deci-dim tirar endavant el nostre projecte de maneraindependent.

Finalment s’informa que s’ha creat un forumdigital per als socis de la SCM, que, de moment,no te massa intervencions.

Altres temes

• S’informa que s’ha de triar un representantde la SCM per anar a l’assemblea de l’IMUaquest estiu a l’India. Qui ho coordina es elCEMAT i ens proposen que donem suport aalgunes candidatures per a la vicepresidenciade l’IMU. S’han de triar quatre representantsdel CEMAT per anar a l’assemblea de l’IMU,i un d’ells ha de ser un representant de laSCM.

• S’explica que el Premi Evariste Galois del2009 va quedar desert per manca de partici-pacio. Per evitar que la situacio es repeteixi,aquest any s’ha enviat un correu electronic atots els professors universitaris per recordar

el termini del Premi i facilitar la participacio.Es compta especialment amb els treballs de fide master, pero segueix sent molt importantla seva difusio a les universitats.

• En l’apartat d’exposicions i museus de la ma-tematica, es fa esment de les dues activitats enque col.labora la SCM: l’exposicio divulgativaMatematica i vida, que es va fer a Manresa acarrec de Caixa Manresa, l’exit de la qual hafet que s’hagi portat a Lleida i, actualment,a l’Escola Industrial de Barcelona, al carrerUrgell. El Museu de la Matematica: aquestestiu es va fer l’exposicio mes gran a les JA-EM de Girona, i posteriormente s’exposa aCentelles ocupant dos edificis durant tot elmes de novembre. A mes, tambe al novembre,hi va haver una exposicio a Castelldefels titu-lada Matematiques a traves del mirall queva durar una setmana, i que anira el febrer aGirona.

Per acabar, la Junta va agrair molt especial-ment a la gent que porta el Cangur, l’Estalmat il’Olimpıada, aixı com als que porten les publica-cions, l’SCM/Notıcies, el Butlletı i les monogra-fies electroniques, el seu esforc i labor mes quemagnıfics. En l’apartat de precs i preguntes, enJosep Grane planteja el tema del gran problemaque te el Cangur amb els pocs espais de quedisposa a l’IEC. Se sol.licita que la Junta faciuna accio amb la Presidencia de l’IEC sobreaixo.

L’assemblea aprova l’informe economic i eltancament de comptes del 2008 i aprova el pres-supost del 2010. I la Junta endega ja l’ultimtram del seu mandat amb la il.lusio de portar abon terme els nous projectes que ha engegat.

Marianna BoschSecretaria de la SCM

Informe comptable de la SCM del 2008 i pressupost per al 2010

Benvolguts socis i socies,Ens plau informar-vos del resum comptable

de l’any 2008 i del pressupost previst per a l’any2010.

Us recordem primer quin va ser el pressupostaprovat per l’assemblea de la SCM en data 5 denovembre de 2008:

2

Pressupost SCM 2008

Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses

Publicacions 6.600,00 15.000,00Quotes 31.080,00Despeses Secretaria 11.580,00Fons de promocio 5.000,00Olimpıada 3.000,00 1.000,00 4.000,0011a Trobada 2.000,00 500,50 4.000,005a Trobada Ensenyament 4.000,00 900,00 6.000,00Cangur 2008 9.000,00 18.000,00 58.999,50 85.999,50Conferencies estudiants 1.000,00 1.500,00Estalmat 6.000,00 6.000,00 12.000,00Altres activitats 5.000,00 5.000,00Total 33.600,00 25.000,00 91.480,00 150.080,00

La quota de socis aprovada per a l’any 2008 va ser de: 34e els socis ordinaris, 17e els socisestudiants i 64e els socis institucionals.

A continuacio us presentem el balanc real de les diferents activitats:

Informe comptable SCM 2008

Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses Subtotals

Publicacions 7.600,00 497,02 18.957,58 −10.860,56Quotes 30.587,64 2.044,00 28.543,64Funcionament de la SCM 4.440,96 −4.440,96Nomines 5.488,76 −5.488,76Fons de promocio 3.991,43 3.851,53 139,90Olimpıada 2.000,00 2.753,82 −753,8249 IMO 11.200,00 11.867,21 −667,21Cangur 2008 9.500,00 61.930,00 71.467,07 −37,07Estalmat 2.300,00 2.377,41 −77,41Conferencies estudiants 500,00 882,35 −382,3511a Trobada 4.000,00 120,00 2.175,54 −55,545a Trobada Ensenyament 4.000,00 855,00 5.299,29 −444,29Museu 2.000,00 2.113,68 −113,68Jornada Meridia 1.000,00 1.975,72 −975,72Jornada SCB-CRM-SCM 253,96 −253,96Bancs 3.285,78 1.682,78 1.603,00CEMAT 1.331,18 5.232,63 −3.901,45Totals 32.600,00 9.500,00 102.598,05 142.864,29 1.833,76

Total 2008 144.698,05 142.864,29 1.833,76

Aixı, l’any 2008 la societat ha tingut un balancpositiu de 1.833,76e.

Notem que el Cangur va renunciar als di-ners que l’IEC ens dona per activitats i aixıaquests diners es varen poder destinar a la 49IMO (l’Olimpıada Internacional).

Us detallem les activitats que han estat sub-vencionades amb el fons de promocio. El queconsta com a ingressos d’aquest fons corresponals interessos del diposit que tenim amb l’IEC, i ala devolucio del romanent del congres ICM2006,al qual la SCM, juntament amb les societatsespanyoles, havia contribuıt economicament.

3

Fons de promocio d’activitats 2008

Activitat Subvencio

Ajut Congres AMDS08 1.391,33Congres DynamicalSystems and Topology 1.000,00VI Jornadas deMatematica Discreta 1.460,20Total 3.851,53

L’import del fons de promocio d’activitatsa l’inici de l’any 2008 era de 47.596,87e. Les

despeses van ser de 3.851,53e i els ingressos de3.991,43e. Aixı, l’any 2008 el fons va tenir unbalanc positiu de 139,90e i va acabar amb unvalor de 47.736,77e.

Separant, com es tradicio, els diners delfons de promocio d’activitats, la Societat vacomencar l’any 2008 amb un valor positiu de12.181,74e i va finalitzar amb un benefici de1.693,86e i un saldo positiu de 13.875,56e.

Finalment, us presentem el pressupost de laSCM per al 2010:

Pressupost SCM 2010Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses

Publicacions 7.600,00 21.600,00Quotes 31.080,00Despeses de Secretaria 7.000,00Fons de promocio 7.000,00Olimpıada 5.000,00 1.000,00 7.000,0013a Trobada 3.000,00 500,00 4.000,005a 6a Trobada Ensenyament 5.000,00 1.000,00 6.000,00Cangur 2009 4.000,00 5.000,00 82.000,00 93.380,00Premi Albert Dou 2.000,00Altres 2.000,00 4.000,00 5.000,00Estalmat 3.000,00 3.000,00Museu de les Matematiques 3.000,00 3.000,00Total 32.600,00 10.000,00 115.380,00 157.980,00

Observeu que hem augmentat la quota del Cangur a 4e, i que hem inclos el Premi Albert Dou, quecomencara a atorgar-se el proper any.

M. Teresa Martınez-SearaTresorera de la SCM

Internacional

Estudiants catalans fora de Catalunya

Sempre hi ha hagut un col.lectiu d’estudiantscatalans, no gaire nombros pero important, quehan anat un temps a l’estranger, per estudiar lacarrera, o el doctorat, o a fer un postdoc, fins itot n’hi ha que s’hi han acabat quedant a viure.Sense tenir cap estadıstica a la ma, seguramentno es escabellat afirmar que les destinacions sond’allo mes variades... hi ha catalans a tot arreu!

Reproduım l’entrevista a Montserrat Casals

i Ruiz, una estudiant de matematiques de laUB que, amb la carrera tot just acabada, i ambuna empenta i energia admirables, va decidiranar-se’n lluny de casa a rebre la formacio doc-toral. Ara que ha culminat amb exit aquestaultima etapa de la formacio universitaria, ensexplica la seva experiencia, tant des del punt devista professional com personal.SCM: Montse, vas acabar la carrera de mate-

4

matiques a la UB el juny de 2004, i el mes demaig de 2009 vas defensar la teva tesi doctoral ala Universitat de McGill a Canada. Com ha estatl’experiencia d’estudiar un doctorat a l’estranger?M. C.: Enriquidora en tots els sentits, tantpersonal com professional. En l’ambit professi-onal, t’obre l’espai de treball: et permet d’in-terrelacionar-te i treballar amb persones ambdiferent background, diferent escola, diferentspunts de vista, diferents sistemes de treball. Ide totes les diferencies, un en pot aprendre. Ames a mes, et permet contrastar els sistemeseducatius: un pren consciencia dels punts fortsque te el nostre sistema catala, i dels que espodrien millorar.

Montse Casals durant la seva primera nevada aMontreal (al carrer Saint Laurent).

SCM: I en l’ambit personal?M. C.: En l’ambit personal, tambe es tota unaexperiencia. Es interessant veure les coses queformaven part de la teva vida quotidiana desd’una altra perspectiva. A vegades, et sorprenque trobes a faltar, i viceversa, que no. L’escalade valors es reajusta i en certa manera se sim-plifica: moltes de les coses que creies essencialsveus que no ho son, i les poques que sı que hoson les valores mes. Entre les coses que em vansorprendre d’enyorar destacaria el contrast depaisatges. Catalunya es un paıs petit pero ontenim de tot!, mar, muntanyes, zones de seca, zo-nes de regadiu, riquesa arquitectonica, racons iraconets! El Quebec te un paisatge espectacular,pero monoton. La ciutat no es massa interessant

(arquitectonicament) i, un cop en surts, tot estan lluny... I la natura no fa la mateixa olor...no tenen timo, ni romanı...

En molts aspectes vius les dues cares d’unamateixa manera. Sents nostalgia de les tevestradicions i festes, pero n’aprens i en vius unesaltres: el Halloween, el Thanksgiving o el diadel Quebec; trobes a faltar poder-te expressaren catala, pero millores una altra llengua; se’tfa la boca aigua quan penses en el menjar de lamare, pero t’especialitzes en menjar canadenc(que en aquest cas es dir xines-canadenc, indi-canadenc...); uns dies desitjaries que l’hivern fosdolc com a Catalunya, uns altres estas encan-tada amb la neu i el fred, que, al mes cru del’hivern, arriba a 30 sota zero!SCM: D’on ets?M. C.: Soc de Balaguer, i em fa molta il.lusio nohaver d’afegir entre dents: un poble a prop deBarcelona. Pero es que la provıncia de Lleidano es coneix gaire i si volia fer entendre a la gentd’on soc, era la millor aproximacio que tenia.Fins i tot dins de Catalunya, som la provınciamenys coneguda... i la gent es perd un petittresor! Tot aquest temps he tingut com a es-talvi de pantalla del meu ordinador la foto deBalaguer amb les murades medievals, el riu Se-gre i el Montsec de fons... precios! I cada copque donava una xerrada, o al principi o al final,m’assegurava que es veies la foto. Una petitadebilitat!SCM: Se t’han fet llargs aquests quatre anyslluny de casa?M. C.: La veritat es que el temps m’ha passatforca rapid. Pero tambe s’ha de dir que he apro-fitat cada oportunitat que he tingut per tornara Catalunya: conferencies, visites academiques,cursos organitzats pel CRM... Un dels momentsmes durs va ser un Nadal que no vaig podervenir. I encara que els pares m’enviessin torronsper a endolcir-lo, va ser difıcil.SCM: Que destacaries dels canadencs?M. C.: Com tothom, els canadencs tenen cosesque son d’admirar. Una es el tractament posi-tiu que tenen de la immigracio. Els canadencssenten curiositat pels nouvinguts: juguen a en-devinar d’on ets per l’accent, et pregunten perla teva ocupacio, si et trobes be al paıs, s’ex-cusen pel fred... Estan orgullosos del seu paıs,pero sense caure en patriotisme barat. I aquestaactitud es tradueix en una actitud tambe po-sitiva per part dels immigrants: la majoria te

5

una sensacio de gratitud i respecte pel paıs queels ha acollit. Es interessant com han aconse-guit aquest equilibri. A Europa tenim molt aaprendre en aquest aspecte.

Una altra cosa de que un s’adona rapid es delseu civisme i compliment de les lleis. Dos exem-ples: el primer, poquıssima gent i en poquıssi-mes ocasions toquen el claxon conduint (tot undescans per a tothom!); el segon, els campingspublics en temporada baixa no tenen vigilant:compten que la gent deixara els diners correspo-nents en unes busties i que deixaran el lloc neti endrecat per al proper visitant... i ho fan!

Un altre tema: la visio que tenen els cana-dencs sobre la independencia del Quebec. Jom’esperava que tindrien la mateixa actitudagressiva que vivim nosaltres a Catalunya, perono es pas aixı. Evidentment hi ha gent que noho comparteix, pero sempre des del respecte.Mai he sentit cap comentari contrari al fet quela independencia es pugui decidir a traves d’unreferendum! O que cataloguessin els indepen-dentistes d’antisolidaris o de radicals. O que elspartits nacionals fessin demagogia contra el Que-bec. A molts polıtics espanyols els convindriapassar una temporada alla...SCM: Tornant a questions professionals, en quintema has fet el doctorat?M. C.: Molts cops, en matematiques, no estu-diem els objectes individualment sino que elsestudiem modul una determinada relacio d’e-quivalencia, per exemple, en algebra, modul iso-morfisme. Des del punt de vista de la logica ila teoria de models, el problema principal es laclassificacio modul equivalencia elemental: dosobjectes son elementalment equivalents si elsconjunts de formules (en un determinat llen-guatge —grups, anells...—) que son veritat encadascun d’ells coincideixen. En el cas de grupsabelians (no necessariament finitament gene-rats), la classificacio elemental es un resultatclassic de Wanda Szmielew (1955) que utilitzatecniques d’algebra i logica per a determinar elsinvariants que caracteritzen les classes d’equi-valencia. En el cas de grups lliures, la questio esconeguda com el problema de Tarski, que va serformulat cap als anys quaranta. La solucio s’hapublicat recentment, el 2006, independentmentper Zlil Sela, i per Olga Kharlampovich i AlexeiMiasnikov, el meu director de tesi. La demos-tracio, a part de ser important per si mateixa,tambe ho es per la tecnica que desenvolupa, i

pel fet que combina elements de geometria al-gebraica (sobre grups), teoria de grups i logica.La meva tesi es un primer pas cap a la classifica-cio elemental dels anomenats grups parcialmentcommutatius (tambe coneguts com a right an-gled Artin groups), i reforca els vincles entreteoria de models, geometria i teoria de grups.En concret, el resultat principal es la descripcioalgorıtmica de solucions de sistemes d’equacionssobre aquests grups.SCM: Hi ha algu a Catalunya que faci recercarelacionada amb aquests temes?M. C.: A Catalunya tenim un grup molt actiude teoria de grups. L’equip local esta format peren Pep Burillo, en Warren Dicks, l’Enric Ven-tura i els seus estudiants. Durant aquests anysde doctorat, han organitzat un munt d’activi-tats relacionades amb la teoria de grups: works-hops, advanced courses, congressos,... De fet,el congres Geometric and Asymptotic GroupTheory with Applications (GAGTA), que esva celebrar a Manresa el 2006, va tenir tantd’exit que va generar (i continua generant) unaserie de congressos i workshops arreu del mon:GAGTA Dortmund 2007, GAGTA Nova York2008, GAGTA Workshop Montreal 2010...

Tambe m’agradaria remarcar l’importantnombre d’investigadors internacionals sobre teo-ria de grups que han fet estades al CRM: OlegBogopolski, Laura Ciobanu, Stefano Francavi-glia, Sergei Ivanov, Armando Martino, PascalWeil, i la llista continua i es llarga! Cada cop quehe vingut a Catalunya he pogut gaudir d’unaactivitat o altra al CRM; de fet, el meu primerpreprint (amb Ilya Kazachkov) es va publicar ala serie del CRM.SCM: Quines diferencies has trobat entre estudi-ar al Canada i estudiar a Catalunya?M. C.: Comenco amb una autocrıtica. Em vaigadonar que mai m’havia preocupat del meucurrıculum i que, per sort o per desgracia iespecialment a fora, compta i bastant! Estudi-ants d’altres paısos, especialment paısos de l’esti Estats Units, es preocupen del seu currıculumdes de sorprenentment joves: van a campamentsde matematiques als estius, a escoles i insti-tuts especializats; participen en competicions(olimpıades matematiques, Putnam...); s’incor-poren a grups de recerca des del segon any a launiversitat, etc. Aixı que des d’un punt de vistaformal i a l’hora de demanar beques internacio-nals es molt complicat competir.

6

Recordo que al cap d’una setmana d’arribara McGill, vam tenir la presentacio dels nousmembres: el director del departament presen-ta a tothom i explica que bons que son tots.En aquell moment, vaig pensar: on m’he posat?Pero en contrast amb aquesta primera impressio,un cop a l’hora de treballar, em vaig adonar quematematicament estava molt ben preparada itenia un nivell d’independencia alt. A la UBm’havien ensenyat a treballar per mi mateixa ia treballar be.SCM: Es a dir, que aixo que a fora sempre hofan tot millor que a casa, no es ben be aixı...M. C.: D’alguna manera crec que aquesta au-tocrıtica s’esten a les institucions; en general,a Catalunya tenim un professorat de qualitat,pero no ens preocupem prou de vendre’ns be. Ala Universitat de McGill tenen el convencimentque son una de les millors universitats del mon,la comunitat realment ho pensa. I, ho dic sin-cerament, no hi he trobat pas tanta diferenciaamb les universitats catalanes.

Crec que el grau de conviccio que tenen, ique a nosaltres ens falta, te un paper important.Aixı com el grau de motivacio d’estudiants i pro-fessors. No he pogut entendre si es el que arribena pagar els estudiants per la matrıcula el que elsho fa valorar, o es el sou dels professors queels incentiva, o es el control que la universitatimposa a professors i estudiants, o una mica decada... pero, sigui el que sigui, funciona, la gentesta motivada, es nota en l’ambient, es contagiai repercuteix tant en la produccio com en el graude satisfaccio.SCM: Parla’ns de l’ambient i de l’entorn ma-tematic a McGill, vist des de dins.M. C.: La vida matematica a Montreal es in-tensa i ben organitzada. Cada setmana hi haseminaris organitzats per professors, per estudi-ants, pel Centre de Recerca... Poden ser bons ono tan bons, pero el que es important es el ritme.Hi ha una dinamica en la qual la gent entra, ique no et permet relaxar-te. Es clar que als semi-naris hi ha una contribucio molt important delslocals, pero per aixo mateix un s’ha d’esforcara tenir quelcom nou per explicar, encara queno sigui una publicacio teva. Es formen grupsespontanis per a la lectura d’articles. S’organit-zen grups de suport per a tot el que et puguisimaginar: integracio d’estudiants internacionals,redaccio de la tesi...

Hi ha una connexio interuniversitaria im-

pressionant: en molts sentits, les universitats deMontreal funcionen com una de sola. I aquestainterrelacio es passa a professors i a estudiants.Professors de la mateixa area a diferents univer-sitats, fins i tot de ciutats diferents, convidenespecialistes conjuntament; aixı redueixen cos-tos i optimitzen el nombre de gent que es potbeneficiar dels seminaris. Els estudiants es po-den matricular de cursos a qualsevol universitatde Montreal de manera directa; aixı es podenfer cursos molt mes especialitzats, i l’oferta potser molt mes amplia que si cada universitat espreocupes nomes dels seus estudiants.

El nivell organitzatiu tambe es veu reflectiten el treball del dia a dia. L’organitzacio delsdoctorats es mes jerarquica. El director donacursos especialitzats de background per a tots elsseus estudiants. Despres divideix els estudiantsen grups de dos o tres i assigna problemes algrup. Normalment, hi ha un postdoc encarregatde supervisar i ajudar. El director realment guia,marca camins i, en casos aıllats, s’involucra endetalls tecnics. Aixo es el que permet formargrups grans i ser competitiu.

Tambe tenen una polıtica molt agressivade captacio d’estudiants de doctorat, de post-doctorat i de professorat: hi ha un comite respon-sable de recerca amb l’objectiu clar d’aconseguirels millors. L’amiguisme te un paper secunda-ri, encara que les referencies i el qui t’apadrinası que es tenen en compte.

La part negativa: sovint el sistema es deshu-manitza. Si, per les raons que siguin, fas baixarles estadıstiques i l’alarma del sistema salta, nohi ha compassio: tens un perıode de temps for-mal per arreglar-ho, o estas fora del sistema.SCM: Tu mateixa ets una prova mes d’aixo quedius que la formacio matematica a Catalunya teun bon nivell: no nomes has acabat amb exit elteu doctorat sino que, a mes, has guanyat el premia la millor tesi en ciencies (no nomes matemati-ques!) de l’any 2009 a McGill. Suposo que n’estasorgullosa...M. C.: Si ja t’he dit que, en general, de les uni-versitats catalanes sortim ben preparats! Vaigestar molt contenta, no nomes pel fet de rebre elpremi, que sempre fa il.lusio i significa un reco-neixement al treball d’aquests anys, sino tambeperque va trencar uns quants topics: noia catala-na (per desgracia encara hi ha molta gent que hoconfon amb la imatge tıpica d’espanyola que famigdiades), sense un currıculum gaire especta-

7

cular, i en l’area de matematiques (normalment,enginyeria, medicina i quımica son mes popu-lars). I no en soc pas l’excepcio! A la UniversitatMcGill vaig coincidir amb en Marc Masdeu (es-tudiant de doctorat) i en Gerard Freixas (post-doc). Els dos formen part d’un dels grups deteoria de nombres mes importants i competitiusd’avui en dia, que te com a investigador princi-pal l’Henri Darmon. I jo diria que els dos s’hihan integrat amb molt d’exit!SCM: A part del reconeixement a la feina feta,tenir aquest premi deu ser un bon puntet per alteu currıculum.M. C.: Quan un acaba el doctorat, en general,no te ni massa experiencia ni massa publicacionsque li donin solidesa investigadora. Qualsevoldetall, sigui un premi, sigui una mencio, marcauna diferencia i pot ser determinant a l’horad’aconseguir una beca o una feina. Al cap i a lafi, el CV es un munt de puntets i tots compten!SCM: I aquests topics que deies, els catalans nofem migdiades?M. C.: Les fem quan la feina ens ho permet!La situacio al Quebec es una mica millor quea la resta d’America, com a mınim entenen elsentit d’identitat. Aixı i tot, em va sorprendreque la realitat basca es coneix molt mes quela catalana. Pero un cop deixes el Quebec lasituacio, per desgracia, es molt pitjor. Una granmajoria de gent no ha sentit parlar ni de Cata-lunya (encara que coneixen Barcelona), ni delcatala. I quan els dius Espanya, evidentmentet parlen del flamenc, dels toros o dels Iglesias!Una mica frustrant. Pero sempre hem d’estarpreparats per parlar de Catalunya a qui vulguiescoltar. Estic parlant de la societat d’una ma-nera generica; dins de la comunitat matematica,per sort, ens coneixen millor.SCM: Quins son els teus plans de futur?M. C.: Estic esperant la resolucio de la beca delPaıs Basc per a un postdoc de dos anys a EstatsUnits. Com a destı final, m’agradaria tornar itreballar o be a Catalunya, o be al Paıs Basc;pero abans de fer-ho intento aprofitar al maximl’estada per les Ameriques, aprendre al maximdels grups d’aquı. Aquest va ser el criteri per tri-ar anar a fer el postdoc a la Universitat Vander-bilt, a Tennessee. El grup format per l’AlexanderOl’shanski, en Denis Osin i en Mark Sapir esmolt actiu i, encara que la teoria de grups en queells treballen no es exactament la que he estatestudiant durant el doctorat, la complementa

perfectament. Crec que durant el postdoctorates mes important ampliar i consolidar la base,que no pas construir una especialitzacio vertical.SCM: Com es que has demanat una beca del PaısBasc?M. C.: Perque oficialment soc basca! Te historia.Quan vaig acabar la carrera, vaig decidir quevolia fer el doctorat, pero no tenia massa clar enque. Vaig rebre el bon consell de la Rosa MariaMiro d’anar a una escola matematica d’estiu aPerugia. Un dels cursos que vaig triar va ser te-oria de grups que, casualitats de la vida, donavaun professor basc, en Gustavo Fernandez Alco-ber. A Italia va ser on vaig prendre la decisioque volia fer el doctorat en teoria de grups al’estranger. Pero en aquell moment estava forade termini per intentar demanar qualsevol beca.Aixı que vaig parlar amb en Gustavo d’anara estudiar al Paıs Basc un any i mentrestantbuscar on anar a fer el doctorat. Un cop al PaısBasc, el Gustavo va portar convidats en Vladi-mir Remeslennikov i Ilya Kazachkov, que vandonar un minicurs en geometria algebraica so-bre grups. Va ser llavors quan vaig veure clarque volia fer. Vaig parlar amb en Vladimir, i emva aconsellar d’anar al Canada a estudiar ambl’Alexei Miasnikov. Vaig contactar amb ell i vaacceptar ser el meu director de tesi. Gracies aell, vaig ser acceptada a la Universitat McGill.Un cop arribat el moment de buscar beques,em vaig adonar que no tenia gaire opcions. Hihavia beques per quedar-se a Catalunya, perEuropa, algunes per Estats Units, pero llavorsno n’hi havia cap per anar al Canada. Va ser enGustavo qui em va parlar de les beques del PaısBasc. Com que estava vivint allı, la vaig poderdemanar, me la van concedir i va ser aixı comvaig poder anar a estudiar al Canada. Realmentestic molt agraıda de l’oportunitat que em vandonar, molt.

L’estiu del 2005, abans d’anar cap a Canada,vaig assistir a un mes tematic de teoria combi-natorica i geometrica de grups organitzat pelCRM a Barcelona. Aquest va ser el primer con-tacte que vaig tenir amb el meu director, amb elgrup de Catalunya, l’Enric, en Pep i en Warren,i amb altres persones que ara s’han convertit enels meus companys.SCM: Ja per acabar, aconselles anar a fer el doc-torat a fora?M. C.: La importancia d’on es faci el docto-rat, per a mi es secundaria, compta potser per

8

al currıculum. El que crec que es important esque a un li agradi el que tria, que ho faci agust, i que hi hagi compatibilitat amb el direc-tor/a de tesi. Ara, el que sı que aconsello esuna temporada a l’estranger, durant el doctorato el postdoctorat. Es tota una experiencia quedifıcilment es pot suplir amb res mes.SCM: Que aconsellaries a un estudiant que acabila carrera ara i que li agradin les matematiques?M. C.: Com ja t’he comentat, crec que els estu-diants catalans haurıem de tenir una mica mesde previsio. Si algu es planteja fer el doctorat,que prengui forca des del principi i es mogui perentendre si realment es el que li agrada. Ques’informi sobre workshops (n’hi ha de pensatsespecialment per a estudiants de carrera), cursosd’estiu, conferencies; que pregunti als seus pro-fessors sobre que estan investigant (segurament

es molt diferent de les classes que donen); que de-mani un problema senzill per anar treballant-hii veure si li agrada la investigacio; que analit-zi les alternatives que hi ha, sense caure en elconformisme del que es mes facil, ni tampoc per-dre’s en la infinitat d’opcions. La investigacios’ha de plantejar mes com una vocacio que comuna professio: t’ha d’agradar. Tenir dubtes esnatural, jo tambe els vaig tenir. Pero molts cops,per decidir si alguna cosa agrada, s’ha d’inten-tar!SCM: Montse, moltes gracies per l’estona queens has dedicat, esperem que aquesta entrevistapugui servir per animar algun estudiant que s’esti-gui plantejant una experiencia internacional comla teva, i et desitgem els millors exits per al teufutur professional.M. C.: Gracies a vosaltres.

2010 Mathematics Subject Classification

El Mathematics Subject Classification es unaclassificacio de les matematiques en temes i sub-temes als quals s’ha assignat un codi.

El 1991, els comites editorials del Mathema-tical Reviews i del Zentralblatt fur Mathematikvan dissenyar i comencar a utilitzar aquesta clas-sificacio; el seu us s’ha popularitzat a gairebetota la comunitat matematica. L’any 2000 se’nva fer una primera revisio, que ha estat vigentfins ara. Fa pocs mesos se n’ha fet una nova adap-tacio per tal d’incorporar-hi els temes emergentsen matematiques apareguts al llarg dels ultimsanys. La revisio l’han duta a terme conjunta-ment els editors del Mathematical Reviews i delZentralblatt fur Mathematik, amb l’ajuda denombrosos comentaris i suggeriments fets per lacomunitat matematica, durant els mes de dosanys que ha durat el proces de revisio.

L’objectiu principal d’aquesta classificacio esfacilitar als usuaris de la literatura matematicala identificacio dels articles que puguin ser del

seu interes. Conte seixanta-tres temes, cadascunidentificat amb un nombre de dos dıgits. Perexemple, 05 es combinatoria, 11 teoria de nom-bres, 20 teoria de grups, 30 funcions de variablecomplexa, 34 equacions diferencials ordinaries,54 topologia general, 62 estadıstica, o 97 edu-cacio matematica. Cada tema esta dividit ensubtemes, identificats per lletres de la A a laZ, i cada subtema esta encara subdividit en te-mes especıfics codificats amb dos dıgits mes; entotal estan recollides prop de 5.000 entrades ala classificacio. Per exemple, si Rouche i Frobe-nius publiquessin avui el seu conegut teoremaper estudiar sistemes d’equacions, el seu treballquedaria etiquetat amb el codi 15A06 (15es algebra lineal i multilineal, A es algebralineal basica i 06 es equacions lineals).

Podeu trobar la nova classificacio al webde l’AMS: http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html i a la de Zentralblatt fur Mathema-tik: http://www.zentralblatt-math.org/msc/en/.

9

Comite d’Educacio de l’EMS

La Societat Europea de Matematiques —EMS,http://www.euro-math-soc.eu—, amb mes de cin-quanta societats de matematiques d’Europa,compta actualment amb diferents comites, en-tre aquests el Comite d’Educacio. Una de lesfinalitats dels membres d’aquest Comite es tre-ballar a favor de la promocio de relacions esta-bles entre les arees de matematiques i educaciomatematica. Des de l’1 de gener de 2010 al31 de desembre de 2012, el Comite d’Educa-cio estara constituıt per: Gunter Torner (presi-dent, Alemanya), Despina Potari (vicepresiden-ta, 2010-2011, Grecia), Nuria Planas (vicepresi-denta, 2011-2012, Catalunya), Konrad Krainer(Austria), Ferdinando Arzarello (Italia), TommyDreyfus (Israel), Ghislaine Gueudet (Franca),Celia Hoyles (Regne Unit), Mogens Niss (Di-namarca), Jarmila Novotna (Republica Txeca),Peter Sullivan (Australia) i Lieven Verschaffel(Belgica).

En primer lloc, el nou Comite vol animar elsinvestigadors de les comunitats de matematicsa fer-nos arribar qualsevol aspecte d’interes orequeriment sobre el qual es pensi que podemfer aportacions significatives. Aquest Comitepreten actuar com a plataforma per a l’inter-canvi d’informacio, experiencies i perspectivesentre experts, a mes d’ajudar a explorar pro-blematiques rellevants en l’ambit europeu del’educacio matematica, que puguin ser tambe

analitzades des de l’ambit internacional.El Comite ha decidit que no es una de les se-

ves tasques posicionar-se amb relacio a aspectespolıtics i educatius de paısos, societats i institu-cions. Hi ha una gran diversitat de tradicions,condicions, emfasis i prioritats que, lluny de re-querir ser avaluades, mereixen el nostre interesi atencio. Entenem que qualsevol posicionamento recomanacio a favor d’unes posicions per da-vant d’unes altres seria inapropiat, sobretot enel nostre terreny d’actuacio, on davant la com-plexitat d’opcions s’han d’acabar imposant elconeixement i la reflexio.

Durant la primera fase de treball, 2010-2012,el Comite te el proposit de desenvolupar un pro-jecte sota el concepte d’inventari amb el tıtolSolid findings in mathematics education (re-sultats solids en educacio matematica). Consi-derem de gran utilitat compilar la identificaciod’uns quants resultats en educacio matematicasobre els quals pugui interpretar-se que hi haacord a la nostra comunitat academica i queserveixin de referencia a d’altres comunitats.Despres de la compilacio i discussio de les respos-tes que rebrem, esta previst produir un volumper a difondre alguns dels resultats solids al’area. Esperem que la Societat Catalana deMatematiques participi en aquest projecte ambla col.laboracio d’alguns dels seus membres, jasigui a tıtol personal o per designacio.

Nuria PlanasComite d’Educacio de l’EMS

Noticiari

Carme Cascante nova degana de la Facultat de Matematiques de la UB

El 25 de maig de 2009, la Facultat de Matema-tiques de la Universitat de Barcelona (UB) vadipositar la seva confianca en un nou equip en-capcalat per la degana Carme Cascante, i formatpels vicedegans Francisco Guillen, Anna Puig iJosep Vives, i per la secretaria academica OlgaJulia. Aquest nou equip agafa el relleu de l’ante-rior, dirigit per Joaquın M. Ortega, i de tots elsequips que des de l’11 de maig de 1974, data en

que es va constituir la Facultat de Matematiques,s’han ocupat de donar resposta a les necessitatsde la societat, tirant endavant diferents plansd’estudis de la llicenciatura de matematiquesi engegant nous estudis com els d’enginyeriatecnica d’informatica de sistemes, ara plenamentconsolidats amb prop de 150 titulats informaticsprofessionals del mon empresarial, de la recercai de l’entorn academic.

10

L’any 1576, cent anys despres que la Univer-sitat de Barcelona inicies el seu recorregut, esva crear la primera Catedra de Matematiques iAstrologia, de la qual va ser titular Josep Mico.Des d’aquell moment i en diverses reformes dela Universitat, les assignatures de matematiqueses van anar incrementant, fins que amb la lleiMoyano de 1857 es crea la Facultat de CienciesExactes, Fısiques i Naturals, que, inicialment,consta de tres seccions: Ciencies Fisicomatema-tiques, Ciencies Quımiques i Ciencies Naturals.Durant el segle xx es crea la Seccio de CienciesExactes i se succeeixen diferents plans d’estudisfins a arribar a la constitucio de la Facultat deMatematiques, en que l’any 1975 es va llegir laprimera tesi de matematiques en catala, tituladaContribucio a l’estudi algebric dels sistemeslogics deductius, presentada per Josep Pla iCarrera i dirigida pel doctor Francesc d’AssısSales Valles.

La nova Facultat de Matematiques va he-retar la seu de l’antiga Facultat de Ciencies, imante la seva ubicacio al bell mig de la ciutat,en un entorn privilegiat, al voltant d’un delsclaustres de l’edifici historic de la UB, l’anticpati de ciencies. La Facultat ha tingut des del’inici professors en totes les especialitats de lesmatematiques i ha estat el germen de tota unageneracio de matematics de finals del segle xxa Catalunya.

Actualment la Facultat de Matematiques teal voltant de vuit-cents alumnes matriculats alsseus ensenyaments, i aquest curs 2009-2010 hacomencat a impartir els nous graus de Mate-matiques i d’Enginyeria Informatica, adaptatsa l’espai europeu d’educacio superior (EEES),que el passat mes de gener van obtenir l’acredi-tacio del Consell d’Universitats, amb l’avaluaciofavorable de l’Agencia Nacional d’Avaluacio dela Qualitat i Acreditacio (ANECA).

Aquests graus de Matematiques i d’Enginye-ria Informatica tenen, amb 240 credits ECTS(european credit transfer system), un tronc comude tres anys i la possibilitat, al quart, d’esco-llir entre diferents mencions o intensificacions.A mes, hi ha la possibilitat d’obtenir fins a 12credits mitjancant les practiques en empreses.Els estudis finalitzen amb un treball de grau de18 credits.

El grau de Matematiques dona una forma-cio basica que permet als graduats integrar-semes facilment tant al mon empresarial com a la

docencia de secundaria, i alhora estableix les ba-ses d’una posterior especialitzacio per a aquellsestudiants que vulguin accedir a la recerca.

El grau d’Enginyeria Informatica s’ha orien-tat cap a la formacio basica de professionals ambun ampli coneixement dels processos computa-cionals, incloent-hi els seus principis, el dissenyde programari i de maquinari, les aplicacionsi l’impacte a la societat. L’objectiu fonamen-tal d’aquest grau es la formacio tecnologica,cientıfica i socioeconomica en l’ambit de la in-formatica. S’ha apostat especialment per l’usdel programari lliure i per la difusio lliure delconeixement.

Tot aprofitant les sinergies internes que l’en-torn de la Universitat de Barcelona proporciona,ambdos graus ofereixen minors en col.labora-cio amb les facultats d’Economia i Empresa, deFısica i de Biologia.

Mes enlla d’aquestes especialitzacions, s’hafet una aposta decidida pels itineraris dobles,que han comencat amb els graus nous: itinera-ri simultani de Fısica i Matematiques i itinerarisimultani d’Enginyeria Informatica i Matemati-ques. A la practica, un itinerari simultani pera dues titulacions significa l’aprofitament deles materies comunes per poder obtenir mesrapidament els dos tıtols. En els casos esmen-tats, amb un currıculum de 318 credits es podenaconseguir les dues titulacions en cinc anys iescaig. Actualment estudiem la possibilitat d’o-ferir altres itineraris dobles.

Un dels objectius del nou equip es consolidaraquests ensenyaments nous i tot el que l’adapta-cio a l’EEES comporta: la implantacio d’un plad’accio tutorial de seguiment de cadascun delsestudiants, la potenciacio especialment de lesTIC, el desenvolupament de laboratoris d’inves-tigacio adaptats a les diferents intensificacions,la difusio i promocio dels nostres ensenyamentsentre els estudiants de secundaria, la potencia-cio de les practiques en empreses per garantiruna insercio laboral rapida dels nostres titulatsi l’aposta per la mobilitat internacional de l’a-lumnat i del professorat. Una primera valoraciode la implantacio d’aquests graus sera objected’un proper article.

Pel que fa als ensenyaments de postgrau,la Facultat de Matematiques de la UB impar-teix des del curs 2006-2007 el master oficial deMatematica Avancada i Professional amb tresespecialitats: recerca, professional i academica

11

avancada, en funcio de les assignatures cursadesi sobretot de l’orientacio del treball final delmaster. Les arees de coneixement que comprenson algebra, geometria, topologia, matematicaaplicada, analisi i probabilitats.

Com a repte de futur, per al curs 2012-2013caldra tenir implementat un nou disseny de mas-ter que s’adapti a les caracterıstiques de lesprimeres promocions d’alumnes de grau i quepermeti col.laboracions amb altres masters, ambl’objectiu d’impulsar la recerca al nostre paıs.

A mes, la Facultat participa en el masterinteruniversitari d’Intel.ligencia Artificial, coor-dinat per la UPC, i en el master universita-ri de Formacio de Professorat de SecundariaObligatoria i Batxillerat, Formacio Professionali Ensenyament d’Idiomes, en l’especialitat dematematiques i que s’imparteix enguany perprimera vegada. Els departaments de la Facul-tat tambe col.laboren en la docencia del masterd’Estadıstica i Investigacio Operativa, coordi-nat per la UPC, en el master de Logica Pura iAplicada i en el master d’Historia de la Ciencia,compartits amb altres facultats de la UB.

La Facultat te una llarga tradicio de recercaen matematiques, que es concreta en nombrososgrups de recerca que gaudeixen de reconeixe-ment internacional en les diverses arees i alsquals cal afegir els grups de recerca nous de lesarees d’informatica, de creacio recent. Aquesta

excel.lencia reverteix en les catorze lınies de re-cerca que ofereix el programa de doctorat de Ma-tematiques i que ha tingut com a consequenciaun augment molt significatiu de doctorands enels darrers anys.

Una mostra de l’activitat cientıfica de laFacultat son els seminaris que s’organitzen demanera periodica en col.laboracio amb altresuniversitats. A mes, la Facultat acull la seude l’Institut de Matematica de la Universitatde Barcelona (IMUB), institut de recerca quedona suport a les activitats de recerca dels mem-bres de la Facultat, i la Biblioteca de Matema-tiques, una de les mes grans d’Espanya en laseva especialitat, amb mes de vint mil monogra-fies, sis-centes publicacions periodiques i propde cinc-centes revistes electroniques.

Des de fa mes de seixanta anys es publicala revista Collectanea Mathematica, una de lesmes antigues d’Espanya en la seva especialitat ique actualment ocupa posicions destacades enel Science Citation Index (SCI).

Amb tot aquest bagatge, l’equip deganal esplanteja assolir entre altres reptes de futur eltrasllat de la Facultat a un edifici nou al cam-pus de la Diagonal Portal del Coneixement, quecobreixi totes les necessitats de docencia, recer-ca i transferencia del coneixement que el nouescenari universitari requereix.

Equip deganalFacultat de Matematiques, UB

XIV JAEM Girona 2009

Les XIV JAEM (Jornadas para el Aprendizaje yla Ensenanza de las Matematicas), celebrades aGirona de l’1 al 4 de juliol de 2009, han suposatper a la FEEMCAT un gran honor, pero tambeun gran repte. Des del llunya dia de fa mes detres anys que es va estudiar la possibilitat de serla seu d’aquest congres fins a la seva celebracio,les circumstancies van ser constantment canvi-ants i plenes d’incertesa. Des dels canvis a lamateixa Junta de la FEEMCAT fins a les ad-verses circumstancies economiques dels mesosprevis al congres, tot semblava succeir-se a ritmeimparable pero, alhora, sense que afectessin al’empenta i la decisio del Comite Organitzador.

En el camı s’han deixat incomptables horesi comptables recursos. Volem agrair a la SCMl’esforc que van fer per donar-nos un cop dema quan les coses estaven mes magres; comptaramb la seva col.laboracio ens va donar segure-tat. De la mateixa manera vam considerar queper la nostra banda era necessari aconseguir elreconeixement dels membres de la SCM com asocis de la FEEMCAT a efectes del pagamentd’inscripcions per part de la FEESPM, questioque es va aconseguir per a aquesta edicio demanera extraordinaria.

Es va arribar aixı al mes de juliol i es vanobrir les portes de l’Auditori per donar cabuda

12

a unes nou-centes persones entre congressistesi expositors. Les conferencies plenaries van sertot un exit i volem esmentar i agrair especi-alment l’esforc de l’Anton Aubanell i la sevacapacitat per comunicar amb rigorositat, perotambe amb dinamisme, davant d’un public moltdivers vingut d’arreu de l’Estat. Sobre aquestaspecte volem destacar que l’objectiu del Co-mite Organitzador va ser sempre que el principalbeneficiari d’aquestes JAEM fos el professoratde totes les etapes educatives de Catalunya. Ca-lia que els docents catalans mostressin les sevesexperiencies a les aules i que, alhora, el maximnombre de professionals s’arribessin a la cita aGirona; mai no tindrien tant a prop la possibili-tat de gaudir d’unes JAEM.

Conferencia inaugural per A. Aubanell (foto IGC)

Les quatre conferencies plenaries a carrecd’Anton Aubanell, Pablo Flores, Michele Emmeri M. Teresa Valdecantos, les catorze ponenciesrelacionades amb els set nuclis tematics, elsquaranta-dos tallers, les cent vint-i-una comu-nicacions, les exposicions... han estat un bonreclam i els nostres companys i companyes hanpogut gaudir d’uns dies inoblidables.

Volem destacar algunes dades: uns quatre-cents assistents eren de Catalunya i uns centmes provenien de la Comunitat Valenciana iBalears. Per edats, ha estat molt important laincorporacio de gent jove, mes de dos-cents as-sistents tenien menys de trenta-cinc anys, fetque dona molt bones perspectives a les properesedicions.

D’entre els nuclis tematics amb mes assis-tents destaca el corresponent a Eines, materialsi d’altres recursos, seguit de Plantejament iresolucio de problemes, dos classics en totes lestrobades del mateix caire. D’altra banda, tambecal esmentar l’esforc del Comite de Programa

per oferir una estructura mes dinamica tot tren-cant amb els blocs tradicionals de contingutsde les JAEM per avancar cap a una estructurames coherent amb el temps i les necessitats dela professio. Aixı, s’ha comencat l’experienciadels Espais de Debat, que es proposaven posaren contacte els mestres i professors interessats enun tema concret, especialitzat, durant el tempsprevi a les JAEM, de manera que un cop alla jatinguessin marcada una primera lınia de treball.En alguns casos l’experiencia no ha estat deltot reeixida, pero en d’altres ha donat gratessorpreses.

Finalment cal parlar de les exposicions, alvoltant de dotze, amb tota la complexitat queaixo comporta pero comptant amb la il.lusiode poder oferir bones mostres del que s’estavafent arreu de l’Estat i especialment a Catalunya,on destaquem l’exposicio organitzada per pelMMACA (Museu de les Matematiques a Cata-lunya) i la de GAMAR (Gabinet de materialsi recerca per la matematica a l’escola) de laUniversitat de Girona i coordinada per MariaAntonia Canals.

I a partir d’ara? Reposar el que hem apres,repensar el que no ha quedat clar, mirar on cauGijon, seu de les properes JAEM... Pero sobre-tot ser conscients del gran potencial huma queha fet possible aquest gran esdeveniment, el mes

13

gran a l’Estat on es reuneixen mestres i profes-sorat de totes les etapes educatives per parlard’educacio matematica. Tots i totes anem a lesJAEM disposats a aprendre i passar-ho be, elque no sabıem es que organitzant-les anavem a

entomar el repte mes gran de la nostra vida pro-fessional i que en aquesta empresa descobrirıemel potencial de tants i tantes companyes.

Trobareu mes informacio i fotografies al webhttp://www.xivjaem.org/.

Carme Aymerichpresidenta de la FEEMCAT

Els xips als GEMT2009

Els GEMT2009

La reunio dels Grups d’Estudi de Matemati-ca i Tecnologia d’aquest any (GEMT2009) vacelebrar-se els dies 7, 8 i 9 de juliol a la FMEde la UPC. Els organitzadors van ser A. Ala-bert, J. Saludes i J. Sola-Morales. Va comptaramb el suport de la FME, del CRM i del pro-jecte I-Math. Potser aquest any va tenir una as-sistencia menys nombrosa de participants, pero,en canvi (creiem que no pas per causa d’aixo),ha tingut un exit potser fins i tot mes gran quealtres anys en la resolucio dels problemes i enl’establiment de relacions cientıfiques que podendurar mes temps.

Com sempre, les jornades van comencar ambuna presentacio per part de tres convidats delstres problemes que van ser seleccionats aquestany. El primer problema, Problemes de retardsen xarxes, va ser d’optimitzacio discreta, presen-tat per J. Galtier, d’Orange/France-Telecom,sorgit de la gestio dels retards en la transmissiode grans paquets de dades. Del segon problema,Caigudes de potencial en xarxes d’alimentacioen xips, presentat per J. Rius, del Departa-ment d’Enginyeria Electronica de la UPC, enparlarem mes detingudament a continuacio. Eltercer problema era de geometria amb moltsaspectes computacionals i va ser presentat perP. Alemany, de l’Institut de Quımica Teoricai Computacional de la UB. Aquest tercer pro-blema es titulava Simetries contınues i mesuresde forma, o com mesurar distancies entre po-liedres que representen molecules. Potser valla pena dir que el coneixement sobre aquesttercer problema va venir de la presentacio quevan fer a la Jornada Inter-Consolider (I-Mathi NANOSELECT) que va organitzar el CRM,com a node d’I-Math, el passat disset d’abril.

Els xips

A fi que ens fem una idea mes precisa del tipusd’activitat que es fa als GEMT, en aquest articlevolem explicar una mica el segon dels problemesque hem esmentat.

L’enorme complexitat dels diferents circuitsdigitals amb diferents funcions que s’integren enun xip actual no para de creixer. Molts d’aquestscircuits integrats sovint es troben en el mercaten forma de moduls previament dissenyats lacircuiteria dels quals es a priori fixa i el disse-nyador no les pot modificar. Aquest es el cas,per exemple, d’alguns moduls de memoria o elrellotge que marca la frequencia a la qual treba-llen les portes logiques del xip. D’altra banda,i gracies als avencos dels darrers anys, tant enels processos de fabricacio com en el coneixe-ment de les propietats electriques dels materials,els xips actualment tenen densitats de porteslogiques molt elevades, la qual cosa ha fet que elseu consum tambe hagi augmentat considerable-ment. Per aquesta rao, el control de les caigudesmaximes de potencial entre les diverses parts delxip es un dels problemes mes grans que ha d’a-frontar el dissenyador, ja que aquestes caigudesde tensio estan directament relacionades amb elconsum del xip i a mes poden produir retardso errors en les portes logiques. De fet, tant eldisseny de la xarxa d’alimentacio del xip comla tria i ubicacio correcta dels diferents modulsestan fortament lligats al coneixement que eldissenyador tingui dels punts on es produeixenles caigudes de tensio maximes del xip i de laseva magnitud.

Matematicament parlant, el calcul del po-tencial electric es redueix a resoldre l’equacio enderivades parcials de Poisson

∇ ·(

1R(x, y)

∇u

)= J(x, y)

14

acompanyada de condicions de contorn tipus Di-richlet homogeni en les zones en que el conductoresta connectat a terra, i de tipus Neumann ho-mogeni en les zones en que o be el conductoresta aıllat o be es donen situacions de simetria.Part del problema es que les funcions R(x, y) iJ(x, y) son constants a trossos en els molts rec-tangles que representen els diferents moduls delxip. Tot i aixo, la resolucio d’aquesta equacioes un problema molt estandard, que pot fer-se usant elements finits o be desenvolupant enseries de Fourier dobles en certs casos.

Power pads Ground pads

A dalt, imatge d’un xip amb centenars decomponents. A baix, esquema d’un flip-xip.

La situacio es complica una mica quan, comen el disseny de la figura de baix, la xarxa d’ali-mentacio electrica i de contacte al terra te unaforma molt distribuıda, mitjancant les connexi-ons que estan representades pels petits quadrets,o pads. Son els anomenats flip-xips.

Pero el problema no acaba aquı. Mes aviat,aquı comenca. A mes de tenir eines numeriquesque resolguin facilment el problema global, eldissenyador ha de tenir indicacions que abansd’acabar el disseny li permetin saber si esta llunyo a prop de situacions en les quals hi pot havercaigudes perilloses de voltatge que no complirien

les especificacions donades pel fabricant. I quanaquestes caigudes perilloses s’acosten ha de tenirprocediments per a alleugerir-ne els efectes enel mateix curs del proces de disseny. Acabar eldisseny, adonar-se que no es compleixen les es-pecificacions i haver de tornar a comencar seriauna perdua exagerada de temps.

El problema que se’ns va plantejar, doncs,va ser buscar totes les eines possibles que enun futur poguessin contribuir a la creacio d’unprogramari de suport on-line als dissenyadorsd’aquesta mena de xips.

Les eines matematiques

Les eines matematiques que es van suggerir vanser quatre, i seran explicades amb mes detall ala publicacio que sortira resumint els tres pro-blemes presentats als GEMT2009 i les tres res-postes.

La primera eina es les series de Fourier do-bles. Aquestes s’adapten molt be a la geometriaquadrada o rectangular, i son especialment ade-quades al cas dels xips del tipus wire-bond en quel’alimentacio i el contacte amb terra venen delperımetre del rectangle. L’us de series de Fourierdobles (de sinus, en aquest cas) es sempre molteficient des del punt de vista numeric perquepermet l’us de la transformada rapida de Fourier.Tot i aixo, en el cas que les dades siguin cons-tants en rectangles, la representacio en forma deseries de Fourier dobles es especialment senzilla,i permet formules completament explıcites.

La segona eina es el calcul amb elementsfinits. En els GEMT vam utilitzar els del PDE-Tools del MatLab, que s’adapten tambe moltbe al cas del flip-xip, en el qual s’ha d’inclourea la frontera del domini el perımetre dels padsja esmentats mes amunt. Els pads tenen nor-malment forma quadrada, pero el cas en que elspads son circulars tambe es interessant, i tambees modela molt facilment amb el MatLab.

La tercera eina es el calcul explıcit ambmetodes de l’analisi asimptotica. En aquest casel paper del petit parametre el tenen les di-mensions dels pads. En aquesta direccio ja eraconeguda una formula senzilla que dona la cai-guda maxima de potencial en el cas en queR(x, y) i J(x, y) son constants en tot el xip(Shakeri i Meindl, 2005) i hi ha pads quadratso circulars. Aquest resultat dona una formulamolt aproximada, com vam poder comprovar,

15

pero la forma de deduccio, seminumerica i se-miempırica, mereixeria una revisio a fons. Elsconceptes de l’analisi asimptotica de outer layeri inner layer aplicats, respectivament, a l’interi-or del xip i a la regio propera als pads, creiem queproporcionarien el quadre adequat per a aquestarevisio. A mes, l’us de tecniques classiques del’analisi complexa com son les transformacionsconformes de Schwarz-Christoffel (primer) i deJoukowsky (despres) haurien de permetre jus-tificar i eventualment millorar els raonamentsempırics que en la formula citada permeten rela-cionar el cas en que els pads son circulars (mesfacil) amb el cas en que els pads son quadrats(mes complicat).

Finalment, l’ultima eina suggerida es la dela modelitzacio matematica amb EDP. A ninguse li escapa que la presencia d’una xarxa espes-sa de pads amb connexio a terra fa el mateixefecte que la refrigeracio en un sistema termic.La modelitzacio d’una refrigeracio distribuıda,molt extensa i feta de peces molt petites, podriamitjanar-se d’alguna manera i donar lloc a unterme d’absorcio dins de l’equacio, que podriaquedar com ara

∇ ·(

1R(x, y)

∇u

)−Ku = J(x, y)

amb una constant K que s’hauria d’estimar,pero que permetria prescindir de la complicaciode les fronteres interiors, i fins i tot potser tambela utilitzacio de series de Fourier tambe en elscas dels flip-xips.

Conclusions

Els GEMT son un lloc on cada any s’aprenencoses noves, i on se’ns obren oportunitats derelacio o col.laboracio cientıfica. Val la pena queconvidem els lectors interessats a assistir-hi enproperes edicions, ja que es una activitat obertaa tots els investigadors que hi estiguin interes-sats. La informacio dels GEMT apareix sempreal web http://plus.upc.es/gemt/. En aquest arti-cle hem volgut aprofundir una miqueta en undels problemes, per no fer una presentacio massafreda d’aquest esdeveniment, pero ningu ha depensar-se que els GEMT son nomes per a ferEDP o metodes numerics. Ja hem esmentat queels altres dos problemes no tenien res a veureamb aixo.

Maria Aguareles, UdGJoan Sola-Morales, UPC

Associacio Museu de les Matematiques de Catalunya

L’associacio per promoure i crear un Museu deles Matematiques a Catalunya (MMACA), quecompta amb el suport de la SCM, ha realitzatdurant l’any 2009 diverses exposicions: Expe-riencies matematiques es va fer a Figueres elmes de maig, dins els actes de la ciutat com acapital cultural de Catalunya 2009, el mes dejuliol a Girona, i el mes de novembre a Centelles.Tambe hem muntat l’exposicio (mes reduıda)Matematiques a traves del mirall a Castellde-fels en el marc de la Setmana de la Ciencia 2009.Les exposicions es munten amb els materialsque ja tenim per al futur museu i s’adapten al’espai i l’interes del lloc.

La rebuda que han tingut aquestes exposici-ons ha estat molt positiva. Les persones interes-sades o coneixedores de les diferents propostes

en valoren la qualitat del material i l’estetica dela presentacio, i el public general, que de vegadesmanifesta sentir-se negat per les matematiques,s’anima en entendre o resoldre algun dels reptesproposats (hem sentit comentaris del tipus: heapres mes matematiques amb aquesta exposi-cio que en tota la meva vida). En el cas del’exposicio de Girona, que es va fer en l’ambitde les JAEM (Jornadas para el Aprendizaje yla Ensenanza de las Matematicas), el projecteva obtenir molt reconeixement i apreciacio perpart dels participants (professorat de matema-tiques de tot l’Estat). L’alumnat d’ESO i debatxillerat que ha assistit a alguna de les expo-sicions tambe n’ha fet una valoracio positiva, i,sobretot, ha passat una bona estona veient i fentmatematiques. Les diferents realitzacions de les

16

exposicions ens animen a millorar el discurs i enshem plantejat l’elaboracio de guies didactiquesper aprofundir alguns del temes proposats.

Per al mes febrer de 2010 tenim confirmadai en preparacio la presentacio d’una nova expo-sicio a la Casa de Cultura de Girona. Com quel’exposicio de juliol va ser en perıode no lectiui atesa la bona valoracio que se’n va fer, ensvam comprometre a portar-la en dates millors.D’altra banda, tambe estem en converses ambaltres localitats per seguir aquesta itinerancia.

Esperem que les questions de financamentens permetin continuar amb la nostra tascade difusio i de divulgacio de les matematiques.Comptem amb el suport del Departament d’E-ducacio (Creamat), de l’IEC, de la FEEMCAT,de l’ICE de la UPC i de diverses universitatsi aquest curs hem rebut un ajut de divulgaciodel Comissionat d’Universitats. Podeu trobarmes informacio a www.mmaca.cat o al Creamathttp://phobos.xtec.cat/creamat/joomla/).

Associacio MMACA

Activitats amb l’ajut de la SCM

International Meeting on Mathematical Fuzzy Logic and Soft Computing

Les jornades de l’International Meeting on Math-ematical Fuzzy Logic and Soft Computing vantenir lloc a l’Aula Magna de la Facultat de Mate-matiques de la UB els dies 7 i 8 de novembre de2008 i van ser organitzades per diverses perso-nes que treballen en logica matematica borrosatant del Departament de Probabilitat, Logicai Estadıstica de la UB com de l’Institut d’In-vestigacions en Intel.ligencia Artificial (CSIC).L’objectiu d’aquestes jornades cientıfiques vaser aplegar un conjunt d’experts en les discipli-nes de logica matematica borrosa (en el sentitformal del terme) i de soft computing per tal dediscutir l’estat actual de coneixement en els doscamps i explorar possibles sinergies.

Seguidament dediquem unes quantes ratllesa explicar breument l’objecte d’estudi en aquestsdos camps cientıfics. Durant l’ultima decada, lalogica borrosa ha tingut un desenvolupamentmolt important, entesa des del punt de vistaformal com una part de la logica matematica.De fet, el terme fuzzy logic va neixer dins delcorpus de la teoria de conjunts borrosos ide-ada per Lofti Zadeh (1965). Dos enfocamentss’han distingit habitualment dintre de la logicaborrosa (cf. [1]). La logica borrosa en un sentitample es l’enfocament mes conegut (per raonshistoriques), i estableix models computacionalseficients per a la representacio d’enunciats (delllenguatge natural) vagues de gran aplicacio enarees com el control borros i la presa de decisi-ons. Aquest enfocament correspon a una de lestecniques incloses dins del soft computing. La

col.leccio [2] es una referencia exhaustiva on ellector pot aprofundir en aquests aspectes.

L’altre enfocament es conegut com la logi-ca borrosa en un sentit estricte i utilitza la lo-gica simbolica (logica matematica) sobre unanocio de veritat comparativa (en el sentit degraus de veritat). Aquesta branca comparteixel mateix esperit que la logica classica (recercad’axiomatitzacions, estudi de relacions de con-sequencia que preserven la veritat, etc.) i coma tal es considerada com una part de la brancade recerca anomenada logiques multivalents note validesa el principi del terc exclos (cal pen-sar en mes de dos valors de veritat). Aquestenfocament estricte es relativament nou, i buscatant proporcionar una fonamentacio formal a lalogica borrosa en sentit ample, com respondre ales questions estrictament logiques (completesa,axiomatitzacions, etc.) de les logiques multiva-lents involucrades. La referencia basica d’aquestenfocament recent es [3].

Per una altra part, una primera definicio delsoft computing com a disciplina cientıfica propiava ser donada per L. A. Zadeh el 1994 en lacita seguent: [1] Basicament, el soft computingno es un cos homogeni de conceptes i tecniques.Mes aviat es un conjunt de metodes que, d’unamanera o altra, cooperen des dels seus fona-ments. En aquest sentit, el principal objectiudel soft computing es aprofitar la tolerancia quecomporten la imprecisio i la incertesa, per tald’aconseguir flexibilitat, robustesa i solucionsde baix cost. Els principals ingredients del soft

17

computing son la logica borrosa, la computacioneural i el raonament probabilıstic. En aquestaassociacio, la logica borrosa s’ocupa principal-ment de la imprecisio i el raonament aproximat,la neurocomputacio de l’aprenentatge i el raona-ment probabilıstic de la incertesa i propagaciode les creences.

Actualment s’accepta una nocio de soft com-puting una mica mes general i estructurada comuna famılia de metodes de resolucio de proble-mes, que apareixerien agrupats en dues granssubfamılies: 1) els metodes de raonament aproxi-mat, que inclouen la logica borrosa i els metodesprobabilıstics, i 2) els metodes d’aproximaciofuncional i d’optimizacio, que inclouen la com-putacio neural i la computacio evolutiva (al-gorismes genetics, de cerca, metaheurıstiques,etc.). Cal remarcar que es poden donar mol-tes combinacions entre aquestes metodologies.Com a exemples destacats podem esmentar ex-tensions de metodes estadıstics per a esdeve-niments borrosos, els sistemes neuroborrosos,sistemes de control borrosos ajustats per algo-rismes genetics o xarxes neurals, els sistemesgenetics borrosos, les metaheurıstiques borro-ses, o els sistemes bioinspirats. Son precisamentaquests metodes hıbrids els que mes atencio re-ben actualment i mostren mes activitat, donadala seva gran aplicabilitat en multitud de pro-blemes reals; consequencia d’aixo es el fet queaquest camp ha esdevingut en els darrers anysun exemple clar de transvasament tecnologicdes del mon cientıfic cap a la industria.

Per acabar, remarquem que la idea d’interac-cio entre recerca teorica i implementacio practica

es la que va motivar l’organitzacio d’aquesta reu-nio cientıfica, i per aixo s’organitzaren, a partde xerrades cientıfiques, una taula rodona ones van explicar diverses experiencies tant naci-onals (Unitat de Desenvolupament Tecnologicdel IIIA-CSIC i Departament de Ciencies dela Computacio i IA de la Universitat de Gra-nada) com internacionals (l’empresa alemanyaFuzzy Logik Systeme i el laboratori LIP6 de laUniversitat de Parıs VI).

En aquestes jornades, hi van participar ma-tematics de prestigi en l’area com Roberto Cig-noli, Petr Hajek, Franco Montagna i DanieleMundici. Es va aprofitar la presencia d’aquestsmatematics, aixı com la d’altres participants,per homenatjar el doctor Francesc Esteva enocasio del seu 65e aniversari tant pel seu pa-per de pioner en l’ambit catala dins del campde la logica matematica borrosa com per lesseves contribucions destacades al mateix campa escala internacional (ha estat coautor de lamajoria de participants en la conferencia). In-formacio mes detallada relativa tant a les xer-rades com a la taula rodona es pot trobar ahttp://www.iiia.csic.es/conferences/MFL-SC/.

Referencies

[1] Zadeh, L. A. Soft computing and fuzzylogic. IEEE Software, 11, 6 (1994), 48–56.

[2] Dubois, D.; Prade, H. [eds]. The Handbo-oks of Fuzzy Sets. Springer. 7 v.

[3] Hajek, P. Metamathematics of fuzzy logic.Dordrecht: Kluwer, 1998.

F. Bou, J. Gispert, Ll. Godo,C. Noguera i V. Verdu

L’algebra a la penınsula Iberica en el segle XVI. Pedro Nunez (1502-1578)Barcelona, 16 de gener de 2009

El passat 16 de gener de 2009 va tenir lloc ala UPC, a Barcelona, el congres internacionalL’algebra a la penınsula Iberica en el segle xvi.Pedro Nunez (1502-1578). El Grup de Re-cerca d’Historia de la Ciencia i de la Tecni-ca (GRHCT) del Departament de MatematicaAplicada I de la UPC, juntament amb el grupd’Algebra del Centre d’Etudes Sperieures dela Renaissance (CESR) de la Universitat Fran-

cois-Rabelais de Tours (Franca) van ser-ne elsorganitzadors.

El congres sobre l’algebra de Pedro Nunezs’emmarca dins d’una recerca mes amplia sobreles relacions entre les transformacions de la ma-tematica i la filosofia natural des del segle xvfins a finals del segle xvii. Es poden considerartrets principals d’aquest proces la recerca denous metodes analıtics recreats amb els metodes

18

dels antics; el moviment de les lınies divisoriesde l’aritmetica, l’algebra i la geometria ambrelacio a la terminologia i la metodologia; laintroduccio i augment de metodes algebraics enaltres ambits, com ara la teoria de nombres; elsobstacles de la compatibilitat de l’algebra i la ge-ometria, i la creacio d’un llenguatge matematicformal per tractar equacions algebraiques, cons-truccions geometriques i corbes. Les condicionspreviament existents en els textos del segle xvi,que son les que estem analitzant, van afavoriraquests desenvolupaments.

L’analisi i contextualitzacio dels manuscritsi documents matematics que contenen parts ocapıtols referits als procediments algebraics po-den clarificar quin era l’estatus de l’algebra enels estadis precedents a l’algebritzacio que vatenir lloc al segle xvii. Hi ha diversos estudissobre la matematica espanyola del segle xvi i, enconcret, sobre l’aritmetica mercantil, que perme-ten situar en una primera aproximacio els textosespanyols dins del panorama cientıfic europeu.Tanmateix manca encara analitzar-ne els con-tinguts per coneixer quines influencies podienhaver rebut i quins metodes nous presentaven.

Aquest congres es va centrar en el continguti l’impacte de l’obra de Pedro Nunez: Libro dealgebra en arithmetica y geometria (1567). Elfet de dedicar una sessio monografica a aquestaobra queda justificat a bastament per la graninfluencia que va exercir en aquella epoca i perla singularitat dels procediments i justificacionsgeometrics i algebraics emprats per l’autor.

El congres es va desenvolupar en dues ses-sions al llarg del divendres 16 de gener, unaal matı, a l’Aula Capella de l’Escola TecnicaSuperior d’Enginyeria Industrial de Barcelona(ETSEIB), amb tres conferencies i, l’altra a latarda, a la sala Nicolau d’Olwer de l’Institutd’Estudis Catalans amb dues conferencies i unataula rodona com a cloenda.

El director de l’ETSEIB, Francesc Roure, elcoordinador del GRHCT, Antoni Roca-Rosell,la coorganitzadora Sabine Rommevaux (CESR,Tours) i M. Rosa Massa-Esteve (GRHCT-UPC)van fer-ne la presentacio. D’una banda, es vadissertar sobre el context algebraic del congresi, de l’altra, gracies a la col.laboracio del doctorHenrique Leitao, de la Universitat de Lisboa,ens varem il.lustrar amb una presentacio sobrela vida i les obres de Pedro Nunez.

La primera conferencia va ser impartida perla doctora Marie-Helene Labarthe, de la Uni-versitat de Perpinya, i es titulava Extensiondes operations connues sur les nombres enti-ers aux operations sur les nouveaux objets del’algebre: l’argumentation de Pedro Nunez. La-barthe anomena aquı objectes de l’algebra tot elque per Nunez es susceptible de ser afegit, restat,multiplicat, dividit o comparat, o fins i tot alloamb que es pot operar i treure’n l’arrel quadra-da. A aquests objectes coneguts de l’aritmetica,Nunez hi afegeix nous objectes com ara els bi-nomis, nombres de la forma a +

√b on a i b son

racionals; els objectes algebraics que resulten deles operacions amb binomis; les dignitats, queavui anomenarıem monomis, x, x2, x3 etc.; elsobjectes algebraics que resulten de les operaci-ons de les dignitats, que avui anomenarıem po-linomis, fraccions polinomiques, etc. Labarthe,despres de presentar aquests nous objectes, vaanalitzar com Nunez abordava la questio del’extensio de les operacions i com les justificava,intentant situar el context matematic d’aquestesoperacions.

La segona conferencia va ser impartida perFatima Romero Vallhonesta, de la UPC, i portaper tıtol Les quantitats irracionals a l’algebrade Pedro Nunez. La professora Romero va co-mencar mostrant que la major part dels tractatsd’algebra del segle xvi contenien un capıtol de-dicat als binomis i als residus i tambe dedicavenun espai considerable a les operacions amb arrels.La conferenciant va assenyalar que l’estudi deles operacions amb arrels de Nunez no es limita-va a enunciar una serie de regles i a verificar-lesdespres amb exemples numerics, com feien altresautors de la penınsula Iberica del segle xvi, sinoque enunciava les regles i en feia les demostraci-ons. Romero va descriure breument els capıtolssobre arrels, va estudiar que volia dir per ellarrel sorda i va analitzar alguna demostracioper remarcar-ne les particularitats.

La tercera conferencia, i ultima del matı,titulada Les systemes d’equations a plusieursinconnues dans l’algebre de Pedro Nunez va serimpartida per Odile Kouteynikoff (CHSPAM,Parıs). La professora Kouteynikoff va descriureel capıtol sise de la tercera part principal del’obra de Nunez que tracta de la regla de laquantitat simple o absoluta, que avui anome-narıem resolucio de sistemes d’equacions ambvaries variables. Tot seguit la conferenciant va

19

comparar aquests procediments amb els de Gui-llaume Gosselin (aprox. 1577), Jacques Peletier(1517-1582) i Girolamo Cardano (1501-1576) iva mostrar la resolucio d’uns quants problemescaracterıstics de l’epoca.

A la sala Nicolau d’Olwer, la primera con-ferencia de la tarda, titulada Le statut del’angle de contingence dans l’Algebra de PedroNunez, va ser impartida pel doctor FrancoisLoget (IUFM, Limoges; CESR, Tours). El pro-fessor Loget va assenyalar que al comencamentdel llarg desenvolupament que Nunez fa sobre lesproporcions aquest disserta breument sobre laquestio de l’angle de contacte. Nunez dona la se-va visio sobre un tema que va ser objecte devius debats dins de la comunitat matematicadel segle xvi. Es l’angle de contacte una quan-titat? Es del mateix genere que una quantitatrectilınia? Es pot comparar? Contestant aques-tes questions Nunez es desmarcava de la posicioque havia defensat Peletier en els seus comenta-ris als Elements de 1557. La digressio de Nunezsobre l’angle de contacte es interessant en moltsaspectes. Loget va dissertar sobre alguns delsarguments de Nunez que difereixen dels propo-sats pels seus contemporanis i en va remarcarl’originalitat.

L’ultima conferencia de la jornada, tituladaRelacions entre algebra i geometria a l’algebrade Pedro Nunez, va ser impartida per la doc-tora M. Rosa Massa-Esteve, de la UPC. Laprofessora Massa va comencar explicant que lesrelacions entre l’algebra i la geometria havienestat molt diferents abans de l’algebritzacio deles matematiques, que va tenir lloc gracies ala publicacio i difusio de les obres de FrancoisViete (1540-1603), Rene Descartes (1596-1650)i Pierre de Fermat (1601-1665). La conferenci-ant va situar l’obra de Nunez dins del contextalgebraic europeu i va mostrar que, al llarg detota l’obra, les relacions entre l’algebra i la geo-metria eren constants, ja sigui en la justificaciogeometrica de les regles algebraiques, o be enla utilitzacio de l’algebra per resoldre proble-

mes de geometria practica. Massa va analitzartambe la construccio de Nunez de la solucio del’equacio de segon grau tot reflexionant sobreels seus arguments i el seu significat, i sobre laseva possible influencia en autors posteriors.

Participants al congres.

Com a cloenda, es va celebrar una taula rodo-na sobre l’impacte de l’obra de Nunez, en la qualels ponents eren els mateixos conferenciants, ames de Maryvonne Spiesser, de la UniversitatPaul Sabatier (Tolosa). Hi va haver una bonaafluencia de public, i el debat —en el qual esvan abordar alguns dels aspectes del context es-panyol del segle xvi en que es va publicar l’obrade Nunez— va ser molt animat i interessant.

Per part dels organitzadors, ara estem edi-tant un numero especial de la revista Quadernsd’Historia de l’Enginyeria sobre l’obra de Nunez,que contindra les conferencies del congres.

Les entitats col.laboradores han estat el Mi-nisteri de Ciencia i Innovacio, l’ETSEIB de laUPC, la Catedra Unesco de Tecnica i Cultura,la Societat Catalana d’Historia de la Ciencia i dela Tecnica i el Fons de Promocio d’Activitatsde la SCM. A totes elles agraım que hagin fetpossible aquest esdeveniment. Pels que investi-guem sobre l’algebritzacio i els seus antecedents,l’obra de Pedro Nunez te una significacio especi-al i les conferencies d’aquest congres aixı ho vanmostrar; d’una banda, van aclarir molts dubtesi, de l’altra, van plantejar nous i engrescadorsinterrogants.

M. Rosa Massa-EsteveComite Organitzador, UPC

20

Sage Days

Sage es una plataforma de calcul matematicsimbolic i numeric que te per objectiu ser una al-ternativa en codi obert als productes comercialsmes importants d’aquest tipus: Magma, Maple,Mathematica i Matlab. Podeu trobar informaciodel projecte i obtenir el programari per a dife-rents plataformes a http://www.sagemath.org/.

El responsable del projecte es William Stein,professor de la Universitat de Washington, ma-tematic especialista en teoria de nombres. Elprojecte tira endavant amb la col.laboracio dematematics d’arreu del mon, que hi contribuei-xen aportant programari, i de becaris, subvenci-onats —entre altres— per la National ScienceFoundation (NSF), diverses universitats ameri-canes, Microsoft i Google.

Una de les eines de desenvolupament d’aques-ta plataforma son reunions de desenvolupadorsi d’usuaris del sistema en que es presenten lesdarreres novetats i es planifiquen i defineixenels objectius prioritaris.

Els Sage Days 16, que van tenir lloc aBarcelona el mes de juny de 2009, van ser lasetzena edicio de la serie, i la tercera que es feiaa Europa, despres del Regne Unit (Sage Days 6 aBristol) i Franca (Sage Days 10 a Nancy). Or-ganitzada conjuntament per la OSRM (FME),el CRM i el Grup de Teoria de Nombres de laUPC, fou una ocasio de presentar aquest pro-jecte a tota la comunitat matematica catalana ide discutir els aspectes de Sage mes relacionatsamb la teoria de nombres, que son els que mesinteressaven als organitzadors locals.

Aprofitant l’esdeveniment es va organitzartambe una jornada tematica al CRM amb eltıtol Mathematics and computers: the use ofcomputational tools in mathematical research.L’objectiu d’aquesta jornada va ser discutir engeneral sobre l’us que es fa de les eines de calculmatematic en l’activitat habitual de recerca iparlar de l’impacte que l’arribada dels ordina-dors i les eines informatiques ha tingut en elquefer diari dels investigadors en matematiques.

La jornada va consistir en tres conferencies,a carrec de matematics experts en l’us d’einesinformatiques: Sage: open source mathemati-cal software (W. Stein, U. de Washington),Experimental methods in number theory andanalysis (H. Cohen, U. de Burdeos) i Develo-

ping tailored software for specific problems (A.Jorba, UB), seguides d’una taula rodona en quevan participar els tres conferenciants i va estarmoderada per J. Puig (UPC).

Els Sage Days propiament dits es van desen-volupar a l’edifici de la FME de la UPC entre elsdies 22 i 27 de juny, ambdos inclosos. El formatd’aquest tipus de reunions es una barreja del’habitual de les conferencies i workshops, ambsessions de treball conjunt sobre programaciode noves aplicacions i funcionalitats que s’in-corporen a Sage, aixı com sobre la millora deles ja existents. En total, durant la setmana, ia banda de les tres conferencies de la jornadatematica del CRM, hi va haver dotze xerradesd’entre trenta i seixanta minuts cadascuna enque es va parlar des de temes molt directamentrelacionats amb la programacio i el programarimatematic, fins a presentacions de la recercad’alguns participants en temes com ara les vari-etats abelianes modulars, series theta de Siegel,formes modulars p-adiques, o tecniques per acalcular bases d’enters de cossos de nombres.

Les sessions de programacio, conegudes coma coding sprints en l’argot dels habituals delsSage Days, comencaven al vespre despres d’unsopar lleuger, que molts dels participants feiendirectament a la universitat a base de productescomprats al supermercat mes proper, i acabavende matinada, en alguns casos amb llum de dia.En aquest sentit s’ha de destacar que gairebetots els participants estaven allotjats a la re-sidencia Torre Girona, a cinc minuts caminantde l’edifici de la FME on es feien les conferenciesi les sessions de programacio.

Als Sage Days 16 hi van participar quaranta-vuit investigadors amb orıgens prou diversos queinclouen Alemanya, Colombia, Dinamarca, Es-tats Units, Franca, Grecia, Iran, Italia, Holanda,Regne Unit, Rumania, Txequia i Uruguai.

El desenvolupament de la plataforma Sagesegueix el seu curs, gracies a l’entusiasme delseu maxim responsable W. Stein, i cada diames investigadors fan servir aquest programa-ri. Tambe s’esta introduint rapidament per al’ensenyament de les matematiques en l’ambituniversitari. Ara mateix ja estan programats elsSage Days fins a l’edicio numero 26.

Jordi QuerUPC

21

Metodes efectius en geometria algebraicaBarcelona, 15-19 de juny de 2009

Durant la setmana del 15 al 19 de juny del 2009va tenir lloc el congres internacional MEGA’09,acronim per a Metodes efectius en geometriaalgebraica en multitud de llengues europees.La seu del congres va ser la Facultat de Ma-tematiques de la UB, i l’esdeveniment va sercoorganitzat per investigadors d’aquesta Univer-sitat, de la UPC i de la Universitat de Cantabriai va comptar amb noranta-un participants delsquals disset eren d’universitats espanyoles.

MEGA es una serie de congressos biennalssobre les aplicacions i els aspectes computaci-onals de la geometria algebraica i els temesrelacionats. El primer MEGA va tenir lloc el1990 a Castiglioncello (Italia) i despres s’hanfet edicions a Franca, Espanya, Italia, Holanda,Alemanya i Austria. El Comite Executiu d’a-questa edicio estava format per Luis Miguel Par-do (chair, Universitat de Cantabria), WolframDecker (Universitat de Kaiserslautern), AliciaDickenstein (Universitat de Buenos Aires), JoanElias (UB), Marc Giusti (Ecole Polytechnique),Antonio Montes (UPC), Ragni Piene (Center ofMathematics for Applications, Noruega), FrankSottile (Universitat A&M Texas) i Carlo Tra-verso (Universitat de Pisa).

Les xerrades es van fer a l’Aula Magna de laUB. Despres d’unes paraules de benvinguda delsorganitzadors locals es va donar la paraula al pri-mer conferenciant, J. Draisma. Durant els cincdies de congres es van impartir vuit conferenciesplenaries: J. Draisma (T. U. Eindhoven), M. Ca-sanellas (UPC), M. Husty (Leopold-FranzensU. Innsbruck), J. Landsberg (U. A&M Texas),G. Lecerf (U. Versailles), M. Schub (U. Toron-to), W. Stein (U. Washington), R. Vakil (U. deStanford); trenta-sis comunicacions i cinc presen-tacions de programari en una agenda atapeıdaque tambe va comptar amb activitats socials.Els participants van poder gaudir d’una visitaguiada pel romanic del Raval i del Barri Gotic,aixı com d’una sortida amb bicicleta per la Bar-celoneta i d’un sopar al Port Olımpic.

El congres va ser precedit per l’escolad’algebra computacional CoCoA school i vaser seguit del Sage Days; ambdues activitatsvan tenir lloc a la FME de la UPC. D’altra ban-da, hi haura un volum especial del Journal ofSymbolic Computation per recollir les actes delcongres. En aquests moments els editors CarlosD’Andrea, Marc Giusti, Luis M. Pardo i RagniPiene estan duent a terme el proces d’arbitratgedels articles sotmesos.

Participants al MEGA’09.

L’organitzacio local va comptar amb el su-port de l’IMUB, l’OSRM, Ingenio Matematica(Consolider Ingenio 2010), el Ministeri deCiencia i Innovacio, el Departament d’Innova-cio, Universitats i Empresa de la Generalitat, laSCM, la UB, la UPC i els departaments de Ma-tematica Aplicada 1 i 2 d’aquesta Universitat.Estem molt agraıts als nostres patrocinadors ia l’ajuda inestimable de Raquel Caparros, del’OSRM.

El Comite Organitzador va estar format perMaria Alberich, Josep Alvarez-Montaner, MartaCasanellas, Gemma Colome, Teresa Cortadellas,Carlos D’Andrea, Joan Elias, Jesus Fernandez-Sanchez, Montserrat Manubens, Antonio Mon-tes, Tomas Recio, Martin Sombra, Luis FelipeTabera.

El Comite Organitzador

22

Workshop High rank L-series: theory and computations

Cinc dies despres que la ministra de Cienciai Innovacio, Cristina Garmendia, inaugures elnou i singular edifici del Centre de Ciencies PerePascual a Benasque, va tenir lloc del 19 al 31 dejuliol de 2009 el workshop sobre L-series de rangalt, en aquest marc incomparable a la comarcaribagorcana del Pirineu. El Centre de Cienciesa Benasque va ser fundat pel fısic Pere Pascuall’any 1994 i amb les espectaculars noves instal-lacions es convertira en un referent per a lestrobades de discussio cientıfica del nivell delsprestigiosos Aspen Center for Physics (Colora-do, EUA) o el Centre de Physique des Houches(Savoia, Franca).

En la sessio inaugural del workshop, els orga-nitzadors Fernando Rodrıguez-Villegas (Univer-sitat de Texas), Brian Conrey (American Insti-tute of Mathematics) i Joan-C. Lario (UPC) vanproposar el metode de treball a seguir durant lesdues setmanes. Despres d’una presentacio perpart de cada participant en que exposava el seubagatge i les motivacions sobrevingudes ambrelacio al tema del workshop, es va fixar unaserie de reptes i els grups de treball seguents:a) Siegel modular forms, b) p-adic methods inArtin L-series, c) analytic algorithms, d) centralvalues, e) data group. Cada grup tenia un capvisible, a) Nils Skoruppa, b) Henri Cohen, c)Mike Rubinstein, d) Mark Watkins, e) DavidFarmer. Els trenta participants es van repartirlliurement en els diferents grups i varem acordarreunir-nos tots junts dos cops al dia: a primerahora del matı per a una xerrada d’una hora, en

que s’exposaven els temes de la manera mes ac-cessible possible, i a darrera hora de la tarda perfer la posada en comu dels avencos i dificultatsde cada grup de treball.

Pel que fa a les xerrades del matı, varenparlar: David Farmer (What is a L-function?),Nathan Ryan (From Langlands to L-functions),Philip Candelas (Arithmetic of Calabi-Yau va-rieties), Fernando Rodrıguez-Villegas (Artin L-functions), Mark Watkins (Symmetric powers),Mike Rubinstein (The software Lcalc), Nils Sko-ruppa (More Siegel stuff), Francesc Fite (Genustwo L-functions), Hiroyuki Yoshida (Higher di-mensional CM periods).

D’entre els resultats obtinguts al workshopdestaca el que ha comunicat recentment l’AIM:http://www.aimath.org/news/congruentnumbers/es.html. Es tracta del calcul que ha permes obte-nir els 3.148.379.694 nombres congruents (entersque son area de triangles rectangles amb costatsracionals) mes petits que un bilio (1012). El pro-blema dels nombres congruents fou enunciat perprimera vegada pel matematic persa al-Karaji(953-1029) i, des d’aleshores, ha estat font pergenerar investigacio util i interessant en diversesparts de la teoria de nombres i la geometriaaritmetica.

El workshop va comptar amb financamentpublic per part del mateix Centre de CienciesPere Pascual, la UPC, la Generalitat, la SCM ila NSF. Es preveu poder fer-ne una nova ediciod’aquı a dos anys.

Joan-C. LarioUPC

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB del curs 2009-2010

La Facultat de Matematiques de la UB va inau-gurar el curs academic el 30 de setembre ambla conferencia del doctor Jordi Vitria tituladaBits, atoms i maquines virtuals. En aquestallico, el doctor Vitria va fer un repas actualitzatdels objectius finals de la recerca en un delscamps de la informatica mes actuals, la intel-ligencia artificial, tot reflexionant sobre el ques’ha aconseguit i sobre quins son els reptes de

futur mes importants.Dins del marc de col.laboracio amb els profes-

sors d’ensenyament secundari, aquest any hemincorporat una novetat, que es la preparacio perles Olimpıades Matematiques. Aquesta activi-tat, que ja es duu a terme en altres universitatscatalanes, ha arribat tambe a la UB, de la ma deJosep Pla i Ignasi Mundet. Per a mes informacious podeu posar en contacte amb nosaltres.

23

Naturalment tambe han continuat les diver-ses activitats que ja fa diversos anys porta aterme la Facultat. Aixı doncs, els passats 18 i 25de novembre va tenir lloc la xerrada-taller per aalumnes de batxillerat Intel.ligencia artificial:l’ultima frontera?, impartida tambe pel doctorJordi Vitria, a la qual van assistir un total deset-cents quaranta alumnes de diversos centresde Catalunya. A la xerrada vam desfer mitessobre que es la intel.ligencia artificial i quinsson els seus reptes en el futur proper. El ta-ller va consistir a fer un petit programa perqueuna formiga sortıs d’un laberint, cosa molt mescomplicada del que podrıem pensar.

El semestre de primavera, i mes concreta-ment els dies 20 i 27 de gener, tindra lloc laxerrada-taller Mapes i matematiques a carrecdel doctor Xavier Massaneda, que fara servir elfil conductor de la cartografia per explicar-nos

el concepte de conformalitat (les inscripcionsper a les dues xerrades-taller es fan durant elmes de setembre; si el curs vinent voleu rebrela informacio personalment envieu un correuelectronic a secundaria@maia.ub.es).

Com cada any, des de la Facultat, hem conti-nuat donant suport a diversos treballs de recercaen matematiques, posant en contacte els nos-tres alumnes i professors amb aquells alumnes itutors de batxillerat que aixı ho han demanat.Tornarem a comencar aquesta activitat durantels primers mesos de 2010.

Finalment, l’edicio d’enguany de la Mate-fest/Infofest, la nostra festa particular de lesmatematiques i la informatica, tindra lloc elmatı del 29 d’abril. Aquesta festa singular l’or-ganitzen els mateixos alumnes de la Facultat iva adrecada als alumnes del segon cicle d’ESOi tambe de batxillerat. En aquesta jornada, po-dem experimentar amb les diverses vessants deles matematiques i de la informatica, en les dife-rents paradetes i estands repartits per tot l’edi-fici historic de la UB. Al llarg del matı tambe espodra gaudir de conferencies i tallers. Coincidintamb la Matefest/Infofest, la Facultat organitzala Jornada de Portes Obertes adrecada a tots elsalumnes de secundaria que vulguin informaciosobre els ensenyaments que s’imparteixen a laFacultat.

Trobareu informacio sobre aquestes i altresactivitats a www.ub.edu/csecundaria/ubicat, imes general sobre la Facultat a www.mat.ub.edu.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

Activitats del Departament de Matematiques de la UAB del curs 2009-2010

Un curs mes el Departament de Matematiquesde la UAB segueix organitzant diverses activi-tats amb l’objectiu d’afavorir l’apropament deles matematiques a la nostra societat i, molten especial, a la gent jove que esta cursant elsestudis de secundaria, aixı com impulsar la col-laboracio amb els seus professors.

Des de fa uns anys, el Departament acullestudiants de primer de batxillerat dins del pro-grama Estades de batxillerat, coordinat atraves del programa Argo de la UAB. Les es-

tades ofertes per la UAB, i que els estudiantspoden escollir de manera optativa dins dels estu-dis de batxillerat, tenen el valor afegit de donarl’oportunitat de coneixer de prop el mon uni-versitari i l’oferta d’estudis que poden seguiren un futur. A mes a mes, aquesta proposta elsofereix la possibilitat d’iniciar el treball de recer-ca de batxillerat com a continuacio d’un tematractat durant aquesta estada i poder comptaralhora amb l’assessorament del professorat delDepartament.

24

El darrer curs academic 2008-2009 un grupde tres estudiants van participar en aquestesestades del 29 de juny al 16 de juliol sota lacoordinacio dels professors Natalia Castellanai Alex Gonzalez. L’objectiu va ser l’elaboraciod’un dossier de material didactic sobre certesquestions topologiques. En el transcurs d’aques-tes tres setmanes es van dissenyar una dotzenad’activitats, amb el seu material i justificaci-ons matematiques corresponents, amb les qualses van poder tractar diversos temes com, perexemple, la teoria de grafs i de nusos. Despresde l’experiencia certament positiva dues de lesparticipants van decidir seguir i centrar el seutreball de recerca en aquests temes.

Cal destacar tambe la importancia de les ses-sions per a la preparacio de les proves Cangur ide les Olimpıades Matematiques que actualments’estan organitzant des del Departament. Lessessions de preparacio de les Olimpıades, que es-tan coordinades pel professor Joan J. Carmona,no son sols d’utilitat per a la preparacio d’a-questes proves sino per l’oportunitat d’introduirels estudiants en l’estudi de tipus de problemesmolt rics i que els ajudaran en el bon desenvo-lupament de la seva activitat matematica. Lessessions de preparacio de les proves Cangur,coordinades pel professor Josep Gascon, cadadimecres de cinc a set de la tarda reuneixen unbon grup d’estudiants de l’ESO de diversos ins-tituts. Les professores Berta Barquero, Noemı

Ruiz i Noelia Viles guien aquests nois i noiesen l’aprofundiment de la resolucio de problemesi, en particular, dels tipus que apareixen en lesproves Cangur. Si esteu interessats a participaren aquestes sessions podeu contactar enviant uncorreu electronic a secundaria@mat.uab.cat.

De cara a futures activitats, cal destacar lacita anual amb els Dissabtes de les Matemati-ques que tindra lloc la primavera de 2010. Unany mes, aquestes jornades organitzades desdel Departament de Matematiques de la UABtindran lloc els dissabtes al matı i constarand’una xerrada divulgativa, un petit esmorzar iun taller-concurs on tots els participants estaranconvidats a practicar, experimentar i contrastarel que previament se’ls hagi introduıt tant ambjocs com amb endevinalles i concursos. Aquestany presenta una novetat important: per prime-ra vegada es realitzara un Dissabte de les Mate-matiques conjuntament amb el Departament deFısica amb motiu de la doble titulacio de Mate-matiques i Fısica que s’ofereix a la UAB. Aquestdissabte inaugural tindra lloc el proper 20 defebrer a la Sala d’Actes del Rectorat i constarade dues xerrades. La segona tractara l’apassi-onant tema de les matematiques amagades enuna camera digital, sota la direccio del professorJuan J. Donaire. Les seguents sessions tindranlloc els dies 10, 17 i 24 d’abril a la Facultat deCiencies, en les quals la professora Rosa Campsens introduira a l’enigmatic mon de la cripto-grafia, coneixerem i analitzarem diversos fetsmitjancant l’estadıstica amb els professors Llo-renc Badiella i Anna Espinal i, finalment, elprofessor Gregori Guasp ens ensenyara com esveu el mon des d’un forat tot introduint-nos ala geometria projectiva.

Per a mes informacio sobre aquestes i altresactivitats podeu consultar el web del Departa-ment www.uab.cat/matematiques/ en l’apartatde divulgacio. A mes a mes, des del Departa-ment s’esta actualitzant la llista de distribucioper correu electronic per informar puntualmentde totes les activitats. Us hi podeu subscriure atraves de la pagina: mat.uab.cat/matuab-divulga.

Berta Baquero i Natalia CastellanaOrganitzadores, UAB

25

Activitats de la FME de la UPC durant el quadrimestre de tardor del curs 2009-2010

La FME de la UPC dedica el curs 2009-2010al matematic d’origen hongares John Von Neu-mann (1903-1957).

L’acte inaugural del curs Von Neumann esva celebrar el dia 16 de setembre amb la parti-cipacio del dega, Jordi Quer, la vicerectora dePolıtica Academica de la UPC, Anna Sastre, ila degana de la Facultat d’Economia i Empresade la UB, Elisenda Paluzie. En la presentacio del’acte es va posar emfasi en el fet que aquest esposa en marxa el grau en Matematiques UPCi el grau interuniversitari en Estadıstica UB-UPC. A continuacio, el professor Mateo Valero,catedratic d’Arquitectura de Computadors ala UPC i director del Barcelona Supercompu-ting Center, va impartir la conferencia Pasado,presente y futuro de la arquitectura de los com-putadores. En acabat, es va lliurar un obsequials professors Josep Pla (UB) i Jaume Pages(UPC), ambdos reconeguts en els darrers anysamb la distincio de Magister Honoris Causa dela FME.

El dia 23 d’octubre, per als estudis de ma-tematiques, i el 6 de novembre, per als estudisd’estadıstica, van tenir lloc els actes de lliura-ment de diplomes als titulats per la FME durantel curs 2008-2009. Aquests estudiants van rebre,davant de professors i familiars, l’enhorabonatant del dega i els caps d’estudis com dels pa-drins de la promocio. En aquesta ocasio, els

padrins han estat els professors Sebastia Xambo(matematiques) i Pere Grima (estadıstica).

Com en anys anteriors, des del mes d’octu-bre es realitzen a la Facultat diverses activitatsadrecades a estudiants d’ESO i de batxilleratcom, per exemple, sessions preparatories per ales proves Cangur i l’Olimpıada Matematica osessions de treball dins del projecte Estalmat.El 7 de novembre, es va celebrar la XII JornadaDidactica Matematica de l’ABEAM, a la FME,que va reunir professors de matematiques de lesdiferents etapes educatives.

A final d’octubre es va obrir la inscripcioper a la setena edicio del Premi Poincare de laFME al millor treball de recerca de batxilleraten un tema relacionat amb les matematiques i/ol’estadıstica. El premi es resoldra, com es habitu-al, durant el quadrimestre de primavera. Altresesdeveniments que han tingut lloc a la Facul-tat durant el quadrimestre de tardor han estat,per exemple, el Robot Learning, Seminar,la Summer School: Models in Action: Howsimple models may lead to better and deeperunderstanding of observed phenomenon o lesexposicions L’any de l’astronomia i Decaleg:sigues linguısticament sostenible.

L’activitat que ha marcat la fi del quadri-mestre ha estat el tradicional concert de Nadalque organitzen els alumnes de la FME. Trobareumes informacio a www.fme.upc.edu.

Bernat PlansVicedega de Relacions, FME

Activitats de la SCM

Dotzena Trobada Matematica

El 5 de juny celebrarem la Dotzena TrobadaMatematica. Aquest any 2009, en que s’ha com-memorat el 200 aniversari del naixement deDarwin i el 150 de la publicacio de l’Origen deles especies, la Trobada va estar dedicada enpart a l’estudi matematic de questions relacio-nades amb la teoria de l’evolucio.

Fa goig veure que la Trobada ha arribat al’edicio dotzena. En aquest paıs, de poques tra-dicions en el mon matematic, que una iniciativa

com aquesta es mantingui es positiu. D’altrabanda, els programes de les trobades son unapetita mostra de la riquesa i varietat de les ma-tematiques que es fan avui en el nostre entornproper.

El tıtol de la Trobada va ser Geometria,evolucio i matematica. Consta de tres xerra-des al matı i dues a la tarda. La primera anaa carrec de Jose Antonio Carrillo, professor dela ICREA a la UAB. Amb el tıtol Del mundo

26

microscopico al macroscopico, un ejemplo: swar-ming, ens parla de les equacions cinetiques, lesquals son un pont entre les descripcions microi macro dels sistemes formats per molts indi-vidus. Mostra l’aplicacio d’aquesta teoria, ons’entrelliguen les tecniques de sistemes dinamics,equacions en derivades parcials i la teoria de lamesura, per a modelar la formacio de patronsen el comportament col.lectiu d’alguns animals,com els estols d’ocells, bancs de peixos o bacte-ris. Va presentar unes imatges de la simulaciod’aquests patrons col.lectius realment espectacu-lars, que podien passar com a reportatges realsde les formes que adopten la multitud de peixoso la d’ocells a la tardor, abans d’iniciar el seucamı cap al sud.

La segona xerrada, titulada Models presenta-bles i transformacions representables: mes enllade la teoria d’homotopia, la va fer Carles Ca-sacuberta, de la UB. Ens mostra que ara algunsespecialistes en teoria de l’homotopia, motivatsper problemes provinents de la geometria al-gebraica, estudien els lımits de validesa delsteoremes classics de representabilitat, els qualsnormalment s’apliquen en categories derivadesde models que admeten presentacions (com elsconjunts simplicials o els complexos de cadenesde moduls sobre un anell). S’esta fent, pero, ca-da cop mes evident que les solucions a moltsproblemes oberts en aquest camp no es trobenni a la topologia ni a l’algebra, ni tan sols a lateoria de categories, sino a la teoria de conjunts.

Recalca tambe la importancia que tenen per ala fısica aquest tipus de questions.

El matı es tanca amb la xerrada d’AgustıReventos, de la UAB. Ens presenta el volumSantalo selected works, preparat per ell mateixi A. M. Naveira, editat per Springer el darrermes de marc, on es recullen els articles mesdestacats de Santalo. Feu un breu repas de labiografia d’aquest cel.lebre geometra catala, in-cloent un emotiu tall de la seva veu, en queexplica que la seva fructıfera col.laboracio ambBeppo Levy a l’Argentina fou provocada pelstristos esdeveniments del segle passat al nostrepaıs i a Europa, i concretament Franco i Musso-lini, que els obligaren a exiliar-se dels seus paısosrespectius. Agustı comenta l’anecdota que en-cara conserva un tovallo de paper on Santalo,mentre menjaven en un restaurant, li proposaun problema que resolgue en la seva tesi doc-toral. Per acabar, explica un dels resultats mesconeguts de Santalo en geometria integral: ladesigualtat de Blaschke-Santalo. Remarca final-ment l’actualitat de les idees de Santalo, totveient com les classiques quermassintegrale,tan usades per Santalo, es poden considerar comuna base de l’espai vectorial de les valoracions(teorema de Hadwinger).

La tarda fou dedicada a la teoria de l’evo-lucio amb la xerrada, Darwin, la paradoxa del’evolucio prebiotica i el cost de la complexitat,a carrec de Joan Saldanya, de la UdG. Repassaels problemes de la modelitzacio de l’evoluciobiologica per seleccio natural, que han inspiratels algorismes genetics emprats en optimitzacio,i acaba amb un tema d’actualitat, el cost de lacomplexitat, es a dir, l’augment de la dificultatde trobar solucions que augmentin l’aptitud bi-ologica dels organismes a mesura que aqueststenen un major grau de complexitat.

La sessio finalitza amb la conferencia deJesus Fernandez, de la UPC, titulada Inva-riants, una aproximacio a la filogenetica des del’algebra. Parla d’alguns dels metodes d’in-ferencia filogenetica existents i explica com elsresultats i les eines de la geometria algebraica ola teoria de representacions els poden millorar iinspirar-ne d’altres.

Volem donar les gracies a tots els conferenci-ants i assistents a la Trobada. Fins a la tretzena!

Josep Lluıs SoleUAB

27

Sisena Jornada d’Ensenyament de les Matematiques

Les jornades d’ensenyament, organitzades con-juntament per la FEEMCAT, la SCM i la Socie-tat Balear de Matematiques, Xeix, es van iniciarel 2003 amb l’objectiu de crear un espai de de-bat i reflexio entorn de temes relacionats ambl’ensenyament de les matematiques que afectintots els nivells educatius. Reuneixen d’aquestamanera mestres i professors de matematiquesdes d’infantil fins a la universitat i tracten pro-blematiques actuals i sovint complexes, com, perexemple, la formacio del professorat, l’elaboraciode nous plans d’estudi o la nocio d’ensenyamentper competencies. Aquestes trobades, que ini-cialment tenien una periodicitat biennal, vanpassar rapidament a celebrar-se cada any atesesla bona reposta i l’alta participacio que rebi-en, encara que en alguna ocasio no se n’haguespogut donar difusio amb massa antelacio.

En aquesta edicio el tema va ser Les revis-tes de matematiques, un espai de comunicacioper al professorat des d’infantil a la universi-tat?. Venia motivat pel projecte conjunt entrela FEEMCAT i la SCM de publicar una revis-ta d’ensenyament que, de manera similar a lestrobades, consideri com a public objectiu tot elprofessorat de matematiques, independentmentdel nivell en el qual exerceixen la docencia, aixıcom els estudiants universitaris i fins i tot elsde batxillerat.

Seguint la tradicio dels anys anteriors, laJornada es va estructurar al voltant d’una taularodona que va ocupar la primera franja horariadel matı i va continuar en forma de debat, des-pres de l’esmorzar, seguit a la tarda de presen-tacions paral.leles. En aquesta ocasio, la taularodona va ser coordinada per Josep Pla Carre-ra, un dels impulsors del projecte de publicacioque esmentavem. Van actuar com a ponents,en representacio de diverses publicacions: Me-que Edo (FEEMCAT: Biaix ); Onofre Monzo(FESPM: Suma); Enric Ventura (SCM: Butlletıi Notıcies); Joaquim Gimenez (GRAO: Uno) iDaniel Ruiz (Xeix: Butlletı electronic). Cadascuva comentar l’especificitat de la publicacio quepresentava, el seu mode de funcionament, eltipus d’aportacions amb que compten i les faci-

litats o dificultats de la seva difusio. El conjuntva oferir un panorama prou variat que, sensecap anim d’exhaustivitat, va permetre a l’au-diencia fer-se una idea de l’oferta existent aixıcom penetrar una mica en la rebotiga de lesrevistes.

El debat es va centrar llavors en el paperde les revistes de matematiques en relacio ambles necessitats dels docents de les diferents eta-pes (incloent-hi la formacio de professorat) itambe com a punt de visibilitat dels temes oquestions que mes preocupen aquest col.lectiu,aixı com les possibles respostes que s’hi podenaportar i aquelles que, malauradament, encarano coneixem. S’hi van poder escoltar, a mes,moltes opinions a favor de la proposta de publi-cacio conjunta SCM-FEEMCAT que, en iniciarla taula rodona, havia proclamat en Josep Pla.

La Jornada va acabar amb quatre comuni-cacions que es presentaven com a mostra detreballs sobre aspectes de l’ensenyament que ha-vien o podien donar lloc a publicacions d’interesper al professorat. Els dos primers corresponenals articles L’autonomia en l’aprenentatge deles matematiques a cicle inicial, d’Antoni Obisi L’area que es pot veure des d’un cim d’alturaL es, gairebe, 40.000L, de Lluıs Sabater, arti-cles que s’inclouen en el numero 28 de la revistaBiaix. Els altres dos eren Sangakus. Contem-placio i rao, de Ramon Nolla, i Un passeigper algunes paradoxes i problemes de la teoriade la probabilitat, de Josep Lluıs Sole, queesperem tambe puguin publicar-se aviat quanel projecte de nova revista tiri endavant.

Marianna Bosch i Iolanda GuevaraComite Organitzador

28

El curs 2008-2009 del projecte Estalmat

El curs 2008-2009 va ser el sise curs que s’ha duta terme el projecte Deteccio i estımul del talentprecoc en matematiques. L’equip de professo-rat, despres d’aquests anys de desenvolupar-lo,esta convencut que el projecte Estalmat ja estacompletament consolidat. Hem analitzat la tota-litat d’activitats que es van dur a terme durantels primers cinc anys i, despres de discutir si ereno no les mes apropiades per als nois i noies decatorze i quinze anys a qui van dirigides, creiemque hem aconseguit que les classes que donemsiguin interessants, engrescadores i que facindesenvolupar el talent precoc dels i les estudi-ants.

Volem fer a continuacio un petit esbos delque va ser un any d’activitat durant el curs2008-2009.

Inauguracio del curs 2008-2009 a la Pedrera.

Com en anys anteriors, la prova de seleccioes va fer el primer dissabte de juny a les pobla-cions de Barcelona (FME), Lleida (IES MariusTorres), Girona (ICE UdG) i Reus (IES GabrielFerrater) i tambe es va fer aquest mateix dia ales diferents comunitats autonomes que partici-pen en el projecte. Es van seleccionar vint-i-cincalumnes pel primer curs i es van fer les reunionsamb les famılies dels estudiants seleccionats pertal de comunicar-los personalment quines erenles condicions per poder pertanyer al projecte.

La inauguracio del curs va ser el dissabte 4d’octubre de 2008 a la sala de l’entresol de laPedrera, Obra Social de Caixa Catalunya. Hi va-ren assistir, com a representant de la FundacionVodafone, el senyor Javier del Arco, coordinadorde la Division Didactica; com a representant del’Obra Social de Caixa Catalunya, el senyor Mi-quel Perdiguer; com a representant de la SCMel seu president, senyor Carles Perello; de la

FEEMCAT, la seva presidenta senyora CarmeAymerich; el responsable de la Divisio Didacticade Casio-Flamagas, el senyor Jordi Baldrich ila majoria de professors i professores del projec-te. La professora Iolanda Guevara, presidentad’ABEAM va impartir la conferencia El nai-xement del metre. Un cop acabat l’acte, dosprofessors juntament amb dos monitors i elsnois i les noies del primer any del projecte, va-ren anar a passar dos dies a la casa de coloniesde Vallcarquera per tal que es coneguessin i co-mencessin una amistat que esperem que siguiduradora. A mes de fer excursions i jocs i atesque estavem propers a l’equinocci de tardor,varem aprofitar-ho per calcular la latitud dellloc on estavem a les 12, hora solar, i tambe perfer unes explicacions del perque aquest dia espot fer aquest calcul. A mes varem fer un estudisobre com podem orientar-nos segons la posiciodel Sol a diverses hores al llarg del dia.

Les classes amb els dos cursos varen co-mencar el dissabte 17 d’octubre de 2008 a laFME de la UPC i es van dur a terme durantvint-i-un dissabtes al llarg de tot el curs; es pottrobar informacio sobre els temes tractats alnostre web www.estalmat.org.

Varem tornar a convocar els alumnes queja havien acabat els dos anys amb nosaltres (elgrup d’alumnes anomenat Estalmat π) i cadatrimestre hem fet amb ells una classe i una con-ferencia/taller. Ates l’interes que tenen aquestesconferencies/taller, l’equip de professorat va de-cidir que seria important que fossin obertes a totl’alumnat de batxillerat de Catalunya i tambeal professorat de matematiques dels centres desecundaria. A cadascuna d’aquestes conferencieshi van assistir uns cinquanta alumnes.

Les conferencies/taller que es van impartiral llarg d’aquest curs varen ser: La formulade Tartaglia-Cardano per resoldre l’equacio cu-bica a carrec del professor Eduard Recasensde la UPC, Tot analitzant uns problemes ma-tematics a l’ombra dels gegants, a carrec delprofessor Josep Pla de la UB, i Galileo Gali-lei astronom i fısic, a carrec de la professoraCarmen Azcarate de la UAB.

El dissabte 15 de desembre va ser la darre-ra classe del primer trimestre i conjuntamentamb els alumnes de les comunitats de Madrid,Galıcia, Castella-Lleo i Andalusia varem orga-

29

nitzar un Problemes a l’esprint. Aquesta ac-tivitat va servir per tancar el primer trimestre.Es interessant destacar que per a tot Espanyahi ha enunciats en catala i en gallec.

Els dies 14 i 15 de marc de 2009 es vancelebrar a Madrid les jornades anuals d’Estal-mat amb la presencia de professors i professoresde Madrid, Andalusia, Castella-Lleo, Canaries,Galıcia, Valencia i Catalunya. Tambe van serconvidats representants de la Fundacion Voda-fone i de la Reial Academia de Ciencies. Durantaquests dos dies es van comentar tots aquellsaspectes que tenen relacio amb el projecte i qui-nes coses es podrien millorar. Es va decidir ferla prova de seleccio per a la promocio 2009-2011el mateix dia (6 de juny de 2009) i es van se-leccionar els problemes de la prova entre totsaquells exercicis que s’havien enviat des de lesdiferents comunitats.

Alumnes durant una sessio de treball.

El dia 23 de maig, darrer dia del curs, es vanlliurar els diplomes i orles als nois i noies queacabaven el projecte. Per primer cop la ReialAcademia de Ciencies Matematiques, Fısiques iBiologiques ha atorgat un diploma oficial alsi les alumnes que han acabat els dos cursos delprojecte Estalmat. Vam fer l’acte de comiat al’Auditori de la Pedrera, Obra Social de CaixaCatalunya i varem comptar amb la presenciacom a representat de l’Obra Social de CaixaCatalunya, del senyor Miquel Perdiguer; de laSCM el seu president, senyor Carles Perello, dela FEEMCAT, la seva presidenta, senyora Car-me Aymerich i del responsable de la DivisioDidactica de Casio-Flamagas. Despres dels di-versos parlaments, agraıments i lliurament delsdiplomes, les orles i els regals, varem fer unareunio amb les famılies dels i les alumnes, men-tre els nois i noies assistien a una visita guiadaper l’edifici de la Pedrera i en aquesta xerrada

informal poguerem constatar el que ha repre-sentat per a les famılies aquest treball conjuntentre els seus fills i filles i l’equip de professoratd’Estalmat. La percepcio de la tasca realitzadaha estat la d’un bon treball, d’una ampliacio deconeixements i del principi d’una bona relacioentre alumnat i professorat.

Aquest dia 23 de maig, tambe hi va haveruna classe especial per als alumnes de primercurs com a fi de festa de l’any. Va ser una classeludica i al final els professors Jordi Deulofeu iAnna Navarro van passar una enquesta de va-loracio sobre el que ha representat per a ells ielles aquest curs d’Estalmat. Les respostes quevan donar els nois i noies van ser molt positives.

Durant la segona setmana de juliol de 2009el conjunt de professorat d’Estalmat es reunıper fer una jornada de posada en comu de totsels continguts que havıem treballat durant elsdos anys que dura l’estada dels alumnes pertal d’assegurar-nos que no s’encavallaven contin-guts i que es treballava tot allo que creiem queera important oferir. Va ser una trobada moltinteressant i creiem que de gran utilitat per ala marxa del curs.

A finals de juny va apareixer l’edicio del lli-bre Matematicas para estimular el talento sobreles activitats d’Estalmat a tot l’Estat espanyol,que la Sociedad Andaluza de Profesores Thalesva proposar d’editar a la reunio d’Estalmat de2008 i en que han participat diversos professorsde Catalunya. La presentacio d’aquest llibre esva fer a les XIV JAEM de Girona a carrec deMarta Berini.

Un grup de treball de la Universitat de Giro-na ha preparat el projecte EM-libe, que pretenajudar els malalts d’esclerosi multiple en elsprimers estadis de la malaltia, per mantenir almaxim la seva capacitat intel.lectual. El doctorJordi Gich, responsable del projecte, va demanarcol.laboracio i el grup de professorat d’Estalmat-Catalunya va redactar una col.leccio de proble-mes, amb pistes d’aprenentatge, per a aquestprojecte que es va presentar el dijous 2 de juliolal Parc Cientıfic i Tecnologic de la Universitatde Girona.

Aquest curs molts dels alumnes del projecteEstalmat s’han presentat a les proves Cangur,a la XLV Olimpıada i al Fem Matematiques, ihan obtingut resultats molt bons. Cal destacarels primers premis del Cangur d’Eric Milesi alnivell de 3r d’ESO i de l’Ivan Geffner de nivell

30

de 2n de batxillerat, i els Pins de Plata atorgatspel Cangur a Ivan Geffner i a Carlos Ruız. Pelque fa a les Olimpıades, la medalla d’or de lafase catalana la va guanyar Ivan Geffner i la deplata en Guillem Alsina, i a la XLV OlimpıadaMatematica Espanyola una medalla d’or va serper Ivan Geffner i una de plata per GuillemAlsina.

Tambe aquest any hi ha hagut la segonaconvocatoria per a alumnat de 4t d’ESO delprojecte E2 C3 organitzat per Caixa Catalu-nya (estades educatives de ciencia a Les Planesde Son), a la qual es van presentar nou-centssetanta alumnes, dels quals n’han seleccionatcinquanta-tres. D’entre aquests seleccionats n’hiha vuit del projecte Estalmat.

Pel que fa al concurs Fem Matematiques,dos alumnes, Oriol Lopez i Pau Mir, van que-dar guanyadors del nivell de 2n d’ESO, i LucyCampos formava part del grup d’alumnes quevaren presentar el millor treball de la prova degrups.

La prova de seleccio per a la promocio 2009-2011 es va realitzar el 30 de maig de 2009. Entotal es varen inscriure cent seixanta-set alum-nes i se’n varen presentar finalment a la provacent cinquanta-quatre. Com cada any es va fer la

correccio de manera que cada problema fos cor-regit per dues persones per separat que despresposaren en comu els resultats d’aquest proble-ma concret. Amb tots els resultats de tots elsproblemes es va fer la seleccio provisional.

El 22 de juny es va dur a terme la reunio ala FME per fer la seleccio definitiva de l’alum-nat que comencaria les classes el mes d’octubre;varem incloure tambe deu suplents en cas que hihagues alguna renuncia (com aixı havia succeıten anys anteriors). Tambe es va prendre l’acordde fer una reunio plenaria per tal de discutir comhavia estat la prova, que s’havia de modificar,com valorarıem a partir d’ara les respostes...

Tots aquests temes es van tractar el 7 dejuliol a la reunio general, on tambe es van pro-gramar els temes i les dates de les classes delcurs 2009-2010, que estan publicats al web desd’octubre de 2009.

L’equip de professorat d’Estalmat esta moltsatisfet de com s’han desenvolupat les classes icreu que entre els nois i noies que han participaten el projecte s’ha creat un ambient de treball,de manera de fer, d’amistat... que ajudara queaquestes persones duguin a terme una activitatcientıfica d’alt nivell sigui quina sigui la sevafutura situacio estudiantil o professional.

Marta BeriniCoordinadora del projecte Estalmat

Conferencia inaugural del curs 2009-2010

L’11 de novembre, la doctora Marta Sanz-Sole,professora de la Facultat de Matematiques dela Universitat de Barcelona, dicta, a l’edifici del’Academia de Medicina, la conferencia inaugu-ral del curs 2009-2010 de la SCM. El tıtol va serLes possibilitats de fer diana amb trajectoriesa l’atzar.

La diana era un borelia A de Rd, i l’objectiuera estudiar les probabilitats que les trajectoriesde certs processos estocastics V = v(x), para-metritzats en Rm i a valors en Rd, entressin en A.Dit mes formalment, estudiar les probabilitatsdels conjunts de la forma B = v(I)

⋂A 6= ∅,

es a dir, els conjunts de les trajectories tals queen restringir els parametres a I entren en elconjunt A, on I ⊂ Rm amb mesura de Lebes-gue positiva. D’altra banda es vol caracteritzar

els conjunts polars, es a dir, els borelians perals quals la probabilitat d’entrada del proces esnul.la.

La tecnica sera trobar fites superiors i infe-riors per a la probabilitat d’entrada en termesde la capacitat o la mesura de Haussdorf delborelia A.

Les motivacions d’aquest problema sonmultiples. Destaquen, entre d’altres, l’estudi dela recurrencia i la transitorietat, la teoria pro-babilista del potencial i la mecanica estadıstica.

Marta recorda un resultat ja classic de Kaku-tani (1943) i Dvoretzky (1955), el qual ens diuque si el proces es el brownia a valors en Rd iparametritzat en R, aleshores

P (v(I)⋂

A 6= ∅) > 0 ⇐⇒ Capd−2(A) > 0.

31

Com Capβx > 0 si i nomes si β < 0, ladesigualtat anterior ens implica, en aquest cas,l’equivalencia entre afirmar, per un costat, quela probabilitat que les trajectories visitin qual-sevol punt fixat sigui positiva i, per l’altre, quela dimensio de l’espai on viu el brownia sigui 1.La demostracio utilitza conceptes i resultats dela teoria de processos de Markov.

Una extensio natural es l’estudi de les pro-babilitats d’entrada per a un brownia a valorsen Rd i parametritzat en Rm. Aquı la Marta ensmostra el resultat de Khoshvenian i Shi (1999)que diu que si A es un borelia de Rm, aleshoresexisteix una constant positiva c tal que

c−1Capd−2m(A) ≤ P (v(I)⋂

A 6= ∅)

≤ cCapd−2m(A).

Notem que els subındexs de les capacitats de-penen de les dimensions d i m. La demostraciod’aquest teorema utilitza el calcul de Cairoli iWalh.

El tercer exemple presentat fou l’estudi deles probabilitats d’entrada per a la solucio d’u-na EDPE hiperbolica governada per un sorollbrownia biparametric a valors en Rd. Dalang iNualart (2004) obtingueren en aquest cas unadesigualtat de l’estil de l’anterior, demostrantl’existencia d’una constant c tal que

c−1Capd−4(A) ≤ P (v(I)⋂

A 6= ∅)

≤ cCapd−4(A).

Els ingredients basics per a la prova son les pro-pietats de la densitat de la solucio, obtingudesutilitzant el calcul de Malliavin i les desigualtatsper martingales amb parametre bidimensional.

En un cas general, podem esperar fites su-periors per a les probabilitats d’entrada d’unproces V = v(x) en termes de la mesura deHaussdorff, aixı com fites inferiors en termesde la capacitat de Bessel-Riesz. Les primeress’obtenen suposant que la densitat de les vari-ables del proces es uniformement fitada sobrecompactes i condicions apropiades sobre el mo-ment de l’increment. Les segones, imposant a lesdensitats conjuntes fites de tipus gaussia, i quela densitat de v(x) sigui estrictament positivaen compactes.

Com a exemples d’aplicacio presenta el casen que el proces V es la solucio d’un sistemad’equacions d’ones estocastiques amb un sorolld-dimensional, blanc en temps i correlacionaten espai, amb covariancia estacionaria, i con-dicions inicials nul.les. L’existencia i propietatsde la densitat de la solucio es poden estudiarutilitzant el calcul de Malliavin, i ha estat undels objectius de la recerca de la Marta ambdiversos col.laboradors aquests darrers anys.

La xerrada fou apassionant i mostra la varie-tat de tecniques i d’idees distintes que s’utilitzenen aquest camp, tan viu actualment, el qual eszona d’encontre entre la teoria de les equacionsen derivades parcials, l’analisi i els processosestocastics.

Josep Lluıs SoleUAB

Agenda

Programa de recerca:Arithmetic GeometryData i lloc: curs 2009-2010 al CRM.Coordinadors: F. Bars, L. Dieulefait, V. Rotger.

http://www.crm.cat/arithgeo

Programa de recerca:The Infinity ProjectData i lloc: cursos 2009-2010 i 2010-2011 alCRM.Coordinador: Sy-David Friedman.

http://www.crm.cat/Research/0910/InfinityProject/

Programa de recerca: FoliationsData i lloc: d’abril a juliol de 2010 al CRM.Coordinadors: J. Alvarez, G. Hector, M. Nicolau,P. Walczak, R. Wolak.

http://www.crm.cat/Research/0910/Foliations/

Joint Mathematical Conference CSASC2010Data i lloc: del 22 al 27 de gener de 2010, Praga.Organitzadors: Societats matematiques deTxequia, Eslovaquia, Eslovenia, Austria i Cata-lunya.

http://cms.jcmf.cz/csasc/index.html.en

32

III International Conference on theAnthropological Theory of the DidacticData i lloc: del 25 al 29 de gener de 2010, SantHilari Sacalm.Coordinadors: M. Bosch, A. Bronner, Y. Che-vallard, J. Gascon, V. Font, F. J. Garcıa, M.Larguier.

http://www.crm.cat/cdidactic

Exposicio Les matematiques i la vidaData i lloc: del 15 de desembre al 23 de febrerde 2010 a l’EUETIB (c. Urgell, 187).

http://expomat.epsem.upc.edu

Advanced course on Arithmetic Geom-etry for Function Fields of Positive Cha-racteristic

Data i lloc: del 22 de febrer al 5 de marc de 2010al CRM.Coordinadors: F. Bars, L. Dieulefait, V. Rotger.

http://www.crm.cat/acarithff

Second International School on Geom-etry and Physics. Geometric Langlandsand Gauge Theory

Data i lloc: del 17 al 26 de marc de 2010, alCRM.Coordinadors: L. Alvarez-Consul, J. I. Burgos,O. Garcıa-Prada, I. Mundet.

http://www.crm.es/aclanglands/

Iwasawa Theory over Function Fields ofCharacteristic p > 0Data i lloc: del 6 al 10 d’abril de 2010, al CRM.Coordinadors: F. Bars, G. Bockle, D. Burns, D.Goss, I. Longhi, D. Ulmer, F. Trihan, X. Xarles.

http://www.crm.cat/wkiwasawa

Advanced course on Foliations:Dynamics-Geometry-Topology

Data i lloc: del 3 al 7 de maig de 2010, al CRM.Coordinadors: J. Alvarez, G. Hector, M. Nicolau,P. Walczak, R. Wolak.

http://www.crm.cat/acfoli

Emerging Topics in Dynamical Systemsand Partial Differential Equations

Data i lloc: del 31 de maig al 4 de juny de 2010,Edifici Vertex UPC.

Organitzacio: SIAM, RSME, SCM i SEMA.

http://www.siam.org/meetings/dspdes/

Advanced course on Modularity

Data i lloc: del 14 al 25 de juny de 2010, alCRM.Coordinadors: F. Bars, L. Dieulefait, V. Rotger.

http://www.crm.cat/acmodulari

Financial Engineering Summer School

Data i lloc: del 6 al 9 de juliol de 2010, al CRM.Coordinadors: S. del Bano, P. MacManus.

http://www.crm.cat/FESS10

Teichmuller Theory and its Interactionsin Mathematics and Physics

Data i lloc: del 28 de juny al 2 de juliol de 2010,al CRM.Coordinadors: S. Morita, A. Papadopoulos, R. C.Penner.

http://www.esf.org/index.php?id=6305

Modular Conference: Arithmetic of Mod-ular Forms and Modularity Results

Data i lloc: del 5 al 9 de juliol de 2010, al CRM.Coordinadors: H. Darmon, F. Diamond, L. Dieu-lefait, B. Edixhoven, V. Rotger.

http://www.crm.cat/cmodular

Geometry and Topology of Foliations

Data i lloc: del 12 al 16 de juliol de 2010, alCRM.Coordinadors: J. Alvarez, G. Hector, M. Nicolau,P. Walczak, R. Wolak.

http://www.crm.cat/cfoli

International Congress of Mathemati-cians

Data i lloc: del 19 al 27 d’agost de 2010, Hyde-rabad (India).Organitzacio: International Mathematical Union.

http://www.icm2010.org.in/

33

Contribucions

L’IEMath: poques llums, bastants ombres i moltes miseries1

Resum: Aquest article conte un relat dels esdeveniments que han acompanyat l’intent de creacio del’Institut Espanyol de Matematiques (IEMath), incloent-hi comentaris sobre el passat recent i elpresent d’aquesta iniciativa.

Introduccio

Els signants d’aquest article vam ser, respectiva-ment, coordinadora de matematiques de l’Agen-cia Nacional d’Avaluacio i Prospectiva (ANEP)de 2005 a 2008, i gestor del Programa Nacio-nal de Matematiques del Pla Nacional d’I+D+I,aproximadament durant el mateix perıode.

El nostre proposit es fer-vos partıcips de lesllums, ombres i miseries que s’han estat pro-duint en l’encara incert i inconclos proces decreacio de l’Institut Espanyol de Matematiques(IEMath).

Durant un llarg perıode de temps, vam re-bre l’encarrec d’impulsar la creacio d’un institutde matematiques d’ambit nacional [espanyol]que, responent als desitjos i necessitats de lacomunitat matematica en materia d’investiga-cio, permetes donar el salt qualitatiu que totsesperem i, al mateix temps, ajudar a resoldre elproblema generacional al qual ens estem enfron-tant.

Amb gran il.lusio i esforc, conscients de ladificultat de la tasca encomanada, pero portatsendavant per la impressio de percebre un desiggairebe unanime de la comunitat, ens vam posarmans a l’obra.

Lamentablement, malgrat haver figuratexplıcitament entre els objectius del Pla Na-cional i haver estat causa i objecte de milersd’hores de treball, res esta clar ni assegurat (nide bon tros) a data d’avui.

I aixo passa despres d’haver participat en elprojecte centenars de persones, despres d’haverpassat per les mans de diversos responsablespolıtics (tres ministres, dos secretaris d’Estat,dos secretaris generals, tres directores generals,etc.), despres de l’elaboracio de desenes de pro-postes i fins i tot despres d’haver aconseguit quel’Institut fos pressupostat dos anys seguits! pelnostre parlament.

Els objectius d’aquest article son protestar,

cridar l’atencio sobre alguna cosa que ens sem-bla indignant i injusta, explicar la veritat, ex-posar el desenvolupament dels esdeveniments,convidar el lector a la reflexio, desfogar-nos, fer-vos partıcips de la nostra decepcio i frustracio,alertar-vos de la irresponsabilitat i inoperativi-tat dels nostres responsables polıtics i deixarpalesa la seva manca absoluta de mires.

Calendari d’esdeveniments

Anem en primer lloc a les dades objectives.

• Agost de 2006, Durant la celebracio de l’ICM,Francisco Marcellan, secretari general de Polıti-ca Cientıfica i Tecnologica, contacta amb nosal-tres per iniciar el proces de creacio d’un centrenacional de matematiques, un dels objectiusrecollits en el llavors vigent Pla Nacional 2004-2008.

De fet, el secretari general desitja rellan-car el tema, conscient que l’anterior gestor delPrograma i l’anterior coordinador de l’ANEPhavien generat una proposta que, per diversesraons, havia quedat sense efecte.

• Setembre a desembre de 2006: Elaboracio delprimer document IEMath. Amb aquesta fina-litat es constitueix una primera comissio (enendavant la Comissio IEMath), la primera reu-nio de la qual se celebra el 26 de setembre de2006. Aquesta Comissio elabora un primer do-cument que conte una analisi exhaustiva de larealitat matematica espanyola i una propostade creacio d’un centre nacional, al qual es donael nom d’Instituto Espanol de Matematicas, enque queden explicades en detall les seves finali-tats i objectius, l’estructura, l’organitzacio, lamanera de funcionar, etc.

• Desembre de 2006: Consulta amb els inves-tigadors. En data 5 de desembre de 2006, eldocument elaborat per la Comissio IEMath es

1Article traduıt de La Gaceta de la RSME, vol. 12 (2009), num. 4, 637–646 amb l’autoritzacio dels autors i de laRSME.

34

enviat als investigadors principals dels projectesde matematiques del Programa Nacional de Ma-tematiques i del Programa Ingenio-Consolidervigents, als presidents de les societats matemati-ques espanyoles i al president de la Conferenciade Degans i Directors de Matematiques, a fi derebre els seus comentaris i suggeriments.

• Gener de 2007: Elaboracio del segon documentIEMath. Durant el mes de gener de 2007, la co-missio IEMath es reuneix i elabora una segonaversio del document en la qual s’intenta incorpo-rar, en la mesura del possible, els suggerimentsrebuts.

• Febrer de 2007 a maig de 2007: Avaluacioper part d’un panel internacional. El secretarigeneral de Polıtica Cientıfica i Tecnologica prenla iniciativa de recorrer a una comissio externa,formada per experts d’alt prestigi (estrangers oespanyols residents a l’estranger), a fi de rebre laseva opinio sobre el document generat. Aquestpanel es presidit per Jean-Pierre Bourguignoni realitza el seu treball d’avaluacio durant elsmesos de marc i abril de 2007.

El professor Bourguignon ve a Espanya aprincipis de maig de 2007 per assistir a una reu-nio conjunta amb els membres de la ComissioIEMath i el secretari general, on es donen elsultims retocs al document, essencialment adap-tant alguns punts als suggeriments emesos pelpanel d’experts.

En l’informe final realitzat per la comissio ex-terna, entre altres coses, s’hi diu: We stronglywelcome the initiative of creating a nationalinstitute of mathematics in Spain, showing thesupport of the Ministry for an ambitious deve-lopment of mathematics in the country.

• Maig de 2007 a juliol de 2007: Elaboracio deldocument definitiu i presentacio en el Ministeri.Amb data 19 de maig de 2007, el document defi-nitiu es enviat de nou al col.lectiu d’investigadorsprincipals i presidents anteriorment esmentat.

Posteriorment, el secretari general presentael document al secretari d’Estat Miguel AngelQuintanilla i a la ministra Mercedes Cabrera itenen lloc diversos esdeveniments on el gestori la coordinadora presenten el projecte a la co-munitat matematica. En la proposta s’especificaque l’IEMath es configurara com un organismeamb personalitat jurıdica propia, amb una es-tructura de xarxa de centres.

• Setembre de 2007: Comissio de Posada enMarxa. Comenca el proces de posada en marxade l’IEMath amb el nomenament per part delsecretari general d’una nova comissio, des d’arala Comissio de Posada en Marxa.

Aquesta comissio es presidida per MiguelAngel Herrero i rep els encarrecs de preparari resoldre dues convocatories (convocatoria deseus de l’IEMath i convocatoria de primer direc-tor de l’IEMath) i de proposar noms per a unaprimera comissio cientıfica de l’IEMath.

• Desembre de 2007 a marc de 2008: Convo-catories de seus i de director i proposta de mem-bres per a la comissio cientıfica. La convocatoriade seus de l’IEMath es publica al BOE num.307, Ordre 22207, del 24 de desembre de 2007.

D’acord amb el text de la convocatoria, l’a-valuacio es porta a terme en dues etapes. Laprimera es realitzada per l’ANEP, que s’encarre-ga de nomenar una comissio d’experts espanyolsi estrangers que elabora un informe sobre ca-da seu proposada. La segona avaluacio te lloca la Comissio de Posada en Marxa, a la vistad’aquests informes. Com a resultat d’ambduesavaluacions, el 12 de febrer de 2008, es decideixunanimement proposar les seus denominades deBarcelona, Galıcia, Granada i Madrid.

La convocatoria internacional de director esfa publica el 14 de gener de 2008, i queda fixat untermini fins al 20 de febrer per a la presentaciode sol.licituds. Es presenten catorze candidats,d’entre els quals la Comissio en selecciona sisel 28 de febrer de 2008. Aquests sis candidats(quatre d’espanyols i dos d’estrangers) son en-trevistats personalment els dies 5 i 6 de marcde 2008. Com a resultat d’aquestes entrevistes,en data 7 de marc de 2008, la Comissio proposauna terna de possibles candidats.

D’altra banda, despres de diversos debats,a 12 de febrer de 2008, la comissio de Posadaen Marxa acorda una proposta de dotze investi-gadors espanyols i vint-i-cinc investigadors es-trangers, tots de gran nivell i prestigi, per a laprimera Comissio Cientıfica de l’IEMath. El dia7 de marc de 2008 la Comissio de Posada enMarxa dona per finalitzat el treball encarregatpel Ministeri.

En aquests moments, tot sembla relativa-ment ben encaminat i fa l’efecte que la basees prou solida perque els responsables polıticsposin el projecte en funcionament:

35

— Les gestions del secretari general davant elsseus superiors han donat resultat: el projectees acceptat i inicialment ha a ser financat amb2,5 milions d’euros que estan recollits en elsPressupostos Generals de l’Estat per a 2008.

— Els responsables polıtics d’investigacio cientı-fica de les comunitats autonomes (CA) involu-crades (Andalusia, Catalunya, Galıcia i Madrid)han estat contactats i informats de la situacio.

— S’acorda celebrar una primera reunio dels re-presentants polıtics del Ministeri i les CA ambels representants de les seus l’1 d’abril de 2008.En aquesta reunio es fa una primera analisi dela situacio i s’inicia un proces de signatura delprotocol d’intencions, basat en un compromısde cooperacio per a la creacio d’un consorci quedoni suport jurıdic a l’IEMath.

— En dates posteriors, versions preliminars delprotocol d’intencions circulen entre els afectatsi tot sembla anar pel bon camı.

De fet, entre marc i maig de 2008, es produ-eixen algunes desviacions respecte del projecterecollit al document elaborat per la ComissioIEMath. Aixo es consequencia de les gestions ifins i tot pressions generades per algunes CA i,atesa la diversitat de les institucions presents,es en certa manera inevitable.

• Marc de 2008 a marc de 2009: Canvis en elscarrecs polıtics (dins del mateix partit!) i con-sequencies. Arran de les eleccions generals demarc de 2008, vam canviar de ministeri, de minis-tra i de responsables polıtics. El carrec de secre-tari general de Polıtica Cientıfica i Tecnologicaes ocupat ara per Jose Manuel Fernandez deLabastida.

El que, fins en aquest moment, semblavaanar sobre rodes, comenca a complicar-se...

1. Pel que sembla (aquesta es almenys lainformacio que rebem), el Ministeri d’Hisendaposa objeccions a la creacio de Consorcis ambles CA. El secretari general decideix de ma-nera unilateral que l’IEMath tindra l’estructurade centre nacional vinculat al CSIC (sense quese sapiga encara amb exactitud que sera aquestanova estructura). Tal com se’ns planteja, tant anosaltres com als responsables de les seus, no hiha alternativa. El secretari general justifica la

seva posicio argumentant que el Ministeri neces-sita un interlocutor valid en temes d’investigaciocientıfica que, a mes, constitueixi la base fısicai eix coordinador de projectes com el nostre.

2. El nou Ministeri (de Ciencia i Innovacio)nomena una nova comissio en la qual interve-nen els promotors de les quatre seus, el gestor,l’anterior secretari general i Francisco Montero(vicepresident d’Organitzacio i Relacions Ins-titucionals del CSIC). Aquesta comissio estaencarregada de revisar i modificar el documentIEMath de manera que quedi adaptat a la novaestructura imposada.

Aquesta vegada, les gestions del secretarigeneral donen com a resultat un pressupost de800.000e per a 2009 (una quantitat de nourecollida en els Pressupostos Generals de l’Es-tat). Malgrat aixo, dels 2,5 milions previstos pera 2008, aparentment ningu (inclos el secretarigeneral) en sap res.2

3. El gener de 2009, la nova versio del docu-ment esta llesta i passa a les mans del secretarigeneral, encarregat de presentar-lo als consellersde les CA implicades en el proces.

4. Les respostes que es reben per part deles distintes CA son variades. Els consellers deles comunitats d’Andalusia i Galıcia accepten eldocument.

La situacio a Madrid es tremendament com-plicada. Les diferencies polıtiques entre la Co-munitat i el Ministeri no faciliten les coses. Persi fos poc, hi ha un canvi en el carrec de direc-tor general d’Universitats i Investigacio de laComunitat de Madrid que retarda el proces...que sapiguem, fins ara. Vist des de fora i ditamb tots els respectes cap als nostres col.leguesmadrilenys, l’actitud global de Madrid revela unautisme social incomprensible: Madrid no sap,no contesta.

El conseller de la Comunitat de Catalunyaproposa alguns canvis, fonamentalment (i comes podria esperar), de tipus economic, que hande ser discutits amb el Ministeri i la resta deconsellers.

Aquestes propostes son enviades al secretarigeneral l’ultima setmana de febrer de 2009. Si-lenci absolut per part d’aquest.

• Maig de 2009: Nous canvis al Ministeri. En-cara que sembli increıble, la situacio encara pot

2Referent a aixo, en dates posteriors, ens ha arribat de forma indirecta una informacio: el Ministeri d’Hisenda no vaautoritzar en el seu moment, tal com pretenia el secretari general nomenat el maig de 2008, transferir aquests diners alCSIC; evidentment, quan es van aprovar els Pressupostos Generals, el CSIC no jugava cap paper en aquest projecte.

36

empitjorar i, de fet, empitjora. Jose ManuelFernandez de Labastida cessa com a secretarigeneral de Polıtica Cientıfica i Tecnologica (esmes, desapareix aquest carrec a l’organigramadel Ministeri) i passa a ocupar la Direccio Gene-ral d’Investigacio. Despres de diverses setmanesde reestructuracio, ens informen que l’IEMathpassa a ser responsabilitat de Montserrat TorneEscasany (directora general de Cooperacio In-ternacional i Relacions Institucionals).

El 17 de juny de 2009, es a dir, mes d’unany despres del moment en que tot estava llestper a comencar, i havent-li-ho demanat des dediversos ambits, Montserrat Torne convoca auna nova reunio els coordinadors de les qua-tre seus, el nou gestor del Programa Nacionalde Matematiques, Jesus Lopez Fidalgo, el noucoordinador de l’ANEP, Ricardo Cao Abad, iFrancisco Montero, aparentment amb l’objectiude seguir avancant.

En l’ultim moment, Montserrat Torne ex-cusa la seva absencia de la reunio i la substi-teix Jose Luis Jarque de la Gandara, sotsdi-rector general de Cooperacio amb les Comuni-tats Autonomes, que, segons confessio propia,desconeixia fins a la data l’existencia d’aquestprojecte.

No ens toca realment a nosaltres transmetreel que va passar en aquesta reunio. No obstantaixo, segons les nostres informacions, el CSICmanifesta necessitar temps per a analitzar lespropostes plantejades per Catalunya (el febrerde 2009!). D’altra banda, sembla quedar clara la reunio que, si no es produeix rapidamentun moviment per part dels responsables polıticsde les CA implicades, el Ministeri d’Hisenda esquedara amb els 800.000e pressupostats.

El que ens sembla evident es que aquestaultima reunio (i de fet diverses de les que hiha hagut amb posterioritat al marc de 2008) esabsolutament esteril. No s’avanca en res, ni tansols es completa la informacio previa; tampocs’acorda un pla de treball, ni de bon tros uncalendari d’esdeveniments, ni es resolen temespendents, ni es clarifiquen idees. Res en absolut.

• Ultimes notıcies. Per la nostra banda, entremaig i juliol de 2009, vam intentar cridar l’aten-cio a diverses autoritats sobre el perillos camıque pren la iniciativa.

De comu acord amb el nou gestor i el noucoordinador de l’ANEP, promovem una cartaa la ministra Cristina Garmendia, que acaba

essent signada per ells dos i pels presidents dela societats matematiques, en que es demanaque es prenguin mesures. Per la nostra banda,enviem tambe a la ministra una carta protestaque es contestada. Adjuntem copia de la res-posta rebuda al final de l’article. En aquesta,la senyora ministra, a traves de la cap del seuGabinet, ens indica que, malgrat totes la vicissi-tuds, existeix un clar interes per la seva part pelprojecte. Tambe ens assenyala que els famosos800.000e tenen com a destinatari el CSIC.

I ja no hi ha mes notıcies.Be, si que n’hi ha; sabem que Montserrat

Torne ha decidit que l’estructura de l’IEMathes massa complicada i vol comencar de nou elproces; sı, hem dit be, comencar de nou el proces,aquesta vegada donant entrada inicialment alsresponsables polıtics de les seus seleccionades.

La historia es repeteix: periodicament, laresponsabilitat recau sobre una persona nouvin-guda al carrec; per descomptat, aquesta personano pot acabar la tasca ja comencada, nomes fal-taria! Ha de revisar i remodelar el projecte iaportar el seu punt de vista personal, tant li faque el projecte hagi tingut el consens majoritaride tota una comunitat cientıfica!, tant li fa quesigui el resultat de tres anys de treball serios!,tant li fa si aixo retarda o fins i tot paralitza elproces! La consequencia es un tornar a comencarque retorna el tema a una situacio previa, detal manera que, quan s’aconsegueix avancar, estard perque la persona en questio deixa el carreca mans d’algu altre.

Si en comptes de l’IEMath estiguessim par-lant d’una iniciativa tangible, mınimament com-prensible per al ciutada (o sigui, per al polıtic),per exemple, un institut de ciencies mediam-bientals, un centre d’investigacio en fısica dematerials o faria i tot un institut d’investigacioperiodıstica, una altra cara cantaria. Malaura-dament, es tracta de matematiques, una disci-plina desconeguda, ignorada i sovint odiada, permolt que sapiguem que constitueixen un elementcentral del desenvolupament cientıfic i, a mes,intervenen constantment a la nostra vida (peroaixo nomes som nosaltres, i no tots, els qui hosabem).

Haurıem de ser mes conscients de la maneraque tenen de mirar-nos, del que pensen de nos-altres i de la imatge que inspirem, a la vista detot el succeıt.

37

Preguntes i laments (a falta de conclusi-ons)

Com es possible que haguem estat tres anys im-plicant cientıfics espanyols i estrangers, creantpanels internacionals del mes alt nivell, mobi-litzant tot un col.lectiu i no s’hagi aconseguitres?

Com es possible que hagin desaparegut2.500.000e aprovats als pressupostos de 2008per a l’IEMath? A qui hem d’anar a reclamar-los?

Com s’atreveix ningu a vendre la idea queamb aquesta nova estructura s’agilitzara la crea-cio de centres d’alt prestigi a Espanya, havent-liassignat per a aquest any la ridıcula quantitatde 800.000e? Tot i aixı, com es possible queaquesta dotacio dugui mes d’un any bloquejadadespres de tan llarguıssim proces? Es aixı com escol.loca la investigacio i la tecnologia a Espanyaen un lloc digne?

No es una vergonya internacional sense parioque, despres d’haver passat any i mig, els candi-dats a director no hagin rebut cap resposta perpart del Ministeri sobre la seva situacio pel quefa al cas?

Que hem de dir els membres de la Comissiode Posada en Marxa als candidats a directorquan ens trobem amb ells o ens preguntin?

En la visita de maig de 2007, el professorBourguignon ens va dir que el pitjor que li potocorrer a un projecte cientıfic d’aquest tipus escaure en mans polıtiques. Vam intuir que no esreferia pas a aquest caure en mans polıtiques;sembla difıcil imaginar que una cosa aixı puguipassar abans que succeeixi. No obstant aixo, noes pot negar que tenia molta rao...

Amb tot l’ocorregut, nomes podem conclou-re que l’organitzacio i el funcionament dels nos-tres responsables de polıtica cientıfica es, ambrares excepcions, seriosament deficient.

A hores d’ara, despres de tant anar i veniri tant detenir i reprendre, no queda en absolutclar si estem lluitant pel que es va projectar.En efecte, es evident que, amb tants canvis im-posats, l’estructura de l’IEMath cada vegadas’assembla menys al que va ser consensuat perla comunitat matematica espanyola. En aquell

moment el CSIC no tenia el paper que ens estanimposant avui dia. D’altra banda, vam projectaren el seu moment un IEMath que volia donarcabuda a tota la comunitat matematica i nonomes a quatre seus.

Als investigadors de les CA no implicadesi, sobretot, als que ens heu transmes el vostremalestar per haver-se oblidat aparentment elplantejament inicial, us volem dir que a nosal-tres no se’ns oblida i que, si esta a les nostresmans, seguirem recordant-lo.

Agraıments

No voldrıem acabar aquest article sense expres-sar la nostra mes sincera gratitud a totes lespersones que, d’una manera o altra, han col-laborat fins avui en aquest projecte.

Especialment, moltes gracies a les perso-nes que segueixen: d’entrada, a Francisco Mar-cellan, per la labor que va desenvolupar mentreva ser secretari general de Polıtica Cientıfica iTecnologica i tambe despres, mentre va poder.Llastima que el seu entusiasme per estructurescom la que pretenem sigui una excepcio.

Tambe, a Santiago Rodrıguez Uriel i a AnaPoveda, de la Secretaria d’Estat d’Universitatsi Investigacio de l’anterior Ministeri d’Educacio,per la gran ajuda que ens van prestar a l’horade donar forma jurıdica als nostres documentsi convocatories. Finalment, als membres de lesdiferents comissions que, juntament amb nos-altres, van treballar en el projecte. ComissioIEMath: J. Bastero, A. Bermudez de Castro,J. Bruna, E. Carrizosa, I. Garcıa Jurado, O. Gil,I. Luengo, J. Sanz Serna, S. Xambo.

Panel d’avaluacio internacional: J.-P. Bour-guignon (president), D. Arnold, B. Keyfitz, R. dela Llave, J. J. Manfredi, S. Muller, D. Nualart,D. Wallace.

Comissio de Posada en Marxa: M. A. Herrero(president), J. Bonet, C. Casacuberta, A. Cue-vas, A. Dıaz Cano, M. de Leon, C. Martınez, S.Montiel, M. Noy, P. Quintela.

Ultima comissio: C. Andradas, J. Bruna,F. Marcellan, F. Montero, J. J. Nieto, A. Ros,J. M. Viano.

Marıa J. Carro, UBEnrique Fernandez-Cara, Univ. de Sevilla

38

Els deficits del catala a les universitats

Durant els primers anys de la transicio cap a lademocracia la llengua catalana va entrar ambforca a les universitats, sobretot en l’ambit dela docencia, gracies a uns rectors comprome-sos i a uns professionals competents i il.lusionatsque van acabar consolidant els serveis linguısticsuniversitaris. Amb els anys aquella empenta ini-cial va anar minvant i avui ens trobem ambunes universitats que presenten greus deficitsen la presencia i el reconeixement de la llen-gua catalana. A mes, l’entorn que tenim avuitampoc ajuda: uns rectors poc compromesos,una Administracio i uns polıtics que no tenen lainiciativa que caldria. Tots ells, quan senten aparlar dels problemes que te la llengua catalanaa les universitats, miren cap a una altra banda.

Efectivament, encara avui es pot ser profes-sor permanent d’una universitat catalana sensesaber un borrall de catala, la recerca feta encatala no es reconeguda oficialment per la Ge-neralitat de Catalunya, practicament no hi hacap carrera universitaria (de centenars d’ofer-tes) que es pugui fer ıntegrament en catala, labibliografia escrita en catala es practicament in-existent a la majoria de disciplines i no es posenles mesures necessaries per tal que l’entrada al’espai europeu d’educacio superior no afecti ne-gativament l’us de la llengua. D’aquesta manera,lamentable per al catala, es fa universitat en elnostre paıs.

Despres que es va aprovar la Llei d’universi-tats de Catalunya, aviat fara set anys, demanemque el Govern de Catalunya faci aplicar a lesuniversitats l’article 6.4 d’aquesta Llei, que esta-bleix que el professorat universitari, llevat delvisitant i de casos analegs, ha de coneixer sufici-entment les dues llengues oficials, d’acord ambles exigencies de llurs tasques academiques. Iapunto al Govern perque el mateix article diuque el Govern [...] ha de garantir que en elsprocessos de seleccio, d’acces i d’avaluacio esconcreti el dit coneixement suficient. Nomes laUniversitat de Barcelona ha aplicat aquest arti-cle (des del 2004 per a contractats permanents ides del 2006 per a funcionaris) i es l’unica que re-alment ha volgut garantir el dret dels estudiantsd’utilitzar, amb garanties de ser perfectamententesos, la llengua catalana. Cal afegir tambeque durant tots aquests anys d’aplicacio del re-quisit linguıstic a la UB, aquesta Universitat

es la que mes professorat estranger ha contrac-tat i la que mes amunt s’ha situat de l’Estatespanyol en el ranquing mundial d’universitats,fet que contradiu aquells que, sense fonaments,identifiquen la necessitat de coneixer la llenguacatalana amb tancar-se al mon i a l’excel.lencia.

En l’ambit de la recerca, tots els professorsuniversitaris sabem que avui no es pot teniruna trajectoria investigadora universitaria ofi-cialment reconeguda escrita en catala i que elcatala es una llengua amb un prestigi investi-gador quasi nul. No es poden aconseguir elssexennis d’investigacio que atorga el Ministe-ri ni els que atorga el Govern de Catalunya siels resultats de la recerca s’escriuen en llenguacatalana. A Catalunya tenim revistes especialit-zades de gran prestigi i que segueixen tots elsindicadors de qualitat d’aquest tipus de revistes,pero, en canvi, no estan ben indexades ni per unEstat espanyol constitucionalment plurilingueni per un Departament d’Universitats de la Ge-neralitat de Catalunya. A Catalunya cal un noumodel de reconeixement de la recerca que nonomes reconegui la recerca feta en catala sinoque, a mes, la fomenti. Nomes d’aquesta manerapodrem fer del catala una llengua de prestigiuniversitari.

En l’ambit de la docencia feta en catala, nopodem estar satisfets d’uns percentatges pocfiables que ens indiquen que el 66 % de les clas-ses del sistema universitari de Catalunya s’im-parteixen en catala (a la taula hi ha les dadesper universitats). Si l’Estatut de Catalunya del2006 diu que el catala s’ha d’utilitzar normal-ment com a llengua vehicular i d’aprenentatgeen l’ensenyament universitari (article 35.1),costa d’entendre que polıtics i rectors conside-rin que s’aplica aquest article si d’una ofertade centenars de titulacions que hi ha a Cata-lunya nomes un maxim de cinc es poden ferıntegrament en catala.

Si dels graus passem als masters i als post-graus, que tambe son ensenyament universitarii als quals tambe s’aplica l’article 35.1 de l’Esta-tut (el catala s’ha d’utilitzar normalment coma llengua vehicular i d’aprenentatge), el deficitde docencia en catala es clamoros i cal que elsresponsables polıtics d’universitats apliquin me-sures per contrarestar-ho. Es evident que, enaquest ambit de la formacio universitaria, el

39

multilinguisme hi ha de ser mes present que encap altre, pero aixo no ha de voler dir renunciara la formacio feta en llengua catalana.

L’espai europeu d’educacio superior ha degenerar mes mobilitat d’estudiants i de profes-sorat, ha d’especialitzar mes els graus i ha depotenciar mes els masters i postgraus. Tot plegatha de comportar la presencia de mes llenguesen l’entorn universitari i aixo es molt positiu. Elproblema, pero, es que aquest escenari ideal noes el que estem trobant a les universitats cata-lanes, sino que el multilinguisme ja es comencaa fer servir per arraconar el catala amb argu-ments de modernitat i de globalitzacio, iper amagar la incapacitat per fer del catala unallengua universitaria de prestigi.

En resum, encara avui el catala no es unallengua plenament reconeguda en l’ambit univer-sitari. Abans parlava de la bona feina feta durantels primers anys de la transicio per rectors com-promesos i per professionals competents. Desde llavors fins avui han estat aquests ultims, esa dir, els serveis linguıstics universitaris, els querealment han impulsat la llengua catalana a launiversitat. Els rectors han deixat de defensaramb fermesa el prestigi de la llengua catalanaen tots els ambits de l’activitat universitaria ical que els responsables polıtics fixin les basesd’un model linguıstic per al sistema universitaricatala.

UB UAB UPC UdG UdL URV URL UVIC UIC UAO-CEU

66,40 % 65,60 % 56,51 % 61,10 % 83,70 % 67,60 % 70,26 % 87,50 % 30,00 % 35,00 %

Taula: Us del catala a les universitats. Grups de classes impartits en catala.

Font del Consell Interuniversitari de Catalunya (CIC):http://www.gencat.cat/diue/serveis/estudis−estadistiques/ur/universitats/index.html

Jordi Matas DalmasesCatedratic de Ciencia Polıtica de la UB. Membre de la Plataforma per la llengua

La fallida de la Combi 3

Amb l’objectiu de promocionar la seva Lotto6/49, la Generalitat de Catalunya va implemen-tar una nova modalitat de loteria anomenadaCombi 3. Durant unes quantes setmanes, l’apa-rell mediatic de Loteries de Catalunya va fer pro-paganda d’aquesta nova loteria, amb l’esloganla 6/49 ara es mes facil! No sabien quanta raotenien!

El dia 20 de setembre passat la loteria es vaposar en marxa, i despres d’un unic sorteig, laCombi 3 va ser cancel.lada el dia 24 (DOGC de2 d’octubre) per donar massa premis. De 14.000

persones que van jugar-hi, 33 van obtenir el pre-mi maxim, premiat amb 3.000 euros. Com quecada persona s’hi jugava un euro, les despeses de99.000 euros no compensaven pas els ingressosde 14.000. Com havia pogut passar aixo? Comhan pogut dissenyar una loteria tan malament?

El primer error garrafal d’aquesta loteria eradonar premis fixos, independents de la recapta-cio. La majoria de loteries s’asseguren guanyssempre, pel metode de destinar a premis unpercentatge fix de la recaptacio, com, per exem-ple, el 55 % de la Loterıa Primitiva estatal (de

40

la qual la 6/49 es un copia exacta). Aixı, si lagent juga menys, els premis son menors. En can-vi, el premi maxim de la Combi 3 era semprede 3.000 euros fixos, independentment de quijugues. Aixo ja obra la porta que alguna setma-na, per simple mala sort, hi hagi molts premismaxims i l’organisme organitzador perdi diners.A mes, hi ha una colla de premis menors, totstambe amb premi fix.

Pero aquest no va ser el gran error de laCombi 3. Aquesta loteria va caure en el pitjorerror que pot cometre un joc d’atzar: no totesles combinacions que hom podia jugar-hi tenienla mateixa probabilitat de guanyar. Un senzillexamen probabilıstic del joc (assequible per aqualsevol estudiant amb uns mınims coneixe-ments de combinatoria i probabilitat) determi-nava quines eren les combinacions que tenienmes probabilitat de guanyar, i, per tant, qual-sevol jugador triara una d’aquestes. Analitzemamb detall el funcionament de la Combi 3.

La Combi 3 era un afegit a la 6/49, dis-senyat per fer aquesta ultima mes atractiva.Recordem que la 6/49, com el seu nom indica,consisteix a escollir 6 numeros d’un total de 49.La combinacio guanyadora tambe te 6 numeros,i es guanya premi si la combinacio triada te 3,4, 5 o 6 numeros en comu amb la combinacioguanyadora. Es senzill calcular les probabili-tats de guanyar. Les combinacions totals son(496

)= 13.983.816. I si tu tries 6 numeros a l’at-

zar, la probabilitat que a la teva combinacio de6 n’hi hagi n en comu amb la guanyadora es(

6n

)(43

6−n

)(496

) .

Per exemple, la probabilitat d’encertar els 6numeros es 7, 15 × 10−8. Pero la probabilitatd’encertar-ne 3 ja es mes assequible, es de0, 01765. Aquesta jugada, a la Loterıa Primi-tiva estatal, per exemple, et dona un premi de8 euros per euro jugat.

La Combi 3 intentava donar un alicient mesals jugadors de la 6/49, donant-los la possibi-litat de combinar tres apostes de la 6/49 enuna superaposta de 18 numeros. Es a dir, podi-es jugar tres apostes de la 6/49 normalment aun euro cadascuna, pero, pagant un euro mes,entraves a jugar al Combi 3. Aquı combinavesels 18 numeros de les tres apostes, i et compta-va quants dels teus 18 numeros coincidien ambels sis de la combinacio guanyadora. El premi

mınim consistia a tenir 4 numeros en comu ambla guanyadora, i el maxim era tenint 9 numerosen comu. Com es aixo possible si la combinacioguanyadora nomes te 6 numeros? —et pregun-taras tu. Doncs perque els numeros a la tevacombinacio podien estar repetits. Si repeties unnumero a les tres apostes i aquest numero sortiaescollit, el seu encert et comptava per 3.

Aquest va ser l’increıble error de la Combi 3.Logicament, les probabilitats de guanyar no sonles mateixes si un juga (entre les tres combi-nacions) 18 numeros diferents, que si en jugade repetits. Hom pot repetir diversos numeros,alguns dos cops, i alguns tres cops, i obte pro-babilitats de guanyar diferents. Fins i tot espot jugar la maxima combinacio repetida: ju-gar una combinacio identica als tres quadres.Aixı, nomes calia encertar tres dels sis numerosper a obtenir el premi maxim, perque cadascundels encerts compta per 3. Com hem vist abans,la probabilitat d’encertar-ne 3 dels 6 guanya-dors es d’1,7 %, o aproximadament 1 de cada60, mentre que el premi era de 3.000 euros pereuro jugat! Quina esperanca matematica mesdolenta! Jugant sempre combinacions de tresquadres identics, el premi maxim de 3.000 eurosper euro tocava una de cada 60 vegades, peruna esperanca aproximada de 50 euros rebutsper euro jugat! (el valor exacte es 52,95).

Aixı, un jugador llest observa que no totes lescombinacions jugades tenen la mateixa probabi-litat. Observem que si juguem els 18 numerosdiferents, ni tan sols tenim l’opcio de guanyarel premi maxim, nomes podem optar a 6 en elmillor dels casos. Per tant, sembla que els ma-ateixos premis encoratjaven la repeticio. Perocom mes repeticio hi ha, mes facil es guanyar!Una petita taula posant les probabilitats de gua-nyar amb alguns exemples de combinacions ambrepeticions ens ensenyara com n’era, d’erronia,aquesta loteria. A la taula, s’anomena repeticiotriple un numero que es repeteix als tres quadresi doble un numero que es repeteix a dos.

Observeu com augmenten les probabilitats aqualsevol fila d’esquerra a dreta, es a dir, quanaugmentem la repeticio en les nostres combi-nacions. Aixı, qualsevol jugador que sigui unamica espavilat jugara sempre combinacions re-petides de tres en tres. I fara saltar la banca dela Generalitat! Resulta incomprensible que elsorganitzadors d’aquesta loteria no s’adonessind’aquest fet, pero sembla que aixı ha estat. Ima-

41

gino que les empreses organitzadores no tenengaires matematics en nomina, malgrat que unad’aquestes s’anomena Scientific Games Corpora-tion. No gaire scientific, no gaire. La comercialit-zacio d’aquesta loteria anava a carrec d’aquestaScientific Games Corp. amb la catalana Jocsdel Mediterrani. M’imagino que l’Entitat Auto-noma dels Jocs i apostes els posara una bonademanda...

Aixı, doncs, la propera vegada que us pregun-tin si les matematiques que estudieu serveixenper a alguna cosa, ja podeu dir que sı: per gua-nyar a la loteria, o per adonar-se que hi ha unaloteria fallida, o com a mınim per saber qui-na loteria es millor que una altra. I en bonalogica, haurien de servir per trobar feina a unaempresa de jocs d’atzar, encara que ara mateixno sembla que sigui aixı!

Triples 0 0 1 2 6Dobles 0 1 1 3 0Senzills 18 16 13 6 0

Prob. d’encertar 6 0,0013275 0,0047375 0,018898 0,10590 0,13238Prob. d’encertar 7 0 0,00031236 0,0049597 0,012311 0Prob. d’encertar 8 0 0 0,00078741 0,0047446 0Prob. d’encertar 9 0 0 0,000057135 0,0013122 0,018638

Josep BurilloUPC

Grip i estadıstica: que els nombres no ballin

La grip es una malaltia infecciosa produıda pelsvirus de la grip dels tipus A, B i C. Com una deles menors formes biologiques, els virus consis-teixen unicament en una capside proteica queembolica un contingut de cadenes de nucleotidsque li confereixen la capacitat de replicar-se. Lacapside dels virus de la grip conte hemagluti-nines i neuraminidases que li donen especifici-tat. Els virus de la grip humana tenen moltacapacitat per canviar les seves caracterıstiquesbiologiques (mutar): els canvis menors en l’es-tructura de les hemaglutinines i les neurami-nidases de la capside son els responsables deles epidemies anuals, i l’aparicio de canvis ma-jors en aquesta estructura explica l’aparicio depandemies com la de la situacio actual. Elsvirolegs havien previst ja la possibilitat que,amb posterioritat a la pandemia de 1968, apare-gues una nova pandemia tal com havia passat enles dues anteriors ben identificades, la de 1918 ila de 1957 [1].

El virus de la grip produeix, per regla gene-ral, una malaltia lleu que consisteix en una collade sımptomes que s’han agrupat i definit com asındrome gripal. La sındrome gripal es, doncs,una entitat nosologica que cursa amb febre quepot ser alta, tos que pot ser eixuta, amb malestargeneral i sensacio de doloriment ossi i muscular

(artromialgies), amb ragera de nas (rinorrea),amb mal de coll i amb vomits i diarrees. Totso alguns d’aquests signes i sımptomes podenser-hi presents i en diferents intensitats i totssolen desapareixer en una setmana. En personesamb malalties respiratories i altres condicionscroniques com poden ser la diabetis o les malalti-es cardiovasculars, entre d’altres, pot produir-loscomplicacions (la mes frequent es la pneumonia,per la repercusio que te la resposta a la interac-cio del virus en el mateix parenquima pulmonar[2]) que agreugen la seva situacio clınica i pot,tal com se sap de cada hivern, inclus, produir-losla mort ja sigui per insuficiencia respiratoria oper claudicacio de la funcio renal, que sempreestan presents en el xoc septic. En qualsevol cas,aquesta sındrome gripal esta produıda de mane-ra genuına pels virus de la grip pero tambe peraltres virus com son els adenovirus, els rinovirusi, en grups d’edat molt determinats (neonats ilactants), el virus sincitial. Discernir si s’estadavant d’un cas de grip o d’una infeccio viral demanifestacio respiratoria que sembla grip no esuna questio d’identificacio clınica sino de provesvirologiques de laboratori.

Tots els paısos representats en l’Organitza-cio Mundial de la Salut (OMS) tenen estrategiesinformatives no solament per quantificar l’abast

42

de les epidemies de grip sino per determinarles especies i subespecies de virus que circulendurant les epidemies anuals i per preveure lescaracterıstiques dels virus que podrien circularla seguent temporada. Definits i identificats elsvirus que hauran de ser inclosos en les vacunes,els laboratoris en dissenyen els prototips, elsgoverns quan se n’ha comprovat l’eficacia i se-guretat els aprovaran, els laboratoris fabricaranles vacunes i les distribuiran i els serveis sani-taris podran administrar-les (amb els antıgensprocedents de dues o tres soques de virus dife-rents) als ciutadans a partir del mes de setembrede cada any, pel que fa a l’hemisferi nord [3].Aquest es el cas de Catalunya, on, des de fa mesde vint anys, des dels centres d’atencio primarias’ofereix, a tots els majors de seixanta anys i atotes les persones amb risc, la vacuna contra lagrip estacional.

La vigilancia epidemiologica de la grip, coma concrecio de l’estrategia d’obtencio d’informa-cio, a Catalunya, es fa a partir d’un conjunt detrenta metges i de dinou pediatres voluntarisque configuren la xarxa sentinella de vigilanciade la grip i de les malalties respiratories agudes.Aquesta cinquantena de metges atenen gairebesetanta mil ciutadans de Catalunya en diferentscentres d’atencio primaria [3]. Aquests metgesi pediatres setmanalment generen dades —queenvien a l’Administracio sanitaria— sobre elspacients amb sımptomes gripals que atenen ide qui recullen mostres biologiques (frotis na-sofarıngics, serologies...) que son enviades alslaboratoris de virologia per a la seva analisi.D’un subgrup de la poblacio de Catalunya, esdisposa, doncs, d’informacio quantitativa de l’e-volucio de la grip (estacional i pandemica) i esdisposa d’informacio qualitativa sobre les ca-racterıstiques de les persones afectades i sobreels resultats de les analisis virologiques. I, detotes aquestes activitats de vigilancia epidemi-ologica, quina informacio se’ns n’ofereix? Perexemple, ara que ja ha baixat un xic l’impactede la pandemia, es va publicar que la taxa d’in-cidencia de sındromes gripals registrades per laxarxa sentinella es de 302,4 per cada 100.000 ha-bitants [4] i que de les mostres respiratoriesque han resultat positives al laboratori, aproxi-madament un 62 % correspon al nou virus de lagrip [4]. Aixı, doncs, la taxa d’incidencia de lessındromes gripals a Catalunya havia estat la set-mana anterior de 302,4 casos per cada 100.000

habitants? No ho sembla! Quina ha estat i qui-na es la taxa d’incidencia de la grip A H1N1 aCatalunya? No ho diu!

Es, en aquesta estrategia informativa sobrela grip, que l’estadıstica hauria de tenir-hi unpaper molt rellevant per donar solidesa a lesdades que s’obtenen, s’analitzen i es publiquen.L’estadıstica es un instrumentari de calcul queserveix per inferir les dades poblacionals a partirde les dades mostrals que la representen. I, peraixo, cal fer-nos algunes preguntes: per exemple,els setanta mil ciutadans que formen el contin-gent dels cinquanta metges sentinella, represen-ten la poblacio de Catalunya? I tambe, tots elsmetges de Catalunya han tingut la mateixa pro-babilitat de formar part de la xarxa? Pero aixotampoc garantiria una acurada descripcio del’impacte de la grip pandemica (i estacional) aCatalunya: cal tenir en compte (coneixer) l’edati sexe dels contingents de cada un dels metgesque participen en la xarxa sentinella, cal ajustarpel metode directe les taxes observades, amb da-des desagregades, als denominadors poblacionalsd’edat i sexe de Catalunya; solament aixı, elsındexs estandarditzats d’incidencia ens perme-trien dibuixar l’impacte a Catalunya de l’actualpandemia de grip amb un exercici d’inferencia,i es podria traslladar a les comarques amb unaanalisi del tipus small area. Altrament, tota lainformacio quantitativa que es publica fa re-ferencia a les dades crues procedents de la xarxasentinella: percentatges i mitjanes i, probable-ment, percentatges de percentatges i mitjanesde mitjanes son el panorama que s’ofereix. I, fo-ra de la xarxa sentinella, la publicacio setmanaldels increments i decrements de valors absolutscom son el nombre de visites fetes en els cen-tres d’atencio primaria, el nombre d’urgencieshospitalaries ateses, el nombre de pacients hospi-talitzats (tots ells per qualsevol causa), il.lustraun us molt limitat de l’aplicacio clınica i sa-nitaria dels conceptes i dels instruments que,mitjancant el contrast i els intervals de confi-anca, serveixen per disposar dels parametrespoblacionals a partir dels estadıstics mostrals.

No voldria acabar aquest viatge sobre la grip,en el que s’han presentat elements de la grip pan-demica i estacional i que, succintament, ha pas-sat per la virologia, la clınica i l’esbos d’analisiquantitativa que es fa i de la que s’hauria de fer,sense aturar-nos en la questio de la vacuna. Lesvacunes representen el metode mes efectiu de

43

prevencio de qualsevol malaltia. Els sanitaris,quan defineixen la prevencio, la classifiquen coma primaria si la prevencio consisteix a evitar elcontacte del factor de risc amb la biologia hu-mana, es a dir, a evitar la interaccio que iniciaraels canvis biologics que acabaran produint lamalaltia i la seva clınica. La que es coneix com aprevencio secundaria procura el diagnostic pre-coc d’una malaltia que ja ha comencat en labiologia humana (el factor de risc ja ha interac-cionat provocant canvis cel.lulars o tissulars)pero encara no es simptomatica; i la prevencioterciaria procura la recuperacio de la funciona-litat del subjecte quan ja se li ha diagnosticati tractat la malaltia que presenta. Per tant, lesvacunes, en general, i les vacunes de la grip enparticular, fan que l’organisme tingui un con-tacte amb els elements antigenics atenuats de lacapside del virus que provoquen la preparaciod’anticossos, la preparacio d’una barrera que evi-tara la malaltia. Com una clau i un pany, quanl’individu estigui en contacte amb el virus de lagrip (amb els antıgens) tindra els anticossos queels neutralitzaran i evitara la sındrome gripalpels virus de la grip contra els quals s’hagi va-cunat (evidentment, no quedara protegit contrauna sındrome gripal produıda per adenoviruso rinovirus que son igual de frequents durantl’hivern).

En aquest context, en la nostra societat haaparegut un debat molt viu sobre els riscos con-crets de la vacunacio contra la grip. Sembla-ria que sobre la vacuna de la grip s’exerceix,ara, la penitencia que la societat va amagar-sequan es va oferir, amb carrec al sistema sanitaripublic, la vacuna contra el papil.lomavirus humaa les nenes adolescents i noies joves sense an-tecedents de relacions sexuals. I tambe semblaque es fruit d’una confabulacio inabastable isolament comprensible per a alguns recomanaramb vehemencia que les persones amb factors derisc i les persones que treballen en serveis claude la nostra societat industrialitzada es vacunincontra la grip i contra la grip A H1N1. Sobrela vacuna de la meningitis que, a Catalunya,produeix al voltant d’un centenar de casos ca-da any i la mort d’un 7 % dels malalts, tambese n’ha dit ben poc; en canvi, sobre la vacunade la grip A amb una vintena de morts en 8

mesos tothom ha estat convidat a dir la seva.La tecnologia de la fabricacio de les vacunescontra els virus de la grip es una tecnologiasolida i provada i els riscos de l’administraciovacunal, que s’han de coneixer, existeixen, perouna malaurada virulencia del virus de la gripA i una elevada infectivitat (que no ha tingut),amb molt pocs dubtes, provocarien cues davantdels ambulatoris per vacunar-nos-en.

I, com a resum, m’agradaria, doncs, que elsindicadors sanitaris en general i, per concretar,els de les epidemies de grip s’agafessin ben fortdel brac de l’estadıstica. Cal disposar de da-des robustes sobre l’impacte d’aquesta malaltiavırica que tantes cabories ens ha generat, es-pecialment, des del mes d’abril de 2009. Si nosabem prou be que els estimadors puntuals deles mostres tenen un vol molt curt i, estranya-ment, masegats per la regla de tres, no ensduen enlloc.

Bibliografia

[1] Belshe R. B. The Origins of Pandemic In-fluenza. Lessons from the 1918 Virus. N. Engl.J. Med., 353 (2005), 2209–2211.

[2] Osterholm M. Preparing for the nextpandemic. N. Engl. J. Med., 352 (2005), 1839–1842.

[3] Ministeri de Sanitat i Consum. Vigilan-cia de la Gripe en Espana. Sistema centinela.Madrid: Boletın Epidemiologico Semanal [Ma-drid], 14 (22) (2006-2007), 253–255.

[4] Generalitat de Catalunya. Departa-ment de Salut. L’activitat gripal es manteamb una intensitat decreixent tot i que es man-te alta en aquests moments, [en lınia]: 3 desem-bre 2009. http://www.gencat.cat/especial/grip−a/cat/seguiment.htm. [Consulta: 4 desem-bre de 2009].

Agraıments. Els meus companys del Servei d’E-pidemiologia Clınica del Consorci Hospitalaride Vic han revisat una versio previa d’aquestareflexio i hi han aportat comentaris que hanmillorat el seu abast. La senyora Maria Rou-ra, periodista cientıfica, n’ha revisat l’estil. Toti aixo, cap dels defectes que hi trobeu els elspodreu atribuir.

Pere Roura PochMetge epidemioleg. Consorci Hospitalari de Vic

44

Premis

Quantitative arithmetic of projective varieties(T. D. Browning) Premi Ferran Sunyer i Balaguer 2009

L’aritmetica quantitativa de varietats projec-tives no es sino el punt de vista modern d’untema, les equacions diofantiques, que, com diul’autor, es gairebe tan vell com les matematiquesmateixes. Es tracta de determinar, en la mesuraque es pugui, el conjunt de solucions senceresd’equacions algebraiques amb coeficients sencers.Sigui, doncs, f ∈ Z[x1, . . . , xn] un polinomi enn variables amb coeficients sencers, i sigui

Sf = x = x1, . . . , xn ∈ Zn \ 0 : f(x) = 0.

Ens interessa especialment distingir els casos enque el conjunt es buit, finit, o infinit i, en aquestdarrer cas, donar una formula que pugui des-criure d’alguna manera la quantitat de solucionsque hi ha en relacio amb la seva grandaria.

La resposta, en primer lloc, depen de la di-mensio i, en aquest sentit, el problema millorestudiat es el cas n = 2. La teoria de corbes engeneral i, en particular, les corbes el.lıptiquesocupa una part considerable de la literatura ac-tual en teoria de nombres. I, malgrat tot, aspec-tes basics del problema romanen encara oberts.El coneixement actual en el cas de varietats al-gebraiques de major dimensio, n ≥ 3, es moltmes escas, i es redueix a una serie de resultatspuntuals i a una col.leccio de conjectures. La pre-sent monografia, guanyadora del Premi FerranSunyer i Balaguer 2009 i exactament dedicadaa aquest cas, podria suposar un comencamentd’un estudi mes sistematic del problema en di-mensions superiors.

Una primera observacio important es que,com be indica el tıtol, l’estudi es restringeix avarietats projectives. Hi ha alguns motius tri-vials pels quals una equacio diofantica no pottenir solucio, per exemple, quan l’equacio note solucions reals. A part d’aixo, en el cas dedimensio gran, un senzill raonament heurısticindica que, donada una forma de grau d en nvariables, el nombre de solucions de Sf de midaB hauria de ser de l’ordre de Bn−d. I, en par-ticular, quan n > d tindra infinites solucions.Es, doncs, interessant estudiar el comportamentasimptotic de la funcio

N(f,B) = #x ∈ Sf : ||x|| ≤ B,

quan B → ∞, on || · || es una determinadanorma.

La seleccio de varietats projectives no es inge-nua. Efectivament, T. D. Browning es un experten teoria analıtica de nombres, i aquest es l’en-focament que s’adopta al llarg de la monografiaa fi d’atacar el problema. Ara be, nomes cal ferun breu repas a les principals eines utilitzadesen aquesta disciplina: funcions zeta i L, gar-bell, caracters, funcio µ, formes bilineals, etc.,per a observar que aquesta teoria esta especi-alment dissenyada per capturar i aprofitar lanatura multiplicativa del problema. Mentre lesformes homogenies son clarament multiplicati-ves, aquesta condicio es perd completament enconsiderar formes afins en general.

Pero encara, fins i tot dins de les formes ho-mogenies, el problema segueix sent inabastableen general actualment. Aixı i tot, hi ha diversoscasos en els quals se’n te major coneixement.En primer lloc tenim el cas en que el nombrede variables es molt major que el grau de laforma. Efectivament, en aquest cas Birch vaser capac de provar que per a formes no singu-lars amb un numero exponencial de variablesen funcio del seu grau, l’argument heurıstic duua la resposta correcta. El motiu que fa aquesttipus de problemes assequibles es que, quan ladimensio es molt superior al grau, el metode delcercle de Hardy-Littlewood es molt efectiu. Con-cretament es comenca amb la senzilla identitatN(f,B) =

∫ 10 S(α)dα, on

S(α) =∑

x∈Zn∩[−B,B]n

exp(2πiαf(x)).

Ara be, hom espera que els nombresexp(2πiαf(x)), excepte per a α racional ambdenominador petit, estiguin distribuıts de for-ma aleatoria al voltant del cercle unitat, quanfem variar x ∈ Zn. Aixo, via el teorema centraldel lımit, ens duu a pensar que S(α) hauriade ser normalment mes o menys de l’ordre deBn/2. Tenint en compte que el nostre raonamentheurıstic ens diu que N(f,B) ∼ Bn−d, solamentpodem esperar que aquest metode funcioni pera dimensions d > n/2. En el capıtol 8 del llibre

45

s’inclou una descripcio del metode, aixı com unaprova del teorema de Birch en el cas d = 4.

L’estudi de la funcio de comptar es pot ata-car de dues formes diferents: via l’accio d’ungrup en la varietat o, mes en general, via eltorsor universal. En el primer cas, un estudi dela funcio zeta d’altura associada al conjunt desolucions racionals, juntament amb les tecniquesanalıtiques associades, tipus teoremes tauberi-ans, pot arribar a donar resultats satisfacto-ris. Quant al segon cas, el metode d’atac es elseguent: 1) es construeix una bijeccio explıcitaentre punts racionals d’altura fitada i puntssencers en una regio del torsor universal. Unavegada situats en aquesta nova varietat, la teoriaanalıtica de nombres permet, d’una banda, 2)estimar l’error comes en aproximar el nombre depunts de coordenades senceres en aquesta regiopel volum de la regio i, de l’altra, 3) mostrar queaquest volum creix d’una forma determinada.

L’any 1990, Manin va predir el terme princi-pal del creixement del volum i aquest, restringita varietats de Fano, es l’objecte del capıtol 2del llibre. Concretament, Manin va conjecturarl’existencia de limB→∞

log NV (B)log B i el va relacio-

nar amb un invariant geometric de la varietatvia el con de divisors efectius. Tot i existir casosen que la conjectura esta provada, com es el deles varietats toriques, en general se n’esta moltlluny, i l’unica cosa que existeixen son fites supe-riors lluny del veritable ordre de magnitud. Enla taula 2.4 l’autor inclou una serie de problemesoberts per al lector interessat en el tema. Potser interessant fer notar que el millor resultatque es coneix es condicional a la certesa de lahipotesi de Riemann.

En general, les fites segueixen la cone-guda conjectura del creixement dimensional,NV (B) Bdim(V ) + ε, formulada per a qual-sevol varietat irreductible, i estudiada en el ca-pıtol 3. Gracies a la projeccio birracional, laconjectura es pot restringir a hipersuperfıciesirreductibles donades per una forma F (x). Unavegada en aquest context, l’observacio trivialque, per a qualsevol primer p, es te NV (B) ≤#|x| ≤ B : p|F (x), permet reduir el problemaen termes de sumes exponencials en cossos finits.L’analisi de Fourier es ara qui permet completarles sumes i controlar la irregularitat que prove

del truncament a altura B. La novetat que pro-posa l’autor, juntament amb Heath-Brown, esprovar que els punts racionals de la varietat ca-uen en un nombre petit d’espais lineals, mes facild’estimar, amb coeficients petits, i aixo ens donauna estimacio acceptable. Aquesta tecnica, inspi-rada en la iniciada per Bombieri i Pila en el seuestudi de corbes, la generalitza primer Heath-Brown, i la desenvolupa l’autor en el capıtol 4,fent una particio p-adica de la varietat. Arribatsa aquest punt, la geometria dels nombres, es adir, un estudi adequat de reticles modul primers,ens proporciona les fites desitjades. En aquestcapıtol tambe s’inclou un estudi mes o menysdetallat sobre reticles.

Els capıtols 5 i 6 presenten la demostra-cio completa per a dos tipus de superfıcies delPezzo singulars. Quan la singularitat es del ti-pus A1 estem considerant superfıcies de grau 6,no toriques, i el pas al torsor universal i laformula de Perron per controlar l’error per-meten, no nomes demostrar les conjectures deManin en aquest cas, sino que estableixen laformula asimptotica NV (B) = c1B(log B)3 +c2B(log B)2 + O(B(log B)), on c1 es una seriesingular explıcita. Per al cas de cubiques singu-lars del tipus D4, tractades en el capıtol 6, sensela funcio zeta d’altura al nostre servei, el pasal torsor universal nomes permet obtenir unafita superior de l’ordre de magnitud correcte,estimant el nombre de solucions d’equacions encongruencies.

Finalment, l’autor dedica el capıtol 7 a l’es-tudi de superfıcies no singulars. En aquest cas,recobrint aquesta vegada la varietat per hiper-plans, i gracies al lema de Siegel que estableixuna fita en l’altura dels hiperplans a utilitzar,i la varietat dual, s’obte una fita valida per asuperfıcies no singulars de qualsevol grau. Resul-ta interessant destacar la fita NV (B) B5/4+ε

en el cas d’interseccio de quadriques (sense lessetze lınies que contenen). Aquest resultat estacondicionat a una coneguda hipotesi de corbesel.lıpticas sobre Q que dona una fita del rang entermes del conductor de la corba.

El meu agraıment per a Sebastia Martın, perhaver llegit aquest article, i per la seva traduccioal catala.

Jorge J. UrrozUPC

46

Premis i borses Ferran Sunyer i Balaguer

La Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer ha convocat una nova edicio de:

• Borses Ferran Sunyer i Balaguer

Per a estudiants de doctorat en matematiquesals Paısos Catalans, en el tram final de la tesidoctoral, per tal de fer una estada d’un a tresmesos d’estudi o de recerca en una institucio fo-ra de l’ambit geografic de la universitat d’origeno tambe, en el cas de posseir el tıtol de doctoren el moment d’iniciar l’estada, en el Centre deRecerca Matematica. Data lımit de presentaciode sol.licituds: 28 de febrer. La borsa s’atorgaamb la col.laboracio de Birkhauser Verlag.

• Premi Matematiques i Societat

Per al millor reportatge sobre qualsevol aspec-te de les matematiques (ensenyament, recerca,divulgacio, presencia en la societat...), publicato emes en qualsevol mitja de comunicacio delsPaısos Catalans de caracter generalista (premsadiaria, publicacions periodiques, radio, televi-sio, mitjans digitals, etc.) en els dotze mesosanteriors a la data de resolucio. Data lımit depresentacio de sol.licituds: 10 de marc de 2010.

Mes informacio: http://ffsb.iec.cat

Premi Shaw 2009 per a S. K. Donaldson i C. H. Taubes

El juny passat, la Shaw Prize Foundation (HongKong) va atorgar el Shaw Prize in Mathema-tical Sciences 2009 als matematics Simon K.Donaldson i Clifford H. Taubes for their manybrilliant contributions to geometry in 3 and 4dimensions, tal com s’esmenta a la citacio ofi-cial. Aquest prestigios premi esta dotat amb unmilio de dolars que es repartiran a parts igualentre els dos guardonats

Simon K. Donaldson

Va neixer a Cambridge, a Anglaterra, el 20 d’a-gost de 1957. Despres de graduar-se en matema-tiques a Cambridge, es doctora a Oxford, sotala direccio de N. Hitchin, primer, i M. Atiyah,posteriorment. Ha rebut nombrosos premis i dis-tincions abans del premi Shaw, entre els qualsdestaca la medalla Fields el 1984.

Els treballs de Donaldson versen sobre lesaplicacions de l’analisi i les equacions en deriva-des parcials el.lıptiques a problemes en geometriade varietats de dimensio quatre. Les principalsaplicacions de la teoria de Donaldson ens doneninformacio sobre la topologia de les varietats dedimensio quatre que son diferenciables; en par-ticular mostra la gran diferencia que hi ha entreles varietats diferenciables i les topologiques enquatre dimensions.

Al mateix temps que Freedman classificava

topologicament les varietats de dimensio quatresimplement connexes, Donaldson provava l’ano-menat teorema de diagonalitzacio, o teoremade Donaldson. Segons aquest teorema, per unavarietat de dimensio quatre simplement connexai diferenciable, si la seva forma d’interseccio esdefinida, aleshores es diagonalitzable sobre elsenters. Una de les consequencies del treball deDonaldson es el fet que no hi ha un teoremade h-cobordisme diferenciable entre varietats dedimensio quatre. Aixo donava peu a l’existenciad’estructures diferenciables exotiques en varie-tats de dimensio quatre, en particular l’espaieuclidia R4.

La teoria de Donaldson es basa en l’estudi defibrats principals i connexions d’aquests fibratsaixı com les seves formes de curvatura. S’estudi-en analıticament les connexions anomenades au-toduals i antiautoduals, propies als fibrats sobrevarietats quadridimensionals. Aquests objectes,l’anomenada teoria de gauge, foren introduıtspreviament pels fısics, en teoria de partıcules.

A partir de mitjan anys noranta la teoria deDonaldson fou reemplacada per la de SeibergWitten, que permetia demostrar mes resultats ide manera mes senzilla. Per exemple, el teoremade Donaldson de diagonalitzacio de formes d’in-terseccio s’ha generalitzat a totes les varietatsde dimensio quatre, sense la hipotesi simplementconnexa, mitjancant Seiberg Witten.

47

Una altra contribucio excepcional de Do-naldson, mes recent, es la demostracio que totavarietat simplectica compacta admet un pinzellde Lefschets simplectic.

Clifford H. Taubes

Va neixer el 1954 a Rochester (Nova York) i esfısic de formacio. Obtingue un doctorat en fısicateorica el 1980 sota la direccio d’A. Jaffe.

La teoria de Donaldson utilitza els primerstreballs de Taubes sobre teoria de gauge (sobrel’espai de moduli de les solucions de les equaci-ons de Yang-Mills). Tot i que no fou el primer ademostrar l’existencia d’estructures exotiquesa l’espai R4, sı que demostra el 1987 que n’hihavia una quantitat no numerable.

Ha estat un dels grans impulsors de l’apli-cacio de la teoria de Seiberg-Witten a l’estudi

de la topologia de les varietats diferenciables dedimensio quatre. Taubes prova que l’invariantde Seiberg-Witten es igual a un invariant queenumera certes classes de corbes pseudoholomor-fes, anomenat actualment invariant de Taubes-Gromov. Aquest fet ha transformat la compren-sio de la topologia de les varietats simplectiquesquadridimensionals.

Utilitzant l’homologia de Seiberg-Witten-Floer, desenvolupada per Peter Kronheimer iTomasz Mrowka, Taubes va provar la conjecturade Weinstein per a les varietats de contacte dedimensio tres, segons la qual el camp vectorialde Reeb d’una varietat de contacte tridimensi-onal sempre te una orbita tancada. Tambe hamostrat que, en una varietat tridimensional decontacte, l’homologia de contacte es isomorfa auna versio de la cohomologia de Seiberg-Witten.

Joan PortiUAB

Premi Albert Dou

La Societat Catalana de Matematiques (SCM) ofereix el Premi Albert Dou, dotatamb 2.500e, a la persona que presenti un treball publicat o realitzat en els darrersdos anys que contribueixi a fer visible la importancia de la matematica en el nostremon, a transmetre el coneixement matematic a un public mes ampli que els mateixosespecialistes, i a promoure tot el que pugui ajudar a l’extensio del prestigi de lamatematica a la nostra societat. Els treballs que optin al premi poden ser proposatsper qualsevol membre de la Societat o be pels mateixos autors. Si el treball no estaescrit en catala, caldra acompanyar-lo d’un resum ampli en aquesta llengua. El juratdel Premi estara format per sis membres, designats per la Junta de la SCM, entreels quals hi haura matematics i persones d’altres arees de reconeguda solvencia. Eltreball premiat es publicara en el Butlletı de la Societat Catalana de Matematiques,d’acord amb les normes de publicacio.

Els treballs s’han de fer arribar a l’Institut d’Estudis Catalans abans del 30 de maigde 2010. El Premi, de periodicitat biennal, s’entregara en la sessio d’inici del cursvinent.

48

Parlem de llibres

En agraıment a l’editorial Nivola

Es forca comu a casa nostra, i tambe a d’altresindrets de l’Estat espanyol, evitar els elogis i elsagraıments —per no dir, amb mes rotunditat,exercir la crıtica o el menysteniment— de lesaccions dels altres, ja siguin individus o insti-tucions. I, de fet, l’exercici de la crıtica i delmenyspreu es un exercici facil que no reque-reix de gaire imaginacio perque obviament totaactivitat humana te alguna mena de defecte omancanca i sempre es susceptible de fer-se mi-llor, encara que, de fet, ningu, un cop feta lacrıtica, no faci cap mena d’esforc per millorarl’objectiu criticat.

Un altre fet caracterıstic es la vida breu —o irregular— que acostumen a tenir iniciativesd’aquesta mena a casa nostra. En el camp del’edicio de traduccions d’originals, voldria recor-dar, per exemple, tants i tants anys de feinaben feta per l’editorial Alianza (Madrid), so-ta l’assessoria de Jesus Hernandez —una feinaque mai no li podrem agrair prou—; l’intentmagnıfic del professor Manuel Garcıa-Doncel,en l’edicio coparticipada de la UAB i la UPCde classics de la fısica i la matematica (Bar-celona) —amb una separata del text en llenguaoriginal, i traduccions molt correctes comenta-des de manera excel.lent—; l’acurada col.lecciode classics de l’IEC (Barcelona), dirigidaamb entusiame per Antoni Malet —que tan-tes dificultats te per avancar amb regularitat.L’intent de proporcionar obres clau anotades deRSME SAEM Thales (Sevilla), que solamentha aconseguit tres o quatre tıtols, tanmateixindispensables.

I, pel que fa a textos de divulgacio, vull es-mentar l’intent de col.laboracio del MEC i l’e-ditorial Labor (Barcelona) dels anys vuitantaque va apropar als lectors en llengua castella-na les dues obres clau de reflexio de Philip J.Davis i Reuben Hersh; la imprescindible col.lec-cio La Tortuga de Aquiles (Madrid), dirigidaper Joaquın Hernandez, amb molt d’encert, quenomes assolı una dotzena de tıtols, tots, pero,molt ben triats. I, ara, ben recentment, Obra-dor Edendum (Santa Coloma de Queralt) hainiciat deu col.leccions que tracten de ciencia,filosofia, literatura i medievalıstica. Les dues que

corresponen a textos cientıfics son Ciencia i ac-cio i Punt Nodal. Aquesta darrera inicia laseva existencia l’any passat amb Apologia d’unmatematic, de Godfrey H. Hardy, i te previst se-guir amb el text de John von Neumann sobre Elcervell i l’ordinador amb el contrapunt del textd’Alan Turing: Pot pensar una maquina? A mes,de tot aixo, l’editorial Acantilado (Barcelona)ens acaba d’oferir les dues petites obres mestresde divulgacio —cultural i formativa— de Mar-cus de Sautoy (espero dedicar-los una reflexio,el proper SCM/Notıcies), pero que, molt emtemo, seran una aportacio —que hem d’agrair,certament— puntual, perque no es pas la menade textos que edita Acantilado, que, aixo sı, esmolt curosa en tot allo que edita, tant en la triacom en la presentacio.

Per aquestes dues raons em sembla que val lapena dedicar unes ratlles a l’esforc de l’editorialNivola. Pero encara n’hi ha una altra —realmentmolt important— que vull remarcar. Son textosadrecats a estudiants d’ESO, batxillerat i deprimers cursos d’universitat, i molts tant podenser llegits per mentalitats humanistes com permentalitats mes cientıfiques. A mes permetenal professorat d’iniciar els seus estudiants a lalectura de textos —o de trossos de textos— tantde divulgacio, com de reflexio i, fins i tot, aalguna pagina classica.

Em fixare ara en tres de les seves col.lecci-ons, i deixare per al final la mes emblematicade totes:

Ciencia Abierta. Consta de gairebe trenta textos,alguns autentics classics, com ara Aventuras deun matematico, de Stanislaw M. Ulam, Memo-rias de aprendizaje, d’Andre Weil, Matemati-

49

ca elemental desde un punto de vista superi-or. Aritmetica–Algebra–Analisis, de Felix Klein,i Recreaciones matematicas, d’Edouard Lucas.Son, com deia, textos classics —amb el valorafegit que aixo comporta. Els dos primers, comels tıtols palesen, ens apropen a les reflexionsde dos matematics professionals rellevants sobrela seva propia experiencia personal; el tercer—un autentic referent d’una epoca prou recent ialhora prou allunyada— preten d’apropar, ambrigor, a les branques mes emblematiques de lamatematica, potenciant la intuıcio com un camıvalid per a una comprensio prou cabal. El dar-rer, sobre problemes i curiositats matematiques,conte, per exemple, el primer desenvolupamentde la successio de Fibonacci, entre moltes altresquestions que no pretenc pas de desvetllar. Esun text apassionant per a tot aquell que estimaapropar-se a la matematica des de la part mesrecreativa que, a voltes, transcendeix el fet re-creatiu i condueix cap al creatiu.

Cientıficos para la Historia. Es, de fet, una col.lecio(amb una trentena de tıtols) que ens presentaprohoms de la ciencia —fonamentalment, de lafısica a la geologia— en un ventall ampli que per-met una comprensio d’algunes de les descobertesi contribucions mes notables del pensament ci-entıfic —no estrictament matematic— alhoraque ofereix una bona formacio cultural de laciencia, perque la cultura passa pel coneixementdels seus cervells mes distingits. Conte nomsmolt coneguts com ara Copernic, Kepler, Ga-lileu, Pasteur, Heisenberg, Lavoisier, Fleming,Ramon y Cajal, Medeleiev, Koch, Darwin, etc.,i d’altres que potser no ho son tant, de coneguts,com ara Linneo, Paracelso, Jorge Juan, Mutis,Malaspina, Harvey, Humboldt, Lyell, etc.

Son homes, d’alguna manera, exemplars.Coneixer-ne la vida i l’obra permet d’obrir lanostra ment cap a vivencies, idees i teories que,

a voltes, poden resultar atractives i, a vegades,fins i tot, formatives.

Episteme. Es una col.leccio notable de traducci-ons d’originals, amb nomes vuit tıtols, pero quejustifiquen perfectament el seu interes. Com amatematic n’esmentare tres o quatre, pero n’hiha dos d’un gran interes fısic: el d’Einstein i elde Plank:

La geometrıa del azar, on es recullen els textosque varen donar lloc al naixement de la probabi-litat. Aquests textos ja havien estat publicats encastella en l’obra de Marisol de Mora, molt mescompleta, i en catala, en l’obra sobre Fermat,publicada per l’IEC.El libro del Algebra d’Al-Hwararizmı. Es el pri-mer tractat d’algebra en el sentit classic dela paraula: resolucio d’equacions polinomiques.Es un text senzill i excel.lent per apropar-sea les equacions de segon grau. Pot servir per-fectament de pauta per als professors a l’horad’introduir aquesta questio a l’aula. Hi ha laregla, la demostracio geometrica i uns quantsproblemes prou clars i senzills.La Aritmetica y el libro sobre los numeros po-ligonales, de Diofant. Es, certament, un llibrecomplex —que consta de dos volums. Pero cons-titueix el naixement de l’aritmetica teoricaclassica, que, amb el pas dels segles, portariaal que avui anomenem la teoria de nombres, lareina de la matematica, segons Gauss. Es moltinstructiu, i la seva dificultat queda pal.liada perles notes amb que l’acompanyen els seus autors.

Com deia, la darrera col.leccio a la qual fareesment, amb mes de quaranta tıtols, es la joiade la corona de l’editorial Nivola:

La Matematica en sus Personajes. Constitueixuna col.leccio realment completa de l’evoluciodel pensament creatiu matematic en mans delsseus artıfexs, els matematics de tots els segles iepoques. Permet una molt bona aproximacio ala historia de la matematica occidental.

50

• De la matematica i filosofia gregues: Pitagores,Plato, Euclides, Arquimedes, Ptolemeu.

• De la matematica arab, hi trobem: Alhazen,Azarquiel, Omar Jayyam.

• De la matematica del segles xiii i xiv: Fibo-nacci.

• Del renaixement: Tartaglia i Cardano.• Del segle xvii: Descartes, Fermat, Pascal i

Newton.• Del segle xviii: els Bernoulli, Goldbach, Euler,

i Da Cunha• Els matematics de la revolucio francesa: La-

grange, Laplace, Legendre i Monge.• Un elenc important de matematics dels se-

gles posteriors: Abel, Bolyai, Cauchy, Dirac,Galois, Godel, Hilbert, Kolmogorov, Kova-levskaia, Lie, Lobatchevski, Noether, Pluckeri Poncelet, Poincare, Riemann, Ruffini, Tu-ring, Wiener, sense oblidar un llibre dedicata les dones matematiques, malgrat que hi hados textos d’especıfics.

• Finalment, molt tımidament, hi ha un llibrede matematica xinesa: Liu Hui, l’unic exem-plar de matematica no d’arrel grega.

Que afortunats que son les noies i nois d’a-ra —i tambe els professors que tenen la feinamagnıfica de formar-los— de poder disposar d’a-quests quadres d’una exposicio, plagiant Mus-sorski! Com tota galeria es, de fet, un indretcultural inapreciable que, com ja indicava encomencar, hem d’agrair.

Permet d’apropar-se a l’atzar, a l’aritmetica,a l’algebra dels polinomis, a la logica, a la com-putacio, a la geometria/geometries, a l’evolucio

de l’analisi, a la variable complexa, etc., quelcomque pot ajudar a perfilar el desig d’aprofundiren algun d’aquests ambits de la matematica.

No voldria, pero, deixar-me al tinter algu-nes observacions sobre aquesta col.leccio. D’unabanda, ara com ara, hem de constatar:

• Algunes mancances que, de ben segur, s’ani-ran corregint: Leibniz, Gauss, Cantor, VonNeumann, Dedekind, Shanon, Frege o Rus-sell, per esmentar alguns del noms clau del’evolucio del pensament.

• Un text sobre el paper de les aritmetiquescomercials de finals del segle xv, sobre ba-se, per exemple, de Sant Climent, Chuquet oPaccioli.

• Un millor aprofundiment de la matematicade rel no grega: egıpcia, mesopotamica, ındia,japonesa, maia, etc.

• Una presentacio de la crisi de fonaments queporta a la teoria axiomatica de conjunts.

Ara be, el retret mes punyent, pero, es lamanca d’un comite d’assessors experts —on ca-da un de nosaltres s’hauria d’implicar— queanalitzessin la valua dels originals i, en tot cas,les correccions adients a les quals caldrien sot-metre’ls. La manca d’aquesta contribucio fa que,al costat de textos molt aconsellables —els Ber-noulli, Kolmogorov, Sofıa, Plucker i Poncelet,Ptolomeu, Ruffini, Riemann, Goldbach— n’hihagi d’altres, amb un nombre sensiblement infe-rior certament, que, al meu entendre, no tenen lacategoria que correspon a la col.leccio: Descartes,Newton, Godel, Euclides.

Tot el contingut de l’article es una apreciacioabsolutament personal de l’autor. I no em fares d’expressar-ho en veu alta perque es moltgreu que aixo passi, perque, sense desdir en resl’esforc que s’esta fent —ja fa un grapat d’anys—i el seu valor intrınsec, una mica mes d’atencio,com deia, per part de tots potser podria ajudara millorar la col.leccio i evitar que el pensament icontribucio d’homes i dones tan eminents quedimalament a la foto.

Josep Pla i CarreraUB

51

Una lectura del Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvasde Gauss

Autors: Agustı Reventos i Carlos J. RodrıguezEditorial: edicio electronica de la SCM

La necessitat de llegir, o rellegir, els textos ori-ginals mes importants es un fet ben reconegut,tot i que sovint es una tasca feixuga a causade les diferencies de llenguatge en el temps. Enla lectura d’un classic reconeixem l’origen i elsfonaments de les idees que tracta, cosa que enspermet copsar l’originalitat dels conceptes i re-sultats aconseguits; pero no solament aixo: lalectura d’un text original ens pot ajudar, i molt,a l’hora de presentar aquestes idees a altri.

Aquests comentaris venen a tomb respec-te de l’opuscle Disquisitiones Generales CircaSuperficies Curvas escrit per Gauss l’any 1827,del qual podrıem dir que es el text de geome-tria diferencial mes important i influent maiescrit. Aquesta petita obra de nomes quaran-ta pagines distribuıdes en vint-i-nou articles esconsiderada com l’inici de la geometria diferen-cial intrınseca. Com a mostra de la convenienciade llegir Gauss podem citar els comentaris deSpivak en el volum ii de la seva monumentalobra [4], on recomana vivament la seva lectura,comentant especialment els primers vint articles,o la magnıfica traduccio i estudi crıtic realitzatper Dombrowski [1] (vegeu tambe [2]).

Agustı Reventos i Carlos J. Rodrıguez enspresenten una acurada traduccio al catala deles Disquisitiones de Gauss, pero no nomes aixo.Fent bona una de les maximes d’Italo Calvinoen referir-se al perque de la lectura dels classics,aquella que diu que un classic es un llibre quemai no acaba de dir tot el que te per dir, en fanuna lectura crıtica partint que les Disquisitionescontenen, de forma subjacent, les idees de Gaussal voltant del problema de la independencia del’axioma de les paral.leles en la geometria euclidi-ana. En aquest sentit, els autors plantegen dueshipotesis que guiaran els comentaris i desenvo-lupaments complementaris al text de Gauss:

• Gauss adopta el programa analıtic de Lambertcom a metode per a resoldre definitivamentel problema de les paral.leles.

• Gauss es proposa descobrir una superfıcie quetingui el paper de l’esfera de radi imaginarisuggerida per Lambert.

En suport d’aquestes hipotesis, Reventos i

Rodrıguez comencen traduint i comentant diver-sos paragrafs de la Theorie der Parallellinien deLambert, de l’any 1766, on es desenvolupa la ge-ometria de l’angle agut, en la qual el quart angled’un quadrilater amb tres angles rectes es agut.Assenyalem dues frases de Lambert remarcadespels autors: com els postulats d’Euclides i laresta d’axiomes estan ja expressats en paraules,es pot i s’ha d’exigir que en la prova mai ensrecolzem en cap representacio material, sino quehem de fer la prova d’una manera absolutamentsimbolica, i m’inclino a pensar que la hipoteside l’angle agut es certa en alguna esfera de radiimaginari.

El llibre que tenim entre mans es una apor-tacio molt ben elaborada i convincent de leshipotesis suggerides anteriorment, complemen-tada per una nova aproximacio historica alsavatars, desenvolupament i acceptacio de lesidees de Janos Bolyai i Lobatchesvki sobre lageometria hiperbolica i el problema de la sevaconsistencia. Estem d’enhorabona, aquest llibreposa les Disquisitiones de Gauss a l’abast dellector catala, afegint-se aixı a la magnıfica tra-duccio de les Disquisitiones Arithmeticae delmateix Gauss realitzada per Griselda Pascu-al i Xufre, i ho fa amb aportacions originals iacompanyant-nos en la seva lectura.

Aquesta lectura de l’obra de Gauss esta or-ganitzada en una introduccio, el text original deGauss, amb interessantıssimes notes a peu depagina imprescindibles per al lector actual d’unaobra amb tanta historia, i fins a nou apendixs,que en certa manera formen el gruix del textja que ocupen mes de la meitat de les pagines delllibre, el darrer dels quals escrit pel doctor JoanGirbau. Es en les notes a peu de pagina i elsapendixs que els autors contrasten les hipotesisefectuades i desenvolupen una versio coherentamb aquestes hipotesis.

Els tres primers apendixs son de caracterhistoric: en el primer es reflecteix el contingutde les Disquisitiones, en el segon es comenta laversio mai publicada per Gauss de 1825, mentreque el tercer es un recull de cartes personals deGauss als seus col.legues en les quals parla de la

52

geometria no euclidiana i de la gestacio del Dis-quisitiones, escrits que permeten albirar que hihavia darrera de la versio publicada. La versiode 1825 es molt interessant ja que mostra comsorgeix el teorema egregium de la teoria de su-perfıcies a partir de la formula de l’exces del’area d’un triangle geodesic, tot i que el desen-volupament complet no estava prou justificat,per la qual cosa Gauss va fer una presentacioanalıtica en les Disquisitiones, fent un camı in-vers que parteix del teorema egregi per arribar ala formula de l’exces. Es un exemple fefaent decom l’origen de les idees no sempre es transportaa la presentacio final dels resultats obtinguts. Enaquest sentit crec que hauria estat interessantincloure el text de 1825 a l’apendix B, i no tantsols la descripcio dels seus capıtols (per a unaversio anglesa podeu consultar [3]).

En l’apendix D es comenta el treball deBolyai i la lectura que en fara Gauss, donant pertancat el problema de la teoria de les paral.leles.En els apendixs E, F i G es desenvolupa de ma-nera sistematica i analıtica la geometria esferica,el calcul de la derivada de l’angle d’inclinaciod’una superfıcie arbitraria i el teorema del defec-te, de manera molt similar a com ho fa Gauss.En aquests apendixs, aixı com en l’H, dedicatal desenvolupament de la geometria analıtica

hiperbolica seguint l’analogia de Lambert, es faun esforc reeixit per fer una presentacio analıticaque corrobori les hipotesis de partida, alhora queaproxima els temes tractats a l’estudios actual.

Els capıtols de geometria esferica i hiperbo-lica estan complementats per l’apendix I, en elqual Girbau dona una demostracio directa deles formules de la trigonometria esferica i hi-perbolica basant-se en el dibuix i en el modelde l’hiperboloide de la geometria no euclidiana,respectivament.

En definitiva, estem davant d’un llibre im-prescindible, que no ha de faltar en la bibliotecadels amants de la geometria, encara que sigui labiblioteca virtual!

Referencies

[1] Dombrowski, P. 150 years after Gauss“Disquisitiones generales circa superficies cur-vas”. Asterisque 62. Soc. Math. France, 1979.

[2] Conferencies FME. Vol. 3. Curs C. F. Gauss,2005-2006. UPC, 2006.

[3] Gauss, K. F. General investigations of cur-ved surfaces. Edicio a cura de P. Pesic. Dover edi-tion, 2005. [Edicio original Princeton U., 1902].

[4] Spivak, M. A comprehensive introduction toDifferential Geometry. Pubish or Perish, 1970.

Pere Pascual GainzaUPC

Raco biografic

Richard Dedekind: L’altre gran matematic de Braunschweig

Julius Wilhelm RichardDedekind va neixer aBraunschweig el 5 d’octu-bre de 1831. Braunschweigera llavors una petita ciu-tat d’uns 40.000 habitants(avui en te 240.000) si-tuada a la part superiord’Alemanya, a uns setantaquilometres de Hannovertirant cap a l’est. A uns

cent quilometres cap al sud es troba la ciutat deGottingen, amb la seva universitat anomenada

Georgia Augusta. Carl Friedrich Gauss havianascut tambe a Braunschweig i fou professor deDedekind a la Georgia Augusta.

La famılia de Dedekind formava part de laclasse benestant d’aquella ciutat de la BaixaSaxonia. El pare de Dedekind havia estudiatdret i era professor del Collegium Carolinum deBraunschweig. El Carolinum, que es remuntavaal 1745, era una prestigiosa institucio educativaque preparava els estudiants que volien ingressara la universitat; Gauss en fou alumne i tambeDedekind. La mare de Dedekind, Caroline Hen-riette, era filla d’un professor del Carolinum. El

53

matrimoni Dedekind tenia quatre fills, dos noisi dues noies; Richard era el mes petit.

Dels set als setze anys va anar al gymnasi-um de Braunschweig; inicialment es va interes-sar per la fısica i la quımica, pero finalment es vadecantar cap a les matematiques perque segonsell deia era l’unica disciplina que tenia un rigorlogic. Abans d’entrar a la Universitat va passardos anys al Carolinum aprenent algebra, geome-tria analıtica, mecanica i calcul. Quan el 1850Dedekind va entrar a la Universitat Georgia Au-gusta de Gottingen per estudiar matematiques,no era encara el lloc d’excel.lencia matematicaque seria anys despres. Les matematiques erenensenyades per M. A. Stern, G. Ulrich i C. F.Gauss, i la fısica ho era per Listing i WilhelmWeber. Stern va impartir a Dedekind les prime-res llicons sobre teoria de nombres i amb Gaussva aprendre sobre el metode dels mınims qua-drats, calcul de probabilitats, integrals definidesi geodesia superior. Mes tard Gauss va dirigirla tesi de Dedekind sobre integrals eulerianes.Dedekind fou l’ultim deixeble de Gauss.

El 1854 Dedekind s’habilita com a Privat-dozent a la Georgia Augusta i comenca donantcursos de geometria projectiva i algebra superior.En aquests cursos, que tenien molt pocs alum-nes matriculats, a vegades nomes dos, Dedekindes el primer de parlar de la teoria de Galois id’introduir el concepte de grup abstracte.

En aquest perıode Dedekind continua assis-tint a altres cursos i seminaris per tal d’augmen-tar el seu coneixement matematic. Aixı, quan el1855 mor Gauss, procedent de la Universitat deBerlın arriba P. Dirichlet a Gottingen per ocu-par la Catedra de Matematiques que resultavad’haver convertit la d’Astronomia que ocupavaGauss. Llavors Dedekind decideix assistir alscursos sobre teoria de nombres, teoria del poten-cial, integrals definides i equacions en derivadesparcials que imparteix Dirichlet. Ben aviat faraamistat amb Dirichlet i entrara a forma part delseu equip.

Dedekind assisteix tambe a un seminari fisi-comatematic dirigit pel fısic Wilhelm Weber. Lapersonalitat de Weber entusiasmara Dedekind,no tant per la materia explicada sino per lamanera de fer-ho. En una carta que Dedekinddirigeix a Klein el 26 d’abril de 1913 escriu:

[...] el gran curs de Weber, distribuıt en dossemestres, em causa la mes profunda im-pressio; la separacio rigorosa entre els fets

fonamentals descoberts gracies a les expe-riencies mes simples i les hipotesis lligadesa aquests per l’enteniment huma, oferia unmodel insuperable de la veritable investiga-cio cientıfica, com jo no havia conegut maifins llavors [...].

Es en aquest seminari on es troba amb Bern-hard Riemann, que es cinc anys mes gran queell. Riemann, de caracter reservat, mantindrallargues converses amb Dedekind i ells dos esde-vindran grans amics fins a la prematura mortde Riemann el 1866. Dedekind assistira a lesclasses de Riemann sobre funcions abelianes iel.lıptiques.

Gauss, Dirichlet i Riemann van ser els tresmatematics de Gottingen que van influir en De-dekind. Tots tres morien molt abans que ell.Gauss el 1855, quan tenia setanta-vuit anys, Di-richlet el 1859, quan en tenia cinquanta-quatre,i Riemann el 1866, quan en tenia quaranta. De-dekind visque fins al 1916, tenia llavors vuitanta-cinc anys.

El 1858 Dedekind entra com a professor alPolitecnic de Zuric. Un any despres acompanyaRiemann a Berlın amb motiu del nomenamentd’aquest ultim com a membre corresponent del’Academia de Berlın. En aquesta ocasio De-dekind coneixera els matematics berlinesos We-ierstrass, Kummer, Kronecker i Borchardt.

Dedekind sempre havia volgut tornar aBraunschweig i l’ocasio es presenta l’any 1862,quan tenia trenta-un anys. L’antic CollegiumCarolinum havia passat a ser una Escola Po-litecnica i llavors Dedekind hi aconsegueix unacatedra. Dedekind decideix instal.lar-se defini-tivament a la seva ciutat natal. Aixo implicavaquedar allunyat dels centres principals en recer-ca matematica i, encara mes, implicava haverde renunciar a ocupar catedres en universitatsprestigioses i influents com va haver de fer endiverses ocasions. A Braunschweig Dedekindva compartir casa amb la seva germana Julia,que era novel.lista; els dos es mantindran soltersfins al final de les seves vides. Dedekind voliala tranquil.litat que li oferia la seva ciutat perpoder treballar sense pressions academiques enl’estudi i recerca de la matematica pura que aell mes l’interessava: la teoria de nombres i lafonamentacio de la matematica.

El 1881, juntament amb Heinrich Weber, vapublicar Theorie der algebraischen Funktionen

54

einer Veranderlichen (Teoria de les funcions al-gebraiques d’una variable) al Journal de Crelle,una obra fonamental sobre teoria de nombres.Els treballs profunds de Dedekind en teoria denombres van encetar una nova manera de fer al-gebra i en definitiva una nova manera de fermatematiques, allo que mes tard s’anomenariala matematica moderna. E. Noether en va re-collir els resultats i en les seves classes soliarepetir aixo ja es troba en Dedekind. E. No-ether sentia una gran admiracio per Dedekindi entre els anys 1930-1932, conjuntament ambR. Fricke i O. Ore, editaria la seva obra completacomentada.

L’altre gran assoliment de Dedekind va re-sultar del seu afany sempre present d’ensenyari escriure les matematiques amb rigor logic. Elsmatematics utilitzaven els irracionals pero enmancava una fonamentacio rigorosa. Dedekind,mitjancant la idea dels talls en la recta racional,aconseguı establir-ne una. Aquesta construcciodels nombres reals es explicada a Stetigkeit undIrrationale Zahlen (1872) i a Was sind und wassollen die Zahlen (1888). En aquest ultim llibrees troba tambe una axiomatica per als nombresnaturals que anticipa la de Peano.

Una altra labor meritoria de Dedekind foud’editar i comentar les obres d’aquells que ellconsiderava els seus mestres en matematiques:Gauss, Dirichlet i Riemann. En aquesta lınia calremarcar la publicacio de les llicons sobre teo-ria de nombres de Dirichlet, Vorlesungen uberZahlentheorie. Els treballs de Dirichlet en teoriade nombres el van portar cap a la recerca enels camps dels nombres algebraics. Dedekind vaeditar les llicons de Dirichlet el 1863. En unatercera (1879) i en una quarta edicio (1894) d’a-questa obra, Dedekind hi afegı una addenda enla qual, seguint la idea de Kummer dels nombresideals, introduıa la nocio d’ideal d’un anell talcom avui es coneix, encara que la mateixa pa-raula anell fou introduıda mes tard per Hilbert.Aquesta addenda es considera una de les princi-pals fonts primaries sobre la creacio de la teoriad’ideals d’anells. Dedekind i Kronecker foren elsprimers a obtenir una teoria satisfactoria de lafactoritzacio en conjunts d’enters algebraics. Elsnombres primers passaven a ser ideals primersen Dedekind.

En un important article conjunt amb Hein-rich Weber, publicat el 1882, utilitza la sevateoria dels ideals en l’estudi de les superfıcies

de Riemann, relaciona idees geometriques ambanells de polinomis i amplia el concepte de modulque ja havia introduıt anteriorment i obte unademostracio en termes algebraics del teoremade Riemann-Roch.

Hilbert va saber dels resultats de Dedekind atraves de les classes que Heinrich Weber donavaa la Universitat de Konigsberg. El concepte d’i-deal de Dedekind va ser recollit per Hilbert, que,en l’estudi de la teoria d’invariants algebraics,el va utilitzar per demostrar el seu teorema deles bases.

Dedekind no va viure aıllat a Braunschweig:a part de mantenir una correspondencia impor-tant amb matematics com Frobenius, Cantor,Lipschitz, Keferstein, Klein i Weber, va ser mem-bre corresponent de l’Academia de Gottingendes del 1862, de l’Academia de Berlın des del1888 i de l’Academia de Parıs des del 1910 i,una vegada reconegut com a expert en teoriade nombres algebraics, rebia a Braunschweig lavisita d’altres matematics.

Tenia una gran afeccio per la musica, tocavael piano i el violoncel. Els seus llocs preferits devacances eren Suıssa, el Tirol i la Selva Negra.El 1874, en una estada a Interlaken (Suıssa), De-dekind es va trobar amb Cantor i, en aquell llocenvoltat de llacs, van estar parlant sobre alloque despres esdevindria la teoria de conjunts,que tant influiria en el formalisme posterior dela matematica.

El 1894, quan va complir seixanta-tres anys,Dedekind es va retirar de la vida professional,tot i que ocasionalment va impartir algunesllicons i no va deixar els seus estudis i recer-ques matematiques fins al dia de la seva mort,que va esdevingue el 12 de febrer de 1916.

Bibliografia

Dedekind, R. ¿Que son y para que sirven losnumeros? Alianza Editorial, 1998.

55

James, I. Remarkable Mathematicians. Cam-bridge University Press, 2002.Zarzuela S. Emmy Noether i l’algebra com-

mutativa. Conferencies FME. Vol. 6. Curs E.Noether 2008-2009. UPC, 2009.

Eduard Recasens GallartUPC

Webs de matematiques

Humor matematic

Tothom coneix la tradicio de les tires humorısti-ques diaries, que moltes vegades han gaudit d’ungran prestigi al mon del comentari humorıstic,polıtic o social. Internet ha permes la universa-litzacio d’aquests acudits grafics i, logicament,n’ha incrementat molt favorablement la facilitatde publicacio. Per tant, han proliferat les tirescomiques amateurs que es dediquen a multitudde temes.

Les matematiques no havien de ser menys.La tira comica XKCD (http://www.xkcd.com)es definida pel mateix autor com un webcomicde romanc, sarcasme, matematiques i llenguat-ge. Aquest comic fa servir acudits matematicsforca sovint, que denoten que l’autor te certsconeixements de les matematiques avancadesi el seu mon. Un exemple classic es el comicApocalypse (http://www.xkcd.com/599), on,davant la imminencia de l’apocalipsi i la resur-reccio dels morts, el matematic protagonistaescriu un article, hi posa tambe el nom delsseus amics, i va a la tomba del Paul Erdos perconvencer-lo, un cop ressuscitat, que inclogui elseu nom a l’article, i aixı tots ells puguin tenirnumero d’Erdos igual a 1.

L’autor de XKCD es Randall Munroe, fı-sic de formacio, pero que va deixar la seva fei-na de dissenyador per a la NASA quan l’exitde XKCD li va permetre dedicar-s’hi a tempscomplet. L’autor dedica uns quants comics a lesmatematiques periodicament, i els intercala ambd’altres dedicats a les relacions de parella o atemes relacionats amb Internet. Pero els comicsmatematics contenen joies com Haiku Pro-of (http://www.xkcd.com/622), on dona unademostracio del fet que hi ha infinits nombresprimers en forma d’haiku. O aquell Threeso-me (http://www.xkcd.com/613), en que fa bro-

ma amb els fısics, que no es desenvolupen be enun menage a trois perque no saben resoldre elproblema dels tres cossos.

Aquells que treballin amb la notacio po-lonesa inversa o que estiguin acostumats afer operacions amb les classiques calculado-res Hewlett-Packard es divertiran forca ambel comic RPS (http://www.xkcd.com/645),o be els estadıstics podran riure veient coml’autor fa broma del fet que correlacio noimplica causalitat, en el comic Correlati-on (http://www.xkcd.com/552). XKCD es uncomic divertit i inteligent. Com a ultima mostra,consulteu tambe http://www.xkcd.com/230, queno es pot descriure facilment amb paraules.

Mes centrat en les matematiques es Abs-truse Goose (http://abstrusegoose.com), quetambe fa broma amb el mon matematic, de ve-gades amb humor, de vegades de manera crıtica.A aquest ultim cas pertany la vinyeta Lands-cape (http://abstrusegoose.com/211), on es la-menta de l’excessiva especialitzacio de la ma-tematica contemporania. Pero un dels acuditsque m’ha fet riure mes en els ultims temps esel teorema dels calcotets simplement connexos.Vegeu-lo a The simply connected underweartheorem (http://abstrusegoose.com/121). Es-pecialment quan l’autor assegura que encara esposaria aquells calcotets de grup fonamental Z.

En resum, cada cop son mes comuns els webscomics que es relacionen amb les matematiques.Altres recomanacions son Brown Sharpie(http://brownsharpie.courtneygibbons.com) o beSpiked Math (http://spikedmath.com). Pera riure una bona estona amb acudits, algunsclassics, d’altres originals, alguns bons i d’altresno tant, pero sempre al voltant de les matema-tiques.

Pep BurilloUPC

56

Problemes

Com ja va resultant habitual, tambe hem rebut resposta a tots els problemes proposats al numeroanterior. No nomes aixo, sino que el professor J. Monterde, de la Universitat de Valencia, desenterraun vell enunciat, l’A76, del numero 23, i ens en proporciona una solucio analıtica, que publiquemjunt amb una altra mes purament sintetica. El problema A89 l’han resolt en Miquel AmengualCovas, de Cala Figuera, Mallorca, i Bruno Salgueiro Fanego, de Viveiro, Lugo, de qui es la solucioque publiquem. De l’A91 n’hem rebut solucions del mateix Miquel Amengual, que publiquem,d’en Joaquim Nadal i Vidal, de l’IES de Cassa de la Selva, i de Bruno Salgueiro Fanego. Delproblema A92, en tenim les solucions d’en Joaquim Nadal i Vidal i la publicada, que es d’enXavi Ros Oton, estudiant a la FME (UPC). En canvi, del problema A90, nomes n’hem rebut unasolucio, que, lamentablement, es incorrecta. El mateix Bruno Salgueiro ens proporciona informaciocomplementaria quant als problemes A89 i A91, que tambe publiquem.

Cal, com sempre, agrair als remitents el seu valuos treball i, tambe, a Jose Luis Dıaz-Barrero, dela UPC, Barcelona, a Enric Ventura, de la UPC, Manresa, a Xavi Ros Oton i a Miquel AmengualCovas per haver proposat, respectivament, els problemes A93, A94, A95 i A96, i seguir aixı donantvida a aquesta seccio. A tothom: moltıssimes gracies!

I ara, l’admonicio final: quan treballeu amb TEX o LaTEX, ens faciliteu moltıssim la feina d’ela-borar la seccio, tot i que aportacions en qualsevol altre format, tambe manuscrits, son igualment benrebudes. Les adreces de correu per enviar-nos-les son cromero@xtec.cat o be carles.romero.c@gmail.com.Fins a la propera!

Problemes proposats

A93. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c nombres re-als tals que 0 < a, b, c ≤ 1. Proveu que

1√1 + 2a

+1√

1 + 2b+

1√1 + 2c

≤ 3√1 + 2 3

√abc

A94. (Proposat per Enric Ventura, UPC, Man-resa.) Sis pirates es troben un tresor de 100monedes d’or. Despres de discutir una estonasobre com repartir-se’l es posen d’acord a seguirl’algorisme seguent:

1) s’ordenen de jove a vell,2) el mes jove fa una proposta de repartiment

(per exemple, totes per a mi),3) la proposta la voten entre tots (inclos el

mateix proponent), amb les opcions de vots afavor, en contra i vot en blanc, i

4) si el resultat es favorable, apliquen la pro-posta de repartiment en questio i se’n van capa casa contents; en cas desfavorable o d’empat,maten el mes jove (recordeu que son pirates!) itornen al pas 2 de l’algorisme.

Tu ets el pirata mes jove dels sis, quina pro-posta inicial faries per tal de sortir-ne viu, i

marxar cap a casa amb la maxima quantitatpossible de monedes d’or? (per resoldre el pro-blema, hem de suposar que, a mes de pirates,son matematics, que saben raonar, i que tots vo-ten exclusivament en funcio del maxim beneficipropi).

A95. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.) Tenim quatre cercles en el pla,cadascun tangent als altres tres i de forma queels tres cercles petits estan continguts en el mesgran. Proveu que el radi del cercle gran es lasuma dels altres tres si i nomes si els centres delstres cercles petits formen un triangle rectangle.

A96. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.) Siguin D, E, F els peusde les bisectrius interiors d’un triangle ABC. Sidenotem per [XY Z] l’area del triangle XY Z irepresentam per R i r els respectius radis de lescircumferencies circumscrita i inscrita a 4ABC,demostrau que

r

2R≤ [DEF ]

[ABC]≤ 1

4

i deduıu-ne la desigualtat d’Euler, R ≥ 2r.

57

Solucions

A76. (Proposat per la redaccio.) Dues circum-ferencies C1 i C2, la primera de radi mes granque la segona, es tallen en els punts A i B. Larecta r1, una de les dues tangents comunes aambdues circunferencies, te els respectius puntsde tangencia a P i Q, mentre que l’altra tangentcomuna, r2, els te a R i S. Heu de demostrar queels ortocentres dels triangles 4APQ, 4BPQ,4ARS i 4BRS son els vertexs d’un rectangle iheu de determinar la posicio relativa dels puntsA i B respecte d’aquest rectangle.

Solucio 1: (Solucio de J. Monterde, Universitatde Valencia.) Gracies a translacions, homoteciesi rotacions adequades, podem suposar que elcentre d’una de les circumferencies, C1, es l’ori-gen de coordenades, que el seu radi es 1 i que elcentre de l’altra circumferencia, C2, esta sobreel semieix positiu d’abscisses, en un cert punt(a, 0).

Calculs senzills pero laboriosos mostren queels punts A i B d’interseccio entre la circum-ferencia C1 i la circumferencia C2, centrada en(a, 0), a > 0 i radi r, amb r ≥ a−1, i els punts P ,Q, R i S de contacte amb les tangents comunesexteriors, tenen per coordenades

A =

(1 + a2 − r2

2a,+

√1− (1 + a2 − r2)2

4a2

),

B =

(1 + a2 − r2

2a,−√

1− (1 + a2 − r2)2

4a2

),

P =(

1− r

a,1a

√a2 − (r − 1)2

),

R =(

1− r

a,−1

a

√a2 − (r − 1)2

),

Q =(

a2 + r − r2

a,r

a

√a2 − (r − 1)2

),

S =(

a2 + r − r2

a,−r

a

√a2 − (r − 1)2

).

L’ortocentre, HPAQ, del triangle PAQ i l’or-tocentre, HRAS , del triangle RAS tenen percoordenades

HPAQ = B+((r − 1)

√2a2 (1 + r2)− a2 − (r − 1)2

a√

a2 − (r − 1)2, 0

)HRAS = B−(

(r − 1)√

2a2 (1 + r2)− a2 − (r − 1)2

a√

a2 − (r − 1)2, 0

).

Per tant, els tres punts HPAQ, B i HRAS son col-linals i B es el punt mitja entre HPAQ i HRAS .Per simetria respecte de l’eix d’abscisses, elspunts HPAQ i HRAS juntament amb els orto-centres dels triangles PBQ i RBS formen unrectangle, els costats del qual son paral.lels alseixos coordenats.

Solucio 2: (Redaccio)

i) Es obvi que la bisectriu de l’angle queformen les rectes r1 i r2 es un eix de simetriade la figura. Per tant, els segments PR, AB iQS son paral.lels i

RPB = ABP i BQS = QBA

perque son parelles d’angles alterns interns. Pero

RPB = SRB i BQS = BSR

perque son, respectivament, parelles d’anglesinscrits i semiinscrits que abasten els mateixosarcs. Resulta:

α = QAP = RBS = 180 −(SRB + BSR

)=

= 180 −(RPB + BQS

)=

= 180 −(ABP + QBA

)=

= 180 − QBP = 180 − β.

58

ii) El punt M , interseccio de la recta ABamb la recta r1, com que pertany a l’eix radicalde les circumferencies C1 i C2 (la mateixa rec-ta AB), compleix que MP 2 = MQ2, es a dir,MP = MQ i M es el punt mitja del segmentPQ. Aleshores, podem completar el paral.lelo-gram BPUQ en el qual els segments PQ i BU ,que conte AB, en son les diagonals. Si HBPQ esl’ortocentre del triangle 4BPQ, els segmentsPH i BQ son perpendiculars i, per tant, tambeho son PH i PU . Resulta:

HPU = 90

i, igualment,UQH = 90

i el quadrilater PHBPQQU es inscriptible.iii) Ja que

QAP + PUQ = QAP + QBP = 180

el quadrilater PAQU tambe es inscriptible i,com que comparteix tres vertexs amb el qua-drilater inscriptible PHBPQQU , resulta que elspunts U , P , A, HPBQ i Q son concıclics. Ales-hores,

HBPQAU = HBPQPU = 90

i el segment AHBPQ es perpendicular al seg-ment AB. Aixı, doncs, el punt A i l’ortocentreHBPQ del triangle BPQ son ambdos sobre unarecta paral.lela a la bisectriu de l’angle t1t2, eixde simetria de la figura.

iv) Pero, raonaments del tot semblants sobrel’ortocentre HBRS del triangle 4BRS, el puntN , el paral.lelogram BRV S i els quadrilatersinscriptibles RHBRSSV i RASV ens fan veureque

HBRSAV = HBRSSV = 90

i el segment AHBRS tambe es perpendicularal segment AB i, per tant, els dos ortocentresHBPQ i HBRS son sobre una recta paral.lela ala bisectriu de l’angle t1t2, eix de simetria de lafigura, la qual tambe conte el punt A.

v) Ara, de la perpendicularitat de l’alturaBHBPQ amb t1, de la de l’altura BHBRS ambt2 i de la de AB amb la bisectriu de l’angle t1t2es dedueix:

t1t2 = HBPQBA = ABHBRS

i, en consequencia, el triangle 4HBPQBHBRS

es isosceles i AHBPQ = AHBRS . Obtenim que

el segment HBPQ = HBRS es paral.lel a la bi-sectriu de l’angle t1t2 i A n’es el punt mitja.

vi) Finalment, de la simetria de la construc-cio respecte a la bisectriu de l’angle t1t2, elsegment HAPQ = HARS , d’extrems els respec-tius ortocentres dels triangles 4APQ i 4ARS,es paral.lel a la bisectriu de l’angle t1t2 i B n’esel punt mitja. Tot aixo prova que el quadrilaterHAPQHARSHBPQHBRS es un rectangle i queel segment AB uneix els punts mitjans de dosdels seus costats.

A89. (Proposat per la Redaccio.) En un trian-gle 4ABC, les bisectrius interiors dels anglesA, B i C tallen els costats BC, AC i AB en elspunts D, E i F respectivament. Siguin p i qels perımetres respectius dels triangles 4ABCi 4DEF . Demostreu que p ≥ 2q. En quinescondicions hi ha igualtat?

Solucio: (Solucio i nota de Bruno Salgueiro, Vi-veiro, Lugo.) Segons el teorema de la bisectriuinterior aplicat a la bisectriu AD del triangleABC,

BD

DC=

AB

AC.

Resulta

BD =AB

ACDC =

c

bDC

i, aleshores,

a = BD + DC =c

bDC + DC =

(c

b+ 1)

DC

tot obtenint

DC =ab

b + c

i, de la mateixa manera,

EC =ab

a + c.

Aquestes igualtats, junt amb el teorema delscosinus al triangle ABC,

cos C =a2 + b2 − c2

2ab

i al triangle DCE i la desigualtat obvia

59

(a− b)2 ≥ 0 permeten escriure:

DE2 = DC2 + EC2−2DCEC cos C =

=(

ab

b + c

)2

+(

ab

a + c

)2

−

− 2ab

b + c· ab

a + c· a2 + b2 − c2

2ab=

=a2b2

((a + c)2 + (b + c)2

)(b + c)2(a + c)2

−

−ab(a2 + b2 − c2

)(b + c)(a + c)

=

=ab

(b + c)2(a + c)2(ab((a + c)2 + (b + c)2

)−

−(a2 + b2 − c2

)(b + c)(a + c)

)=

=ab

(b + c)2(a + c)2(ab(a2 + b2 + 2c(a + b + c)

)−

−(a2 + b2 − c2

)(ab + c(a + b + c))

)=

=ab

(b + c)2(a + c)2(ab(a2 + b2

)+ 2abc(a + b + c)−

−ab(a2 + b2 − c2

)−

−c(a2 + b2−c2

)(a + b + c)

)=

=ab

(b + c)2(a + c)2((2abc− c

(a2 + b2 − c2

))(a + b + c) + ab

((a2 + b2

)−

−(a2 + b2 − c2

)))=

=ab

(b + c)2(a + c)2((2ab−

(a2 + b2 − c2

))(a + b + c)c + abc2

)=

=ab

(b + c)2(a + c)2((c2 − (a− b)2

)(a + b + c)c + abc2

)≤

≤ ab

(b + c)2(a + c)2(c2(a + b + c)c + abc2

)=

=abc2

(b + c)2(a + c)2(ac + bc + c2 + ab

)=

=abc2

(b + c)(a + c)ac + bc + c2 + ab

(b + c)(a + c)=

=abc2

(b + c)(a + c).

Aleshores, tot tenint en compte 2√

xy ≤

x + y, resulta

DE ≤

√abc2

(b + c)(a + c)≤

√abc2

2√

bc 2√

ac=

(1)√c√

ab

2≤ c +

√ab

4≤ c

4+

a + b

8=

a + b + 2c

8

amb igualtat si, i nomes si, simultaniament,a = b, b = c, a = c, c =

√ab i a = b, es a

dir, si a = b = c, o sigui, si el triangle es equila-ter.

De la mateixa manera,

FE ≤ 2a + b + c

8i FD ≤ a + 2b + c

8(2)

i, finalment,

q = DE + FE + FD ≤ a + b + 2c

8+

+2a + b + c

8+

a + 2b + c

8=

a + b + c

2=

p

2,

o sigui, p ≥ 2q, com volıem. Com que les desi-gualtats (1) i (2) son igualtats si, i nomes si, eltriangle es equilater, la igualtat p = 2q es certasi, i nomes si, el triangle es equilater.

Nota: La desigualtat d’aquest problema fouproposada per Toshio Seimiya, Kawasaki, Japo,a la revista Crux Mathematicorum with Mat-hematical Mayhem com a problema 2.502, alvolum 26, numero 1, de l’any 2000, i apareixresolt per Michel Bataille, Rouen, Franca, enel volum 27, numero 1, any 2001, pagines 53i 54 d’aquesta mateixa revista, en les quals, ames, es cita, sense provar-les, dues possiblesgeneralitzacions.

A91. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.) Sigui 4ABC un triangle amb cos-tats a, b i c, i siguin p, S el semiperımetre i l’areadel triangle i R el radi de la circumferencia cir-cumscrita a aquest triangle.

a) Demostreu que a + b + c ≤ 3√

3R.b) A partir de la desigualtat anterior, demos-

treu que

1a

+1b

+1c≤√

32· p

S.

Nota: L’apartat b) es un refinament del proble-ma 2 proposat a la fase catalana de la XLIIIOlimpıada Matematica.

60

Solucio: (Solucio de Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.) a) Segons el teoremadel sinus,

2R =a

sinA=

b

sinB=

c

sinC=

=a + b + c

sinA + sinB + sinC,

d’on

a + b + c = 2R (sinA + sinB + sinC) . (1)

D’altra banda, en aplicar la desigualtat de Jen-sen a la funcio f(x) = sinx, que es convexa al’interval (0, π), obtenim

sinA + sinB + sinC ≤ 3 sinA + B + C

3=(2)

= 3 sinπ

3=

3√

32

i de (1) i (2) surt immediatament que

a + b + c ≤ 3√

3R

com es volia. Les condicions de la desigualtatde Jensen impliquen que la igualtat es produeixnomes si A = B = C, es a dir, si el triangle esequilater.

b) Partim del resultat de l’apartat anteri-or i fem servir la desigualtat (a + b + c)2 ≥3(ab + bc + ca), que es equivalent a la desigual-tat obvia

(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2 ≥ 0 (3)

aixı com la relacio abc = 4Rrp, on r es el radi dela circumferencia inscrita al triangle, que resultade

pr = S =12ab sinC =

12ab

c

2R

per obtenir

3√

3R ≥ a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca)a + b + c

=

=3(ab + bc + ca)

2p=

3(ab + bc + ca)abc2Rr

=

= 6Rr

(1a

+1b

+1c

),

aixo es,1a

+1b

+1c≤√

32r

,

que escrivim en la forma

1a

+1b

+1c≤√

3p

2S

ja que el radi de la circumferencia inscrita es elresultat de dividir l’area entre el semiperımetre.Com abans, i per rao de les condiciones de ladesigualtat de Jensen i de la desigualtat (3),es te la igualtat si, i nomes si, el triangle esequilater.Notes: (Bruno Salgueiro, Viveiro, Lugo.)

La desigualtat de a), que es coneix com adesigualtat de Mitrinovic, ja surt demostrada,per exemple, a l’article 5.3 del classic llibre Ge-ometric inequalities, Bottema et al., Groningen,1968.

A l’article The best constant for a geome-tric inequality de la revista Journal of inequa-lities in pure and applied mathematics, vol. 6,num. 4, art. 111, 2005, hom hi enuncia i demos-tra desigualtats mes fortes que la de l’apartatb), per exemple, aquesta:

1a

+1b

+1c≤√

33

(5

4R+

78r

)i, a partir de la desigualtat d’Euler, R ≥ 2r, esdedueix que

1a

+1b

+1c≤√

33

(5

4R+

78r

)≤

≤√

33

(58r

+78r

)=√

33· 32r

=√

32· p

S.

Una altra manera de provar la desigualtat b)es a les pagines 55 i 56 del numero 9 de la re-vista Eureka!, que es la revista de l’OlimpıadaBrasilenya de Matematiques.

A92. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Trobeu totes les ternes(x, y, z) de nombres reals positius que son solu-cio del sistema d’equacions

x + y + z = 1xy

xy + z+

yz

yz + x+

zx

zx + y=

34

.

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, estudi-ant, FME, UPC.) Observem que, com quex + y + z = 1,

xy

xy + z=

xy

xy + z(x + y + z)=

xy

(z + x)(z + y),

61

d’onxy

xy + z+

yz

yz + x+

zx

zx + y=

=x2y + x2z + y2z + y2x + z2x + z2y

(x + y)(y + z)(z + x).

Ara be,

(x + y)(y + z)(z + x) =

= x2y + x2z + y2z + y2x + z2x + z2y + 2xyz

i, per tant,

xy

xy + z+

yz

yz + x+

zx

zx + y=

= 1− 2xyz

(x + y)(y + z)(z + x).

Pero

x + y≥2√

xy , y + z≥2√

yz , z + x≥2√

zx

amb igualtat nomes en els casos respectius x = y,y = z i z = x i, aixı,

2xyz

(x + y)(y + z)(z + x)≤ 2xyz

8√

xy√

yz√

zx=

14

de manera que

xy

xy + z+

yz

yz + x+

zx

zx + y=

= 1− 2xyz

(x + y)(y + z)(z + x)≥ 1− 1

4=

34

amb igualtat si, i nomes si, x = y = z.Per tant, l’unica terna de nombres reals po-

sitius que es solucio del sistema es

(x, y, z) =(

13,13,13

).

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Tesis

• Javier Barajas Tomas va llegir la seva tesi, dirigida per Oriol Serra Albo, titulada Coloringproblems in Cayley graphs, el dia 22 de juny de 2007. La tesi correspon al Departament deMatematica Aplicada IV de la Universitat Politecnica de Catalunya.

El problema de trobar el nombre cromatic d’ungraf, el cardinal mınim d’una particio en con-junts independents, es tan antic com la mateixateoria de grafs, i el seu estudi ha donat lloc a unabona part dels conceptes de la teoria tal comes coneix actualment. Els problemes relacionatsamb la coloracio de grafs continuen sent unaarea prolıfica i fecunda. Un bon exemple es elllibre de Jensen i Toft Graph Coloring Problems,on aquests autors descriuen l’estat de la questiode mes de dos-cents problemes oberts en aquestcamp, i on destaquen en particular el problemade trobar el nombre cromatic dels anomenatsgrafs distancia, que constitueix una de les prin-cipals motivacions de la recerca desenvolupadaen aquesta tesi.

Els grafs distancia i els grafs circulants songrafs de Cayley (grafs amb un grup d’automor-fismes transitiu i regular) de grups cıclics. La

determinacio del seu numero cromatic, en elscasos que es viable, ha estat objecte d’atencioconsiderable a la literatura, i es el tema centrald’aquesta tesi. Un dels metodes que s’utilitzenamb mes frequencia per acolorir grafs circulantsvincula aquest problema amb l’anomenat pro-blema del corredor solitari, un altre dels temescentrals d’aquest treball. Una de les contribuci-ons principals d’aquesta tesi es la introducciod’una eina algebraica, que anomenem el Lemmade filtre per primers (Prime Filtering Lemma), ique fa servir una successio d’ideals encaixats pera distribuir elements a l’anell de congruenciesmodul n, fent servir multiplicadors adequats.Aquesta eina s’utilitza de manera sistematicaper tractar diversos problemes de coloracio engrafs distancia i grafs circulants. En primer lloces resol el primer cas obert, per a grau vuit, d’u-na conjectura de Zhu que afirma que el nombre

62

cromatic assoleix el seu valor maxim en aquestsgrafs nomes si hi ha una clique gran (a diferenciadel que es pot dir en grafs arbitraris). S’estudiatambe la situacio en el seguent cas obert, per agrau deu, en el qual la conjectura original s’hademostrat falsa, establint una caracteritzacioquasi completa dels grafs amb nombre cromaticmaxim. Les tecniques que es fan servir per atractar aquest problema estan relacionades ambl’anomenat problema del corredor solitari, quete nombroses aplicacions a la teoria de nombres(aproximacio diofantina), a la geometria com-putacional (View Obstruction) o a la teoria dematroides (fluxos en grafs), a mes de les apli-cacions al nombre cromatic que es considerenaquı. En contribucions de diversos autors el pro-

blema ha estat resolt fins a sis corredors i aquıes dona una prova relativament compacta (encomparacio dels treballs anteriors) que resol elprimer cas obert amb set corredors.

La tesi es tanca aplicant els resultats ante-riors a l’estudi del nombre cromatic en grafscirculants. Aquest problema es algorısmicamentdifıcil (NP-dur) en general, pero es poden tractarels casos de grau fins a sis (completant carac-teritzacions parcials aparegudes a la literatu-ra), casos amb conjunts de generadors estructu-rats (conjunts quasiminimals) o sequencies dedistancies poc denses. Per al cas general donemuna cota asimptotica optima que es basicamentla meitat del grau.

• Ivan Merillas Santos va llegir la seva tesi, dirigida per Gerard Olivar Tost i Carles BatlleArnau, titulada Modeling and numerical study of nonsmooth dynamical systems. Applicationsto mechanical and power electronics systems, el dia 22 de juliol de 2007. La tesi correspon alDepartament de Matematica Aplicada IV de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Aquesta tesi tracta sobre el modelatge i l’estudinumeric de sistemes dinamics no suaus (SDNS).La primera part consisteix en el modelatge d’al-guns convertidors de potencia dc-dc usant elformalisme complementari. Aquest marc teoricmatematic permet assegurar existencia i unicitatde solucions d’una manera natural i sintetica.

Especıficament funciona molt be per a con-vertidors electronics de potencia perque incor-poren modes generalitzats de conduccio dis-contınua, caracteritzats per una reduccio de ladimensio de la dinamica efectiva. Per a sistemesamb un sol dıode, s’han presentat condicionsanalıtiques per a les variables d’estat per a lapresencia de modes generalitzats de conducciodiscontınua, i resultats de simulacions mostrantuna varietat de comportaments com ara per-sistencia o reentrada de modes generalitzats deconduccio discontınua. A mes, s’ha modelat,analitzat i simulat un convertidor de potenciaen paral.lel, el qual te quatre dıodes i il.lustrala conveniencia del formalisme complementariper a simular sistemes electrics amb un grannombre de dıodes ideals. Per acabar aquestaprimera part s’ha presentat la simulacio d’unconvertidor elevador usant un control mode llis-cant, malgrat que no s’ha desenvolupat encarauna teoria general de control per a sistemescomplementaris.

La segona part de la tesi se centra en l’analiside bifurcacions en SDNS, i concretament ensistemes mecanics amb impactes o friccio. Esconegut que certs sistemes no suaus o disconti-nus poden mostrar les bifurcacions exhibides ensistemes suaus com ara bifurcacions de doblatgede perıode, sella-node, etc. A mes d’aquestes, hiha tambe algunes noves transicions anomenadesbifurcacions induıdes per discontinuıtats, queson uniques d’aquests sistemes. En el capıtol3 d’aquesta tesi s’ha estudiat el comportamentcomplex d’un sistema cam-follower, que es unaclasse de sistema mecanic amb impactes. Sotavariacions de la velocitat rotacional del cam s’-han analitzat diferents bifurcacions induıdes perdicontinuıtats, com ara bifurcacions d’impacteamb cantonades i transicions de chattering com-plet a incomplet. A mes, s’han trobat condicionsnecessaries per a orbites periodiques amb un solimpacte, i s’han continuat diferents orbites pe-riodiques. Per a concloure aquest capıtol s’hananalitzat regions de coexistencia de solucionsusant diagrames de domini d’atraccio amb unmetode de mapatge cel.la a cel.la.

Un altre tipus de bifurcacions induıdesper discontinuıtats, recentment classificades,son les anomenades bifurcacions de lliscament.Aquestes bifurcacions son un comportamentcaracterıstic dels anomenats sistemes de Filip-

63

pov. Es poden identificar quatre possibles ca-sos: crossing-sliding, grazing-sliding, switching-sliding i adding-sliding. En el capıtol 4 s’hanpresentat exemples detallats de tots els possi-bles escenaris en un oscil.lador amb friccio seca,usant una caracterıstica de friccio mesurada ex-perimentalment i introduıda per Popp. A mes,s’ha presentat una switching-sliding, bifurcaciodegenerada de codimensio dos. En aquest cas,neixen del punt de codimensio dos dues corbesde bifurcacio de lliscament de codimensio u, unacrossing-sliding, i una adding-sliding. D’altrabanda s’ha mostrat una bifurcacio suau de co-dimensio dos anomenada cuspide i s’ha estudiatla coexistencia d’orbites periodiques a la regio ccompresa entre ambdues bifurcacions sella-node.

En el capıtol 5 s’ha investigat la dinamicadel model Burridge-Knoppoff amb dos blocs pera la simulacio de terratremols. Certs estudisnumerics previament realitzats per Nussbaum iRuina van verificar que, amb una forca de fricciode tipus Coulomb (es a dir, amb coeficient defriccio dinamica constant), el sistema presentanomes comportament periodic. Tanmateix, s’hamostrat que tambe poden ser observades regionscaotiques en una configuracio simetrica, fins i

tot utilitzant una friccio de Coulomb, si un delssuposits usualment emprats en la literatura desismologia no es considerat. Per un altre costat,s’ha estudiat el comportament del sistema enuna configuracio asimetrica. Variant l’asimetriadel sistema s’han observat diferents solucionsperiodiques i regions de caos. Respecte al puntde vista de l’analisi de bifurcacions, s’han ana-litzat diverses bifurcacions suaus i induıdes perdiscontinuıtats en aquest sistema.

En el capıtol 6, es presenta la plataforma deprogramari Siconos, dedicada a la simulacio deSDNS. Primerament es dona una visio generald’aquest programari i s’explica la manera enla qual els SDNS son modelats i simulats dinsd’aquesta plataforma. A mes, s’han explicat endetall les rutines per a l’analisi (estabilitat, bi-furcacions, varietats invariants...) dels SDNSimplementats a la pltaforma. Per a concloureaquesta part, es mostren diversos exemples re-presentatius per tal d’il.lustrar les possibilitatsde la plataforma Siconos.

Finalment, a l’ultim capıtol es presenten lesconclusions d’aquesta tesi i alguns problemesencara oberts per a futures lınies d’investigacio.

• Salvador Rodrıguez i Lopez va llegir la seva tesi, dirigida per Marıa JesusCarro Rossell, titulada Transference theory between quasi-banach functionspaces with applications to the restriction of fourier multipliers, el dia 28d’abril de 2008. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada iAnalisi, Universitat de Barcelona.

La teoria de transferencia va ser iniciada en ladecada dels setanta en el camp dels espais de Le-besgue Lp per R. Coifman i G. Weiss. Una granvarietat d’aplicacions en teoria ergodica, teoriad’operadors i restriccio de multiplicadors de Fou-rier entre espais Lp van provar la potencia d’a-questes tecniques. Per ser mes especıfic, si G esun grup topologic localment compacte, que perfixar idees suposarem que es R, denotem per BK

l’operador de convolucio en Lp(G) donat per

BK(φ)(v) =∫

GK(u)φ(v − u)du,

per a φ ∈ Lp(G) amb K ∈ L1(G). Sigui (M, µ)un espai de mesura arbitrari. L’operador detransferencia TK es defineix per a f ∈ Lp(M)

per la integral vectorial

TKf =∫

GK(u)R−uf du,

on R es una representacio contınua de G en elgrup d’operadors lineals i afitats B(Lp(M)) do-tat de la topologia forta d’operadors. L’exemplemes basic de representacio sorgeix de l’accio deG en si mateix per translacions, definides perRuf(v) = f(v+u), que porta a veure l’operadorde transferencia com una generalitzacio de laconvolucio.

Les tecniques de transferencia estudien lainteraccio, centrant-se en la conservacio dedesigualtats entre espais de funcions, entrela convolucio i l’operador de transferencia.Per exemple, en el cas classic, R. Coifman i

64

G. Weiss obtingueren sota la hipotesi c :=supu∈G ‖Ru‖B(Lp(M)) < +∞ que:

Teorema 1 L’operador TK es afitat en Lp(M)i la seva norma no excedeix c2N(K), on N(K)denota la norma de l’operador de BK en Lp(G).

Clarament, la norma de TK no es mes granque c ‖K‖L1(G). El tret essencial del resultatprevi es que la seva norma es dominada perc2N(K) perque, en molts casos, N(K) es moltmes petit que ‖K‖L1 . Aquest resultat permetreduir la questio de l’afitacio de l’operador TK

al problema corresponent per a una convolucio.Aixı, per exemple, l’afitacio de la transformadade Hilbert Ergodica introduıda per M. Cotlar,que esta essencialment definida per l’expressio

Hf(x) =∫

Rf(T−tx)

dt

tπ,

on Ttt∈Rn es un grup de transformacions quepreserven la mesura, es pot deduir de les corres-ponents afitacions de la transformada de Hilbert,que es precisament l’operador de convolucio ambnucli K(t) = 1/tπ.

Aquesta teoria ha estat el principal objected’estudi de la tesi doctoral on es desenvolupendiverses tecniques de transferencia, obtenint re-sultats similars al teorema 1, per a espais quasi-Banach mes generals que els espais de LebesgueLp, com els espais de Lorentz Lp,q o els espaisde Lebesgue amb pesos Lp(w). Els avencos messignificatius obtinguts han permes produir nousresultats en l’ambit de la restriccio de multi-plicadors de Fourier entre espais invariants perreordenacio i espais Lp(w) amb pes.

• Joana Isabel Afonso Mourao Terra va llegir la seva tesi, dirigida perXavier Cabre Vilagut, titulada Nonlinear elliptic PDE’s: stability properties ofsaddle-shaped and minimal solutions, el dia 18 de juny de 2008. La tesi corres-pon al Departament de Matematica Aplicada I de la Universitat Politecnicade Catalunya.

En aquesta tesi s’estudien solucions fitades d’e-quacions de difusio de la forma −∆u = f(u) aRn, que es l’equacio d’Euler-Lagrange associa-da al funcional d’energia

∫Ω

(12 |∇u|2 + G(u)

)dx,

on G′ = −f . Durant la darrera decada, hi hanombrosos treballs sobre les propietats de sime-tria de les solucions, motivats per una conjec-tura de De Giorgi (1978): els conjunts de nivellde tota solucio fitada i monotona de l’equaciod’Allen-Cahn —on f(u) = u− u3— son hiper-plans, almenys si n ≤ 8. Ghoussoub i Gui pera n = 2 i Ambrosio i Cabre per a n = 3 vanprovar la veracitat d’aquesta conjectura. Pera 4 ≤ n ≤ 8, Savin va demostrar una versiolleugerament mes feble de la conjectura.

D’altra banda, Savin va provar que, si u esuna solucio minimitzant global a Rn amb n ≤ 7,llavors els conjunts de nivell de u son hiperplans.Per minimitzant global entenem un minimitzantabsolut de l’energia pel que fa a pertorbacionsamb suport compacte. S’espera que el resultatde Savin sigui optim.

Els candidats naturals per a ser minimit-zants globals per a n ≥ 8 son les solucions de ti-pus sella, es a dir, solucions que depenen nomesde dues variables radials s = |x1| i t = |x2|,

canvien de signe a R2m = x = (x1, x2) ∈Rm × Rm, i s’anul.len sobre el con de SimonsC = s = t.

Tot minimitzant global es estable, es a dir,la seva segona variacio d’energia per pertorbaci-ons a suport compacte es positiva o nul.la. Aixı,per a estudiar els minimitzants globals es utilestudiar primer la seva estabilitat. Dang, Fife iPeletier van estudiar les solucions de tipus sellanomes per a n = 2. Schatzman va provar la sevainestabilitat per a n = 2.

A la tesi demostrem l’existencia d’una solu-cio de tipus sella en totes les dimensions parelles.A mes, si u es una solucio de tipus sella provemque |u(x)| ≤ |u0(z)|, on z = (s − t)/

√2 es la

distancia al con C i u0 es la solucio 1-D ques’anul.la a l’origen. Demostrem a continuacioun teorema de comportament asimptotic queestabelix que tota solucio de tipus sella con-vergeix uniformement fora de compactes a lafuncio U(x) = u0(z). Amb la cota i el resultatasimptotic precedents demostrem la inestabili-tat fora de tot compacte de tota solucio de tipussella per a n = 4. En consequencia, es provaque l’ındex de Morse de tals solucions es infi-nit. En dimensio 6 la prova requereix coneixer

65

la monotonia en certes direccions de la soluciosella maximal, propietat que establim en totadimensio n = 2m.

En l’ultim capıtol estudiem solucions esta-bles positives o nul.les del problema no variaci-onal −∆u− b(x)|∇u|2 = λg(u) a Ω amb u = 0a ∂Ω, Ω ⊂ Rn un domini suau i fitat, λ ≥ 0 unparametre i b(x) una funcio fitada. Les propie-tats de u depenen de b(x) i de g.

Si b(x) = b > 0, usant la transformacio deHopf-Cole v = ebu − 1 obtenim un problemavariacional per a v del tipus −∆v = λf(v) enΩ. Per a aquest problema existeixen resultatsd’existencia i regularitat per a solucions estables.En aquesta tesi establim resultats similars d’e-xistencia i regularitat per al cas no variacionalon b(x) no es constant.

• Jinggang Tan va llegir la seva tesi, dirigida per Xavier Cabre Vilagut iPatricio Felmer, titulada Analisis no lineal para un retıculo elastico y paraun laplaciano fraccionario, el dia 3 de juliol de 2008. La tesi correspon alDepartament de Matematica Aplicada I de la Universitat Politecnica deCatalunya.

El primer problema abordat en aquesta tesies la demostracio d’existencia de solucions pe-riodiques per a un sistema d’equacions en de-rivades parcials que modela els moviments dereticles elastics dos dimensionals. Mes precisa-ment, l’estat de cada punt l = 1, 2, . . . , N delreticle es representat per uL(x, t). Aquest sis-tema amb condicions periodiques de Dirichletposseeix un hamiltonia amb energia cinetica12

∑Ni=1

∫ π0

∫ 2π0 (|∂tu

l|2 − |∂xul|2) dx dt i energia

potencial∑N

l=1

∫ π0

∫ 2π0

|ul+1−ul|p+1

p+1 dx dt. Comque involucra l’operador d’ones ∂2

t − ∂2x, el cor-

responent funcional es fortament indefinit. En elcas autonom, apliquem el teorema de l’enllac deBenci i Rabinowitz a aquest funcional definit enun espai Hilbert, la qual cosa ens condueix a l’e-xistencia d’infinites solucions periodiques. Per atractar el cas d’un reticle forcat, hem d’utilitzarmetodes globals si les forces externes no son pe-tites. El nostre estudi es basa tambe en metodesclassics en equacions en derivades parcials delcalcul de variacions que son inspirats pel casautonom. La demostracio d’infinites solucionsen el cas forcat es basa en el metode de pertor-bacio de simetria, que va ser desenvolupat perBahri, Berestycki, Struwe, Rabinowitz i Tanaka.Combinant les estimacions de l’ındex de Morse il’analisi de l’espectre de l’operador d’ones multi-dimensional, i tambe usant un teorema de puntscrıtics de Rabinowitz, establim l’existencia d’unnombre infinit de solucions periodiques.

La segona part d’aquesta tesi esta dedicadaa l’estudi de problemes no lineals que involu-

cren un operador no local: l’arrel quadrada dellaplacia −∆ en un domini fitat Ω de Rn ambla condicio nul.la de Dirichlet en la frontera.Designem aquest operador per A1/2 i estudi-em problemes no lineals A1/2u = f(u) a Ω iu = 0 sobre ∂Ω amb metodes del calcul de vari-acions en equacions en derivades parcials. Unaeina important en la nostra analisi es realitzaraquest problema no local a traves d’un problemalocal en el semicilindre Ω× (0,∞) amb condici-ons no lineals de Neumann en la part Ω× 0de la frontera del semicilindre i amb condicionul.la de Dirichlet a la part ∂Ω × (0,∞) de lavora. Demostrem una formula de tipus Pohoza-ev per aconseguir un resultat de no-existenciaen els casos crıtic i supercrıtic quan Ω es es-trellat: f(u) = up, per a p ≥ n+1

n−1 . Establiml’existencia de solucions positives per al cassubcrıtic 1 < p < n+1

n−1 en un domini fitat i en elcas crıtic amb una petita pertorbacio usant latecnica de Brezis i Nirenberg:f(u) = u

n+1n−1 + µu,

(µ ≥ 0). Demostrem la regularitat i una estima-cio L∞ de solucions febles. Tambe obtenim unresultat de simetria de tipus Gidas-Ni-Nirenbergusant el metode dels plans mobils. Finalment,demostrem les estimacions a priori de tipusGidas-Spruck en el cas de linealitats subcrıtiquesf(u) = up, on 1 < p < n+1

n−1 . Per a aixo, els teore-mes de Liouville per A1/2 en l’espai total i en unsemiespai son ingredients importants. El segoncas del semiespai era conegut i el demostremusant la transformacio de Kelvin, el metode delsplans mobils i una identitat hamiltoniana.

66

• Maria Dolors Llongueras Arola va llegir la seva tesi, dirigida per AntoniMagana Nieto, titulada Formacion de consorcios en los juegos cooperativos,el dia 10 de juliol de 2008. La tesi correspon al Departament de MatematicaAplicada II de la Universitat Politecnica de Catalunya.

L’activitat humana, tant la individual com lacol.lectiva, va lligada a situacions que poden ge-nerar conflicte d’interessos. Per descriure relaci-ons entre individus, i tambe entre col.lectius, sonusuals paraules com cooperacio i competencia.La teoria de jocs analitza mitjancant modelsmatematics diverses situacions de conflicte quesorgeixen a la polıtica, a l’economia i en altrescamps. Els models que corresponen a aquestessituacions es denominen jocs i els agents involu-crats, jugadors.

Aquesta memoria se centra en els jocs coope-ratius amb utilitat transferible, aixı com en elsconceptes classics de solucio de Shapley i Banz-haf i les seves generalitzacions. Aquests jocsmodelitzen situacions en les quals els jugadorses poden agrupar en coalicions, sent aquestes es-sencials en la descripcio dels jocs. Concretament,aquests jocs venen caracteritzats pel conjunt dejugadors N i per una funcio, anomenada fun-cio caracterıstica, que assigna a cada coalicio(subconjunt de N) un nombre real que represen-ta la utilitat que aquesta coalicio pot obtenir,independentment del comportament dels altresjugadors. L’unica condicio que ha de complirla funcio caracterıstica es assignar 0 al conjuntbuit.

En particular, s’estudia un tipus d’accio col-lectiva coordinada a la qual poden optar els ju-gadors per actuar en conjunt: el consorci. Hemsistematitzat l’estudi de la formacio de consor-cis determinant expressions que contribueixin al’establiment de criteris objectius sobre la con-veniencia d’agrupar-se o no en consorci.

D’altra banda, la formacio efectiva de coa-licions (aliances) quan un conjunt de jugadorsactua de forma coordinada, com si fos un unicjugador, constitueix un dels aspectes mes estu-diats en la teoria de jocs. Per analitzar milloraquestes situacions s’utilitzen les generalitzaci-ons dels valors classics als jocs amb estructurade coalicions. Aixı, per exemple, es pot usar elvalor coalicional d’Owen, extensio del valor deShapley, com a eina per recomanar o desestimarla formacio efectiva d’una coalicio. Tambe potfer-se utilitzant el valor coalicional de Banzhaf-

Owen, generalitzacio del valor de Banzhaf. Unadiferencia important entre aquests dos concep-tes de solucio per als jocs amb estructura decoalicions es que, a part de no ser eficient, elsegon no compleix la propietat de simetria en eljoc quocient, ni la propietat del joc quocient, lesquals sı que satisfa el valor coalicional d’Owen.El semivalor coalicional simetric de Banzhaf esuna modificacio del valor de Banzhaf-Owen pen-sada perque es compleixin les dues propietatsesmentades. Finalment, el semivalor p-binomialcoalicional simetric es una generalitzacio de l’an-terior, en el sentit que si p = 1/2 llavors ambdoscoincideixen. Hem utilitzat tots aquests con-ceptes per estudiar la formacio de consorcis ialiances.

Entenem que un subconjunt de jugadors potactuar de forma coordinada, si mes no, de lesdues maneres anteriors: com a consorci o coma coalicio. Per aquest motiu, hem contrastat elfet de formar consorci amb el de constituir unaalianca explıcita o coalicio, utilitzant el valorde Shapley i el valor de Banzhaf, aixı com elssemivalors binomials, per decidir sobre la conve-niencia d’una o una altra opcio. Hem realitzatl’analisi, tant des d’un punt de vista global (pera tot el bloc que actua en conjunt) com indivi-dual (jugador a jugador). Tambe s’ha estudiatl’efecte de la formacio del consorci o la coalicioen els jugadors que en queden al marge.

Els resultats teorics han estat aplicats a ca-sos reals, la qual cosa ens ha permes valorar elseu abast. De fet, un cas real, el Parlament deCatalunya, es analitzat repetidament al llarg detota la memoria.

En el primer capıtol s’exposen els conceptesja coneguts que s’utilitzen en la resta del treball.Amb el valor de Shapley i la nocio de consorcicom a eixos centrals, al segon capıtol es determi-nen expressions per a la diferencia entre el valorde Shapley d’un jugador en el joc de consorcii el seu valor en el joc original, per a qualsevolnombre de consorcis simultanis que sorgeixin.Tambe es fa el mateix amb el valor de Shapleyen el joc de consorci i el valor coalicional d’Owenquan es forma un unic consorci. A la resta del

67

capıtol ens cenyim als jocs simples i, basant-seen les expressions obtingudes en la primera part,es determinen els valors maxims i mınims per ales diferencies —esmentades anteriorment, aixıcom els jocs on aquests s’assoleixen.

En el tercer capıtol, a partir del semivalorde Banzhaf es fa un estudi similar al del segon.Els resultats obtinguts son analegs i, en algunscasos, mes generals ja que aquı l’estudi no esrestringeix a aliances i consorcis binaris, sinoque es fa per a un nombre qualsevol d’integrants.El quart capıtol constitueix una generalitzaciodel tercer. S’hi du a terme un estudi similar perals semivalors binomials, dels quals el valor deBanzhaf es un cas particular.

Els jocs de majoria ponderada simetrics, laformacio de consorcis i la disciplina de vot consti-tueixen el nucli central del cinque i ultim capıtol.S’hi utilitzen expressions ja deduıdes als capıtolsanteriors amb la finalitat de valorar la conve-niencia de la formacio d’un o mes consorcissimultanis.

Amb aquesta memoria aportem resultatsamb els quals es pot:

a) Disposar d’una expressio que facilita l’es-tudi del joc del consorci, establint, alhora, cotesper a l’interval de variacio de la diferencia en-tre l’assignacio que rep un jugador en el joc deconsorci i la que rebia en el joc inicial.

b) Analitzar la conveniencia de la formacioefectiva de consorcis (un o varis) utilitzant tantel valor de Shapley com els semivalors binomialsi, el seu cas particular, el valor de Banzhaf.

c) Contrastar la formacio efectiva d’una co-alicio amb la d’un consorci, establint valors ex-trems de la diferencia entre el valor d’un jugadoren el joc de consorci i el seu valor coalicional,aixı com detallar jocs on aquests s’assoleixen,en el cas particular dels jocs simples.

En resum, l’objectiu principal d’aquestamemoria, dins de la teoria de jocs cooperatiusamb utilitat transferible, es contribuir al desen-volupament de la teoria de jocs en l’ambit dediferents disciplines com son la polıtica i l’eco-nomia.

• Nacho Lopez Lorenzo va llegir la seva tesi, dirigida per Joan Gimbert iMirka Miller, titulada Contribucion al estudio de excentricidades en grafosdirigidos, el dia 18 de juliol de 2008. La tesi correspon al Departament deMatematica de la Universitat de Lleida.

Els grafs s’utilitzen com a models matematicsper a xarxes de tota mena. Moltes de les propie-tats basiques per al funcionament optim d’aques-tes xarxes estan relacionades amb problemes dedistancia en grafs. Aquestes propietats inclo-uen la distancia des d’un node fixat al nodemes allunyat d’aquest, es a dir, l’excentricitat.Les propietats metriques dels grafs, dirigits ono, i en particular l’estudi de les excentricitats,formen l’eix vertebrador a partir del qual esdesenvolupen tots els temes d’aquesta tesi. Aixı,s’estudien operadors de grafs relacionats ambla distancia entre vertexs del mateix graf, espe-cialment l’operador dıgraf excentric: donat undıgraf G, el dıgraf excentric ED(G) te el mateixconjunt de vertexs que G i un vertex u es adja-cent a un vertex v si v es un vertex excentric deu en G. Diversos problemes com son la simetriai la caracteritzacio dels dıgrafs excentrics, sontractats en el context d’aquest operador. Tan-

mateix, es donen les bases d’un operador metricgeneralitzat que intenta unificar els diferentsoperadors relacionats amb distancies. Com l’ope-rador dıgraf excentric preserva, per definicio, elconjunt de vertexs del dıgraf original, podem ite-rar aquest operador i obtenir aixı una sequenciaEDk(G)k≥0 anomenada sequencia iterada dedıgrafs excentrics. Aquesta sequencia resultaesser finita i es defineixen la cua t i el perıodep d’un dıgraf G com els enters positius mes pe-tits pels que EDt+p(G) = EDt(G) en aquestasequencia. En particular, s’obte que el valor d’a-quests parametres depen, en alguns casos, de laconnexio d’un subdıgraf del dıgraf excentric deG que hem anomenat nucli excentric.

La sequencia d’excentricitats SG d’un dıgrafG esta formada per les excentricitats de tots elsvertexs de G. Mentre que hi ha algorismes efici-ents que permeten determinar aquesta sequenciaper qualsevol dıgraf, el problema contrari, es a

68

dir, caracteritzar aquelles sequencies de nombresenters constituıdes per excentricitats d’algundıgraf, resulta ser mes complicat. Les sequenciesexcentriques ja han estat estudiades en el cas nodirigit per diversos autors; explorar el cas dirigitha suposat un repte del qual s’han derivat resul-tats de diferent taranna: s’han adaptat resultatsdel cas no dirigit al cas dirigit, s’ha determi-nat el caracter excentric d’algunes sequenciesextremals i s’han determinat completament elsconjunts formats per excentricitats de dıgrafs.

En aquesta tesi tambe hi ha una part de-dicada a l’estudi d’una determinada classe de

dıgrafs extremals anomenada dıgrafs radials deMoore. Aquests dıgrafs apareixen en el contextde l’anomenat problema grau/diametre com unaaproximacio als dıgrafs de Moore. En aquestcas, es crea un operador basat en el dıgraf lıniaque permet construir dıgrafs radials de Moo-re. L’unica famılia coneguda fins al momentd’aquests dıgrafs es reinterpreta com a cas par-ticular d’aplicacio d’aquest operador. Per al casno dirigit, es realitza una construccio generald’un graf radial de Moore de radi dos, i es donendiferents camins que poden ser d’utilitats pertractar el cas general.

• Javier Sanchez Serda va llegir la seva tesi, dirigida per Dolors HerberaEspinal, titulada Localization: on division rings and tilting modules, el dia 18de juliol de 2008. La tesi correspon al Departament de Matematiques de laUniversitat Autonoma de Barcelona.

Sigui R un anell (associatiu i amb unitat). Unanell de divisio de fraccions de R es un anell dedivisio (un anell diferent de zero on tot elementno nul es invertible) que conte R i esta generatcom a anell de divisio per R.

Si R es commutatiu, R te un anell de divisiode fraccions si i nomes si R es un domini (anellno nul sense divisors de zero). A mes, Q(R), elcos de fraccions de R, es l’unic anell de divisio defraccions de R i els elements de Q(R) es podenescriure com a fraccions s−1a per a s, a ∈ R,s 6= 0.

En general, esser un domini es una condicionecessaria pero no suficient per a la inclusio dinsun anell de divisio. Tambe existeixen dominisR amb mes d’un anell de divisio de fraccionsi tals que els elements dels anells de divisio defraccions no es poden expressar com a fraccions.Un exemple es, per a qualsevol cos k i conjuntX = xii∈I amb mes d’un element, l’algebralliure k〈X〉, es a dir, els polinomis a coeficientsa k en les variables no commutatives xii∈I .

Una part d’aquest treball tracta el problemade detectar quan dos anells de divisio de fracci-ons d’un domini son el mateix per a una certafamılia de dominis. Aquests son els productescreuats R = kG (una generalitzacio d’anell degrup) d’un grup G localment indicable sobre unanell de divisio k. Exemples de grups localmentindicables son els grups abelians lliures de torsio,

els grups lliures, els grups ordenables... Donemdemostracions a dos resultats de I. Hughes [3] i[4]. En el primer es veu que donats kG, un pro-ducte creuat com abans, i D1, D2, dos anellsde divisio de fraccions de kG satisfent una certapropietat d’independencia lineal, llavors D1 iD2 son el mateix anell de divisio de fraccions.El segon resultat es una font d’exemples d’anellsde divisio de fraccions amb aquesta propietat.

En la segona part ens interessem per la for-ma en que es poden expressar els elements d’unanell de divisio de fraccions D del domini R apartir dels elements de R. Per definicio d’anellde divisio de fraccions, D = ∪n≥0Dn on definimD0 = R i, per a tot natural n ≥ 0, Dn+1 es elsubanell de D generat per Dn i els inversos delselements no nuls de Dn. Clarament Dn ⊆ Dn+1.L’altura d’inversio de D es l’ınfim dels n talsque Dn = D. Fisher [2] va donar exemples d’a-nells de divisio de fraccions de l’algebra lliure endos generadors k〈x, y〉 d’altures 1 i 2. Nosaltresestenem la seva construccio d’altura 2 per a ob-tenir exemples d’altura 1 i 2 per a k〈X〉 on Xes qualsevol conjunt de cardinalitat almenys 2,i per l’anell de grup k[G] on G es el grup lliureen X.

Per a una algebra lliure k〈X〉 sempre existeixl’anomenat anell de divisio de fraccions univer-sal U(k〈X〉) que en la teoria d’anells de divisiojuga un paper semblant al del grup lliure en

69

la teoria de grups. Neumann [5] va conjecturarque si X consta de mes d’un element, l’altu-ra d’inversio de U(k〈X〉) es infinit. Reutenauer[6] va provar la conjectura per al cas en queX es un conjunt infinit. Nosaltres demostremque, efectivament, quan X es finit amb almenysdos elements, l’altura d’inversio tambe es infi-nit reduint el problema al cas demostrat perReutenauer.

Una eina important en l’estudi de les alge-bres de dimensio finita han estat els modulstilting finitament generats. En els darrers anys,els no necessariament finitament generats tambehan tingut rellevancia en l’estudi de les categori-es de moduls sobre un anell arbitrari. L’exempletıpic de modul tilting no finitament generat es elZ-modul T = Q⊕Q/Z. A [1], donat un anell Ri sota certes condicions, es van construir modulstilting de la forma TS = S−1R⊕S−1R/R, onS es un subconjunt d’Ore per l’esquerra del’anell R. La tercera i ultima part de la tesi trac-ta la construccio de moduls tilting mitjancanttecniques de localitzacio universal, es a dir, s’in-verteixen morfismes entre moduls projectius fi-nitament generats en comptes d’elements del’anell (que es consideren com a morfismes entreprojectius). Provem que sota certes condicions,donats un conjunt U d’aplicacions entre pro-

jectius finitament generats i RU , la localitzaciouniversal de R a U , llavors TU = RU ⊕ RU/Res un R-modul tilting. A mes provem que per acerts anells tots el moduls tilting son d’aquestamanera, com ara els dominis de Dedekind on notots provenen de localitzacio commutativa.

Bibliografia

[1] Hugel, L. A.; Herbera, D.; Trlifaj, J.Divisible modules and localization, J. Alge-bra, 294, num. 2 (2005), 519–551.[2] Fisher, J. L. Embedding free algebras inskew fields. Proc. Amer. Math. Soc., 30 (1971),453–458.[3] Hughes, I. Division rings of fractions forgroup rings. Comm. Pure Appl. Math., 23(1970), 181–188.[4] Hughes, I. Division rings of fractions forgroup rings II. Comm. Pure Appl. Math., 25(1972), 127–131.[5] Neumann, B. H. On ordered divisionrings. Trans. Amer. Math. Soc., 66 (1949),202–252.[6] Reutenauer, C. Inversion height in freefields. Selecta Math. (N. S.), 2, num. 1 (1996),93–109.

70

Combinatorial Number Theory and Additive Group TheoryGeroldinger, A., University of Graz, Austria / Ruzsa, I.Z., Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary

Additive combinatorics is a relatively recent term coined to comprehend the developments of the more classical additive number theory, mainly focussed on problems related to the addition of integers. Some classical problems like the Waring problem on the sum of k-th powers or the Goldbach conjecture are genuine examples of the original questions addressed in the area. One of the features of contemporary additive combinatorics is the interplay of a great variety of mathematical techniques, including combinatorics, harmonic analysis, convex geometry, graph theory, probability theory, algebraic geometry or ergodic theory. This book gathers the contributions of many of the leading researchers in the area and is divided into three parts. The two fi rst parts correspond to the material of the main courses delivered, Additive combinatorics and non-unique factorizations, by Alfred Geroldinger, and Sumsets and structure, by Imre Z. Ruzsa. The third part collects the notes of most of the seminars which accompanied the main courses, and which cover a reasonably large part of the methods, techniques and problems of contemporary additive combinatorics.

2009. XI, 330 p. SoftcoverISBN 978-3-7643-8961-1ACMBIRK — Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona

Quantitative Arithmetic of Projective Varieties

Browning, T.D., Bristol University, UK

Winner of the Ferran Sunyer i Balaguer Prize 2009

This monograph is concerned with counting rational points of bounded height on projective algebraic varieties. This is a relatively young topic, whose exploration has already uncovered a rich seam of mathematics situated at the interface of analytic number theory and Diophantine geometry. The goal of the book is to give a systematic account of the fi eld with an emphasis on the role played by analytic number theory in its development. Among the themes discussed in detail are * the Manin conjecture for del Pezzo surfaces; * Heath-Brown‘s dimension growth conjecture; and * the Hardy-Littlewood circle method. Readers of this monograph will be rapidly brought into contact with a spectrum of problems and conjectures that are central to this fertile subject area.

2010. Approx. 170 p. HardcoverISBN 978-3-0346-0128-3PM — Progress in Mathematics, Vol. 277

Mean Curvature Flow and Isoperimetric InequalitiesMiquel, V., Universitat de València, Spain / Porti, J., Universitat Autònoma de Barcelona, Spain (Eds) Ritore, M., Universidad Granada, Spain / Sinestrari, C., Università di Roma ‚Tor Vergata‘, Italy

Geometric fl ows have many applications in physics and geometry. The mean curvature fl ow occurs in the description of the interface evolution in certain physical models. This is related to the property that such a fl ow is the gradient fl ow of the area functional and therefore appears naturally in problems where a surface energy is minimized. The mean curvature fl ow also has many geometric applications, in analogy with the Ricci fl ow of metrics on abstract riemannian manifolds. One can use this fl ow as a tool to obtain classifi cation results for surfaces satisfying certain curvature conditions, as well as to construct minimal surfaces. Geometric fl ows, obtained from solutions of geometric parabolic equations, can be considered as an alternative tool to prove isoperimetric inequalities. On the other hand, isoperimetric inequalities can help in treating several aspects of convergence of these fl ows. Isoperimetric inequalities have many applications in other fi elds of geometry, like hyperbolic manifolds.

2009. Approx. 140 p. SoftcoverISBN 978-3-0346-0212-9

Birkhäuser Verlag AGViaduktstrasse 424051 Basel / Switzerland

Tel. +41 61 205 07 77e-mail: sales@birkhauser.chwww.birkhauser.ch

Mauro C. Beltrametti, Ettore Carletti, Dionisio Gallarati and Giacomo Monti Bragadin (all University of Genova, Italy)Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties. A Classical View of Algebraic Geometry (EMS Textbooks in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-064-7. 2009. 506 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 58.00 Euro

This book offers a wide-ranging introduction to algebraic geometry along classical lines. It consists of lectures on topics in classical algebraic geometry, including the basic properties of projective algebraic varieties, linear systems of hypersurfaces, algebraic curves (with special emphasis on rational curves), linear series on algebraic curves, Cremona transformations, rational surfaces, and notable examples of special varieties like the Segre, Grassmann, and Veronese varieties. An integral part and special feature of the presentation is the inclusion of many exercises, not easy to find in the literature and almost all with complete solutions.The text is aimed at students of the last two years of an undergraduate program in mathematics. It contains some rather advanced topics suitable for specialized courses on the advanced undergraduate or beginning graduate level, as well as interesting topics for a senior thesis. The prerequisites have been deliberately limited to basic elements of projective geometry and abstract algebra. Thus, for example, some knowledge of the geometry of subspaces and properties of fields is assumed.

Hans Ringström (KTH, Stockholm, Sweden)The Cauchy Problem in General Relativity (ESI Lectures in Mathematics and Physics)

ISBN 978-3-03719-053-1. 2009. 307 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 42.00 Euro

The general theory of relativity is a theory of manifolds equipped with Lorentz metrics and fields which describe the matter content. Einstein’s equations equate the Einstein tensor (a curvature quantity associated with the Lorentz metric) with the stress energy tensor (an object constructed using the matter fields). In addition, there are equations describing the evolution of the matter. Using symmetry as a guiding principle, one is naturally led to the Schwarzschild and Friedmann–Lemaître–Ro-bertson–Walker solutions, modelling an isolated system and the entire universe respectively. In a different approach, formulating Einstein’s equations as an initial value problem allows a closer study of their solutions. This book first provides a definition of the concept of initial data and a proof of the correspondence between initial data and development. It turns out that some initial data allow non-isometric maximal developments, complicating the uniqueness issue. The second half of the book is concerned with this and related problems, such as strong cosmic censorship.

Sergio Albeverio (University of Bonn, Germany), Yuri Kondratiev (University of Bielefeld, Germany), Yuri Kozitsky (Maria Curie-Skłodowska University, Lublin, Poland) and Michael Röckner (University of Bielefeld, Germany)The Statistical Mechanics of Quantum Lattice Systems. A Path Integral Approach (EMS Tracts in Mathematics Vol. 8)

ISBN 978-3-03719-070-8. 2009. 392 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 62.00 Euro

Quantum statistical mechanics plays a major role in many fields such as, for instance, thermodynamics, plasma physics, solid-state physics, and the study of stellar structure. While the theory of quantum harmonic oscillators is relatively simple, the case of anharmonic oscillators, a mathematical model of a localized quantum par-ticle, is more complex and challenging. Moreover, infinite systems of interacting quantum anharmonic oscillators possess interesting ordering properties with respect to quantum stabilization. This book presents a rigorous approach to the statistical mechanics of such systems, in particular with respect to their actions on a crystal lattice. The text is addressed to both mathematicians and physicists, especially those who are concerned with the rigorous mathematical background of their results and the kind of problems that arise in quantum statistical mechanics. The methods developed in the book are also applicable to other problems involving infinitely many variables, for example, in biology and economics.

Gebhard Böckle (University of Duisburg-Essen, Germany) and Richard Pink (ETH Zürich, Switzerland) Cohomological Theory of Crystals over Function Fields (EMS Tracts in Mathematics Vol. 9)

ISBN 978-3-03719-074-6. 2009. 195 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 48.00 Euro

This book develops a new cohomological theory for schemes in positive characteristic p and it applies this theory to give a purely algebraic proof of a conjecture of Goss on the rationality of certain L-functions arising in the arithmetic of function fields. These L-functions are power series over a certain ring A, associated to any family of Drinfeld A-modules or, more generally, of A-motives on a variety of finite type over the finite field Fp. By analogy to the Weil conjecture, Goss conjectured that these L-functions are in fact rational functions. In 1996 Taguchi and Wan gave a first proof of Goss’s conjecture by analytic methods à la Dwork. The present text introduces A-crystals, which can be viewed as generalizations of families of A-motives, and studies their cohomology.The book is intended for researchers and advanced graduate students interested in the arithmetic of function fields and/or cohomology theories for varieties in positive characteristic. It assumes a good working knowledge in algebraic geometry as well as familiarity with homological algebra and derived categories, as provided by standard textbooks. Beyond that the presentation is largely self-contained.

Renormalization and Galois Theories (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics Vol. 15)Alain Connes (IHÉS, Bures-sur-Yvette, France), Frédéric Fauvet (IRMA, Strasbourg, France ) and Jean-Pierre Ramis (Institut de Mathématiques de Toulouse, France), Editors

ISBN 978-3-03719-073-9. 2009. 279 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 42.00 Euro

This volume is the outcome of a CIRM Workshop on Renormalization and Galois Theories held in Luminy, France, in March 2006. The subject of this workshop was the interaction and relationship between four currently very active areas: renormalization in quantum field theory (QFT), differential Galois theory, noncommutative geometry, motives and Galois theory.The last decade has seen a burst of new techniques to cope with the various mathematical questions involved in QFT, with notably the development of a Hopf-al-gebraic approach and insights into the classes of numbers and special functions that systematically appear in the calculations of perturbative QFT (pQFT). The analysis of the ambiguities of resummation of the divergent series of pQFT, an old problem, has been renewed, using recent results on Gevrey asymptotics, generalized Borel summation, Stokes phenomenon and resurgent functions.The purpose of the present book is to highlight, in the context of renormalization, the convergence of these various themes, orchestrated by diverse Galois theories. It contains three lecture courses together with five research articles and will be useful to both reseachers and graduate students in mathematics and physics.

20% discount for individual members of the European, American, Australian, Canadian and Swiss Mathematical Societies!

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum FLI C4

Fliederstrasse 23CH-8092 Zürich, Switzerland

orders@ems-ph.orgwww.ems-ph.org

New books published by the

Wolfgang Woess (Graz University of Technology, Austria)Denumerable Markov Chains. Generating Functions, Boundary Theory, Random Walks on Trees (EMS Textbooks in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-071-5. 2009. 368 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 48.00 Euro

Markov chains are the first and most important examples of random processes. This book is about time-homogeneous Markov chains that evolve with discrete time steps on a countable state space. Measure theory is not avoided, careful and complete proofs are provided. A specific feature is the systematic use, on a relatively elementary level, of generating functions associated with transition probabilities for analyzing Markov chains. Basic definitions and facts include the construction of the trajectory space and are followed by ample material concerning recurrence and transience, the convergence and ergodic theorems for positive recurrent chains.The level varies from basic to more advanced, addressing an audience from master’s degree students to researchers in mathematics, and persons who want to teach the subject on a medium or advanced level. A specific characteristic of the book is the rich source of classroom-tested exercises with solutions.