elementos básicos de cálculo diferencial. del valle, jesús a

Elementos Básicos deElementos Básicos deElementos Básicos deElementos Básicos deElementos Básicos deCCCCCálcálcálcálcálculo Dulo Dulo Dulo Dulo Difififififerencialerencialerencialerencialerencial

Elementos Básicos deElementos Básicos deElementos Básicos deElementos Básicos deElementos Básicos deCCCCCálcálcálcálcálculo Dulo Dulo Dulo Dulo Difififififerencialerencialerencialerencialerencial

Jesús del Valle SierraJesús del Valle SierraJesús del Valle SierraJesús del Valle SierraJesús del Valle Sierra

ISBN 958-665-961-0Segunda edición, febrero de 2007

Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción,archivo o transmisión total o parcial de este texto medianteningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, defotorreproducción, memoria o cualquier otro sin permiso de loseditores Ude@.

Impreso en Medellín, Colombia.

Imagen de la portada

Fotografía de la escultura «El coqueteo»

Escultura elaborada en bronce policromado a la cera perdida. «El coqueteo» y «El beso», ambas ubicadas frente al MuseoUniversitario, pertenecen a la colección Expresiones. Su autor, Gabriel Vélez Calle, fue el Artista Invitado a la BienalEspecializada en Arte: Primer Salón Nacional de Escultura 2004.

«El coqueteo» muestra una gran habilidad técnica que mezcla el desarrollo de formas, texturas, pátinas y colores, con elmanejo del bronce como objeto plástico. Esta hermosa obra no sólo tiene riqueza visual: es una «exposición para tocar».

Jesús del Valle Sierra

Acerca del autor


Matemático de la Universidad de Antioquia (1977), especialista enMatemáticas Avanzadas de la Universidad Nacional de Colombia (SedeBogotá, 1987). Actualmente se desempeña como Coordinador de Cur-sos de Servicio del Departamento de Matemáticas de la Facultad deCiencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia.

Correo electrónico: [email protected]

Como estudiante del programa de Educación no presencial de la Universidad de Antioquia,Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendi-zaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, ladisciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en suformación para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de laingeniería.

Los cursos Ude@ permiten fortalecer estas características mediante el desarrollo dediferentes actividades1.

Estudio individual, apoyado en diferentes medios (impresos, audiovisuales,multimedia).

Estudio en grupo y acompañamiento del profesor a través del aula virtual.

Tutorías presenciales, cuya finalidad es apoyar el aprendizaje y afianzar los temas estudiados.

El texto Ude@

En el modelo Ude@ los contenidos educativos son aportados por cada medio te-niendo en cuenta las fortalezas propias de cada uno de ellos. Desde el punto de vistapedagógico, el texto impreso es por tradición un medio idóneo para los procesos deeducativos ya que facilita el aprendizaje de hechos, la compresión de principiosgeneralizados o abstractos y el desarrollo del razonamiento lógico. En estos aspec-tos, el texto Ude@ es un medio muy eficaz para desarrollar y adquirir tales destrezas.

Estructura del texto

El texto Elementos Básicos de Cálculo Diferencial ha sido desarrollado como partedel material educativo de los estudiantes del programa; sin embargo, su contenidopuede ser de gran utilidad para cualquier persona que desee estudiar este tema.

La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cualhace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica.

La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos o temas.Al empezar cada capítulo se encuentra un «Contenido breve» que muestra el númeroy el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulocontiene, en su primera página, una introducción, los objetivos de aprendizaje, unaspreguntas básicas (relacionadas con los conocimientos previos requeridos) y elíndice temático del contenido, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre eltema en particular de cada sesión de clase.

Cómo usar este texto

1 Los cursos tienen un cronograma de actividades semanal que lo orientará en su proceso de aprendizaje.

Los iconos y la interrelación de medios

El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivoprimordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla enlos diferentes formatos (audiovisuales, web, multimedia, videoconferencias), conenlaces entre los mismos. La esencia de estos enlaces está dada por los iconosUde@.

Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráfi-cos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios.

Sugerencias para los estudiantes

En la lectura del libro:

Antes de iniciar el estudio de un capítulo, lea el contenido breve y la presen-tación.

Trate de resolver las preguntas básicas de cada módulo; estas preguntas estándiseñadas para ayudarle a comprender los conceptos o temas presentados alo largo del mismo.

Lea los ejemplos intercalados en los bloques de texto y trate de resolver losejercicios con el fin de mejorar sus habilidades en la solución de problemasreales.

Complemente la lectura del libro con las herramientas de comunicación queposee en el aula virtual y en su correo electrónico.

Recuerde que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso tam-bién existe material disponible en otros medios, y que ese material representavalor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se re-pite sino que se complementa.

En el aula virtual:

Aprenda cómo funcionan las herramientas indispensables para participar enun curso por red: sistema de correo electrónico, sistema de chat, grupos dediscusión, búsquedas en Internet, consulta en bases de datos especializadas,entre otras.

Revise el correo electrónico todos los días.

Visite con relativa frecuencia el sitio Ude@ y la plataforma donde se publica elcurso en Internet para enterarse de cualquier nueva información. Apóyese enla red como un sistema de consulta y establezca criterios para seleccionar lainformación requerida.

Introduzca sus datos personales en el aula virtual para que sus tutores ycompañeros tengan acceso a ellos.

Desarrolle, en la primera semana, las actividades preparativas para el cursoindicadas en el aula virtual.

Dedique al menos tres horas semanales por cada crédito asignado a un cursopara leer los módulos, realizar trabajos, participar en los foros de discusión ypresentar evaluaciones, de acuerdo con lo establecido en el cronograma.

Planee su agenda personal para participar activamente en cada curso y entre-gar oportunamente sus tareas. En caso de algún imprevisto, debe comunicarseinmediatamente con el tutor.

Participe de las actividades propuestas para realizar en forma individual y engrupos de trabajo. Haga parte de grupos de trabajo conformados con suscompañeros de curso y en ningún caso pretenda realizar todas las actividadessin ayuda de los demás.

Manifieste oportunamente a sus compañeros y al profesor las dificultades quese le presentan con las actividades propuestas.

Elabore su propio horario de trabajo independiente para el curso y cumpla conel cronograma del curso.

Realice con honradez las actividades de evaluación, autoevaluación y co-evaluación que encuentre programadas en el curso.

Durante su proceso de aprendizaje trate de adquirir autonomía con el conoci-miento, es decir, intente construir nuevos conocimientos recurriendo a fuen-tes de información bibliográfica y a sus habilidades de comparación, análisis,síntesis y experimentación.

Mantenga una actitud de colaboración con compañeros, tutores y monitores,y esté siempre dispuesto a realizar las actividades de aprendizaje.

Relaciónese de manera respetuosa y cordial con los demás estudiantes, con eltutor y con los monitores.

Objetivos generalesObjetivos generalesObjetivos generalesObjetivos generalesObjetivos generales

1. Familiarizar al estudiante con el lenguaje propio delcálculo (el análisis matemático) y hacerle notar la ne-cesidad de dicho lenguaje cuando se aborda el estu-dio de cualquiera de sus áreas.

2. Manejar apropiadamente el cálculo de funciones deuna variable real, así como los conceptos fundamen-tales relacionados con ellas: límite, continuidad y deri-vada.

3. Indicar las diferentes etapas y estrategias que puedenemplearse cuando se analiza una situación problemá-tica y se busca llegar a su solución. Evidenciar la ne-cesidad de distinguir con claridad cuáles son los da-tos y cuáles son los resultados pedidos; así mismo,diferenciar claramente, en los teoremas, las hipótesisy las tesis.

4. Facilitarle al estudiante, mediante el desarrollo teóricode los temas, el trazado de curvas con todos sus ele-mentos básicos: dominio, rango, asíntotas, máximos,mínimos, concavidad, etc.

5. Desarrollar en el estudiante, mediante modelos pro-pios de la ingeniería, la capacidad de plantear y resol-ver problemas de optimización.

6. Conocer el concepto fundamental del cálculo, comoes el límite de una función, puesto que éste no sola-mente aparece en los temas siguientes del curso (con-tinuidad, derivación e integración), sino también enlos temas de los cursos de Cálculo II y Cálculo III(series, funciones de varias variables, integrales múl-tiples y cálculo vectorial).

7. Establecer los fundamentos y nexos requeridos conlos proyectos de aula que tiene este curso como prerre-quisito o correquisito, especialmente con Cálculo II,Cálculo III y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

8. Diseñar situaciones problema integrales que facilitenla intervención del mayor número posible de elemen-tos teóricos básicos, mostrando la necesidad de es-tablecer relaciones adecuadas entre ellos para su uti-lización óptima.

9. Proponer situaciones problema que involucren pro-piedades interesantes del cálculo y que estimulen elespíritu investigativo.

10. Mostrar en el desarrollo temático del curso, cómo searticula la teoría, introduciendo las definiciones co-rrectas que surgen de manera natural para designarrelaciones y demostrar los teoremas más importantes.

Objetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicos

1. Establecer inicialmente de una manera intuitiva, pormedio de ejemplos, el concepto más importante delcálculo: el límite. Notar cómo en el mapa conceptualdel curso aparece la palabra límite en el centro y lostemas principales emanan de ella.

2. Establecer la definición rigurosa (definición de Cauchy)del límite de una función (conocida como la forma

δ∈ − ) y cuál es su significado geométrico en el pla-no cartesiano.

3. Ilustrar la definición rigurosa de límite por medio delos plantemientos desarrollados en la Grecia antigua(siglo III a.C.) y los métodos sistemáticos de Newtony Leibniz veinte siglos después.

9. Presentar la definición precisa de la derivada de unafunción, su interpretación geométrica y física, y lasdistintas notaciones que se usarán durante el curso.

10. Destacar la relación existente entre derivabilidad ycontinuidad mediante un teorema, cuyo contrarrecí-proco establece un criterio de discontinuidad.

11. Mostrar con ejemplos gráficos el significado de lasexpresiones «ser derivable» y «no ser derivable», ycómo influyen en el grado de suavidad de una curva.

12. Establecer las propiedades de las funciones deriva-bles (reglas de derivación) y cómo usarlas en la solu-ción de ejercicios.

13. Mostrar cómo el operador derivada puede aplicarsede manera reiterada a una función, generando las lla-madas derivadas de orden superior y, de esta forma,dar sentido a la expresión: «función n-veces derivable».

14. Introducir la noción de derivada implícita y la formade usarla para calcular la derivada de una función, sinnecesidad de despejar la variable y como función ex-plícita de x.

15. Repasar las funciones trascendentes (trigonométri-

Objetivos del proyecto de aula

cas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarít-micas) y las reglas correspondientes de derivación.

16. Combinar adecuadamente las funciones xe y xe− paragenerar las funciones hiperbólicas, sus derivadas yalgunas aplicaciones a la ingeniería: la catenaria.

17. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límitesinfinitos y límites al infinito, y su significado geomé-trico en el plano cartesiano.

18. Introducir la noción de asíntota (horizontal, verticaly oblicua) y su relación con los límites infinitos y lí-mites al infinito.

19. Presentar las formas indeterminadas 0

0 o ∞∞

, y cómo

eliminarlas usando la llamada regla de L´Hopital.

20. Reducir otras formas indeterminadas: ,∞−∞ 0 ,∞ 00 ,

0 ,∞ 1 ,∞ a una de las formas 0

0 o

∞∞

y aplicar la regla

de L’ Hopital.

21. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo con-cerniente a la determinación de extremos absolutos,extremos relativos, análisis de monotonía y análisisde concavidad.

22. Ilustrar con ejemplos el trazado de curvas, usando ade-

cuadamente las ayudas proporcionadas en los cua-tro objetivos anteriores.

23. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en proble-mas de optimización que son de relevancia en diferen-tes áreas de la ingeniería.

24. Usar la derivada como razón de cambio en problemasde variables ligadas, las cuales presentan variacióncon respecto al tiempo.

25. Intentar dar un significado a la notación de Leibniz

dy

dx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

para la derivada, no como un símbolo comple-

to, sino como símbolos separados dy y dx .

26. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglasde derivación y usarlas en la solución de problemasde aproximaciones y en la estimación de errores en al-gunos problemas característicos en las ciencias.

Capítulo 1:Límite de funciones devariable realPág. 19

Tabla de contenido

Módulo 1Noción intuitiva del límite 21

Módulo 2Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función 27

Módulo 3

Escogencia del delta (δ) dado el épsilon ( )∈ 31

Módulo 4Teoremas sobre límites 35

Módulo 5Límites laterales 41

EjerciciosCapítulo 1, módulos 1 al 5 45

Capítulo 2:Continuidad de funcionesde variable realPág. 59

Módulo 6Idea intuitiva y definición de función continua 61

Módulo 7Teoremas sobre funciones continuas 67

Módulo 8Continuidad en un intervalo 71


Capítulo 3:Derivación de funciones devariable realPág. 81

Módulo 9Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y 83notación

Módulo 10Relación derivada-continuidad y derivadas laterales 89

Módulo 11Reglas de derivación 95

Módulo 12Derivadas de orden superior y derivación implícita 105

Módulo 13Funciones trascendentes y sus derivadas 111

Módulo 14Otras funciones trascendentes y sus derivadas 123

Módulo 15Límites al infinito y asíntotas de una curva 137

Módulo 16Límites infinitos y asíntotas verticales 149

Módulo 17Asíntotas oblicuas 155

Módulo 18Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital 159

Módulo 19Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos 167


Capítulo 4:Aplicaciones de la derivadaPág. 195

Módulo 20Interpretaciones geométrica y física de la derivada 197

Módulo 21Valores extremos de una función de variable real 209

Módulo 22Teorema del valor medio (TVM) para derivadas 221

Módulo 23Criterio de la primera derivada 229

Módulo 24Criterio de la segunda derivada 237

Módulo 25Análisis y trazado de curvas 247

Módulo 26Problemas de máximos y mínimos 267

Módulo 27La derivada como razón de cambio 277

Módulo 28La diferencial 287


Apéndice:Pág. 303

Apéndice IEl sistema de los números reales 303

Apéndice IILa línea recta 323

Apéndice IIIFunciones y sus gráficas 338

Prólogo

Consciente de la gran cantidad de textos de cálculo que invade el mercado universi-tario, y atendiendo la solicitud del profesor Guillermo Ospina a nuestro Departamentode Matemáticas, he decidido recopilar en este primer texto lo que, a mi juicio, debe serun curso inicial de esta materia para cualquiera de las carreras de ingeniería.

Como docente que he sido de los cursos de Cálculo I, Cálculo II y Cálculo III quenuestro Departamento sirve a la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Antioquia,lo que he hecho es recoger e integrar los tópicos básicos del curso Cálculo I (límite,continuidad y derivada) en una forma coherente, racional y metodológica. Así porejemplo, he considerado que los límites al infinito y límites infinitos están íntimamenteligados con el concepto de asíntota de una curva, al igual que con la regla de L’Hopitalque permite la evaluación de los mismos. Por esta razón, presento dichos temas en losmódulos 15 a 18. Igualmente, en la deducción de las fórmulas para las derivadas de lasfunciones inversas (módulos 13 y 14) se hace uso de la definición y de la derivaciónimplícita, método que, según mi parecer, asimila más fácilmente el estudiante que elproporcionado por el teorema de la derivada de la función inversa que aparece al finaldel apéndice III.

El texto está escrito en el lenguaje normal de nuestros cursos de cálculo. Las defini-ciones (muchas de ellas presentadas de manera intuitiva) y teoremas, están seguidosde observaciones y ejemplos gráficos que ayudan a su comprensión. Al final de cadacapítulo aparece una colección de ejercicios resueltos en cuyos procedimientos sedan pautas para que el estudiante resuelva luego los ejercicios propuestos que apa-recen a continuación.

Las preguntas básicas en cada uno de los módulos pueden responderse después deestudiado el módulo correspondiente. Con ellas se busca medir el grado de aprendi-zaje del mismo por parte del estudiante, así como también empezar a prepararlo paralas pruebas tipo ECAES que debe presentar para la cualificación profesional respec-tiva.

Al final del texto he adjuntado tres apéndices, cuyos contenidos ayudan a compren-der los conceptos básicos del cálculo. Estos tres apéndices, al igual que la mayorparte de los contenidos del curso, se encuentran en la página web http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/, en el material que he elaborado para el programade Matemáticas de la carrera de Ingeniería de Sistemas.

Agradezco los comentarios positivos que ayuden a mejorar una futura edición. To-dos serán bien recibidos en la dirección [email protected]


Mapa conceptual

1Límite de

funciones devariable real

Capítulo 1

Presentación

Los temas tratados hasta ahora en el curso de Álgebra y Trigonometría de estamisma serie constituyen lo que se conoce como precálculo; es decir, proporcionanlas herramientas básicas para el cálculo, pero no son cálculo. Nuestro propósitoahora es establecer inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, yposteriormente mediante la definición precisa, el concepto más importante del cál-culo, como es el límite. Algunos autores definen el cálculo como el estudio de loslímites. La noción de límite no solamente aparece en los temas siguientes del cálculoque se presentan en este curso (continuidad, derivación e integración), sino tam-bién en los temas de próximos cursos de cálculo (series, funciones de varias varia-bles, integrales múltiples y cálculo vectorial). El mapa conceptual que se adjuntatiene la palabra límite en el centro, y se ve cómo los temas principales del cálculoemanan de él.

Contenido breveContenido breveContenido breveContenido breveContenido breve

Módulo 1Noción intuitiva del límite

Módulo 2Definición de Cauchy (rigurosa) dellímite de una función

Módulo 3Escogencia del delta (δ) dado elépsilon (∈)

Módulo 4Teoremas sobre límites

Módulo 5Límites laterales

EjerciciosCapítulo 1, módulos 1 al 5

La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por 1

- .vk e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

kt4

64 pies= 1

seg

El →∞=

64 pieslim

segtv

k se conoce con el nombre de velocidad terminal, la cual depende de k (k = 3: posición de águila extendida; k

= 1: posición plegada) y es la que debe controlar el paracaidista al llegar al suelo.

20 U de @ - Educación no presencial

21Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

Introducción

Entre todos los conceptos del cálculo infinitesimal, el de límite es sin duda el másimportante y quizás también el más difícil. Por esta razón iniciamos su estudio deuna manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra «límite» sino la nociónde función que tiende hacia un límite.

Objetivos del módulo

1. Empezar a familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del cálculo y hacer verla necesidad de dicho lenguaje al abordar el estudio de cualquiera de sus áreas.

2. Establecer de una manera intuitiva el concepto más importante del cálculo: el lí-mite de una función.

Preguntas básicas

1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso: si f (a) no existe, ¿entonces

( )limx a

f x→

no existe?

2. Considere la función ( )2 2

.2

x xf x

x

− −=

− a. ¿Existe f (2)? b. Elabore una tabla de valores de f (x), con x cercanos a 2 (por ejemplo, x =2.1,

2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999) y de esta forma estime el valor del límite 2

lim ( ).x

f x→

Contenidos del módulo

1.1 Noción intuitiva del límite

1Noción intuitiva del límite

Maria Gaetana Agnesi

Maria Agnesi nació en Milán el 16 de mayo de 1718 y murióen esa misma ciudad el 9 de enero de 1799.

Una caída con altura

Para ver los enlaces relacionados con este tema,visite la sección Sitios de Interés del cursoElementos Básicos de Cálculo Diferencial en laplataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/


1.1 Noción intuitiva del límite

Nuestro propósito ahora es acercarnos intuitivamente a la definición rigurosa dellímite de una función.

Considérese la función definida por 22 1

( ) , con 11

x xy f x x

x

− −= = ≠

−. El único va-

lor para el cual f (x) no está definida es x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 comose quiera la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguientepregunta: ¿se aproxima f (x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

En la tabla 1 se hace un seguimiento de f (x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda(valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1).

Tabla 1. Valores de f (x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha

La observación atenta de la tabla 1 sugiere una respuesta a la pregunta formuladaantes. Nótese que a medida que los valores de x se «acercan» a 1, sin tomar el valorde 1, los valores de f (x) se «acercan» a 3. Dándole a la palabra límite un significadointuitivo, se dice que:

El límite de la función f (x) es 3 cuando x tiende a 1.

La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera delas formas

( ) 3f x → cuando 1x → (se lee: f (x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O también,

1lim ( ) 3x

f x→

= (se lee: el límite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3).

De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabralímite, se dice que:

lim ( )x a

f x L→

= , si se puede hacer que f (x) esté tan «cerca» de L como se quiera,

haciendo que x esté suficientemente «cerca» de a, pero siendo distinta de a.

Volviendo al ejemplo inicial, supóngase que se quiere que f (x) difiera de 3 en valorabsoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que:

Capítulo 1: Límite de funciones de variable real

Vea el módulo 1 del programa detelevisión Elementos Básicos de CálculoDiferencial.

Acercarse a 1 por la izquierda

5

2x 0

f (x)

0.3 0.75 0.90.5 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1 1.00011.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.7

1.6 2.5 2.82 2.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 NO DEF 3.0002 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.41

Acercarse a 1 por la derecha* *

****


( ) 3 1.f x − < (1)

Pregunta

¿Cómo elegir los valores de x para que se cumpla (1)?

En primer lugar, nótese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equi-valentes:

( ) 3 1 1 ( ) 3 1,

2 ( ) 4.

f x f x

f x

− < ⇔ − < − <

⇔ < < (2)

En la tabla 1 se señalaron con asterisco (*) los valores de x para los cuales f (x) = 2y f (x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, nótese que se pueden elegir losvalores de x de tal modo que

0.5 1.5, 1,x x< < ≠ (3)

o equivalentemente,

0.5 1.5, 1x x< < ≠ 0.5 1 1 1.5 1, 1,x x⇔ − < − < − ≠

0.5 1 0.5, 1,x x⇔ − < − < ≠

1 0.5, 1,x x⇔ − < ≠

0 1 0.5.x⇔ < − < (4)

El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2)basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es,

si 0 1 0.5,x< − < entonces ( ) 3 1.f x − < (5)

Supóngase ahora que se quiere que ( ) 3 0.01.f x − < (6)

La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: ¿cómo elegir los valores de xpara que se cumpla (6)?

Un procedimiento similar al del caso anterior permite escribir la desigualdad (6) en laforma equivalente

( ) 3 0.01 2.99 ( ) 3.01.f x f x− < ⇔ < < (7)

En la tabla se señalaron con doble asterisco (**) los valores de x para los cualesf (x) = 2.99 y f (x) = 3.01.

Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de talmanera que:

0.995 1.005, 1x x< < ≠ 0.995 1 1 1.005 1, 1,x x⇔ − < − < − ≠

Módulo 1: Noción intuitiva del límite

Maria Gaetana Agnesi

Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, Maria Agnesi fue lamayor de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos).En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae, queabordaba los problemas de filosofía natural quehabitualmente se discutían en los salones. Después escribióel libro Instituciones analíticas al uso de la juventud italiana,en el que explicaba una parte novedosa de las matemáticas:el cálculo analítico. El libro tuvo muy buena crítica. Se dedicóen profundidad al estudio del álgebra y la geometría ynueve años más tarde aparecieron publicadas las Instituzionianalitiche, sin duda la obra más importante de toda sucarrera como matemática. Fue editado en varios idiomasy se utilizó como manual universitario en las universidadesde distintos países, siendo aún cincuenta años más tarde eltexto matemático más completo. Se encargó en Italia delos cursos de su padre, convirtiéndose así en la primeramujer de la historia que había dado clase de matemáticasen una institución de este nivel.

El primer texto que incluyó el cálculo diferencial e integral,junto a la geometría analítica, las series infinitas y lasecuaciones diferenciales, fue escrito en la década de 1740por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi.


0.005 1 0.005, 1,x x⇔ − < − < ≠

0 1 0.005.x⇔ < − < (8)

Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficienteque se cumpla la desigualdad (8). Esto es,

si 0 1 0.005,x< − < entonces ( ) 3 0.01.f x − < (9)

De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podría preguntar cómo elegir

los valores de x de tal forma que la diferencia ( ) 3f x − sea menor que cualquier

número positivo, tan pequeño como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega∈ (épsilon) para denotar tales números positivos.

La pregunta entonces formulada de manera general sería la siguiente: ¿para cuáles

valores de x, 1x ≠ , se cumple que ( ) 3f x − < ∈?

Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores permite verifi-

car que es suficiente elegir los valores de x de tal manera que la diferencia 1x − sea

menor que cierto número positivo, corrientemente denotado por la letra griega δ(delta).

Resumiendo:

Si 0 1 ,x δ< − < entonces ( ) 3 .f x − < ∈

La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeños dados de ∈es innumerable y no se demostraría nada con respecto a la existencia del límite def (x). Sólo serviría para convencernos intuitivamente de que f (x) tiende al valor 3cuando x tiende a 1. Únicamente cuando se logre demostrar que para cualquiernúmero positivo ∈ dado, existe al menos otro número positivo δ tal que si

0 1 ,x δ< − < entonces ( ) 3 ,f x − < ∈ se le dará a nuestra intuición una formula-

ción exenta de ambigüedades.

Observación

Muchas veces las cosas no son tan simples como parece en la noción intuitiva dellímite de una función. En algunos casos el uso de la calculadora puede desorientar-nos, así como también nuestra propia intuición.

Así por ejemplo, si deseamos calcular 2

0

coslim

10.000x

xx

→

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦, y usamos la calculadora,

se puede construir la tabla 2 que aparece a continuación:


Escuche el audio Historia del cálculo en lasculturas antiguas en su multimedia deElementos Básicos de Cálculo Diferencial.


Tabla 2. Valores de la función, cuando x se aproxima a 0

Módulo 1: Noción intuitiva del límite

2 cos

10.000

xx −x

± 0.1

··

·

± 0.01

± 0.5± 1

0

0.99995

·

0.24991

0.009900.000000005

··

?

Si nos guiamos por la tabla, nuestra intuición nos llevará a concluir que

2

0

coslim 0.

10.000x

xx

→

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

Pero dicho resultado es incorrecto, ya que cerca de 0 la función coseno toma elvalor 1. Así que:

2 2

0

cos 1lim 0 0.0001.

10.000 10.000x

xx

→

⎡ ⎤− = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦


Definición de Cauchy (rigurosa) del límitede una función

2

Introducción

En este módulo se precisan matemáticamente las ideas expuestas en forma intuitivaen el módulo 1. Es conveniente tener en cuenta que en un primer curso de cálculono es muy importante familiarizarse con la definición rigurosa ya que a la mismamatemática le costó más de 100 años precisarla como se conoce actualmente. Sinembargo, el trabajo intuitivo del módulo anterior nos permitirá, al menos, entendersu contenido.


1. Establecer la definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función y su sig-nificado geométrico en el plano cartesiano.

Preguntas básicas

Diga si los dos enunciados siguientes son verdaderos o falsos:

1. ¿ ( )0 3 2 1.5x x< − < ⇔ ∈ ?

2. ¿ 1 5 y 2 0 2 3x x x− < < ≠ ⇔ < − < ?


2.1 Definición de límite

Augustin Louis Cauchy

Augustin Cauchy nació el 21 de agosto 1789 en París y murióel 24 de mayo de 1857 cerca de esa misma ciudad, en Sceaux.

Escuche el audio Newton, el cálculo, la luna y lasmanzanas en su multimedia de ElementosBásicos de Cálculo Diferencial.


2.1 Definición de límite

Sea a un punto de un intervalo abierto I, y sea f (x) una función definida en I exceptoposiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a es un real L

y se escribe lim ( )x a

f x L→

= , si y solamente si para cada 0∈ > existe un 0δ > tal

que para todo ,x I∈ ( )f x L− <∈ siempre que 0 .x a δ< − < (1)

Observaciones

1. La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:

0 ( ) ,x a f x Lδ< − < ⇒ − <∈

( ) ,x a x a f x Lδ− < ∧ ≠ ⇒−∈< − <∈

( ) ,x a x a L f x Lδ δ− < − < ∧ ≠ ⇒ −∈+ < < ∈+

( ) ,a x a x a L f x Lδ δ− < < + ∧ ≠ ⇒ −∈ < < +∈

( ) ( ), , ( ) , .x a a x a f x L Lδ δ∈ − + ≠ ⇒ ∈ −∈ +∈

La figura 2.1 ilustra gráficamente el significado de ∈ y δ en esta última implicación.Obsérvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo (a− δ, a + δ), los corres-pondientes f (x) pertenecen al intervalo (L− ∈, L + ∈).


Figura 2.1



2. El límite de una función no depende del valor de la función en el punto, aun-que algunas veces coincide, sino del valor de la función en las «cercanías»del punto.

Así por ejemplo, considérese la función f definida por:

22 1 si 1

( ) 1 5 si 1

x xx

f x xx

⎧ − −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

Vimos intuitivamente en la sección 1.1 que 1

lim ( ) 3x

f x→

= ; sin embargo, f (1) = 5.

Nótese que ( )( )

( )2 2 1 12 1

( ) 2 1si 1.1 1

x xx xf x x x

x x

+ −− −= = = + ≠

− −

De esta forma la función f (x), después de simplificarla, se puede escribir así:

2 1 si 1( )

5 si 1

x xf x

x

+ ≠⎧=⎨ =⎩

Su gráfica aparece en la figura 2.2. Nótese que los valores de f (x) están cerca de 3,cuando los valores de x están próximos a 1.

Figura 2.2

3. La definición de límite no establece la manera de determinar el δ para un ∈dado. En las demostraciones sobre límites el procedimiento está orientado adejar en claro cómo se puede determinar dicho δ. Algunas veces, como en losdos ejemplos de la sección siguiente, se puede establecer una relación entreδ y ∈ que satisface la definición y esto es suficiente para dar por terminadala demostración.

Módulo 2: Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función

.

Augustin Louis Cauchy

Augustin Cauchy no sólo fue uno de los impulsores delanálisis en el siglo XIX, sino que también investigó laconvergencia y la divergencia de las series infinitas,ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad yfísica matemática. En 1814 publicó la memoria de laintegral definida que llegó a ser la base de la teoría de lasfunciones complejas. Cauchy precisó los conceptos defunción, de límite y de continuidad en la forma casi actual,tomando el concepto de límite como punto de partida delanálisis y eliminando de la idea de función toda referenciaa una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobrela noción de correspondencia. Los conceptos aritméticosotorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hastaentonces apoyados en una intuición geométrica que quedaráeliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpeal demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas,es decir, curvas sin tangentes.

Numerosos términos matemáticos llevan su nombre:el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funcionescomplejas, las secuencias de Cauchy y las ecuacionesde Cauchy-Riemann. Cauchy produjo 789 escritos, perofue desaprobado por la mayoría de sus colegas. Mostróuna obstinada rectitud a sí mismo y un agresivo fanatismoreligioso.


Introducción

En este módulo se incluyen dos ejemplos que le enseñan al estudiante a encontrarel δ apropiado con el ∈ dado. No se pretende con ellos dar un esquema general dedemostración, sino, más bien, ilustrar el método directo de demostración.


1. Ilustrar la definición rigurosa de límite por medio de ejemplos, en los cualesdado el ,∈ se pide encontrar el correspondiente δ en concordancia con ladefinición.

Preguntas básicas

1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso (antes de responder, conside-re algunas propiedades del valor absoluto):

¿Si 2 1, y 25

∈− < − <x x , entonces 2 4x − < ∈?


3.1 Ejemplo 13.2 Ejemplo 2

Escogencia del delta (δ ) dado el épsilon ( )

3

El término elongación se utiliza en mecánica para indicarestiramiento de un resorte (dispositivo fabricado con unmaterial elástico, que experimenta una deformaciónsignificativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza).En el bungee jumping, por ejemplo, este dispositivo sueleestar arrollado y su elongación es proporcional a la fuerzaaplicada, con lo que el resorte puede calibrarse para medirdicha fuerza.

Relación épsilon-delta

Para ver los enlaces relacionados con este tema, visitela sección Sitios de Interés del curso ElementosBásicos de Cálculo Diferencial en la plataformaeducativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/

∈


3.1 Ejemplo 1

Usando la definición del límite de una función, demuestre que

2

1

2 1lim 3.

1x

x x

x→

− −=

−

Solución/Análisis preliminar

Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un 0δ > tal que

si 0 1 ,x δ< − < entonces

22 13 .

1

x x

x

− −− <∈

− (1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).

22 1 (2 1)( 1)3 3

1 ( 1)

x x x x

x x

− − + −− < ∈⇔ − < ∈

− − (factorizando),

(2 1) 3x⇔ + − < ∈ (simplificando, puesto que x − 1 ≠ 0),

2 2 ,x⇔ − <∈

1 1.2

x x∈

⇔ − < ∧ ≠ (2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se

puede escoger 2

δ ∈= (cualquier valor menor funciona).

Solución/Prueba formal

Dado 0,∈ > existe 02

δ ∈= > tal que:

0 1x δ< − < 1 1,x xδ⇒ − < ∧ ≠

1 1,2

x x∈

⇒ − < ∧ ≠

2 2 1,x x⇒ − <∈ ∧ ≠

(2 1) 3 1,x x⇒ + − < ∈ ∧ ≠

(2 1)( 1)3 ,

( 1)

x x

x

+ −⇒ − < ∈

−

22 13 .

( 1)

x x

x

− −⇒ − < ∈

−




El significado de la dependencia entre el ∈ y el δ es la siguiente: si una persona Arodea al valor y = 3 con una banda de ancho ∈, entonces B rodea el valor x = 1 conuna banda de ancho δ = ∈/2.

En particular, si en este ejemplo A escoge un ∈ = 0.01, entonces B responderá conun δ = 0.005. Si A propone ∈ = 0.0002, B escogerá δ = 0.0001 (cualquier valor menortambién cumple).

La gráfica de la función 22 1

( )1

x xy f x

x

− −= =

− es la misma que corresponde a la

recta de ecuación 2 1, con 1.y x x= + ≠

En la figura 3.1 aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de labanda alrededor del punto y = 3 es ∈, entonces el ancho de la banda alrededor delpunto x = 1 es δ = ∈/2.

Figura 3.1

3.2 Ejemplo 2

Usando la definición del límite de una función, demuestre que

2

2lim ( 4 7) 5.x

x x→−

− − =

Solución/Análisis preliminar

Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un 0δ > tal que si

0 ( 2)x δ< − − < , entonces 2( 4 7) 5 .x x− − − < ∈ (1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). Esto es,

2( 4 7) 5x x− − − < ∈ 2 4 12 ( 6)( 2) ,x x x x⇔ − − = − + < ∈

6 2 .x x⇔ − ⋅ + < ∈ (2)

Módulo 3: Escogencia del delta ( )δ dado el épsilon ( )ε


Para poder establecer una relación entre el δ de (1) y el ∈ de (2) debemos acotar el

factor 6x − .

Para ello, podemos asumir inicialmente que 2 1x+ < .

Así que 6 ( 2) 8 2 8 1 8.x x x− = + − ≤ + + − < +

Esto es, 6 9 2 6 2 9 .x x x x− < ∧ + < ⇒ − + <δ δ (3)

Comparando las desigualdades (2) y (3) se puede escoger /9δ = ∈ (cualquier

valor menor funciona).

Solución/Prueba formal

Dado ∈ > 0, existe δ ≤ mínimo 1,9

∈⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

tal que:

0 2 2 1 2 ,9

x x xδ ∈< + < ⇒ + < ∧ + <

6 ( 2) 8 2 8 9 2 ,9

x x x x∈

⇒ − = + − ≤ + + − < ∧ + <

6 2 9· ,9

x x∈

⇒ − ⋅ + <

6 2 ,x x⇒ − ⋅ + < ∈

2 4 12 ,x x⇒ − − < ∈

2( 4 7) 5 .x x⇒ − − − < ∈

Capítulo 1: Límites de funcione de variable real


Introducción

En este módulo se presentan, sin demostración, los teoremas más importantes delálgebra de los límites funcionales. Estos teoremas son al mismo tiempo herramien-tas útiles que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sintener que recurrir al empleo directo de la definición.


1. Establecer las propiedades de los límites de funciones (álgebra de límites) y laforma de usarlas en la solución de ejercicios.

2. Establecer la primera forma indeterminada y la manera de eliminarla factorizandoy/o racionalizando.

Preguntas básicas

Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

1. Si no existen los límites lim ( )x a

f x→

y lim ( )x a

g x→

, ¿pueden existir [ ]lim ( ) ( )x a

f x g x→

+

y lim ( ) ( )x a

f x g x→

?

2. Si existen los límites lim ( )x a

f x→

y [ ]lim ( ) ( )x a

f x g x→

+ , ¿debe existir lim ( )x a

g x→

?

3. Si existe lim ( )x a

f x→

y no existe lim ( ),x a

g x→

¿puede existir [ ]lim ( ) ( )x a

f x g x→

+ ?

4. Si existen los límites lim ( )x a

f x→

y lim ( ) ( ),x a

f x g x→

¿se sigue de ello que existe

lim ( )x a

g x→

?


4.1 Teorema 1: Unicidad del límite4.2 Teorema 2: Álgebra de límites4.3 Teorema 3: Límite de funciones iguales4.4 Teorema 4: Teorema del sánduche

Teoremas sobre límites

4

René Descartes

René Descartes nació en La Haye (hoy llamada Descartes)el 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo el 11 defebrero de 1650.


4.1 Teorema 1: Unicidad del límite

Si 1lim ( )x a

f x L→

= y 2lim ( ) ,x a

f x L→

= entonces 1 2.L L=

En palabras: si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único.

Una manera equivalente y de uso práctico de enunciar el teorema 1 es la siguiente:

si 1lim ( )x a

f x L→

= y 2lim ( )x a

f x L→

= y 1 2 ,L L≠ entonces lim ( )x a

f x→

no existe.

4.2 Teorema 2: Álgebra de límites

Sea n un entero positivo, K una constante real y f y g funciones tales que lim ( )x a

f x→

y

lim ( )x a

g x→

existen. Entonces:

1. lim .x a

K K→

= (el límite de una constante es la constante)

2. lim .x a

x a→

= (límite de la función identidad)

3. lim ( ) lim ( ).x a x a

K f x K f x→ →

⋅ = ⋅ (toda constante puede salir del límite)

4. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

+ = +

(el límite de una suma de funciones es la sumade los límites)

5. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).x a x a x a


− = −

(el límite de la diferencia de funciones es la di-ferencia de los límites)

6. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a


⋅ = ⋅

(el límite de un producto es el producto de loslímites)

7.

lim ( )( )lim

( ) lim ( )x a

x ax a

f xf x

g x g x→

→→

= siempre que lim ( ) 0x a

g x→

≠

(el límite de un cociente es el cociente de loslímites)

8. [ ]lim ( ) lim ( )nn

x a x af x f x

→ →⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (el límite de una función potencial es la potencia

del límite)




Consecuencias del teorema 2 (C.L.)

Si 1 2lim ( ), lim ( ),......, lim ( )nx a x a x af x f x f x

→ → → existen, entonces son válidas las siguientes

dos reglas (C.L1, C.L2):

C.L.1

[ ]1 2 1 2lim ( ) ( ) .... ( ) lim ( ) lim ( ) .... lim ( ).n nx a x a x a x a

f x f x f x f x f x f x→ → → →

± ± ± = ± ± ±

C.L.2

[ ]1 2 1 2lim ( )· ( )..... ( ) lim ( )·lim ( )····lim ( ).n nx a x a x a x a

f x f x f x f x f x f x→ → → →

=

C.L.3

Si n es un entero positivo, lim .n n

x ax a

→=

C.L.4

Como caso particular del límite de un cociente, se tiene que 1 1

lim si 0.x a

ax a→= ≠

En general, si n es un entero positivo y 0,a ≠ entonces 1 1

lim .n nx a x a→=

C.L.5

Límite de una función polinómica

Si 11 1 0( ) ...n n

n n nP x b x b x b x b−−= + + + + es un polinomio de grado n en x, entonces:

1 11 1 0 1 1 0lim .... .... .n n n n

n n n nx ab x b x b x b b a b a b a b− −

− −→⎡ ⎤+ + + + = + + + +⎣ ⎦

C.L.6

Límite de una función racional

Si m y n son enteros positivos, 0, 0,n mb c≠ ≠ entonces

1 11 1 0 1 1 0

1 11 1 0 1 1 0

.... ....lim .

.... ....

n n n nn n n n

m m m mx am m m m

b x b x b x b b a b a b a b

c x c x c x c c a c a c a c

− −− −

− −→− −

⎡ ⎤+ + + + + + + +⎣ ⎦ =+ + + + + + + +

siempre que 11 1 0.... 0.m m

m mc a c a c a c−−+ + + + ≠

4.3 Teorema 3: Límite de funciones iguales

Sean f (x) y g (x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto ay tales que:

1. ( ) ( )f x g x= para todo ,x I∈ excepto posiblemente en a.

Módulo 4: Teoremas sobre límites

René Descartes

Al dejar la escuela en 1612, René Descartes fue a París yuna vez allí, por medio de los jesuitas, renovó su contactocon el teólogo y filósofo Marin Mersenne, con quienconsagró dos años al estudio de la matemática. Tambiénconoció al filósofo Isaac Beeckman, con quien trabó unacalurosa amistad. Hacia 1626 se estableció en París dondese dedicó a la construcción de elementos ópticos hasta1629, cuando, influenciado por el Cardenal de Berulle,viajó a Holanda y escribió para el periódico Le Mondeuna teoría física del universo, pero convencido de queello le podría significar una enemistad con la Iglesia,decidió finalmente abandonar la idea, que recién sepublicaría en 1664. Se dedicó entonces a componer untratado de ciencia universal que f inalmente fuepublicado junto a dos apéndices en 1637. En 1641publicó otro trabajo llamado Meditaciones, que tratabasu posición en la filosofía. Luego, en 1644, publicó suPrincipia philosophiae, dedicado esencialmente a lafísica, en especial a las leyes de movimiento. Sin duda,la principal contribución de Descartes a la cienciamatemática fue su visión de que un punto cualquiera delplano geométrico podía representarse por medio de unpar ordenado (x, y) –llamadas luego, en honor a él,«coordenadas cartesianas»– que en definitivarepresentaban la distancia perpendicular desde los ejesdel sistema hasta dicho punto. En uno de sus libros, llamadoGéométrie, Descartes expone un análisis del álgebrageneral sentando las bases de un idioma que luegoresultaría universal. Es allí donde por primera vez denotacon las primeras letras del alfabeto aquellas cantidadesconocidas, y con las últimas las cantidades desconocidas,notación que ha prevalecido hasta la actualidad.


2. lim ( )x a

g x→

existe y es L.

Entonces, lim ( ) .x a

f x L→

=

Así por ejemplo, la función

22 5 3si 3

( ) 32 si 3

x xx

f x xx

⎧ − −≠⎪

−⎨⎪ =⎩

y la función ( ) 2 1g x x= + son iguales en todos los puntos del eje real, excepto en el

punto x = 3 (figura 4.1).

Pero 3 3

lim ( ) lim (2 1) 7x x

g x x→ →

= + = . Así que de acuerdo al teorema 3, 3

lim ( ) 7.x

f x→

=


Figura 4.1


Módulo 4: Teoremas sobre límitesObservación importante

Si en el ejemplo anterior evaluáramos directamente 3

lim ( ),x

f x→

se tendría que

2 2

3 3

2 5 3 2(3) 5(3) 3 0lim ( ) lim .

3 3 3 0x x

x xf x

x→ →

− − − −= = =

− −

El cociente 0 0 no es un número real y se conoce en el cálculo como una forma

indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sinembargo, usando manipulaciones algebraicas se puede transformar la función enuna función equivalente que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 3 coincidecon el límite de f (x).

Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculocomo «eliminar la indeterminación».

Así, 2

3 3

2 5 3 (2 1)( 3)lim lim

3 ( 3)x x

x x x x

x x→ →

− − + −=

− − (factorizando),

3

lim (2 1)x

x→

+ (simplificando),

= 2 · 3 + 1 = 7.

En los ejercicios resueltos 2, 3, 4, 5 y 6 al final del capítulo 1 se ilustra nuevamenteeste procedimiento.

4.4 Teorema 4: Teorema del sánduche

Sean f (x), g (x) y h (x) tres funciones definidas en un intervalo I, excepto posible-mente en el punto a I∈ y tales que:

1. ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ para todo .x I∈

2. lim ( ) lim ( ) .x a x a

f x h x L→ →

= =

Entonces, lim ( ) .x a

g x L→

=

Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece en la figura 4.2, será de

gran utilidad para demostrar que 0

senlim 1.t

t

t→= Igualmente, se usa en cálculo inte-

gral para calcular áreas bajo curvas, usando las llamadas sumas aproximantes.Vea la animación «Teorema del sánduche» ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Figura 4.2



.

Introducción

Al estudiar el límite de una función hemos analizado el comportamiento de f (x) enuna vecindad de L, cuando los valores de x pertenecen a una vecindad de a. Esdecir, valores de x mayores que a y valores de x menores que a.

En ocasiones sólo nos interesa conocer el comportamiento de f (x) cuando la x seencuentra cerca de a, pero por un lado concreto de dicho punto. De esta manerasurgen de modo natural los límites laterales o unilaterales de la función f (x).


1. Presentar la definición intuitiva de los límites laterales y establecer cuál es su relación con el límite de una función en un punto dado de su dominio

Preguntas básicas

1. Considere la función definida por:

1 si 0

( )1 si 0

xf x

x

≥⎧= ⎨− <⎩

Grafique la función y responda las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el valor de 0

lim ( )?x

f x→

b. ¿Cuál es el valor de 2

lim ( )?x

f x→


5.1 Ejemplo: necesidad del uso de los límites laterales5.2 Definiciones intuitivas de los límites laterales

5.2.1 Límite por la derecha5.2.2 Límite por la izquierda

5.3 Teorema: relación entre límite y límites laterales

Límites laterales5

Sonia (o Sofía) Kowalewski

Sonia (o Sofía) Kowalewski, cuyo nombre de soltera eraSonja Corvin-Kroukowsky, nació en Moscú el 15 de febrerode 1850 y murió en Estocolmo el 10 de febrero de 1890.


5.1 Ejemplo: necesidad del uso de los límites laterales

Considere la función f, definida por

2

2

3 si 1

( ) 1 si 1 3

4 si 3

x x

f x x x

x x

⎧ − ≤⎪= + < ≤⎨⎪ − >⎩

y cuya gráfica aparece en la figura 5.1.

Figura 5.1

Se desea conocer el valor de los siguientes límites:

a.1

lim ( ).x

f x→−

b.2

lim ( ).x

f x→

c.5

lim ( ).x

f x→

d.1

lim ( ).x

f x→

e.3

lim ( ).x

f x→

El problema ahora se reduce a «sustituir» apropiadamente f (x) en cada uno de losliterales anteriores.

a. Nótese que en las «cercanías» de x = − 1 la función f (x) es 2( ) 3f x x= − .

Así que ( )2

1 1lim ( ) lim 3 2.x x

f x x→− →−

= − =



Escuche el audio Weierstrass y Sofía en sumultimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Módulo 5: Límites laterales

b. Igualmente, en las «cercanías» de 2x = la función f (x) es ( ) 1f x x= + .

De esta forma, ( )2 2

lim ( ) lim 1 3.x x

f x x→ →

= + =

c. También en las «cercanías» de x = 5 la función f (x) es f (x) = x2 − 4. Por tanto,

( )2

5 5lim ( ) lim 4 21.x x

f x x→ →

= − =

Ahora nótese en la figura 5.1 que para los valores de x anteriores al 1, (x < 1), f (x)viene dada por f (x) = 3 − x2, mientras que para los valores de x próximos a 1, peroposteriores a 1, (x > 1), f (x) viene dada por f (x) = x + 1. ¿Cuál es entonces la f (x)apropiada para sustituir en la parte d? En situaciones como ésta, es útil y naturalintroducir los llamados límites laterales.

El símbolo 1x −→ significa que x se aproxima a 1 por la izquierda (por valoresmenores que 1).

El símbolo 1x +→ significa que x se aproxima a 1 por la derecha (por valoresmayores que 1).

En el caso particular que interesa, se tiene que

d. ( )2

1 1lim ( ) lim 3 2,x x

f x x− −→ →

= − = (1)

( )1 1

lim ( ) lim 1 2.x x

f x x+ +→ →

= + = (2)

Igualmente, en el caso e ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir,

2( ) 1 si 3, y ( ) 4 si 3.f x x x f x x x= + ≤ = − >

Así que:

e. ( )3 3

lim ( ) lim 1 4,x x

f x x− −→ →

= + = (3)

( )2

3 3lim ( ) lim 4 5.x x

f x x+ +→ →

= − = (4)

En general, denotamos por x a+→ para expresar que x se aproxima al valor a por

la derecha. Esto es, por valores de x > a. Y denotamos por x a−→ para expresarque x se aproxima al valor a por la izquierda. Esto es, por valores de x, x < a.

Lo anterior nos permite dar una definición informal de los límites laterales.

Sonia (o Sofía) Kowalewski

A los 15 años de edad, Sonia Kowaleski comenzó el estudiode la matemática y luego se matriculó en la Universidad deHeidelberg. De extraordinario talento, no sólo fue la mujermatemática más conocida de los tiempos modernos, sinoque también consiguió una reputación como directora delmovimiento para la emancipación de las mujeres,particularmente por lo que se refiere a su supuestaincapacidad en el campo de la educación superior. Ademásfue una brillante escritora. Después de haber compuestosu trabajo matemático más importante (La memoriapremiada), se dedicó a la literatura como un descanso yescribió los recuerdos de su infancia en Rusia en forma denovela, que fue publicada primero en sueco y en danés.Esta obra dio lugar al siguiente comentario: «La críticaliteraria de Rusia y de los países escandinavos fue unánimeal declarar que Sonja Kowalewski estaba a igual altura, enestilo y pensamiento, que los mejores escritores de laliteratura rusa».


5.2 Definiciones intuitivas de los límites laterales

5.2.1 Límite por la derecha

Decir que lim ( )x a

f x L+→

= significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a,

entonces f (x) está cerca de L.

5.2.2 Límite por la izquierda

Decir que lim ( )x a

f x L−→

= significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de a,

entonces f (x) está cerca de L.

Observación

Decir que x a−→ es diferente a decir que .x a→ −

El siguiente teorema, cuya demostración se deja para el lector, establece la relaciónque existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales.

5.3 Teorema: relación entre límite y límites laterales

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x a x ax a

f x L f x L f x L+→ → −→

= ⇔ = ∧ =

Observaciones

1. Otra forma equivalente de enunciar el teorema 5.3 es la siguiente: lim ( )x a

f x→

no

existe si y sólo si no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, sondiferentes.

2. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no dellímite de una función; en particular, para la función inicial de estudio en estemódulo se deduce de (1) y (2) que:

1lim ( )x

f x→

existe y 1

lim ( ) 2,x

f x→

= puesto que 1 1

lim ( ) lim ( ) 2x x

f x f x+ −→ →

= = .

De igual forma, de (3) y (4) se deduce que:

3lim ( )x

f x→

no existe, ya que 3 3

lim ( ) 5 lim ( ) 4.x x

f x f x+ −→ →

= ≠ =



Ejercicios resueltos

1. Usando la definición rigurosa de límite de una función, pruebe que ( )5

lim 9 3 6.x

x→

− = −

Solución

Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un 0δ > tal que

0 5 (9 3 ) ( 6) .x x< − < ⇒ − − − < ∈δ (1)

Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(9 3 ) ( 6)x− − − < ∈ 9 3 6 ,x⇔ − + <∈

15 3 ,x⇔ − <∈

3 15 ,x⇔ − < ∈

3 5x⇔ − <∈ (factorizando),

5 .3

x∈

⇔ − < (2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger 3

δ ∈= (por supuesto,

cualquier valor menor funcionará para ∈).

Prueba formal

Dado 0,∈ > existe 03

δ ∈= > tal que

0 5x δ< − < 5 ,3

x∈

⇒ − <

3 15 ,x⇒ − <∈

15 3 ,x⇒ − <∈

9 3 6 ,x⇒ − + < ∈

( ) ( )9 3 6 .x⇒ − − − < ∈

En particular, si A escoge 0.01∈ = en este ejemplo, entonces B responderá con un 0.01 3 0.0033.δ = = Si A propone

0.000003,∈ = B escogerá 0.000001δ = (cualquier valor menor también satisface).

Al graficar la recta ( ) 9 3y f x x= = − (figura 1) se nota que para obligar a (9 3 )x− a estar cerca de 6− se debe obligar

a x a que esté cerca de 5.

Ejercicios de los módulos 1 al 5

Ejercicios del capítulo 1 (módulos 1 al 5)


Figura 1

2. Considere la función definida por ( ) nf x x= con n∈ . Evalúe el siguiente límite: 0

(2 ) (2)lim .h

f h f

h→

+ −

Solución

0 0

(2 ) (2) (2 ) 2lim lim .

n n

h h

f h f h

h h→ →

+ − + −= (1)

Si evaluamos directamente el último límite se tendría (2 0) 2 0

0 0

n n+ −= (indeterminado).

Se puede eliminar la indeterminación factorizando el numerador de la fracción (1), así:

0

(2 ) 2lim

n n

h

h

h→

+ − [ ] 1 2 3 2 1

0

(2 ) 2 (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2lim ,

n n n n

h

h h h h

h

− − − −

→

⎡ ⎤+ − + + + ⋅ + + ⋅ + +⎣ ⎦=

1 2 3 2 1

0

(2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2lim ,

n n n n

h

h h h h

h

− − − −

→

⎡ ⎤+ + + ⋅ + + ⋅ + +⎣ ⎦=

1 2 3 2 1lim (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2 ,n n n n

h

n-términos

h h h− − − −

→∞⎡ ⎤= + + + ⋅ + + ⋅ + +⎣ ⎦

1 1 1 12 2 2 .... 2 ,n n n n

n-términos

− − − −= + + + +

12 .nn −= ⋅



3. Evalúe el siguiente límite: 4

4lim .

2x

x

x→

−−

Solución

Si se aplica directamente el límite de un cociente, se llega a la forma indeterminada 0

0. Se puede eliminar la indeter-

minación racionalizando el denominador y simplificando, así:

4

4lim

2x

x

x→

−− 4

( 4)( 2)lim ,

( 2)( 2)x

x x

x x→

− +=

− +

2 24

( 4)( 2)lim ,

( ) 2x

x x

x→

− +=

−

4

( 4)( 2)lim ,

4x

x x

x→

− +=

−

4lim( 2) 4 2 4.x

x→

= + = + =

4. Evalúe el siguiente límite: 4

2 1 3lim .

2 2x

x

x→

+ −− −

Solución

Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada 0.

0 Para tratar de eliminar la indeterminación, se mul-

tiplican el numerador y el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador, así:

4

2 1 3lim

2 2x

x

x→

+ −− − 4

( 2 1 3)( 2 2)lim ,

( 2 2)( 2 2)x

x x

x x→

+ − − +=

− − − +

4

( 2 1 3)( 2 2)lim ,

( 2) 2x

x x

x→

+ − − +=

− −

4

( 2 1 3)( 2 2)lim .

4x

x x

x→

+ − − +=

−

Al sustituir nuevamente x por 4, en la última expresión, continúa la indeterminación 0

0. Para eliminarla, se multiplican

el numerador y el denominador de la última fracción por ( 2 1 3),x + + que es el conjugado de ( 2 1 3)x + − y que

está produciendo nuevamente la indeterminación. Por tanto,



4

2 1 3lim

2 2x

x

x→

+ −− − 4

( 2 1 3)( 2 2)( 2 1 3)lim ,

( 4)( 2 1 3)x

x x x

x x→

+ − − + + +=

− + +

4

(2 1 9)( 2 2)lim ,

( 4)( 2 1 3)x

x x

x x→

+ − − +=

− + +

4

2( 4)( 2 2)lim ,

( 4)( 2 1 3)x

x x

x x→

− − +=

− + +

4

2( 2 2) 4 2 2 2lim .

6 3( 2 1 3)x

x

x→

− += = =

+ +

5. a. Use el teorema del sánduche para demostrar que si t está expresado en radianes, entonces 0

senlim 1t

t

t→= .

b. Demuestre que 0

1 coslim 0.t

t

t→

−=

Solución

a. Considere el círculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura 2 y en el cual se han trazado elsector circular OAP, el triángulo OAP y el triángulo rectángulo OAQ.

La ecuación de la recta que pasa por O y P viene dada por sen

cos

ty x

t= .

En particular, cuando x = 1, se obtiene el punto Q sobre la recta y cuyas coordenadas aparecen en la figura 2.

Figura 2



Consideremos inicialmente 0 / 2.t π< <Claramente de la gráfica se deduce que:

Área del triángulo OAP < área sector circular OAP < área de triángulo OAQ. (1)

Pero, área del triángulo 1·sen sen

,2 2

t tOAP = = (2)

área del sector circular 21 ·

,2 2

t tOAP = = (3)

área del triángulo

sen1 ·

sencos,

2 2cos

t

ttOAQ

t= = (4)

Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1), se obtiene:

sen sen sensen .

2 2 2cos cos

t t t tt t

t t< < ⇔ < < (5)

De la desigualdad sen t < t se obtiene:

2 2sen sen 0 y 0 .2

t t t tπ⎛ ⎞< > < <⎜ ⎟

⎝ ⎠

Es decir, 2 21 cos 21 2 cos 2 .

2

tt t t

−< ⇔ − <

En particular, reemplazando t por 2

t en la última desigualdad, se dice que:

211 cos .

2t t− < (6)

De (5) también se tiene

sencos 1.

tt

t< < (7)

Por tanto, de (6) y (7) se obtiene que si 0 ,2

tπ

< < entonces

21 sen1 1.

2

tt

t− < < (8)



Ahora, si 0, 0 ,2 2

t tπ π

− < < < − < es decir ( )t− verifica la desigualdad (8). Esto es,

2 21 sen ( ) 1 sen1 ( ) 1 1 1.

2 2

t tt t

t t

−− − < < ⇔ − < <

−

En conclusión:

21 sen1 1 para todo , y 0.

2 2 2

tt t t

t

π π⎛ ⎞− < < ∈ − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

Ahora,

2

0 0

1lim (1 ) 1 lim1.

2t tt

→ →− = =

En consecuencia, por el teorema del sánduche se concluye que 0

senlim 1.t

t

t→=

b.0

1 coslimt

t

t→

− tiene la forma indeterminada

0

0.

Para eliminar la indeterminación, multipliquemos el numerador y el denominador por la cantidad positiva

1 cos .t+ Esto es,

0

1 coslimt

t

t→

− 0

(1 cos )(1 cos )lim ,

(1 cos )t

t t

t t→

− +=

+

2

0

1 coslim ,

(1 cos )t

t

t t→

−=

+

2

0

senlim ,

(1 cos )t

t

t t→=

+

0

sen 1lim sen ,

1 cost

tt

t t→

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ +⎝ ⎠

11 0 0.

2= ⋅ ⋅ =

6. Use el ejercicio 5 para evaluar los siguientes límites trigonométricos:

a.0

senlim

senx

x

x

αβ→ , siendo ,α β constantes reales, 0, 0α β≠ ≠ .

b.0

tan 2lim .

senx

x

x→



c.0

sen 5 sen 3lim .x

x x

x→

−

d.0

sen senlim .x

x a

x a→

−−

Solución

a. Antes de evaluar el límite, el cociente sen

sen

x

x

αβ puede transformarse así:

sen sen 1 sen 1.

sensen sen

x x xx

xx x x xxx x

α α α ααββ α β α ββ

β β

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

De esta forma,

0 0

sen sen 1lim lim ,

sen senx x

x x

x x xx

α α αβ β α β

β

→ →

⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

0

sen 1lim (álgebra de límites).

senx

x

x x

x

→

⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

α αβ α β

β

Ahora, decir que 0 0 y 0.x x xα β→ ⇔ → → Por tanto,

0 0

sen senlim lim 1.x x

x x

x x→ →= =

α

α αα α

También,

0 0

sen senlim lim 1.x x

x x

x x→ →= =

α

β ββ β

Por tanto,

0

sen 1lim 1 .

sen 1x

x

x→= ⋅ ⋅ =

α α αβ β β

b. El límite es indeterminado 0

0. Pero,

tan 2 sen 2 2sen cos 2cos.

sen cos 2 sen cos 2 sen cos 2

x x x x x

x x x x x x= = =

⋅ ⋅



Por tanto,

0 0

tan 2 2cos 2cos0 2 1lim lim 2.

sen cos 2 cos0 1x x

x x

x x→ →

⋅= = = =

c. Antes de evaluar el límite, se simplifica la fracción

sen5 sen3.

x x

x

−

Esto es,

sen 5 sen 3x x

x

− sen(3 2 ) sen 3,

x x x

x

+ −=

sen 3 cos 2 sen 2 cos3 sen 3

(factorizando),x x x x x

x

⋅ + ⋅ −=

sen 2 cos3 sen 3 (1 cos 2 )

,x x x x

x x

⋅ −= −

sen 2 1 cos2

2 cos3 2sen3 .2 2

x xx x

x x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Así que:

0 0

sen 5 sen 3 sen 2 1 cos 2lim lim 2 cos3 2sen 3 .

2 2x x

x x x xx x

x x x→ →

− ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Pero,

0 0 0 0

sen 2 1 cos 2lim 1, lim cos3 1, lim sen 3 0, y lim 0.

2 2x x x x

x xx x

x x→ → → →

−= = = =

Por tanto,

0

sen 5 sen 3lim 2 1 1 2 0 0 2.x

x x

x→

−= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

El objetivo del procedimiento anterior es usar los dos límites fundamentales del ejercicio 5. Un procedimientomás sencillo se da al reemplazar (sen 5x − sen 3x) por (2 sen x ⋅ cos 4x).

d. Nótese que al sustituir directamente x por a resulta la indeterminación 0

0. Para eliminar la indeterminación,

se hace un cambio de variable y luego se simplifica la fracción resultante. Esto es, sea y = x − a (x→ a⇔ y→ 0).



También,

sen sen sen( ) sen,

x a y a a

x a y

− + −=

−

sen cos sen cos sen,

y a a y a

y

⋅ + ⋅ −=

sen cos sen (1 cos )(factorizando),

y a a y

y

⋅ − ⋅ −=

sen cos sen (1 cos ),

y a a y

y y

⋅ ⋅ −= −

sen 1 coscos sen .

y ya a

y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por tanto,

sen senlimx a

x a

x a→

−−

0

sen 1 coslim cos sen ,y

y ya a

y y→

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(cos ) 1 (sen ) 0 cos .a a a= ⋅ − ⋅ =

7. Encuentre el valor del siguiente límite o establezca que no existe: 1

1lim , 1.

1x

xx

x→

−≠

−

Solución

De acuerdo con la definición del valor absoluto, se tiene que

( ) ( )1 si 1 0 1 si 1

1 11 si 1 0 1 si 1

x x x xx x

x x x x

− − ≥ − ≥⎧ ⎧⎪ ⎪− = ⇔ − =⎨ ⎨− − − < − − <⎪ ⎪⎩ ⎩

De esta forma:

1 11, si 1,

1 1

x xx

x x

− −= = >

− −

( )( )

1 11, si 1.

1 1

x xx

x x

− − −= = − <

− −

La función 1

( ) , 1,1

xf x x

x

−= ≠

− puede escribirse entonces como una función a tramos, así:



1 1 si 1( )

1 si 11

x xf x

xx

− >⎧= = ⎨− <− ⎩

Su gráfica aparece en la figura 3.

Figura 3

Ahora,

1 1

1

1 1

lim ( ) lim( 1) 1lim ( )

lim ( ) lim(1) 1x x

x

x x

f xf x no existe

f x

− −

+ +

→ →

→→ →

= − = − ⎫⎪⇒⎬= = ⎪⎭

8. Considere la función a tramos definida por:

( )

2 si 2

si 2 2

2 5 si 2

x x

f x ax b x

x x

⎧ ≤ −⎪= + − < <⎨⎪ − ≥⎩

Encuentre el valor de las constantes a y b para que 2 2

lim ( ) y lim ( )x x

f x f x→− →

existan.

Solución

El siguiente diagrama (figura 4) recoge la información obtenida de f:

Figura 4

2 2 2lim ( ) existe lim ( ) y lim ( ) existenx x x

f x f x f x+ −→− →− →−

⇔



y además

2 2lim ( ) lim ( ).

x xf x f x

+ −→− →−=

Pero

2 2lim ( ) lim ( ) 2 ,

x xf x ax b a b

+ +→− →−= + = − + (1)

2

2 2lim ( ) lim ( ) 4.

x xf x x

− −→− →−= = (2)

De (1) y de (2) se sigue que 2 4.a b− + = (3)

Igualmente,

2 2 2lim ( ) existe lim ( ) y lim ( ) existen, y ademásx x x

f x f x f x+ −→ → →

⇔

2 2lim ( ) lim ( ),x x

f x f x+ −→ →

= (4)

Pero

2 2lim ( ) lim (2 5) 1,x x

f x x+ +→ →

= − = −

2 2lim ( ) lim ( ) 2 .x x

f x ax b a b− −→ →

= + = + (5)

De (4) y (5) se sigue que 2 1.a b+ = − (6)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene que

5 3y .

4 2a b= − =

Con estos valores obtenidos, la función f se transforma en:

2 si 2

5 3( ) si 2 2

4 22 5 si 2

x x

f x x x

x x

⎧ ≤ −⎪⎪= − + − < <⎨⎪

− ≥⎪⎩

La gráfica de esta función aparece en la figura 5.



Figura 5

Ejercicios propuestos

1. Use la definición ( )∈ − δ del límite de una función para probar que:

a. 4

lim(3 7) 5.x

x→

− = b. 2

2

2 3 2lim 5.

2x

x x

x→

− −=

−c. lim( ) .

x amx b ma b

→+ = +

d. lim , 0.x c

x c c→

= > e. 2

3lim( 5) 7.x

x x→

+ − = f. 1 1

lim , 0.x c

cx c→= ≠

2. Evalúe los siguientes límites:

a. 2

3

4 36lim .

3x

x

x→

−−

b. 1

3 10lim .

1x

x

x→

− −−

c. 3

41

3 2lim .

4 3x

x x

x x→

− +− +

d. 4

3lim (2 3 ).x

x x→−

− e. 4 5

1lim .

1x

x x

x→

−−

f. 2

22

5 6lim .

12 20x

x x

x x→

− +− +

g. 3

3

27lim .

3x

x

x→

−+

h. 3 3

0

( )lim .h

x h x

h→

+ −i.

4

2 1 3lim .

2 2x

x

x→

+ −− −

j. 3 2

22

2 7lim .

7x

x x

x→

− +

+k.

0

1 1 1lim .

2 2x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠l.

0

1 1lim .x

x

x→

+ −

m. 2

331

2 1lim .

1x

x x

x→

− +−

n. ( )3 2

0

1 1lim .h

h

h→

+ −o.

3

1

1lim .

1x

x

x→

−−



p. 22

2lim .

4x

x

x→

−−

q. lim .n n

x y

x y

x y→

−− r.

2 2

2 20lim .x

x p p

x q q→

+ −

+ −

3. Encuentre el valor de cada uno de los siguientes límites o establezca que no existen:

a. 1

1lim .

1x

x

x→

−−

b. 1

1lim .

1x

x

x−→

−−

c.

2

1

1 1lim .

1x

x x

x−→

− − −− d.

1

1 1lim .

1 1x x x−→

⎡ ⎤−⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

4. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones y encuentre luego los límites dados o establezca que no existen.

a. ( )

2

2

si 0

si 0 1

1 si 1

x x

f x x x

x x

⎧ ≤⎪= < <⎨⎪ + ≥⎩

b. ( )2

1 si 1

1 si 1 2

5 si 2

x x

g x x x

x x

⎧− + ≤⎪= − < <⎨⎪ − ≥⎩

0 1

lim ( ); lim ( ).x x

f x f x→ →

1 2

lim ( ); lim ( ).x x

g x g x→ →

5. Pruebe que si f (x) ≤ g (x) en algún intervalo abierto que contiene al punto a (excepto posiblemente en a), y si

lim ( )x a

f x L→

= y lim ( ) ,x a

g x M→

= entonces .L M≤

6. Evalúe cada uno de los siguienes límites trigonométricos:

a. 0

sen 3limθ

θθ→

b. 2

0lim

senθ

θθ→ c.

0

senlim

senθ

αθβθ→

, ,α β const , 0α β ≠

d. 2

1

1 lim

senx

x

xπ→

−e.

2

21

sen ( +1)lim

( 2 1)x

x

x x→− + + f. 20

tan senlimx

x x

x→

−

g. 0

sen 4lim

4x

x

x→h.

2

20

3senlimx

x

x→i.

2 2

0lim · cscx

x xα→

j. 0

1 coslimx

x

x

αβ→

−k.

senlimx

x

xπ π→ −l.

0lim

1 cosx

x

x+→ −

m. 2

0

3lim

sent

t t

t→

+n.

2

tan( )lim

2t

t

t

π→− +

o. 20

1 coslimx

x

x→

−

p. 4

cos senlim

1 tanx

x x

xπ→

−−

q. 0

tanlim

senx

x x

x→

+


«La única manera de educar es dando unejemplo, a veces un ejemplo espantoso».

Albert Einstein

Presentación

En el capítulo 1 nos ocupamos del concepto más importante del cálculo infinitesimal:el concepto del límite funcional. En este capítulo analizaremos el concepto mate-mático de continuidad, que está íntimamente relacionado con el de límite y que,igual que éste, no fue enunciado con toda claridad y rigor hasta el siglo XIX, porobra del gran matemático francés Augustin Cauchy, llamado el «padre del análisismatemático».

La continuidad está ligada a una propiedad geométrica de la gráfica de una función:no está «rota» o «interrumpida» cuando se traza en el plano cartesiano; además,permite establecer una gran división de las funciones en continuas y discontinuas(no continuas). La mayoría de las funciones que se van a presentar en los temassiguientes del curso son funciones continuas. De hecho, en el próximo capítuloveremos que algunas de estas funciones son a las que se les puede calcular suderivada.

2Continuidad de


Capítulo 2

Contenido Breve

Módulo 6Idea intuitiva y definición defunción continua

Módulo 7Teoremas sobre funciones continuas

Módulo 8Continuidad en un intervalo


La trayectoria descrita por el balón, desde que sale de los pies del jugador hasta que llega al arco, es uno de los miles de ejemplos defunciones continuas en intervalos cerrados.


Introducción

En el lenguaje cotidiano le hemos dado a la palabra continuidad la connotación de«ausencia de interrupciones». Así, cuando se dice que «se trabajará en jornadacontinua de 8:00 a.m. a 4:00 p.m.», se quiere manifestar que el trabajo no tieneinterrupciones durante el periodo establecido.

Como se dijo en la presentación inicial, en cálculo la continuidad de una funciónsignifica que su gráfica no está «rota» o «interrumpida» cuando se traza en el planocartesiano.


1. Ilustrar por medio de gráficas cuándo una función es continua y cuándo es dis-continua en un punto de su dominio.

2. Clasificar las discontinuidades de una función y establecer la condición para«removerla» o «evitarla».

Preguntas básicas

1. Una empresa de teléfonos propone la siguiente tarifa para llamadas internaciona-les: el primer minuto o fracción cuesta $1.200; el minuto adicional o fraccióncuesta $800. Elabore un gráfico del costo C (t) en función del tiempo para losprimeros cuatro minutos y con ella responda las siguientes preguntas:

a. Si 1 2,t< ≤ ¿entonces C(t) = ?

b. Si 2 3,t< ≤ ¿entonces C(t) = ?c. ¿En qué instantes cambia la tarifa?


6.1 Idea intuitiva de continuidad6.2 Definición de función continua en un punto6.3 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidades

6Idea intuitiva y definición de funcióncontinua

Karl Weierstrass

Karl Weierstrass nació en Ostenfelde (actual Alemania) en1815 y murió en Berlín en 1897.


6.1 Idea intuitiva de continuidad

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica noaparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene «huecos». En la figura 6.1aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en elpunto x a= de su dominio (figuras 6.1a y 6.1b) y la otra continua en todo sudominio (figura 6.1c).

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real

a

b



Figura 6.1

Al mirar con cuidado las gráficas de la figura 6.1 se pueden deducir intuitivamenteresultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de loque significa ser una función continua en un punto dado de su dominio.

En la gráfica de la figura 6.1a se tiene que:

i. lim ( ) lim ( ) lim ( ) (existe).x ax a x a

f x f x L f x L− + →→ →

= = ⇔ =

ii. ( )f a (existe).

Pero lim ( ) ( )x a

f x L f a→

= ≠ (por esta razón f es discontinua).

¿Qué le sucede a la gráfica si ( ) ?f a L=

Para la gráfica de la figura 6.1b se tiene que:

i. 1 2lim ( ) lim ( ) lim ( ) (no existe).x ax a x a

f x L f x L f x− + →→ →

= ≠ = ⇔

(por esta razón f es discontinua).

ii. 1( ) (existe).f a L=

Finalmente, para la gráfica de la figura 6.1c se tiene que:

i. lim ( ) lim ( ) lim ( ) (existe).x ax a x a

f x f x L f x L+ − →→ →

= = ⇔ =

ii. ( ) (existe).f a

iii. lim ( ) ( ).x a

f x f a→

=

Módulo 6: Idea intuitiva y definición de función continuac

Karl Weierstrass

Con 14 años, Karl Weierstrass fue aceptado en la escuelacatól ica de enseñanza secundaria de Paderborn(Alemania). G a n ó a l g u n o s p r e m i o s a n t e s d egraduarse, y en 1839 fue aceptado en la Academia deTeología y Filosofía de Münster, donde encontró lai n sp i ra c i ón m a te m á t i c a d e m a n os de Chr is t ofGuderman. Su primer escrito importante, publicadoen 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.Durante los quince años siguientes se dedicó a dar claseen una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envióun trabajo sobre funciones abelianas a una publicaciónmatemática de prestigio y sorprendió a la comunidadmatemática con su genio. Por este trabajo recibió eldoctorado honorífico de la Universidad de Königsbergy en 1856 fue aceptado como profesor asociado en laUniversidad de Berlín. Tras una crisis nerviosa sufridaen 1861, fue ascendido a profesor, cargo que ostentóel resto de su v ida. Infortunadamente, t ras losataques públicos de Leopold Kronecker por su apoyo alas ideas de Georg Cantor, y la muerte de su amigaSonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó elresto de su vida en una silla de ruedas hasta que murióvíctima de una neumonía.


Estas tres condiciones son las que en última instancia permiten deducir intuitivamenteque la función cuya gráfica aparece en la figura 6.1c es continua en el punto a.

Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición:

6.2 Definición de función continua en un punto

Una función f es continua en x a= si y sólo si se satisfacen las siguientes condi-ciones:

i. ( ) existe.f a

ii. lim ( ) existe.x a

f x→

iii. lim ( ) ( ).x a

f x f a→

=

Observaciones

i. Si en la definición anterior sustituimos lim ( )x a

f x→

por lim ( )x a

f x+→

o por lim ( ),x a

f x−→

se dice entonces que f es continua a la derecha y a la izquierda, respectiva-mente, del punto x = a.

ii. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto la con-dición iii de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a si y sólo si

lim ( ) ( )x a

f x f a→

= .

iii. Si en la definición de continuidad se hace x = a + h, con a y (a + h) en el dominio

de f, se dice entonces que f es continua en a si y sólo si 0

lim ( ) ( ).h

f a h f a→

+ =

6.3 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidades

Si al menos una de las tres condiciones establecidas en 6.2 deja de cumplirse, se diceque f es discontinua (no continua) en x = a.

Si f es discontinua en x = a y lim ( )x a

f x→

existe pero es diferente de f (a), se dice que

la discontinuidad es removible o evitable. En caso contrario, se dice que la discon-tinuidad es esencial.

Así por ejemplo, la gráfica de la figura 6.1a corresponde a la gráfica de una funcióncon discontinuidad removible o evitable en x = a, mientras que la gráfica de lafigura 6.1b corresponde a una discontinuidad esencial en x = a.

Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto se usa la frase«remover la discontinuidad» para indicar que se puede redefinir la función hacien-

do que ( ) lim ( ),x a

f a f x→

= y de esta manera obtener una nueva función continua en

x = a.


Vea la animación «Funciones continuas ydiscontinuas» en su multimedia de ElementosBásicos de Cálculo Diferencial.


Considere por ejemplo la función f definida por

2 1 si 0

( ) 3 si 0

2 1 si 0

x x

f x x

x x

⎧ + <⎪= =⎨⎪ + >⎩

La gráfica de la función aparece en la figura 6.2.

Figura 6.2

Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene que:

i.

2

0 0

0

0 0

lim ( ) lim ( 1) 1lim ( ) 1 (existe).

lim ( ) lim (2 1) 1x x

x

x x

f x xf x

f x x

− −

+ +

→ →

→

→ →

⎫= + = ⎪⇒ =⎬= + = ⎪⎭

ii. (0) 3 (existe).f =

Pero 0

lim ( ) 1 (0) 3x

f x f→

= ≠ = , lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora,

como 0

lim ( ) (0),x

f x f→

≠ la discontinuidad es evitable.

Se puede entonces «remover» o «evitar» la discontinuidad redefiniendo la función

de tal forma que 0

lim ( ) (0).x

f x f→

= Esto es, redefiniendo f así:

2 1 si 0

( ) 1 si 0

2 1 si 0

x x

f x x

x x

⎧ + <⎪= =⎨⎪ + >⎩

Esta nueva función es continua en x = 0.

Módulo 6: Idea intuitiva y definición de función continua


Es de anotar que la función f se ha redefinido y, por tanto, no se trata de la mismafunción. ¿Por qué?

En los ejercicios al final del capítulo (módulos 6 al 8), puede mirar otros ejemplossobre funciones continuas y discontinuas.



Introducción

Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantespropiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útilesque permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrirdirectamente al empleo de la definición.


1. Establecer las propiedades de las funciones continuas y la manera de usarlas en la solución de ejercicios.2. Relacionar la continuidad con el límite de la función compuesta.

Preguntas básicas

Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

Sean f (x) y g(x) dos funciones:

1. Si ( )( )f g x+ es continua en x = a, ¿entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a?

2. Si ( )( )f g x⋅ es continua en x = a, ¿entonces f y g son continuas en x = a?


7.1 Teoremas sobre funciones continuas7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuas7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuesta

7Teoremas sobre funciones continuas

Leonhard Euler

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea,Suiza, y falleció el 18 de septiembre 1783 en SanPetersburgo, Rusia.


7.1 Teoremas sobre funciones continuas

7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuas

Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

i. (f + g) es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es una funcióncontinua.)

ii. (f − g) es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es unafunción continua.)

iii. (f ⋅ g) es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es unafunción continua.)

iv.f

g

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es continua en x = a, si g (a) ≠ 0. (El cociente de dos funciones conti-

nuas es una función continua.)

Consecuencias

CC1: La función polinómica es continua en todo punto del eje real

En efecto, sea 11 1 0( ) ....n n

n n nP x a x a x a x a−−= + + + + una función polinómica

de grado n y sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente elteorema 1 en sus partes i e iii se obtiene que:

11 1 0lim ( ) .... ( ),n n

n n n nx aP x a a a a a a a P a−

−→= + + + + = y de aquí, ( )nP x es una fun-

ción continua en todo punto del eje real.

CC2: Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el deno-minador de la función

Demostración: aplicar el teorema 1.

7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuesta

Sean f y g dos funciones tales que f es continua en b y lim ( ) .x a

g x b→

= Entonces,

( )lim( )( ) lim ( ( )) lim ( ) ( ).x a x a x a

f g x f g x f g x f b→ → →

= = =

Consecuencias

CC3

Si lim ( ) , entonces lim ( ) lim ( ) .nn nx a x a x a

f x b f x f x b→ → →

= = =

Cuando n sea par, se debe cumplir además que 0b > .




CC4

Si lim ( ) , entonces lim ( ) lim ( ) .x a x a x a

f x b f x f x b→ → →

= = =

Las consecuencias CC3 y CC4 se expresan respectivamente en palabras de la si-guiente manera: «El límite de la raíz n-sima es la raíz n-sima del límite» y «El límite delvalor absoluto es el valor absoluto del límite».

CC5: Continuidad de la función compuesta

Si g es continua en a, y f es continua en g(a), entonces ( )( ) ( ( ))f g x f g x= es

continua en a.

Ejemplo 1

En este ejemplo se quiere dar respuesta a la primera pregunta básica. Es decir, ¿si(f + g) (x) es continua en x = a, entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a?

Solución

La implicación formulada es falsa. En efecto, sean

1 si 0

( ) 0 si 0

1 si 0

x x

f x x

x x

+ <⎧⎪= =⎨⎪ − >⎩

1 si 0

( ) 0 si 0

1 si 0

x

g x x

x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩

cuyas gráficas aparecen en la figura 7.1.

Módulo 7: Teoremas sobre funciones continuas

Leonhard Euler

A una edad temprana, Leonhard Euler fue enviado a laUniversidad de Basilea, donde atrajo la atención de JeanBernoulli. A los 17 años de edad obtuvo un doctorado y a los19 envió dos disertaciones a la Academia de París, una sobrearboladura de barcos y la otra sobre la filosofía del sonido.Euler partió en 1727, año de la muerte de Newton, a SanPetersburgo, para reunirse con su amigo Bernoulli, que lehabía precedido allí algunos años antes. Hacia los 30 años deedad fue honrado por la Academia de París por su trabajopara resolver problemas relevantes sobre losmovimientos de los cuerpos celestes. En Berlín, Eulerintimó con Moreau de Maupertuis, presidente de laAcademia, un francés de Bretaña, que favorecíaespecialmente la filosofía newtoniana, de preferencia ala cartesiana. Su influencia fue importante, puesto que laejerció en una época en que la opinión continental aúndudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuisimpresionó mucho a Euler con su principio favorito delmínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultadosen sus problemas mecánicos. En 1766 Euler volvió a SanPetersburgo, para pasar allí el resto de sus días. En 1771,cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta lacasa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, searrojó a las llamas, descubrió al hombre ciego y lo salvóllevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los librosy el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Eulercontinuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el díade su muerte, a los setenta y seis años de edad.


Figura 7.1

Puede demostrarse fácilmente que f (x) y g (x) son discontinuas en x = 0 (verifíque-lo). Sin embargo,

( 1) 1 si 0

( )( ) 0 si 0

( 1) 1 si 0

x x

f g x x

x x

+ − <⎧⎪+ = =⎨⎪ − + >⎩

Esto es,

si 0

( )( ) 0 si 0

si 0

x x

f g x x

x x

<⎧⎪+ = =⎨⎪ >⎩

o simplemente (f + g) (x) = x es la función identidad, cuya gráfica aparece en la figura7.2 y es continua en x = 0.

Figura 7.2

Igualmente, la implicación formulada en la pregunta 2 también es falsa. Se pide allector la verificación de la misma, construyendo dos funciones f y g tales que f · gsea continua en x = a, pero f y/o g sean discontinuas en x = a.


Diderot y Euler

Denis Diderot fue un filósofo francés muy popular en elsiglo XVIII. Una de sus acciones más destacadas fue haceruna enciclopedia junto con un importante equipo decolaboradores, llamada Encyclopédie, ou dictionnaireraisonné des sciences, des arts, et des métiers. A pesarde no ser experto en esta materia, Diderot escribía enella bastante bien sobre temas de matemática.

Leonard Euler, otro matemático importante de laépoca, fue invitado a colaborar como científico en lacorte de la reina Catalina II de Rusia, y así estuvo durantemucho tiempo en San Petersburgo. Diderot tambiénfue invitado por la reina, pero la relación entre ellosse tornó tensa, por lo que tuvo que intervenir Euler.Éste, en una muestra de agradecimiento a la reina, ysabiendo que los conocimientos matemáticos deDiderot no eran bien fundamentados, se ofreció adeshacerse de aquél de una manera diplomática. Eulerse encargó de que llegara a los oídos de Diderot que élposeía una demostración matemática de la existenciade Dios. Dada la rígida postura de su ateísmo y sufama como intelectual, Diderot se encargó de que Eulersupiera que él estaba dispuesto a enfrentar lademostración delante de la corte, y en su caso, refutarla.El plan resultó tal y como Euler lo deseaba. En unaceremonia, Euler se dirigió a Diderot y le replicó conuna gran parsimonia: «Señor: a + b a la n entre n esigual a x (a su vez escribía una fórmula que decía: a + bn/n = x). Por tanto, Dios existe.

La falta de conocimientos matemáticos de Diderot nole permitieron hacer alguna objeción. A los pocos días,humillado, el filósofo francés pidió permiso a SuMajestad para regresar a Francia.


Introducción

En el módulo 7 se estableció la continuidad de una función en un punto particularde su dominio. El concepto puede extenderse de manera natural para todos lospuntos de un intervalo de la recta real.


1. Extender el concepto de continuidad puntual al caso de un intervalo de larecta real.

Preguntas básicas

Supóngase que g es continua en [a, b], h es continua en [b, c] y g(b) = h(b).

Sea f (x) = g(x) para todo x ∈[a, b] y f(x) = h(x) para todo x ∈[b, c]. ¿Es f continua en[a, c]? Es decir, ¿pueden «soldarse» las funciones continuas? Analice su respuestagráficamente.


8.1 Continuidad en un intervalo abierto8.2 Continuidad en un intervalo cerrado

8Continuidad en un intervalo

Paradoja de la barra que no cae

Se tiene una barra de hierro unida al piso de un vagón deferrocarril por medio de un eje; se supone que no hay ningúnrozamiento. Existe una posición de la barra en el instante deiniciarse el viaje (t = 0) tal que, cuando el viaje finalice, labarra no habrá tocado el suelo ni una sola vez.


8.1 Continuidad en un intervalo abierto

Definición

Una función f es continua en un intervalo abierto si y sólo si f es continua en todopunto del intervalo.

8.2 Continuidad en un intervalo cerrado

Definición

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo si f es continua enel intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.

Es decir, f es continua en [a, b] si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. f es continua en (a, b).

2. lim ( ) ( ).x a

f x f a+→

=

3. lim ( ) ( ).x b

f x f b−→

=

Observación

Las condiciones 2 y 3 garantizan que la gráfica de la función comienza de maneracontinua en el punto (a, f (a)) y llega así al punto (b, f (b)) en el plano cartesiano.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un inter-valo semiabierto de cualquiera de las formas (a, b] o [a, b).

Así por ejemplo, la función ( )f x x= (mayor entero menor o igual a x) es continua

en los intervalos de la forma ( 1, ), n n n− ∈ , ya que en cada uno de estos interva-

los la función es constante. La función descrita anteriormente aparece en la sección3.1.1 del apéndice III.

Considere también la función f definida por:

2 si 1 2( )

2 si 2 3

x xf x

x x

⎧ − ≤ <⎪= ⎨+ ≤ ≤⎪⎩

y cuya gráfica aparece en la figura 8.1. Se desea analizar la continuidad de f en elintervalo [–1, 3].

1. Continuidad en el intervalo abierto (–1, 3)

Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntosdel intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo.

Continuidad en x = 2.




i. (2) 4f = .

ii.2 2

2 2

2 2

lim ( ) lim( 2) 4lim ( ) 4.

lim ( ) lim 4

x x

x

x x

f x xf x

f x x

+ +

− −

→ →

→

→ →

= + = ⎫⎪⇒ =⎬= = ⎪⎭

iii.2

lim ( ) (2).x

f x f→

=

De i, ii, e iii se concluye que f es continua en x = 2 y por tanto f es continuaen el intervalo (–1, 3).

2. Continuidad por la derecha del punto x = –1.

i. 2( 1) ( 1) 1 (existe).f − = − =

ii.2

1 1lim ( ) lim 1 (existe).

x xf x x

+ +→− →−= =

iii.1

lim ( ) ( 1).x

f x f+→−

= − Así que f es continua por derecha de 1.−

3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3.

i. (3) 3 2 5 (existe).f = + =

ii.3 3

lim ( ) lim ( 2) 5 (existe).x x

f x x− −→ →

= + =

iii.3

lim ( ) (3).x

f x f→

= Así que f es continua por la izquierda en el punto x = 3.

De 1, 2 y 3 se concluye, de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalocerrado [–1, 3].

El ejemplo 3 de los ejercicios resueltos (módulos 6 al 8) es otro caso de una funcióncontinua en un intervalo cerrado.

Módulo 8: Continuidad en un intervalo

Figura 8.1


Ejercicios resueltos

1. Considere la función definida por

2

2 si 2

( ) 4 1 si 2

xx

f x xx

−⎧ ≠⎪= −⎨⎪ =⎩

y analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua, clasifique la discontinuidad.

Solución

Se debe analizar si f satisface las condiciones para ser continua en x = 2.

i. (2) 1 (existe).f =

ii.2

lim ( )x

f x+→

22 22

2lim ( ) lim ( ) lim ,

4x xx

xf x f x

x− → →→

−= = =

−

2

2

2lim ,

( 2)( 2)

1 1lim (existe).

2 4

x

x

x

x x

x

→

→

−=

− +

= =+

iii.2

1lim ( ) (2) 1.

4xf x f

→= ≠ =

Como falla esta última condición, f no es continua en x = 2.

Ahora, puesto que 2

1lim ( )

4xf x

→= existe, la discontinuidad es removible o evitable en x = 2.

Para remover o evitar la discontinuidad se redefine la función, de tal forma que coincidan 2

lim ( )x

g x→

con g (2), así:

2

2, 2

4( )1

, 24

xx

xg x

x

−⎧ ≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩



En la figura 1 aparecen dibujadas las gráficas de f y g cerca de x = 2.

Figura 1



2. Considere la función f definida por

2

2 1 si 1( )

3 si 1

x xf x

x x

+ ≤⎧= ⎨

+ >⎩

y analice la continuidad de f en el punto x = 1. Si f es discontinua, clasifique su discontinuidad.

Solución

Como en el caso anterior, se analizan primero las condiciones de continuidad.

i. (1) 2 1 1 3 (existe).f = ⋅ + =

ii.

2

1 1

1

1 1

lim ( ) lim ( 3) 4lim ( ) (no existe)

lim ( ) lim (2 1) 3x x

x

x x

f x xf x

f x x

+ +

− −

→ →

→

→ →

⎫= + = ⎪ ⇒⎬= + = ⎪⎭

De i e ii se concluye que f no es continua en el punto x = 1.

Además, como 1

lim ( )x

f x→

no existe, la discontinuidad es esencial y no puede removerse.

En la figura 2 aparece dibujada la función f.

Figura 2



3. Considere la función f definida por

3 6 si 3

( ) 3 7 si 3 3

12 si 3

x a x

f x ax b x

x b x

+ < −⎧⎪= − − ≤ ≤⎨⎪ − >⎩

Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

Solución

Como f es continua en todo su dominio, lo es en particular en los puntos x = 3 y x = –3.

De la continuidad de f en el punto x = –3, se deduce que:

3 3lim ( ) lim ( ) ( 3).

x xf x f x f

− +→− →−= = − (1)

Pero

3 3lim ( ) lim (3 6 ) 9 6 .

x xf x x a a

− −→− →−= + = − + (2)

También,

3 3lim ( ) lim (3 7 ) 9 7 ( 3).

x xf x ax b a b f

+ +→− →−= − = − − = − (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene:

9 6 9 7 15 7 9.a a b a b− + = − − ⇔ + = (4)

De la continuidad de f en el punto x = 3 se deduce que:

3 3lim ( ) lim ( ) (3).x x

f x f x f+ −→ →

= = (5)

Pero

3 3lim ( ) lim (3 7 ) 9 7 (3).x x

f x ax b a b f− −→ →

= − = − = (6)

También,

3 3lim ( ) lim ( 12 ) 3 12 .x x

f x x b b+ +→ →

= − = − (7)

Sustituyendo (6) y (7) en (5) se obtiene:

9 7 3 12 9 5 3.a b b a b− = − ⇔ + = (8)



Al resolver simultáneamente las ecuaciones (4) y (8) se obtienen finalmente los valores 2 y 3.a b= = −

Con estos valores, ¿cómo queda definida la función f ? Dibújela.

4. Pruebe que la función ( ) senf x x= es continua en x = 0.

Solución

( )0 0 0

0 0

senlim ( ) lim sen lim ·

senlim · lim 0 · 1 0

sen 0 (0).

x x x

x x

xf x x x

xx

xx

f

→ → →

→ →

= =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =


1. Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x = 2. Justifique su respuesta.

a. 2( ) 4 2 12.f x x x= − + b. 8

( ) .2

f xx

=−

c. 23

( ) .2

xg x

x=

−

d. ( ) 1.g x x= − e. ( ) 3.h x x= − f. 2( ) 3 5 .h x x= −

g. ( ) .t x x= h. 1

( ) .2

t x x= − i. 3 8

( ) .2

xm x

x

−=

−

j.

3 8 si 2

( ) 212 si 2

xx

f x xx

⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩k.

4 8 si 2

( ) 2 2 si 2

xx

f x xx

−⎧ ≠⎪= −⎨⎪ =⎩

l. 2

3 si 2( )

1 si 2

x xf x

x x

+ <⎧= ⎨

+ ≥⎩m.

3 4 si 2( )

2 si 2

x xg x

x

− + ≤⎧= ⎨ − >⎩

2. En los ejercicios siguientes establezca la continuidad o no de las funciones en los puntos a dados. Si la discontinuidades removible, remueva la discontinuidad. Dibuje las gráficas.

a.

29 si 2( ) 2

3 2 si 2

x xf x a

x x

⎧ − ≤= =⎨

+ >⎩b.

2 4 3 si 3

( ) 33 5 si 3

x xx

f x axx

⎧ − +≠⎪= =−⎨

⎪ =⎩

c.

2 3 4 si 4

( ) 44 2 si 4

x xx

G x axx

⎧ − −≠⎪= =−⎨

⎪ =⎩

d.

2 6 si 3

( ) 33 1 si 3

x xx

H x axx

⎧ + −≠ −⎪= = −+⎨

⎪ = −⎩

e.

1 si 1

( ) 1 si 1 0; 1; 2

1 si 1

x x

f x x a a a

x x

− <⎧⎪= = = = =⎨⎪ − >⎩



3. Sea

3 2 si 4( )

5 si x 4

x xf x

x k

+ <⎧= ⎨ + ≥⎩

Determine el valor de k para que 4

lim ( )x

f x→

exista.

4. Sea

2 si 2

( ) si 2 2

2 5 si 2

x x

f x ax b x

x x

⎧ ≤ −⎪= + − < <⎨⎪ − ≥⎩

Determine los valores de las constantes a y b para que 2 2

lim ( ) y lim ( )x x

f x f x→− →

existan.

5. Dada la función

2

2 1 si 3

( ) si 3 5

2 si 5

x x

f x ax b x

x x

⎧ + ≤⎪= + < <⎨⎪ + ≥⎩

Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

6. Sea

3 6 si 3

( ) 3 7 si 3 3

12 si 3

x a x

f x ax b x

x b x

+ < −⎧⎪= − − ≤ ≤⎨⎪ − >⎩

determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

7. Si 3 3

lim ( ) 3 y lim ( ) 2,x x

f x g x→ →

= = − y si g es continua en x = 3, encuentre el valor de:

a. 3

lim[2 ( ) 4 ( )].x

f x g x→

− b. 2

3

9lim ( ).

3x

xg x

x→

−⋅

−c. (3).g

d. 3

lim ( ( )).x

g f x→

e. 2

3lim [ ( )] 8 ( ).x

f x g x→

− f. 3

( ) (3)lim .

( )x

g x g

f x→

−

8. Bosqueje la gráfica de la función f que satisfaga todas las siguientes condiciones:

a. Su dominio es [–2, 2].

b. f (–2) = f (–1) = f (1) = f (2) = 1.

c. f es discontinua en –1 y 1.

d. f es continua por la derecha en –1 y continua por la izquierda en 1.



9. Dibuje la gráfica de la función f que satisfaga todas las siguientes condiciones:

a. Su dominio es [0, 6].

b. f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2.

c. f es continua, excepto para x = 2.

d. 2 5

lim ( ) 1 y lim ( ) 3.x x

f x f x− +→ →

= =

«No es la fuerza, sino la perseveranciade los altos sentimientos, la que hace alos hombres superiores».

Friedrich Nietzsche


3Derivación de


Capítulo 3

Presentación

En este capítulo presentamos el concepto fundamental del cálculo diferencial: laderivada. Si bien el concepto de función es básico, y no se puede hacer nada sinlímite y continuidad, todo lo presentado en los capítulos 1 y 2 ha sido la antesalapara penetrar en las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal.

Hay multitud de problemas de matemáticas, química, física e ingeniería que requie-

ren para su solución el cálculo del límite 0

limx

y xΔ →

Δ Δ . Por esta razón, la matemática

pura ha estudiado los métodos para calcular estos límites, a los cuales se les llamaderivadas, para los distintos tipos de funciones.

Muchas definiciones, e incluso algunos teoremas, pueden darse en términos deproblemas físicos. De hecho, las necesidades de los físicos constituyeron la inspi-ración original para las ideas fundamentales del cálculo. Pero las ideas que expon-dremos serán en forma matemática y se discutirá su significado en términos deproblemas matemáticos.

Contenido breve

Módulo 9Introducción histórica de la deriva-da. Definición de derivada y nota-ción

Módulo 10Relación derivada-continuidad yderivadas laterales

Módulo 11Reglas de derivación

Módulo 12Derivadas de orden superior y deri-vación implícita

Módulo 13Funciones trascendentes y sus de-rivadas

Módulo 14Otras funciones trascendentes ysus derivadas

Módulo 15Límites al infinito y asíntotas de unacurva

Módulo 16Límites infinitos y asíntotas verti-cales

Módulo 17Asíntotas oblicuas

Se puede demostrar que la tangente a una parábola en un punto hace ángulos iguales con la recta que pasa por el punto de tangenciay el foco, y con la paralela al eje focal trazada por el punto. Esto significa que si se supone un espejo parabólico perfectamente liso, todorayo paralelo al eje de simetría de la parábola se refleja pasando por el foco. Esta propiedad, conocida como propiedad óptica de laparábola, es utilizada en la construcción de reflectores y antenas parabólicas.


Módulo 18Formas indeterminadas y la re-gla de L´Hopital

Módulo 19Cuadro general de derivadas ysolución de ejemplos



Introducción

En este módulo se presenta una breve reseña histórica de uno de los concep-tos más importantes de la matemática, como es la derivada. Se inicia con eltrabajo hecho en la antigua Grecia, se continúa con el trabajo de Fermat y seculmina con las ideas de Newton y Leibniz, quienes llegaron a concebir en elsiglo XVII, con ideas inicialmente poco claras, el concepto de derivada.

Se presenta, además, la definición de derivada como el planteamiento de unlímite muy especial y las diferentes notaciones que usan para la misma lostextos usuales de cálculo, y que en el resto del texto seguiremos usando.


1. Conocer los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal.En particular, para la derivada, los planteamientos desarrollados en laGrecia antigua (siglo III a.C.) y los métodos sistemáticos de Newton yLeibniz veinte siglos después.

2. Presentar la derivada como un límite del cociente de los incrementos delas variables y las diferentes notaciones usadas para la misma.

Preguntas básicas

1. Muestre que si ( )f a′ existe, entonces 0

( ) ( )'( ) lim

2h

f a h f a hf a

h→

+ − −′ = .

Esta forma de la derivada se conoce como derivada numérica de f en el punto a y es la que utilizan las calculadoras gráficas.


9.1. Introducción histórica de la derivada9.2. Definición de la derivada de una función y notaciones usadas

9Introducción histórica de la derivada.Definición de derivada y notación

Pierre de Fermat

Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne (Francia) en 1601y murió en Castres (Francia) en 1665.


9.1 Introducción histórica de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plan-tearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero no se encontraron métodossistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII, por obra deNewton y Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas, hay dos conceptos de tipo geométrico: el problemade la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el conceptocinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos), queen su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo dife-rencial.

El problema de la tangente a una curva fue analizado y resuelto primeramente porApolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, este matemático hizo el estudio de losdiámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un puntocualquiera de una hipérbola de centro C, Apolonio demuestra que la tangente en Pcorta las asíntotas en los puntos L y L ′ que equidistan de P (figura 9.1a).

Figura 9.1

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real

Vea el módulo 9 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.


Módulo 9: Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat estudió derecho, posiblemente enToulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de lasdemostraciones perdidas del matemático griegoApolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efectodesarrolló, contemporánea e independientemente deRené Descartes, un método algebraico para tratarcuestiones de geometría por medio de un sistema decoordenadas. Diseñó así mismo un algoritmo dediferenciación mediante el cual pudo determinar losvalores máximos y mínimos de una curva polinómica,amén de trazar las correspondientes tangentes, logrostodos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulteriordel cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Trasasumir correctamente que cuando la luz se desplaza enun medio más denso su velocidad disminuye, demostróque el camino de un rayo luminoso entre dos puntos essiempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer;de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen lasleyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y comoresultado de una larga correspondencia, desarrolló conBlaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.Otro campo en el que realizó destacadas aportacionesfue el de la teoría de números, en la que empezó ainteresarse tras consultar una edición de la Aritméticade Diofanto. Desarrolló también un ingenio-so métodode demostración que denominó «del descenso infinito».Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales ysu particular forma de trabajar (sólo publicó una obracientífica en vida) redujeron en gran medida el impactode su obra.

En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (figura 9.1b), Apolonio traza la

perpendicular QN desde el punto Q al eje ',AA y halla el conjugado armónico T de

N con respecto a A y '.A Es decir, el punto T de la recta 'AA es tal que ' '

AT AN

A T NA= ,

o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento 'AA en la

misma razón en que N divide internamente a 'AA . Entonces, la recta que pasa porT y Q será tangente a la elipse.

Igualmente, en el libro Cónicas (V.8), Apolonio demuestra un teorema relativo a lanormal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso completode cálculo diferencial.

En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat(1601-1665) quien, en 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están rela-cionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el más importante deellos, titulado «Methodus ad disquirendam maximan et miniman» (Métodos parahallar máximos y mínimos), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar lospuntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x) toma un valormáximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto con el valorde f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, peroen una «cumbre» o en el fondo de un «valle» de una curva lisa la diferencia es casiimperceptible. Por tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máxi-mos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuentaque estos valores son «casi iguales». Cuanto más pequeña sea la diferencia E entrelos dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividirtodo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximosy mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya, en esencia, el procesoque ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente acalcular

0

( ) ( )limE

f x E f x

E→

+ −

e igualar este límite a cero.

Esta fue la razón que asistió a Laplace a aclamar a Fermat como el verdadero descu-bridor del cálculo diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos losprecursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir IsaacNewton, 1642-1727, nacido en Woolstharpe, Inglaterra) y a Leibniz (Gottgried WilhelmLeibniz, 1646-1716, nacido en Leipzig, Alemania) a quienes se les puede atribuirjustificadamente la invención de las derivadas y de las integrales.

Newton tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba eramás sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) o y, él lo llamaba «cantidades fluentes»,y la derivada, D f (x), era llamaba «fluxión». Además, escribía y en lugar de D f (x).El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: «Los momentos –las actualesdiferenciales– dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben portanto considerarse como magnitudes finitas nacientes». Frases tan confusas, queNewton debía entenderlas muy bien, pero que para otro que no fuera el inventor delmétodo suenan bastante incomprensibles.


En 1669, Isaac Barrow (1630-1677) recibió de su alumno Isaac Newton un folletotitulado De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Contenía, nadamenos, que el esbozo casi completo del cálculo diferencial e integral. Aquel mismoaño Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por tantomucho más derecho a la cátedra de matemáticas, con más merecimientos que elpropio Barrow, su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar,Barrow cedió su cátedra a Newton.

A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió losPrincipia mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publi-cado. En él aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendolos movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que unestudiante observó: «Ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demáscomprenden».

Leibniz comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue elprimero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes.Sin embargo, la historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir lasprincipales ideas (1665-1666), pero que Leibniz las descubrió independientementedurante los años de 1673 a 1676.

Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los

nombres del cálculo diferencial y el cálculo integral, así como los símbolos dy

dx y ∫

para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término «función» y el usodel símbolo «=» para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad delsimbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continenteeuropeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton.

9.2 Definición de la derivada de una función y notaciones usadas

Definición

Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto I que contie-ne los puntos x

1 y x

1 + h.

a. Se dice que f es derivable o f es diferenciable o f tiene derivada en x1 si

( ) ( )1 1

0limh

f x h f x

h→

+ − existe.

A dicho límite, cuando existe, se le denota por 1( )f x′ . En consecuencia, se

puede escribir en este caso

( ) ( )1 11 0

( ) lim .h

f x h f xf x

h→

+ −′ = (1)


Escuche el audio Fermat: su último teorema yuna historia increíble de fin de siglo en sumultimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Si f es derivable en todos los puntos ,x I∈ entonces la función

( ) ( )0

( ) limh

f x h f xf x

h→

+ −′ = (2)

se llamará función derivada de f con respecto a x.

Otras notaciones para la función derivada de f con respecto a x son:

, ( ),x

d dyD f f x

dx dx (notación de Leinbniz), y´,

las cuales se usarán en adelante de manera indistinta.

Observación

Al hacer x = x1 + h, entonces 1x x→ cuando 0.h → De x = x

1 + h se tiene h = x − x

1,

y al hacer las sustituciones correspondientes en (1) se obtiene la expresión equiva-lente para la derivada en x

1:

( ) ( )1

11

1

( ) lim .x x

f x f xf x

x x→

−′ =

−

En los ejemplos resueltos 19.1 y 19.2 al final del capítulo 3 se ilustra la manera decalcular la derivada de algunas funciones usando la definición.

Módulo 9: Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación


Introducción

Como se afirmó antes, la propiedad de continuidad es una propiedad local queindica geométricamente que la curva no se «rompe» en ningún punto de su domi-nio. Igualmente, la derivabilidad de una función es también una propiedad local, eindica que a la gráfica de la función se le puede trazar una recta tangente en cadapunto de su dominio. Parece por tanto natural que esta segunda condición sea másfuerte que la primera. Este resultado es el que efectivamente se da y es el que seenuncia y demuestra en la sección 10.1.


1. Destacar la relación existente entre derivada y continuidad de una función, medianteun teorema cuyo contrarrecíproco establece un criterio de discontinuidad.

2. Mostrar con ejemplos gráficos el significado de las expresiones «función derivable»y «no derivable» y cómo influyen en el grado de «suavidad» de una curva.

3. Definir las derivadas laterales de una función en un punto y su relación con laderivada unilateral.

Preguntas básicas

1. ¿Cree usted que existen funciones que sean continuas en todos los puntos de sudominio (sin huecos), pero que no tienen recta tangente en ninguna parte?Trate de hacer un gráfico aproximado de alguna de ellas.


10.1 Relación entre la derivada y la continuidad de una función de variable real10.2 Derivadas laterales

10Relación derivada-continuidad y derivadaslaterales

Waclaw Sierpinski creó un fractal utilizando un triánguloequilátero como semilla.

Fractales

Para ver los enlaces relacionados con este tema,visite la sección Sitios de Interés del cursoElementos Básicos de Cálculo Diferencial en laplataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/


10.1 Relación entre la derivada y la continuidad de una función devariable real

El siguiente teorema establece una relación entre las funciones continuas y lasfunciones derivables.

Teorema 1: Derivable ⇒ Continua

Si f es una función derivable en el punto x1, entonces f es continua en x

1.

Demostración

Para demostrar que f es continua en x1, basta demostrar que

1

limx x→

o

equivalentemente, ( ) ( )1

1lim 0.x x

f x f x→

− =⎡ ⎤⎣ ⎦

En efecto, como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1

1

f x f xf x f x x x

x x

−− = −

−, 1,x x≠ se tiene que

( ) ( )1

1limx x

f x f x→

−⎡ ⎤⎣ ⎦( ) ( ) ( )

1

11

1

lim ,x x

f x f xx x

x x→

−= −

−

( ) ( ) ( )( )1 1

11

1

lim lim ,x x x x

f x f xx x

x x→ →

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟

−⎝ ⎠

1( ) . 0 0f x′= =

Observaciones importantes

a. El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, existen funcionesque son continuas en un punto x

1 y no son derivables allí. Considérese por

ejemplo la función ( ) .f x x=

Puede demostrarse fácilmente que f es continua en x = 0. Sin embargo, f ́ (0)no existe (es decir, f no es derivable en x = 0).

En efecto, 0

(0 ) (0)(0) lim

h

f h ff

h→

+ −′ = ( ) ( )

0

0lim ,h

f h f

h→

−=

0

lim .h

h

h→=

Para determinar la existencia o no del último límite se utilizan los límiteslaterales (módulo 5). Esto es,



Vea la animación «Construcción del triánguloSierpinski» en su multimedia de ElementosBásicos de Cálculo Diferencial.


0 0 0

0

0 0 0

lim lim lim (1) 1lim no existe.

lim lim lim ( 1) 1

h h h

h

h h h

h hhh hhh h

h h

+ + +

− − −

→ → →

→

→ → →

⎫= = = ⎪⎪⇒⎬

− ⎪= = − = − ⎪⎭

Así que ( )0

0 limh

hf

h→′ = no existe, y de esta manera la función ( )f x x=

no es derivable en x = 0.

b. En la gráfica de la función ( )f x x= (figura 10.1) puede notarse que en el

punto x = 0 la función es continua, pero allí se presenta una esquinaaguda o un «pico», indicando con esto un argumento geométrico sencillopara determinar los puntos del dominio en los cuales una función no esderivable.

Figura 10.1

Fue una gran sorpresa para los matemáticos cuando descubrieron funcio-nes que eran continuas en todas partes, pero no eran derivables en ningu-na parte. Los primeros pasos en la construcción de una tal función se mues-tran en la figura 10.2.

Módulo 10: Relación derivada-continuidad y derivadas laterales

Fractales en su aula

Los fractales se encuentran fácilmente en la naturaleza. Seobservan en el brócoli, la coliflor, los helechos, las líneascosteras del Pacífico y más. La geometría fractal fuedescubierta alrededor del año 1970 por el matemáticopolaco Benoit Mandelbrot. Él estaba fascinado con loscomplejos patrones que veía en la naturaleza, pero no lospodía describir por medio de la geometría euclidiana: lasnubes no eran esféricas, las montañas no eran conos, laslíneas costeras no eran círculos, la corteza de los árbolesno era lisa, ni tampoco viajaban los rayos en líneas rectas.Entonces desarrolló el concepto y lo denominó «fractal»,a partir del significado en latín de esta palabra, queencontró en un libro de texto de su hijo. Fractal significa«fracturado, fragmentado o quebrado».

Los patrones fractales tienen dos características básicas:

· Autosimilitud (que significa que un mismo patrón seencuentra una y otra vez).

· Dimensiones fractales.

Esta dimensión fractal describe la relación entre lossegmentos y la totalidad. Mientras más cercano esté laforma de un fractal a una línea (dimensión 1), a un plano(dimensión 2) o a un objeto tridimensional, más cercanoestará la dimensión fractal al número entero que describesu forma.

Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (alazar). Los fractales encontrados en la naturaleza tienenuna característica adicional: son formados por procesosaleatorios. Como ejemplo se pueden nombrar los rayos,los deltas de los ríos, los sistemas de raíces y las líneascosteras.

Fuente: Lori Lambertson, Exploratorium Teacher Institute, San

Francisco, EU.


Figura 10.2

Continuando el proceso infinitamente, se obtiene una función que satisfacelas condiciones antes establecidas.

c. Muchas veces es útil considerar el contrarrecíproco del teorema 1, o sea: «sif no es continua en x

1, entonces f no es derivable en dicho punto».

El siguiente ejemplo ilustra la manera de usar el teorema 1 en su forma equi-valente del contrarrecíproco.

Sea f la función definida por

( )si 1

1 si 12

x xf x

xx

⎧≥⎪= ⎨ <⎪⎩

Demuestre que f (x) no es derivable en x = 1.

En efecto, al hacer el análisis de la continuidad de f en x = 1, se tiene:

1 1

1

1 1

lim ( ) lim 1

lim ( ) no existe.1 1lim ( ) lim

2 2

x x

x

x x

f x x

f xf x x

+ +

− −

→ →

→

→ →

⎫= =⎪⇒⎬

⎪= =⎭



Módulo 10: Relación derivada-continuidad y derivadas laterales

En consecuencia, f no es continua en x = 1, y por tanto f no es derivable (f ́ (1)no existe) en x = 1.

10.2 Derivadas laterales

Definición

a La derivada de una función f, por la derecha de x1, denotada por 1( )f x+′ se

define como

( ) ( )1 11

0( ) lim ,

h

f x h f xf x

h++→

+ −′ =

o equivalentemente como

( ) ( )1

11

1

( ) lim .x x

f x f xf x

x x++→

−′ =

−

b. La derivada de una función f por la izquierda de x1, denotada por 1( )f x−′

se define como

( ) ( )1 11

0( ) lim ,

h

f x h f xf x

h−−→

+ −′ =

o equivalentemente:

( ) ( )1

11

1

( ) lim .x x

f x f xf x

x x−−→

−′ =

−

Las derivadas laterales son útiles para determinar analíticamente la existencia o node la derivada de una función a tramos, en los puntos extremos de los subdominios.Así por ejemplo, considere la función f definida por

( )2 si 11

si 14 1

xx xf x

xx

≥⎧ + += ⎨ <−⎩

Si se desea determinar la existencia o no de la derivada de f en el punto x1 = 1, las

derivadas laterales (1)f+′ y (1)f−′ nos proporcionan la información.

Ahora,

(1)f+′( ) ( )

1

1lim ,

1x

f x f

x+→

−=

−

( )2

1

1 3lim ,

1x

x x

x+→

+ + −=

−


2

1

2lim ,

1x

x x

x+→

+ −=

−

( )( )1

2 1lim

1x

x x

x+→

+ −=

−

( )1

lim 2 3.x

x+→

= + =

Es decir, (1) 3.f+′ = (1)

También, (1)f−′( ) ( )

1

1lim ,

1x

f x f

x−→

−=

−

( )

1

4 1 3lim ,

1x

x

x−→

− −=

−

( )

1 1

4 14 4lim lim 4.

1 1x x

xx

x x− −→ →

−−= = =

− −

Esto es, (1) 4.f−′ = (2)

Puede notarse de (1) y (2) que las derivadas laterales son diferentes, y en conse-cuencia f ́ (1) no existe.

La figura 10.3 muestra el comportamiento de la función f en el punto x = 1. Nóteseque en el punto P (1, 3) la gráfica presenta un «pico», indicando con esto de maneraintuitiva que f no es derivable allí.

Figura 10.3



Introducción

En este módulo se demostrarán la mayoría de las reglas básicas del cálculo diferen-cial. A lo largo de las demostraciones el estudiante podrá comprobar que todas ellasse basan en la teoría de los límites funcionales y de la continuidad. Por esta razón,le recomendamos revisar los conceptos previos de los capítulos 1 y 2, en particular

lo referente a la forma indeterminada 0

0 y la manera de eliminarla para calcular el

límite.


1. Establecer las propiedades de las funciones derivables (reglas de derivación)y cómo usarlas en la solución de ejercicios.

Preguntas básicas

1. ¿Existen funciones f y g tales que ( ) ?f g f g′ ′ ′⋅ = ⋅2. ¿Cree usted que Galileo se equivocó cuando afirmó: «Si un cuerpo cae una

distancia s(t) en t segundos, entonces su velocidad ( )s t′ es proporcional a

s(t)»?


11.1 Reglas de derivación11.2 Teorema: Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)

11Reglas de derivación

Isaac Newton

Isaac Newton nació el 25 de diciembre de 1642(correspondiente al 4 de enero de 1643 en el nuevocalendario) en Woolsthorpe, Inglaterra, y murió en Londresel 20 de marzo de 1727.


11.1 Reglas de derivación

Las siguientes reglas tienen por objeto calcular la derivada de una función sin usardirectamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un procesomecánico.

Regla de derivación 1 (RD1): Derivada de una constante

(f x

siendo C una constante ( ) 0.f x′⇒ =

Se suele escribir 0.dC

dx=

Prueba: 0 0 0

( ) ( )( ) lim lim lim 0 0.

h h h

f x h f x C Cf x

h h→ → →

+ − −′ = = = =

Regla de derivación 2 (RD2): Derivada de la función identidad

( )f x x= ( ) 1.f x′⇒ =

Se suele escribir 1.dx

dx=

Prueba: 0 0 0

( ) ( )( ) lim lim lim1 1.

h h h

f x h f x x h xf x

h h→ → →

+ − + −′ = = = =

Si f (x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces (f + g),

(f – g), ( )f g⋅ y (f /g) son también derivables en x, y se generan las siguientes reglas

de derivación:

Regla de derivación 3 (RD3): Derivada de una suma de funciones

( ) ( ) ( )t x f x g x= + ( ) ( ) ( ).t x f x g x′ ′ ′⇒ = +

Regla de derivación 4 (RD4): Derivada de una diferencia de funciones

( ) ( ) ( )t x f x g x= − ( ) ( ) ( ).t x f x g x′ ′ ′⇒ = −

Regla de derivación 5 (RD5): Derivada de un producto de funciones

( ) ( ) ( )t x f x g x= ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).t x f x g x f x g x′ ′ ′⇒ = ⋅ + ⋅

Prueba: 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim ,

h h

t x h t x f x h g x h f x g xt x

h h→ →

+ − + + −′ = =

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ,h

f x h g x h g x h f x g x h f x f x g x

h→

+ + − + + + −=




[ ] [ ]

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ,h

g x h f x h f x f x g x h g x

h→

+ + − + + −=

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim lim ( ) lim ,h h h h

f x h f x g x h g xg x h f x

h h→ → → →

+ − + −= + ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( ).g x f x f x g x′ ′= ⋅ + ⋅

Regla de derivación 6 (RD6)

1( )

( )t x

g x= [ ]2

( )( ) .

( )

g xt x

g x

′−′⇒ =

Prueba: ( )t x′0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )

lim lim ,h h

t x h t x g x h g x

h h→ →

−+ − +

= =

[ ]0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 1lim lim ,

( ) ( ) ( ) ( )h h

g x g x h g x h g x

h g x h g x h g x h g x→ →

⎡ ⎤− + + −= = − ⋅⎢ ⎥+ ⋅ + ⋅⎣ ⎦

0 0

( ) ( ) 1lim lim ,

( ) ( )h h

g x h g x

h g x h g x→ →

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]2 2

1 '( )( ) . .

( ) ( )

g xg x

g x g x′= − = −

Regla de derivación 7 (RD7): Derivada de un cociente de funciones

( )( ) , ( ) 0

( )

f xt x g x

g x= ≠ [ ]2

( ) ( ) ( ) ( )( ) .

( )

f x g x f x g xt x

g x

′ ′⋅ − ⋅′⇒ =

Prueba: ( ) 1

( ) ( ) .( ) ( )

f xt x f x

g x g x

⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ Así que, usando RD5, se tiene que:

( )t x′1 1

( ) ( ) ,( ) ( )

f x f xg x g x

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

( ) ( )( )

( ) ( )

f x g xf x

g x g x

′ ′⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (regla de derivación 6),

[ ] [ ]2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

f x f x g x f x g x f x g x

g x g x g x

′ ′ ′ ′−= − =

Módulo 11: Reglas de derivación

Isaac Newton

Newton realizó sus primeros estudios universitarios en1661, en Trinity College de Cambridge. Al comienzo desus estudios se interesó por la química y este interés,según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida.Durante su primer año de estudios, y probablementepor primera vez, leyó una obra de matemáticas sobre lageometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo deleer otras obras.

Su primer tutor fue Benjamín Pulleyn, posteriormenteprofesor de griego en la universidad. En 1663 Newtonleyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, laGeometría de Descartes, la Óptica de Kepler, la Operamathematica de Francisco Vieta, editadas por Francis vanSchooten y, en 1644, la Aritmética de John Wallis, que leserviría como introducción a sus investigaciones sobre lasseries infinitas, el teorema del binomio y ciertascuadraturas. En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dioclases como primer profesor lucasiano de matemáticas.En la misma época entró en contacto con los trabajos deGalileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente,de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes porVan Schooten.


11.2 Teorema: Derivada de la función compuesta (regla de lacadena)

Si y = g (u) y u = f (x), entonces se puede obtener la composición

y = (g o f )(x) = g (f (x)).

Ahora, si se quiere calcular ,dy

dx basta con derivar esta última relación.

La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manerade hallar la derivada sin efectuar la composición.

Regla de derivación 8 (RD8): Regla de la cadena

Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f (x).

Entonces:

'( ) ( ) '( ) '( ( )) . '( ).H x g o f x g f x f x= =

En la demostración se hace uso del siguiente lema, que se puede demostrar fácil-mente:

Lema: sea g una función tal que '( )g u existe y considere la siguiente función:

( ) ( )( ) si 0

( )0 si 0

g u h g ug u h

G h hh

+ −⎧ ′− ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Por tanto:

a. G es continua en h = 0 ( )0

lim ( ) (0) 0 .h

G h G→

= =

b. [ ]( ) ( ) ( ) ( ) .g u h g u h g u G h′+ − = +

Prueba de la regla:

Como H (x) = g (f (x)), entonces:

H (x + t) – H (x) = g (f (x + t)) – g (f (x)),

= g (f (x + t)) – f (x) + f (x)) – g (f (x)).

Sea h = f (x + t) – f (x). (1)

Así que: H (x + t) – H (x) = g (h + u) – g (u). (2)

Como f es una función continua, se sigue de (1) que 0 0.t h→ ⇔ →


Epitafio de Isaac Newton

Aquí descansaSir Isaac Newton, caballeroque con fuerza mental casi divinademostró el primero,con su resplandeciente matemática,los movimientos y figuras de los planetas,los senderos de los cometas y el flujo y reflujo delocéano.Investigó cuidadosamentelas diferentes refrangibilidades de los rayos de luzy las propiedades de los colores originados por aquellos.Intérprete laborioso, sagaz y fielde la Naturaleza, la Antigüedad y la Santa Escritura,defendió en su Filosofía la majestad del Todopoderosoy manifestó en su conducta la sencillez del Evangelio.Dad las gracias, mortales,al que ha existido así,y tan grandemente como adorno de la raza humana.Nació el 25 de diciembre de 1642; falleció el 20 de marzode 1727.


Ahora, aplicando el lema en su parte b en (2), se tiene que

H (x + t) – H (x) = h [g´ (u) + G (h)].

Luego,

[ ]( ) ( )'( ) ( ) ,

H x t H x hg u G h

t t

+ −= + ⋅

[ ]( ) ( ) ( ) ( )'( ) ( ) .

H x t H x f x t f xg u G h

t t

+ − + −= + ⋅

Al tomar límite en ambos lados de la última igualdad cuando 0,t → se obtiene:

[ ]0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim '( ) ( ) .t t

H x t H x f x t f xg u G h

t t→ →

+ − + −= + ⋅ (3)

Pero

[ ]0

lim '( ) ( )t

g u G h→

+ [ ]0

lim '( ) ( ) ,h

g u G h→

= + (de (1)),

0'( ) lim ( ),

hg u G h

→= +

( ) (0)g u G′= + (por ser G continua),

'( ) 0 '( ).g u g u= + =

Además,

0

( ) ( )lim '( )t

f x t f xf x

t→

+ −= , y

0

( ) ( )lim '( ).t

H x t H xH x

t→

+ −=

Así que, de (3), se obtiene finalmente

'( ) '( ) '( ) '( ( )) '( ).H x g u f x g f x f x= ⋅ = ⋅

Observaciones

a. Muchas veces, la regla de la cadena se recuerda más fácilmente usando lanotación de Leibniz para la derivada. Esto es:

Si y = g (u) y u = f (x), entonces .dy dy du

dx du dx= ⋅


Escuche el audio La garra del león en su multimedia de Elementos Básicos deCálculo Diferencial.


b. Regla de la cadena compuesta.

Si y = g (u), u = f (t) y t = h (x), entonces .dy dy du dt

dx du dt dx= ⋅ ⋅


1,n ndy

y x nxdx

−= ⇒ = para todo n, .n∈ℜ

(Para n < 0, la función xn está definida solamente en { }0 )ℜ−

Prueba:

Caso 1: n∈ (n es un número entero)

Cuando ,n +∈ la prueba se hace por inducción sobre n.

Para n = 1, se sabe que 1 1 1( ) 1 1

d dxx x

dx dx−= = = ⋅ (regla de derivación 2).

Sea .k +∈ Supóngase que 1k kd

x kxdx

−= (hipótesis de inducción) y demostremos

que:

( )1 11 ( 1) .kkdx k x

dx+ −+ = +

En efecto,

1kd

xdx

+ ( ) ,kdx x

dx= ⋅

k kd dxx x x

dx dx= ⋅ + ⋅ (regla de derivación 5),

1 1k kx kx x−= ⋅ + ⋅ (hipótesis de inducción y regla de derivación 2),

( )1 1( 1) ( 1) .kk k kk x x k x k x + −= ⋅ + = + = +

Cuando n < 0, hacemos n = – m, con m > 0. De esta manera:

n md dx x

dx dx−= ( )

1

2

1 m

m m

d mx

dx x x

−−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ (regla de derivación 6).

1 1.m nmx nx− − −= − =



Caso 2: n∈ (n es un número racional)

Considere primero que 1

,nq

= y 0.x ≠ En este caso, la función y = f (x) = xn puede

escribirse en la forma 1/( ) .qy f x x= =

De acuerdo a la definición de derivada, se tiene que

( )dy

f xdx

′=0

( ) ( )lim ,h

f x h f x

h→

+ −=

1/ 1/

0

( )lim

q q

h

x h x

h→

+ −= (indeterminado de la forma

0

0).

Para eliminar la indeterminación en este último límite, se multiplican el numerador yel denominador por el factor racionalizante:

( ) ( ) ( )1 2 11/ 1/ 1/ 1/... .

q q qq q q qx h x h x x− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + ⋅ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Esto es,

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }

1 11/ 1/1/ 1/

1 10 1/ 1/

...( ) lim ,

...

q qq qq q

q qh q q

x h x x h xf x

h x h x

− −

− −→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ⋅ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( ){ }

1/ 1/

1 10 1/ 1/

lim ,...

q qq q

q qh q q

x h x

h x h x− −→

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦=⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

(aquí se utilizó la identidad 1 2 1( )( ... )n n n n na b a b a a b b− − −− = − + + +

( ) ( ){ }1 10 1/ 1/

( ) lim ,...

q qh q q

x h xf x

h x h x− −→

+ −′ =⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

( ) ( ){ }1 10 1/ 1/

1lim ,

...q qh q qx h x− −→

=⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

1 1 1 11

1 1 1 1,

...q q q

q q q q

q veces

qx x qx x

− − −−

−

= = = ⋅

+ +



11

11.nqx nx

q

−−= =

Considere ahora que ,p

nq

= con p, .q +∈ En este caso, la función potencia

( ) ny f x x= = puede escribirse en la forma

/ 1/ ,pp q qy x x⎡ ⎤= = ⎣ ⎦

y para derivarla se aplica la regla de la cadena (regla de derivación 8).

Hacemos 1/ .qu x=

De esta forma,

1/ ,pq py x u⎡ ⎤= =⎣ ⎦ y 1/ .qu x=

Entonces, ,dy dy du

dx du dx= ⋅

11

1 1p qpu xq

−−= ⋅ (casos 1 y 2),

11 11

,

p

q qpx x

q

−−⎛ ⎞

= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 11

p

q q qpx

q

− + −= (leyes de los exponentes),

1

1.x

nqpx nx

q

−−= =

Caso 3: n∈ℜ (n es un número real)

En este caso la demostración se sale del alcance de este curso. Por tanto, no presen-tamos su demostración. Sin embargo, en el módulo 14 se demuestra este caso usan-do la RD23 (observación a del teorema 1).


Sea f (x) una función derivable de x, y sea .n∈ℜ Entonces,



[ ] [ ] 1( ) ( ) ( ).

n ndyy f x n f x f x

dx

− ′= ⇒ = ⋅

Prueba:

Haga u = f(x). Entonces y = un, u = f(x) y aplique la regla de derivación 8.

En los ejemplos 19.4 y 19.5 de los ejercicios resueltos al final del capítulo 3 se ilustrala manera de usar las reglas de derivación mencionadas anteriormente.


Introducción

En los dos módulos anteriores se abordó el problema de determinar la función

( )f x′ para una función dada f (x). Podemos considerar ahora la función g(x) = ( )f x′

y determinar la función ( )g x′ y que llamaremos la segunda derivada de f (x). Igual-

mente se puede considerar ahora la función ( ) ( )h x g x′= y determinar para ella la

función ( )h x′ que llamaremos la tercera derivada de f (x). De esta manera se puede

continuar el proceso para generar la enésima derivada de f. De otro lado, todas lasfunciones que se han considerado hasta ahora para derivar son tales que la reglaque asigna a cada x de su dominio, su imagen f (x) las relaciona de manera explícitaen la fórmula y = f (x). Existen funciones para las cuales las variables x e y estánrelacionadas entre sí, pero es imposible escribirlas en la forma y = f (x). Por ejemplo,la ecuación x3 – y3 – 7y = 0, que se considera en este módulo, y que para cada

0x ∈ℜ existe un único 0y ∈ℜ que la satisface, presenta esta particularidad. Sin

embargo, esto no es impedimento para determinar la derivada .dy

dx La regla de

derivación implícita nos indicará la forma de hacerlo.


1. Mostrar cómo el operador «derivada» puede aplicarse de manera reiterada auna función, generando las llamadas derivadas de orden superior, y de estaforma dar sentido a la expresión «función n-veces derivable».

2. Introducir la noción de derivada implícita y la forma de usarla para calcular la de-rivada de una función, sin necesidad de despejar la variable y como funciónexplícita de x.

Preguntas básicas

1. Dada la ecuación x2 + y2 − 4 = 0, ¿cuántas funciones implícitas de la forma y =f (x) están incluidas en la ecuación? Escriba al menos tres de ellas.


12.1 Derivadas de orden superior12.2 Derivación implícita

12Derivadas de orden superior y derivaciónimplícita

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz nació en Leipzig en 1646 y falleció en Hannover el 14de noviembre de 1716.


12.1 Derivadas de orden superior

Hasta ahora se ha estudiado la derivada de una función, o la primera derivada deuna función, o la derivada de primer orden de una función.

Muchas veces interesa el caso en el cual la función derivada '( )f x se puede derivar

nuevamente en un intervalo I obteniéndose de esta forma la segunda derivada de lafunción.

Es decir, si existe 0

'( ) '( )limh

f x h f x

h→

+ −, se llamará la segunda derivada de f, o tam-

bién la derivada de segundo orden, y se denotará por cualquiera de los símbolos:

22

2( ), , ( ), , .

d yf x f Dx f y

dx′′ ′′ ′′

Igualmente, se puede analizar si f ’’ es derivable, en cuyo caso se llama a la funciónresultante la tercera derivada de f, o la derivada de orden 3, y se denotará por

33

3( ), , ( ), , .

d yf x f Dx f y

dx′′′ ′′′ ′′′

Siguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no de la derivadan-sima o la derivada de orden n de f, la cual se denotará por

( ) ( ) ( )( ), , ( ), , .n

n n n nn

d yf x f Dx f y

dx

Observación

Todas estas notaciones se extienden a las llamadas derivadas de orden superior.Observe que aunque la notación de Leibniz para las derivadas es complicada,

2 3

2 3, , ,... ,

dy d y d y

dx dx dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

resulta ser la más apropiada y natural. Al menos así lo pensaba

él al escribir

d dy

dx dx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

como 2

2,

d y

dx

d d dy

dx dx dx

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ como

3

3.

d y

dx




12.2 Derivación implícita

Supóngase que las variables x e y están relacionadas por alguna ecuación de laforma

F (x, y) = 0. (1)

Asi, son ecuaciones de esta forma las siguientes:

2 2 25 0.x y+ − = (2)

3 2 6 0.x xy y+ + = (3)

3 37 .y y x+ = (4)

2 2 25 0.x y+ + = (5)

Definición

Si una función f definida en un intervalo I es tal que la ecuación (1) se transformaen una identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f estádefinida implícitamente por medio de la ecuación (1).

Así por ejemplo, la ecuación (2) define implícitamente las funciones

225y x= − e 225y x= − − en el intervalo [−5, 5].

La sustitución de cada una de estas funciones en (2) da lugar a la siguiente identi-

dad: ( )2 225 25 0.x x+ − − =

Observación

No toda ecuación de la forma F (x, y) = 0 define de manera implícita una función,como sucede por ejemplo con la ecuación (5), para la cual no existe ninguna pareja

(x, y) que la satisfaga, dado que 2 2 25x y+ + es siempre un número positivo.

Supóngase ahora que se quiere calcular dy

dx en una ecuación de la forma F (x, y) = 0 y

en la cual y es una función implícita de x, como por ejemplo en la ecuación2 2 25 0.x y+ − =

Al despejar y, se generan dos funciones (ramas de circunferencia, sección 3.1.1del apéndice III) en el intervalo [−5, 5]:

( )1/ 22 2( ) 25 25 .y f x x x= = − = − (6)

( )1/ 22 2( ) 25 25 .y g x x x= = − − = − − (7)

Módulo 12: Derivadas de orden superior y derivación implícita

Gottfried Wilhelm Leibniz

Hijo de un profesor de universidad, Leibniz se formó en sulocalidad natal en Filosofía, y en Derecho en Jena y Altdorf,doctorándose a los veinte años. Erudito, sus contribucionestocan los campos de la historia, las leyes, la lengua, lateología, la física y la filosofía. Al mismo tiempo queNewton, descubrió el cálculo infinitesimal y es continuadorde la filosofía de Descartes. En el campo de la matemáticarealizó contribuciones a la teoría de los números, al cálculomecánico, el álgebra, etc. Es el iniciador de la lógicamatemática y de la topología. Enunció el principio segúnel cual la masa por el cuadrado de la velocidad se mantieneconstante. Es, tal vez, el primer filósofo alemán derepercusión universal.


De (6) se deduce que

( )( ) 1/ 2212 25

2

dyx x

dx

−= − − (regla de derivación 10),

( )1/ 22.

25

dy x x

dx yx= − = −

− (8)

De (7) se tiene:

( )( ) 1/ 2212 25

2

dyx x

dx

−= − − − (regla de derivación 10),

( ) ( )1/ 2 1/ 22 2.

25 25

dy x x x

dx yx x

−= = = −

− − − (9)

De (8) y (9) se deduce que independientemente de la elección de la función y, elresultado de la derivada es el mismo.

Considérese ahora la ecuación 3 3 7 0x y y− − = , (10)

la cual define a y como una función implícita de x y cuya gráfica aparece en la figura12.1.

Figura 12.1

Si se quiere calcular ,dy

dxlo primero que se debe hacer es «despejar» y como una

función de x, y luego aplicar las reglas de derivación mencionadas anteriormente.Pero aquí surge la primera dificultad, ya que no es posible despejar y en forma

explícita. Sin embargo, esto no es inconveniente para calcular .dy

dx


Escuche el audio Las fluxiones de Newton en sumultimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


En general, si se quiere hallar dy

dx suponiendo que ( , ) 0F x y = define a y como

función implícita de x, y sabiendo además que dicha función es derivable, existe unprocedimiento llamado derivación implícita y que consiste en derivar respecto a xambos miembros de la ecuación dada, teniendo en cuenta que al derivar los térmi-nos que contengan la variable y, debe utilizarse la regla de derivación 10. Finalmen-

te, de la expresión obtenida se despeja .dy

dx

En el caso particular considerado, de la ecuación (10) se tiene que:

[ ]3 3 7 0 .d d

x y ydx dx

⎡ ⎤− − =⎣ ⎦

( ) ( ) ( )3 3 7 0d d d

x y ydx dx dx

− − = (regla de derivación 3 y regla de derivación 1).

2 23 3 7 0dy dy

x ydx dx

− ⋅ − = (regla de derivación 9 y regla de derivación 10).

( )2 23 7 3dy

y xdx

+ = (transposición de términos y factorización).

De donde 2

2

3.

3 7

dy x

dx y=

+

De manera similar, en el caso de la ecuación (2) se tiene:

2 2 25 0.x y+ − =

Entonces ( ) ( )2 2 (25) 0,d d d

x ydx dx dx

+ − =

2 2 0 0.dy

x ydx

+ ⋅ − =

De donde .dy x

dx y= −

Se obtiene de esta manera más sencilla el mismo resultado que el conseguido alderivar las igualdades (6) y (7).

En los ejemplos resueltos 19.6 y 19.7 del módulo 19 se ilustra nuevamente esteprocedimiento.

Módulo 12: Derivadas de orden superior y derivación implícita


Introducción

Las funciones que se han considerado hasta ahora reciben el nombre de funcionesalgebraicas (combinaciones de sumas, productos, potenciación, radicación y com-posición de polinomios, incluyendo las funciones racionales). Una función noalgebraica se denomina trascendente. La clase de funciones trascendentes incluyeentre otras las trigonométricas, las trigonométricas inversas, las exponenciales ylas logarítmicas.

Iniciamos en este módulo el estudio de las dos primeras funciones trascendentes,en lo concerniente a la derivación.


1. Repasar las funciones trascendentes: trigonométricas y trigonométricas inver-sas y sus reglas correspondientes de derivación.

Preguntas básicas

1. Una valla rectangular de 6 m de altura se coloca verticalmente en la parte supe-rior de un edificio, con su base inferior a una altura de 20 m. Si un observadorestá a una distancia x del pie del edificio, ¿cuál es la función en términos de lavariable x que expresa el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo delobservador a las bases superior e inferior de la valla?


13.1 Dos límites fundamentales13.2 Derivada de las funciones trigonométricas13.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

13Funciones trascendentes y sus derivadas

Carl Friedrich Gauss

Carl Gauss nació el 30 de abril 1777 en Brunswick, Alemania,y falleció en ese mismo país el 23 de febrero de 1855 (enGotinga).


13.1 Dos límites fundamentales

En esta sección presentamos dos límites básicos para calcular límites de funcionestrigonométricas, que también serán usados en la deducción de las fórmulas para laderivada de las funciones seno y coseno.

Cuando se discutan los tópicos antes mencionados para alguna función trigono-métrica específica (sen t, tan x, cos θ ), se asumirá que las variables que representanángulos están dadas en radianes.

La función sen

( )t

f tt

= no está definida para t = 0. Sin embargo, cuando t tiende a

cero, f (t) se aproxima a 1, como lo muestra el siguiente teorema.

Teorema 1

0

senlim 1.t

t

t→=

Demostración: ver el ejercicio 5a de los ejercicios resueltos del capítulo 1.

Teorema 2

0

1 coslim 0.t

t

t→

−=

Demostración : ver el ejercicio 5b de los ejercicios resueltos del capítulo 1.

13.2 Derivada de las funciones trigonométricas

Teorema 3: Derivada de las funciones trigonométricas

a. (sen ) cos .xD x x=

b. (cos ) sen .xD x x= −

c. 2(tan ) sec .xD x x=

d. 2(cot ) csc .xD x x= −

e. (sec ) sec tan .xD x x x= ⋅

f. (csc ) csc cot .xD x x x= − ⋅




Prueba

a. (sen )xD x ( )

0

sen senlim ,h

x h x

h→

+ −=

0

sen cosh senh cos senlim .h

x x x

h→

+ −=

(recuerde que sen ( ) sen cos sen cosα β α β β α+ = + )

(sen )xD x 0

senh cos sen (1 cosh)lim ,h

x x

h→

− −=

0

senh 1 coshlim cos sen .h

x xh h→

−⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Como

( )0 0

senh senhlim cos cos lim cos 1h h

x x xh h→ →

⋅ = ⋅ = ⋅ (teorema 1),

cos x=

y

0

1 coshlimsenh

xh→

−⋅

0

1 coshsen lim ,

hx

h→

−= ⋅

( )( )sen 0x= (teorema 2),

= 0,

se puede escribir entonces

( )sen cos 0 cos .xD x x x= − =

b. (cos )xD x ( )

0

cos coslim ,h

x h x

h→

+ −=

0

cos cosh sen senh coslim .h

x x x

h→

− −=

(recuerde que cos( ) cos cos sen senα β α β α β+ = − )

( )cosxD x 0

senh 1 coshlim sen cos ,h

x xh h→

⎡ − ⎤⎛ ⎞= − ⋅ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

sen (1) cos (0),x x= − −

sen .x= −

Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas

Carl Friedrich Gauss

Gauss fue un niño prodigio que aprendió a contar antes dehablar correctamente. Su capacidad matemática le ayudópara ser el protegido del Duque de Brunswick mientrashacía sus estudios. A los 20 años se dedicó a la matemáticay al año siguiente se doctoró con la tesis: «Una nuevaprueba de que toda función algebraica racional entera deuna variable puede ser descompuesta en factores realesde primero y segundo grados». Gauss fue uno de lospredecesores de la física nuclear. Fue también astrónomo,físico, geodesta e inventor. A principios del siglo XIX,Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas , quebrindaban un análisis de su teoría de números,comprendiendo las ecuaciones que confirmaban su teoría.Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una basepara encontrar la solución de problemas de las cienciasfísicas y naturales.


c. Use la identidad sentan

cos

xx

x= y la regla de derivación 7 del módulo 11 y las

partes a y b.

d. Use la identidad 1

cot ,tan

xx

= la parte c y la regla de derivación 6 del

módulo 11.

e. Use la identidad 1

sec ,cos

xx

= la parte b y la regla de derivación 6 del

módulo 11.

f. Use la identidad 1

csc ,sen

xx

= la parte a y la regla de derivación 6 del

módulo 11.

Observación

Si u (x) es una función derivable, entonces mediante el teorema anterior y la regla dela cadena (regla de derivación 8 del módulo 11) se pueden demostrar las siguientesreglas generales para derivar funciones trigonométricas:


sen ( ) cos ( ) .dy du

y u x u xdx dx

= ⇒ = ⋅


cos ( ) sen ( ) .dy du

y u x u xdx dx

= ⇒ = − ⋅


2tan ( ) sec ( ) .dy du

y u x u xdx dx

= ⇒ = ⋅


2cot ( ) csc ( ) .dy du

y u x u xdx dx

= ⇒ = − ⋅


sec ( ) sec ( ) tan ( ) .dy du

y u x u x u xdx dx

= ⇒ = ⋅ ⋅


csc ( ) csc ( ) cot ( ) .dy du

y u x u x u xdx dx

= ⇒ = − ⋅ ⋅



En los ejercicios resueltos 19.4c, 19.4d y 19.9 del módulo 19, y también en el ejemplo22.3, se ilustra la manera de usar las reglas de derivación con funcionestrigonométricas.

13.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Si estamos interesados en hallar la inversa de la función y = sen x, entonces, al hacerel intercambio de variables, se obtiene la ecuación x = sen y, cuya gráfica aparece enla figura 13.1.

En la gráfica se reconoce inmediatamente que la ecuación x = sen y no define a ycomo función de x, puesto que cualquier recta vertical de la forma x = a, con

1 1a− ≤ ≤ , corta la gráfica en más de un punto.

Figura 13.1

Si se examina la gráfica de la función y = sen x (figura 13.2), se observa que exten-diendo el dominio a todo el eje real éste puede descomponerse en infinidad desubintervalos de longitud ,π en los cuales la función es monótona (o es crecienteo es decreciente).


Figura 13.2

Escuche el audio Leibniz, un pensador universalen su multimedia de Elementos Básicos deCálculo Diferencial.


En la figura 13.3 se ilustra uno de los subintervalos en donde la función seno escreciente.

Figura 13.3

Este hecho, conjuntamente con la continuidad, equivale a afirmar que en cualquierade estos subintervalos la función y = sen x es biyectiva (1 a 1 y sobre) y que, portanto, se garantiza la existencia de la función inversa.

Las demás funciones trigonométricas, debido a su periodicidad, tampoco admitenfunción inversa, salvo que se restrinja apropiadamente su dominio a subintervalosen los cuales las funciones sean biyectivas y se garantice de esta forma la existenciade la función trigonométrica inversa correspondiente.

Lo anterior nos permite establecer las siguientes definiciones:

Definiciones

La función seno inversa, denotada por 1sen x− o arcsen x, se define así:

1sen sen ,y x x y−= ⇔ = donde 1 1, y2 2

x yπ π

− ≤ ≤ − ≤ ≤ .

La función coseno inversa, denotada por 1cos x− o arccos x, se define así:

1cos cos ,y x x y−= ⇔ = donde 1 1 y 0x y π− ≤ ≤ ≤ ≤ .

La función tangente inversa, denotada por 1tan x− o arctan x, se define así:

1tan tan ,y x x y−= ⇔ = donde y .2 2

x yπ π

∈ℜ − < <

La función cotangente inversa, denotada por 1cot x− o arccot x, se defineasí:

1cot cot ,y x x y−= ⇔ = donde y .x yπ π∈ℜ − < <



La función secante inversa, denotada por 1sec x− o arcsec x, se define así:

1sec sec ,y x x y−= ⇔ = donde 1 e 0, , .2 2

x yπ π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤≥ ∈ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦∪

La función cosecante inversa, denotada por 1csc x− o arccsc x, se defineasí:

1csc csc ,y x x y−= ⇔ = donde 1 e ,0 0, .2 2

x yπ π⎡ ⎞ ⎛ ⎤≥ ∈ − ⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦

∪

En la figura 13.4, aparecen las gráficas de cuatro de las funciones trigonométricasinversas.



Figura 13.4

Observaciones

1. De las definiciones anteriores se sigue que:

1sen (sen ) 1,x− = para [ ]1, 1 ,x∈ −

1sen (sen ) 1,y− = para , .2 2

yπ π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Igualmente,1cos (cos ) 1,x− = para [ ]1, 1 ,x∈ −

1cos (cos ) 1,y− = para [ ]0, .y π∈

2. Algunos textos clásicos ofrecen definiciones alternativas del coseno, la co-tangente, la secante y la cosecante inversas, con base en los diferentesintervalos de definición de la función trigonométrica correspondiente, de lasiguiente forma:

1 1cos sen ,2

x xπ− −= − para 1.x ≤

1 1cot tan ,2

x xπ− −= − para .x∈ℜ

1 1 1sec cos ,x

x− −= para 1.x ≥



1 1 1csc sen ,x

x− −= para 1.x ≥

Las definiciones anteriores no solamente presentan un esquema sencillo, sino quetambién son útiles para operaciones con calculadoras y para deducir fácilmente lasfórmulas de derivación de las mismas, como se indica en el siguiente teorema.

Teorema 4: Derivada de las funciones trigonométricas inversas

Sea u(x) una función derivable en su dominio. Entonces:


1

2

1(sen ( )) ( ),

1 ( ( ))xD u x u x

u x

− ′= ⋅− para 1 ( ) 1.u x− < <


1

2

1(cos ( )) ( ),

1 ( ( ))xD u x u x

u x

− − ′= ⋅− para 1 ( ) 1.u x− < <


12

1(tan ( )) ( ).

1 ( ( ))xD u x u xu x

− ′= ⋅+


12

1(cot ( )) ( ).

1 ( ( ))xD u x u xu x

− − ′= ⋅+


1

2

1(sec ( )) ( ),

( ) ( ( )) 1xD u x u x

u x u x

− ′= ⋅− siempre que ( ) 1.u x >


1

2

1(csc ( )) ( ),

( ) ( ( )) 1xD u x u x

u x u x

− − ′= ⋅− para ( ) 1.u x >

Demostración

Demostraremos solamente la regla de derivación 17 y la regla de derivación 21.Las reglas restantes se demuestran en forma similar y se dejan como ejercicio parael lector.



Como 1sen sen ,y x x y−= ⇔ = entonces, derivando implícitamente la última igual-

dad, se tiene que:

( ) (sen ) (sen ) ( ).x x y xD x D y D y D y= = ⋅

Esto es, 1 cos ,dy

ydx

= ⋅ de donde 1

.cos

dy

dx y= (1)

Como cos y es positivo en el intervalo , ,2 2

π π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

entonces

2 2cos 1 sen 1y y x= − = − y sustituyendo en (1) se obtiene finalmente

1

2

(sen ) 1 1,

cos 1

dy d x

dx dx y x

−

= = =−

siempre que 1.x < (2)

Ahora, si u(x) es una función derivable y tal que ( ) 1,u x < y si además

1sen ( ),y u x−= entonces, de acuerdo a la regla de la cadena (regla de derivación 8,

módulo 11), se tiene que

1(sen ( )) .dy d du

u xdx du dx

−= ⋅

Entonces, aplicando (2), se obtiene 1

2

1(sen ( )) ( ).

1 ( ( ))xD u x u x

u x

− ′= ⋅−

Para demostrar la regla de derivación 21 se tiene que, de acuerdo a la definiciónalternativa de secante inversa,

1 1 1sec ( ) cos ,

( )u x

u x− − ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

siempre que ( ) 1.u x ≥

Ahora, de acuerdo a la segunda fórmula, 1 1cos

( )u x− es derivable si

11,

( )u x< esto

es, si ( ) 1.u x >

Por tanto, 1sec ( )u x− es derivable si ( ) 1.u x > De esta forma,

1 122

1 1 ( )(sec ( )) (cos ) ,

( ) ( )11

( )

x x

u xD u x D

u x u x

u x

− − ′⎛ ⎞− −= = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠



2

2 2

( )( ).

( ) ( ) 1

u xu x

u x u x′= ⋅

⋅ −

Como 2( ) ( ) ,u x u x= entonces 22( ) ( )u x u x= y se tiene finalmente que

1

2

1(sec ( )) ( ),

( ) ( ( )) 1xD u x u x

u x u x

− ′= ⋅−

siempre que ( ) 1.u x >

En el ejemplo 19.9d de la sección 19.2 se ilustra la manera de usar las reglas dederivación con funciones trigonométricas inversas.



Introducción

En el texto de Álgebra y Trigonometría de esta misma serie se presentaron con suspropiedades más importantes dos funciones que aparecen en muchas aplicacionesde la matemática, como son la función exponencial y la función logarítmica. Éstasaparecen como funciones inversas una de la otra, y el conocimiento de una de ellaspermite deducir el mismo comportamiento de la otra.

En este módulo asumimos que el lector conoce estas dos funciones con sus propie-dades básicas. Nos compete a nosotros presentar las reglas de derivación de lasmismas y sus respectivas generalizaciones.


1. Repasar las funciones trascendentes: exponencial y logarítmica y presentarsus reglas correspondientes de derivación.

2. Combinar adecuadamente las funciones ex y e–x para generar las funcioneshiperbólicas, sus derivadas y algunas aplicaciones a la ingeniería.

Preguntas básicas

Teniendo en cuenta que las funciones trigonométricas están intimamente relacio-nadas con el círculo trigonométrico, por esta razón en algunas ocasiones se lesllama funciones circulares. En efecto, las ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen tdescriben el círculo unitario x2 + y2 = 1.

1. ¿Se puede afirmar entonces que las ecuaciones paramétricas x = cosh t, y = senht describen alguna sección cónica conocida?

2. ¿Por qué el nombre de hiperbólicas?


14.1 Derivada de las funciones exponencial y logarítmica14.2 El número e como un límite14.3 Las funciones hiperbólicas y sus derivadas14.4 Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas14.5 Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y el gudermanniano

14Otras funciones trascendentes y susderivadas

El Gateway Arch es un monumento ubicado en el ParqueNacional Jefferson en la ciudad de San Luis, Estadode Missouri, Estados Unidos. Tiene la forma de un arcode la catenaria.

Escuche el audio Los Bernoulli y la catenaria ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


14.1 Derivada de las funciones exponencial y logarítmica

A pesar de que la función f (x) = ex ha sido estudiada en el curso de Álgebra yTrigonometría, nada se ha dicho acerca de su base e, excepto que es un númeroirracional cuya representación decimal viene dada por 2.7182818...e ≈

Existen muchas definiciones y teoremas acerca del número e, dependiendo en cadacaso de la necesidad teórica del autor. En nuestro caso se dará inicialmente ladefinición del número e como un número real que satisface cierta condición. Poste-riormente se presentará como resultado de un límite.

Definiciones

a. e es el número real que satisface la siguiente condición:

0

1lim 1.

h

h

e

h→

−=

b. Si a > 0, a ≠ 1 y

x∈

se define a x (función exponencial de base a) como:

ln .x x aa e ⋅=

Los siguientes teoremas, que se enuncian y se demuestran a continuación, recogenlas reglas de derivación para las funciones exponencial y logarítmica.

Teorema 1: Derivada de funciones exponenciales

a. ( ) .x xxD e e=

b. Regla de derivación 23 (RD23)

( ) ( )( ) ( ).u x u xxD e e u x′= ⋅

c. ( ) ln .x xxD a a a= ⋅

d. Regla de derivación 24 (RD24)

( ) ( )( ) ( ) ln .u x u xxD a a u x a′= ⋅ ⋅

Demostración

a. De acuerdo a la definición de derivada para una función, se tiene que:

0( ) lim

x h xx

x h

e eD e

h

+

→

−=

0lim ,

x h x

h

e e e

h→

⋅ −=




0 0

( 1) ( 1)lim lim ,

x h hx

h h

e e ee

h h→ →

− −= =

1xe= ⋅ (definición anterior, parte a).

.xe=

b. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8).

c. ( )xxD a ln( )x a

xD e ⋅= (definición anterior, parte b).

= ln ( ln )x axe D x a⋅ ⋅ ⋅ (regla de derivación 23).

ln ln .x ae a⋅= ⋅ lnxa a= ⋅ (definición anterior, parte b).

d. Use la parte c y la regla de la cadena (RD8).

Teorema 2: Derivada de funciones logarítmicas

a.1

(log ) .lnx aD x

x a=

⋅

b. Regla de derivación 25 (RD25)

( )(log ( )) ,

( ) lnx a

u xD u x

u x a

′=

⋅ siendo u (x) una función derivable.

c.1

(ln ) .xD xx

=

d. Regla derivación de 26 (RD26)

( )(ln ( )) .

( )x

u xD u x

u x

′=

Demostración

a. Sea log .ay x= De acuerdo a la definición de la función logarítmica,

log .yay x x a= ⇔ =

Derivando con respecto a x ambos miembros de la última igualdad, se tieneque:

( ) ( ),yx xD x D a=

1 ( ) lnyxa D y a= ⋅ (regla de derivación 24),

1 (log ) ln .x ax D x a= ⋅ ⋅

Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas


De donde,

1(log ) .

lnx aD xx a

=⋅

b. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8)

En particular, cuando ,a e= entonces log ln ,a x x= y log ( ) ln ( ).a u x u x=

Al sustituir en a y b se deducen inmediatamente las partes c y d.

En los ejemplos 19.9, 19.10, 19.13 y 19.15 de la sección 19.2 al final del capítulo 3, y enla sección 14.3 de este mismo capítulo, se ilustra la manera de usar las reglas dederivación mencionadas anteriormente.

Observaciones

a. Teniendo en cuenta que ln ,n n xx e ⋅= ,n∈ℜ se tiene entonces que:

ln( ) ( )n n xx xD x D e ⋅= = ln ( ln ),n x

xe D n x⋅ ⋅ ⋅

ln 1

,n xe nx

⋅= ⋅ ⋅

1 1.n nx n x n x− −= ⋅ ⋅ = ⋅

Nótese entonces que la derivada de xn, con ,n∈ℜ obedece a la mismafórmula desarrollada en la regla de derivación 9 (caso 2) para exponentesracionales.

b. Para hallar la derivada de expresiones algebraicas de la forma ( )( )g xf x se

puede aplicar la derivación logarítmica, como se ilustra a continuación.

Sea ( )( ) .g xy f x= (1)

Tomando logaritmo natural en ambos miembros de (1), se tiene que:

ln ( ) ln ( ).y g x f x= ⋅ (2)

Derivando ambos miembros de (2) con respecto a x,se puede escribir:

[ ](ln ) ( ) ln ( ) ,x xD y D g x f x= ⋅

( )( ) ln ( ) ( ) (ln ( )),x

x

D yg x f x g x D f x

y′= ⋅ + ⋅

( )( ) ln ( ) ( ) .

( )

f xg x f x g x

f x

′′= ⋅ + ⋅



De donde,

( )xD y =( )

( ( ) ln ( ) ( ) ).( )

f xy g x f x g x

f x

′′ ⋅ + ⋅

Esto es,

( )( ( ) )g xxD f x

( ) ( )( ) ( ) ln ( ) ( ) .

( )g x f x

f x g x f x g xf x

′⎛ ⎞′= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Otra forma en la que puede realizarse la derivada es escribiendo:

( )( ) ln ( ) ( ) ln ( )( ) ,g xg x f x g x f xf x e e ⋅⎡ ⎤= =⎣ ⎦

y aplicar luego la regla de derivación 23.

En el ejemplo 19.9c de la sección 19.2 al final del capítulo 3 se ilustra la manera deproceder en estos casos.

14.2 El número e como un límite

Teorema 3: El número e como un límite

1/

0lim(1 ) .h

he h

→= +

Demostración

Se hace la prueba asumiendo que la función ln x es continua en su dominio yademás que su derivada en x = 1 es igual a 1.

Sea f (x) = ln x, entonces 1'( ) y '(1) 1.f x f

x= =

De otro lado, usando la definición de derivada para la misma función se tiene que:

0 0

(1 ) (1) ln (1 ) ln1'(1) lim lim ,

h h

f h f hf

h h→ →

+ − + −= =

1/

0 0

1lim . ln (1 ) lim ln (1 ) .h

h hh h

h→ →⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦

Por tanto,

1/

01 lim ln (1 ) .h

hh

→⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (1)

Ahora, como la función logarítmica es continua en su dominio, se tiene que:

1/

01 ln lim(1 ) h

hh

→⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (sección 7.1.2).



y de aquí,

1/

0ln ln lim(1 ) h

he h

→⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ,

o equivalentemente,

1/

0lim(1 ) .h

he h

→= +

Observación

Es común dar la definición del número e mediante el límite anterior.

Es interesante hallar un valor aproximado para el número e. Para ello se calcula el valor

de 1/(1 ) hh+ para valores pequeños de h (tanto positivos como negativos) (tabla 14.1).

Tabla 14.1. Valores aproximados del número e

La última línea de la tabla anterior nos da valores para el número e con una aproxima-

ción de cinco cifras decimales. Es decir: 2.71828.e ≈

14.3 Las funciones hiperbólicas y sus derivadas

En algunos problemas de física e ingeniería se presentan ciertas combinaciones delas funciones ex y e–x que por su interés y características especiales merecen serconsideradas con algún detenimiento. Tales combinaciones de ex y e–x se llamanfunciones hiperbólicas y se definen de la siguiente manera:

Definiciones

a. La función coseno hiperbólico, denotada por cosh x, se define como

cosh ,2

x xe ex

−+= x cualquier real.


h

0.10.001

0.00010.00001

0.000001

2.7048142.716924

2.7181462.7182682.718280

− 0.1−0.001

−0.0001−0.00001−0.000001

2.7319992.719642

2.7184182.7182952.718283

h

1/(1 ) hh+

1/(1 ) hh+


b. La función seno hiperbólico, denotada por senh x, se define como

senh ,2

x xe ex

−−= x real.

Observación

Las funciones senh x y cosh x son las funciones hiperbólicas de más frecuente uso.A partir de éstas se definen las funciones tangente hiperbólica, cotangentehiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica de la siguiente manera:

a.senh

tanh , realcosh

xx x

x=

b.cosh

coth , 0.senh

xx x

x= ≠

c.1

sech , real.cosh

x xx

=

d.1

csch , 0.senh

x xx

= ≠

De acuerdo con las definiciones anteriores, se tiene lo siguiente:

a. tanh , real.x x

x x

e ex x

e e

−

−

−=

+

b. coth , 0.x x

x x

e ex x

e e

−

−

+= ≠

−

c.2

sech , real.x x

x xe e−=+

d.2

csch , 0.x x

x xe e−= ≠−

En el siguiente teorema se presentan algunas identidades importantes relativas alas funciones hiperbólicas y cuyas demostraciones son sencillas de realizar.

Teorema 4

a. 2 2cosh senh 1.x x− =b. cosh senh .xx x e+ =c. cosh senh .xx x e−− =

d. senh ( ) senh cosh cosh senh .a b a b a b± = ±



e. cosh ( ) cosh cosh senh senh .a b a b a b± = ±

f. senh 2 2senh cosh .x x x=

g. 2 2cosh 2 cosh senh .x x x= +

h. 2 cosh 2 1senh .

2

xx

−=

i. 2 cosh 2 1cosh .

2

xx

+=

j. 2 21 tanh sech .x x− =

k. 2 21 coth csch .x x− = −

Ejemplo 14.1

i. Demuestre que cosh x > 0, para cualquier .x∈ℜii. Demuestre que senh x≥ 0, siempre que x ≥ 0, y senh x < 0, siempre que x < 0.

Solución

i. Puesto que ex > 0 y e–x > 0 para cualquier ,x∈ℜ entonces 0,2

x xe e−+>

esto es, cosh x > 0, para todo .x∈ℜ

En particular, 0 0

cosh 0 1.1

e e−+= =

ii. Para 0,x ≥ se tiene que ,x x≥ − y como la función exponencial ex es crecien-

te, entonces ,x xe e−≥ de donde 0 senh 0.2

x xe ex

−−≥ ⇔ ≥

En particular, 0 0

senh 0 0.2

e e−−= =

Para x < 0, se tiene que x < −x, y como la función exponencial ex es creciente,

entonces ex < e–x, de donde 0 senh 0.2

x xe ex

−−< ⇔ <

En el ejemplo 25.4 al final del módulo 25 se analiza y se traza la gráfica de la funciónsenh x con todos sus elementos.

Por ser combinación de funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas sonderivables para todo x (x ≠ 0, para coth x y para csch x).

El siguiente teorema reúne las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas.

Teorema 5: Derivada de las funciones hiperbólicas


(senh ( )) cosh ( ) · ( ).xD u x u x u x′=




(cosh ( )) senh ( ) · ( ).xD u x u x u x′=


2(tanh ( )) sech ( ) · ( ).xD u x u x u x′=


2(coth ( )) csch ( ) · ( ).xD u x u x u x′=−


(sech ( )) sech ( ) · tanh ( ) · ( ).xD u x u x u x u x′=−


(csch ( )) csch ( ) · coth ( ) · ( ).xD u x u x u x u x′=−

Demostración

( ) ( )

(cosh ( )) ,2

u x u x

x x

e eD u x D

−⎛ ⎞+= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( ) ( )1· ( ) ( ) ,

2u x u xe u x e u x−′ ′= −

( )( ) ( )1· ( ),

2u x u xe e u x− ′= −

senh ( ) · '( ).u x u x=

2

1 1(sech ( )) · senh ( ) · ( ),

cosh ( ) cosh ( )x xD u x D u x u xu x u x

⎛ ⎞ − ′= =⎜ ⎟⎝ ⎠

sec ( ) · tan ( ) · ( ).hu x hu x u x′= −

14.4 Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas

Puesto que la función senh2

x xe ex

−−= es continua y creciente en los reales (vea

el ejemplo 25.4 del módulo 25), entonces existe su inversa (teorema 1, sección 3.7,apéndice III), la cual se denota por senh–1 x. En el caso de la función cosh x esnecesario restringir su dominio (intervalo donde sea continua y monótona) paraque exista la función inversa. La función tanh x toma todos sus valores en elintervalo (–1, 1) y por tanto su inversa tiene su dominio en dicho intervalo. Con lasanotaciones anteriores, la definición de las tres primeras funciones hiperbólicasinversas es la siguiente:



Definiciones

a. 1= senh = senh ; .y x x y y− ⇔ ∈ℜ

b. 1= cosh = cosh ; 0.y x x y y− ⇔ ≥

c. 1= tanh = tanh ; .y x x y y− ⇔ ∈ℜ

Se deja al lector el considerar la definición de las demás funciones hiperbólicasinversas. Las funciones hiperbólicas inversas figuran en algunas calculadoras ytablas.

Así como las funciones hiperbólicas se expresan en términos de exponenciales, lasinversas se expresan mediante logaritmos. Comencemos por ejemplo con la inversade senh x.

1= senh = senh ,y x x y− ⇔

,2

y ye ex

−−=

221

2 1 0,2

yy y

y

ex e xe

e

−= ⇔ − − =

( ) ( )22 1 0.y ye x e⇔ − − = (1)

La ecuación (1) corresponde a una ecuación cuadrática en ey y, por tanto,

( )2

22 4 41 .

2y x x

e x x± +

= = ± +

Como 20 y 1,ye x x> < + el signo ( )− debe descartarse. Así que:

( )( )

2 2

1 2

1 ln 1 ,

senh ln 1 .

ye x x y x x

x x x−

= + + ⇔ = + +

⇔ = + +

Por tanto, ( )1 2senh ln 1 .x x x− = + + (2)

Si se quiere, por ejemplo, calcular la derivada de 1senh ,x− se utiliza la última identi-

dad (2) y la regla de derivación 26.

De manera similar se pueden expresar las demás funciones hiperbólicas inversas, entérminos de logaritmos, las cuales aparecen en la tabla 14.2, con sus respectivosdominios y la regla correspondiente de derivación. En el ejercicio 19.11 de la sección19.2 se demuestra la fórmula correspondiente a cosh–1 x.



Tabla 14.2. Funciones hiperbólicas inversas en términos de logaritmos

2

1

1x x

−

+1csch x−

2

1 1ln 1

x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠0x ≠

Derivada Dominio de f

2

1

1x +eje x

2

1

1x − 1x ≥

2

1

1 x− 1x <

2

1

1 x−1x >

0 1x< ≤2

1

1x x

−

−

Función Fórmula

( )2ln 1x x+ +

1cosh x− ( )2ln 1x x+ −

1tanh x− 1 1ln

2 1

x

x

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1coth x− 1 1ln

2 1

x

x

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

21 1ln

x

x

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1sech x−

14.5 Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y elgudermanniano

La catenaria

Si un cable flexible homogéneo o una cadena están suspendidos entre dos puntosfijos a la misma altura, forman una curva llamada catenaria (figura 14.1a). Además,se puede colocar una catenaria en un sistema coordenado, de modo que la ecuación

toma la forma coshx

y aa

= .


1senh x−


Figura 14.1

Para deducir la ecuación de la catenaria consideremos la sección AP del punto másbajo A al punto P (x, y) (figura 14.1b), e imaginemos que ha sido retirada la parterestante del cable.

Las fuerzas que actúan sobre el cable son:

H: tensión horizontal que tira de A.T: tensión tangencial que tira de P.W = :Sδ peso del cable cuya densidad es δ libras/pie.

Para que la porción de cable esté en equilibrio, se debe cumplir que:

cos .T H=ϕ (1)

sen .T W S= =ϕ δ (2)

De (1) y (2) se deduce que

sentan .

cos

T S

T H= =

ϕ δϕϕ

Dado que tan ,dy

dxϕ = se obtiene

dyS

dx H

δ= (S, longitud, es función de x). (3)

Derivando nuevamente ambos miembros de (3) con respecto a x, se obtiene

2

2· ,

d y dS

H dxdx=δ

y como

2

1 ,dS dy

dx dx⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

la última ecuación se puede escribir finalmente como



22

21 .

d y dy

H dxdx

δ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

Demostraremos ahora que coshx

y aa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

satisface la ecuación diferencial (4) para

.H

aδ

=

Si cosh cosh ,x H

y a xa H

δδ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

entonces

2

2

2

2

senh . senh ,

senh cosh . ,

cosh .

dy Hx x

dx H H H

d y d dy dx x

dx dx dx H H Hdx

d yx

H Hdx

δ δ δδ

δ δ δ

δ δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Pero de la identidad

2 2cosh senh 1x xH H

δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(teorema 4, parte a),

y teniendo en cuenta que cosh es mayor o igual a 1, se deduce que

2cosh 1 senh .x xH H

δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Así que

22

21 .

d y dy

H dxdx

δ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

El gudermanniano

El gudermanniano de t, denotado por gd (t), se define como

1( ) tan (senh ).gd t t−=

a. Pruebe que gd (t) es una función impar.

Debemos probar que ( ) ( ).gd t gd t− = −



En efecto,

( )

( )1 1

1 1

( ) tan (senh( )) tan ,2

tan ( senh ) tan senh ,

( ).

t te egd t t

t t

gd t

− − −− −

− −

⎛ ⎞−− = − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠= − = −

= −

b. Pruebe que gd (t) es una función creciente.

En efecto,

1

2

2

( ) (tan (senh ),

1(senh ),

1 senh1 1

. cosh .coshcosh

t t

t

D gd t D t

D tt

ttt

−=

=+

= =

Puesto que cos 1,ht ≥ entonces 1

0,cosh t

> lo que indica que la derivada de

gd (t) es positiva y de esta forma la función es creciente (teorema 23.1).



Introducción

Al analizar la forma de una curva muchas veces se necesita conocer el comporta-miento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de lacurva, juntas o por separado, tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para unpunto (x, y) o (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos:

}

1. Cuando , entonces ( )límites al infinito

2. Cuando , entonces ( )

3. Cuando , entonces ( ) límites infinitos

x y f x

x y f x k

x a y f x

→∞ = → ∞⎫⎬→ ∞ = → ⎭

→ = → ∞

Aquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproximaindefinidamente a una recta llamada «asíntota» de la curva y cuya definición ydeterminación se precisarán más adelante.


1. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites al infinito, así como tam-bién su significado geométrico en el plano cartesiano.

2. Introducir la noción de asíntota (en particular la asíntota horizontal) y su rela-ción con los límites al infinito.

Preguntas básicas

1. Supóngase que lim ( ) lim ( )x x

f x g x→∞ →∞

= ∞ = .

¿Se puede afirmar que

( )lim ( ) ( ) 0?x

f x g x→∞

− =

¿Se puede afirmar que ( )

lim 1( )x

f x

g x→∞= ?

2. Supóngase que lim ( ) , ,x

f x P P→∞

= ∈ℜ y

lim ( ) .x

g x→∞

= ∞

¿Qué puede afirmarse del límite

lim ( ) ( )x

f x g x→∞

⋅

?

(Analice sus respuestas).

3. ¿Puede una asíntota horizontal de una curva intersecar la curva? Trate de dar surespuesta con un gráfico aproximado.


15.1 Límites al infinito15.2 Teoremas sobre límites al infinito15.3 Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontales

15.3.1 Clasificación de las asíntotas

15Límites al infinito y asíntotas de una curva

Sea

π

el plano complejo y consideremos una esfera unidad

σ

tangente a

π

en z = 0. El diámetro NS es

perpendicular a π y llamamos a los puntos N y S los polos

norte y sur de la esfera.

Para cualquier punto A sobre el plano podemos construiruna recta NA que corta a S en el punto A´. En este caso, acada punto del plano complejo le corresponde un único puntode la esfera, con lo que podemos representar cualquiernúmero complejo por un punto sobre la esfera.



Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se apro-xima cada vez más al valor 1.5. Observe, además, que cuando x = 100, entonces

( ) 1.5 0.00246,f x − = y cuando x = 1.000, entonces ( ) 1.5 0.00024.f x − =

Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces la

cantidad ( ) 1.5f x − se hace cada vez más pequeña.

15.1 Límites al infinito

En el capítulo 1 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando ,x a→

x a+→ o ,x a−→ siendo a un número real. Ahora, se quiere conocer el compor-

tamiento de f (x) cuando la variable x toma valores positivos o negativos tan gran-des en valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en elcálculo usando los símbolos x →+∞ o .x → −∞

Considere por ejemplo la función 3 4

( ) , 3 / 2,2 3

xy f x x

x

+= = ≠ −

+ y cuya gráfica

aparece en la figura 15.1.

Figura 15.1

En la tabla 15.1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x tomasucesivamente los valores 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000.

Tabla 15.1. Valores de f (x), con x positivo Tabla 15.2. Valores de f (x), con x negativo

x

1101001.000

100.000

3 4( )

2 3

xf x

x

+=

+

0

10.000

1.41.478261.49753691.4997504

1.4999975

1.33

1.499975

x3 4

( )2 3

xf x

x

+=

+

−1−10−100−1.000−10.000−100.000

11.52941.5025381.500251.5000251.5000025


Supóngase ahora que se quiere que ( ) 1.5 0.001.f x − < ¿Qué valores de la varia-

ble x satisfacen esta desigualdad?

Se puede demostrar fácilmente que si 248.5,x > entonces ( ) 1.5 0.001.f x − < En

particular, si 250, (250) 1.5 1/1.006 1/1.000.x f= − = <

Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:

Dado un número 0,∈ > tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un núme-

ro 0B > tal que si ,x B> entonces ( ) 1,5f x − < ∈ y esto se expresa escribiendo

lim ( ) 1.5.x

f x→+∞

=

Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 15.2. Nótese que a medida quela variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x)se aproxima cada vez más al valor 1.5.

Así, cuando x = – 100, ( ) 1.5 0.0294,f x − =

y cuando x = – 10.000, ( ) 1.5 0.000025.f x − =

Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta: ¿para qué valores de x negativos

se verifica que ( ) 1.5 0.001f x − < ?

Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que si 251.5x < − se cumple la

desigualdad deseada. En particular, si 252,x = − 1

( 252) 1.5 0.001.1.002

f − − = <

Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número 0,∈ > se puede

encontrar un número 0B < tal que si ,x B< entonces ( ) 1.5f x − < ∈ y esto

equivale a decir que lim ( ) 1.5.x

f x→−∞

=

De una manera más general se tienen las siguientes definiciones:

Definiciones

a. Sea f una función definida en un intervalo I = [a, +∞). Por tanto, lim ( )x

f x L→+∞

=

( )L ∈ℜ si y sólo si para cada 0∈ > existe un B > 0 tal que, para todo ,x I∈

si x > B, entonces ( ) .f x L− < ∈

b. Sea f una función definida en un intervalo I = (–∞, a]. Por tanto, lim ( )x

f x L→−∞

=

L∈ℜ si y sólo si para cada 0∈ > existe un 0B < tal que, para todo ,x I∈

si ,x B< entonces ( ) .f x L− < ∈

Chiste matemático

Demuestre que →∞

=sin

lim 6n

x

n

Prueba: cancele la n del numerador y deldenominador; queda six = 6

(six, en inglés, es seis).


Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva


Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realObservaciones

i. La definición anterior (parte a) puede interpretarse geométricamente asi: fija-do un número positivo ∈, siempre es posible encontrar un número positivoB a partir del cual todos los valores funcionales están en el intervalo

( , )L L−∈ +∈ (figura 15.2).

Similarmente, la parte b puede interpretarse así: fijado un número positivo ∈,siempre es posible encontrar un número negativo B para el cual, si se evalúala función en puntos anteriores a B, dichos valores funcionales están en el

intervalo ( , )L L−∈ +∈ (figura 15.2).

Figura 15.2

ii. Para una función dada puede suceder que:

1. lim ( ) ,x

f x L→−∞

= y lim ( ) ,x

f x K→+∞

= .L K≠

Así por ejemplo, para la función 2 4

( ) ,2

xf x

x

+=

+ y cuya gráfica apa-

rece en la figura 15.3, se cumple que:

2 4lim ( ) lim 1,

2x x

xf x

x→−∞ →−∞

+= = −

+

2 4lim ( ) lim 1.

2x x

xf x

x→+∞ →+∞

+= =

+

(vea el ejercicio 16 de la sección 19.2).


Figura 15.3

2. lim ( ) lim ( ) .x x

f x f x L→−∞ →+∞

= =

En este caso se puede escribir simplemente lim ( ) .x

f x L→∞

=

Así por ejemplo, para la función 2

2

4 1( ) ,

2

xf x

x

−=

+ cuya gráfica aparece

en la figura 15.4, se cumple que:

2

22

22

2

4 1lim ( ) lim 4

4 11 lim 4.14 1

lim ( ) lim 41

x x

x

x x

xf x

xxxx

f xx

→−∞ →−∞

→∞

→+∞ →+∞

⎫−= = ⎪ −⎪+ ⇒ =⎬

+− ⎪= = ⎪+ ⎭

(vea el ejercicio 18 de la sección 19.2).

Figura 15.4




15.2 Teoremas sobre límites al infinito

Los siguientes teoremas proporcionan herramientas importantes para la manipula-ción con límites al infinito.

Teorema 1: Álgebra de límites al infinito

1. Sean f, g dos funciones tales que 1lim ( )x

f x L→+∞

= y 2lim ( ) ,x

g x L→+∞

= y sea

.K ∈ℜ Entonces:

i. [ ] 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x

f x g x f x g x L L→+∞ →+∞ →+∞

± = ± = ±

ii. 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x

f x g x f x g x L L→+∞ →+∞ →+∞

⋅ = ⋅ = ⋅

iii. 1lim ( ) lim ( ) .x x

K f x K f x K L→+∞ →+∞

⋅ = ⋅ = ⋅

iv.1

22

lim ( )( )lim , 0.

( ) lim ( )x

xx

f x Lf xL

g x g x L→+∞

→+∞→+∞

= = ≠

2. Si existe un real B tal que f (x) = g (x) para todo x > B y si además

1lim ( ) ,x

f x L→+∞

= entonces 1lim ( ) .x

g x L→+∞

=

3. Si n es un entero positivo y lim ( ) ,x

f x L→+∞

= entonces

lim ( ) lim ( ) .nn nx x

f x f x L→+∞ →+∞

= =

Si n es par, L debe ser positivo.

Teorema 2

1lim 0.x x→+∞

=

Generalización: si ,n∈ entonces 1

lim 0.nx x→+∞=

Observaciones

i. Los teoremas son igualmente válidos cuando se reemplaza x →+∞ por.x → −∞

ii. La hipótesis establecida en el teorema 1, con respecto a la exigencia de quelos límites de f (x) y g (x) sean los números reales L

1 y L

2, es esencial, ya que

si esta condición no se cumple, el teorema puede no ser válido; así porejemplo, para la diferencia del límite, se tiene:

2lim 3 2 ,x

x x→∞

+ + = ∞ y lim .x

x→∞

= ∞

Teorema del sánduche para límites al infinito

El teorema del sánduche también es válido para límites

cuando .x →±∞

Como se sabe,

1 sen 1.x− ≤ ≤Así, para x > 0,

sen1 1 .xx x x− ≤ ≤

Como

( )1 1lim lim 0,x xx x→+∞ →+∞− = =

por el teorema del sánduche se sigue que

senlim 0.xxx→+∞=

También, como

sen( ) sen( )

x xx x−

− =

se sigue que

senlim 0.xxx →−∞

=

Como se ve, la gráfica oscila en torno del eje x. Las

oscilaciones tienden a cero, cuando .x →±∞


Sin embargo, 2 2lim( 3 2 ) lim 3 2 limx x x

x x x x x x→∞ →∞ →∞

+ + − ≠ + + − = ∞ −∞

(indeterminado).

En efecto:

22 2

2

( 3 2 )lim 3 2 lim ( 3 2 ),

( 3 2 )x x

x x xx x x x x x

x x x→∞ →∞

+ + −+ + − = + + +

+ + +

2 2 2

2 2

( 3 2) 3 2lim lim ,

( 3 2 ) 3 2x x

x x x x

x x x x x x→∞ →∞

+ + − += =

+ + + + + +

2

23

lim3 2

1 1x

x

x x

→∞

+=

+ + + (dividiendo numerador y denominador por x).

Pero 2

2 3 2lim lim lim 0x x xx x x→∞ →∞ →∞

= = = (teorema 2 y su generalización).

También, lim 3 3, y lim1 1.x x→∞ →∞

= =

Por tanto, 2

2

23 3

lim 3 2 lim .23 2

1 1x x

xx x x

x x

→∞ →∞

++ + − = =

+ + +

De otro lado, para el límite del producto se tiene:

3lim 0, y lim 2 .x x

xx→∞ →∞= = ∞

Sin embargo, 3 3

lim 2 lim lim 2 0x x x

x xx x→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ≠ ⋅ = ⋅∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(indeterminado).

Pero 3 6

lim 2 lim lim 6 6.x x x

xx

x x→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞ ⋅ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

iii. En los capítulos 1 y 2, al evaluar ciertos límites, se presentó la forma indetermina-

da 0

.0

Otras formas indeterminadas son las siguientes:

0 0, ( ), 0 , 0 , , 1 .∞∞

∞ −∞ ⋅∞ ∞∞

En los ejercicios 16, 17 y 18 de la sección 19.2 se ilustra el tratamiento de las

formas∞∞

y ( ),∞−∞ dejando el tratamiento de las demás para el módulo

18, cuando presentemos la regla de L’Hopital.



Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEl siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, facilita la evaluación delímites al infinito para funciones racionales y en los cuales sólo se necesita compa-rar los grados del numerador y del denominador para su determinación.

Teorema 3: Límite al infinito para funciones racionales

Sea 1

1 1 01

1 1 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

a x a x a x ah xf x

g x b x b x b x b

−−

−−

+ + + += =

+ + + + una función racional, con

, 0,m na b ≠ m y n enteros positivos. Por consiguiente:

i Si m < n (grado N < grado D), entonces ( )

lim 0.( )x

h x

g x→+∞=

ii. Si m = n (grado N = grado D), entonces ( )

lim .( )

m

xn

ah x

g x b→+∞=

iii. Si m > n (grado N > grado D), entonces ( )

lim .( )x

h x

g x→+∞= ∞

Así por ejemplo,

2

3 5lim 0

2 6x

x

x x→+∞

−=

+ +(puesto que el grado del numerador es menor

que el grado del denominador).

3

2 3

4 5 8 4lim

51 2 3 5x

x x

x x x→+∞

+ −=−− + −

(puesto que el grado del numerador es igual al

grado del denominador).

24 5lim

2x

x

x→+∞

−= +∞

+(puesto que el grado del numerador es mayor que

el grado del denominador).

Los límites al infinito tratados anteriormente están íntimamente ligados con el con-cepto de asíntota de una curva, que se describe y detalla a continuación.

15.3 Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontales

En primer lugar, se dice que un punto desplazable M se mueve a lo largo de unacurva hacia infinito si la distancia entre este punto M y el origen de coordenadascrece indefinidamente.


Definición

Si la distanciaδ entre una recta A y el punto desplazable M de una curva tiende acero, mientras que el punto M tiende a infinito, se dice que la recta A es una asíntotade la curva (figura 15.5).




Figura 15.5


15.3.1 Clasificación de las asíntotas

En el trazado de una curva es preciso distinguir las asíntotas verticales, x = a en lafigura 15.5a (rectas paralelas al eje y), las asíntotas horizontales, y = k en la figura15.5b (rectas paralelas al eje x), y las asíntotas oblicuas, que son rectas de la formay = mx + b (figuras 15.5c y d).

Asíntotas horizontales

La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f (x) si lim ( )x

f x k→+∞

= o

lim ( ) .x

f x k→−∞

=

Asi por ejemplo, la función 2

2

4 1( )

2

xf x

x

−=

+ (figura 15.4) tiene a la recta y = 4 como

asíntota horizontal. La función 2

( )3

f xx

=−

(figura 15.6) tiene a la recta y = 0 (eje x)

como asíntota horizontal. La función 2 4

( )2

xf x

x

+=

+ (figura 15.3) tiene dos asíntotas

horizontales: y = 1 y y = 1.−

Las asíntotas horizontales son un caso particular de las asíntotas oblicuas y = mx + b(si m = 0, la asíntota es horizontal) que se describen y determinan con más detalle enel módulo 17 de este mismo capítulo.

Figura 15.6


Introducción

Las gráficas de las funciones racionales ( )

( )( )

p xf x

q x= y de los polinomios tienen

varias características en común. Por ejemplo, una función racional, al igual que lospolinomios, tiene un número finito de raíces, pues f (x)se anula en los puntos en loscuales p(x) se anula.

Puede llegar a suceder que el polinomio del denominador q(x) tenga una raíz en unpunto x = a, donde no se anula p(x). En este caso, el valor de f (x) será muy grandecuando x esté muy cerca de a. Esto significa que la gráfica de una función racionaltiene una característica que la gráfica de un polinomio no posee, esto es, unaasíntota vertical.


1. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites infinitos, así como tam-bién su significado geométrico en el plano cartesiano.

2. Introducir la noción de asíntota vertical y su relación con los límites infinitos.

Preguntas básicas

1. Frecuentemente en los cursos de cálculo se menciona la siguiente receta: «Para

hallar las asíntotas verticales de ( )

( ) ,( )

f xh x

g x= basta resolver

g(x) = 0». Dé un ejemplo en el que ( ) 0,g a = pero no existe asíntota vertical en x = a.

2. Analice la verdad o falsedad del recíproco de la afirmación anterior. Es decir: si

( )( )

( )

f xh x

g x=

tiene una asíntota vertical en x = a, entonces ( ) 0.g a = ¿Y qué

sucede si f (x) y g(x) son polinomios?3. ¿Puede una asíntota vertical de una curva intersecar la curva? Trate de dar su

respuesta con un gráfico aproximado.


16.1 Límites infinitos16.2 Asíntotas verticales

16Límites infinitos y asíntotas verticales

El abstracto concepto matemático de límite se correspondeen el universo real con una serie de fenómenos relacionadosmás o menos íntimamente con el infinito. El límite –ficticio–de estos rieles convergentes es sólo un punto.



16.1 Límites infinitos

Se entiende por límites infinitos de una función cuando el valor de la función creceo decrece sin «límite» a medida que la variable x se aproxima a un valor dado.

Son límites infinitos uno cualquiera de las formas:

1.

limx a→

2. lim ( ) .x

f x→±∞

= ±∞

Para el caso particular del estudio de las asíntotas verticales se hace referencia a loslímites de la primera forma.

Considere por ejemplo, nuevamente, la función 2

( ) ,3

f xx

=−

cuya gráfica aparece

en la figura 15.6. Nótese que cuando 3x +→ (valores de x mayores que 3), el

numerador de f (x) tiende a 2 y el denominador toma valores cercanos a 0, peropositivos, así que el cociente tiende a .+∞ De una manera más simple, se escribe:

3

2 tiende 2( )lim .

3 tiende 0( )x x+→

→ +→+∞

→− + (1)

Igualmente,

3

2 tiende 2( )lim .

3 tiende 0( )x x−→

→ +→ −∞

→− − (2)

En el caso (1) se dice que f (x) crece sin límite, o se hace infinita, cuando x tiende

a 3 ,+ y se escribe

3lim ( ) .x

f x+→

= +∞

En el caso (2) se dice que f (x) decrece sin cota, o se hace infinitamente negativa,

cuando x tiende a 3 ,− y se escribe:

3lim ( ) .x

f x−→

= −∞

Otro ejemplo importante en el cual se analiza el comportamiento de una funcióncerca de los puntos donde no existe el límite es el siguiente:

Considere la función definida por 2

1 1( )

( 2)( 2)4

x xf x

x xx

− −= =

− +− , cuya gráfica apa-

rece en la figura 16.1.


Figura 16.1

f (x) se hace infinita cuando 2x → y cuando 2x →− (valores de x que anulan eldenominador).

Así que:

2 2

2 2

1 1 1lim ( ) lim .

( 2)( 2) 0(0 )( 4)

1 1 1lim ( ) lim .

( 2)( 2) 0(0 )( 4)

x x

x x

xf x

x x

xf x

x x

+ +

− −

+→ →

−→ →

→⎧ − += → → +∞⎪ →− + ++⎪

⎨ →− +⎪ = → → −∞⎪ →− + −+⎩

Igualmente,

2 2

2 2

1 3 3lim ( ) lim .

( 2)( 2) 0( 4)(0 )

1 3 3lim ( ) lim .

( 2)( 2) 0( 4)(0 )

x x

x x

xf x

x x

xf x

x x

+ +

− −

+→− →−

−→− →−

→− − −= → → +∞

→− + −−→− − −

= → → −∞→− + +−

El procedimiento anteriormente seguido es sencillo y determina geométricamente elcomportamiento de la curva cerca de la asíntota vertical, la cual definimos a conti-nuación.

16.2 Asíntotas verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x) si lim ( )x a

f x−→

= ±∞ o

lim ( ) ,x a

f x+→

= ±∞ o bien lim ( ) .x a

f x→

= ±∞

Por consiguiente, para determinar las asíntotas verticales de una curva es precisoencontrar todos los valores de x = a que, al aproximarse a los mismos, hacen que lafunción tienda a infinito.

Chistes matemáticos

→ →= ∞ =

0 0

8 5Si lim ,entonces lim

x xx x

→ →= ∞ = ∞∞2 40 0

1 1Si lim ,entonces lim

x xx x


Módulo 16: Límites infinitos y asíntotas verticales


En particular, cuando la función es racional y está reducida a su mínima expresión,son asíntotas verticales todos aquellos valores de x que anulan el denominador.

Así por ejemplo, la función 2

( )3

f xx

=−

(figura 15.6) tiene como asíntota vertical la

recta x = 3.

La función 2

1 1( )

( 2)( 2)4

x xf x

x xx

− −= =

− +− (figura 16.1) tiene dos asíntotas vertica-

les: 2x = − y 2.x =

La curva sen

( ) tancos

xy f x x

x= = = tiene infinidad de asíntotas verticales: ;

2x

π= ±

3 5; ;...

2 2x x

π π= ± = ±

Esto se deduce del hecho de que tan ,x → ±∞ cuando x tiende a estos valores(figura 16.2).

Nótese que 3 5

, , ,...2 2 2

x x xπ π π

= ± = ± = ± son los valores de x para los cuales

cos x = 0.

Figura 16.2



Asíntotas oblicuas

17

Introducción

Las asíntotas horizontales y las verticales son rectas paralelas a los ejes coordenados

x e y, respectivamente. Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma ,y mx b= +donde m

≠

0 es su pendiente.

Las asíntotas oblicuas, al igual que las horizontales y las verticales, no hacen partede la gráfica (obsérvelo en una calculadora programable para algún caso en particu-lar). Solamente indican el comportamiento de la curva cuando las variables x y/o y,juntamente o por separado, toman valores grandes en valor absoluto.


1. Establecer el razonamiento geométrico que permita definir de una manera precisa el concepto de asíntota oblicua.2. Introducir la noción de asíntota oblicua y su relación con los límites al infinito.

Preguntas básicas

1. ¿Puede una curva tener simultáneamente asíntotas horizontales, verticales yoblicuas? Trate de dar un gráfico aproximado.

2. ¿Puede la gráfica de una función racional tener simultáneamente asíntotashorizontales, verticales y oblicuas? Analice su respuesta.

3. ¿Puede una asíntota oblicua de una curva intersecar la curva? Trate de dar surespuesta con un gráfico aproximado.

4. ¿Puede llegar a suceder que una curva tenga como asíntota otra curva, como sucede por

por ejemplo con y = cosh x, cuyas asíntotas son las gráficas de 1

,2

xy e−= y 1

2xy e= ?

5. Si la ecuación de una curva es una función racional f, ¿cómo deben ser losgrados del numerador y del denominador de f para que la curva tenga comoasíntota una parábola?


17.1 Definición precisa de asíntota oblicua17.2 Regla general para determinar las asíntotas de una curva

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Peter Dirichlet nació en Düren, actual Alemania, el 13 defebrero de 1805 y murió en ese mismo país el 5 de mayo de1859 (en Gotinga).



17.1 Definición precisa de asíntota oblicua

Sea M (x, y) un punto desplazable que se mueve a lo largo de una curva haciainfinito, y supóngase que la curva tiene una asíntota oblicua que forma un ángulo

α con el eje x (figura 17.1) y cuya ecuación es de la forma .y mx b= +

Figura 17.1

Al trazar las perpendiculares MQ al eje x y MP a la asíntota, se forma el triángulo

rectángulo MPN, en el cual se tiene que

1.

cos cos

MPNM MP

α α= = (1)

De acuerdo a la definición de asíntota, lim 0.x

MP→+∞

=

Por tanto, 1 1

lim lim lim 0.cos cosx x x

NM MP MPα α→+∞ →+∞ →+∞

= = ⋅ = (2)

Recíprocamente, si lim 0,x

NM→+∞

= entonces lim 0.n

MP→+∞

=

Pero ( ) ( ) .NM QM QN f x mx b= − = − + Así que la igualdad (2) toma la forma

lim ( ) ( ) 0.x

f x mx b→+∞

− + =

El razonamiento anterior permite establecer la siguiente definición:



Módulo 17: Asíntotas oblícuas

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Dirichlet cursó sus estudios en París, relacionándose conmatemáticos como Joseph Fourier. Tras graduarse, fueprofesor en las universidades de Breslau (1826-1828),Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedradejada por Carl Friedrich Gauss tras su muerte. Susaportaciones más relevantes se centraron en el campode la teoría de los números, prestando especial atenciónal estudio de las series, y desarrolló la teoría de lasseries de Fourier. Consiguió una demostración particulardel problema de Fermat, aplicó las funciones analíticasal cálculo de problemas aritméticos y estableciócriterios de convergencia para las series. En el campodel análisis matemático perfeccionó la definición y elconcepto de función, y en mecánica teórica se centró enel estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto depotencial newtoniano.

Definición

La recta no vertical y = mx + b es una asíntota oblicua para la curva y = f (x) si

[ ]lim ( ) ( ) 0,x

f x mx b→+∞

− + = o [ ]lim ( ) ( ) 0,x

f x mx b→−∞

− + = o ambos.

Estas condiciones significan que cuando x → ±∞ (o ambos), la distancia verticalentre el punto (x, f (x)) sobre la curva y el punto (x, mx + b) sobre la recta tienden acero.

Para una curva dada y = f (x), que tiene una asíntota oblicua y = mx + b, ¿cómodeterminar las constantes m y b?

En primer lugar, de acuerdo a la definición de asíntota oblicua,

[ ]lim ( ) 0.x

f x mx b→+∞

− − = (1)

O equivalentemente, ( )

lim 0.x

f x bx m

x x→+∞

⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Puesto que ,x →∞ la igualdad anterior se cumple si ( )

lim 0.x

f x bm

x x→+∞

⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Pero lim 0,x

b

x→+∞= y por tanto

( )lim 0x

f xm

x→+∞

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦ y de aquí se deduce que

( )lim .x

f xm

x→+∞= (2)

Conociendo el valor de m, se puede hallar b de la igualdad (1), así:

lim[ ( ) ].x

b f x mx→+∞

= − (3)

De esta forma, si la recta y = mx + b es una asíntota, entonces m y b se determinansegún las fórmulas (2) y (3). Recíprocamente, si existen los límites (2) y (3), secumple la igualdad (1) y la recta y = mx + b es una asíntota. Si alguno de los límites(2) y (3) no existe, la curva no tiene asíntota oblicua.

Nótese que se ha estudiado el problema referente al caso cuando ;x → +∞ sinembargo, todos los razonamientos son válidos también para el caso en que .x → −∞

Observaciones

i. Aunque las asíntotas de una curva no son parte de su gráfica, proporcio-nan información acerca de la manera como debe verse la gráfica realmente.

ii. Si se piensa desde el punto de vista intuitivo que las asíntotas oblicuas deuna curva son «rectas tangentes a la curva en el infinito», entonces otra


Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realfórmula válida para determinar la pendiente m de la asíntota oblicua a unacurva es

lim ( ).x

m f x→+∞

′=

iii. Si la recta y = mx + b es una asíntota a una curva cuando x →+∞ y cuan-do ,x →−∞ se dice entonces que se trata de una asíntota doble.

iv. En el caso particular en el cual la curva de estudio corresponde a una funciónracional, las siguientes reglas son útiles en la determinación de las asíntotasde la curva.

17.2 Regla general para determinar las asíntotas de una curva

Supóngase que la función y = f (x) es una función racional de la forma

11 1 0

11 1 0

...( )( ) ,

( ) ...

m mm m

n nn n

a x a x a x ah xy f x

g x b x b x b x b

−−

−−

+ + + += = =

+ + + + en la cual el grado del numera-

dor es m y el del denominador es n.

1. Son asíntotas verticales todos aquellos valores reales de x para los cualesn

nb x + 11 1 0... 0n

nb x b x b−− + + + = (siempre que la fracción esté reducida a

su mínima expresión).

2. Si f es una función racional propia (m < n: grado N < grado D), la gráficatendrá a y = 0 (eje x) como asíntota horizontal.

3. Si f es una función racional impropia (m ≥ n), se tiene que:

a. Si m = n (grado N = grado D), entonces la gráfica tendrá a m

n

ay

b=

como asíntota horizontal.

b. Si m = n + 1 (el grado del N supera al grado del D en 1), entonces alefectuar la división de h(x) entre g(x) el cociente es de la forma ax + b,y la recta y = ax + b es una asíntota oblicua de la curva.

c. Si m > n + 1 (el grado del N supera en más de 1 unidad al grado del D),al efectuar la división de h(x) entre g(x) el cociente es un polinomiode grado mayor o igual a 2, y de esta forma la curva y = f (x) se com-porta en el infinito como la gráfica del cociente.


Formas indeterminadas y la regla deL´Hopital1

18

Introducción

En los módulos anteriores se ha ilustrado con ejemplos el tratamiento de algunos

límites que presentaban la formas indeterminadas 0

,0

∞∞

y ( ).∞−∞ Otras formas

indeterminadas son las siguientes: 0 00 ,0 , ,1 .∞ ∞∞

En este módulo se enuncia, sin demostrar, un teorema conocido como la «regla deL´Hopital» (descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli, pero cuyosderechos de descubrimiento fueron adquiridos por el marqués de L´Hopital) y que

permite calcular límites que presentan la forma indeterminada 0

0 o ,

∞∞

y se verá

cómo es posible reducir las otras formas indeterminadas a una de estas dos.


1. Presentar las formas indeterminadas 0

0 y ,

∞∞

y cómo eliminarlas usando la

llamada regla de L´Hopital.

2. Reducir otras formas indeterminadas: 0 0( ),0 ,0 , , 1∞ ∞∞ −∞ ∞ a una de las formas

0

0 o ,

∞∞

y aplicarles luego la regla de L´Hopital.

Preguntas básicas

1. Supóngase que lim ( ) lim ( ),x x

f x g x→∞ →∞

= ∞ = y ln ( )

lim 1.ln ( )x

f x

g x→∞=

¿Se puede afirmar que ( )

lim 1( )x

f x

g x→∞= ?

1. Vea la historia de la regla de L´Hopital. Nota histórica: «Los marqueses también aprenden (y escriben) cálculo». Cálculo de unavariable. Claudio Pita Ruiz, p. 344.

Guillaume François Antoine de L’Hopital

Guillaume de L’Hopital, marqués de Sainte-Mesme, nacióen París en 1661 y murió en esa misma ciudad en 1704.



2. Supóngase que lim ( ) lim ( ),x x

f x g x→∞ →∞

= ∞ = y ( )

lim 3.( )x

f x

g x→∞=

¿Qué puede afirmarse del siguiente límite: ln ( )

limln ( )x

f x

g x→∞ ?

(Analice sus respuestas).

3. En RP Feynman, Lectures on physics, Addison-Wesley, Reading, Mass., apare-ce esta observación: «Aquí está la respuesta cualitativa de qué es lo correcto en

vez de kT. Esta expresión, /,

1hw kT

hw

e − debe tender a kT cuando 0w → o cuando

.T →∞ ¿Puede usted probar que en efecto esto se cumple?


18.1 La regla de L´Hopital18.2 Variantes de la regla de L´Hopital18.3 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otras formas indeterminadas


Módulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital

18.1 La regla de L´Hopital

Sean f y g dos funciones que satisfacen las siguientes condiciones:

i. f y g son diferenciables, ( ) 0g x′ ≠ cerca del punto a (excepto posiblemente

en a).

ii. lim ( ) 0x a

f x→

= y lim ( ) 0x a

g x→

= (forma indeterminada 0

0) o

lim ( )x a

f x→

= ±∞ y lim ( )x a

g x→

= ±∞ (forma indeterminada ∞∞

).

Si además ( )

lim( )x a

f x

g x→

′′ existe (o es ),±∞ entonces

( ) ( )lim lim .

( ) ( )x a x a

f x f x

g x g x→ →

′=

′

Observaciones

i. La regla de L´Hopital afirma que si un cociente presenta la forma indeter-

minada 0

0 o ,

∞∞

el límite del cociente es igual al límite del cociente de las

derivadas (no la derivada de un cociente).

ii. La regla de L´Hopital puede aplicarse de manera reiterada cuando sea nece-

sario. Es decir, si ( )

( )

f x

g x

′′ es de la forma indeterminada

0

0 o ,

∞∞

y si

( )lim

( )x a

f x

g x→

′′′′ existe (o es ),±∞ entonces

( ) ( ) ( )lim lim lim ,

( ) ( ) ( )x a x a x a

f x f x f x

g x g x g x→ → →

′ ′′= =

′ ′′

y de esta manera se puede proceder reiteradamente.

iii. La regla de L´Hopital es también válida para todos los tipos de límites vistoshasta ahora. Es decir, x a→ puede reemplazarse por cualquiera de los

símbolos , , , .x a x a x x+ −→ → → +∞ → −∞

18.2 Variantes de la regla de L´Hopital

Cuando el límite que se desea calcular presenta cualquiera de las formas indetermi-

nadas 0 00 , 0 , , 1 ,∞⋅∞ ∞ ∞ −∞, debe transformarse previamente a cualquiera de

las formas 0

0o ∞∞

para aplicar luego la regla de L´Hopital.

Guillaume François Antoine de L’Hôpital

Guillaume de L’Hopital fue militar de profesión, se interesópor el estudio de la matemática por influencia de JohannBernoulli y llevó a cabo la primera exposición completadel cálculo infinitesimal en su obra Análisis de losinfinitamente pequeños para el entendimiento de las líneascurvas (1696). La regla de L’Hôpital permite eliminar ciertasindeterminaciones en el paso al límite del cociente de dosfunciones, aplicando el cálculo diferencial.



a. Si lim ( ) 0x a

f x→

= y lim ( ) ,x a

g x→

= ±∞ entonces lim ( ) ( )x a

f x g x→

⋅ presenta la for-

ma indeterminada 0 .⋅∞ En este caso se puede usar cualquiera de las formasequivalentes mencionadas a continuación, antes de aplicar la regla deL´Hopital:

( )lim ( ) ( ) lim (forma indeterminada ) o

1

( )

x a x a

f xf x g x

g x

→ →

0⋅ =

0

( )lim ( ) ( ) lim (forma indeterminada ).

1

( )

x a x a

g xf x g x

f x

→ →

∞⋅ =

∞

b. Las indeterminaciones 0 00 , , 1 ,∞∞ que resultan de calcular [ ] ( )lim ( )

g x

x af x

→,

pueden reducirse a algunas de las formas anteriores utilizando la siguienteigualdad:

[ ] lim ( ) ln ( )( ) ( ) ln ( )lim ( ) lim .x ag x f xg x g x f x

x a x af x e e →

⋅⋅

→ →= =

c. La forma indeterminada ( )∞−∞ se puede reducir a una de las anteriores em-

pleando la identidad

1 10( ) ( )

( ) ( ) (forma indeterminada ).1 0

( ) ( )

g x f xf x g x

f x g x

−− =

18.3 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otrasformas indeterminadas

Ejemplo 18.1

Use la regla de L´Hopital para evaluar los siguientes límites:

a.

1ln 1

lim .1

ln 1x

x

x

→+∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

b.ln

lim ; 0.nx

xn

x→+∞>

c.1

lim(1 ) tan .2x

xx

π−→

⎛ ⎞− ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

d. lim 1 .x

x

a

x→+∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠



Solución

a. Este límite es de la forma 0

.0

Así que

2

2

1 11 1ln 1 ln 1

1 1lim lim lim ,

1 1 1 1ln 1 ln 1

1 1

x

x x x

x

Dx xx x

Dx x x x

→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ −+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( 1) 1lim lim 1.

( 1) 1x x

x x x

x x x→+∞ →+∞

− − −= = − = −

+ +

b. Este límite es de la forma .+∞+∞

Aplicando la regla de L´Hopital se tiene que:

1

1ln 1 1 1 1

lim lim lim lim 0 0n n n nx x x x

x xn nx nx nx x−→+∞ →∞ →+∞ →+∞

= = = ⋅ = ⋅ = (teorema 2,

sección 15.2).

c. Este límite es de la foma 0 .⋅∞

Para poder aplicar la regla de L´Hopital se debe transformar a la forma 0

0 o .

∞∞

1Como(1 ) tan , se tiene que

2cot

2

x xx

x

ππ−⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1

1 0lim(1 ) tan lim (indeterminadodela forma ).

2 0cot

2

x x

x xx

xπ

π− −→ →

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

Aplicando la regla de L´Hopital, se puede escribir:

1 1 1

(1 )1lim(1 ) tan lim lim ,

2cot cot

2 2

x

x x x

x

D xxx x

x D x

ππ π− − −→ → →

−−⎛ ⎞− = =⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

1 2lim .

csc2 2

xx

π π π−→

−= =

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠


Escuche el audio Los marqueses tambiénaprenden (y escriben) cálculo en su multimediade Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.


d. Este límite es de la forma 1 .∞

ln 1

Como 1 , se tienequex a

xxa

ex

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

lim ln 1

lim 1 .x

x ax

x

x

ae

x→+∞

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

Pero lim ln 1x

ax

x→+∞

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

es de la forma indeterminada 0,∞ ⋅ y para poder

aplicar la regla de L´Hopital se debe transformar a la forma 0

0 o .

∞∞

Así que:

lim ln 1x

ax

x→+∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

ln 10

lim (indeterminado de la forma ),1 0x

a

x

x

→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=

ln 1

lim .1

x

x

x

aD

xa

Dx

→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Por tanto, sustituyendo en (1) se obtiene finalmente:

lim 1 .x

a

x

ae

x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 18.2

Este ejercicio muestra cómo la regla de L´Hopital puede usarse de manera reiterada.

Evalúe el siguiente límite: 20

1 2lim

1 cosx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠.

Solución

En primer lugar note que el límite es de la forma indeterminada (∞−∞).

Antes de aplicar la regla de L´Hopital se debe llevar a alguna de las formas indeter-

minadas 0

0 o .

∞∞



2

2 2

1 2 2cos 2Pero .

1 cos (1 cos )

x x

x x x x

+ −− =

− −

Así que:

2

2 20 0

1 2 2cos 2lim lim .

1 cos (1 cos )x x

x x

x x x x→ →

+ −⎛ ⎞− =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Al sustituir x por 0, se observa la indeterminación 0

.0

Usando la regla de L´Hopital,

se tiene:

2

2 20 0

2cos 2 2 2sen 0lim lim (forma indeterminada ),

0(1 cos ) 2 (1 cos ) senx x

x x x x

x x x x x x→ →

+ − −=

− − +

20

2 2cos 0lim (forma indeterminada ),

02 2cos 4 sen cosx

x

x x x x x→

−=

− + +

20

2sen 0lim (forma indeterminada ),

06sen 6 cos cosx

x

x x x x x→=

+ −

20

2coslim ,

6cos 6cos 6 sen 2 cos sen2 1

= .12 6

x

x

x x x x x x x x→=

+ − − +

=



Cuadro general de derivadas y solución deejemplos

19

Introducción

En este módulo se dará una tabla que recoge todas las fórmulas de derivaciónobtenidas hasta ahora. Estas fórmulas deben ser aprendidas de memoria para poderser aplicadas con soltura. Seguidamente damos una gran cantidad de ejerciciosresueltos, para que el estudiante se dé cuenta de cómo elegir y aplicar las fórmulas.Al finalizar el capítulo se propondrá una colección extensa de ejercicios para que elalumno practique las técnicas de derivación y adquiera habilidad en la ejecución deesta operación.

No hay que perder de vista que la derivación es el medio para resolver problemas enlos cuales se involucra la derivada. Aprenderse las reglas de derivación y no saberaplicarlas en un problema particular, es semejante a aprender los nombres de lascapitales de cada uno de los departamentos de nuestro país. Esto es lo que PeterHilton llama «la memorización cruda, estragos tradicionales de las matemáticas, enlos cuales la memoria reemplaza totalmente al pensamiento». Por tanto, es importan-te adquirir habilidad en la derivación, para poder resolver multitud de problemas deinterés teórico y práctico como los que aparecerán en el próximo capítulo.


1. Resumir en un cuadro todas las reglas de derivación vistas hasta el momento.2. Aplicar las reglas básicas de derivación para que el alumno adquiera habilidad

en la ejecución de esta técnica y la aplique en la solución de algunos problemasde la física y la ingeniería.

3. Evaluar límites al infinito y límites infinitos y establecer su relación con las asín-totas de una curva.

Preguntas básicas

1. Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el estudio del movimien-to con resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad está plan-teada en el siguiente problema: «Supongamos que un móvil parte del reposo ycae x metros en t segundos. Sea g (constante) la aceleración de la gravedad.

Puede probarse que existe una constante V tal que 2

( ) ln(cosh )V g

x t tg V

= ».

a. Halle la velocidad ( )dx

v tdt

= como función de t.

David Hilbert

David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en un pueblocerca de Königsberg (hoy Kaliningrado), la capital de la Prusiadel Este, Rusia, y murió en Gotinga (Alemania) el 14 defebrero de 1943.



b. Pruebe que lim ( ) .t

v t V→∞

=

c. Calcule la aceleración

( )a t

como función de t.

d. Pruebe que

2( )

( )v t

a t g gV

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

e. ¿Cuál es el límite de la aceleración cuando t →∞ ?


19.1 Cuadro general de derivadas19.2 Solución de ejemplos sobre derivación


19.1 Cuadro general de derivadas

Regla Función Derivada

RD1

( )y f x C= =

' '( ) 0y f x= =

RD2 ( )y f x x= = ' '( ) 1y f x= =

RD3 ( ) ( ) ( )y t x f x g x= = + ' '( ) '( ) '( )y t x f x g x= = +

RD4 ( ) ( ) ( )y t x f x g x= = − ' '( ) '( ) '( )y t x f x g x= = −

RD5 ( ) ( ) ( )y t x f x g x= = ⋅ ' '( ) '( ) ( ) ( ) '( )y t x f x g x f x g x= = ⋅ + ⋅

RD61

( )( )

y t xg x

= =[ ]2

'( )' '( )

( )

g xy t x

g x

−= =

RD7( )

( ) , ( ) 0( )

f xy t x g x

g x= = ≠

[ ]2

'( ) ( ) ( ) '( )' '( )

( )

f x g x f x g xy t x

g x

⋅ − ⋅= =

RD8 H = g(u) y u = f(x) '( ) ( )'( ) '( ( )) . ( )H x g o f x g f x f x′= =

RD9 ,ny x n= ∈ℜ 1ny nx −′ =

RD10 [ ]( )n

y f x= [ ] 1( ) '( )

ny n f x f x

−′ = ⋅

seny x= cosy x′ =

cosy x= seny x′ = −

tany x= 2secy x′ =

coty x= 2cscy x′ = −

secy x= sec tany x x′ = ⋅

cscy x= csc coty x x′ = − ⋅

RD11 sen ( )y u x= cos ( )dy du

u xdx dx

= ⋅

RD12 cos ( )y u x= sen ( )dy du

u xdx dx

= − ⋅

RD13 tan ( )y u x=2sec ( )

dy duu x

dx dx= ⋅

RD14 cot ( )y u x= 2csc ( )dy du

u xdx dx

= − ⋅

RD15 sec ( )y u x= sec ( ) tan ( )dy du

u x u xdx dx

= ⋅ ⋅

RD16 csc ( )y u x= csc ( ) cot ( )dy du

u x u xdx dx

= − ⋅ ⋅

RD17 1sen ( )y u x−= 2

1( )

1 ( ( ))

dyu x

dx u x′= ⋅

−

Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos

David Hilbert

Königsberg, ciudad donde nació Hilbert, es famosa no sólopor ser la ciudad natal de Immanuel Kant sino tambiénpor el problema relativo a sus siete puentes, que consistíaen saber si una persona podría cruzarlos todos de solavez, sin repetir el paso por ninguno de ellos. Esteproblema fue abordado por Euler, quien demostró queno era posible. Estudió en la universidad de Königsbergy en la de Berlín, donde asistió a las clases de KartWeierstrass y Leopold Kronecker. Fue amigo del matemáticoruso Hermann Minkowski desde su juventud hasta lamuerte de éste. Ejerció como profesor de la Universidadde Gotinga (Göttingen) desde 1895 hasta 1930, edad en laque se jubiló.

Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría(su libro Los fundamentos de la Geometría es un clásico)y ecuaciones integrales. También se dedicó a la Física(decía que la Física es demasiado difícil para los físicos)y su libro Los métodos de la Física matemática (con lacoautoría de Richard Courant y conocido como el Courant-Hilbert) se sigue imprimiendo en la actualidad. Tambiéntrabajó en los fundamentos de las matemáticas y en lalógica matemática. El epitafio de Hilbert es: «Wir müssenwissen, wir werden wissen» («Debemos saber, de modoque sabremos»).


RD18 1cos ( )y u x−= 2

1( )

1 ( ( ))

dyu x

dx u x

− ′= ⋅−

RD19 1tan ( )y u x−= 2

1( )

1 ( ( ))

dyu x

dx u x′= ⋅

+

RD20 1cot ( )y u x−= 2

1( )

1 ( ( ))

dyu x

dx u x

− ′= ⋅+

RD21 1sec ( )y u x−= 2

1( )

( ) ( ( )) 1

dyu x

dx u x u x′= ⋅

−

RD22 1csc ( )y u x−= 2

1( )

( ) ( ( )) 1

dyu x

dx u x u x

− ′= ⋅−

xy e= xy e′ =

RD23 ( )u xy e=( ) ( )u xdy

e u xdx

′= ⋅

xy a= lnxy a a′ = ⋅

RD24 ( )u xy a=( ) ( ) lnu xdy

a u x adx

′= ⋅ ⋅

logay x=1

lny

x a′ =

⋅

RD25 log ( )ay u x=( )

( ) ln

dy u x

dx u x a

′=

⋅

lny x=1

yx

′ =

RD26 ln ( )y u x=( )

( )

dy u x

dx u x

′=

[ ] ( )( )

g xy f x= [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ln ( ) ( )( )

g x g xy f x g x f x f x

f x

⎡ ⎤′ ′ ′= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

RD27 senh ( )y u x= cosh ( )dy du

u xdx dx

= ⋅

RD28 cosh ( )y u x= senh ( )dy du

u xdx dx

= ⋅

RD29 tanh ( )y u x= 2sech ( )dy du

u xdx dx

= ⋅

RD30 coth ( )y u x= 2csch ( )dy du

u xdx dx

= − ⋅

RD31 sech ( )y u x= sech ( ) tanh ( )dy du

u x u xdx dx

= − ⋅ ⋅




19.2 Solución de ejemplos sobre derivación

Ejemplo 19.1

Use la definición de la derivada de una función para calcular ' o '( )y f x si

( )y f x x= = y evaluarla en 1 2.x =

Solución

De acuerdo a la definición de la sección 9.2, se tiene que:

0

( ) ( )( ) lim ,

h

f x h f xf x

h→

+ −′ =

0limh

x h x

h→

+ −= (indeterminado de la forma

0

0),

( )( )( )0

lim ,4h

x h x x h x

h x x→

+ − + +=

+ +

( ) ( )( ) ( )

2 2

0 0lim lim ,h h

x h x x h x

h x h x h x h x→ →

+ − + −= =

+ + + +

0

1 1lim .

2h x h x x→= =

+ +

En particular, 1

(2) .2 2

f ′ =

Obsérvese que 'y no existe en 1 0x = y, por tanto, aunque el dominio de y x= es

[ )0, ,+∞ el dominio de su derivada es ( )0, .+∞

Ejemplo 19.2

Sea f una función cuyo dominio es el conjunto ℜ de los números reales y tal que

( ) ( ) ( )f x y f x f x+ = ⋅ para todo x e y. Además, f (0) = 1 y (0)f ′ existe. Pruebe que

( )f x′ existe para todo x, y también ( ) (0) ( ).f x f f x′ ′= ⋅


RD32 csch ( )y u x= csch ( ) coth ( )dy du

u x u xdx dx

= − ⋅ ⋅Hilbert y el teorema de Fermat

En los primeros tiempos de la aviación invitaron almatemático alemán David Hilbert (1862-1943) a dar unaconferencia sobre el tema que él quisiera. La conferenciacreó una gran expectación ya que el tema elegido fue «Laprueba del último teorema de Fermat». Llegó el día y Hilbertdio la conferencia. La exposición fue muy brillante pero notuvo nada que ver con el último teorema de Fermat. Cuandole preguntaron el porqué del título, contestó: «Oh, el títuloera solamente para el caso de que el avión se estrellara».


Solución

De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f :

0

( ) ( )( ) lim ,

h

f x h f xf x

h→

+ −′ =

0

( ) ( ) ( )limh

f x f h f x

h→

⋅ −= (hipótesis),

[ ]0

( ) ( ) 1limh

f x f h

h→

−= (factor común),

0

( ) 1( ) ( ) lim .

h

f hf x f x

h→

−′ = ⋅ (1)

Ahora, 0 0

(0 ) (0) ( ) (0)(0) lim lim ,

h h

f h f f h ff

h h→ →

+ − −′ = = y como por hipótesis

(0) 1,f = se tiene que

0

( ) 1(0) lim .

h

f hf

h→

−′ = (2)

De la igualdad (2) y la hipótesis, se deduce también que 0

( ) 1limh

f h

h→

− existe.

Sustituyendo (2) en (1) se concluye que ( ) ( ) (0),f x f x f′ ′= ⋅ y además que ( )f x′existe.

Ejemplo 19.3

Sea f la función definida por:

2 si 1( )

si 1

x xf x

ax b x

⎧ <= ⎨

+ ≥⎩

Determine el valor de las constantes a y b para que '(1)f exista.

Solución

En primer lugar, si '(1)f existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al

teorema 1 (sección 10.1) f es continua en x = 1, o equivalentemente,

1 1

lim ( ) lim ( ) (1).x x

f x f x f+ −→ →

= =

Esto es, 2

1 1lim( ) lim ,x x

ax b x+ −→ →

+ =

o a + b = 1. (1)



Ahora, decir que '(1)f existe equivale a afirmar que (1)f+′ y (1)f−′ (las derivadas

laterales) existen y son iguales.

Pero 1 1

( ) (1) ( ) ( )(1) lim lim

1 1x x

f x f ax b a bf

x x+ ++→ →

− + − +′ = =− −

(¿por qué?),

1 1

( 1)lim lim .

1 1x x

ax a a xa

x x+ +→ →

− −= = =

− −

Así que (1) .f a+′ = (2)

Igualmente, 1

( ) (1)(1) lim ,

1x

f x ff

x−−→

−′ =−

2

1

( )(1) lim

1x

x a bf

x−−→

− +′ =−

(¿por qué?). (3)

Sustituyendo (1) en (3) se tiene que

2

1 1

1(1) lim lim( 1) 2.

1x x

xf x

x− −−→ →

−′ = = + =−

Es decir, (1) 2.f−′ = (4)

Puesto que las derivadas laterales son iguales de (2) y (4) se concluye que a = 2 y

en consecuencia 1.b = −

Con los valores de a y b así encontrados, la función f puede escribirse como:

2 si 1( )

2 1 si 1

x xf x

x x

⎧ <= ⎨

− ≥⎩

Ejemplo 19.4

Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:

a.

31

( ) .2 5

xf x

x

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠b. 4 23( ) 4 1.g t t t t= ⋅ + +

c. 2 2 3( ) (2 )cos 2 sen .h x x x x x= − + d. 4 2( ) tan ( 3 ).t s s s= +

Solución

a. Por la regla de la cadena (RD10):

21 1

( ) 3 .2 5 2 5x

x xf x D

x x

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Pero 1

2 5x

xD

x

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

1(2 5) (1 ) 2

(2 5)

x x

x

− + − − ⋅=

+ (RD7),

2

7.

2 5)x

−=

+

Por tanto,

2 2

2 4

1 7 21(1 )( ) 3 .

2 5 (2 5) (2 5)

x xf x

x x x

⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞′ = =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b. Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g(t) conexponentes racionales, así:

1 3 2 1 4( ) ( 4 1) .g t t t t= ⋅ + +

Entonces 2 3 2 1 4 1 3 2 3 41 1

( ) ( 4 1) ( 4 1) (2 4).3 4

g t t t t t t t t− −′ = ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ +

(se usaron las reglas RD5 y RD8),

2 1 4 1 3

2 3 2 3 4

( 4 1) (2 4)( ) ,

3 4( 4 1)

t t t tg t

t t t

+ + +′ = ++ +

2 2

2 3 2 3 4 3 2 2 34

10 28 4 5 14 2.

12 ( 4 1) 6 ( 4 1)

t t t t

t t t t t t

+ + + += =

+ + ⋅ + +

c. ( )2 2 3( ) (2 ) cos (2 sen ).x xh x D x x D x x′ = − ⋅ + ⋅

Pero ( )2 2 2 2 2(2 ) cos 2 cos (2 ) ( sen ) 2 ,xD x x x x x x x− ⋅ = − ⋅ + − ⋅ − ⋅

2 2 22 cos 2 (2 ) sen .x x x x x= − ⋅ − − ⋅

3 3 3 2(2 sen ) 2 sen 2 (cos ) 3 ,xD x x x x x x⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

3 3 32sen 6 cos .x x x= +

Por tanto, 2 2 2 3 3 3( ) 2 cos 2 (2 )sen 2sen 6 cos .h x x x x x x x x x′ = − − − + +

d. En primer lugar, note que ( ) 42( ) tan 3 .t s s s⎡ ⎤= +⎣ ⎦

Así que ( ) ( )( )32 2( ) 4 tan 3 tan 3 .

dt dt s s s s s

ds ds⎡ ⎤′ = = + ⋅ +⎣ ⎦

Pero ( )( ) ( ) ( )2 2 2tan 3 sec 3 2 3 ,d

s s s s sds

⎡ ⎤+ = + ⋅ +⎣ ⎦



Ejemplo 19.5

De dos funciones f y g se sabe que:

(3) 2; (3) 4; (5) 3; y (5) 7.f f g g′ ′= = = =

¿En qué valor de x es posible calcular ( ) ( )f g x′ ? ¿A qué es igual?

¿En qué valor de x es posible calcular ( ) ( )g f x′ ? ¿A qué es igual?

Solución

La regla de la cadena (RD8) establece que ( )( )( ) ( ) ( ).f g x f g x g x′ ′ ′= ⋅

Existen, de acuerdo a la información inicial, sólo dos valores de x para evaluar, estoes, x = 3 y x = 5.

Si x = 3, ( )( )( ) (3) 3 (3),f g f g g′ ′ ′= ⋅ pero no tenemos información acerca

de los valores g (3) ni '(3).g Así que no es posible calcular ( ) ( )f g x′ enx = 3.

Si x = 5, ( )( )( ) (5) 5 (5).f g f g g′ ′ ′= ⋅

Pero (5) 3g = y (5) 7.g′ = Por tanto, ( ) (5) (3) 7 4 7 28.f g f′ ′= ⋅ = ⋅ =

Se puede verificar, y se deja como ejercicio, que la información dada es insuficiente

para calcular ( ) (3)g f ′ y ( ) (5).g f ′ (¡Verifique!).

Ejemplo 19.6

Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula

2

3

3,

x yy

x y

+=

+

halle o '.dy

ydx

Solución

La ecuación 2

3

3x yy

x y

+=

+ puede escribirse en las formas equivalentes


En consecuencia, ( ) ( )3 2 2 2( ) 4 tan 3 sec 3 (2 3),t s s s s s s⎡ ⎤′ = + ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦

3 2 24(2 3) tan ( 3 ) sec (2 3 ),s s s s s= + ⋅ + ⋅ +

3 2

5 2

4(2 3) sen ( 3 ).

cos ( 3 )

s s s

s s

+ ⋅ +=

+


4 2 4 23 3 0,xy y x y xy y x y+ = + ↔ + − − = (1)

siempre que 3 0x y+ ≠

Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene:

31 4 3 2 0,y xy y y yy′ ′ ′⋅ + + ⋅ − − =34 2 3 ,xy y y yy y′ ′ ′+ − = −

3( 4 2 ) 3 ,y x y y y′ + − = − de donde 3

3.

4 2

yy

x y y

−′ =+ −

Ejemplo 19.7

Suponga que y(x) es una función diferenciable de la variable x, y además las va-riables x e y están ligadas por la fórmula

3 4 2.x y y+ = (1)

Suponga que y(1) = 1. Halle (1)y′′ siguiendo estos pasos:

a. Demuestre que 3 2 33 4 0.x y x y y y′ ′+ + =

b. Use la parte a para calcular '(1).y

c. Derive la ecuación obtenida en a para demostrar que3 2 3 2 26 6 4 12 ( ) 0.x y x y xy y y y y′′ ′ ′′ ′+ + + + =

d. Use la ecuación obtenida en c para calcular (1)y′′ (nota: se conocen y (1) y y´ (1)).

Solución

a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene:

2 3 33 4 0.x y x y y y′ ′+ + = (2)

b. Teniendo en cuenta que y(x): y depende de x, se puede escribir (2) así:

2 3 33 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0.x y x x y x y x y x′ ′⋅ + + ⋅ =

Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene que2 3 33 1 (1) 1 (1) 4 (1) (1) 0.y y y y′ ′⋅ ⋅ + + ⋅ =

Esto es, 33 (1) (1) 4 (1) (1) 0,y y y y′ ′+ + ⋅ =

de donde 3

3 (1) 3 1 3(1) .

1 4 1 51 4 (1)

yy

y

− − ⋅′ = = = −+ ⋅+



c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:

2 2 3 2 36 3 3 12 4 0,xy x y x y x y y y y y y′ ′ ′′ ′ ′ ′′+ + + + ⋅ ⋅ + =2 3 3 2 26 6 4 12 ( ) 0.xy x y x y y y y y′ ′′ ′′ ′+ + + + ⋅ = (3)

d. Como y depende de x (es decir, y(x)), se puede escribir (3) así:

2 3 3 2 26 ( ) 6 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 12 ( ) ( ( )) 0.xy x x y x x y x y x y x y x y x′ ′′ ′′ ′+ + + + ⋅ =

Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene que

2 3 3 2 26 1 (1) 6 1 (1) 1 (1) 4 (1) (1) 12 (1) ( (1)) 0.y y y y y y y′ ′′ ′′ ′⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

Pero (1) 1y = y 3

(1)5

y′ = − (parte b).

Por tanto,

23 3

6 6 (1) 4 (1) 12 0.5 5

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′+ − + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Esto es, 18 108 168

5 (1) 6 ,5 25 25

y′′ = − − = −

de donde 168

(1) .125

y′′ = −

Ejemplo 19.8

Una valla rectangular de 6 m de alta se coloca verticalmente en la parte superior deun edificio, con su base inferior a una altura de 20 m. Si un observador está a unadistancia x del pie del edificio, ¿cuál es la función en términos de la variable x, queexpresa el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a lasbases superior e inferior de la valla?

Solución

La figura 19.1ilustra la situación planteada en el problema.

Figura 19.1



Sea x: la distancia del observador al edificio.

:θ ángulo subtendido

De la figura se deduce que .θ α β= −

Pero 26

tan ,x

α = de donde 1 26

tan .x

α −=

También, 20

tan ,x

β = de donde 1 20

tanx

β −= .

En consecuencia, ( ) ( ) ( ).x x xθ α β= −

1 126 20( ) tan tanx

x xθ − −= − es la función en términos de la variable x que expresa el

ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a las bases supe-rior e inferior de la valla. Puede demostrarse fácilmente, usando derivación, que este

ángulo es máximo cuando el observador se sitúa a una distancia 2 130x = m de la

base inferior del edificio.

Ejemplo 19.9


a. ( ) 4 tan , 0.g t t t= ≥

b. cos .x ye y x e⋅ = ⋅

c. ( )2costan .

xy x=

d.21 2 1( ) sen 2 2 1 sen .y f x x x x x x− −⎡ ⎤= = − + − ⋅⎣ ⎦

Solución

a. Si llamamos ( ) ,u t t= entonces 1

( ) , 0.2

u t tt

′ = >

Por la regla de la cadena, se tiene que

( ) ( )2 2 21 2( ) 4 sec ( ) ( ) 4 sec sec .

2g t u t u t t t

t t′ ′= ⋅ = ⋅ =

b. Derivando implícitamente con respecto a x en ambos lados de la ecuación, setiene que

( ) ( )cos .x yx xD e y D x e⋅ = ⋅ (1)



Pero ( ) ( ) ( )cos cos cos ,x x xx x xD e y D e y e D y⋅ = ⋅ + ⋅

cos sen ( ).x xxe y e y D y= ⋅ − ⋅ ⋅ (2)

Igualmente, ( ) ( ) ( ),y y yx x xD x e e D x x D e⋅ = ⋅ + ⋅

( ).y yxe x e D y= + ⋅ ⋅ (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se tiene que

cos sen ( ) ( ),x x y yx xe y e y D y e x e D y⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅

de donde cos

( )sen

x y

x x y

e y eD y

e y xe

−=

+.

c. Tomando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad, obtenemos

ln 2cos ln (tan ).y x x= ⋅

Derivando en ambos lados de la última igualdad con respecto a x se tiene que

1(2cos ) ln (tan ) 2cos (ln (tan )),x x xD y D x x x D x

y= ⋅ + ⋅

de donde,

21( 2sen ) ln (tan ) 2cos sec ,

tanxD y y x x x xx

⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( 2sen ) ln (tan ) 2csc ,y x x x= − ⋅ +

( )2cos2(tan ) sen ln (tan ) csc .xx x x x= − ⋅ −

d. ( )( )

2 21 1

2 1 2 1

( ) ( ) sen sen 2 ( )

2 1 sen 2 1 (sen ).

x x x

x x

y f x D x x xD x D x

D x x x D x

− −

− −

′ ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− ⋅ + − ⋅

21 1

2

12 1 22

2

11 sen 2 sen 2 1

1

1 12 ( 2 )(1 ) sen 2 1 .

2 1

x x xx

x x x xx

− −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

⋅ − − ⋅ + − ⋅−

1 12 21 1

2 2

2 sen 2 sensen 2 2 sen .

1 1

x x x xx x

x x

− −− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −



Ejemplo 19.10


a.24( ) 5 3 .x xf x = ⋅ b. 3 23 11.xye x y− + =

Solución

a.2 24 4( ) 5 (3 ) 3 (5 ).x x x x

x xf x D D′ = ⋅ + ⋅

Pero 2 2 24 4 2 4(3 ) 3 (4 ) ln 3 (8 ln 3)3 .x x x

x xD D x x= ⋅ ⋅ =

De otro lado, (5 ) 5 ln 5 (ln 5)5 .x x xxD = ⋅ =

De esta forma, 2 24 4( ) 5 (8 ln 3)3 3 ln 5(5 ).x x x xf x x′ = ⋅ + ⋅

245 3 [8 ·ln3 ln5].x x x= +

b. Derivando implícitamente con respecto a x en ambos lados de la ecuación, setiene que

3 2( 3 ) (11).xyx xD e x y D− + = (1)

Pero 3 2 2( 3 ) ( ) 3 6 ( ),xy xyx x xD e x y e D xy x y D y− + = − + ⋅

2( ) 3 6 .xye xy y x yy′ ′= + − + (2)

Igualmente, (11) 0.xD = (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene que

2( ) 3 6 0.xye xy y x yy′ ′+ − + =

Al destruir el paréntesis y sacar factor común ,y′ se obtiene finalmente

23.

6

xy

xy

x yey

xe y

−′ =+

Ejemplo 19.11

Demuestre que 1 2cosh ln ( 1),x x x− = + − siendo 1.x ≥

Solución

Sea 1cosh .y x−=

De acuerdo a la definición de 1cosh x− se tiene que



1cosh cosh , 0.y x x y y−= ⇔ = ≥

Pero

2 1cosh , 0,

2 2

y y y

y

e e ex y y

e

−+ += = = ≥

igualdad que permite escribirse en la forma de la ecuación reducible a cuadrática

2( ) 2 ( ) 1 0.y ye x e− + =

Al resolver esta ecuación por la fórmula cuadrática se obtiene para ey:

222 4 4

1, con 0.2

y x xe x x y

± −= = ± − ≥ (1)

En primer lugar, como 00, 1 1.yy x e e≥ ≥ ⇒ ≥ =

Además, si 1 0 1 1,x x x> ⇒ < − < + y en consecuencia

1 1 1 1 1 1.x x x x x x− < + ⇒ − − < − +

Equivalentemente, 21 1,x x− < − y de esta forma 2 1 1.x x− − <

Así que, cuando 1,x > entonces 2 1 1,x x− − < y en consecuencia podemos des-

cartar el signo ( − ) de la igualdad en (1), y podemos escribir:

2 2 21 ln ( ) ln ( 1) ln ( 1),y ye x x e x x y x x= + − ⇒ = + − ⇔ = + −

y como 1cosh ,y x−= se tiene finalmente que

1 2cosh ln ( 1).x x x− = + −

De la misma forma pueden deducirse las otras fórmulas que expresan las funcioneshiperbólicas inversas en términos de logaritmos y que aparecen en la tabla 14.2.

Ejemplo 19.12

Según la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto que viaja a

velocidad v viene dada por 0

2 2,

1

mm

v c=

− donde c es la velocidad de la luz

(300.000 km/s).

a. Calcule 0limv

m→ y explique por qué m

0 se llama masa en reposo.



b. Calcule limv c

m−→

y discuta sus implicaciones (en otras palabras, ¿qué le ocurre

a la masa de un objeto si éste viaja en una nave espacial a una velocidadpróxima a la de la luz?).

Solución

a. 0 0 002 2 2 20 0 0

lim lim lim .1v v v

m m c m cm m

cv c c v→ → →

⋅ ⋅= = =

− −=

b.0 0 0

2 2 2 2lim lim lim .

01v c v c v c

m m c m cm

v c c v− − − +→ → →

⋅ →= → +∞

→− −=

Ejemplo 19.13

Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el estudio del movi-miento con resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad, estáplanteada en el siguiente problema:

Supongamos que un móvil parte del reposo y cae x metros en t segundos. Sea g(constante) la aceleración de la gravedad. Puede probarse que existe una constante

V tal que 2

( ) ln(cosh ).V g

x t tg V

=

a. Halle la velocidad ( )dx

v tdt


b. Pruebe que lim ( ) .t

v t V→∞

=

c. Calcule la aceleración ( )dv

a tdt


d. Pruebe que

2( )

( ) .v t

a t g gV

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

e. ¿Cuál es el límite de la aceleración cuando t →∞ ?

Solución

a.2

( ) ( ) ln cosh ,t

V gv t x t D t

g V

⎛ ⎞⎛ ⎞′= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 1cosh ,

cosht

V gD t

gg VtV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1h ,

cosht

V g gsen t D t

gg V VtV

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



senh( ) tanh .

cosh

gt gVv t V V t

g VtV

= = ⋅

b.

senhlim ( ) lim lim (sección 14.3),

cosh

g gt t

V V

g gt t t t tV V

gt e eVv t V V

gt e e

V

−

→∞ →∞ →∞ −

−= =

+

2

2

1lim

1

gt

V

gt tV

eV

e→∞

−=

+ (el límite es indeterminado de la forma

∞∞

).

Aplicando la regla de L´Hopital, se tiene entonces que

2

2

2

lim ( ) lim .2

gt

V

gt t tV

ge

Vv t V Vg

eV

→∞ →∞

⋅= =

⋅

c. 2 2( ) tanh sec sec ,t

dv g g g ga t D V t V h t g h

dt V V V V⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21 tanh (teorema 4 , sección 14.3).

gg t j

V⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

d. Ahora, de la parte a se tiene que

22

2

( ( ))tanh .

g v tt

V V=

Así que

22

2

( ) ( )( ) (1 ) .

v t v ta t g g g

VV⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

e.2

2

lim ( ) lim sech lim 0,cosh

t t t

g ga t g

gV tV

→∞ →∞ →∞= ⋅ = =

puesto que 2cosh

gt

V→∞ cuando .t →∞

Ejemplo 19.14

Supóngase que lim ( ) lim ( )x x

f x g x→∞ →∞

= ∞ = y ( )

lim 3.( )x

f x

g x→∞=

¿Qué puede afirmarse del límite ln ( )

limln ( )x

f x

g x→∞ ?



Analice sus respuestas.

Solución

Escribiendo a f(x) en la forma ( )

( ) ( ) ,( )

f xf x g x

g x= ⋅ se tiene entonces

( ) ( )ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln .

( ) ( )

f x f xf x g x g x

g x g x

⎛ ⎞= ⋅ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Así que

( ) ( )ln ( ) ln ln

ln ( ) ( ) ( )lim lim lim 1 .

ln ( ) ln ( ) ln ( )x x x

f x f xg x

f x g x g x

g x g x g x→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Pero como

( ) ( )lim 3 ln lim ln 3,

( ) ( )x x

f x f x

g x g x→∞ →∞

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ se sigue entonces que

( )lim ln ln 3

( )x

f x

g x→∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (teorema 2 del módulo 7),

y, de esta forma,

( )ln

( )lim 0

ln ( )x

f xg x

g x→∞= (ya que lim ( )

xg x

→∞= ∞ ).

Por tanto,

( )ln

ln ( ) ( )lim lim 1 1 0 1.

ln ( ) ln ( )x x

f xf x g x

g x g x→∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 19.15

En R P Feynman, Lectures on physics (Addison-Wesley, Reading, Mass.), apareceesta observación: «Aquí está la respuesta cualitativa de qué es lo correcto en vez de

kT. Esta expresión, /,

1hw kT

hw

e − debe tender a kT cuando w→ 0». ¿Puede usted probar

que en efecto esto se cumple?



Solución

En efecto, 0lim

1hw w

kT

hw

e→

− es indeterminado de la forma

0.

0

Aplicando la regla de L ́ Hopital , se tiene que

00 0 0lim lim lim .

1h h hw w ww w w

kT kT kT

hw h kT kTkT

ehe e e

kT

→ → →= = = =

−

Ejemplo 19.16

Evalúe los siguientes límites:

a.2 4

lim .2x

x

x→−∞

++

b.2 4

lim .2x

x

x→+∞

++

Solución

a. El límite es indeterminado de la forma .∞∞

Para eliminar la indeterminación, se dividen el numerador y el denominadorpor x, así:

2

24

4lim lim .

22 1x x

xx xx

x

→−∞ →−∞

++

=+ +

Como x →−∞, x < 0 y se puede escribir 2x x= − en el numerador. Luego,

2 2

2 2 2

4 44

lim lim lim ,2 22 1 1

x x x

x xx x xx

x x

→−∞ →−∞ →−∞

+ +−

+ −= =+ + +

2

41

1 0lim 1.

2 1 01x

x

x

→−∞

− +− +

= = = −++

b. Este límite también es indeterminado de la forma .∞∞

Para eliminar la indeterminación, se dividen el numerador y el denominador

nuevamente por x, y como x → +∞, se puede escribir 2x x= en el nume-

rador, así:



2 22

2 2 2

4 444

lim lim lim lim ,2 2 22 1 1 1

x x x x

x xxx x xxx

x x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ +++

= = =+ + + +

2

41

1 0lim 1.

2 1 01x

x

x

→+∞

++

= = =++

Ejemplo 19.17

Evalúe el siguiente límite:

( )2lim 4 2 1 2 .x

x x x→+∞

+ + −

Solución

El límite es indeterminado de la forma .∞ −∞

Para eliminar la indeterminación se multiplica y se divide la expresión inicial por

24 2 1 2 ,x x x+ + + y luego se dividen el numerador y el denominador por x.

Esto es,

( ) ( )( )2 2

2

2

4 2 1 2 4 2 1 2lim 4 2 1 2 lim ,

4 2 1 2x x

x x x x x xx x x

x x x→+∞ →+∞

+ + − + + ++ + − =

+ + +

( )2

2 1lim ,

4 2 1 2x

x

x x x→+∞

+=

+ + +

2

12

lim .4 2 1

2x

x

x x

x

→+∞

+=

+ ++

Ahora, como x > 0, se puede escribir 2x x= en el denominador de la última fracción.

De esta manera,

( )2

2

2

12 1

lim 4 2 1 2 lim .24 2 1

2x x

xx x xx x

x

→+∞ →+∞

++ + − = =

+ ++



Ejemplo 19.18

Evalúe los siguientes límites:

a.2

2

4 1lim .

1x

x

x→+∞

−+

b.2

2

4 1lim .

1x

x

x→−∞

−+

Solución

a. Al dividir numerador y denominador por x2 (mayor potencia de x), se obtiene:

2

2 2 2 2

2 2

22 2

4 1 144 1

lim lim lim ,11 1 1

x x x

xx x x x

x xxx x

→+∞ →+∞ →+∞

− −−= =

+ ++

4 0

4.1 0

−= =

+

b. Nótese que como la función 2

2

4 1( )

1

xf x

x

−=

+ es una función par (sección 3.3

del apéndice III), o sea f (x) = f ( − x), esto significa entonces que el compor-tamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandesde x negativos es el mismo. Así que,

2 2

2 2

4 1 4 1lim lim 4.

1 1x x

x x

x x→−∞ →+∞

− −= =

+ +




1. Use la definición de la derivada para calcular la derivada de las siguientes funciones:

a. ( ) .f x x= b. 2( ) .g t t=

c. 1

( )h xx

= y evalúela en 1

.2

x = − d. ( )32( ) 1 .t x x x= + +

2. Sea

2

4 si 1 2( )

6 si 2 5

x xf x

x x

− − < ≤⎧= ⎨

− < ≤⎩

Halle las derivadas laterales de f (x) en x = 2 y determine si f ́ (2) existe.

3. Sea

2 si 1( )

si 1

x xf x

ax b x

⎧ <= ⎨

+ ≥⎩

Determine los valores de las constantes a y b para que f ´(1) exista.

4. Si ( ) sgn( ),f x x= pruebe que (0)f+′ = +∞ y (0)f−′ = −∞

(vea la definición de la función sgn (x) en la sección 3.1.1, del apéndice III).

Calcule 0

lim ( )x

f x+→

y 0

lim ( ).x

f x−→

5. Sea f la función definida por

( ) ( )si

( )( ) si

g x g ax a

f x x ag a x a

−⎧ ≠⎪= −⎨⎪ ′ =⎩

Pruebe que si g´(a) existe, entonces f es continua en a.

6. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto ℜ de los números reales y tal que ( ) ( ) ( ),f a b f a f b+ = ⋅ para todo

a y b. Además, (0) 1f = y (0)f ′ existe. Pruebe que ( )f x′ existe para todo x y además se cumple que

( ) (0) ( ).f x f f x′ ′= ⋅



7. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones:

a. 2( ) 3 1h x x x= + − b. 5 33 5

( ) 4 22 8

g x x x x= − + + c. ( ) ( )2( ) 3 2g t t t t= + ⋅ −

d. 2

3

5 2( )

1

x xt x

x

+=

+e. 3

2( )

2 4

tm t

t t=

+ −f. ( )

42

2

3( ) 2 1

5

zg z z z

z

−⎛ ⎞+= + − ⎜ ⎟−⎝ ⎠

g. ( )35( ) 2 1w x x x= − + h. ( )54 3( ) 3 5 1s t t t t= − + − i. ( )42

5( )

3 4 2n y

y y=

+ −

j. 2 5

( )3

tf t

t

+=

−k. 4 23( ) 4 4.f x x x x= ⋅ + + l. 3sen 5cosy x x= −

ll. sen 3 cos3y x x= ⋅ m. 23sen 5y x= n. tan

sen cos

xy

x x=

−

o. 2 seny x x= p. 2 1

sen

xy

x x

+= q. sen cosy x x x x= +

r. ( )4 4( ) sen 3f t t t= + rr. ( )( )2( ) cos cos cosg t t=

8. Suponiendo que cada una de las siguientes ecuaciones define una función derivable y = f (x), encuentre y´ o dy

dx

usando derivación implícita.

a. 2 24 9 36x y+ = b. 2 16 0xy x− + = c. 3 23 19 0x x y xy− + =

d. 3 10xy y x+ = e. 3 26 2x xy xy y− + = f. 2

3 23

1y

yx

− =

g. 2senxy x x+ = h. 2cos ( ) 2xy y x= + i. 2

3

3x yy

x y

+=

+

j. 5 0x y

xyx

++ − =

9. Halle (1)y′ y (1)y′′ si (1) 0,y = y además 3sen .y x x= −

10. Halle (1)y′ si y(1) = 1, y además 3tan 3.

4xy y x

π⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

11. Use la definición de límites al infinito para hallar el número positvo B, conociendo ( )f x , L y ∈en los siguientes

casos:

a. 3 1

( )2

xf x

x

+=

+; L = 3; 0.005∈ =



b. 1

( )f xx

= ; L = 0 ; 0.02∈ =

c. 2

2

1 4( )

2 5

xf x

x

−=

+ ; L = −2; 0.001∈ =

d. 2 4

( )4

xf x

x

+=

+; L = 1; 0.01∈ =

12. Evalúe cada uno de los siguientes límites al infinito:

a. 3 2

3 2

8 7 5 10lim

2 5 8x

x x x

x x→+∞

− + −− +

b. 2

2

3 4lim

1 2x

x

x→+∞

++

c. 3

4 2lim

3 5 8x

x

x x→+∞

+− +

d. 3 6 28 5 1

lim3x

x x

x→+∞

+ ++

e. 38

lim2x

x

x→−∞

−+

f. 2

2

4lim

9x

x x

x→+∞

−+

g. ( )2lim 2 4 5x

x x x→−∞

− −

13. En cada uno de los ejercicios siguientes evalúe los límites infinitos y trace el comportamiento de la curva cerca delpunto.

a. 2

21

2lim

( 1)x

x x

x→

+ −−

b. 3

3 5lim

3x

x

x+→

+−

c. 2

2

2 1lim

2x

x

x−→−

++

d. 2

21lim

1x

x

x+→ −e.

2

22

1lim

2x

x

x x→

+− −

f. 2

21

1lim

2x

x

x x→−

+− −

14. Use la regla de L’Hopital para evaluar los siguientes límites:

a. 0

sen 1lim

ln ( 1)

y

y

e y

y→

+ −+

b.

1ln 1

lim1

ln 1x

x

x

→+∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

c. ln ( )lim

nx

x

x→∞; 0n >

d. 1

lim(1 ) tan2x

x xπ

−→

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

e. lim 1x

x

a

x+→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

f. 1

1lim

1 lnx

x

x x+→

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦

g. 0

lim · lnx

x x+→

h.

2

lim(sec tan )πθ

θ θ→

− i. 2

2

lim(cos )x

x

xπ

π

−

→



j. sen sen

limx a

x a

x a→

−−

k. 0

lim(1 )k

x

xax

→+ ; a, k constantes l.

2

2 2

20

senlim

( 1)xx

x x

e→

−

−

m. tan 2

0lim (tan ) x

xx

+→n.

0lim ,

sen sen

x x

x

e e

x x

α β

α βα β→

−≠

−

15. Supongamos que 0

lim ( ) 1x

f x→

= y 0

lim ( ) 1.x

g x→

= ¿Cuál de los límites siguientes puede calcularse sin más información?

Dé sus valores. ¿Cuáles no? Dé ejemplos que demuestren que tales límites no están determinados.

a. 0

lim ( ) ( )x

f x g x→

⋅ b. [ ]0

lim ( ) ( )x

f x g x→

+ c. 0

( )lim

( )x

f x

g x→

d. 0

( ) 1lim

( )x

f x

g x→

−e.

0

( ) 1lim

( ) 1x

f x

g x→

−−

f. ( )

0lim (1 ( ))g x

xf x

→−

g. 1 ( )

0lim (1 ( )) g x

xf x −

→−

16. El siguiente ejercicio es tomado completamente del texto Cálculo de una variable, de Claudio Pita Ruiz (PrenticeHall, 1998).

¡Descifre el mensaje!

El objetivo de este último ejercicio del capítulo es asegurarnos de que estamos ya familiarizados con las fórmulas dederivación que fueron estudiadas aquí. Se pide que se conteste una pregunta que está en clave secreta. Las reglas del juegoson las siguientes: a continuación se muestran unos espacios con números que deberán ser cambiados por letras. Estosnúmeros corresponden a la numeración de cada uno de 26 ejercicios que se deberán resolver, las respuestas de los cualestienen otra numeración (por ejemplo, la respuesta correcta del ejercicio 1 es la 5). Se deben cambiar entonces todos losnúmeros que vienen en la pregunta por los de sus respuestas correctas. Una vez hecho esto, simplemente se cambian losnúmeros por las letras del alfabeto que les corresponden, según el orden estándar: A = 1, B = 2,..., Z = 26. Así, se descubrirála pregunta secreta que se está haciendo. Ojalá y la respuesta sea SI.

El mensaje es:¿(24)(3)

(3)(21)(13)(1)(18)(10)(17)(12)(22)(1)(4)(17)(1)(18)

(5)(3)(12)(8)(26)(13)(6)(14)(5)(3)(12)

(10)(1)(10)(1)(13)(17)(23)(3)(2)(17)(26)(18)

(10)(1)(1)(12)(22)(1)

(2)(3)(21)(17)(22)(14)(5)(26)?



Preguntas: las funciones son ( )f x =

1. sen

1 cos

x

x+14. 2 lnx x

2. cosx x 15. 2sen secx x

3. senx x 16. 4 4xx e

4. senx x+ 17. 3 4( 2 )x x+

5. 2 2sen cosx x+ 18. tanx x−

6. sen cosx x 19. cos

cosh

x

x

7. senh coshx x x 20. 2(sen senh )x x+

8. 2 3 1x x+ + 21. sen tanx x+

9. 3 senhx x 22. sen cosx x x

10. 21 x

x

− 23. 3(1 )x x+

11. 2 2(1 )x x+ 24. 21

xe

x+

12. sec tanx x 25. 4

ln x

x

13. lnxe x 26. 2 3x x+

Respuestas: las derivadas de las funciones anteriores son f ´(x) =

1. cos senx x x+ 14. 2tan x−

2. 1 cos x+ 15. 1

23

22

x x−

+

3. cossen

2

xx x

x− 16. 2cos secx x+

4. 2 1x−− − 17. 2 22 (1 ) 2 (1 )x x x x+ + +

5. 1(1 cos )x −+ 18. 1 lnx xx e e x− +

6. 2 3x + 19. 3 2sec sec tanx x x+7. 3 2cosh 3 senhx x x x+ 20. sen cos cos 2x x x x+

8. 2 2senh cosh (senh cosh )x x x x x+ + 21. 2 lnx x x+

9. 2 3 34(3 2)( 2 )x x x+ + 22. 2 33 (1 ) (1 )x x x+ + +

10. 2(cos cosh )(sen senh )x x x x+ + 23. 5

1 4 ln x

x

−



11. 2

cosh sen cos senh

cosh

x x x x

x

+− 24. 2(1 2 tan )secx x+

12. 0 25. 2

2 2

( 1)

( 1)

xe x

x

−+

13. cos 2x 26. 3 44 (1 )xx e x+

«Necesariamente vence siempre el entusiasta al apático.No es la fuerza del brazo, ni la virtud de las armas, sino lafuerza del alma la que alcanza la victoria».

Johann G. Fichte


4Aplicaciones de

la derivada

Capítulo 4

Presentación

En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicas como mediopara resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son degran importancia práctica y que de otra forma no podrían ser resueltos.

En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales e interesantes de laderivación a problemas del análisis matemático (estudio de la variación de las fun-ciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y, en general, el trazadocompleto de curvas), de la geometría (rectas tangentes y normales), de la física(movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisaminimizar costos, obtener beneficios máximos, etc., y para ellos la teoría de la deri-vación proporciona información suficiente.

Contenido breve

Módulo 20Interpretaciones geométrica y físicade la derivada

Módulo 21Valores extremos de una función devariable real

Módulo 22Teorema del valor medio (TVM)para derivadas

Módulo 23Criterio de la primera derivada

Módulo 24Criterio de la segunda derivada

Módulo 25Análisis y trazado de curvas

Módulo 26Problemas de máximos y mínimos

Módulo 27La derivada como razón de cambio

Módulo 28La diferencial


En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permitedemostrar que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera.

Introducción

El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y seremonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El proble-ma de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler(1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velo-cidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y elotro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen almismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.


1. Interpretar la derivada de una función en un punto como la pendiente de la rectatangente a la curva que representa la función en dicho punto.

2. Interpretar físicamente la derivada s´(t) como la velocidad de una partícula quese mueve sobre una línea recta mediante la función s(t), que permite calcularpara cada t el espacio recorrido s.

3. Interpretar s´´(t) como la aceleración de la partícula.

Preguntas básicas

1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT

y de la recta normal (recta

perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación 2( ) 8,y f x x= = − en el

punto P (3, 1).2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una al-

tura S0 (pies), con una velocidad inicial v

0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso

después de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del

tiempo viene dada por 20 0( ) 16 .S f t t v t S= = − + ⋅ +

3. Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edi-ficio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima?b. ¿Cuál es la altura máxima?c. ¿Cuándo llega al piso?d. ¿Con qué velocidad llega al piso?e. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?


20.1 Interpretación geométrica de la derivada20.2 Interpretación física de la derivada

Interpretaciones geométrica y física de laderivada

20

Si un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0

pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), ¿cuándo

llegará al agua y con qué velocidad? El modelo clásicopresentado al final del módulo da la respuesta.


20.1 Interpretación geométrica de la derivada

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muyantiguo: data del gran científico griego Arquímedes (287-212 a.C.), se llama proble-ma de las tangentes y se describe a continuación.

Se da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x)(figura 20.1).

Figura 20.1

Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La rectaque pasa por P y Q se denomina recta secante.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posicionessucesivas Q

1, Q

2, Q

3, ..., Q

n, ..., entonces la posición límite (si existe) de la secante se

denomina recta tangente a la curva en P.

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, ( ), ( ) ,P c f c

( ), ( )Q c h f c h+ + (figura 20.2), entonces la pendiente de la recta secante PQ

denotada por sec PQm viene dada por

sec

( ) ( )tan .

PQ

f c h f cm

hα + −

= =

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuyapendiente m

T viene dada por

sec 0

( ) ( )lim lim ( ).T PQP Q h

f c h f cm m f c

h→ →

+ − ′= = =

Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada


Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 20.2

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en ( ), ( )P c f c es

( ) ( )( )y f c f c x c′− = − (forma punto-pendiente de la recta) (sección 2.4, apén-

dice II).

Ejemplo 20.1

Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendi-

cular a la tangente) LN a la curva de ecuación 2( ) 8y f x x= = − en el punto P (3, 1).

Solución

Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (figura 20.3).

Figura 20.3



La pendiente de LT viene dada por

(3,1)

(3).TP

dym f

dx⎛ ⎞ ′= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Pero 2 1 2

2

1( ) (2 )( 8) .

2 8

xf x x x

x

−′ = − =−

Así que (3) 3.Tm f ′= =

Usando ahora la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta (sección 2.4,

apéndice II) se tiene entonces que para LT, 1 3( 3) 3 8 0y x x y− = − ⇔ − − = es la

ecuación de la recta tangente.

Ahora, como 1,T Nm m⋅ = − se deduce que 1

.3Nm = −

Usando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se tiene

que, para LN,

11 ( 3) 3 6 0

3y x x y− = − − ⇔ + − = es la ecuación de la recta normal.

Ejemplo 20.2

Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 3( ) 1,y f x x= = +

que es paralela a la recta de ecuación 12 6 0.x y+ − =

Solución

En la figura 20.4 aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.


Figura 20.4


Si se denota por LN la recta normal, como L

N es paralela a 12 6 0x y+ − = se tiene

que 1

.12Nm = −

Para determinar la ecuación de LN hace falta conocer el punto P(x

1, y

1) de tangencia.

Para ello, se usa el hecho de que 12Tm = (mT: pendiente de la tangente).

De otro lado, 21 1( ) 3 .Tm f x x′= = Así que 2

1 13 12 2.x x= ∴ = ±

Este último resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saber: P1 (2, 9)

y P2 ( − 2, − 7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las con-

diciones iniciales del problema. Una de ellas pasa por P1 (2, 9) y tiene pendiente

1.

12Nm = − Su ecuación viene dada por 1

9 ( 2) 12 110 0.12

y x x y− = − − ⇔ + − =

La otra pasa por P2 ( − 2, − 7) y tiene pendiente

1.

12Nm = − Su ecuación viene dada

por 1

( 7) ( ( 2)) 12 86 0.12

y x x y− − = − − − ⇔ + + =

Ejemplo 20.3

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 2 2 2 2 28( ) 100( )x y x y+ = − en

el punto (3, 1).

Solución

En primer lugar note que 2 2 2 2 28(3 1 ) 100(3 1 ),+ = − lo cual indica que el punto (3, 1)

pertenece a la curva.

Ahora, (3,1)

.T

dym

dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Para determinar dy

dx se usa derivación implícita en la ecuación 2 2 2 2 28( ) 100( )x y x y+ = − .

Esto es,

( ) ( ) ( )2 216 2 2 100 2 2 .x y x y y x yy′ ′+ ⋅ + ⋅ = −

3 2 2 332 32 32 32 200 200 .x x yy xy y y x yy′ ′ ′+ + + = −

( )2 3 3 232 32 200 200 32 32 .y x y y y x x xy′ + + = − −

de donde 3 2

2 3

200 32 32.

32 32 200

dy x x xyy

dx x y y y

− −′ = =+ +



Por tanto,

3 2

2 3(3,1)

200 3 32 3 32 3 1 600 864 96 360.

288 32 200 52032 3 32 1 200 1T

dym

dx

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −⎛ ⎞= = = = −⎜ ⎟ + +⋅ + ⋅ + ⋅⎝ ⎠

Es decir, 9

.13Tm = −

Así que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada por

91 ( 3) 9 13 40 0.

13y x x y− = − − ⇔ + − =


Velocidad promedio y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre sí 100 km, enun tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidadpromedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.Pero, durante el viaje, el velocímetro marcó con frecuencia lecturas diferentes de 50km/h. Inicialmente marcó 0, a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿qué es lo que en realidad marca el velocíme-tro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea.

Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimen-tos demuestran que si un objeto parte del reposo en caída libre, la posición S delobjeto, como función del tiempo, viene dada por

21 6S t= (S en pies, t en segundos).

Así, en el primer segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 (2)2 = 64 pies.Por tanto, en el intervalo de t = 1 s a t = 2 s, P cae (64 – 16) pies, de manera que suvelocidad promedio será:

64 16 pies48 .

2 1 spromV−

= =−

En el intervalo de t = 1 s a t = 1.5 s, P cae (16 (1.5)2 – 16) pies. En consecuencia, suvelocidad promedio será:

216(1.5) 16 20 pies40 .

1.5 1 0.5 spromV−

= = =−

En forma similar, en los intervalos de tiempo de t = 1 s a t = 1.1 s, y de t = 1 s a t = 1.01s, P caerá, respectivamente, (16 (1.1)2 – 16) pies y (16 (1.01)2 – 16) pies, y susvelocidades promedio serán, respectivamente:

20.2 Interpretación física de la derivada


216(1.1) 16 3.36 pies33.6 ,

1.1 1 0.1 spromV−

= = =−

216(1.01) 16 0.3216 pies32.16 .

1.01 1 0.01 spromV−

= = =−

Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalosde tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1 s. Cuanto más nos aproximamos a t= 1 s, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 s.

Los números 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen «sospechar»que la velocidad instantánea es de 32 pies/s.

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos develocidad promedio y de velocidad instantánea.

Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma quesu posición S en cada instante t es una función S = f (t).

En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto estáen f (c + h) (figura 20.5). Por tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es:

( ) ( ).prom

f c h f cV

h

+ −=

Y se define la velocidad instantánea V en el instante t = c así:

0 0

( ) ( )lim lim ( ).promh h

f c h f cV V f c

h→ →

+ − ′= = =

Figura 20.5



Observación

Existe una distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez. La velocidadtiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez sedefine como el valor absoluto de la velocidad.

Así por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo quesu posición en cualquier instante t satisface la ecuación

2( ) 2 12 8,S f t t t= = − +

entonces

( ) 4 12.dS

v t tdt

= = −

Así, (2) 4 cm s,v = −

(3) 0,v =

(4) 4 cm s.v =

De esta forma, la rapidez en t = 2 s es 4 4cm s.− =

El medidor de la mayoría de los automóviles es un «rapidómetro» (celerómetro) ysiempre da valores no negativos.

Ahora se quiere dar una interpretación física de la segunda derivada 2

2,

d S

dtque

mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir,

2

2

d S d dS dv

dt st dtdt⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

y que se llama aceleración. Si la denotamos por la letra a,

entonces:

2

2.

d S d dS dva

dt st dtdt⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

En el ejemplo anterior:

2( ) 2 12 8,S f t t t= = − +

4 12,dS

v tdt

= = −

24cm/s .dv

adt

= =

Esto significa que la velocidad aumenta a razón constante de 4 cm/s cada segundoy escribimos 4 cm/s2.



Problemas de caída de los cuerpos

Si un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una alturaS

0 (pies), con una velocidad inicial v

0 (pies/s), y si S (pies) es la altura sobre el piso

después de t segundos, entonces puede demostrarse que la posición S como fun-ción del tiempo viene dada por

20 0( ) 16 .S f t t v t S= = − + +

Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que sedesprecia la resistencia del aire. La figura 20.6 ilustra la situación.

Figura 20.6

Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificiode 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.

a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima?b. ¿Cuál es la altura máxima?c. ¿Con qué velocidad llega al piso?d. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?

Solución

Como S0 =160 y v

0 = 64, la ecuación de movimiento viene dada por

2( ) 16 64 160S f t t t= = − + + (S: pies y t: s). (1)

Así, 32 64,dS

v tdt

= = − + (2)

32.dv

adt

= = − (3)



a. El objeto alcanza la altura máxima en el instante en el cual la velocidad escero. Así que,

32 64 0 2 s.t t− + = ⇒ =

Al sustituir en (1), se tiene que

b. 216(2) 64(2) 160 224 pies (altura máxima).S = − + + =

c. El objeto golpea el piso cuando S = 0.

Esto es, 2 216 64 160 0 4 10 0,t t t t− + + = ⇔ − − =

de donde, 4 16 40

2 14.2

t± +

= = ±

El objeto llega al piso a los 2 14 s.t = +

Al sustituir este valor de t en (2) se obtiene

32(2 14 ) 64 119.73 pies s.v = − + + ≈ −

El objeto llega al piso con una rapidez de 119.73 pies/s.

d. De acuerdo a (3), la aceleración permanece constante e igual a 32 pies/s2.Esta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar.



Introducción

Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en unpunto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente enel punto (c, f (c)) y además m

T = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros,

aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo laecuación f’(x) = 0.

Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva loselementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes:

f (c1) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene

a c1. Se dice entonces que f (c

1) es un máximo relativo de f (x). Nótese, además,

que en el punto P1(c

1, f (c

1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto

es, 1'( ) 0.f c =

Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que

contiene a c3. Así que f (c

3) es otro máximo relativo de f (x).

Valores extremos de una función devariable real

21

Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange nació el 25 junio de 1736 en Turín yfalleció el 10 de abril de 1813 en París.


Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaSin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cualindica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debeanularse la derivada.

f (c2) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c

2.

Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que

en el caso anterior en el punto P2(c

2, f (c

2)),ocurre que f’(c

2) = 0.

Si se comparan ahora todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b],se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c

3) es el mayor valor. A

f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mínimo absoluto y el máximo absoluto

de f (x) en [a, b].

Los conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, asícomo las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relati-vos. Al final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar losextremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.


1. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinaciónde los extremos de una función.

2. Notar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto.

Preguntas básicas

1. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ríorecto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si elcosto por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo sedebe tender el cable para que el costo total sea mínimo?


21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real21.2 Extremos relativos21.3 Extremos absolutos


21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real

Definiciones

Sea f una función de variable real y sea fc D∈ (dominio de f). Entonces:

i. f (c) es un valor máximo relativo de f si existe un intervalo abierto I que con-

tiene a c tal que ( ) ( ),f c f x≥ para todo .x I∈

ii. f (c) es un valor mínimo relativo de f si existe un intervalo abierto I que con-

contiene a c tal que ( ) ( ),f c f x≤ para todo .x I∈

iii. f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo I, si ( ) ( ),f c f x≥ para

todo .x I∈

iv. f(c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo I, si ( ) ( ),f c f x≤ para

todo .x I∈

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama extremosrelativos.

A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama extremosabsolutos.

Observaciones

Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, comosucede por ejemplo con f (c

3) en la función cuya gráfica aparece en la figura de la

página 207.

El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del módulo garantizala existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalocerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlosen diferentes puntos del intervalo.

21.2 Extremos relativos

El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tengaun extremo relativo en un punto en el cual f es derivable.

Teorema 1: Condición necesaria para extremos relativos

(f tiene un extremo relativo en ( ) 0)x c f c′= ⇒ =

Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f ´(c) existe.Entonces, f ́ (c) = 0.

Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real

Joseph Louis Lagrange

Astrónomo y matemático franco-italiano, Lagrange era deascendencia francesa, aunque nació y se crió en Italia. Deniño, en el colegio, se encontró con un ensayo de EdmundHalley sobre análisis matemático y al momento decidiódedicarse a esta ciencia. La habilidad matemática deLagrange fue reconocida por Leonhard Euler a partir deun memorando que recibió de aquél sobre el cálculo devariaciones, sobre el que el propio Euler ya habíatrabajado. Tan impresionado quedó Euler por esta obra,que permitió que fuera publicada antes que la suya.Lagrange aplicó su facilidad matemática a unasistematización de la mecánica, que ya había comenzadocon Galileo. Utilizando el análisis de las variaciones, dedujounas ecuaciones muy generales con las que se podíanresolver todos los problemas de la mecánica. Tambiéndedujo la forma de aplicar las matemáticas a losmovimientos de sistemas que influían en más de dos cuerpos,tales como el sistema Tierra-Luna-Sol y el de Júpiter con suscuatro lunas. La revolución francesa también le dio unaoportunidad de prestar un servicio a la ciencia, al recibir elencargo de dirigir una comisión que estudiara un nuevosistema de pesos y medidas. Como resultado apareció elsistema métrico decimal, el más lógico de los sistemas demedidas que jamás se han inventado.


Demostración

Caso 1

Si f es la función constante, el teorema es evidente.

Caso 2

Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c.Como f ́ (c) existe, entonces, de acuerdo a la observación hecha a la definición (2) del

módulo 9, ( ) ( )

( ) limx c

f x f cf c

x c→

−′ =−

existe, y además,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim ( ).x c x c x c

f x f c f x f c f x f cf c

x c x c x c+ −→ → →

− − − ′= = =− − −

(1)

Siendo f (c) un máximo relativo, existe un intervalo I = (x1, x

2) que contiene al punto

c y tal que

( ) ( ), para todo ( ) ( ) 0, para todo .f c f x x I f x f c x I≥ ∈ ⇔ − ≤ ∈

Si ,x c+→ entonces 0.x c− >

Así que ( ) ( ) ( ) ( )

0 lim 0x c

f x f c f x f c

x c x c+→

− −≤ ⇒ ≤

− − (ejercicio propuesto 5, capítulo 1),

( ) 0.f c′⇒ ≤ (2)

Igualmente, si ,x c−→ entonces 0x c− < .

Así que ( ) ( ) ( ) ( )

0 lim 0x c

f x f c f x f c

x c x c−→

− −≥ ⇒ ≥

− − (ejercicio propuesto 5, capítulo 1),

( ) 0.f c′⇒ ≥ (3)

De (2) y (3) se concluye que ( ) 0.f c′ =

Caso 3

Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. Lademostración es similar a la del caso 2 y se deja por tanto como ejercicio para ellector.

Observaciones

El teorema anterior significa geométricamente que si una función f tiene un extremorelativo en c, y f ́ (c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c))es horizontal (figura 21.1a).




Figura 21.1

El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplirque f ´(c) = 0 para algún punto c de su dominio, y sin embargo f no presenta extremosrelativos en c, como sucede por ejemplo con la función f (x) = x3 (figura 21.1b).



Note que 2( ) 3 , (0) 0,f x x f′ ′= = pero la función no presenta ni máximos ni mínimos

relativos en el origen puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derechaf es positiva.

Mas aun, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser

derivable allí, como sucede por ejemplo con la función ( )f x x= (figura 21.1c) que

tiene un mínimo relativo en x = 0, pero f ́ (0) no existe (observación a de la sección10.1).

Definición

Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c I∈ se llama valorcrítico de f si f ́ (c) = 0 o f ́ (c) no existe.

Así por ejemplo, para la función 1 33( ) (3 2) (3 2)y f x x x x x= = − ⋅ = − ⋅ se tiene que:

1 3 2 31( ) 3 (3 2) ,

3y f x x x x−′ ′= = ⋅ + − ⋅

1 3

2 3 2 3

3 2 12 23 .

3 3

x xx

x x

− −= + =

Los valores críticos de f son, por tanto, x = 0 y x = 1/6 (¿por qué?).

21.3 Extremos absolutos

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en lateoría de extremos de una función. Aunque tiene una fácil interpretación geométrica,exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están más allá delalcance de este texto.

Teorema 2: Teorema de los valores extremos

Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimoabsoluto y máximo absoluto).

El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica deuna función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b].Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teoremasiempre se cumple.

Observación

El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función conti-nua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, esevidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo setiene que presentar en los extremos a o b del intervalo.

Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de unafunción continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:



1. Se determinan los valores críticos c1, c

2, c

3, ...,c

n de f (resolviendo ( ) 0,f x′ =

o donde f ́ (x) no existe).2. Se calcula f (a) y f (b).

3. Máximo absoluto de f = { }1 2max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) .nf a f b f c f c f c

Mínimo absoluto de f = { }1 2min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) .nf a f b f c f c f c

Ejemplo 22.1

Determine, si existen, los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función4 2( ) 8 16f x x x= − + en el intervalo [–3, 2].

Solución

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absolutoestá garantizada por el teorema 2. Para determinarlos se aplica la regla práctica dadaen la observación del mismo teorema.

Considere los valores críticos por medio de la derivada

3( ) 4 16 0 4 ( 2)( 2) 0f x x x x x x′ = − = ⇔ − + =

0, 2, 2x x x⇒ = = = − son los únicos valores críticos.

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 3), (2), (0) ( 2),f f f y f− −4 2( 3) ( 3) 8( 3) 16 81 72 16 25,f − = − − − + = − + =

4 2(2) 2 8 2 16 16 32 16 0,f = − ⋅ + = − + =4 2(0) 0 8 0 16 16,f = − ⋅ + =

4 2( 2) ( 2) 8( 2) 16 16 32 16 0.f − = − − − + = − + =

Máximo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 3) = 25.

Mínimo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 2) = f (2) = 0.

Ejemplo 21.2

Determine, si existen, los extremos absolutos de la función 2 3( ) 1 ( 3)f x x= − − en

el intervalo [–5, 4].

Solución

La continuidad de f en el intervalo [–5, 4] garantiza la existencia de extremos abso-lutos de f en dicho intervalo.

Se deben determinar primero los valores críticos por medio de la derivada


Escuche el audio Lagrange, un genio amable ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


1 3

2( ) .

3( 3)f x

x

−′ =−

El único valor crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe (note que f ´(x) = 0carece de solución).Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 5), (4) y (3),f f f−2 3 2 3( 5) 1 ( 5 3) 1 ( 8) 3,f − = − − − = − − = −

2 3(4) 1 (4 3) 1 1 0,f = − − = − =2 3(3) 1 (3 3) 1 0 1.f = − − = − =

Máximo absoluto de f en [–5, 4] es f (3) = 1.

Mínimo absoluto de f en [–5, 4] es f (–5) = –3.

Ejemplo 21.3

Considere la función f definida por

2

3 4 si 3 1( )

2 si 1 3

x xf x

x x

− − ≤ <⎧= ⎨

− ≤ ≤⎩

Determine los extremos absolutos de f (si existen ) en el intervalo [–3,3].

Solución

La función es continua en todos los puntos del intervalo [–3,3] (verifique). Por elteorema 2, f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Paradeterminarlos se consideran primero los valores críticos de f. La función derivadaf ́ (x) viene dada por:

3 si 3 1'( )

2 si 1 3

xf x

x x

− ≤ <⎧= ⎨ ≤ ≤⎩

Puesto que (1) 3f−′ = y (1) 2,f+′ = la derivada no existe en x = 1 y por tanto corres-

ponde a un valor crítico de f.

De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuen-cia, el único valor crítico de f es x = 1.

Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:

(1), ( 3) y (3),f f f−2(1) 1 2 1,f = − = −

( 3) 3( 3) 4 13,f − = − − = −2(3) 3 2 7.f = − =

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaCuidado con los valores extremos

El deseado máximo o mínimo ocurre siempre en elnúmero crítico. Tal vez esté pensando que cuando sólo hayun número crítico es inútil comparar el valor con él losvalores extremos del intervalo. Por desgracia, eso no essiempre cierto.

En 1945, dos prestigiosos ingenieros aeronáuticosdedujeron una función como modelo del alcance de unavión. Su intención era usarla para maximizar el alcance.Encontraron un número crítico (correspondiente a repartirtodo el peso del avión en las alas) y argumentaron quedebía dar el máximo alcance. El resultado fue el famosoavión «Flying wing». Años más tarde se vio que ese númerocrítico correspondía a un mínimo de la función alcance. Endefensa de los ingenieros hay que decir que no disponían delas técnicas de cálculo actuales. Curiosamente, ese diseñorecuerda mucho al bombardero B-2 Stealth.

Esta historia salió a la luz con motivo de la construcción delB-2. La moraleja es evidente: compruebe los valores de lafunción en los números críticos y en los extremos delintervalo. No acepte, por supuesto, aun cuando haya un solonúmero crítico, que el número crítico proporciona el máximoo el mínimo que está buscando.


Máximo absoluto de f en [–3, 3] es f (3) = 7.

Mínimo absoluto de f en [–3,3] es f (–3) = –13.

Ejemplo 21.4

Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ríorecto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costopor metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debetender el cable, para que el costo total sea mínimo?


Figura 21.2

Solución

Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramode cable bajo el agua.

Se pueden definir ahora las constantes y variables del problema:

x: distancia de B a Q; 0 600.x≤ ≤ y: distancia de A a Q (longitud de cable bajo el agua).600 – x: distancia de Q a D (longitud de cable por tierra).k (constante): costo por metro de cable por tierra.

5

4k (constante): costo por metro de cable bajo el agua.

P : costo total (función a minimizar).

De acuerdo al teorema de Pitágoras, 2 2300 .y x= + (1)

Ahora, la función costo total viene dada por

5(600 ).

4C k y k x

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos sola-mente de la variable x, así:

2 25( ) 300 (600 ),

4C x k x k x= + + − con 0 600x≤ ≤ (dominio de C (x)),


2 2 1 25( ) ( 300 ) (600 ).

4C x k x k x= + + − (3)

Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valormáximo y un valor mínimo en [0, 600].

Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos de C (x):

( ) 1 22 25 1( ) (2 ) 300 0,

4 2C x k x x k

−′ = ⋅ + − =

( )1 22 2

51 0,

4 300

xk

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ − =⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )1 22 2

51 0 (puesto que 0),

4 300

xk

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ − = ≠⎢ ⎥+⎣ ⎦

2 25 4 300 0,x x⇒ − + =

2 24 300 5 .x x⇒ + =

De donde x = 400.

De modo que x = 400 es el único valor crítico de C (x), y de acuerdo al criterio de lasegunda derivada (teorema 2, sección 24.3) corresponde a un mínimo relativo (veri-fíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientesvalores: C (0), C (400) y C (600).

25(0) 300 600 975 .

4C k k k= + =

Esto significa, geométricamente, que si el cable se tira desde A hasta B bajo el aguay desde B hasta D por tierra, demanda un gasto de 975k pesos (figura 21.3a).



Figura 21.3

2 25(600) 600 300 375 5 838.5 .

4C k k k= + = ⋅ ≈

Esto indica, geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso elcable se tiende directamente desde A hasta D bajo el agua, demandando un gasto

total de 375 5 · 838.5k k≈ pesos (figura 21.3b).

2 25(400) 400 300 200 825 .

4C k k k= + + =

Esto significa que si el punto Q está a 400 m de B y se tiende el cable bajo el aguadesde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825k pesos,menor, para la compañía, que los dos anteriores (figura 21.3c).



Introducción

Los dos teoremas básicos que constituyen este módulo tienen más importanciateórica que práctica. En lo sucesivo, frecuentemente se usa la frase «…de acuerdoal teorema del valor medio…». En nuestro caso particular, el TVM será usado enlos dos próximos módulos para demostrar los teoremas básicos concernientes alestudio de la variación de las funciones, máximos y mínimos, concavidad y puntosde inflexión.


1. Conocer los dos teoremas básicos para la demostración de los criterios de laprimera y la segunda derivadas.

2. Relacionar el teorema del valor medio con la interpretación física de la derivada.

Preguntas básicas

1. Frecuentemente en nuestras carreteras encontramos el siguiente aviso: «Veloci-dad máxima: 60 km/h». Un conductor de un vehículo recorre 130 km en doshoras. Al ser detenido por un guardia de tránsito, el conductor afirmó que nuncaexcedió la velocidad permitida. ¿Cree usted que el conductor dijo la verdad?

2. En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto yterminan empatados.a. ¿Fueron sus velocidades iguales en algún instante de la carrera?b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma veloci-

dad, ¿fueron sus aceleraciones iguales en algún instante de la carrera?


22.1 Teorema de Rolle22.2 Teorema del valor medio para derivadas22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio

Teorema del valor medio (TVM) paraderivadas

22

Michel Rolle

Michel Rolle nació en Ambert, Basse-Auvergne (Francia),el 21 de abril de 1652 y murió en París el 8 de noviembrede 1719.



22.1 Teorema de Rolle

En la figura 22.1 se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el

intervalo cerrado [ , ]a b , ( ) ( ) 0f a f b= = y además ( )f x′ existe (no tiene picos) en

todos los puntos del intervalo (a, b).

Figura 22.1

Intuitivamente puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva deabscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela aleje x). Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado teorema deRolle, que se enuncia sin demostración.

Teorema de Rolle

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

c. ( ) ( ).f a f b=

Entonces, existe por lo menos un punto ( , )c a b∈ tal que ( ) 0.f c′ =

El siguiente teorema, que se enuncia y se demuestra a continuación, es una genera-lización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor mediopara derivadas.

22.2 Teorema del valor medio para derivadas

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Por tanto, existe por lo menos un punto ( , )c a b∈ tal que ( ) ( )

( )f b f a

f cb a

−′ =−

.



Antes de ver la demostración del teorema, analicemos su significado geométrico.

En la figura 22.2 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis delteorema del valor medio (TVM).

Figura 22.2

El término ( ) ( )f b f a

b a

−−

es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por

los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teoremaasí: existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b), tal que la recta tangentea la curva en P cuya pendiente es f ´(c) es paralela a la recta secante AB.

Demostración

Usando la forma dos-puntos de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II), sededuce para la recta secante la ecuación:

( ) ( )( ) ( ),

f b f ay f a x a

b a

−− = −

−

de donde ( ) ( )

( ) ( ).f b f a

y f a x ab a

−= + −

−

Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto

( , ( ))x f x sobre la curva y el correspondiente ( , )x y sobre la secante AB (segmen-

to d de la figura 22.2).

Así que:

( ) ( ) ,F x f x y= −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .f b f a

f x f a x ab a

−⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

Módulo 22: Teorema del valor medio (TVM) para derivadas

Michel Rolle

De formación autodidacta, Michel Rolle publicó un Tratadode álgebra (1690) en que expuso un método de resoluciónde determinados tipos de ecuaciones. Mantuvo una vivapolémica con diversos matemáticos sobre los principios delcálculo diferencial. Es conocido por un teorema que lleva sunombre: «Teorema de Rolle».


Esto es, ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).f b f a

F x f x f a x ab a

−= − − −

−(1)

La función F (x) así definida satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el in-tervalo [a, b].

En efecto:

a. ( )F x es continua en el intervalo cerrado [a, b] (¿por qué?).

b. ( )F x es derivable en el intervalo abierto (a, b) (¿por qué?).

Además, ( ) ( )

( ) ( ) .f b f a

F x f xb a

−′ ′= −−

(2)

c. Finalmente, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,

f b f aF a f a f a a a

b a

−= − − − =

−

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0.

f b f aF b f b f a b a

b a

−= − − − =

−

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle existe por lo menos un pun-

to ( , )c a b∈ tal que ( ) 0.F c′ =

Pero, de acuerdo a (2), ( ) ( )

( ) ( ) .f b f a

F c f cb a

−′ ′= −−

Por tanto, ( ) ( )

( ) 0,f b f a

f cb a

−′ − =−

lo cual implica que ( ) ( )

( ) ,f b f a

f cb a

−′ =−

que era lo que se quería demostrar.

Estos dos teoremas son de gran importancia teórica y práctica, como lo ilustran losejemplos siguientes y las demostraciones de los teoremas del módulo 23.

22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio

Ejemplo 22.1

Analice si 3 2( ) 5 3f x x x x= − − satisface las hipótesis del TVM para derivadas en

el intervalo [1, 3] y, en caso afirmativo, determine el valor(es) de c que satisface la

conclusión.



Solución

a. 3 2( ) 5 3f x x x x= − − es continua en [1, 3] (¿por qué?).

b. 2( ) 3 10 3f x x x f′ = − − ⇒ es derivable en (1, 3) (¿por qué?).

Como f cumple la hipótesis del TVM, entonces existe por lo menos un c ∈ (1, 3) tal que

(3) (1)( ) .

3 1

f ff c

−′ =−

Pero 2 3 2( ) 3 10 3; (3) 3 5 3 3 3 27; (1) 1 5 3 7.f c c c f f′ = − − = − ⋅ − ⋅ = − = − − = −

Así que 2 27 ( 7)3 10 3 10.

3 1c c

− − −− − = = −

−

Por tanto, 23 10 7 0 (3 7)( 1) 0,c c c c− + = ⇔ − − =

de donde 7 3, 1.c c= =

De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es 7 3,c = que es

la única solución buscada.

Ejemplo 22.2

Para la función 2 3( )f x x= estudie las condiciones del TVM para derivadas en el

intervalo [–2, 2].

Solución

a. Claramente la función es continua en [–2, 2].

b. 1 31 3

2 2( )

3 3f x x

x−′ = = no existe en el punto x = 0.

Por consiguiente, no se cumple la condición b del teorema, y, en consecuencia,no puede garantizarse la existencia del punto c.

Ahora, 1 3 1 3( ) ( ) 4 4

0,4

f b f a

b a

− −= =

−y como

1 3

2( ) ,

3f x

x′ = no se anula para

ningún valor real de x. Entonces, la igualdad

( ) ( )( )

f b f af c

b a

−′ =−

no se cumplirá en ningún c en (–2, 2).



Ejemplo 22.3

a. Demuestre que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entoncesla función es constante en dicho intervalo.

b. Use la parte a para demostrar que f (x) = sec2 x – tan2 x es constante. Hálleseel valor de dicha constante.

Solución

a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del TVM (¿por qué?).

Ahora, sean 1 2,x x dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la fun-

ción.

Para probar la parte a es suficiente probar que 1 2( ) ( ),f x f x= lo cual obliga

a deducir que la función sea constante.

Según el TVM, existe un número c entre 1x y 2x tal que

2 1

2 1

( ) ( )( ) ,

f x f xf c

x x

−′ =−

y como ( ) 0,f c′ = se concluye que

2 1( ) ( )f x f x= .

Una consecuencia inmediata de la parte a es la siguiente:

Si ( ) ( )f x g x′ ′= para todo [ ], ,x a b∈ entonces ( ) ( ) .f x g x C= +

Lo anterior se expresa en palabras diciendo que si las derivadas de dos funcio-nes coinciden, entonces las funciones difieren en una constante.

b. 2( ) 2sec (sec tan ) 2 tan (sec ),f x x x x x x′ = ⋅ ⋅ −2 2( ) 2sec tan 2sec tan 0.f x x x x x′ = ⋅ − ⋅ =

Como ( ) 0,f x′ = se sigue de la parte a que f (x) es una función constante.

Para hallar el valor de la constante basta evaluar la función en algún número

específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo 3.x π=

Se tiene entonces que ( )22 2 2( 3) (sec 3) (tan 3) 2 3 1.f π π π= − = − = En

consecuencia, 2 2sec tan 1x x− = para todo x (x en el dominio común de la se-cante y la tangente).

Este resultado no debe sorprender puesto que 2 21 tan secx x+ = es una

identidad trigonométrica conocida.



Ejemplo 22.4

En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminanempatados.

a. Demuestre que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera.b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma ve-

locidad, demuestre que sus aceleraciones fueron iguales en algún instantede la carrera.

Solución

a. Sea s (t) la diferencia de las distancias entre el auto A y el auto B en cualquiertiempo t durante la carrera.

Entonces, ( )s t′ es la diferencia en las velocidades.

Ahora, si 0t y 1t son los tiempos en los cuales comienza y termina la carrera,

se tiene que, de acuerdo al enunciado del problema,

0 1( ) ( ) 0.s t s t= = (1)

Por el TVM, 1 0

1 0

( ) ( )( )

s t s ts c

t t

− ′=−

para algún 0 1( , ).c t t∈ (2)

De (1) y ( 2 ) se deduce que ( ) 0s c′ = (la diferencia de las velocidades es cero

en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las velocidades fue-ron iguales en algún instante de la carrera.

b. En forma similar, si v(t) denota la diferencia de las velocidades entre el auto Ay el auto B en cualquier tiempo t durante la carrera, entonces v´(t) denota ladiferencia entre sus aceleraciones.

Ahora, si t1 es el tiempo en el cual los autos tienen la misma velocidad, y t

2

el tiempo en el cual finaliza la carrera, se tiene que

2 1( ) ( ) 0.v t v t= = (1)

Por el TVM, 2 1

2 1

( ) ( )( )

v t v tv c

t t

− ′=−

para algún 2 1( , ).c t t∈ (2)

De (1) y ( 2 ) se deduce que ( ) ( ) 0a t v c′= = (la diferencia de las aceleraciones

es cero en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las aceleracio-nes fueron iguales en algún instante de la carrera.



Introducción

La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar losextremos relativos, sino también para determinar los intervalos donde crece y de-crece la curva.

Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica apareceen la figura anterior, se puede notar que:

1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, o ensentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que lafunción es creciente en el intervalo [a, b]; y entre b y c la curva es descendente,en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c].

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separanlos tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o, lo que es equivalente,la recta tangente es horizontal.

3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de larecta tangente a la curva es positiva y por tanto su derivada es positiva. Encambio, en el punto Q, que pertenece a un tramo decreciente de la curva, lapendiente, y por tanto la primera derivada, es negativa.

Estas ideas que se acaban de comentar serán justificadas por medio de las defini-ciones dadas y del teorema del valor medio presentado anteriormente.

23Criterio de la primera derivada

Una foto estroboscópica nos muestra cómo las distanciasrecorridas en intervalos de tiempo iguales varían según laaltura a que se halla la bola. Esta variación de la velocidad–propiamente la velocidad de la velocidad– es,matemáticamente, una derivada: se llama aceleración.




1. Establecer, usando la primera derivada, los intervalos de monotonía (crecimien-to y decrecimiento) de una curva.

2. Usar la primera derivada para determinar dónde ocurren y cuáles son los extre-mos relativos de una función.

Preguntas básicas

1. El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégra-fo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades

p y (1 – p), se define como ( ) ln (1 ) ln(1 ),H p p p p p= − ⋅ − − − donde 0 1.p< <

Pruebe que H(p) tiene un máximo en

p =

(El significado práctico de este he-

cho es que, para lograr el máximo flujo de información por unidad de tiempo, losdos valores deben aparecer, como promedio, en igual proporción.)


23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremos relativos


Módulo 23: Criterio de la primera derivada

23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimientoy decrecimiento

Como aplicación inmediata del TVM se prueba un primer teorema que permite deter-minar los intervalos en los que crece y decrece una curva conociendo el signo de suprimera derivada.

Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b).

a. Si

( ) 0f x′ >

para todo ( , ),x a b∈ entonces f es creciente en [a, b].

b. Si ( ) 0f x′ < para todo ( , ),x a b∈ entonces f es decreciente en [a, b].

Demostración

a. Sean 1 2,x x dos puntos de [a, b] tales que x1 < x

2. Basta demostrar que

f (x2) > f (x

1).

Evidentemente, f es continua en [x1, x

2] y f es derivable en (x

1, x

2). En conse-

cuencia, por el TVM existe por lo menos un punto 1 2( , )c x x∈ tal que

2 1

2 1

( ) ( )( ) .

f x f xf c

x x

−′ =− (1)

De x1 < x

2 se deduce que x

2 − x1 >

0, y como por hipótesis f ́ (c) > 0, se deduce

de (1) que

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0.f x f x f c x x′− = ⋅ − >

Por tanto, 2 1( ) ( )f x f x> y f es creciente en [a, b].

b. Se demuestra de manera similar.

Observación

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primeraderivada, así:

donde ( ) 0f x′ > (derivada positiva), f (x) es creciente;

donde ( ) 0f x′ < (derivada negativa), f (x) es decreciente.

El siguiente teorema permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos)de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.


23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremosrelativos

Sea f una función continua en un intervalo I, y sean a, b, c puntos de I, tales que

a < c < b y c un valor crítico de ( ( ) 0, o ( ) no existe).f f c f c′ ′=

Entonces:

a. Si ( ) 0f x′ > para todo x en (a, c) y ( ) 0f x′ < para todo x en (c, b), f (c) es

un máximo relativo (figura 23.1a, figura 23.1b).

b. Si ( ) 0f x′ < para todo x en (a, c) y ( ) 0f x′ > para todo x en (c, b), f (c) es

un mínimo relativo (figura 23.1c, figura 23.1e).

c. Si ( ) 0f x′ > para todo x en (a, c) y '( ) 0f x > para todo x en (c, b), f (c) no

es un extremo relativo (figura 23.1d).

d. Si ( ) 0f x′ < para todo x en (a, c) y ( ) 0f x′ < para todo x en (c, b), f (c) no

es un extremo relativo (figura 23.1f).




Figura 23.1

Demostración

a. Si ( ) 0f x′ > en (a, c), se tiene por el teorema 1 que f es creciente; en conse-

cuencia, para todo x tal que a < x < c se tiene que

f (x) < f (c). (1)

Ahora, como ( ) 0f x′ < en (c, b), entonces f es decreciente (teorema 1) y, de

esta forma, para todo x tal que c < x < b se cumple que

f (c) > f (x). (2)

De (1) y (2) se concluye que f (c) > f (x) para todo x en (a, b) y esto significaque f (c) es un máximo relativo.

b. Esta demostración es similar a la parte a.



c. Si ( ) 0f x′ > en (a, c) y ( ) 0f x′ > en (c, b), entonces por el teorema 1 se tiene

que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b), de locual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.

d. Esta demostración es similar a la parte c.

Observación

En el lenguaje corriente, las partes a y b del teorema 2 se expresan, respectivamente,en la siguiente forma:

Si la derivada pasa de positiva a negativa, el valor crítico corresponde a un máximorelativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el valor crítico corresponde aun mínimo relativo.

En los ejemplos resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para lagráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, asícomo también los extremos relativos. Para ello se explica el método gráfico que esmucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicaciónde los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la preguntabásica en el inicio del módulo.

Ejemplo 23.1

El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégra-fo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y

(1 ),p− se define como:

( ) · ln (1 ) ·ln (1 ),H p p p p p= − − − − donde 0 < p < 1.

Pruebe que H (p) tiene un máximo en 1

.2

p =

Solución

1 1 1( ) 1 · ln · ln(1 ) (1 ) · ln .

1

pH p p p p p

p p p

⎛ ⎞− −′ = − − − − − + − =⎜ ⎟−⎝ ⎠

De esta manera,

01 1 1( ) ln 0 1

2

p pH p e p

p p

− −′ = = ⇔ = = ⇔ = es el único valor crítico.

Para analizar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de 1

,p

p

−

dependiendo de que 1 1

0 , o 1.2 2

p p< < < <

Si 1

0 ,2

p< < entonces



11 2 1 1 1,

pp p p p p

p

−> ⇔ > + ⇔ − > ⇔ >

y, en consecuencia, 1

( ) ln 0,p

H pp

−′ = > lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que

la función H (p) es creciente en dicho intervalo. Si 1

1,2

p< < entonces

11 2 1 1 1,

pp p p p p

p

−< ⇔ < + ⇔ − < ⇔ <

y, en consecuencia, 1

( ) ln 0,p

H pp

−′ = < 1 lo que indica, de acuerdo al teorema 1,

que la función H (p) es decreciente en dicho intervalo.

Como la derivada pasa de positiva a negativa en 1 2,p = el teorema 2 garantiza que

en 1 2p = la función H (p) tiene un máximo relativo.



Introducción

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por serpuntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, losllamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan pordeterminar un cambio en la concavidad de la curva.

Como vimos en el módulo 23, la monotonía de una curva coincide con el signo de laprimera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con elsigno de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementosteóricos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cualserá el objetivo principal del módulo 25.


1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extre-mos relativos de una función.

2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de unacurva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión.

3. Completar los elementos teóricos necesarios para el trazado de curvas.

Preguntas básicas

1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supon-gamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulanen el mismo intervalo.

Sean ( ) ln ( ), y ( ) ln ( ).F x f x G x g x= =

a. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente?b. Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente?c. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f + g) lo es?d. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f · g) lo es?e. Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln ( f · g) lo es?

Analice sus respuestas.


24.1 Concavidad y puntos de inflexión24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

24Criterio de la segunda derivada

Un avión comienza a descender desde una milla de altura ysituado a cuatro millas de la pista. Es posible determinaruna función polinómica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d quedescribe la trayectoria suave del aterrizaje.


Módulo 24: Criterio de la segunda derivada

24.1 Concavidad y puntos de inflexión

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observa-ciones de tipo intuitivo.

Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva quef representa tiene tangente en todos sus puntos.

Figura 24.1

Se observa que en los puntos «cercanos» a x1, pero diferentes de x

1, la curva se

encuentra por «debajo» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva escóncava hacia abajo en el punto x

1.

Igualmente se observa que en los puntos «cercanos» a x2, pero diferentes de x

2, la

curva se encuentra por «encima» de la recta tangente. Se dice en este caso que lacurva es cóncava hacia arriba en el punto x

2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad «cambia» se conoce con elnombre de punto de inflexión de la curva.

A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visual queanalítico, éstas pueden demostrarse analíticamente utilizando el teorema del valor mediopara derivadas y el criterio de monotonía (vea el ejemplo 1 de este mismo módulo).

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones

Sea f una función derivable en un punto c.

i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervaloabierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), ,x c≠ se cum-ple que

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0c t

y y

Z x f x f c x c f c′= − − − > (figura 24.2a).


Figura 24.2

yc: y de la curva; y

t : y de la tangente.

ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c si existe un intervaloabierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), ,x c≠ se cumpleque

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0Z x f x f c x c f c′= − − − < (figura 24.2b).

iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.

iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión si existe un intervaloabierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad enlos subintervalos (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cónca-va positiva. Igualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que una curva escóncava hacia abajo o cóncava negativa.




Módulo 24: Criterio de la segunda derivadaEl siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condiciónsuficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidad

Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abiertoI. Entonces:

i. Si ( ) 0f x′′ > para todo ,x I∈ f es cóncava hacia arriba en I.

ii. Si ( ) 0f x′′ < para todo ,x I∈ f es cóncava hacia abajo en I.

Observaciones

1. En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signode la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada.

2. En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de lacurva sin existir punto de inflexión; en este caso, simplemente se dice que«hay inflexión» sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura 24.3 indi-ca esta posibilidad. Allí se muestran inicialmente los intervalos de concavi-dad para una curva dada.

Figura 24.3

Note que los puntos A (c1, f (c

1)), B (c

2, f (c

2)), C (c

3, f (c

3)) son puntos de inflexión.

En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión.

Como es de suponer, los puntos para los cuales ( ) 0 o ( )f x f x′′ ′′= no existe, son

«candidatos» viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un

valor de c del dominio de una función se cumpla que ( ) 0,f c′′ = y sin embargo el

punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión.

Considere, por ejemplo, la función definida por f (x) = x4, cuya gráfica aparece en lafigura 24.4.

Escuche el audio Un problema para detectivesen su multimedia de Elementos Básicos deCálculo Diferencial.



Figura 24.4

Como 4 3 2( ) , ( ) 4 , ( ) 12 .f x x f x x f x x′ ′′= = =

Para c = 0, 2(0) 12 · (0) 0.f ′′ = = Sin embargo, el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corres-

ponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores

a x = 0, (0) 0,f ′′ > y no cambia la concavidad de la curva.

A continuación se enuncia, sin demostración, un teorema conocido como el criteriode la segunda derivada para extremos relativos, el cual permite, en algunos casos,determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximoo a un mínimo relativo.

24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremosrelativos

Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, y sea c un punto de

I, tal que ( ) 0.f c′ = Entonces:

i. Si ( ) 0,f c′′ < entonces f presenta un máximo relativo en c.

ii. Si ( ) 0,f c′′ > entonces f presenta un mínimo relativo en c.

Observación

Si ( ) 0,f c′′ = entonces la naturaleza del valor crítico c no queda determinada, como

lo ilustran los siguientes casos:

La función f (x) = x4 satisface (0) 0 y (0) 0.f f′ ′′= = Sin embargo, f (x) presenta un

mínimo relativo en x = 0 (figura 24.5a).



Igualmente, la función g (x) = − x4 satisface (0) 0 y (0) 0.g g′ ′′= = Sin embargo,

g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (figura 24.5b).

También la función h (x) = x3 satisface (0) 0 y (0) 0,h h′ ′′= = pero h (x) es creciente

en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 24.5c).

Figura 24.5

El teorema 2 tiene mayor utilidad en los problemas de optimización en los cuales,para un valor crítico dado, se analiza si corresponde a un máximo o mínimo relativo,sin determinar los cambios de signo de la primera derivada.


En los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para lagráfica de una función dada los intervalos de concavidad, así como también losposibles puntos de inflexión. Para ello se explica el método gráfico que es muchomás expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de losdos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica enel inicio del módulo.

Ejemplo 24.1

Utilice el TVM para probar que la gráfica de una función f cóncava hacia arribasiempre está por encima de su recta tangente, es decir, demostrar que:

( ) ( ) ( )( ),f x f c f c x c′> + − siempre que .x c≠

Solución

Caso 1: Supongamos que .x c>

Por el TVM, ( ) ( )

( ),f x f c

f ax c

− ′=−

para algún ( , ).a c x∈

De aquí, ( ) ( ) ( )( ),f x f c f a x c′− = − para algún ( , ).a c x∈ (1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, 0 ( ) 0,f f′′ ′ ′> ⇔ >y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ́ es creciente en el intervalo

( , ).c x Es decir,

( ) ( ).c a x f a f c′ ′< < ⇒ > (2 )

De (1) y (2) se deduce entonces que ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).f x f c f a x c f c x c′ ′− = − > −

Por tanto, ( ) ( ) ( )( ),f x f c f c x c′> + − para .x c>

Caso 2: Supongamos que .x c<

Por el TVM, ( ) ( )

( ),f c f x

f ac x

− ′=−

para algún ( , ).a x c∈

De aquí, ( ) ( ) ( )( ),f c f x f a c x′− = − para algún ( , ).a x c∈ (1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, 0 ( ) 0,f f′′ ′ ′> ⇔ >y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ́ es creciente en el intervalo

( , ).x c Es decir,

( ) ( ).x a c f c f a′ ′< < ⇒ > (2 )



De (1) y (2) se deduce que ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).f c f x f a c x f c c x′ ′− = − < −

Es decir, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ).f x f c f c c x f x f c f c x c′ ′− < − + − ⇔ > + −

Por tanto, ( ) ( ) ( )( )f x f c f c x c′> + − para .x c<

En consecuencia, ( ) ( ) ( )( ),f x f c f c x c′> + − siempre que .x c≠

Ejemplo 24.2

Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Suponga-mos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en elmismo intervalo.

Sean ( ) ln ( )F x f x= y ( ) ln ( ).G x g x=

a. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente?b. Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente?c. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f + g) lo es?d. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f ⋅ g) lo es?e. Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln (f ⋅ g) lo es?

Solución

a. La pregunta puede formularse de la siguiente manera:

¿Si ( ) 0,F x′′ > entonces ( ) 0?f x′′ >

En primer lugar, si ( ) ln ( ),F x f x= entonces ( )

( ) ,( )

f xF x

f x

′′ = y

2

2

( ) ( ) ( ( ))( ) .

( )

f x f x f xF x

f x

′′ ′−′′ =

2

2

( ) ( ) ( ( ))( ) 0 0,

( )

f x f x f xF x

f x

′′ ′−′′ > ⇔ >

2( ) 0f f f′′ ′⇒ ⋅ − > (puesto que el denominador siempre es

positivo),

´2( )

0f

ff

′′′⇒ > > (puesto que 2( ) 0f ′ > y f > 0),

⇒ f es cóncava hacia arriba.



b. No necesariamente.

Considere por ejemplo la función 2( )f x x= definida en el intervalo (1, 2).

( ) 0,f x > para todo (1,2).x∈

Como 2( ) ln ,F x x= entonces 2

( )F xx

′ = y 2

2( ) 0,F x

x

−′′ = < lo que indica que

F es cóncava hacia abajo.

c. Como f es cóncava hacia arriba, entonces ( ) 0.f x′′ >

Como g es cóncava hacia arriba, entonces ( ) 0.g x′′ >

De otro lado, ( ) 0,f g f g′′ ′′ ′′+ = + > lo que indica que (f + g) es cóncava

hacia arriba.

d. No necesariamente.

Considere por ejemplo las funciones 2( )f x x= y g (x) = (1 − x)2, definidas en

el intervalo (0, 1), ( ) 2 , ( ) 2 0,f x x f x′ ′′= = > lo que indica que f es cóncava

hacia arriba en el intervalo (0, 1).

También, ( ) 2(1 ), ( ) 2 0,g x x g x′ ′′= − − = > lo que indica que g es cóncava

hacia arriba en el intervalo (0 , 1).

De otro lado, si 2 2 2 3 4( ) ( )( ) (1 ) 2 ,H x f g x x x x x x= ⋅ = − = − +

2 3( ) 2 6 4 ,H x x x x′ = − +

2( ) 2 12 12 ,H x x x′′ = − +

12 6 3 1 0,

2H

⎛ ⎞′′ = − + = − <⎜ ⎟⎝ ⎠

lo que indica que es cóncava negativa en las cercanías de 1

.2

x =

e. Sea ( ) ln ( )( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ).H x f g x f x g x F x G x= ⋅ = + = +

Por tanto, ( ) ( ) ( ),H x F x G x′′ ′′ ′′= + y como por hipótesis ( )F x′′ > 0, ( )G x′′ > 0,

se sigue que ( ) 0,H x′′ > lo que indica que ( ) ( ) ( )H x F x G x= + es cóncava

hacia arriba.



Análisis y trazado de curvas

25

La reputación histórica de Maria Agnesi fue distorsionadapor el hecho de que en sus Instituzioni analitiche trabajaracon la «cúbica de Agnesi» o curva sinusoidal versa (versieraen italiano), que se tradujo al inglés, por un error del traductor,Colson, como la «bruja de Agnesi» (Colson tradujo el términoversiera por witch, la palabra inglesa que significa «bruja»).

Introducción

El tratamiento que se ha dado a la graficación de funciones ha sido casi elemental.En la mayoría de los casos, las gráficas indicadas corresponden a funciones cono-cidas: polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc., cuyo trazose ha hecho marcando un número suficiente de puntos que las caracterizan. Sinembargo, si la ecuación que se quiere graficar es complicada o se quiere de la mismauna gráfica más precisa, esa técnica sería inadecuada. Por esta razón, los elementosdel cálculo vistos hasta ahora (límite, continuidad y derivada) se convierten en unapoderosa herramienta para trazar una curva con todos sus elementos. El objetivobásico de este módulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficación.


1. Incluir los temas vistos hasta ahora del cálculo en el proceso de graficación.2. Trazar la gráfica de una curva con todos sus elementos: dominio, interseccio-

nes, asíntotas, extremos relativos, monotonía, concavidad y puntos de inflexión.

Preguntas básicas

1. Sea f una función continua en todo el eje real. La figura adjunta es el gráfico de f´´(x) (gráfico de la función derivada, no de la función).


Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaResponda las siguientes preguntas acerca de f(x) (no de f’ ):

a. ¿Dónde f es creciente y dónde es decreciente?b. ¿Dónde f es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo?c. ¿Cuáles son sus valores críticos y dónde ocurren sus extremos relativos?d. ¿Dónde están los puntos de inflexión para f ?e. Suponiendo que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones

expuestas.


25.1 Análisis y trazado de curvas25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas


25.1 Análisis y trazado de curvas

El objetivo principal de los módulos anteriores era el de proporcionar los elementosteóricos necesarios para el análisis y el trazado de la curva asociada a una función.Esto se reduce generalmente a la determinación de los siguientes elementos:

Dominio natural de definición de la función ( ).y f x=

Posibles puntos de discontinuidad.

Interceptos de la curva con los ejes coordenados:

a. Interceptos con el eje x: se hace en la ecuación y = 0 y se resuelve laecuación resultante para x.

b. Interceptos con el eje y: se hace en la ecuación x = 0 y se resuelve laecuación resultante para y.

Asíntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas.

Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, analizando

el signo de ( ).f x′

Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexión analizando el signo

de ( ).f x′′

Este análisis permite construir la gráfica de la función (a veces resulta convenienteir trazando los elementos de la gráfica simultáneamente con el análisis).

Observaciones

Si la curva que se desea analizar y trazar corresponde a una función par, es decir,

( ) ( ),f x f x= − la curva es simétrica con respecto al eje y. En consecuencia, sólo

es suficiente analizar la función y construir su gráfica únicamente para valorespositivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la función.

Si la curva corresponde a una función impar, es decir, ( ) ( ),f x f x− = − será sufi-

ciente analizar la función para los valores positivos de la variable x. La gráfica deuna función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

En los ejemplos 25.1, 25.2, 25.3 y 25.4 de la sección 25.2 se analiza y se traza la gráficade algunas funciones con todos los elementos mencionados anteriormente.

25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas

Ejemplo 25.1

Trace la curva correspondiente a la función

2 2

2

3 3( ) .

( 2)( 2)4

x xy f x

x xx

+ += = =

− +− (1)

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas

Escuche el audio Traducttore tradictore en sumultimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Solución

Determinemos los elementos fundamentales de la curva, como son:

1. Dominio natural de f (x)

Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son x = 2 y x = –2

(valores de x que anulan el denominador). De esta forma, { }2, 2 .fD =ℜ− −

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 2

22

30 3 0

4

xx

x

+= ⇔ + =

−. Esta últi-

ma ecuación no tiene solución real, lo que indica que la curva no cortaal eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): 2

2

0 3 3.

40 4y

+= = −

− Por tanto, la curva

corta al eje y en el punto (0, 3 4).P −

3. Asíntotas

i. Verticales: como la función es racional, son aquellos valores de x queanulan el denominador de (1). En este caso las rectas verticales x = 2y x = –2 son asíntotas verticales de la curva.

Además, 2

22 2

3lim ( ) lim ,

4x x

xf x

x+ +→ →

+= = +∞

−

2

22 2

3lim ( ) lim ,

4x x

xf x

x− −→ →

+= = −∞

−

2

22 2

3lim ( ) lim ,

4x x

xf x

x+ +→− →−

+= = −∞

−

2

22 2

3lim ( ) lim .

4x x

xf x

x− −→− →−

+= = +∞

−

ii. Horizontales: como 2

2

3lim ( ) lim 1,

4x x

xf x

x→∞ →∞

+= =

−se deduce que y = 1

es una asíntota horizontal de la curva. De otro lado, como

2

2 2

3 7( ) 1 ,

4 4

xf x

x x

+= = +

− −

se deduce que los valores de la función para valores grandes de x envalor absoluto son mayores que 1, lo cual indica que la curva siempreestá por encima de la asíntota.




Módulo 25: Análisis y trazado de curvasEn la figura 25.1 se indica el intercepto de la curva con el eje y, y elcomportamiento de la curva cerca de las asíntotas.

Figura 25.1

iii. Oblicuas: no tiene (¿por qué?).

4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos

Para ello, se hace el análisis de la primera derivada.

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 ( 3) 14( ) .

( 4) ( 4)

x x x x xf x

x x

− − + −′ = =− −

Como (x2 – 4)2 > 0 (positivo), el signo de la derivada sólo depende del signodel factor (–14 x). Así:

Signo de (–14 x) o signo de ( )f x′ +++++++++++++|– – – – – – – – – – –

0

El diagrama indica que ( )f x es creciente en ( ,0]−∞ , y que ( )f x es decre-

ciente en [0, ).+∞

En consecuencia, x = 0 corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo.

(0, (0)) (0, 3 4).m mP f P⇔ −

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión

Para ello, se utiliza la segunda derivada.


Si 2

2 2 3 3

14 42 56( ) ( ) .

( 4) ( 2) ( 2)

x xf x f x

x x x

− +′ ′′= ⇒ =− − ⋅ +

Como 42x2 + 56 > 0 (positivo), el signo de la segunda derivada depende delsigno de los factores del denominador.

Signo de 3( 2)x − – – – – – – – – – –| ++++++++++++++

2

Signo de 3( 2)x + – – – – – –|++++++++++++++++++++

–2

Signo de ( )f x′′ +++++++++|– – – – |+++++++++++++++

–2 2

El signo de la segunda derivada indica que:

( )f x es cóncava hacia arriba (+) en ( , 2) (2, ),−∞ − ∪ +∞

( )f x es cóncava hacia abajo (–) en ( 2,2).−

En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, lo cual indica que hay«inflexión», pero no existe punto de inflexión (¿por qué?).

La figura 25.2 recoge toda la información obtenida y proporciona una aproximaciónmuy buena a la gráfica de la función dada.

Figura 25.2



Ejemplo 25.2

Trace la curva correspondiente a la función

3 3 2

2 2

( 1) 3 3 1( ) .

( 1) 2 1

x x x xy f x

x x x

+ + + += = =

− − + (1)

Solución

1. Dominio natural de f (x)

El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el de-nominador).

Así que { }1 ( ,1) (1, ).fD =ℜ− = −∞ ∪ +∞

La función es continua para todo 1,x ≠ por ser el cociente de dos polinomios.

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 3

2

( 1)0 1.

( 1)

xx

x

+= ⇒ = −

− Luego el

punto ( 1,0)P − es el intercepto de la curva con el eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): 3

2

(0 1)1.

(0 1)y

+= =

− Luego el punto

(0,1)Q es el intercepto de la curva con el eje y.

3. Asíntotas

i. Verticales: el único valor de x que anula el denominador es x = 1 yésta es la única asíntota vertical de la curva.

De otro lado:

3

21 1

tiendea 8(+)( 1)lim ( ) lim ,

tiendea 0(+)( 1)x x

xf x

x+ +→ →

→+= → +∞

→−

3

21 1

tiende a 8(+)( 1)lim ( ) lim .

tiende a 0(+)( 1)x x

xf x

x− −→ →

→+= → +∞

→−

ii. Horizontales: no tiene (¿por qué?).

iii. Oblicuas: como el grado del numerador es 3, una unidad más que elgrado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicuade la forma y = mx + b. Para determinarla, se efectúa la división entreel numerador y el denominador y se obtiene

3 2

2 2

3 3 1 12 4( 5) .

2 1 2 1

x x x xx

x x x x

+ + + −= + +

− + − +



Por tanto, 5Ay x= + es la asíntota oblicua de la curva.

Para estudiar el comportamiento de la curva «cerca» de la asíntota se estu-

dia la diferencia ,C Ay y− para un mismo valor de x, en donde yC es la orde-

nada de la curva y yA es la ordenada de la asíntota. Esto es,

3 2

2 2

3 3 1 12 4( 5) .

2 1 2 1C A

x x x xy y x

x x x x

+ + + −− = − + =

− + − +

Si 0,x > entonces 0,C Ay y− > lo que indica que para valores grandes de

x (positivos), la curva está por encima de la asíntota.

Si 0,x < entonces 0,C Ay y− < lo cual indica que para valores grandes dex (negativos) la curva está por debajo de la asíntota.

En la figura 25.3 se ilustran los interceptos de la curva con los ejes coordena-dos, así como también el comportamiento de la curva «cerca» de las asíntotas.

Figura 25.3


Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada.

2 2 3 2

4 3

3( 1) ( 1) 2( 1)( 1) ( 1) ( 5)( ) .

( 1) ( 1)

x x x x x xf x

x x

+ − − − + + ⋅ −′ = =− −

El signo de ( )f x′ depende de los signos que poseen los factores ( 5)x − y

(x – 1)3, puesto que 2( 1)x + es siempre positivo.



Signo de (x –5) – – – – – – – – – – – – – – | +++++++++++ 5

Signo de (x − 1)3– – – – – – |+++++++++++++++++++++++ 1

Signo de ( )f x′ +++++++ |– – – – – – – – |++++++++++++

1 5

El signo de ( )f x′ indica que:

f crece en los intervalos (–∞ ,1) y [5, +∞) y f decrece en el intervalo(1, 5].

En x = 1, ( )f x′ no existe, pero como el punto no pertenece al dominio

de f, la curva en él solamente cambia de monotonía conservando sucomportamiento asintótico.

x = 5 corresponde a un mínimo relativo. (5, (5)) (5,13.5).m mP f P=

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada ( )f x′′ .

4

24( 1)( ) .

( 1)

xf x

x

+′′ =−

El signo de ( )f x′′ sólo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y

4( 1)x − son siempre positivos.

Signo de (x + 1) – – – – –| ++++++++ +++++++++ –1

El signo de ( )f x′′ indica que:

( )f x es cóncava hacia abajo ( )∩ en (–∞, –1],

( )f x es cóncava hacia arriba ( )∪ en [ 1, )− +∞ .

El punto PI (–1, f (–1)) corresponde a un punto de inflexión, es decir, en P

I(–1, 0) la

curva cambia de concavidad.

En la figura 25.4 se traza la curva con todos los elementos así obtenidos.



Figura 25.4Ejemplo 25.3

Trace la gráfica de la función

( ) 2sen cos 2 ,y f x x x= = + para x en [0,2 ].π (1)

Solución

Como sólo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo [0,2 ],π única-

mente se tienen en cuenta para su análisis los siguientes elementos:

1. Continuidad

La función es continua en el intervalo [0,2 ]π por ser suma de funciones

continuas.

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): se resuelve para x.

22sen cos 2 0 2sen 1 2sen 0,x x x x+ = ⇔ + − =

22sen 2sen 1 0.x x⇔ − − =

Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática se obtiene por lafórmula general:

2 4 8 1 3sen .

4 2x

± + ±= =



La ecuación 1 3

sen2

x+

= carece de solución (¿por qué?).

Si 1 3

sen ,2

x−

= entonces 0.37 y 2 0.37.x xπ π≈ + = −

Por tanto, los interceptos de la curva con el eje x son los puntos

1( 0.37,0)P +π y 2 (2 0.37,0).P −π

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así, 2sen 0 cos0 1.y = + =


Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o ( ).f x′

'( ) 2cos 2sen 2 2cos 4sen cos ,f x x x x x x= − = − ⋅

'( ) 2cos (1 2sen ).f x x x= ⋅ −

El signo de la derivada depende del signo de los factores cos x y (1 – 2sen x)

en el intervalo [0,2 ].π

Ahora,

cos x es positivo si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir,

cos x > 0 si (0, 2) (3 2, 2 );x π π π∈ ∪ cos x es negativo si x pertenece al se-

gundo o al tercer cuadrante, es decir, cos 0x < si 3

,2 2

xπ π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. Ahora, como

sen 1 2x > siempre que 5

,6 6

xπ π< < se deduce que 2sen 1x > si

5, 1 2sen 0

6 6x x

π π⎛ ⎞∈ ⇔ − <⎜ ⎟⎝ ⎠

si 5

, .6 6

xπ π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

También, sen 1 2x < siempre que 06

xπ

< < o5

2 ;6

xπ π< < por tanto,

1 2sen 0x− > si

50, ,2 .

6 6x

π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir:



Signo de 2cos x en [0,2 ]π

++++++++++++++++|– – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++

0 2π 3 2π 2π

Signo de (1 2sen )x− en [0,2 ]π

++++++|– – – – – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++++++++

0 6π 5 6π 2π

Signo de ( )f x′ en [0,2 ]π

++++++|– – – – – – –| +++++++++++++ |– – – –|++++++++++++

0 6π 2π 5 6π 3 2π 2π

El signo de '( )f x indica que f (x) es creciente en los intervalos 0, ,6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

π 5,

2 6⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

π π

3y , 2 .

2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

π π

( )f x es decreciente en los intervalos 5 3

, y , .6 2 6 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

π π π π

Del diagrama anterior se puede concluir también que:

6x

π= corresponde a un máximo relativo, es decir,

3,

6 2P

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es un

punto máximo de la curva.

5

6x

π= corresponde a un máximo relativo, es decir,

5 3,

6 2Q

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es

un punto máximo de la curva.

2x

π= corresponde a un mínimo relativo, es decir, ,1

2R

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es un

punto mínimo de la curva.

Finalmente,

3

2x

π= corresponde a un mínimo relativo, es decir,

3, 3

2T

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

es

un punto mínimo de la curva.



4. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada ''( ).f x

( ) 2sen 4cos 2 ,f x x x′′ = − −

22sen 4(1 2sen ),x x= − − −

22(4sen sen 2).x x= − − (2)

Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación

( ) 0f x′′ = . Es decir, 22(4sen sen 2) 0.x x− − =

Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene

1 330.84

8sen1 33

0.598

x

⎧ +≈⎪⎪= ⎨

−⎪ ≈ −⎪⎩

(3)

Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pue-den obtener los siguientes valores aproximados de x:

1; 1; 0.63x x xπ π≈ ≈ − ≈ + y 2 0.63.x π≈ −

Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de in-flexión, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada

2( ) 2(4sen sen 2).f x x x′′ = − −

Los valores dados en (1) permiten escribir ( )f'' x así:

2 1 33 1 33

( ) 2(4sen sen 2) 2 sen sen .8 8

f'' x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −

= − − = − ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Mediante consideraciones similares a la hechas para ( ),f x′ se puede obtener

la información que aparece en el diagrama siguiente:




Signo de 1 33

sen8

x⎡ ⎤+

−⎢ ⎥⎣ ⎦

– – – – – – –|+++++| – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

0 1 ( 1)π − 2π

Signo de 1 33

sen8

x⎡ ⎤−

−⎢ ⎥⎣ ⎦

+++++++++++++++++++++|– – – – – – – – – – |+++++++

0 ( 0.63)π + (2 0.63)π − 2π

Signo de ''( )f x

– – – – – – –|+++++|– – – – –|+++++++++++++| – – – – –

0 1 ( 1)π − ( 0.63)π + (2 0.63)π − 2π

El signo de ( )f x′′ indica que:

( )f x es cóncava negativa ( )∩ en [0,1] [ 1, 0.63] [2 0.63, 2 ],∪ − + ∪ −π π π π

( )f x es cóncava positiva ( )∪ en [1, 1] [ 0.63, 2 0.63].− ∪ + −π π π

Además, se obtienen los siguientes puntos de inflexión:

(1, 1.27); ( 1, 1.49); ( 0.63, 0.7)− + −π π y (2 0.63, 0.87).− −π

Con la información dada en los cuatro puntos anteriores se puede trazar unabuena aproximación a la curva correspondiente, como aparece en la figura 25.5.

Figura 25.5


Ejemplo 25.4

Analice y grafique la función ( ) senh .2

x xe ey f x x

−−= = = (1)

Solución

1. Dominio

El conjuntoℜ de los números reales, dominio común de las funciones

y .x xe e−

2. Interceptos

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)):

senh 0x = 2 1

0,2

x

x

e

e

−⇔ =

2 1 0,xe⇔ − =

2 1 0.xe x⇔ = ⇔ =

De esta manera, la curva pasa por el origen.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)):

senh 0 0.y = =

3. Continuidad

La función y = senh x es continua en todo el eje real por ser combinación defunciones continuas.

4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Puesto que Dx (senh x) = cosh x, del ejemplo 14.1i de la sección 14.3 se tiene

que Dx (senh x) > 0 y esto indica que la función es creciente en el intervalo

( , ).−∞ +∞

La función no posee valores críticos, ya que la derivada existe y es diferentede cero en todo el eje real.

5. Análisis de la concavidad

Puesto que Dx (D

x (senh x)) = D

x (cosh x) = senh x, del ejemplo 14.1ii de la sec-

ción 14.3 se deduce que Dx (D

x (senh x)) < 0, siempre que x < 0, y por tanto

la curva es cóncava hacia abajo en el intervalo ( ,0).−∞



Capítulo 4: Aplicaciones de la derivadaIgualmente, del mismo ejemplo, se deduce que D

x (D

x (senh x)) > 0, siempre

que x > 0, lo cual indica que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo

(0, ).+∞

El punto P (0, 0) es un punto de inflexión de la curva, puesto que allí cambiala concavidad.

6. Límites en el infinito

Puesto que lim ,x

xe

→+∞= +∞ y lim 0,x

xe−

→+∞= se deduce que

lim senh .x

x→+∞

= +∞

Igualmente, puesto que lim 0,x

xe

→−∞= y lim ,x

xe−

→−∞= +∞ se deduce que

lim senh .x

x→−∞

= −∞

Con la información anterior podemos trazar la gráfica de la función y = f (x) = senh x,como se muestra en la figura 25.6.

Figura 25.6

Haciendo un análisis similar se pueden trazar las gráficas de las demás funcioneshiperbólicas, como aparecen en la figura 25.7.



Figura 25.7


Introducción

La teoría de máximos y mínimos que se ha expuesto en los módulos anteriores nosolamente es útil para el trazado de curvas, sino que hay múltiples e interesantesaplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniería y la economía. En lo quesigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto deuna función definida en un intervalo cerrado. Para ello se usa el teorema 2 delmódulo 21 (teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de unvalor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua enun intervalo cerrado. También, en muchos problemas que surgen en la práctica, losintervalos no son cerrados, pero la teoría expuesta anteriormente da solucionessatisfactorias. Al final del capítulo se propondrán numerosos ejercicios, que alresolverlos el lector, afianzarán su razonamiento matemático.


1. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en problemas de máximos y mínimos(problemas de optimización) que son de relevancia en diferentes áreas de laingeniería.

Preguntas básicas

1. Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener unvolumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura y radio de lastapas) que minimizan el área total?


26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo

Problemas de máximos y mínimos

26

La construcción de cajas y envases implica, entre otras cosas,minimizar la cantidad de material empleado. Por ejemplo,de todas las cajas cilíndricas con un mismo volumen, la quetiene una altura igual al diámetro de la base es la de menorárea (ejemplo 26.3).


26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos ymínimos

Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problemade esta naturaleza.

1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo en el que se indiquen las variables queintervienen en el problema.

2. Determinar la función que se debe maximizar o minimizar, así como el intervalo enel cual está definida.

3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso2, en términos de una sola variable.

4. Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema 2 de la sección21.3 para encontrar extremos absolutos.

5. Determinar la naturaleza del valor crítico mediante el teorema 2 del módulo 24,conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, enalgunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dadocorresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto

Ejemplo 26.1

Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes formando con una de ellasun círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

Solución

Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es lalongitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado (figura 26.1).

Figura 26.1




Por tanto, el radio de la circunferencia es 2

x

π y el lado del cuadrado es

100.

4

x−

Si A (x) es la función que representa la suma de ambas áreas, se tiene que:

2 21 1( ) (100 ) ; 0 100.

4 16A x x x x

π= + − ≤ ≤ (1)

Puesto que A (x) es una función continua en el intervalo [0, 100], entonces existe unvalor máximo y un valor mínimo de A (x) en [0, 100].

Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos. En efecto:

1 1( ) . 2 . 2( 1) (100 ),

4 16A x x x′ = + − −

π

100 100

0 ,2 8 4

x xx

ππ π

−= − = ⇒ =

+

es el único valor crítico y pertenece al intervalo [0, 100] (¿por qué?). Además, porel criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimo relativo.

Ahora, los valores máximo y mínimo de A (x) está entre los valores A (0), A (100) y

100.

4A

ππ

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦

Pero,

22 21 1 100

(0) . 0 (100 0) ,4 16 16

Aπ

= + − =

22 21 1 100

(100) . 100 (100 100) ,4 16 4

Aπ π

= + − =

2 2 2100 1 100 1 100 100100 .

4 4 4 16 4 16 4A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π ππ π π π π

Como 4 16 16 4 ,π π< < + entonces 1 1 1

,16 4 16 4π π

< <+

y de esta última desigual-

dad se deduce que

2 2 2100 100 100 100(0) (100).

16 4 16 4 4A A A

ππ π π

⎛ ⎞< < ⇔ < <⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

De esta manera, la última desigualdad indica que el área máxima se obtienepara x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con él una circunferencia,

mientras que el área mínima se obtiene partiendo el alambre a una distancia 100

4

ππ+

Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos


de uno de sus extremos, y formando con esta primera parte una circunferencia y con

la parte restante 400

4 π+ un cuadrado.

Ejemplo 26.2

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin taparecortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe serla longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja seamáximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?

Solución

Sea x la longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas

(figura 26.2 a), donde 0 .2

ax≤ ≤

Figura 26.2

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en lafigura 26.2b.

Ahora, volumen de la caja = área de la base × altura. Esto es,

2 3 2 2( ) ( 2 ) · 4 4 ; 0 .2

aV x a x x x ax a x x= − = − + ≤ ≤ (1)

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo



0, ,2

a⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo.

Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero se obtienen los valores críticos. En efecto:

2 2( ) 12 8 (2 ) (6 ) 0.V x x ax a x a x a′ = − + = − − =

2 02 valores críticos

6 06

ax a x

ax a x

− = ⇒ =⇒

− = ⇒ =

Para analizar la naturaleza de los valores críticos, se utiliza el criterio de la segundaderivada, así:

( ) 24 8 ,V x x a′′ = −

24 8 4 0,2 2

a aV a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ = − = >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lo cual indica que2

ax = corresponde a un mínimo relativo (interprete geométrica-

mente el resultado).

'' 24 8 4 0,6 6

a aV a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lo cual indica que 6

ax = corresponde a un máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado 6a y de esta forma se obtiene una caja cuyo volumen

viene dado por

232

2 · · .6 6 6 27

a a aV a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo

Ejemplo 26.3

Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener unvolumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura del cilindro y radiode las tapas) que minimizan el área total?

Solución

En la figura 26.3 aparece el cilindro y las dimensiones por determinar.



Figura 26.3

Si se denota por V (constante) el volumen del cilindro, se tiene, de acuerdo a lafórmula conocida de la geometría,

2 ,V x yπ=

y de aquí, 2

.V

yxπ

= ( 1)

La función a minimizar es el área total, esto es,

22 2 .TA x xy= +π π ( 2)

Sustituyendo (1) en (2) se puede escribir la función a minimizar en términos de unasola variable, así:

2 1( ) 2 2 ,TA x x Vxπ −= + con ( )0, .x∈ +∞

De esta forma,

32

2 3

4 2 4( ) 4 2 , ( ) 4 .T T

x V VA x x Vx A x

x x

ππ π− −′ ′′= − = = +

El único valor crítico de ( )TA x se obtiene resolviendo la ecuación 34 2 0,x Vπ − = o

sea que el único valor crítico de ( )TA x corresponde a 3 .2

Vx

π=

Ahora, de acuerdo al criterio de la segunda derivada,

33

3

44 12 0,

2

2

T

V VA

V

⎛ ⎞′′ = + = >⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

π ππ

π

lo que indica que 3

2

Vx

π= corresponde a un mínimo relativo.



De otro lado, sustituyendo en (1) este valor de x, se obtiene 32

3

2 .2

2

V Vy

V ππ

π

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Por tanto, el recipiente más económico se consigue eligiendo la altura del cilindroigual al diámetro de la base.

Ejemplo 26.4

Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto (figura 26.4). En-cuentre la longitud de la barra recta más larga que puede pasarse horizontalmentede un pasillo a otro por una esquina.

Solución

Supóngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando esté en la posiciónen que aparece en la figura 26.4.

Figura 26.4

Si θ (radianes) denota el ángulo que forma la barra con el pasillo menor, entonces

2

π θ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

será el ángulo que forma con el pasillo mayor.

La longitud deseada es la longitud L mínima de la barra:

.L AC AB BC= = + (1)

En el triángulo APB se tiene que sec 9sec .9

ABABθ θ= ∴ = (2)

En el triángulo BQC se tiene que csc 6csc .6

BCBCθ θ= ∴ = (3)



Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la función a optimizar:

( ) 9sec 6csc ;L θ θ θ= + 0 2.θ π< < (4)

Note que L → +∞ cuando 0θ +→ o ( )2θ π −→ (¿por qué?).

Por tanto, ( ) 9sec tan 6csc cotL′ = ⋅ − ⋅θ θ θ θ θ (RD15 y RD16),

9 sen 6 cos( ) ,

cos cos sen senL′ = ⋅ − ⋅

θ θθθ θ θ θ

3 3

2 2 2 2

9sen 6cos 9sen 6cos,

cos sen sen cos

θ θ θ θθ θ θ θ

−= − =

3 3

2 2

3cos (3tan 2),

sen cos

θ θθ θ

−=

3

2

3cos (3tan 2).

sen

θ θθ

−= (5)

Así que 13 32 2

( ) 0 tan tan ;3 3

L − ⎛ ⎞′ = ⇔ = ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠θ θ θ 0.718 (rad).θ ≈

Ahora, el signo de ( )L′ θ sólo depende del signo del factor 3(3tan 2).θ −

Para ello, considere la gráfica de la función tangente (figura 26.5a) y en la cual se haseñalado el valor de tanθ para 0.718.θ ≈



Figura 26.5

A la izquierda de 0.718,≈θ 32

tan3

θ < , con lo cual

3 32tan 3tan 2 0 ( ) 0.

3L′< ⇔ − < ⇔ <θ θ θ

A la derecha de 0.718,≈θ 32

tan3

θ > , con lo cual

3 32tan 3tan 2 0 ( ) 0.

3L′> ⇔ − > ⇔ >θ θ θ

Del análisis anterior se deduce que 0.718≈θ (rad) corresponde a un mínimo relati-

vo de L ( ),θ cuya gráfica se parece a la de la figura 26.5b.

Esto significa que el valor mínimo absoluto de L (y, por tanto, la longitud máxima dela varilla en cuestión) es:

(0.718) 9 · sec (0.718) 6csc (0.718).L = +

Un procedimiento algebraico para obtener el valor exacto de L es el siguiente:

como

2 / 3 2 / 3 2 / 32

1/ 3

2 3 2sec 1 tan 1 , y

3 3θ θ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 / 3 2 / 3 2 / 32

1/ 3

3 2 3csc 1 cot 1 ,

2 2θ θ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠



se tiene que:

9sec 6 csc ,L θ θ= +

( ) ( )1/ 2 1/ 22 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 31/ 3 1/ 3

9 63 2 3 2

3 2= + + +

( )1/ 22 / 3 2 / 31/ 3 1/ 3

3 23 3 2

3 2⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(factor común)

( )1/ 22 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 33 3 2 3 2⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

( )3/ 22/ 3 2/ 33 3 2 ,= +

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema.



La derivada como razón de cambio

27

George Pólya

George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest,Hungría, y murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto,Estados Unidos.

Introducción

Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplican tambiéna funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces

dy dt se llama razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una

distancia, se llama velocidad.

Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio conrespecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con lacual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después depasar por un punto específico P, etc.

Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luegoel valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos lavariable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos surazón de cambio.


1. Usar la derivada como razón de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo.

Preguntas básicas

1. Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y auna altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por elcentro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismoinstante, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si lacarretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se estánseparando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P?


27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas


27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines

Los problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre sí sellaman problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razonesafines, y es típico en ellos que:

i. Ciertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos losvalores de t que se consideran en el problema.

ii. Se conozcan los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadaspara un instante dado.

iii. Se pida hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.

Las variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse comofunciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan,las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas lasderivadas de estas variables.

De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar en la solución de este tipo de proble-mas los siguientes pasos:

1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. La figura quese traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en elinstante particular.

2. Determinar cuáles son las variables que intervienen en el problema y represen-tarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc.

3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables queintervienen en el problema.

4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantáneasde cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3.

5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problemay despejar las variables o derivadas que interesan.

Todo lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos.

27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas

Ejemplo 27.1

A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s.

a. ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando éste se encuentra a 4 m de altura?




b. ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?

Solución

En la figura 27.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción delvolumen en cualquier instante t.

Figura 27.1

Desígnese por:

V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s). x: radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t. y: altura del agua (en cm) en el instante t .

Datos:

3

50 .dV cm

dt s

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

El volumen del agua en el instante t viene dado por

21.

3V x yπ= ⋅ (1)

De la semejanza de los triángulos ODE y OBC se deduce que

4 (2)16

4 (3)4

y xy

yx x

=⎧⎪= ⇔ ⎨

=⎪⎩

a. Puede formularse la pregunta así:

?,dy

dt= cuando y = 4 m = 400 cm.

Módulo 27: La derivada como razón de cambio

George Pólya

El primer trabajo de George Pólya fue como profesorparticular. En un principio no se sintió especialmente atraídopor las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Suprofesor de filosofía le sugirió que siguiera cursos de físicay de matemáticas para mejorar su formación filosófica.Este consejo marcó para siempre su carrera. Las magníficaslecciones de física de Lorán Eötvös, y las no menos excelentesde matemáticas de Lipót Fejér, influyeron decisivamenteen su vida y obra. En 1940, huyendo de Hitler, Pólya y suesposa suiza (Stella Weber) se trasladaron a Estados Unidos.Pólya hablaba (según él, bastante mal), además del húngaro,su idioma natal, alemán, francés e inglés y podía leer yentender algunos más.

Fue uno de los hombres míticos en la historia de lasmatemáticas modernas y su enseñanza a través deproblemas. Sus principales obras son: Cómo plantear yresolver problemas, Matemáticas y razonamiento plausible,La découverte des mathématiques y Análisis matemático.

Cuando se le preguntaba cómo había llegado a sermatemático, solía decir, medio en broma, medio en serio:«No era lo suficientemente inteligente para ser físico, ydemasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas quees una cosa intermedia». Fue un viajero impenitente (aunquenunca condujo automóviles) que curiosamente descubrió alos 75 años de edad las comodidades de los viajes en avión,cruzando el Atlántico y el continente varias veces.


Una manera simple de calcular dy

dt consiste en expresar V en (1) en términos

únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con res-pecto a t.

Así,

22 31 1

·3 3 4 48

yV x y y y

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ππ π

223

48 16

dV dy y dyy

dt dt dt= ⋅ ⋅ = ⋅π π

2

16.

dVdy dtdt y

⋅=

π

De donde, de acuerdo a las condiciones del problema,

3

2

cm16 50 1 cms ,

200 s(400 cm)

dy

dt

⋅⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ππ

(5)

lo cual indica que la altura crece a esa velocidad.

b. Puede formularse la pregunta así:

?,dx

dt= cuando y = 4 m = 400 cm ⇔ x = 100 cm.

Una manera sencilla de encontrar la solución consiste en derivar ambos miem-bros de (3) con respecto a t. Así,

1 1 1 cm 1 cm,

4 4 200 s 800 s

dx dy

dt dt π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6)

lo cual indica que el radio crece a esta velocidad.

Otra manera de obtener la solución consiste en expresar V en (1) en términosúnicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respec-to a t. (¡Verifique!)

Ejemplo 27.2

Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura observa unbote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. ¿Con qué rapidezcambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando éste se encuen-tra a 300 pies de la base del faro?



Solución

En la figura 27.2a aparecen las variables que intervienen en el problema.

x: distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. :θ ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

Nótese que cuando «B se acerca a P» pies

20s

dx

dt⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, entonces es de esperar

que θ también decrece.

Figura 27.2

De la figura 27.2a se tiene

tan 250 tan .250

xxθ θ= ⇒ = ⋅ (1)

Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se tiene

2250 sec ,dx d

dt dt

θθ= ⋅ ⋅

de donde

2.

250 sec

dxd dtdt

θθ

=⋅

(2)

En el caso particular que interesa, x = 300.

Así que 300 6

tan250 5

θ = = (figura 27.2b).



Usando la identidad trigonométrica 2 21 tan sec ,θ θ+ ≡ se puede escribir en este

caso:2

2 6 25 36 61sec 1 .

5 25 25θ +⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠(3)

De otro lado, pies

20 .s

dx

dt= − (4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se tiene finalmente que

20 2 rad,

61 61 s25025

d

dt

− ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎝ ⎠⋅

θ

lo cual indica que el ánguloθ decrece (como era de esperar) a una velocidad deaproximadamente 0.0327 rad/s.

Ejemplo 27.3

Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a unaaltura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centroC del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante unalancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto Psituado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera conti-núa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lanchay el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P?

Solución

El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente porel punto P debajo del puente. En ese instante han trascurrido 5 s y por tanto el autose encuentra en el punto M de la figura.

En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo.

x: distancia que recorre la lancha después de pasar por el punto P. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P. w: distancia de C a R. z: distancia de R a T (distancia que separa la lancha del auto).

Como los triángulos CRT y CPR son rectángulos en C y P, respectivamente, setiene, de acuerdo a la relación pitagórica,

2 2 2(60 ) .z w y= + + (1)

También, 2 2 25 .w x= + (2)


Escuche el audio Los diez mandamientos del profesor segúnPólya en su multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.



Figura 27.3

De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s el autoestá en el punto T y la lancha en el punto R. Así que, en ese instante, x = 160 m ey = 96 m. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma:

160 m y 96 m?, cuando m m

20 ; 12s s

x ydz

dx dydt

dt dt

= =⎧⎪= ⎨

= =⎪⎩

Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados conrespecto al tiempo. Esto es:

2 2 225 (60 ) ,z x y= + + +

2 2 2(60 ) .dz dx dy

z x ydt dt dt

= + +

De aquí,

(60 ).

dx dyx ydz dt dt

dt z

+ +=

Vea la animación «Problema del puente» ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.


Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:

2 2 2

m m(160 m) 20 (154 m) 12 5.048 m ms s 22.72 ,

s s49.3415 160 154 m

dz

dt

⋅ + ⋅= = ≈

+ +

lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una velocidad de aproxi-madamente 22.72 m/s.

Ejemplo 27.4

Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 27.4, tiene agua hasta 4pies de profundidad en el extremo más hondo.

a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena?

b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/min, ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?

Figura 27.4

Solución

a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Éste correspondeal volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas:base mayor, 9 pies; base menor, 4 pies; espesor, 20 pies.

Por tanto, Vp = (área de la base) · (espesor).

3(9 4)40· 20 5.200pies .

2Vp

+= =

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido

que aparece indicado en la figura 27.5.

Vll = área de la base (espesor).

34 ·· 20 40 pies .

2ll

LV L= =


Vea la animación «Vaciado y llenado detanques» en su multimedia de ElementosBásicos de Cálculo Diferencial.


Figura 27.5

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente pro-porción:

5 4032 pies.

4L

L= ⇒ =

Así que 340 · 32 1.280 piesllV = = . Usando una regla de tres simple se esta-

blece:

Si 35.200 piesVp = corresponde al 100%.

31.280 piesllV = corresponde a 1.280 · 100%

24.61%5.200

x = ≈

b. Supóngase que en un instante t determinado el volumen de piscina llenacorresponde al volumen del sólido que aparece en la figura 27.6, en el cual y(nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo.

Figura 27.6

Se tiene entonces que ·· 20 10 · .

2

y xV x y= = (1)

Pero 8 .4 32

y xx y= ⇒ = (2)



Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir

V = 80 y2. (3)

Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene

160 . .dV dy

ydt dt

=

De donde .160

dVdy dtdt y

=

3Como 10 pies min y 4 pies,se tiene finalmentedV

ydt

= =

10 1 pies.

160 4 64 min

dy

dt= =

×

Ésta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puedeverificarse fácilmente (¡verifique!) que el nivel horizontal x también está cre-

ciendo en ese mismo instante a una razón de 1 8 pies/min.



Introducción

En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una función y,por tanto, el valor resultante de la función. El razonamiento que se hará será geomé-trico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendiente de la rectatangente. Es decir, una pequeña porción del gráfico de una función derivable entorno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeño segmento de larecta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variación delvalor de la función causada por una pequeña variación en x.


1. Dar significado a la notación de Leibniz dy

dx para la derivada, no como símbolo

completo, sino como símbolos separados dy y dx.2. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas de derivación y usarlas

en la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores enalgunos problemas característicos en las ciencias.

Preguntas básicas

1. Usando diferenciales demuestre que 3 8 212

hh+ ≈ + para h pequeños.

2. ¿Cuál es el porcentaje de error cuando h = 1? ¿Y cuando 1h = − ?


28.1 La diferencial28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales28.3 Aproximaciones y estimación de errores

La diferencial

28

A finales de 1830, el fisiólogo francés Jean Poiseuille descubrióla fórmula que se usa hoy en día para predecir cuánto hayque expandir el radio de una arteria parcialmente obstruidapara restaurar el flujo normal.


28.1 La diferencial

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x la

notación de Leibniz dy

dx como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy

(diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representarla derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de unafunción alrededor de un punto. La definición está motivada por el siguiente razona-miento geométrico:

Sea P(x0 , y

0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (figura 28.1a).

Figura 28.1




Tomando el punto P (x0 , y

0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coorde-

nadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por elorigen y, en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber, dy = mdx,donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma

que la del antiguo, esto es ( ),m f x′= se tiene entonce que ( ) .dy f x dx′=

Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales.

Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, alincremento ,xΔ esto es, dx = .xΔ

Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada

por dy, se define como ( ) ,dy f x x′= Δ o también, ( ) .dy f x dx′=

28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulasdiferenciales

Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ se tiene que ,RQ m x= Δ en

donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (figura 28.1b), y por

tanto 0( ).m f x′=

Así que0( ) .RQ f x x dy′= Δ = (1)

Además, 0 0( ) ( ).y f x x f xΔ = +Δ − (2)

Se puede observar entonces que:

yΔ es el incremento en y medido sobre la curva;

dy es el incremento en y medido sobre la recta tangente.

Observaciones

a. Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy y= Δpara cualquier x del dominio.

b. Puesto que ( ) ,dy f x dx′= si 0,dx ≠ entonces al dividir ambos miembros de

la última igualdad por dx se tiene ( )dy

f xdx

′= y se puede de esta forma inter-

pretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.

c. De acuerdo a la observación b todas las reglas de diferenciales se deducende las reglas de derivación (RD1 - RD10, del módulo 19), multiplicando am-bos miembros de estas últimas por dx. En la tabla 28.1 aparecen las principa-les reglas de diferenciales (Rd) deducidas de las correspondientes reglas dederivación (RD).

Módulo 28: La diferencial

Fórmula de Jean Poiseuille

La fórmula que descubrió Poiseuille para predecir cuántohay que expandir el radio de una arteria parcialmenteobstruida para restaurar el flujo normal es V = kr 4, dondeV es el volumen del fluido que pasa a través de un pequeñotubo en la unidad de tiempo a una presión fija, k es unaconstante y r es el radio del tubo. ¿Cómo afectará a V unincremento del 10% en r?


Tabla 28.1. Principales reglas de diferencialesCapítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Así por ejemplo, si ( )1/ 25 4 5 44 2 5 4 2 5 ,y x x x x= + − = + − entonces la de-

rivada dy

dx viene dada por

( ) ( )4 3

1/ 24 3 5 4

5 4

1 10 420 8 4 2 5 .

2 4 2 5

dy x xx x x x

dx x x

− += + + − =

+ −

Es decir, 3

5 4

2 (5 2).

4 2 5

dy x x

dx x x

+=

+ −

Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por ( 0),dx dx ≠ se ob-

tiene finalmente

3

5 4

2 (5 2).

4 2 5

x xdy dx

x x

+=

+ −

d. Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencialse expresa así:

. .dy dx

dy dtdx dt⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

· ·RD7

du dvv ud u dx dx

dx v v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1R.d.10 n nd u nu du−=

( ) ( )d d

cu c udx dx

=

1RD9 ( )n ndx nx

dx−=

RD3 y 4 ( )d du dv

u vdx dx dx

± = ± Rd3 y 4 ( )d u v du dv± = ±

RD5 ( · )d dv du

u v u vdx dx dx

= + Rd 5 ( · ) · ·d u v u dv v du= +

( )d cu cdu=

1Rd9 n ndx nx dx−=

Regla de la derivada Regla de la diferencial

RD1 ( ) 0d

cdx

= Rd1 0dc =

2Rd7

u vdu u dvd

v v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1RD10 n nd duu nu

dx dx−=



28.3 Aproximaciones y estimación de errores

Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello,supóngase que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la figura 28.2.

Figura 28.2

Cuando se da a x un incremento ,xΔ la variable y recibe un incremento ,yΔ que

puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por tanto, el valor aproxima-

do de ( )f x x+ Δ es

( ) ( ) ( ) ( ) .f x x f x dy f x f x x′+ Δ ≈ + = + Δ (1)

Así por ejemplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales) un valor

aproximado de 3 122. En primer lugar, nótese que 3 122 puede escribirse como

3 125 3,− y puesto que 3 125 5,= se puede pensar en la función 3( )f x x= y

hallar dy con 125 3.x y x= Δ = −

Esto es, (125) ( 3),dy f ′= − pero 2 / 3

3 2

1 1( ) ,

3 3f x x

x

−′ = =

3 2

1 1(125) ,

753 125f ′ = = con lo cual

1 1'(125) ( 3) .

75 25dy f x

−= Δ = ⋅ − =

En consecuencia, usando (1) se puede escribir:

( )

3

125 ( 3) (125) ,

1(122) 5 ,

251 124

122 5 4.96.25 25

f f dy

f

+ − ≈ +

≈ −

≈ − = =


Estimación de errores

Un problema característico en ciencias es el siguiente. Un investigador mide cierta

variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud .x± El valor x

0

se usa después para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor

de y0 queda supeditado al error de x, pero ¿con qué magnitud? El procedimiento

regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales.

Por ejemplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 m y una altura de 10 m. Se deseapintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 m de espesor.

Halle:

a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita.b. La cantidad exacta VΔ de pintura que se necesita.

c. El error: .V dVΔ −

Solución

Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (figura 28.3).

Figura 28.3

El volumen viene dado por la función 2( ) 10 .V x xπ=

La diferencial de V en x = 5 será el valor aproximado

31(5) 20 (5) . m .

1000 10dV V x′= Δ = =

ππ

VΔ será el valor exacto, es decir,

( ) ( ),V V x x V xΔ = +Δ −

( )2 2 210 ( ) 10 10 2 · ( ) ,V x x x x x xΔ = + Δ − = Δ + Δπ π π



( )210 2 5·(0.001) (0.001) 10 0.01 0.000001 ,V ⎡ ⎤Δ = ⋅ + = +⎣ ⎦π π

0.10001 · ,VΔ = π5(0.10001 0.1) 0.00001 10 .V dV −Δ − = − = =π π π

Aproximaciones lineales

Considere la gráfica de la función f (x) que aparece en la figura 28.4.

.

Figura 28.4

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto ( , ( ))a f a viene dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).y f a f a x a y f a f a x a′ ′− = − ⇔ = + −

La aproximación ( ) ( ) ( )( )f x f a f a x a′≈ + − se llama aproximación lineal de f en

a, y la función ( ) ( ) ( ) ( )L x f a f a x a′= + − se llama linealización de f en a. La aproxi-

mación lineal ( ) ( )f x L x≈ es una buena aproximación, cuando x está cerca de a.

Así por ejemplo, si se quiere hallar la linealización de la función 3( )f x x= en a = 125

y usar dicho resultado para obtener una aproximación del número 3 122, se procedede la forma siguiente:

23

3 2

1 1( ) .

3 3f x x

x

−′ = =

Por tanto,

3(125) 125 5,f = = y también 3 2

1 1(125) .

753 125f ′ = =



Por consiguiente,

1 10( ) 5 ( 125) .

75 3 75

xL x x= + − = +

De esta forma,

3 10.

3 75

xx ≈ +

En particular,

3 10 122 372122 4.96.

3 75 75≈ + = =

Nótese que dicho valor coincide con el obtenido usando diferenciales.



1. En los ejercicios siguientes encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada y en elpunto de abscisa dado.

2a. 5 ; 1.y x x= − = 2b. 7 ; 0.y x x x= − − = c. 1; 3.y x x= + =

d. ; 4.y x x x= + = 3 3e. 10; 1.x y y x x+ = =

2. Encuentre la ecuación de la normal a la curva 2 2 2 2 28( ) 100( )x y x y+ = − en el punto (3, 1).

3. Demuestre que las hipérbolas 2 21 y 1xy x y= − = se intersecan en ángulo recto.

4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 22 3y x= + que es paralela a la recta 4 1 0.x y− − =

5. Encuentre una recta que pase por (2, –3) y sea tangente a la curva 22 1.y x= −

6. En los ejercicios siguientes una partícula se mueve sobre un eje horizontal, según la ecuación de movimiento dada.Halle la velocidad instantánea para los valores particulares de t indicados. Determine además, si es posible, losinstantes en los cuales la partícula se encuentra en reposo.

2a. ( ) 2 1; 2.s t t t= + =1

b. ( ) ; 1/ 5.s t tt

= =

c. ( ) 1; 3.s t t t= + = 2d. ( ) 4 ; 4.s t t t= − =

7. Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 20 m/s en dirección vertical hacia arriba. Encuentre:

a. La velocidad instantánea cuando t = 5 s.b. La altura máxima a la que llega el objeto.c. La rapidez en el instante t = 2 s.d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida.

Nota: use la fórmula 21.

2os v t gt= −

8. Un objeto arrojado directamente hacia arriba alcanza una altura s = − 16t2 + 48t + 256 pies después de t segundos.

a. ¿Cuál es su velocidad inicial?b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?c. ¿Cuál es su altura máxima?d. ¿Cuándo alcanza el piso?e. ¿Con qué velocidad llega al piso?




9. Para las funciones dadas a continuación, encuentre si existen los máximos y mínimos relativos, los intervalos decrecimiento y de decrecimiento de la curva.

2a. ( ) 4 1.f x x x= − − 4b. ( ) 4 .f x x x= + 2c. ( ) 9 .f x x x= −

1d. ( ) .f x x

x= − 2

3e. ( ) 2 4( 4) .f x x= − −2f . ( ) 2 1.f x x x= − +

2 1 si 4g. ( )

13 si 4

x xf x

x x

+ ≤⎧⎨ − >⎩

( )( )

2

2

4 5 si 4h. ( )

12 1 si 4

x xf x

x x

⎧ − + < −⎪= ⎨− + ≥ −⎪⎩

10. Determine el valor de las constantes a y b para que la función definida por f (x) = x3 + ax2 + b tenga un extremo relativoen (2, 3).

11. Para cada una de las funciones dadas a continuación determine los extremos absolutos de f en el intervalo dado.

a. ( ) 4 28 16f x x x= − + en [ ]3, 2 .− b. ( ) ( )2

31 3f x x= − − en [ ]5, 4 .−

c. ( )2

xf x

x=

+ en [ ]1, 2 .− d. ( ) ( )23 1f x x= + en [ ]2, 1 .−

e. ( ) 2

3 4 si 3 1

2 si 1 3

x xf x

x x

− − ≤ <⎧= ⎨

− ≤ ≤⎩ en [ ]3, 3 .−

f. ( )( )( )

2

2

4 5 si 6 4

12 1 si 4 0

x xf x

x x

⎧ − + − ≤ ≤−⎪= ⎨− + − < ≤⎪⎩

en [ ]6, 0 .−

12. Para las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema de Rolle yencuentre el valor de c que satisface la conclusión del teorema.

a. ( ) 4 24 8f x x x= − + en [ ]1, 3 . b. ( ) 3 16f x x x= − en [ ]4, 0 .−

c. ( ) 2g t t t= − en [ ]1, 0 .− d. ( ) 4 3h z z z= − en [ ]0, 1 .

e. ( ) 23 1f x x= − en [ ]8, 8 .− f. 26

( ) 4sen ,f t x xπ

= − en 0, .6

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

13. Para las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema del valor medio(TVM) y encuentre el valor de c que satisface la conclusión.

a. ( ) 3 2f x x x x= + − en [ ]2, 1 .− b. ( ) 11

1g t t

t= − +

− en [ ]1.5, 3 .

c. ( ) 233f x x= en [ ]0, 1 . d. ( ) 225h z z= − en [ ]3, 3 .−

e. ( ) 2f x x= + en [ ]4, 6 . f. ( )2 4

7

t tg t

t

+=

− en [ ]2, 6 .



14. Sea ( ) 2 1

2 4

xf x

x

−=

− . Demuestre que no existe ningún punto c en (1, 2) que satisfaga la conclusión del TVM. Dibuje

la gráfica de la función y señale la parte de la hipótesis que falla en este caso.

15. Sea f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x. Demuestre, usando el teorema de Rolle, que la ecuación f (x) = 4x3 − 6x2 + 4x − 1 = 0 tieneal menos una raíz real en el intervalo (0,1).

16. Sea f (x) una función continua en [a, b] y tal que f ́ (x) = 1 para todo x en [a, b]. Pruebe que f (x) = x − a + f (a) paratodo x en [a, b].

17. Juan viajó 125 km en 2 horas y aseguró que en su recorrido nunca excedió el límite de 60 km por hora. Use el teoremadel valor medio para demostrar que mintió. (Ayuda: sea S = f (t) la distancia recorrida en el tiempo t.)

18. Sean F (x) y G (x) dos funciones que satisfacen la condición ( ) ( )F x G x′ ′= para todo x de [a, b]. Demuestre que existe

una constante C tal que F (x) = G (x) + C para todo x de [a, b].

19. Demuestre que si ( ) 0F x′ = para todo x de [a, b], entonces existe una constante C tal que F (x) = C para todo x de[a, b].

(Ayuda: sea G (x) = 0 y aplique el ejercicio 18.)

20. Supóngase que lo único que se sabe acerca de las funciones sen x y cos x es lo siguiente: cos (0) = 1, sen (0) = 0,D

x (sen x) = cos x y D

x (cos x) = − sen x. Demuestre que sen2 x + cos2 x = 1. (Ayuda: sea F (x) = cos2 x + sen2 x y use

el problema 19.)

21. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: dominio, interceptos, asíntotas, crecimiento,decrecimiento, máximo-mínimo, intervalos de concavidad, posibles puntos de inflexión.

a. ( ) 2.

1

xf x

x=

−b. ( )

2 2 4.

2

x xf x

x

− +=

− c. 2

4( ) .

2

xf x

x=

+

d. 2( 2)

( ) .x

g xx

+= e. ( ) 2 3.g x x x= ⋅ + f.

2

2

1( ) .

1

xy f x

x

+= =

−

g. Complete las gráficas de las curvas del ejercicio 13 (ejercicios propuestos, módulos 9 al 19).

22. Dibuje la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes condiciones:

a. f es continua en todo el eje real.

b. ( 2) 3, (2) 1.f f− = = −

c. ( ) 0f x′ = para 2.x >

d. ( ) 0f x′′ < para 2.x <

23. Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades:

a. g es continua en todo el eje real.

b. ( 1) 6, (3) 2.g g− = = −

c. ( ) 0g x′ < para 1; ( 1) (3) 2; (7) 0.x g g g′ ′ ′< − − = = − =



d. ( ) 0g x′′ < para 1; ( ) 0x g x′′< − = para 1 3; ( ) 0x g x′′− < < > para 3.x >

24. Sea f una función continua en todo el eje real y derivable en todo x ≠ 0. La figura 1 adjunta es el gráfico de la función

derivada ( )f x′ (no de f (x)).

Figura 1

Responda las siguientes preguntas acerca de f (x) (no de ( )f x′ ):

a. ¿Dónde es f (x) creciente? ¿Y decreciente? ¿Dónde es f (x) cóncava hacia arriba? ¿Y hacia abajo? ¿Cuáles son sus puntos críticos? ¿Dónde ocurren los extremos relativos?b. En el supuesto de que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones expuestas.

25. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados igua-les en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que elvolumen de la caja sea máximo?

26. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeñoscuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en formade cruz se doblan y se sueldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar doscubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las cincocajas?

27. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para untriángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo?¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?

28. Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 km del punto B más cercano de la línea de la costaque es recta. En la costa y a 4 km de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 km/h y caminar a 5 km/h,¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?

29. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posi-ble de material.



30. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera deradio a.

31. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

32. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación 2 2

1.25 16

x y+ =

33. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que seencuentra a 10 km de distancia por el bosque y también a 2 km de la carretera (figura 2). Puede caminar a 8 km/h porla carretera y a 3 km/h por el bosque. Así, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carre-tera y finalmente por el bosque hacia la cabaña.

a. ¿Qué ángulo θ minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña?b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

Figura 2

34. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere utilizar algo de cercapara construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total decerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

35. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea utilizar algo de cerca paraconstuir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es lalongitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

36. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar una cerca adicional paraconstruir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exterioresdel borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuestaes el mínimo absoluto.

37. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte cilíndrica del recipiente sefabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces más caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones mini-mizan el costo total del recipiente?

38. Una escalera de 2 m de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera está resbalando a razón de0.3 m/s, ¿a qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia dela escalera a la pared es de 1.5 m?

39. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/s, mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/s.

a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿Y la altura 12 cm?b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante?



40. Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2 m de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros in-vertidos de 60 cm de lado. Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/s, ¿con quévelocidad está bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm?

41. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está llenode agua, pero en el instante t = 0 s se abre un pequeño orificio en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la alturadel agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/s.

a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?

42. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1.000 m/min se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando elautomóvil está a 100 m del cruce, pasa por éste un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan enángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camiónpasó por el cruce?

43. Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/s desde un punto P. Cinco minutos más tarde, una mujer comienzaa caminar hacia el sur a 5 pies/s desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer15 minutos después de que la mujer comienza a caminar?

44. El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm, aumenta a

razón de 0.1 rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide 6π rad?

(Ayuda: 1

sen .2

A ab γ= )

45. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de tal manera que su ex-tremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de2 pies/s.

a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600 con el piso.b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.

46. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al medirla se encontró que la altura es de 1 m conun error de 0.005 m. Encuentre el error aproximado en el volumen del cono.

47. Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm, encuentre el error aproximado en el volumen yen la superficie total del cubo si la arista medida es de 5 m.

48. Encuentre el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50 cm y cuyo espesor es 1/10 cm.

49. Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades:

a. 37.5 b. 4 82 c. 3 0.00098 d. 3

1

120

50. Si 2 23 4 5, 2 5 8y x x x s s= + − = + + y s = 3t − 7, halle dy en t0 = 1 y dt = − 0.2.

51. Halle dy si ( )33

2

2 8.

5 7

x xy

x

+ +=

+



52. En los ejercicios siguientes halle dy y .dy

dt

a. 2 23 4 5; 2 1.y x x x t t= + − = − + b. 4 3

; 3 5.5

x xy x t

x

+= = +

+

c. 5; 2 8.y z z t2= + = +

53. Dibuje una figura semejante a la de la figura 28.1b tal que la gráfica sea cóncava hacia abajo. Indique los segmentos

de recta cuyas longitudes sean , , , .x y dx dyΔ Δ

«El hombre más feliz del mundo es aquel que separeconocer los méritos de los demás y pueda alegrar-se del bien ajeno como si fuera propio».

Johann W. Goethe


301Elementos básicos de cálculo diferencial

Capítulo 1Módulos 1 al 5

1. a. 3δ ε=

b. 2δ ε=

c. , si 0;m mδ ε δ= ≠ cualquier número positivo si m = 0

d. 1 2 2

min ,2 2

c cδ ε⎧ ⎫⎛ ⎞+⎪ ⎪= ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

e. { }min 1, 8εδ =

f. { }21 12 2min ,c cδ ε=

2. a. 24 b. 1/6 c. 1/2 d. 171 e. 1 f. 1/8 g. 0 h. 3x2

i. 2 2 / 3 j. 3 7 / 11 k. 1/ 4− l. 1/2 m. 0 n. 3/2 o. 2/3 p. 2 /16

q. nyn-1 r. q/p, si p, q son positivos; 0 si q es negativo y p positivo

3. a. No existe b. 1− c. 3− d. 0

4. a. 0 1

lim ( ) 0; lim ( ) no existex x

f x f x→ →

=

Hoja de respuesta a los ejercicios propuestos


b. 1 2

lim ( ) 0; lim ( ) 1x x

g x g x→ →

= =

5. Ayuda: suponga lo contrario, es decir, L > M, y considere 0.L M α− = > Dado 0,ε > tómese 2ε α< y llegue a

una contradicción.

6. a. 3 b. 0 c. α β d. 2 π e. 1 f. 0 g. 1 h. 1 9

i. 21 α j. 0 k. 1− l. 2 m. 3 n. π o. 1/4 p. 2 2

q. 2


1. a. Sí b. No c. No d. Sí e. No f. Sí g. No h. Sí

i. No j. Sí k. No l. Sí m. Sí

2. a. Discontinuidad esencial en a = 2


b. Discontinuidad removible en a = 3

2 4 3, si 3

( ) 32 , si 3

x xx

g x xx

⎧ − +≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

c. Discontinuidad removible en a = 4

2 3 4, si 4

( ) 45 , si 4

x xx

g x xx

⎧ − −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

d. Discontinuidad removible en 3a= −

2 6, si 3

( ) 35 , si 3

x xx

g x xx

⎧ + −≠ −⎪= +⎨

⎪ − =⎩

e. Es continua en a = 0, a = 1 y a = 2;

1, si 1

( ) 0, si 1

1 , si 1

x x

g x x

x x

− <⎧⎪= =⎨⎪ − >⎩


3. 6−

4. a = 5 / 4 y = 3/2b−

5. a = 10 y = 23b −

6. 2, y 3a b= = −

7. a. 14 b. 12− c. 2− d. 2− e. 5 f. 0

8. Una posible es:

9. Una posible es:


1. a. 1/ 2 x b. 2t c. 4− d. 3 ( 2x + 1 ) ( x2 + x + 1)2

2. ' (2) 1, ' (2) 4; '(2) no existef f f− += =

3. a = 2 y b = 1−


4. a = 1 y b = 1−

7. a. 2x + 3 b. 4 21512 2

2x x− + c. 26 2 3t t− + + d.

3 4

3 2

5 4 10 2

( 1)

x x x

x

+ − −+

e. 3

3 2

4( 2)

( 2 4)

t

t t

+−

+ −f.

5 4 3 2 1 2

2 2

20 40 16 10 4 30 24 16

(5 )

z z z z z z z

z

− − − − −− − + + + + +−

−

g. 2 5 23(5 2)( 2 1)x x x− − + h. 4 3 4 3 25(3 5 1) (12 15 1)t t t t t− + − − + i. 2 5

40( 2)

3( 4 2)

y

y y

+−

+ −

j. 3

1 4

2 (3 ) (2 5)

t

t t

−

− +k.

2

3 2 2 34

5 14 8

6 ( 4 4)

x x

x x x

+ +

+ + l. 3cos 5senx x+

ll. 3cos 6x m. 15sen 10x n. 2

sec (tan 1) sen (tan 1)

(sen cos )

x x x x

x x

− − +−

o. (2sen cos )x x x x+ p. 2 2

2 2

( 1)sen ( 1)cos

sen

x x x x x

x x

− − + q. 2 cos 2 sen 2cos

sen cos

x x x x x

x x x

+ ++

r. 2 3 4 44 (4 3)sen ( 3 ) cos ( 3 )t t t t t+ + + rr. 2sen · sen (cos ) · sen (cos (cos )) · cos (cos (cos ))t t t t−

8. a. 4 / 9x y− b. 2(1 ) / 2y xy− c. 2

2

6 19 3

19 3

xy y x

x x

− −−

d. 20

6

xy y

xy x

−

+

e. 3

2

2 12 2

6 4 2

x xy y xy

xy xy y xy x

− −

− −f.

2

4

6

4 3

y

xy x y−g. 2 cosx y x

x

− −

h. ( sen 2)

sen 2

y xy

x xy y

− ++

i. 3

3

4 2

y

x y y

−+ − j. 3

(2 ( ) 1)

x y x xy x y

x x x x y

+ − − +

+ +

9. (1)y′ = 2, (1) 6y′′− =−

10.2

(1)6

yππ+ ′− =+

11. a. 998 b. 50 c. 10995

74.12

≈ d. 396


12. a. 4 b. 3/2 c. 0 d. +∞ e. 0 f. 2 g. 5/4

13. a. +∞ b. +∞

c. −∞ d. +∞

e. No existe f. No existe

14. a. 2 b. 1− c. 0 d. 2 /π e. ea f. 1/2 g. 0

h. 0 i. 1 j. cos a k. eak l. 1/ 3− m. 1 n. 1


15. a. 1 b. 2 c. 1 d. 0 e. No, 0/0 f. 0 g. No, 00

16. Descifre el mensaje


1. a. 2 6 0; 2 7 0x y y x+ − = − − = b. 7 0; 7 0x y y x+ − = − − =

c. 4 5 0; 4 14 0y x x y− − = + − = d. 5 4 4 0; 4 5 46 0x y x y− + = + − =

e. 14 13 40 0; 13 14 15 0x y x y+ − = − + =

2. 13 9 30 0x y− − =

4. 4 1 0x y− + =

5. (8 4 5) 19 8 5 0, (8 4 5) 19 8 5 0x y x y+ − − − = − − − + =

6. a. 8, 0 b. 25,− no es posible c. 1/4, no es posible d. 8, 0−

7. a. 29− m/s b. 20.48 m c. 0.4 m/s d. 4.08 s

8. a. 48 pies/s b. 2/3 s c. 292 pies d. 3 73

s2

+e. 16 73− m/s

9. a. No tiene máx, 2, [2, ), ( , 2]+∞ −∞

b. No tiene máx, 1, [ 1, ), ( , 1]− − + ∞ −∞ −

c. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2, , , , 3, y , 3

2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d. No tiene máx, no tiene mín, (0, )+∞ , no es decreciente, ( , 4], [4, )−∞ +∞

e. 4, no tiene mín, ( , 4], [4, )−∞ +∞


f. 1, 0 y 2, [ 0, 1] y [2, ), ( , 0] y [1, 2]+∞ −∞

g. 4, no tiene mín, ( , 4], [4, )−∞ +∞

h. 5 y 4,− − no tiene mín, ( , 5], [ 5, 4) y ( 4, )−∞ − − − − +∞

10. 3 y 7−

11. a. 25, el cual ocurre en 3;− 0, el cual ocurre en 2 y 2−

b. 1, el cual ocurre en 3; 3− el cual ocurre en 5−

c. 1/2, el cual ocurre en 2; 1− el cual ocurre en 1−

d. 3 4 , el cual ocurre en 1; 0 el cual ocurre en 1−

e. 7, el cual ocurre en 3; 13− el cual ocurre en 3−

f. 12, el cual ocurre en 0; 3, el cual ocurre en 6 y 4− −

12. a. No las cumple todas, 2

b. 4 3 3−

c. No las cumple todas, no existe

d. 3/4

e. No es derivable en x = 0

f. 0.249x ≈

13. a. 1 7

,3

− − y,

1 7

3

− +

b. 2

c. 8

d. 0

e. 6 8 3 3 4 3

4 2

+ +=

f. 7 5−


14. No es continua en el intervalo cerrado [1, 2]

21. a. Dominio: { }1 ;− interceptos: (0, 0) con el origen; asíntotas: x = 1 (vertical), y = 2 (horizontal); crecimiento: no

tiene; decrecimiento: ( ,1) y (1, );−∞ +∞ no tienen máximos, ni mínimos; cóncava hacia arriba: (1, ),+∞ cóncava

hacia abajo: ( ,1);−∞ no tiene puntos de inflexión.

b. { }2 ;− con el eje y en (0, 2);− x = 2 y y = x; ( ,0]−∞ y [4, );+∞ [0, 4]; f (0) = 2− , f (4) = 6; (2, ),+∞ ( ,2);−∞ no

existe.

c. ; (0, 0); y = 0; [ 2, 2], ( , 2) y ( 2, ); ( 2) 2, ( 2) 2;f f− −∞ +∞ = − =− ( 6,0) y ( 6, );− +∞

( , 6) y (0, 6);−∞ puntos de inflexión: ( 6, 6 / 2), ( 6, 6 / 2) y (0,0).− −

d. { }0 ;− con el eje x en [ 2,0);− x = 0 y y = x + 4; ( , 2] y (2, ); [ 2,0) y (0,2);−∞ − +∞ − ( 2) 0,f − = f (2) = 8;

(0, ), ( ,0);+∞ −∞ no tiene.

e. [ 3, );− +∞ con el eje x en ( 3,0) y (0,0)− con el origen; no tiene; [ 2, ),[ 3, 2];− +∞ − − no tiene; ( 2) 4;g − =−

( 3, );− +∞ no tiene, no tiene.

f. { }1,1 ;− − con el origen (0, 0), 1,x = − x = 1 y 1;y = − [0,1) y (1, ); ( , 1) y ( 1, 0];+ ∞ −∞ − − no tiene,

(0) 1;f = ( 1, 1), ( , 1) y (1, );− −∞ − +∞ no tiene.

22. 23.

24. a.

Creciente en [ 3, 1] y [0, 1] y [4, )− − +∞

Decreciente en ( , 3] y [ 1, 0] y [1, 4]−∞ − −


f es cóncava hacia arriba ( , 2) y (3, )−∞ − +∞

f es cóncava hacia abajo ( 2,0) y (0, 3)−

Números criticos: 3, 1, 0, 1, y 4− −

Los extremos relativos relativos ocurren en 3, 1, 1, y 4− −

b.

25. 25cm

3

26. 200 50 2

7

−

27. Si solamente se construye la circunferencia; si se corta el alambre con una longitud de 100 3

cm9 3

ππ+

para construir la

circunferencia.

28. Debe remar directamente hacia la tienda y no caminar.

29. Radio = 3150

π, altura = 3

1502

π

30. Radio = 63

a, altura =

23

3

a

31. Radio = 2

23

a, altura =

4

3

a

32. Largo = 5 2 , ancho = 4 2

33. a. 1 55tan

3− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b. 0.9 h

34. 240 pies


35. 240 pies

36. 2 (2 4)n A+

37. Radio = 3 225 5 ,π π altura = 3 225 ,π π

38.9 7

m/s70

−

39. a. Decrece a razón de 12 cm/s b. Aumenta a razón de 11 34cm/s

34

40.3

cm/s200

41. a. 50

pies/s81π b.

10 pies/s

27π

42. 1.160 m/min

43. 8.31 pie/s

44. 250 3 cm/min

45. a. 2 3 / 3 pies/s− b. 216 3 /81 pies/s−

46. 30.00125 mπ

47. 2 3 3 20.75 10 m 0.0075 m , 0.006 m−× =

48. 31000 cmπ

49. a. 73.5/12 = 6.125 b. 325/108 = 3.009216698 c. 0.298 / 3 0.0993= d. 76 / 375 0.2026=

50. 818.4

51.3 2 2 3

2 / 3 2 2

(10 18 8)(5 7) 30 ( 2)( 8)

3( 2) (5 7)

x x x x x xdx

x x

⎡ ⎤+ + + − + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

52. a. 2 24(3 6 5)( 1) ; 4(3 6 5)( 1)t t t dt t t t− + − − + −


b. 4 3 4 3

2 2

3(3 5) 20(3 5) 15 3(3 5) 20(3 5) 153 ; 3

(3 10) (3 10)

t t t tdt

t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

c. 2 2

2(2 8) 4( 4);

(2 8) 5 (2 8) 5

t tdt

t t

+ +

+ + + +

53.


1 El sistema de los números reales

Introducción

El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado sistema de los números reales.

Números tales como 1, 3, 3 5 , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema másprimitivo –tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... ,− y a partir de él, por medio deuna secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1.

En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por mediode un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.

En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjuntoℜ de los números reales. Se parte de un conjuntoprimitivo como es el conjunto de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendomás a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientespara la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

1.1 Conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar lossiguientes subconjuntos:

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales, que se denota por o también por ,+ corrientemente se presenta así:

= {1, 2, 3, 4, 5, ...}.

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

1. El matemático Italiano G. Peano (1858-1932) presentó en 1889 un conjunto de cinco axiomas para los números naturales. Puedeverse una discusión detallada en el desarrollo del sistema de los números reales por medio de los axiomas de Peano, en el libroFoundations of analysis, de F. Landau. New York, Chelsea, Publishing Co. 1951.

Apéndice I

314

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmen-te a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros, que se denota por , corrientemente se presenta así:

= {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en , como sucede porejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.

Puede notarse que .⊂

Conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, que se denota por , se define de la siguiente manera:

, con , enteros y 0 .m

m n nn

⎧ ⎫= ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación

ax = b, con , ,a b∈ 0.a ≠

Ésta sólo tiene solución en , en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que .⊂ ⊂

En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ... son númerosenteros y que los denominadores son diferentes de cero.

Conjunto de los números irracionales

En muchos temas de la geometría se plantean, en general, problemas para cuya solución el conjunto de los númerosracionales resulta insuficiente. Así por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud dela diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x satisface la ecuación

x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente que no existe x∈ que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de

la forma xn = a, con a∈ y ,n∈ carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace necesario, por tanto,describir otro conjunto, en el cual ecuaciones como las anteriores tengan solución.

El conjunto de los números irracionales, que se denota por ,∗ está constituido por los números reales que no admiten la

representación racional.

Ejemplos de esta clase de números son el número e (base del logaritmo natural), , 2,π etc.

En este conjunto se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en , como sucede, por ejemplo, con la ecuación

x2 = 2, cuyas soluciones son x = 2,± que no son números racionales.

Apéndice I


Conjunto ℜ de los números reales

Se define como .∗ℜ = ∪

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (·), las cuales verificanlas siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo).

1.2 Axiomas de campo

AC1: Uniforme

Si se suman entre sí dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.

Si se multiplican entre sí dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.

AC2: Conmutativa

Para todo .

, ,.

a b b aa b

a b b a

+ = +⎧∈ℜ ⎨ ⋅ = ⋅⎩

AC3: Asociativa

Para todo ( ) ( ) .

, , ,( ) ( ) .

a b c a b ca b c

a b c a b c

+ + = + +⎧∈ℜ ⎨ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎩

AC4: Modulativa

Existe el real 0 (cero) tal que para todo ,a∈ℜ

a + 0 = 0 + a = a.

Existe el real 1 (uno), 1 ≠ 0, tal que para todo ,a∈ℜ

1 1 .a a a⋅ = ⋅ =

El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición.El real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.

AC5: Invertiva

Para cada número real a existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota ( ),a− tal que

( ) 0.a a+ − =

Para cada número real a ≠ 0 existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por 1a− o 1/a, tal que

1 (1 ) 1.a a a a−⋅ = ⋅ =

316

Así por ejemplo, el opuesto de 5 es 5;− el recíproco de 2 es 1 2.− −

Debe notarse que ( )a− no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Así, 3− es

negativo y es el opuesto de 3, mientras que – ( 5)− es positivo y es el opuesto de 5.−

El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, y el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a.

AC6: Distributiva

Para todo , , , ( ) .a b c a b c a b a c∈ℜ ⋅ + = ⋅ + ⋅

Consecuencias importantes de los axiomas de campo

A continuación se presentan, sin demostración, las consecuencias más importantes de los axiomas de campo. Más que unasimple lista, son propiedades conocidas por el estudiante y que le serán bastante útiles en el desarrollo del curso. Enalgunas demostraciones de los teoremas del cálculo haremos referencia a ellas.

C1: Ley cancelativa para la adición (multiplicación)

x + y = x + z ⇒ y = z.

Si x ≠ 0, entonces xy = xz ⇒ y = z.

C2

Para todo , ,a b∈ℜ la ecuación x + a = b tiene una y sólo una solución en .ℜ

C3

Para todo , 0 0.x x∈ℜ ⋅ =

C4

0 0 0.x y x y⋅ = ⇒ = ∨ =

C5

Para todo ,x∈ℜ si x ≠ 0, entonces 1 10.x

x− = ≠

C6

Si y ≠ 0, entonces 0 0.x

xy= ⇔ =

C7

Para todo ,x∈ℜ ( ) .x x− − =

Apéndice I


C8

Si x ≠ 0, entonces 1 1( ) .x x− − =

C9

Para todo , ,x y∈ℜ ( ) ( ) ( ).x y x y− + = − + −

C10

Si x ≠ 0, y ≠ 0, entonces 1 1 1( ) .x y x y− − −⋅ = ⋅ Equivalentemente, 1 1 1

.xy x y

= ⋅

C11

Si b ≠ 0, d ≠ 0, entonces .a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

C12

Si b ≠ 0, d ≠ 0, entonces .a a d

b b d

⋅=

⋅

C13

Si b ≠ 0, d ≠ 0, entonces .a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

C14

Para todo ,x∈ℜ ( 1) .x x− = −

C15

( 1) ( 1) 1.− ⋅ − =

C16

( ) ( ) .x y xy− ⋅ − =

C17

( ) ( ) ( ).xy x y x y− = − = −

C18

,x x x

y y y

−− = =

− y ≠ 0.

318

C19

x(y − z) = xy – xz.

C20

(x − y) + (y − z) = x − z.

C21

(a − b) − (c − d) = (a + d) – (b + c).

C22

(a + b) . (c + d) = (a · c + b · d) + (a · d + b · c).

C23

(a − b) . (c − d) = (a · c + b · d) − (a · d + b · c).

C24

a − b = c – d ⇔ a + d = b + c.

C25

Si x2 = x · x, entonces x2 – y2 = (x − y) . (x + y).

1.3 Axiomas de orden

Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un

cierto subconjunto especial deℜ (este subcojunto, denotado por +ℜ , se identifica con el conjunto de los reales positivos).

En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades AO mencionadas a continuación, es llamadoun campo ordenado. En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de losnúmeros reales es un campo ordenado.

AO1

Existe un subconjunto +ℜ de ℜ tal que:

i. Si , ,a b +∈ℜ entonces ( ) .a b ++ ∈ℜ

.a b +⋅ ∈ℜ

ii. Para cada ,a∈ℜ una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

; 0; .a a a+ +− ∈ℜ = ∈ℜ

Apéndice I


Los elementos ,a∈ℜ para los cuales ,a +∈ℜ serán llamados reales positivos.

Los elementos ,a∈ℜ para los cuales ,a +− ∈ℜ serán llamados reales negativos.

Desigualdades

Usando solamente el subconjunto +ℜ descrito en AO1, se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualda-

des de números reales.

Definiciones

Sean x, y números reales.

i. Los símbolos «<» y «>» (que se leen «menor que» y «mayor que», respectivamente) se definen por las afirmaciones:

.x y y x +< ⇔ − ∈ℜ

.x y x y +> ⇔ − ∈ℜ

ii. Los símbolos «≤ » y « ≥ » (que se leen «menor o igual que» y «mayor o igual que», respectivamente) se definenpor las afirmaciones:

.

.

x y x y x y

x y x y x y

≤ ⇔ < ∨ =≥ ⇔ > ∨ =

Cada una de las expresiones , , ,x y x y x y x y< > ≤ ≥ es llamada desigualdad.

De la definición anterior se sigue que las desigualdades x > y e y < x son equivalentes. Igualmente, las desigualdadesx ≤ y e y ≥ x son equivalentes.

iii. La expresión x < y < z se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x < y e y < z. Igualmente, la expresiónx > y > z se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x > y e y > z.

En cualquiera de los dos casos de la definición iii, se dice que y está entre x y z.

Interpretaciones similares pueden establecerse para las desigualdades: ;x y z≤ ≤ ;x y z≥ ≥ ;x y z< ≤ ,x y z≤ < etc.

Claramente, 0.a a+∈ℜ ⇔ >

a es negativo 0.a⇔ <

Las propiedades siguientes, que enunciamos sin demostración, son consecuencia inmediata de la propiedad deorden y serán útiles en el trabajo con desigualdades.

320

Consecuencias principales de la propiedad de orden

01: Tricotomía

Si , ,x y∈ℜ entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

x > y ; x = y ; x < y.

02: Transitiva

Para todo , , ,x y z∈ℜ

x < y ∧ y < z ⇒ x < z.x > y ∧ y > z ⇒ x > z.

03

Si , , ,x y z∈ℜ entonces:

x < y ⇒ x + z < y + z ∧ x – z < y – z .x > y ⇒ x + z > y + z ∧ x – z > y – z .

.x y x z y z x z y z≤ ⇔ + ≤ + ∧ − ≤ −

.x y x z y z x z y z≥ ⇔ + ≥ + ∧ − ≥ −04

a > b > 0 y 0,c d≥ > entonces:

.a c b d⋅ > ⋅

05

Las siguientes reglas de los signos para la adición y multiplicación de reales se cumplen:

(número positivo) + (número positivo) = número positivo.(número negativo) + (número negativo) = número negativo.(número positivo) · (número positivo) = número positivo.(número negativo) · (número negativo) = número positivo.

06a < b y c > 0 ⇒ a · c < b · c.a < b y c < 0 ⇒ a · c > b · c.

Las dos propiedades anteriores muchas veces se expresan diciendo que si ambos miembros de una desigualdad se multipli-can por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se conserva, mientras que si se multiplican por una cantidadnegativa, el sentido de la desigualdad cambia.

Apéndice I


07

Para todo 2, 0.x x∈ℜ ≥

x2 = 0 ⇒ x = 0.

08

x > 0 ⇒1

0.x>

09

x > y > 0 ⇒1 1

.x y<

1.4 Representación geométrica de los números reales

Una manera de representar geométricamente los números reales consiste en tomar una recta generalmente en forma horizon-tal y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.

Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real, y viceversa: a cada número real le corresponde unoy sólo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma una correspondencia biunívoca entre los números reales y lospuntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto «es» un número real. A la recta sobre la cual sehacen representaciones de los números reales se le seguirá llamando recta real, o también, recta numérica.

Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante sellamará segmento unitario, como punto de partida el 0, que en adelante se llamará origen, como números positivos lospuntos que se dan a la derecha del origen, y negativos los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunosnúmeros reales. Así, para localizar los números enteros se lleva sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmentounitario, como aparece en la figura 1.

Figura 1

Existe una construcción geométrica sencilla para localizar números racionales en la recta real. Ilustremos el procedimientopor medio de un ejemplo. Para representar, por ejemplo, el número racional 12/5, se traza por el origen 0 de la recta real unasegunda recta oblicua y a partir de 0 se marcan cinco (5) segmentos iguales sobre la oblicua con extremos en P

1, P

2, P

3, P

4

y P5 (figura 2).

A continuación se traza la recta que une a P5 con el racional 3 15 5= y luego cuatro rectas paralelas a la anterior y que pasen

por los puntos P1, P

2, P

3, P

4 y P

5.

Por geometría elemental se sabe que este sistema de rectas paralelas corta al segmento entre 0 y 3 en cinco partes iguales demanera que la longitud de cada parte es 3/5.

322

Figura 2

En consecuencia, cada punto de corte en la recta real corresponde en forma sucesiva a los racionales 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y 15/5,entre los cuales se encuentra el racional que se quería representar en la recta.

Para los enteros positivos que no son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su raíz cuadrada es un númeroirracional, cuya localización en la recta numérica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras (figura 3).

Figura 3

Otros números irracionales, comoπ ≈ 3.1415927... y e ≈ 2.7182818... , serán localizados en su forma decimal aproximada.

1.5 Intervalos y valor absoluto

Entre los subconjuntos infinitos del conjunto de los reales se destacan nueve de ellos, llamados intervalos, y que se definende la siguiente forma:

Definiciones

i. Sean , ,a b∈ℜ con a < b.

1. El conjunto de puntos { }:x a x b∈ℜ < < se llama intervalo abierto de extremos a y b. Se denota por (a, b).

Apéndice I


Así que { }( , ) :a b x a x b= ∈ℜ < < , y geométricamente se representa en la recta real en la forma de la figura 4.

ℜ

Figura 4

2. El conjunto de puntos { }:x a x b∈ℜ ≤ ≤ se llama intervalo cerrado de extremos a y b. Se denota por [a, b].

Así que [ ] { }, : ,a b x a x b= ∈ℜ ≤ ≤ y geométricamente se representa en la recta real en la forma de la figura 5.

ℜ

Figura 5

Nótese que a ∉(a, b), b ∉(a, b), a ∈ [a, b], b∈ [a, b].

De manera similar se pueden definir y representar geométricamente los demás tipos de intervalos, queaparecen a continuación de una manera simple.

3. (a, b] = { }:x a x b∈ℜ < ≤ (figura 6).

ℜ

Figura 6

4. [a, b) = { }:x a x b∈ℜ ≤ < (figura 7).

ℜ

Figura 7

ii. Sea .a∈ℜ Un intervalo de cualquiera de las siguientes formas se llama semirrecta.

5. ( , )a−∞ = { }:x x a∈ℜ −∞ < < (figura 8).

ℜ

Figura 8

6. ( , ]a−∞ = { }:x x a∈ℜ −∞ < ≤ (figura 9).

ℜ

Figura 9

324

7. (a, +∞ ) = { }:x a x∈ℜ < < +∞ (figura 10).

ℜ

Figura 10

8. [a, +∞) = { }:x a x∈ℜ ≤ < +∞ (figura 11).

ℜ

Figura 11

iii. Finalmente, el conjunto ℜ de los números reales se define como el intervalo ( , )−∞ +∞ . Es decir:

9. ( , )−∞ +∞ = { }: .x x∈ℜ −∞ < < +∞

Valor absoluto

a. Definición

Sea .x∈ℜ El valor absoluto de x, denotado por ,x se define como

si 0

si 0

x xx

x x

≥⎧= ⎨− <⎩

Así, 5 5; 8 ( 8); 0 0.= − = − − =

El valor absoluto de un número real x es siempre positivo o cero y se interpreta geométricamente como la distancia del punto

x al origen (figura 12). Igualmente, x y− se interpreta como la distancia del punto x al punto y en la recta real (figura 13).

Figura 12

Figura 13

Apéndice I


b. Propiedades del valor absoluto (VA)

VA1

Para todo ,x∈ℜ 0x ≥ y 0 0.x x= ⇔ =

VA2

.x y x y x y= ⇔ = ∨ = −

VA3

· · ,x y x y= para todo , .x y∈ℜ

VA4

, 0.xx

yy y= ≠

VA5

.

.

x x

x y y x

− =

− = −

VA62 2.x x=

VA6’2 2.x y x y< ⇔ <

VA7

,x x< ∈⇔ −∈ < < ∈ siempre que 0.∈ >

VA8

,x x≤ ∈⇔ −∈ ≤ ≤ ∈ siempre que 0.∈ ≥

VA9

,x a x a x a> ⇔ > ∨ < − siempre que a > 0.

VA10

.x a x a x a≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ −

VA11

,x x x− ≤ ≤ para todo .x∈ℜ

VA12: Desigualdad triangular

Para todo , , .x y x y x y∈ℜ + ≤ +

¿En qué caso se verifica la igualdad? (compruebe).

326

VA13

.x y x y− ≤ +

VA14

.x y x y− ≤ −

Solución de desigualdades

En una desigualdad que envuelve una incógnita, dígase la letra x, un valor particular de x satisface la desigualdad si alreemplazar x por su valor particular (en todas sus ocurrencias) la convierte en una proposición verdadera.

Así por ejemplo, x = 1 es un valor particular de x que satisface la desigualdad 3x − 1 < x + 5 , ya que 3(1) − 1 < 1 + 5,mientras que x = 4 no es solución particular.

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En contraste conuna ecuación, cuya solución en general es un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución de unadesigualdad consta por lo común de un intervalo, unión infinita de intervalos y en algunos casos el conjunto vacío.

Asi, el conjunto solución de la desigualdad x2 – x < 6 es el intervalo ( 2,3),− el conjunto solución de la desigualdad x2 − x≥ 6

es ( ] [ ), 2 3,−∞ − ∪ +∞ y el conjunto solución de la desigualdad x2 + 5 < 4 es el conjunto vacío (¿por qué?).

El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad inicial en una desigualdad equivalen-te (tiene las mismas soluciones). Las herramientas principales para hacerlo es el uso adecuado de las propiedades de ordeny sus consecuencias. Ello implica que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjuntosolución. En particular:

1. Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad.

2. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva.

3. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, pero entonces se debe invertir el sentido del signo de la desigualdad.

Apéndice I


Ejercicios resueltos sobre intervalos, desigualdades y valor absoluto

Ejemplo 1

Considere los siguientes intervalos:

[ 3, 3]; ( 3, 3); [ 1, 4]; ( 4, 5].A B C D= − = − = − = −

Dibuje sobre la recta real y escriba con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

a. A ∪ Db. A ∩ Cc. B – Cd. A ∩ (B ∪ C)

e. *B (el complemento de B)f. *C (el complemento de C)

Solución

En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera más sencillalas operaciones propuestas.

Así que:

a. A∪D = D = ( 4, 5]− = { }: 4 5 .x x∈ℜ − < ≤

b. Como la intersección de dos conjuntos corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de lasgráficas que

A ∩ C =[ 1, 3]− = { }: 1 3 .x x∈ℜ − ≤ ≤

c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B,

pero que no están en C, esto es, el intervalo ( 3, 1).− −

Así que B −C = ( 3, 1)− − = { }: 3 1 .x x∈ℜ − < < −

328

Igualmente, C −B = [3, 4] = { }: 3 4 .x x∈ℜ ≤ ≤

d. En primer lugar, B∪C = ( 3, 4]− = { }: 3 4 .x x∈ℜ − < ≤

De la gráfica anterior se deduce que

A∩ (B∪C) = ( 3, 3]− = { }: 3 3 .x x∈ℜ − < ≤

e. En este caso, el conjunto universal o referencial es .ℜ Así que

( ] [ ) { }* , 3 3, : 3 3 .B B x x x=ℜ− = −∞ − ∪ +∞ = ∈ℜ ≤ − ∨ ≥

f. Igualmente,

( ) ( ) { }* , 1 4, : 1 4 .C C x x x=ℜ− = −∞ − ∪ +∞ = ∈ℜ < − ∨ >

Ejemplo 2

Resuelva la desigualdad 3 1 5.x x− ≤ +

Solución

3 1 5x x− ≤ + 3 5 1,x x⇔ − ≤ +

2 6,x⇔ ≤

3.x⇔ ≤

En consecuencia, la solución o el conjunto solución S viene dado por

{ } ( ]: 3 , 3 .S x x= ∈ℜ ≤ = −∞

Ejemplo 3

Resuelva la desigualdad 2 2

2.

3 3

x

x x>

+ +

Solución

2 2

22 (¿por qué?).

3 3

xx

x x> ⇔ >

+ +

Apéndice I


En consecuencia, la solución es el intervalo abierto (2, ).+∞

Ejemplo 4

Resuelva la desigualdad 2

.1 1

x

x x≥

− −

Solución

Debe notarse en primer lugar que la desigualdad 2

1 1

x

x x≥

− − no es equivalente a 2,x ≥ puesto que ( 1)x − no siempre es

positivo. Sin embargo,

2 20.

1 1 1

x x

x x x

−≥ ⇔ ≥

− − −

Esta última desigualdad se satisface si y sólo si x = 2 o las dos cantidades (x – 2) y (x – 1) tienen el mismo signo (ambaspositivas o ambas negativas) (¿por qué?).

Pero

(x – 2) y (x – 1) son positivas si y sólo si x > 2.

También

(x – 2) y (x – 1) son negativas si y sólo si x < 1.

En consecuencia, la solución de la desigualdad la constituye la unión de los intervalos

[ )2,+∞ y ( )1 .−∞,

Esto es, ( ) [ )1 2, .S = −∞, ∪ +∞

Ejemplo 5

Resuelva la desigualdad 2 2

.1 1

x x

x x

− +<

− +

Solución

En primer lugar, la «inexperiencia» lo puede llevar a efectuar el producto de extremos y medios, conservando el sentido dela desigualdad y escribir que

2 2( 2)( 1) ( 2)( 1) 0 es la solución.

1 1

x xx x x x x

x x

− +< ⇔ − + < + − ⇔ >

− +

Sin embargo, existen valores de x, x > 0 que no son solución (por ejemplo 1 2x = ) y existen valores de x, x < 0 que sí son

330

solución (por ejemplo x = 1 2).− En consecuencia, x > 0 no corresponde al conjunto solución.

Para evitar situaciones como la anterior, procedemos de la siguiente forma:

2 2

1 1

x x

x x

− +<

− +2 2

0,1 1

x x

x x

− +⇔ − <

− +

( 2)( 1) ( 1)( 2)0,

( 1)( 1)

x x x x

x x

− + − − +⇔ <

− +

20.

( 1)( 1)

x

x x

−⇔ <

− +

La última desigualdad puede resolverse analíticamente distinguiendo varios casos según el signo del numerador y eldenominador de la fracción.

El método que se propone a continuación es mucho más ágil y puede desarrollarse siguiendo estos pasos:

1. Se analiza el signo de cada uno de los factores que contiene el numerador y el denominador de la fracción, tomandocomo punto de referencia los valores que anulan cada factor. Para ello se eligen puntos de prueba anteriores yposteriores al referencial.

2. Se efectúa el producto de los signos de cada factor en los intervalos determinados por los puntos de referencia.

3. El conjunto solución lo constituye el intervalo o unión de intervalos cuyo signo coincide con el signo del ladoderecho de la desigualdad. Así, si el signo del lado derecho de la desigualdad es «>», se eligen los intervalos con

signo (+). Si el signo del lado derecho de la desigualdad es «<», se eligen los intervalos con signo ( ).−

4. Se verifica si los puntos referenciales pertenecen o no al conjunto solución, sustituyéndolos en la desigualdad parapoder determinar de esta forma la naturaleza de ellos: abierto, cerrado, semiabierto, etc.

Apliquemos el método al caso particular 2

0.( 1)( 1)

x

x x

−<

− + El diagrama adjunto recoge toda la información obtenida si-

guiendo el método descrito.

Signo de − 2x = 0 x = 1

(–2x) ⇒ x = 0 x = 1−

Punto dereferencia

Puntos deprueba

0

+ + + + + + + + +⏐− − − − − − − − −

1

− − − − − − − − − − − − −⏐+ + + + +

1

− − − −⏐+ + + + + + + + + + + +

−

Signo de x − 1 = 0 x = 0 (x − 1) ⇒ x = +1 x = 2

Signo de x + 1 = 0 x = − 2 (x + 1) ⇒ x = − 1 x = 0

Signo del producto

1 0 1

++++⏐−−−−−⏐++++⏐−−−−

−

Apéndice I


Note que los puntos referenciales no satisfacen la desigualdad, por tanto no pertenecen al conjunto solución.

Como el signo del lado derecho de la desigualdad es «<», interesan para la solución los intervalos del producto con signo

(–). Es decir, S = (–1, 0)∪ (1, +∞) es el conjunto solución.

Ejemplo 6

Resuelva la desigualdad 3 1 2 6 .x x+ ≥ −

Solución

La desigualdad inicial puede escribirse en las formas equivalentes:

3 1 2 6x x+ ≥ − 3 1 2 12 ,x x⇔ + ≥ −

2 2(3 1) (2 12) (propiedad VA6 ),x x ′⇔ + ≥ −

2 29 6 1 4 48 144,x x x x⇔ + + ≥ − +

25 54 143 0,x x⇔ + − ≥

(5 11) . ( 13) 0.x x⇔ − + ≥

La última desigualdad la resolvemos por el método gráfico.

Nótese que al sustituir los valores de x de los puntos de referencia en la última desigualdad, se transforma en una proposi-ción verdadera.

O sea que si x = 11/5, entonces 11 11

5 11 13 0;5 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ − + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

también, si 13,x = − entonces ( )( )( )5 13 11 13 13 0.− − − + ≥

En consecuencia, dichos puntos pertenecen al conjunto solución. Como el signo del lado derecho de la última desigualdad

es « ≥ », interesan para la solución los intervalos del producto con signo (+). Es decir, S = ( −∞, –13]∪ [11/5, +∞) es el

conjunto solución.

Se recomienda al estudiante lector que, después de estudiar los ejemplos anteriores, afiance los conocimientos adquiri-dos desarrollando los ejercicios propuestos que para tal fin aparecen en las secciones 1.5.1 y 1.5.2 de la página:http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/, del autor de este apéndice.

Punto dereferencia

Puntos deprueba

Signo de – – – – – – – – | + + + + + + + 5x –11 = 0 x = 2 (5x –11) 11/5 ⇒ x = 11/5 = 2.2 x = 3

Signo de – – –|+ + + + + + + + + + + + + x + 13 = 0 x = –14 (x + 13) –13 ⇒ x = –13 x = –12

Signo del + + +|– – – – –|+ + + + + + + + Producto –13 11/5

332 Apéndice I


2 La línea recta

Introducción

El propósito en este apéndice es presentar las diferentes formas de la línea recta. Antes de hacerlo se presentan algunosconceptos preliminares, como el de distancia entre dos puntos del plano y las coordenadas del punto que divide a unsegmento en una razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano.

Se asume que el lector conoce los conceptos de plano cartesiano y la localización de puntos en el mismo.

2.1 Teorema: Distancia entre dos puntos del plano

Sean P1 (x

1, y

1) y P

2 (x

2, y

2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P

2, denotada por 1 2 ,d PP= está dada por

2 21 2 2 1 2 1( ) ( ) .d PP x x y y= = − + − (1)

Demostración

En la figura 1 se han localizado los puntos P1 (x

1, y

1) y P

2 (x

2, y

2), así como también el segmento de recta

1 2P P .

Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P

2 una paralela al eje y, éstas se intersecan en el punto R, determinando

el triángulo rectángulo P1RP

2 y en el cual se puede aplicar la relación pitagórica

2 2 2

1 2 1 2 .PP PR RP= +

Apéndice II

334

Pero 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1; y .PP PP PR x x RP y y= = − = −

Por tanto, 1 2PP 2 22 1 2 1( ) ( ) ,x x y y= − + −

d 2 22 1 2 1( ) ( ) .x x y y= − + −

Observaciones

i. En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativo. Nótese además queel orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P

1 y P

2 no afecta el valor de la distancia.

ii. Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P

2 es paralelo al eje x (figura 2a), entonces 1 2 2 1PP x x= −

puesto que y1 = y

2.

Figura 2

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (figura 2b), entonces 1 2 2 1PP y y= − puesto que x2

= x1.

2.2 Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. Coordenadas del puntomedio

Considere el segmento 1 2PP cuyos extremos son los puntos P1 (x

1, y

1) y P

2 (x

2, y

2) (figura 3).

Figura 3

Apéndice II


Sea M (x, y) un punto sobre el segmento 1 2P P y llamemos 1

1 2

.PM

PPλ = (1)

Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de λ y de las coordenadas de los puntos P1

y P2.

Al proyectar los puntos P1, P

2 y M sobre los ejes coordenados resultan los triángulos rectángulos semejantes P

2MH y

P1MQ. Entonces se puede escribir

2 2 2

1 1 1

.y y x x MP

y y x x PM

− −= =

− − (2)

Ahora, de (1) 1

1 2

.1

MP

PP

λ=

Por tanto, 1

1 2 11

PM

PP PM

λλ

=−− (obsérvese que cuando M se mueve de P

1 a P

2, λ varía de manera continua tomando valores

entre 0 y 1).

En consecuencia, 1

2

,1

PM

MP

λλ

=− que al sustituir en (2) da

2 2

1 1

1.

y y x x

y y x x

λλ

− − −= =

− −

De donde 2

1

1,

y y

y y

λλ

−−=

− y (3)

2

1

1.

x x

x x

λλ

− −=

− (4)

Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente:

1 2 1( ),y y y yλ= + − (5)

1 2 1( ).x x x xλ= + − (6)

Las ecuaciones (5) y (6) resuelven el problema.

336

Observaciones

i. Nótese que para cada valor de ,0 1λ λ≤ ≤ las ecuaciones (5) y (6) nos dan un punto sobre el segmento P1P

2.

ii. En muchas ocasiones, el segmento P1P

2 se expresa en notación de conjunto en la siguiente forma:

1 2 121 2

1 2 1

( )( , ) ; 0 1 .

( )

x x x xP P x y R

y y y y

λλ

λ= + −⎧ ⎫

= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬= + −⎩ ⎭

iii. Nótese finalmente que cuando M coincide con el punto medio de 1 2 ,PP entonces

1

1 2

1,

2

PM

PPλ = = y en consecuencia

1 2 1

1( )

2x x x x= + − e 1 2 1

1( ).

2y y y y= + −

Es decir, 1 2

2

x xx

+= y 1 2

2

y yy

+= representan las coordenadas del punto medio del segmento

1 2.PP

2.3 Pendiente e inclinación de una recta

Definiciones

i. El ángulo ( )0θ θ π≤ < que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la recta L se llama

ángulo de inclinación de la recta L (figura 4a).

ii. Si L es una recta no vertical, la pendiente de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de suángulo de inclinación. Es decir,

tan ,m θ= (1)

siendo 0 , .2

πθ π θ≤ < ≠

El número m se conoce también con el nombre de coeficiente angular de la recta L.

Figura 4

Apéndice II


Observaciones

i. Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por tanto su pendiente m = tan 90º =+∞ (figura 4c).

ii. Si P1 (x

1, y

1) y P

2 (x

2, y

2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (figura 4b), entonces, de acuerdo a

la definición de pendiente, se tiene que

2 12 1

2 1

tan , .y y

m x xx x

θ−

= = ≠− (2)

Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo se hará uso indistinto de ellas. Nótese que el coeficienteangular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas.

iii. El nombre de pendiente de una recta está justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significaque por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisascorrespondientes es 5/100.

iv. La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así:

Si θ = 0º, entonces m = 0 (figura 5a).

Si 0º < θ < 90º, entonces m > 0 (figura 5b).

Si 90º < θ < 180o, entonces m < 0 (figura 5c).

Figura 5

v. El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los puntos P1 y P

2 escogidos sobre ellas.

Dados tres puntos P1, P

2 y P

3 del plano, se dice que son colineales si y sólo si la pendiente determinada por P

1 y P

2

es igual a la determinada por P2 y P

3 e igual a la determinada por P

1 y P

3.

2.4 Formas de la ecuación de la línea recta

2.4.1 Ecuación de la recta que pasa por el origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación θ con el eje x (figura 6).

338

Figura 6

Tómese sobre la recta los puntos P1(x

1, y

1), P

2 (x

2, y

2) y P

3 (x

3, y

3). Al proyectar los puntos P

1, P

2 y P

3 sobre el eje x, se obtienen

los puntos 1 2 3, yP P P′ ′ ′

Como los triángulos 1 1 2 2 3 3, yOP P OP P OP P′ ′ ′ son semejantes, se tiene que

31 2

1 2 3

const tan .yy y

mx x x

θ= = = = =

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, y

mx= o y = mx. (1)

La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

2.4.2 Ecuación de la recta conocida su pendiente m y su intercepto b con el eje y

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tanθ ) y b (figura 7).

Figura 7

Trace por el origen la recta l´ paralela a l. Sea P (x, y) un punto de l. Al llamar P´ la proyección de P sobre el eje x, PP´ cortaa la recta l´ en un punto P´´ de coordenadas P´´(x, Y), Y ≠ y.

Como P´´ (x, Y) está sobre l´, entonces tan ,Y

mx

θ= = de donde Y = mx.

Apéndice II


Ahora, el cuadrilátero OBPP´´ es un paralelogramo. Por tanto, P´´P = OB = b, y se tiene que:

y = P´P = P´P´´ + P´´P = Y + b = mx + b.

Es decir, para todo (x, y)∈ l, y = mx + b = (tanθ )x + b.

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

2.4.3 Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x

1, y

1) y cuya pendiente m también es conocida (figura 8).

Figura 8

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l viene dada por

y = mx + b. (1)

Como P1(x

1, y

1) ∈ l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene que

y1 = mx

1 + b. (2)

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene

y – y1 = m(x – x

1). (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma

y = mx + (y1 – mx

1),

lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por

b = y1 – mx

1.

2.4.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x

1, y

1) y P

2(x

2, y

2) y llámese m

l su pendiente.

340

Como l pasa por el punto P1(x

1, y

1) y tiene pendiente m

l (figura 9), se tiene, de acuerdo a 2.4.3, que

y – y1 = m

l (x – x

l) (1)

representa la ecuación de dicha recta.

Figura 9

Ahora, como el punto P2(x

2, y

2) ∈ l, entonces satisface su ecuación, esto es,

y2 – y

1 = 1 2 1( ),m x x− de donde

2 11

2 1

.y y

mx x

−=

− (2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

2 11 1 2 1

2 1

( ), .y y

y y x x x xx x

−− = − ≠

− (3)

La ecuación (3) se conoce como la forma dos-puntos de la ecuación de la recta.

Observaciones

i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación (3) también puede escribirse enla forma

2 1 2 11 1

2 1 2 1

,y y y y

y x y xx x x x

⎡ ⎤− −= + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por

2 11 1

2 1

.y y

b y xx x

−= −

−

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x

1, y

1), entonces la ecuación de la resta (3) también

puede escribirse en forma de determinante, así:

1 1

2 2

1

1 0.

1

x y

x y

x y

=

Apéndice II


2.4.5 Ecuación segmentaria de la recta

Considere la recta l de la cual se conocen los interceptos a y b con los ejes x e y, respectivamente (figura 10).

Figura 10

Como l pasa por los puntos A (a, 0) y B (0, b), entonces, de acuerdo a la sección 2.4.4, la ecuación de l viene dada por:

00 ( ).

0

by x a

a

−− = −

−

Es decir, ( ),b

y x aa

−= − de donde .

bx y b

a+ =

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene

1.x y

a b+ = (1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación segmentaria, canónica o forma de los interceptos de la línea recta. Losnúmeros a y b son las medidas de los segmentos que la recta interseca con cada eje, con su signo correspondiente, pueshaciendo en (1)

0, resulta (intercepto con eleje )

0, resulta (intercepto con eleje )

y x a x

x y b y

= =⎧⎨ = =⎩

2.4.6 Ecuación general de la línea recta

La ecuación Ax + By + C = 0, donde A, B, C son números reales y A y B no son simultáneamente nulos, se conoce como laecuación general de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta, cuando se conocen dos puntos, excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones sonde la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0que se conoce como la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema:

Teorema

La ecuación general de primer grado:

Ax + By + C = 0 (1)

342

con A, B, C ,∈ℜ A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

Demostración

Se pueden considerar varios casos:

i. A = 0, B ≠ 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0, de donde

.C

yB

−= (2)

La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es

C

B− (figura 11).

Figura 11

ii. 0, 0.A B≠ =

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

.C

xA

= − (3)

La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es C

A− (figura 12).

Figura 12

Apéndice II


iii. 0, 0.A B≠ ≠

En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

.A C

y xB B

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦(4)

La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es m =A

B− y cuyo intercepto con el eje y viene dado por

Cb

B= − (figura 13).

Figura 13

Observaciones

i. Es posible escribir la ecuación general de la línea recta en varias formas, de tal manera que sólo involucre dos cons-tantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1) en las siguientes formasequivalentes:

0.B C

x yA A

+ + = (1A)

0.A C

x yB B

+ + = (1B)

1 0.A B

x yC C

+ + = (1C)

En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existen esencialmente sólo dos constantes independientes, porejemplo

yB C

A A en (1A).

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular necesitamos conocer dos condiciones, comopor ejemplo dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

344

ii. Cuando la ecuación de una recta está expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente o

coeficiente angular con respecto al eje x, m, viene dado por A

mB

= − y su coeficiente angular n, con respecto al eje

y, viene dado por .B

nA

= −

Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

2.5 Ángulo entre dos rectas. Perpendicularidad y paralelismo entre rectas

Sean l1 y l

2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son 1θ y 2,θ respectivamente. Al cortarse las rectas l

1 y

l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (figura 14), esto es, 1 2 1 2 ,β β θ θ= = − y 0

1 2 1180 .α α β= = −

Se define el ángulo entre l1 y l

2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l

2 hacia l

1.En este caso el ángulo entre l

1

y l2 viene dado por

1 1 2.β θ θ= − (1)

Figura 14

El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.

De la igualdad (1) se tiene:

1tan β 1 2tan( ),θ θ= −

1 21

1 2

tan tan, .

1 tan tan 2

θ θ πβθ θ−

= ≠+ (2)

También,

1cot β 1 2cot( ),θ θ= −

1 21

1 2

1 tan tan, 0.

tan tan

θ θβ

θ θ+

= ≠− (3)

Apéndice II


Puesto que 1 1tanm θ= y 2 2tan ,m θ= entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:

1 21 1

1 2

tan , ,1 · 2

m m

m m

πβ β−

= ≠+ (2)´

1 21 1

1 2

1 ·cot , 0.

m m

m mβ β

+= ≠

− (3)´

Las ecuaciones (2)´ y (3)´ expresan la tangente y la cotangente del ángulo 1β entre las rectas l1 y l

2 en términos de sus

pendientes, y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como loafirma el siguiente teorema.

Teorema: Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Sean l1 y l

2 dos rectas no verticales con pendientes m

1 y m

2, respectivamente. Entonces:

( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

i. es paralela a .

ii. es perpendicular a · 1.

l l m m

l l m m

⇔ =

⊥ ⇔ = −

Demostración

En la figura 15 aparece ilustrada cada una de las situaciones.

Figura 15

i. Suponga que l1 l

2, y veamos que m

1 = m

2.

En efecto, como l1 l

2, entonces los ángulos 1θ y 2θ son iguales por correspondientes, y en consecuencia

tan 1θ = tan 2 ,θ es decir, m1 = m

2.

Ahora, si m1= m

2 , se sigue de (2)’ que tan 1β = 0, y de aquí 1 1 2 0,β θ θ= − = de donde 1 2θ θ= y por tanto l

1 y l

2 son

paralelas.

346

ii. Si l1 y l

2 son perpendiculares, entonces 1 2

πβ = y 1cot cot 0.2

πβ = = Sustituyendo este último valor en (3)´ obtene-

mos 1 2

1 2

10 ,

m m

m m

+ ⋅=

−de donde m

1 · m

2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m

1 · m

2 = 1.−

Recíprocamente, si m1 · m

2 = 1,− entonces 1

2

1,m

m= − y como 2 2tan ,m θ= y 1 1tan ,m θ= se tiene que

1 22

1tan cot

tanθ θ

θ= − = − , de donde, sin pérdida de generalidad, hemos escogido la recta l

1 con mayor inclina-

ción 1.θ Teniendo en cuenta que tanto 1θ como 2θ son ángulos positivos y menores que 180º, concluimos que

1 290º ,θ θ= + de lo cual 1 2 90ºθ θ− = y por tanto las rectas l1 y l

2 son perpendiculares.

Observaciones

i. Si las rectas l1 y l

2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0 y A

1x + B

1y + C

1 = 0, puesto

que 1

Am

B= − y

12

1

,A

mB

= − entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden

enunciarse en la siguiente forma:

11 2 1 1

1 1 1

0.AA A B

l l AB A BB B A B

⇔ − = − ⇔ = ⇔ − =

11 2 1 1 1 1

1

1 0.AA

l l A A B B A A B BB B

⎛ ⎞⎛ ⎞⊥ ⇔ − − = − ⇔ ⋅ = − ⋅ ⇔ ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

ii. Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y suficiente para que dosrectas l

1 y l

2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones

Ax + By + C = 0 y A1x + B

1y + C

1 = 0 son coincidentes.

1 1 11 1 1, , .

A B CA kA B kB C kC

A B C⇔ = = ⇔ = = =

Distancia de un punto a una recta

Teorema

Sea P(x1, y

1)un punto que no pertenece a la recta de ecuación 0.Ax By C+ + = La distancia d del punto P a la recta l

viene dada por medio de la fórmula

1 1

2 2.

Ax By Cd

A B

+ +=

+

Demostración

Vea los ejercicios 12 y 13 de la sección 4.11 de la página web: http:// huitoto.udea.edu.co/Matematicas/

Se recomienda a los estudiantes lectores de este apéndice mirar los ejemplos resueltos y desarrollar los ejercicios propues-tos en las secciones 4.11 y 4.12 de la misma página.

Apéndice II

348

3 Funciones y sus gráficas

Introducción

Quizás la idea central en la matemática sea el concepto de función. En la historia de la matemática parece ser René Descartesquien introdujo primeramente en el año 1637 el concepto de función, para significar la potencia entera de la variable x.Posteriormente Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) utilizó dicho concepto para denotar las cantidades asociadas a unacurva. Leonhard Euler (1706-1783) lo utilizó luego para identificar la relación entre variable y constantes en una fórmula.Pero la definición que se usa actualmente de función es debida a Peter Dirichlet (1805-1859), la cual describe una funcióncomo una regla de correspondencia entre dos conjuntos.

Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna regla, ley o procedimiento quepermita asignar un valor único de y para cada valor que se considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores.

Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática, como ocurre por ejemplo con elárea y de un círculo, en función del radio x, y = π x2; otras veces es difícil o aun imposible hallar la fórmula matemática querelaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x.

Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y), independientemente de si la ley oregla que relaciona las variables x e y es de tipo matemático, empírica o simplemente descriptiva.

Definiciones

i. Sean A y B dos conjuntos no vacíos.

Una función de A en B es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.

Se usan indistintamente los símbolos

:f A B→ fA B⎯⎯→

( )x y f x→ = ( )x y f x=

para expresar que «f» es una función de A en B y que además al elemento x de A le corresponde el elemento y (imagende x mediante f) de B.

ii. Al conjunto A se le llama dominio de la función y se denotará por el símbolo D (f).

Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama rango de lafunción y se denotará por el símbolo r (f).

Apéndice III

Apéndice III


Observaciones

i. Para los conceptos del cálculo que se desarrollan, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general

subconjuntos de ;ℜ de esta forma, la función

:f A B⊂ℜ→ ⊂ℜ se llamará función real de variable real.

ii. En la expresión y = f (x) que expresa la correspondencia entre los elementos x de A con los y de B, la letra x se llamavariable independiente y la letra y se denomina variable dependiente.

En el siguiente ejemplo se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora.

Considere los conjuntos:

{ }, , , ,A a b c d e= y { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,B = y la función :f A B→ definida por medio del diagrama de la figura 1:

Figura 1Se tiene entonces que:

La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f (a) = 5.La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f (b) = 3.La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f (c) = 7.La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f (d) = 0.La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f (e) = 5.

Ahora,

{ }( ) , , , , ,D f A a b c d e= =

{ }( ) 0,3,5,7 .r f B= ⊂

En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función sino solamente la regla o correspondencia entresus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso se dice que el dominioes el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la «regla» o «correspondencia», o más precisamente, losvalores para los cuales f (x) es un número real.

Más adelante se ilustrará la manera de proceder en estos casos.

350

3.1 Gráfica de una función

En las aplicaciones es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una ecuación o una tabla la relación queexiste entre las variables de una función. Las ecuaciones y tablas que corresponden a una función por lo general requierenalgunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información contenida en ellas.

Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las variables x e y, la gráfica de f esla gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación. Másprecisamente:

Definición

Sea :f A B⊂ℜ→ ⊂ℜ una función real de variable real. La gráfica de f es el conjunto de puntos 2( , )x y ∈ℜ tales que

la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es decir,

gráfica de f = { }2( , ) : ( ), ( ) .x y y f x x D f∈ℜ = ∈

Observación

La restricción dada en la definición de función de que no existen dos parejas distintas que tengan la primera componenteigual se traduce en la gráfica de la función de la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en más deun punto (criterio de la recta vertical).

Figura 2

Así por ejemplo, la gráfica de la figura 2a corresponde a la gráfica de una función (la recta vertical sólo corta la gráfica en elpunto A), mientras que la figura 2b no corresponde a la gráfica de una función. Nótese que la recta vertical corta la gráficaen más de un punto: A, B y C.

En el capítulo 4 del texto se trazaron las gráficas de muchas funciones, definiendo y especificando otros elementos teóricosútiles (asíntotas, máximos, mínimos, concavidad) que permiten ver con mayor claridad la relación entre las variables x e y deuna función y = f (x).

Apéndice III


3.1.1 Algunas funciones especiales

A continuación se describen algunas funciones especiales y los nombres con que se les conoce en el lenguaje matemático.Además se muestra una gráfica aproximada de cada una de ellas.

i. Función exponencial de base a (figura 3)

: ,f +ℜ→ℜ

( ) , 0, 1.xx y f x a a a= = > ≠

Figura 3

ii. Función logarítmica de base a (figura 4)

: ,f +ℜ →ℜ

( ) log , 0, 1.ax y f x x a a= = > ≠

Figura 4

352

iii. Función lineal (figura 5)

: ,f ℜ→ℜ

( ) ,x y f x mx b= = +

que corresponde a la línea recta de pendiente m e intercepto b con el eje y.

Figura 5

iv. Función cuadrática (figura 6)

: ,f ℜ→ℜ2( ) ,x y f x ax bx c= = + +

donde , ,a b c∈ℜ y que corresponde a una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a.

En la figura 6 aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como casoparticular, se ha trazado la curva y = x2 (figura 6c).

(a) (b) (c)

Figura 6

Apéndice III


v. Ramas de circunferencia (figura 7)

La ecuación en forma implícita x2 + y2 = r2, que corresponde a una circunferencia centrada en el origen y radio r, ycuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), genera, sin embargo, dos funciones llamadas ramas decircunferencia y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

x2 + y2 = r f : [–r, r]→ℜ f : [–r, r]→ℜ2 2( )x y f x r x= = − 2 2( )x y f x r x= = − −

Rama superior de la circunferencia Rama inferior de la circunferencia

Figura 7

vi. Ramas de elipse (figura 8)

La ecuación en forma implícita 2 2

2 21,

x y

a b+ = con , , y ,∈ℜ >a b a b corresponde a una elipse centrada en el origen y

eje mayor 2a y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical) y genera dos funciones llamadas ramas deelipse, cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

2 2

2 21

x y

a b+ = f : [ − a, a] →ℜ f : [ − a, a]→ℜ

2 2( )b

x y f x a xa

= = − 2 2( )

bx y f x a x

a= = − −

Rama superior de la elipse Rama inferior de la elipse

Figura 8

354

vii. Ramas de parábola (figura 9)

La ecuación en forma implícita y2 = x corresponde a una parábola abierta hacia el eje x positivo y cuyo vértice y focoson respectivamente los puntos V (0, 0) y F (1/2, 0). Su gráfica no es una función (criterio de la recta vertical); sinembargo, genera dos funciones llamadas ramas de parábola, cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

y2 = x { }: 0f +ℜ ∪ → ℜ { }: 0f +ℜ ∪ →ℜ

x y y x= = x y y x= = −Rama superior de la parábola Rama inferior de la parábola

Figura 9

viii. La ecuación en forma implícita x · y = 1 corresponde a una curva llamada hipérbola equilátera y genera la función

f: { }0 ,ℜ− →ℜ

1( ) ,x y f x

x= =

cuya gráfica aparece en la figura 10.

Figura 10

Apéndice III


ix. Función polinómica de grado n

20 1 2

: ,

( ) ... ,nn

f

x y f x a a x a x a x

ℜ→ℜ

→ = = + + + +

en donde a0, a

1, a

2,...,a

n son números reales.

Casos particulares

1. La función definida por y = f (x) = a0 (a

0 una constante) se llama función constante y su gráfica corresponde a una

recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x (figura 11) según el signo de a

0.

Figura 11

2. La función definida por y = f (x) = a0 + a

1x se llama función lineal (ver iii).

3. La función definida por y = f (x) = x se llama función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por elorigen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x (figura 12).

Figura 12


1x + a

2x2 se llama función cuadrática (ver iv).

356


1x + a

2x2 + a

3x3 se llama función cúbica. Entre estas cúbicas se destaca una

por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se trata de la función y = f (x) = x3, llamada parábola cúbica, cuyagráfica aparece en la figura 13.

Figura 13

x. Función mayor entero menor o igual a x

: .f ℜ→

( ) ,x y f x x n= = =

en donde n es un número entero tal que 1.n x n≤ < +

La expresión x se lee: «mayor entero que no supera a x».

Así, para 0.85, 0.85 0.x x= = =

También, 1.35 1, 2.4 3.= − = −

La gráfica de la función se muestra en la figura 14 y está constituida por una serie de segmentos unitarios, faltándolea cada uno su extremo derecho.

Figura 14

Apéndice III


xi. Función definida a tramos

: ,f A⊂ℜ→ℜ

1 1

2 2

( ) si

( ) si

.( )

.

.

( ) sin n

f x x D

f x x D

x y f x

f x x D

∈⎧⎪ ∈⎪⎪⎪= = ⎨⎪⎪⎪

∈⎪⎩

en donde 1 2 3 ........... nD D D D A∪ ∪ ∪ ∪ = (dominio de f).

Casos particulares

1. Función valor absoluto

{ }: 0 ,f +ℜ→ℜ ∪

si 0

si 0

x xx y x

x x

≥⎧= = ⎨− <⎩

La gráfica de la función valor absoluto está formada por las rectas perpendiculares y = x y y = − x (figura 15).

Figura 15

2. Función signo

{ }: 1, 0, 1f ℜ→ −

1 si 0

( ) 0 si 0

1 si 0

x

x y f x x

x

− <⎧⎪= = =⎨⎪ >⎩

Su gráfica se muestra en la figura 16 y está constituida por el origen de coordenadas y dos semirrectas a las cuales lesfalta el punto inicial.

358

Figura 16

Note que el dominio es el conjunto ,ℜ mientras que el rango es el conjunto {–1, 0, 1}.

xii. Función racional

: ,f ℜ→ℜ

( )( ) ,

( )n

m

P xx y f x

Q x= =

en donde Pn (x) y Q

m(x) son polinomios de grados n y m, respectivamente.

Nótese que el dominio de una función racional f viene dado por

{ } { }( ) : ( ) 0 : ( ) 0 .m mD f x Q x x Q x= ∈ℜ ≠ =ℜ− ∈ℜ =

Es decir, el dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores que anulan el denominador.

3.2 Funciones algebraicas y trascendentes

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variablex y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potenciasy extracción de raíces.

Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por

( )( )

3

2 / 3

5.

3

xy

x

+=

+

Se llama función trascendente aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas.Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:

sen .xy e x= +3 .xy =

2log 5.y x= +

Apéndice III


3.3 Funciones pares e impares

Definiciones

i. Una función f es par si los números x y x− están en su dominio y además

f ( − x) = f (x).

ii. Una función f es impar si los números x y x− están en su dominio y además

( )f x− = − f (x).

Observaciones

i. Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y(figura 17).

Figura 17

También es evidente que toda función racional que sólo contiene potencias pares (x0, x2, x4, ...) de la variable x, es par.

Así, la función 2

4 2

1( )

2 1

xy f x

x x

−= =

+ + es par.

ii. Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (figura 18).

Figura 18

360

3.4 Funciones periódicas

Definición

Una función es periódica con periodo P ≠ 0 si su dominio contiene al número (x + P) siempre que contenga a x, y si además

f(x + P) = f (x) para todo ( ).x D f∈

El mínimo número positivo P con esta propiedad se denomina periodo primitivo de f.

La definición anterior significa, geométricamente, que para cualquier ( )a D f∈ la gráfica entre a y (a + P) es exactamente

igual a la gráfica entre (a + P) y (a + 2P), y así sucesivamente (figura 19).

Figura 19

Son ejemplos de funciones periódicas:

1. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante, que tienen periodo P = 2π, mientras que lasfunciones tangente y cotangente tienen periodo P = π.

En efecto,

Si f (x) = sen x, entonces f (x + 2π) = sen (x + 2π) = sen x = f (x).Si g (x) = cos x, entonces g (x + 2π) = cos (x + 2π) = cos x = g (x).Si h(x) = tan x, entonces h (x + π) = tan (x + π) = tan x = h (x).

En la figura 20 aparecen las gráficas de las funciones trigonométricas en las cuales se indica el periodo correspon-diente.

Apéndice III


Figura 20

2. La función constante (sección 3.1.1) f (x) = k es una función periódica, puesto que para cualquier número P, f (x + P) = k = f (x).

Nótese, sin embargo, que esta función carece de periodo primitivo.

3.5 Operaciones con funciones

Definición

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:

i. Suma ( )( ) ( ) ( ).f g x f x g x+ = +

ii. Diferencia ( )( ) ( ) ( ).f g x f x g x− = −

iii. Producto ( )( ) ( ) ( )· · .f g x f x g x=

iv. Cociente ( ) ( )( )

.f xf

xg g x

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Nota: en cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante es la intersección de los dominios de f y g. Enel caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

362

v. Composición de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva función llamada la «compues-ta de f y g».

Sean :f A B→ y :g B C→ dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera. Aunque sólo es suficiente que únicamente sea una parte de él, es decir, *B B⊂ (figura 21).

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar laimagen de cualquier x ∈ A mediante f, y luego obtener la imagen de f (x) ∈ B mediante g.

Figura 21Definición

Sean :f A B→ y :g B C→ dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g f), es la función:

: ,g f A C→

( )( ) ( ( )).x g f x g f x=

Así por ejemplo, si f y g son las funciones definidas por

3( )

2

xf x

−= y ( ) ,g x x=

entonces,

( ) ( ) ( )( ) 3( ) ,

2

xg f x g f x f x

−= = =

( )( ) ( )( ) ( ) 3 3.

2 2

g x xf g x f g x

− −= = =

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general

( )( ) ( )( ).g f x f g x≠

Se debe tener también cuidado con los dominios de g f y de f g. El dominio de g f es la parte del dominio de f, paralos cuales g acepta a f (x) como preimagen.

Esto es, D (f ) = .ℜ

Apéndice III


Ahora, como g sólo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales 3

( ) 0 0 3,2

xf x x

−≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ se

concluye entonces que D(g f) = [3, ).+∞

Nótese que (g f) (1) = g (f (1)) = g ( 1)− no está definido.

Igualmente, (g f) (2) = g (f (2)) = g ( 1/ 2)− no está definido.

También, el dominio f g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g (x) como preimagen.

Es decir, [ )( ) 0, .D g = +∞

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular los valores de g en el intervalo D(g) = [0, ).+∞De esta forma,

D (f g) = [0, ).+∞

En el cálculo se necesita a menudo escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse devarias maneras.

Así por ejemplo, la función 2( ) 3 5 2P x x x= + + puede escribirse en las formas:

P(x) = (g f) (x), siendo 2( ) 3 5 2f x x x= + + y ( ) ,g x x=

P(x) = (g f) (x), siendo 2( ) 3 5f x x x= + y ( ) 2.g x x= +

En efecto, ( )( ) ( )( ) ( )2 23 5 2 3 5 2g f x g f x g x x x x= = + + = + + en el primer caso, y

( )( ) ( )( ) ( )2 23 5 3 5 2g f x g f x g x x x x= = + = + + en el segundo.

3.6 Clasificación de las funciones

3.6.1 Funciones monótonas

Definiciones

Sea f (x) una función definida en [a, b].

i. f es creciente en [a, b] si y sólo si se cumple que

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ⇒ < [ ]1 2, , .x x a b∀ ∈

ii. f es decreciente en [a, b] si y sólo si se cumple que

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ⇒ > [ ]1 2, , .x x a b∀ ∈

364

iii. f es monótona en [a, b] si y sólo si f es creciente o decreciente en [a, b].

Las gráficas siguientes (figura 22) ilustran las definiciones anteriores.

Función creciente Función decreciente

No es ni creciente ni decreciente

Figura 22

3.6.2 Funciones inyectivas

Definición

Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que

1 2 1 2( ) ( )f x f x x x= ⇒ = 1 2, ( ),x x D f∀ ∈

o equivalentemente,

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ 1 2, ( ).x x D f∀ ∈

Apéndice III


En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f existe exactamente una y en el rango, y ninguna y en elrango es imagen de más de una x en el dominio.

Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criteriose conoce como criterio de la recta horizontal.

Criterio de la recta horizontal

Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y sólo un punto, entonces f es 1-1.

Así por ejemplo, en la figura 23a aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1, la cual, de acuerdo al criterio de la rectahorizontal, no corresponde a una función 1-1.

Nótese que la recta y = 2 corta la gráfica en más de un punto: P1

( 1,− 2) y P2 (1, 2).

Figura 23

Igualmente, en la figura 23b aparece la gráfica de la función y = x3 – 1, la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal,corresponde a una función 1-1.

Nótese que toda recta horizontal corta a la gráfica en uno y sólo un punto.

Si se analiza un poco más la gráfica de la función en la figura 23b, se nota además que f es una función creciente en sudominio, y como toda función creciente (o decreciente), siempre tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x,se sigue entonces que toda función creciente (o decreciente) en su dominio es 1-1.

3.7 Funciones inversas

Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en esta sección, se toma nuevamente la funciónf de la figura 23b que está definida por la ecuación

y = f (x) = x3 – 1, (1)

y cuyo dominio y rango es el conjuntoℜ de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene

3 1.x y= + (2)

366

Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de ),ℜ existe

uno y sólo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominioes el rango de f y cuyo rango es el dominio de f.

Así por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2 un único valor de y, en este caso y = 23 – 1 = 7.

La segunda ecuación efectúa la operación inversa, es decir, al valor y = 7 le asigna el valor de 3 7 1 2.x = + =

Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente, se intercambia x cony en la ecuación (2) y así se obtiene

3 1.y x= + (3)

La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por 1f − se conoce como la inversa de la función f

definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la inversa de la función 1f − definida por (2).

Es decir,

3 1 3( ) 1 ( ) 1.y f x x y f x x−= = − ⇔ = = +

Las gráficas de f (x) y de f –1 (x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen en la figura 24.

Figura 24

Considere ahora la función y = f (x) = x2 + 1 cuya gráfica se muestra en la figura 23a.

El dominio de f lo constituye el conjuntoℜ de los números reales y el rango es el intervalo [1, ).∞

Al despejar x, se obtiene 1.x y= ± −

Apéndice III


Esta última ecuación dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, yen consecuencia esta última ecuación no define una función. En este caso se dice que la función y = f (x) = x2 + 1 no tieneinversa o que f –1 no existe.

De los dos ejemplos anteriores se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1.

Definición

Sea :f A B→ una función 1-1.

( ).x f x

La inversa de f, denotada f –1, es la función

1 : ,f B A− →1( ),x f x−

tal que

f –1 ( f (x) ) = x para cada x ∈ A (dominio de f).

f (f –1 (x) ) = x para cada x ∈ B (dominio de f –1).

Nótese que D (f) = r(f –1) ∧ r (f) = D(f –1).

Se debe tener cuidado con el ( 1)− usado en f –1. El ( 1)− no es un exponente, sino simplemente un símbolo para denotar la inversa.

Como ejemplo ilustrativo considere nuevamente la función definida por la ecuación y = f (x) = x3 – 1. Se tiene:

1

3 1 3

::

( ) 1 ( ) 1

es 1 1

ff

x f x x x f x x

f

−

−

⎧ ℜ → ℜℜ → ℜ⎧⎪⎪ ⎪= − ⇒ = +⎨ ⎨

⎪ ⎪−⎩ ⎪⎩

en donde f y f –1 son inversas una de la otra. Además,

( )( ) ( ) ( )1 1 3 331 1 1 , ( ) ,f f x f x x x x D f− −= − = − + = ∈ = ℜ

( )( ) ( ) ( )31 13 31 1 1 , ( ) .f f x f x x x x D f− −= + = + − = ∈ = ℜ

Como se mencionó antes, la función [ ): 1, ,f ℜ → +∞

2( ) 1,x f x x= +

no tiene inversa (pues f no es 1-1).

Sin embargo, dicha función genera dos funciones:

368

( ] [ )2

: ,0 1,

( ) 1,

f

x f x x

−∞ → +∞

= +y

[ ) [ )2

: 0, 1,

( ) 1.

g

x g x x

+∞ → +∞

= +

que son 1-1 en sus respectivos dominios (figura 25) y en consecuencia tienen inversa.

Figura 25

Para la función f se tiene:

( ] [ ) [ ) ( ]1

2 1

: ,0 1, : 1, ,0

( ) 1, ( ) 1.

f f

x f x x x f x x

−

−

−∞ → +∞ ⇒ +∞ → −∞

= + = − −

Las gráficas de f y f –1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la figura 26.

Figura 26

Igualmente, para la función g se tiene:

[ ) [ ) [ ) [ )1

2

: 0, 1, : 1, 0,

( ) 1, ( ) 1.

g g

x g x x x g x x

−+∞ → +∞ ⇒ +∞ → +∞

= + = −

Apéndice III


Las gráficas de g y g–1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la figura 27.

Figura 27

Además,

( )( ) ( )1 1 2 1f f x f x− −= + ( )2 1 1x= − + −

2x= −

2x= − (propiedad VA6)

x= −

.x= (definición de x )

Es decir,

( )( )1f f x x− = para cada ( ],0 ( ).x D f∈ −∞ =

Igualmente,

( )( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 1 1 1 .f f x f x x x x− = − − = − − + = − + =

Es decir, ( )( )1f f x x− = para cada [ ) ( )11, .x D f −∈ +∞ =

Se deja para el lector el hacer las mismas consideraciones para la función g y su inversa g–1.

Observación

Nótese en las figuras 26 y 27 que las gráficas de f y 1f − (g y g–1) son simétricas con respecto a la recta y = x.

El teorema que se presenta a continuación, sin demostración, establece condiciones suficientes para la existencia de lafunción inversa.

370

Teorema 1: Existencia de la función inversa

i. Sea f una función definida, continua y creciente en el intervalo I y de rango un subconjunto A de .ℜ Entonces 1f −

existe, es continua y creciente en A.

ii. Sea f una función definida, continua y decreciente en el intervalo I y de rango un subconjunto A de .ℜ Entonces 1f −

existe, es continua y decreciente en A.

Uno de los resultados más importantes del cálculo diferencial es el que establece la relación entre la derivada de una funcióny la derivada de su inversa, cuando existe, y sea derivable.

El teorema que se enuncia a continuación permite hallar la derivada de la función inversa, en términos de la derivada de lafunción directa.

Teorema 2: Derivada de la función inversa

Sea f una función monótona y derivable en un intervalo I y tal que f ́ (x0) ≠ 0, con 0 .x I∈ Entonces 1f − es derivable en f (I)

y su derivada en y0 = f (x

0) viene dada por

( )10

0

1( ) .

( )f y

f x− ′ =

′

No se hace la demostración del teorema, pero sí se hace notar que la forma en la que se plantea aparece de manera natural.En efecto, como vimos al final de la sección 3.7 del presente apéndice III,

( ) ( )1 1( ) ( ) .f f x x f f x x− −= ⇔ =

Tomando derivada con respecto a x en ambos miembros de la última igualdad, y teniendo en cuenta que:

( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( )xD f f x f f x f x− − ′ ′= ⋅ (RD10)

( ) 1xD x = (RD2)

se tiene entonces que

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1( ) ( ) 1 ( ) .

( )f f x f x f f x

f x− −′ ′′⋅ = ⇔ =

′

En particular, como 0 0( ),y f x=

( ) ( ) ( )1 10 0

0 0

1 1( ) ( ) .

( ) ( )f f x f y

f x f x− −′ ′= ⇔ =

′ ′

Apéndice III


Observación

Cuando se utiliza la notación de Leibniz para la derivada, resulta del teorema una igualdad bastante sugestiva entre las dosderivadas. Es decir,

si y = f (x) con derivada dy

dx y, x = f –1(y) es su inversa, con derivada

dx

dy , entonces el teorema de la derivada de la

función inversa nos dice que

1,

dxdydydx

=

igualdad cuya forma simple hace parecer (por supuesto sin serlo) el resultado del teorema como una igualdadalgebraica trivial.


1. Edwards CH, Penny DE. 1996. 4.a ed. Cálculo con geometría analítica. Méxi-co: Prentice Hall.

2. Larson RE, Hostetler RP. 1998. Cálculo. 6.a ed. Madrid: McGraw-Hill Interame-ricana.

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Bibliografía

Ude@Educación no presencial

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