electrotecnia unidad ii ccc(2)
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ntes de iniciar el estudio sobre los circuitos de corriente continua y sus parámetros,
es necesario conocer que el sistema referencial de unidades utilizado en electricidad
es el Sistema Métrico Internacional de Unidades (S.I.), cuyas unidades básicas son:
longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura termodinámica, intensidad de luz y
cantidad de sustancia, además de sus 2 unidades complementarias: el ángulo plano y el
ángulo sólido. La mayoría de las unidades que se utilizan en electricidad tales como el
coulomb (combinación de Ampere y segundo), se derivan de las unidades básicas del S.I.
Ver tabla N°1 Tabla N° 1: Unidades de electricidad derivadas del S.I.
Parámetro Unidad Símbolo
Energía joule J
Fuerza
Potencia
Carga eléctrica
Potencial eléctrico
Resistencia eléctrica
Conductancia eléctrica
Capacitancia eléctrica
Inductancia eléctrica
Frecuencia
Flujo magnético
Densidad de flujo magnético
newton
watt
coulomb
volt
ohm
siemens
farad
henry
hertz
weber
tesla
N
W
C
V
Ω
S
F
H
Hz
Wb
T
En muchas ocasiones debemos manejar magnitudes numéricamente muy grandes y/o muy
pequeñas en algunos parámetros eléctricos tales como: Resistencia, corriente, potencia y
capacitancia, entre otros. Por tal razón, es necesario utilizar los prefijos establecidos en el
Sistema Internacional de unidades. La Fig. N° 8, muestra en el orden correspondiente, la
posición de algunos prefijos, entre ellos, los más utilizados en electricidad.
A
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura N° 8: Posición de los algunos prefijos del S.I.
T (tera) → billón = 1012
G(giga) → mil millones ó millardo = 109
M (mega) → millón = 106
K (kilo) → mil = 103
Referencia = 100
m (mili) → milésima = 10-3
µ (micro) → millonésima = 10-6
η (nano) → mil millonésima = 10-9
ρ(pico) → billonésima = 10-12
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Podemos utilizar estos prefijos como una manera adecuada para expresar magnitudes
demasiado grandes o demasiado pequeñas, según el caso.
Por ejemplo:
65.000.000 = 65 M es decir: 65 X 106
0,000000000923 = 923 ρ es decir: 923 X 10-12
0,0000000875901 = 87,6 η es decir: 87,6 X 10-9
Si queremos convertir una magnitud grande, en una más grande o en una más pequeña,
debemos hacer el siguiente análisis:
1º. Comparar la magnitud original con la que se quiere obtener, para saber cual es mayor.
2º. Ubicar la posición de ambas magnitudes para establecer el procedimiento a seguir con
el factor de conversión (multiplicar o dividir)
3º. Ejecutar la operación matemática
4º. Presentar la solución.
Si la magnitud original es mayor que la segunda, debemos multiplicar.
Por ejemplo:
Si queremos saber, ¿cuántos metros hay en 12 kilómetros? hacemos lo siguiente:
Ubicamos los datos
12 Km a m
Comparamos ambas magnitudes y observamos que la original (12 Km), es
mayor que la segunda (m). Por ende, debemos multiplicar.
Determinamos el exponente (de base 10) que necesitaremos para el factor
de conversión. Para este ejemplo, es 103 porque m (metro), representa la
referencia del parámetro longitud. Si observamos la Fig. N° 8, entre el
prefijo K = 103 y la referencia = 100, existe sólo un (1) espacio o escalón. La
diferencia exponencial entre cada espacio es 3, por tanto el exponente
resultante es 3.
Realizamos la operación matemática
12 x 103 =12.000 m
Presentamos la respuesta solicitada
En 12 Km hay 12.000 m
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En cambio, si la magnitud original es menor que la segunda, debemos dividir.
Por ejemplo:
¿Cuántos Km hay en 18 metros?
Ubicamos los datos
18 m a Km
Comparamos ambas magnitudes y observamos que la original (18 m), es
menor que la segunda (Km). En consecuencia, debemos dividir, es decir, el
signo del exponente será negativo (-).
Determinamos el exponente que necesitaremos para el factor de conversión
según la posición de las diferentes magnitudes, apoyándonos en la Fig. N° 8.
De “metro” a “kilómetro” tenemos sólo un (1) espacio o escalón y la
diferencia exponencial entre cada espacio es 3, por tanto el exponente para
este caso es 3.
Realizamos la operación matemática
18 x 10-3 =0,018 Km
Presentamos la respuesta solicitada
En 18 m hay 0,018 Km
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
Convierte las siguientes magnitudes, según lo solicitado:
1) ¼ x 105 µ → K
Solución:
¼ = 0,25 entonces el ejercicio lo podemos reescribir así: 0,25 x 105 µ → K
Ahora, comparando las magnitudes observamos que la original (µ) es menor que la
segunda (K), en consecuencia debemos dividir, por tanto, el exponente del factor de
conversión será negativo. Apoyándonos en la Fig. N° 8, vemos que de µ a K existen
3 espacios o escalones (m, referencia y K), si cada escalón tiene una diferencia
El signo del exponente (del factor de conversión), indica la operación real:
Multiplicación (+) o División (-)
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exponencial de 3, entonces el exponente total en estos 3 escalones es 9. Así, el
exponente del factor de conversión será “9 negativo”.
0,25 x 105 x 10-9 K
Procedemos a realizar la operación matemática y presentar el resultado solicitado
0,25 x 105 x 10-9 K = 0,25 x 105-9 K = 0,25 x 10-4 K
El exponente resultante (-4) significa que al coeficiente (0,25) debemos correrle la
coma 4 lugares a la izquierda. Quedando: 0,000025 K
Entonces: ¼ x 105 µ, es igual a 0,000025 K
2) ¼ x 105 K → µ (el ejercicio anterior pero intercambiando los prefijos)
Solución:
Ya sabemos que ¼ = 0,25 por ende, reescribiremos el ejercicio: 0,25 x 105 K→ µ
Comparando las magnitudes, ahora observamos que la original (K) es mayor que la
segunda (µ), en consecuencia debemos multiplicar, por tanto, el exponente del
factor de conversión será positivo. Apoyándonos en la Fig. N° 8, vemos que de K a
µ existen 3 espacios o escalones (referencia, m y µ), si cada escalón tiene una
diferencia exponencial de 3, entonces el exponente total en estos 3 escalones es 9.
Así, el exponente del factor de conversión será “9 positivo”.
0,25 x 105 x 109 µ
Procedemos a realizar la operación matemática y presentar el resultado solicitado
0,25 x 105 x 109 µ = 0,25 x 105+9 µ = 0,25 x 1014 µ
Factor de conversión ente µ y K
Factor de conversión ente K y µ
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El exponente resultante (14) significa que al coeficiente (0,25) debemos correrle la
coma 14 lugares a la derecha. Quedando: 25.000.000.000.000 µ
Entonces: ¼ x 105 K, es igual a 25.000.000.000.000 µ
También lo podemos expresar como: 25 x 1012 µ, es decir, de los 14 lugares que
debíamos correr la coma, sólo corremos 2 lugares y dejamos expresados los 12
lugares que faltan por recorrer.-
3) 12,33 x 10-7 M → η
Solución:
Comparando las magnitudes, observamos que la original (M) es mayor que la
segunda (η). Debemos multiplicar, por tanto, el exponente del factor de conversión
será positivo. De M a η existen 5 espacios o escalones (K, referencia, m, µ y η), si
cada escalón tiene una diferencia exponencial de 3, entonces el exponente total en
estos 5 escalones es 15. El exponente del factor de conversión será “15 positivo”.
12,33 x 10-7 x 1015 η
Procedemos a realizar la operación matemática y presentar el resultado solicitado
12,33 x 10-7 x 1015 η = 12,33 x 10-7+15 η = 12,33 x 108 η
El exponente resultante (8) significa que al coeficiente (12,33) debemos correrle la
coma 8 lugares a la derecha. Quedando: 1.233.000.000 η
Entonces: 12,33 x 10-7 M es igual a 1.233.000.000.000 η
También lo podemos expresar como 1.233 x 109 η
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4) 6,487 ρ → m
Solución:
Análisis
Como ρ es menor que m, dividimos (el signo del exponente del factor de
conversión será negativo). De ρ a m existen 3 espacios o escalones, ello implica que
el exponente será “9 negativo”.
Operación matemática y respuesta solicitada
6,487 x 10-9 m = 0,000000006487 m
ó también
0,06487 x 10-7 m
Es decir, de los 9 lugares que debía correrse la coma, sólo corrimos 2, quedando 7
por recorrer.-
5) 14 x 100 µ→ ρ
Solución:
Análisis
Como µ es mayor que ρ, multiplicamos (el signo del exponente del factor de
conversión será positivo). De µ a ρ existen 2 espacios o escalones, ello implica que
el exponente será “6 positivo”.
Operación matemática y respuesta solicitada
14 x 100 x 106 ρ = 14 x 100+6 ρ = 14 x 106 ρ = 14.000.000 ρ
O también
1.400 x 104 ρ
Es decir, de los 6 lugares que debía correrse la coma, sólo corrimos 2, quedando 4
por recorrer.-
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EEjjeerrcciicciiooss pprrooppuueessttooss
Convierte las siguientes magnitudes:
1.- 6.387,3 mega a kilo R: 6.387.300 K
2.- 187,54 micro a nano R: 187.540 η
3.- 0,00467 mili a micro R: 4,67 µ
4.- 2/3 x 103 kilo a mega R: 0,66 M
5.- 107 pico a mili R: 0,01 m
6.- 6.387,3 kilo a mega R: 6,3873 M
7.- 187,54 nano a micro R: 0,18754 µ
8.- 0,00467 micro a mili R: 4,67 x 10-6 m
9.- 2/3 x 103 mega a kilo R: 660 x 103 K
10.- 107 mili a pico R: 100 x 1014 ρ
VOLTAJES Y CORRIENTES CONTINUOS
La corriente continua (cc) o directa (cd), es el flujo de electrones en una sola dirección a
través de un conductor, entre dos puntos de distinto potencial. Esa unidireccionalidad se
debe a que la fuente de voltaje que la produce, tales como: baterías y celdas, mantienen la
misma polaridad en su voltaje de salida, como se observa en la Fig. N° 9. Estas fuentes de
voltaje reciben el nombre de voltaje de corriente continua.
El origen de la corriente continua se debe al invento de la pila eléctrica, por parte del
científico italiano AALLEESSSSAANNDDRROO VVOOLLTTAA en el año 1800, pero comenzó a emplearse para la
Figura N° 9: Gráficas del voltaje y la corriente continua
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transmisión de la energía eléctrica, a finales del siglo XIX. Uso que decayó en favor de la
corriente alterna por presentar esta última, menores pérdidas en la transmisión a largas
distancias. Actualmente, buscando un menor impacto medioambiental, se está extendiendo
el uso de generadores de corriente continua mediante celdas solares.
El deber ser de todo invento es, fundamentalmente, mejorar la calidad de vida del ser
humano. En consecuencia, se utiliza la corriente eléctrica como una de las principales
fuentes de alimentación para aquellos equipos que a nuestro entender, son necesarios para
alcanzar esa calidad de vida tanto individual como colectiva. Para el análisis del
funcionamiento de los equipos eléctricos, debemos conocer el significado de resistencia
eléctrica.
RESISTENCIA ELÉCTRICA
La resistencia es la oposición al paso de la corriente eléctrica.
Un resistor es un objeto cuya resistencia al paso de la
corriente tiene un valor específico conocido, se representa
por la letra R y su unidad de medida es el Ohm (Ω). Un Ohm,
es la cantidad de resistencia que limita la corriente en un
conductor, a un (1) Ampere cuando el voltaje aplicado es un
(1) volt.
Existen dos tipos de resistores: Fijos y variables.
1. Resistores fijos
Su valor de resistencia permanece constante en condiciones normales. Los dos tipos
principales de resistores fijos son: los que contienen alguna composición de carbono y los
de alambre enredado o devanado
Resistores con composición de carbono: El elemento
resistivo es principalmente grafito o alguna otra forma de
carbono sólido, cuidadosamente elaborado para
proporcionar la resistencia deseada. Estos resistores
generalmente son de bajo costo y su valor de resistivo va
desde 0.1 hasta 22 M. La resistencia real de un
resistor puede ser mayor o menor que su valor nominal. El
límite de la resistencia real se denomina tolerancia. Las
tolerancias comunes de los resistores de composición de
carbono son 5%, 10% y 20%.
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Resistores de alambre enrollado o devanado:
El elemento resistivo es alambre de Niquel-Cromo,
devanado en una barra de cerámica que luego, se cubre
con algún material cerámico o con un esmalte especial.
Se construyen desde 1 hasta 100 k
Los resistores de alambre devanado tienen generalmente
una tolerancia de 5%.
La ventaja de usar resistores de alta tolerancia (siempre que sea permisible en el circuito)
se debe a que son de menor costo en comparación con resistores de baja tolerancia.
La potencia nominal de un resistor (comúnmente llamada vatiaje) indica cuánto calor
puede disipar sin que sufra ningún daño. Por tanto, si en un resistor se genera más calor
del que pueda disipar, su vida útil disminuirá en correspondencia con la cantidad del calor
excesivo. Los resistores de composición de carbono tienen especificaciones de vatiaje
desde 1/16 hasta 2 W, mientras que los resistores de alambre tienen una nominación
desde 3W hasta algunos centenares de Watts. El tamaño físico de un resistor no es
representativo del valor de su resistencia. Un resistor pequeño, puede tener una
resistencia muy baja o muy alta, sin embargo, el tamaño físico sí representa el valor de su
potencia nominal.
2. Resistores Variables
Los resistores variables se usan para cambiar o variar la cantidad de resistencia en un
circuito y reciben el nombre de potenciómetros o reóstatos. Por lo general, los
potenciómetros consisten en elementos de composición de carbono mientras que, su
elemento resistivo está hecho generalmente de alambre, el contacto con el elemento
resistivo estacionario se hace por medio de un brazo deslizante.
Valores resistivos, según las bandas de color.
Para determinar el valor Óhmico (Ω) de las resistencias de carbón, se estableció como
lenguaje técnico, un código formado por 4 Bandas de color alrededor del cuerpo de la
resistencia, cuyo valor varía según la ubicación de la banda. La primera Banda de color, se
reconoce por su gran proximidad a uno de los extremos.
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.
¿Cómo se interpreta?
De la siguiente manera:
La primera banda de color en la resistencia, indica el primer dígito significativo.
La segunda banda indica el segundo dígito significativo.
La tercera banda, indica el exponente (de base 10), que multiplicará a los dos
dígitos anteriores.
Y la cuarta banda de color, indica el porcentaje de tolerancia entre el cual puede
oscilar el valor real de la resistencia.
Tabla N° 2: Código de colores para resistencias de carbón
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EEjjeemmpplloo iilluussttrraattiivvoo
Determinemos el valor Óhmico a la siguiente resistencia
Solución:
En primer lugar, asignamos el valor a cada color según su ubicación por
bandas, de la siguiente manera:
Color de la Primera Banda (1er dígito) → Azul = 6
Color de la Segunda Banda (2do dígito)→ Amarillo = 4
Color de la Tercera Banda (exponente)→ Rojo = 102
Color de la Primera Banda (tolerancia)→ Plata = 10%
En segundo lugar, formamos la expresión matemática correspondiente
64 X 102 ± 10%
Seguidamente realizamos la operación matemática, sabiendo que el 10% de
6.400 es 640
6.400 ± 640
Finalmente formamos el intervalo con los posibles valores para la resistencia
analizada, para ello, primero restamos 640 de 6.400 y luego sumamos 640 a
6.400, quedando:
(5.760 y 7.040) Ω
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EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
Determina el rango de valores de los siguientes resistores, según los colores mencionados:
1. Amarillo, azul, rojo, oro
Solución:
Color de la Primera Banda (1er dígito) → Amarillo = 4
Color de la Segunda Banda (2do dígito) → Azul = 6
Color de la Tercera Banda (exponente) → Rojo = 102
Color de la Primera Banda (tolerancia)→ Oro = 5%
Magnitud obtenida: 46 x 102 ± 5% = 4.600 ± 230
El mínimo valor del intervalo es 4.600 – 230 = 4.370
El máximo valor del intervalo es 4.600 + 230 = 4.830
El rango de valores del resistor es: (4.370 a 4.830) Ω
2. Verde, naranja, violeta
Solución:
Color de la Primera Banda (1er dígito) → Verde = 5
Color de la Segunda Banda (2do dígito) → Naranja = 3
Color de la Tercera Banda (exponente) → Violeta = 107
Color de la Primera Banda (tolerancia)→ Sin color = 20%
Magnitud obtenida: 53 x 107 ± 20% = 530.000.000 ± 106.000.000
El mínimo valor del intervalo es 530.000.000 - 106.000.000= 424.000.000
El máximo valor del intervalo es 530.000.000 + 106.000.000= 636.000.000
Debido a que es una cantidad bastante grande, podemos expresarla utilizando
los prefijos del S.I.
Entonces, el rango de valores del resistor es: (424 a 636) MΩ
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3. Amarillo, blanco, violeta, plata
Solución:
Amarillo = 4
Blanco = 9
Violeta = 107
Plata = 10%
49 x 107 ± 10% = 490 M ± 49 M
El mínimo valor es 441MΩ
El máximo valor es 539 MΩ
El rango de valores del resistor es:
(441 a 539) MΩ
4. Rojo, negro, azul, marrón
Solución:
Rojo = 2
Negro = 0
Azul = 106
Marrón = 1%
20 x 106 ± 1% = 20 M ± 200.000
El mínimo valor es 19,8 MΩ
El máximo valor es 20,2 MΩ
El rango de valores del resistor es:
(19,8 a 20,2) MΩ
5. Blanco, gris, amarillo
Solución:
Blanco = 9
Gris = 8
Amarillo = 104
Sin color = 20%
98 x 104 ± 20% = 980 K ± 196 K
El mínimo valor es 784 KΩ
El máximo valor es 1,176 MΩ
El rango de valores del resistor es:
(784 KΩ a 1,176 MΩ)
6. Violeta, negro, verde, verde
Solución:
Violeta = 7
Negro = 0
Verde = 105
Verde = 0,5%
70 x 105 ± 0,5% = 7 M ± 35 K
El mínimo valor es 6,965 MΩ El máximo valor es 7,035 MΩ
El rango de valores del resistor es:
(6,965 a 7,035) MΩ
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7. Gris, verde, naranja, oro
Solución:
Gris = 8
Verde = 5
Naranja = 103
Oro = 5%
85 x 103 ± 5% = 85 K ± 4,25 K
El mínimo valor es 80,75 KΩ
El máximo valor es 89,25 KΩ
El rango de valores del resistor es:
(80,75 a 89,25) KΩ
8. Negro, blanco, gris, plata
Solución:
Negro = 0
Blanco = 9
Gris = 108
Plata = 10%
9 x 108 ± 10% = 900 M ± 90 M
El mínimo valor es 810 MΩ
El máximo valor es 990 MΩ
El rango de valores del resistor es:
(810 a 990) MΩ
9. Azul, rojo, amarillo, oro
Solución:
Azul = 6
Rojo = 2
Amarillo = 104
Oro = 5%
62 x 104 ± 5% = 620 K ± 31 K
El mínimo valor es 589 KΩ
El máximo valor es 651 KΩ
El rango de valores del resistor es:
(589 a 651) KΩ
10. Marrón, marrón, marrón, marrón
Solución:
Marrón = 1
Marrón = 1
Marrón = 101
Marrón = 1%
11 x 10 ± 1% = 110 ± 1,1
El mínimo valor es 108, 9 Ω
El máximo valor es 111,1 Ω
El rango de valores del resistor es:
(108,9 a 111,1) Ω
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EEjjeerrcciicciiooss pprrooppuueessttooss
Determina el rango de valores de los siguientes resistores, según sus bandas de color:
1.- Amarillo, amarillo, amarillo R: (352 a 528) KΩ
2.- Blanco, rojo, rojo, plata R: (8,28 a 10,12) KΩ
3.- Gris, verde, marrón, oro R: (807,5 a 892.5) Ω
4.- Naranja, verde, azul, marrón R: (34,65 a 35,35) MΩ
5.- Violeta, azul, verde, oro R: (7,22 a 7,98) MΩ
6.- Azul, blanco, negro R: (55,2 a 82,8) Ω
7.- Verde, verde, verde, verde R: (5,4725 a 5,5275) MΩ
8.- Negro, marrón, rojo, rojo R: (98 a 102) Ω
9.- Marrón, amarillo, negro, oro R: (13,3 a 14,7) Ω
10.- Amarillo, verde, naranja R: (36 a 54) KΩ
11.- Amarillo, amarillo, amarillo, plata R: (396 a 484) KΩ
12.- Blanco, rojo, rojo, oro R: (8,74 a 9,66) KΩ
13.- Gris, verde, marrón R: (680 a 1.020) Ω
14.- Naranja, verde, azul R: (28 a 42) MΩ
15.- Violeta, azul, verde, plata R: (6,84 a 8,36) MΩ
16.- Azul, blanco, negro, plata R: (62,1 a 75,9) Ω
17.- Verde, verde, verde R: (4,4 a 6,6) MΩ
18.- Negro, marrón, rojo, oro R: (95 a 105) Ω
19.- Marrón, amarillo, negro, plata R: (12,6 a 15,4) Ω
20.- Amarillo, verde, naranja, plata R: (40,5 a 49,5) KΩ
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Los electricistas estamos mayormente expuestos a la corriente eléctrica, por ende, es
necesario que conozcamos los niveles de resistencia que posee nuestro cuerpo así como la
respuesta fisiológica de nuestro organismo ante ciertas magnitudes de corriente.
RReessiisstteenncciiaa ddeell ccuueerrppoo hhuummaannoo
Piel humana intacta y seca → 15.000 a 10.000 Ω/cm2
Piel húmeda → 100 a 150 Ω/cm2
Piel dañada → 100 a 150 Ω/cm2
RReessiisstteenncciiaa ddeell ccuueerrppoo bbaajjoo llaa ppiieell
Extremidades → 200 Ω por cada una
Tronco → 100 Ω
Todo el cuerpo → 500 Ω
RReessppuueessttaa ffiissiioollóóggiiccaa
1 mA → Umbral de percepción
10 mA → Efecto de retiro
50 mA → Parálisis respiratoria y dolor
Mayor a 0,1 A → Fibrilación Ventricular
Mayor a 1,0 A→ Contracción Sostenida del Miocardio
CIRCUITO ELÉCTRICO
La construcción de un circuito eléctrico, por lo general tiene como objetivo, contribuir a
mejorar la calidad de vida, ya sea resolviendo problemas u optimizando procesos. El
circuito eléctrico más sencillo, consta por lo menos de cuatro partes: Fuente energía
eléctrica, conductores, resistor (carga) y controlador.
La fuente de energía puede ser una fuente de tensión, una fuente de corriente o un
amplificador operacional, los conductores son alambres que conectan las diferentes partes
del circuito y permiten la circulación de corriente eléctrica, el resistor representa un
elemento que consume energía eléctrica (lámpara, timbre, tostador, radio, motor, entre
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otros) y el controlador puede ser un interruptor, una resistencia variable o algún fusible. El
circuito eléctrico tiene dos (2) posiciones: cceerrrraaddoo oo aabbiieerrttoo..
La posición “cerrado” (ON), representa una trayectoria carente de interrupciones para la
corriente que proviene de la fuente de energía, la cual llega a la carga y regresa a la fuente.
En cambio, la posición “abierto” (OFF), representa a una trayectoria con una interrupción
que impide el flujo de corriente.
Protección del circuito
Normalmente, con el objeto de proteger un circuito se le coloca un fusible, cuya función es
abrir el circuito cuando empieza a circular una corriente peligrosamente grande (corto
circuito) que pudiera dañar al resto de los componentes del circuito.
CIRCUITOS EN CONEXIÓN SERIE
La conexión serie posee sólo un camino para el flujo de
corriente, como se muestra en la Fig. N° 10, es decir la
cantidad de corriente que sale de la fuente de alimentación,
pasará por cada uno de los componentes del circuito en igual
magnitud.
En caso de dañarse (abrirse) alguna de las cargas, no habrá
circulación de corriente en ninguna parte del circuito.
Características principales de la conexión serie:
El Voltaje Total (Voltaje de la fuente) es igual a la suma da cada una de las caídas de
tensión existentes en el circuito: VT = V1 + V2 + … + Vn
La Corriente mantiene su magnitud en cada punto del circuito: IT = I1 = I2 = … = In
La Resistencia Total del circuito es igual a la suma de cada una de las resistencias
presentes en el circuito: RT = R1 + R2 + … + Rn
La Potencia Total es igual a la suma da cada una de las Potencias individuales
disipadas en el circuito: PT = P1 + P2 + … + Pn
Figura N° 10: Circuito en serie
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EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
En los siguientes circuitos, calcula la magnitud de los parámetros desconocidos:
Solución:
Análisis del ejercicio
Observando el circuito nos damos cuenta que
están involucrados los 4 parámetros que
acabamos de estudiar (Voltaje, corriente,
resistencia y potencia), cada uno con sus
respectivas unidades.
En el caso de la Potencia, las unidades no están
al mismo nivel, es decir, han sido presentadas
en “mW” y en “W” lo que implica que debemos
igualarlas, ya sea todas en “mW” o todas en
“W”. Se recomienda trabajar en la unidad
patrón que, en el caso de la Potencia, es el “W”.
La corriente mantiene su valor en todo el
circuito.
Resolución del ejercicio
Para conocer el valor de V3, utilizamos la ecuación: VT = V1 + V2 + V3 + V4
Despejamos V3: V3= VT - V1 - V2 - V4
Sustituimos por sus valores: V3= (16 - 9 - 6 – 0,4)V y concluimos que V3= 0,6 V
Para conocer el valor de R4, utilizamos la ecuación: RT = R1 + R2 + R3 + R4
Despejamos R4: R4= RT – R1 – R2 – R3 = 0,8 Ω y concluimos que R4= 0,8 Ω
Y por último, para conocer el valor de P2, actuamos de manera similar, es decir, de la
ecuación original despejamos la incógnita y sustituimos los valores conocidos.
PT = P1 + P2 + P3 + P4 → P2= PT - P1 – P3- P4
P2= (8 – 4,5 – 0,3- 0,2)W
Concluimos que: P2= 3 W
1.-
Siempre debemos trabajar con las unidades en el mismo nivel, es decir: todos los valores en “mW” o todos los valores en “W”. En este caso los mW se convirtieron a W
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19
Solución:
Análisis del ejercicio
Observamos que:
1.- El valor de R4 aunque no es una incógnita,
está relacionado con el valor de R1 por tanto,
es necesario calcularlo.
2.- Las unidades de los parámetros:
Resistencia y Potencia, no están presentadas
en el mismo nivel, será necesario igualarlas
(convertirlas a la unidad patrón: Ω y W,
respectivamente)
3.- La corriente mantiene su valor en todo el
circuito.
Resolución del ejercicio
Para conocer el valor de V3, utilizamos la ecuación: VT = V1 + V2 + V3 + V4
Despejamos V3: V3= VT - V1 - V2 - V4
Sustituimos por sus valores: V3= (30 - 18 – 7,1 – 4,5)V y concluimos que V3= 0,4 V
Para conocer el valor de R2, primero determinamos el valor de R4 que a su vez, está
relacionado con R1 : R4= ¼ R1= ¼ 12Ω = 3Ω
Ahora procedemos a utilizar la ecuación: RT = R1 + R2 + R3 + R4
Despejamos R4 y sustituimos los valores conocidos:
R2= (20 – 12 – 0,223 – 3) Ω = 4,777 Ω y concluimos que R2= 4,78 Ω
Y por último, para conocer el valor de P2, también trabajamos con las unidades al mismo
nivel, luego despejamos P2 y sustituimos los valores conocidos.
PT = P1 + P2 + P3 + P4 → P2= PT - P1 – P3- P4 → P2= (45 – 27 – 0,501 – 6,75)W
Concluimos que: P2= 10,749 W
Como R3 está expresada en “mΩ”, la convertimos a “Ω” para trabajar con las unidades al mismo nivel
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20
EEjjeerrcciicciioo pprrooppuueessttoo
Determina la magnitud de los parámetros desconocidos, en el siguiente circuito:
CIRCUITO CON CONEXIÓN EN PARALELO
En este tipo de conexión, 2 ó más componentes están
conectados entre los terminales de la misma fuente de
alimentación, como se muestra en la Fig. N° 11. Cada
camino paralelo constituye una rama con su propia
corriente. Cuando la corriente total sale de la fuente de
alimentación, una parte “I1” de la “IT” fluirá por la
primera rama, la parte “I2” fluirá por la segunda rama
y así sucesivamente, según la cantidad de ramas existentes en el circuito. La magnitud de
cada una de esas corrientes dependerá del valor de la resistencia presente en la rama. Sin
embargo, si medimos el voltaje en los extremos de cada rama, observaremos que tienen la
misma magnitud.
Características principales de la conexión en paralelo:
La Corriente Total del circuito es igual a la suma de cada una de las corrientes
presentes en el circuito: IT = I1 + I2 + … + In
La Resistencia Total del circuito se calcula mediante una suma de fracciones, es decir:
nT RRRRR
1...
1111
321
luego, invertimos el resultado y obtenemos la magnitud de
RT. Es recomendable obtener los valores equivalentes de resistencias de dos (2) en dos (2)
para trabajar con mayor confiabilidad y a la vez adquirir destreza y agilidad mental.-
R: V1= 2,4 V R1= 6 Ω P2= 1,12W
Figura N° 11: Circuito en paralelo
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21
El Voltaje de alimentación se mantiene igual en cada rama: VT = V1 = V2 = … = Vn
La Potencia Total es igual a la suma da cada una de las Potencias individuales
disipadas en el circuito: PT = P1 + P2 + … + Pn
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
En el siguiente circuito, calcula la magnitud de los parámetros desconocidos:
Solución:
Análisis del ejercicio
El circuito posee 3 resistores conectados
directamente a la fuente de alimentación, por
tanto, es una conexión en paralelo con 3 ramas.
1) Revisando los datos presentes, vemos que
la magnitud de la corriente en la rama 1 (I1) está
expresado en “mA” y las demás en “A”. Es
necesario nivelar estas unidades, ya sea, todas en
“mA” o todas en “A”. En este caso, trabajaremos con la unidad patrón: “A”.
2) En cuanto al valor de las resistencias observamos que R1 y R3, tienen la misma
magnitud. Ello implica que podemos hacer uso directo del siguiente enunciado:
“Cuando existan varios resistores de la misma magnitud conectados en paralelo,
podemos determinar su equivalente, dividiendo una de ellas por el número de
veces que se repita” en este caso, para R1 y R3, la ecuación será:
21
3,1
RR
ó
23
3,1
RR
R1,3: representa la magnitud de resistencia equivalente de R1 y R3
El numerador (R1 ó R3): representa el valor resistivo de cualquiera de las dos
El denominador: representa el número de veces que se repite la magnitud en el circuito.
Luego, para obtener el valor de la resistencia total (RT), trabajamos con R2 y R1,3 y, dado que
éstas no son iguales, utilizamos la ecuación para dos (2) resistencias que se deriva de la
original 23,1
111
RRRT
Es decir: 3,12
3,12 *
RR
RRRT
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22
3) Para determinar la magnitud de la Potencia desconocida utilizamos la ecuación
aprendida desde la conexión en serie.
4) Vemos que una de las incógnitas es el voltaje en la rama 3 (V3), sólo que en un
circuito con todas sus ramas en paralelo, el voltaje se mantiene con la misma
magnitud en cada una de ellas.
Resolución del ejercicio
1.- Cálculo de la corriente en la rama 3:
Utilizamos la ecuación IT = I1 + I2 + I3 , despejamos la incógnita (I3), sustituimos los valores
conocidos (igualamos las unidades para trabajar al mismo nivel) y presentamos la solución
I3 = IT - I1 - I2 → I3 = (2 – 0.333 – 1,333)A → I3 = 0.333 A
De este resultado, observamos que en la rama 3, circula la misma magnitud de corriente
que en la rama 1, ello se debe a que la resistencia de ambas ramas es igual. En la rama 2
circula menos corriente que en las otras 2, la razón es simple: “la rama 2 presenta menos
oposición (resistencia) al paso de la corriente”
2.- Cálculo de la resistencia total (RT):
Trabajaremos con los resistores de 2 en 2, la primera equivalente la haremos con R1 y R3
para facilidad del cálculo.
R1,3 = R1 /2 = 12Ω /2 → R1,3 = 6Ω
Ahora calculamos a RT con R1,3 y R2 utilizando la ecuación mencionada en el análisis
RT = R1,3 * R2 / R1,3 + R2 = 6Ω * 3Ω /6Ω + 3Ω → RT = 2Ω
3.- Cálculo de la potencia en la rama 2:
Al igual que en la conexión serie, utilizamos la ecuación PT = P1 + P2 + P3, despejamos
la desconocida, sustituimos y evaluamos.
P2= PT - P1 – P3 → P2= (8 – 1,33 – 1,33)W → P2= 5,34 W
La magnitud de I2 cambia al convertir su unidad “mA”, en “A” para trabajar al mismo nivel
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23
4.- Cálculo del voltaje en la rama 3:
Como el circuito está en paralelo, el voltaje se mantendrá con la misma magnitud en
todas sus ramas es decir VT = V1 = V2 = V3 Por ende V3= 4V
En el siguiente circuito, calcula la magnitud de los parámetros desconocidos:
Solución:
Análisis del ejercicio
Por ser un circuito con conexión en paralelo, el voltaje
es igual en todas las ramas.
Las unidades de todas las corrientes están dadas en
“mA” entonces, podemos perfectamente trabajar con
este nivel de corriente.
En cuanto al valor de las resistencias observamos que
R1 y R3, tienen la misma magnitud. Eso implica que
primero, podemos hacer la equivalencia entre ellas dos
y luego, la resultante la trabajamos con R2, para obtener
la resistencia total (RT).
Dado que las potencias están dadas en “mW” el
resultado de P2 también lo podemos expresar en “mW”.
Resolución del ejercicio
Cálculo del voltaje en la rama 2:
V2 = VT = 720 mV o también V2 = 0.72 V
Cálculo de la corriente en la rama 3:
I3 = IT - I1 - I2 → I3 = (120 – 30 – 60)mA
I3 = 30 mA o también I3 = 0.3 A
I3, es exactamente igual a la corriente que circula por la
rama 1 porque ambas tienen el mismo valor de resistencia.
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24
Cálculo de la resistencia total (RT):
R1,3 = R3 /2 = 24Ω /2 → R1,3 = 12Ω
Como la resistencia equivalente R1,3 y R2 tienen el mismo valor, podemos determinar la
magnitud de RT de dos maneras:
1.- RT = R1,3 /2 → RT = 12 Ω /2 → RT = 6Ω
Ó
2.- RT = R1,3 * R2 / R1,3 + R2 = 12Ω * 12Ω /12Ω + 12Ω → RT = 6Ω
En ambos casos la respuesta, lógicamente, es igual.-
Cálculo de la potencia en la rama 2:
P2= PT – P1 – P3 → P2= (86,4 – 21,6 – 21,6)mW → P2= 5,34 W
EEjjeerrcciicciiooss ssóólloo ccoonn rreessiissttoorreess eenn ppaarraalleelloo
Para empezar a adquirir la destreza necesaria en todo
electricista, en cuanto al manejo de resistores en paralelo,
calculemos e “interpretemos” la magnitud de la resistencia total
(RT) para el presente modelo, con diferentes valores de
resistencia:
1.- Supongamos que los 4 resistores tienen el mismo valor resistivo (R1= R2= R3= R4) y ese
valor es: 100Ω
Solución:
Como ya sabemos, si todas las resistencias son iguales, entonces RT = R1/4 porque,
el mismo valor se repite 4 veces.
RT = 100Ω /4 → RT = 25 Ω
En toda conexión con resistores en paralelo, la resistencia total o equivalente, debe ser MENOR que la MENOR resistencia presente en dicha conexión.-
2.- Ahora, supongamos que todos los resistores tienen diferente valor resistivo
Por ejemplo: R1= 60Ω, R2=50Ω, R3= 40Ω y R4=30Ω)
Recuerda que puedes usa a R1,3 ó a R2
porque tienen el mismo valor.
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Solución: La magnitud de RT, aún sin calcularla, sabemos que será MENOR que el valor de
R4 (por ser la menor resistencia presente en la conexión), con este preconcepto,
procedemos al cálculo.
Como son 4 resistores trabajaremos por partes, primero calculamos la
equivalente entre R1 y R2 para obtener una resistencia que llamaremos R1,2; cuyo
resultado deberá ser menor que R2 (porque de estas 2, ella es la menor) para ello
utilizaremos la ecuación:
21
212,1
*
RR
RRR
R1,2 = 60 Ω * 50Ω /(60 + 50) Ω → R1,2 = 3000Ω / 110 → R1,2 = 27,3 Ω
Ahora calculamos la equivalente entre R3 y R4 para obtener la resistencia
equivalente R3,4 cuyo resultado deberá ser menor que R4 (porque de estas 2, R4 es
la menor) procediendo de la misma forma anterior:
43
434,3
*
RR
RRR
R3,4 = 40 Ω * 30Ω /(40 + 30) Ω → R3,4 = 1200Ω / 70 → R3,4 = 17,14 Ω
Para finalizar, trabajamos con las dos resistencias equivalentes (recién
calculadas) para conocer la magnitud de RT.
Ahora sabemos con más precisión que el valor de RT, deberá ser MENOR que el de
la resistencia equivalente R3,4. Continuamos utilizando el mismo procedimiento:
4,32,1
4,32,1 *
RR
RRRT
RT = 27,3 Ω * 17,14Ω /(27,3 + 17,14) Ω → RT = 467,9Ω / 44,4 = 10,53Ω
RT = 10,53 Ω Efectivamente es MENOR que R3,4 y por supuesto que R4
Menor que el valor de
R4
Menor que el valor de
R2
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uando por alguna razón, con el conocimiento obtenido hasta ahora, no podemos
continuar con la resolución de algún circuito eléctrico, podemos hacer uso de algunas
leyes y teoremas, como herramientas analíticas para facilitarnos los cálculos. Antes
de comenzar este estudio, recordemos por ejemplo que:
1.- Los parámetros básicos de electricidad y sus unidades respectivas, son:
Parámetro Representación Unidad
Voltaje V Volt (V)
Corriente I Ampere (A)
Resistencia R Omh (Ω)
Potencia P Watt (W) “Vatio”
Frecuencia F Hertz (Hz)
2.- La corriente continua no tiene variación, por tanto su frecuencia es “cero” →F=0Hz
LEY DE OHM
Esta Ley establece la relación entre la corriente, el voltaje, la resistencia y la potencia. Se
expresa matemáticamente de la siguiente manera:
La corriente en un circuito es directamente proporcional al voltaje aplicado e inversamente proporcional a la resistencia presente en dicho circuito.
R
VI
La Potencia eléctrica en cualquier parte del circuito es directamente proporcional al producto de la corriente y el voltaje, en esa parte del circuito.
IVP *
De aquí, podemos deducir las demás ecuaciones utilizadas en electricidad, avaladas por la Ley de Ohm. Ellas son:
RIV * ; I
VR ; RIP *2 ;
R
VP
2
C
LEYES PARA EL ANÁLISIS EN CORRIENTE CONTINUA
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DIVISOR DE TENSIÓN Representa una herramienta bastante efectiva para analizar circuitos en conexión serie
Un divisor de tensión se caracteriza por:
Repartir la tensión de la fuente de alimentación entre uno o más resistores
conectados en serie y,
Brindar la oportunidad de conocer sus respectivas magnitudes sin necesidad de
calcular la corriente que circula a través de ellos, mediante la siguiente ecuación:
T
n
ii V
R
RV
Por ejemplo:
Se dispone de una fuente de tensión VT = 30 V, conectado
en serie a 4 resistores, con las siguientes magnitudes de
resistencia: R1 = 6Ω; R2 = 3Ω; R3 = 4Ω y R4 = 2Ω.
Determinemos la magnitud de cada uno de los voltajes
presentes en los resistores.
Solución:
Utilizando la ecuación del divisor de tensión,
obtendremos cada uno de los voltajes solicitados
sin tener que calcular la corriente, así:
TVRRRR
RV
4321
11
→ V1=(6Ω /15 Ω) * 30V → V1=12 V
TVRRRR
RV
4321
22
→ V2=(3Ω /15 Ω) * 30V → V2=6 V
TVRRRR
RV
4321
33
→ V3=(4Ω /15 Ω) * 30V → V3=8 V
TVRRRR
RV
4321
44
→ V4=(2Ω /15 Ω) * 30V → V4=4 V
Si sumamos los 4 voltajes calculados, debe resultar el voltaje de la fuente.-
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28
PPoollaarriiddaadd ddee llooss vvoollttaajjeess eenn llooss rreessiissttoorreess
Un resistor no genera corriente ni voltaje sino que se considera como un elemento que
consume energía eléctrica, por ello, en sus extremos siempre existirá una caída de voltaje.
Además, es un elemento pasivo porque no tiene una polaridad definida que deba tomarse
en cuenta al momento de su inserción en un circuito eléctrico, sino que la adquiere según el
sentido de la corriente que lo atraviese.
Como ya hemos visto, la corriente en una fuente
de tensión continua, sale del polo positivo y
llega al polo negativo después de hacer su
recorrido por todo el circuito. Cuando un
resistor es atravesado por una corriente
continua, adquiere la polaridad que le deja esa
corriente, obteniendo un positivo en el extremo
por donde entra la corriente y un negativo en el
extremo por donde sale. En otras palabras, por
donde entra la corriente se considera positivo y
por donde sale se considera negativo y así
quedará polarizado el resistor.
DIVISOR DE CORRIENTE Representa una herramienta muy efectiva para analizar circuitos con conexión en paralelo
Un divisor de corriente se presenta cuando hay dos o más resistencias en paralelo. La
corriente total IT que llega al circuito, se divide en tantas corrientes como resistores o
circuitos, haya en paralelo.
La corriente que pasa por cada resistencia siempre será inversamente proporcional a la
resistencia de esa rama, en otras palabras, a menor resistencia mayor corriente circulará a
través de ella, en cambio a mayor resistencia habrá menor corriente circulando.
El divisor de corriente se aplica por cada dos resistencias, utilizando la siguiente ecuación:
TIRR
RI
21
21
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29
Ejemplo:
En el siguiente circuito, la corriente total del sistema Is = 3
A, el resistor R1 = 6Ω y el resistor R2 = 12Ω. Determinemos la
magnitud de cada una de las corrientes que circula a través
de las resistencias.
Solución:
Utilizando la ecuación del divisor de corriente, tendremos:
SIRR
RI
21
21
= (12Ω /18 Ω) * 3 A → I1=2 A
SIRR
RI
21
12
= (6Ω /18 Ω) * 3 A → I2 =1 A
Desde luego, si sumamos IA e IB obtendremos la magnitud de la corriente total del circuito.
CIRCUITOS MIXTOS (Serie – Paralelo)
En este tipo de conexión, podemos encontrar combinaciones de resistores en serie con
otros en paralelo, por tal razón es necesaria nuestra habilidad para identificarlas y poder
actuar en consecuencia con lo aprendido hasta el momento. Habilidad que se adquiere con
la resolución de ejercicios.
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
Analiza los siguientes circuitos y determina las magnitudes solicitadas
R1 R2
En el numerador, se coloca la
resistencia opuesta a la rama donde
queremos calcular la corriente
1er ejercicio:
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30
Solución:
Análisis del ejercicio
1. Observamos que los resistores R2 y R3 están indiscutiblemente en paralelo, ello
indica que el voltaje en ambos resistores es el mismo. Podemos obtener una
resistencia equivalente entre R2 y R3 y denominarla R2,3.
2. La corriente que sale del polo positivo y pasa por R1 es la misma que pasa por R4
cuando regresa al polo negativo de la fuente, por lo tanto R1 y R4 están en serie.
Podemos obtener otra resistencia equivalente entre R1 y R4, y denominarla R1,4.
3. Las dos resistencias equivalentes quedarán en serie, entonces la resistencia total del
circuito será la suma de ellas dos.
4. El voltaje en R1 y en R4 lo calculamos aplicando la Ley de Ohm, utilizando al máximo
los datos que nos proporcionan
Resolución del ejercicio
1. R2,3 = R2 * R3/ R2 + R3 = 6 Ω *3 Ω /(6+3) Ω = 2 Ω → R2,3=2Ω
2. V2 = R2 * I2 = 6 Ω * 0,667 A = 4 V → V2= 4 V;
Dado que R2 y R3 están en paralelo, V2=V3=4 V
Por otra parte, nos indican que V1=⅔V3 entonces, V1= 2,67 V
3. No tenemos la magnitud de R4 pero conocemos su potencia y su corriente, en
consecuencia podemos calcularla utilizando la Ley de Ohm, así:
R4 =P4 /(I4) 2 = 40 W/(2 A)2 → R4 = 10 Ω y su voltaje será: V4 = R4 * I4 = 20 V
4. Tampoco tenemos la magnitud de R1 pero conocemos su voltaje y, por estar en serie
con R4 su corriente también es 2 A, entonces podemos calcularla mediante la Ley de
Ohm, así:
R1 =V1/I1 = 2,67 V/2 A → R1 = 1,34 Ω
5. Con el cálculo de R2,3; R1 y R4 ahora tenemos 3 resistores en serie, por tanto:
RT= R1 + R2,3 + R4 = 1,34 Ω +2 Ω + 10 Ω → RT = 13,34 Ω
1.-
1.-
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31
6. El voltaje total del circuito lo podemos calcular de dos formas:
a) VT=V1 + V2,3 + V4 = 2,67 V + 4 V + 20 V → VT = 26,67 V
b) VT=RT * IT = 13,34 Ω * 2 A = 26,68 V
Por cualquiera de las dos vías obtenemos el mismo resultado, la diferencia apreciada en el segundo decimal se debe a que hemos redondeado las cifras originales a sólo dos decimales.
7. Para el cálculo de la potencia total, podemos proceder de la misma forma que lo
hicimos para el voltaje total:
a) PT = P1 + P2 + P3 + P4 (Debemos calcular todas las potencias individuales)
b) PT = VT * IT = 26,68 V * 2 A → PT = 53,36 W
Solución:
Análisis del ejercicio
1.- Observamos que los resistores R2 y R3
efectivamente están en paralelo, pero a través de
ellos no circula corriente porque no están
conectados a ninguna diferencia de potencial
(condición necesaria para que exista flujo de
electrones). En consecuencia, ninguno de los dos
forma parte del circuito.
1.-
2do. ejercicio:
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32
2.- El circuito se simplifica a dos resistores en serie, facilitándose
el cálculo de las magnitudes solicitadas
Resolución del ejercicio
1.- No conocemos la magnitud de R1 pero sabemos que la caída de tensión en sus
extremos es 4 V y la corriente que circula a través de ella es 2 A (por estar en serie
con R4). Entonces, utilizando la Ley de Ohm:
R1 = V1 / I = 4V / 2 A → R1 = 2Ω; por tanto: P1 = V1 * I = 8 W
2.- Tampoco conocemos la magnitud de R4 pero si tenemos su potencia y su corriente.
Con esos datos y la Ley de Ohm, podemos calcularla así:
R4 = P4 / I2 = 20 W / 4 A2 → R4 = 5Ω; por tanto: V4 = R4 * I = 10V
3.- Ahora podemos calcular la resistencia total mediante la siguiente ecuación:
RT = R1 + R2 = 2 Ω + 5 Ω = 7 Ω → RT = 7Ω
También podemos calcular el resto de las incógnitas, mediante la Ley de Ohm o por
características del circuito en serie, es decir:
VT = RT * IT = 7Ω * 2 A = 14 V ó VT = V1 + V4 = 4V + 10 V = 14 V
PT = VT * IT = 14 V * 2 A = 28 W ó PT = P1 + P4 = 8W + 20 W = 28 W
Con respecto a la corriente total (IT), no es necesario hacer cálculo alguno, debido a
que, por ser un circuito con conexión en serie, la corriente que sale de la fuente es la
misma que circula a través de R4 es decir: IT = 2 A
Datos:
La resistencia de R1 ; R2 y R3 es 10 Ω cada una
La resistencia de R4 ; R5 y R6 es 20 Ω cada una
El voltaje total aplicado es 30 V
Incógnitas:
a) Resistencia total
b) Potencia total
c) Corriente total
1.-
3er. ejercicio:
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33
Solución:
Análisis y resolución del ejercicio
1.- Por los resistores R1; R5 y R6 circula la misma cantidad de corriente, porque están en
serie, en consecuencia podemos calcular una resistencia equivalente (R1,5,6) con ellas
tres. También se observa que R2 y R3 están en serie, pero su equivalente estará en
paralelo con R4. Si denominamos R2,3 a la equivalente entre R2 y R3, entonces
llamaremos R2,3,4 a la equivalente entre R2,3 y R4. Finalmente podemos obtener la
magnitud de la resistencia total con la suma de las equivalentes R1,5,6 y R2,3,4.
SSiimmppllee,, vveerrddaadd??
Bien, hagamos los cálculos señalados:
R1,5,6 = R1 + R5 + R6 = (10 + 20 + 20)Ω → R1,5,6 = 50 Ω
R2,3 = R2 + R3 =(10 + 10)Ω → R2,3 = 20 Ω
Debido a que R2,3 y R4 tienen la misma magnitud, podemos calcular su
equivalente de dos maneras:
a.- Con la ecuación normal para dos resistencias en paralelo.
R2,3,4 = R2,3 * R4/ R2,3 + R4 = 20 Ω *20 Ω /(20 + 20)Ω
R2,3,4 = 10 Ω
b.- Con la ecuación para resistencias de la misma magnitud, en paralelo.
R2,3,4 = R2,3/2 = 20 Ω/2 → R2,3,4 = 10 Ω
Por cualquiera de las dos formas que la calculemos, dará el mismo valor.
Ahora calculamos la resistencia total mediante la suma de las dos resistencias
equivalentes finales, es decir: R1,5,6 y R2,3,4
RT = R1,5,6 + R2,3,4 = 50 Ω + 10 Ω
RT = 60 Ω
2.- Conociendo el voltaje total del circuito y habiendo obtenido la resistencia total,
podemos calcular la potencia total del circuito (PT) mediante la Ley de Ohm.
PT = (VT)2 / RT = (30V)2 / 60 Ω → PT = 15 W
1.-
PNF Mantenimiento / Electrotecnia - Circuitos de Corriente Continua Ing. Arcadia Torres
34
3.- Para finalizar con la última incógnita del ejercicio, procederemos a calcular la
corriente total del circuito utilizando una vez más, la Ley de Ohm. Como tenemos
suficientes datos, la calcularemos de tres maneras diferentes:
a.- Con el voltaje y la resistencia total
IT = VT / RT = 30 V / 60 Ω → IT = 0,5 A ó 500 mA
b.- Con el voltaje y la potencia total
IT = PT / VT = 15 W / 30 V → IT = 0,5 A ó 500 mA
c.- Con la potencia y la resistencia total
(IT)2 = PT / RT entonces:
IT = √(PT /RT) = √(15 W / 60 Ω ) → IT = 0,5 A ó 500 mA
Por cualquiera de las tres formas que la calculemos, dará el mismo valor.
EEjjeerrcciicciiooss pprrooppuueessttooss
1. Encuentre la corriente que consume una lámpara incandescente de 75W especificada
para operación a 110 V. Encuentre también, la corriente consumida por una lámpara de
150W a 110V y otra de 300W a 110V. ¿Qué sucede a la corriente al aumentar el
Vatiaje?.
2. Encuentre la potencia consumida por un resistor fijo de 100, para cada una de las
siguientes corrientes: 3 A, 6 A y 1.5 A ¿Qué efecto tiene un cambio de la corriente en la
cantidad de potencia disipada por un resistor fijo?
3. Un circuito consiste de una batería de 6 V, un interruptor y una lámpara. Cuando el
interruptor está cerrado, en el circuito fluye una corriente de 2 A. ¿Cuál es la resistencia
de la lámpara?
4. Supóngase que la lámpara del ejemplo anterior, se sustituye con otra que también
requiere 6 V pero que sólo consume 40 mA ¿Cuál es la resistencia de la lámpara nueva?
5. En los extremos de un resistor de 210 se mide un voltaje de 12 V ¿Cuál es la corriente
que pasa por el resistor?
6. Una línea de 110 V está protegida con un fusible de 15 A. ¿Soportará el fusible con una
carga de 5 ?
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7. El amperímetro en el tablero de un automóvil indica que fluye una corriente de 10.8 A
cuando están encendidas las luces. Si la corriente se extrae de un acumulador de 12 V,
¿Cuál es la resistencia de los faros?
8. ¿Qué potencia disipa un cautín de soldar, si toma 3 A a 110 V
9. Un horno eléctrico usa 35.5 A a 118 V. Encuentre la potencia consumida por el horno.
10. Un secador eléctrico requiere 360W y consume 3.25 A. Determine el voltaje de
operación.
11. Analiza el siguiente circuito y determina las incógnitas:
Datos:
La resistencia de R1 ; R2 y R3 es
10 Ω cada una
La resistencia de R4 = 0 Ω La resistencia de R5 y R6 es 20
Ω cada una
El voltaje total aplicado es 30 V
Incógnitas: RT, IT y PT
RReeccoommeennddaacciióónn: No pierdas de vista lo que significa para el circuito que R4 = 0 Ω
12. Analiza el siguiente circuito y determina las incógnitas:
Datos:
R1, R2 y R3, valen 30 Ω cada una
R4 = 60 Ω ; R5 = 80 Ω y R6= 40 Ω
R8 = 50 Ω
R7 y R9 valen 20 Ω cada una
Incógnitas: RT, IT y PT
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RReeccoommeennddaacciioonneess:
1.- No te dejes impresionar por el circuito.
2.- Apóyate en la selección indicada a continuación para la reducción del circuito, sin
importar el orden en que lo hagas, es decir, puedes calcular primero Rc, luego Ra y
después Rb por ejemplo.
3.- Cuando hayas hecho la reducción, analízalo nuevamente y empieza a responder las
incógnitas.
LEYES DE KIRCHHOFF
1.- Ley de Kirchhoff del Voltaje (LKV): Similar al estudio de los circuitos en conexión serie,
esta Ley afirma que el voltaje aplicado a un circuito cerrado, es igual a la suma de las caídas
de voltaje presentes en dicho circuito.
VA = V1 + V2 + … + Vn
Donde:
VA es el voltaje aplicado y V1, V2, …, Vn son caídas de voltaje
También puede expresarse de la siguiente manera: “La suma algebraica de las subidas y
caídas de voltaje es igual a cero”
VA - V1 - V2 - … - Vn = 0
Cuando hablamos de suma algebraica, procedemos así:
1º. Se asigna el signo “+” a cada subida de voltaje
2º. Se asigna el signo “-” a cada caída de voltaje
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Para saber cuando estamos en presencia de una subida o caída de voltaje, nos guiaremos
por la polaridad de salida de la corriente en cada componente involucrado en el circuito,
entonces, si la corriente sale:
a) Por el signo menos (-), estamos en presencia de una caída de voltaje
b) Por el signo mas (+), estamos en presencia de una subida de voltaje
EEjjeemmpplloo iilluussttrraattiivvoo
Identificaremos las subidas y caídas de voltaje en el siguiente circuito: Como ya debemos
saber, a diferencia de las fuentes de voltaje o corriente, los resistores no tienen polaridad
definida sino que la adquieren según el sentido de la corriente que los atraviesa.
Sí V = 0
VA – V1 – V2 – V3 = 0
Despejando VA:
VA =V1 + V2 + V3
2.- Ley de Kirchhoff de la corriente (LKC):
Esta Ley afirma que la suma de las corrientes que entran a un nodo, es igual a la suma de las
corrientes que de el salen.
Si consideramos que las corrientes que entran a un nodo son positivas y las que salen son negativas, entonces esta Ley afirma que “la suma algebraica de todas las corrientes que convergen en un punto común es cero”, es decir: I = 0
I1 + I5 + I7 – I2 – I3 – I4 – I6 =0
En consecuencia:
I1 + I5 + I7 = I2 + I3 + I4 + I6
Nodo: Punto común donde convergen diferentes corrientes. En un nodo nunca “queda” corriente porque es simplemente un punto de paso y distribución (como los semáforos para los vehículos)
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EEjjeemmppllooss iilluussttrraattiivvooss::
Planteemos la ecuación para la corriente I1 en los siguientes ejercicios:
Solución:
-I1 + I2 + I3 = 0
Luego despejamos I1:
I1 = I2 + I3
Solución:
I1 - I2 - I3 – I4 = 0
Luego despejamos I1:
I1 = I2 + I3 + I4
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO MEDIANTE LAS LEYES DE KIRCHHOFF
CCoorrrriieenntteess ddee mmaallllaa
Las corrientes que puedan circular por una malla, producirán en los elementos que la
conformen una caída o subida de voltaje, siendo ésto, fundamental para aplicar las Leyes de
Kirchhoff. El procedimiento a seguir para utilizar la herramienta de corrientes de malla es:
1º. Seleccionamos las trayectorias que representarán las mallas que utilizaremos
2º. Asignamos una corriente de a cada malla (por conveniencia, suponemos estas
corrientes en la dirección de las agujas del reloj). EEssttaa ddiirreecccciióónn eess aarrbbiittrraarriiaa
3º. Aplicamos la LKV al recorrido de cada malla. Las ecuaciones que resulten, nos
permitirán obtener las magnitudes de las corrientes desconocidas.
Malla: Cualquier trayectoria cerrada en un circuito y puede estar conformada por resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente o ¡SÓLO por resistencias!
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4º. Si el resultado de alguna de las corrientes es negativo, significa que el sentido
supuesto es incorrecto y sólo bastará con cambiar el sentido a esa corriente para
eliminarle el signo negativo (la magnitud, se mantiene).
5º. Con los valores de las corrientes presentes en el circuito, estamos en capacidad
de calcular los Voltajes y Potencias desconocidas aplicando simplemente
nuestros conocimientos de LEY DE OHM.
EEjjeemmpplloo iilluussttrraattiivvoo
Supongamos que necesitamos conocer las corrientes y voltajes en el siguiente circuito:
Utilizaremos el método de corrientes de malla
para realizar los cálculos, para ello,
seleccionaremos las mallas a utilizar, le
asignaremos el sentido respectivo de corriente,
aplicaremos la LKV y determinaremos lo
solicitado.
Solución:
Pasos 1 y 2
Paso 3
Las 2 corrientes (I1 e I2) son las corrientes de malla involucradas, la meta es obtener su magnitud, lo que implica que necesitaremos formar un sistema de 2 ecuaciones para poder determinar las 2 incógnitas.
Para la malla 1
VA - V1 - V2 = 0 No tenemos la magnitud de V1 ni de V2 pero podemos plantear su ecuación según la Ley de Ohm, es decir: V1 = R1 * I1 y V2 = R2 (I1 - I2)
R2 , forma parte de las 2 mallas seleccionadas, por ello debemos tomar en cuenta las 2 corrientes. Si ambas tienen sentido diferente, las restamos. Pero si tienen el mismo sentido, las sumaremos
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Sustituyendo en la ecuación de malla y resolviendo las operaciones matemáticas:
VA – R1 I1 – R2 (I1 - I2) = 0 → VA – R1 I1 - R2 I1 + R2 I2 = 0 Agrupando los términos semejantes y ordenándolos, obtenemos la 1ra. Ecuación:
VA = I1 (R1 + R2) –I2 R2 → I1 (R1 + R2) – I2 R2 =VA EEccuuaacciióónn 11
Para la malla 2:
-V2 – V3 - VB = 0 – R2 (I2 - I1) – R3 I2 - VB = 0 → – R2 I2 + R2 I1 – R3 I2 - VB = 0
Procediendo igual que en la ecuación de la malla 1, obtenemos la 2da. Ecuación:
– R2 I2 + R2 I1 – R3 I2 - VB = 0 → I1 R2 - I2 (R2 + R3) =VB EEccuuaacciióónn 22
Con las ecuaciones 1 y 2, determinaremos las magnitudes de I1 e I2, mediante la
resolución del respectivo sistema de ecuaciones.
Paso 4
Con las magnitudes de I1 e I2, se procede a calcular todas las caídas de tensión
presentes en el circuito, apoyándonos en la Ley de Ohm.
Paso 5
Se comprueba la solución, recordando que V = 0. Puede utilizarse la malla externa para esta comprobación. Es decir:
VA – V1– V3– VB = 0 → VA – I1R1 – I2 R3 – VB = 0
EEjjeerrcciicciioo rreessuueellttoo ((LLKKVV))
En el presente circuito, determine cada una de las caídas de voltaje presentes y compruebe
que se cumple la Ley de los Voltajes de Kirchhoff.
Datos:
VA = 12 V
VB = 8 V
R1 = 10Ω
R2 = 6Ω
R3 = 8Ω
R4 = 2Ω
R5 = 4Ω
Observa que en esta malla, la fuente de voltaje VB se comporta como una caída de voltaje con respecto al sentido de la corriente que hemos asignado a la malla 2
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Solución
Ejecutaremos paso a paso el procedimiento recomendado en el método corrientes de
malla:
1º. Seleccionamos las mallas
2º. Asignamos las corrientes con el sentido
que creamos conveniente (en este
ejercicio, seleccionamos el sentido anti-
horario en la malla 2, para que ambas
corrientes coincidieran en R2)
3º. Aplicamos la LKV en cada malla
Para la malla 1:
VA – V1 – V2 – V5 = 0 → VA – R1I1 – R2 (I1 + I2) – R5 I1= 0
Para facilitar el desarrollo matemático, sustituiremos las resistencias y la fuente por su
respectivo valor (no es necesario colocar la unidad, ya observamos que cada parámetro está
expresado en su unidad patrón, es decir: “V” y “Ω”)
12 – 10I1 – 6 (I1 + I2) – 4 I1 = 0 → 12 – 10I1 – 6 I1 – 6 I2 – 4 I1 = 0 → 12 – 20I1 – 6 I2 = 0
Luego, nuestra primera ecuación es:
– 20I1 – 6 I2 = –12
Para la malla 2:
– V3 – V2 – V4 – VB = 0 → – R3I2 – R2 (I2 + I1) – R4 I2 – VB = 0
También aquí sustituimos los valores conocidos y agrupamos términos semejantes
– 8I2 – 6 (I2 + I1) – 2 I2 – 8 = 0 → – 8 I2 – 6 I2 – 6 I1–2 I2– 8 = 0 → – 6I1 – 16 I2 – 8= 0
Luego, nuestra segunda ecuación es:
– 6I1 – 16 I2 = 8 Ahora formamos un sistema con las 2 ecuaciones, para obtener las magnitudes de ambas corrientes.
Las corrientes se suman porque, ambas entran por el mismo extremo en R2
Se requiere como conocimiento previo, saber resolver sistemas de ecuaciones
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Ecuación 1: – 20I1 – 6 I2 = –12
Ecuación 2: – 6I1 – 16 I2 = 8
Para la resolución del sistema, usaremos el método de reducción y sustitución:
a) Eliminaremos una de las incógnitas, en este caso será I2 para ello debemos multiplicar la
ecuación 1 por el coeficiente de I2 de la ecuación 2 y viceversa pero además, como ambos
valores son negativos, a una de las ecuaciones la multiplicaremos por “-1”, luego de
eliminar a I2 , sumamos algebraicamente y despejamos I1 para obtener su valor.
16 (– 20I1 – 6 I2 = –12) → – 320 I1 – 96I2 = –192 - 284I1 = – 240
– 6 (– 6I1 – 16 I2 = 8) → 36 I1 +96I2 = – 48 I1 = –240/-284 I1 = 0,84507 A
Como puedes observar, el resultado es positivo. Eso indica que el sentido que tomamos
inicialmente para la corriente en la malla 1, es el correcto. Para calcular I2, tomamos una
de las dos ecuaciones del sistema y sustituimos a I1 por su valor (con todo y signo).
Seleccionemos la ecuación más sencilla, es decir,
Ecuación 2: – 6I1 – 16 I2 = 8
– 6 (0,845) – 16 I2 = 8 → – 5,07– 16 I2 = 8 → I2 = 13,07 / -16
I2 = - 0,8168 A → I2 = -0,81687 A
El resultado de esta corriente, es negativo. Ello indica que el sentido que le dimos
inicialmente está incorrecto. Podemos continuar con el cálculo de las caídas de voltaje,
siempre y cuando incluyamos el signo negativo de I2 y al final, redibujamos el circuito con el
sentido correcto de las corrientes y procedemos a comprobar la Ley de los Voltajes de
Kirchhoff.
Calculamos las caídas de voltaje:
V1 = R1I1 = 10Ω * 0,84507 A → V1 = 8,4507 V
V2 = R2(I1 + I2) = 6Ω(0,84507A–0,81687A)= 6Ω(0,0282A) → V2 = 0,1692 V
V3 = R3I2 = 8Ω * 0,81687A = 6,5349 V → V3 = 6,5349 V
V4 = R4I2 = 2Ω * 0,81687A = 1,6337 V → V4 = 1,6337 V
V5 = R5I1 = 4Ω * 0,84507 A = 3,3802 V → V5 = 3,3802 V
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Ahora, hagamos la comprobación de la LKV:
Utilizando la malla 3 (malla externa),
planteamos una nueva ecuación
utilizando la LKV: ΣV = 0
VA – V1 – V3 + VB – V4 – V5 = 0
Sustituimos por sus valores:
12 – 8,4507 – 6,5349 + 8 – 1,6337 – 3,3802 = 0,5 mV → Este resultado se considera
prácticamente igual a cero, por ende efectivamente se cumple la LKV
EEjjeerrcciicciioo rreessuueellttoo ((LLKKCC))
En el siguiente circuito, determinaremos paso a paso la cantidad de corriente que pasa por
un nodo y complementaremos el ejercicio con el cálculo de algunas caídas de voltaje para
comprobar una vez más la Ley de los Voltajes de Kirchhoff (LKV)
Análisis del circuito:
Utilizaremos los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 para
facilitar los cálculos
1º. Observamos que existen dos mallas
internas, separadas por un conductor (sin
resistencia), lo que lo convierte en un NODO.
2º. IX, representa la corriente que pasa por
el conductor o nodo (lo identificaremos como 3-5).
3º. Sabemos que la corriente sale por el polo positivo de la fuente, hace su recorrido y
retorna por el polo negativo. Entonces ya podemos imaginar como fluirá la corriente en
cada malla interna.
4º. La corriente de la malla A (donde está la fuente A) no circulará por la resistencia de la
malla B, debido a que el conductor 3-5 actúa como un puente (0Ω de resistencia) y,
lógicamente la corriente pasará por donde haya menos resistencia a su paso. Por la
misma razón, la corriente de la malla B, tampoco circulará por las resistencias de la
malla A.
5º. Para comprobar la LKV, debemos conocer los voltajes en cada uno de los resistores. Lo
haremos aplicando la Ley de Ohm.
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Resolución del ejercicio:
Con el análisis anterior, procedemos a redibujar el circuito con los complementos ya
señalados e iniciamos los cálculos.
Aplicando la LKC: ΣI = 0 → IA + IB –IX = 0
Despejamos IX por ser la solicitada: IX = IA + IB
Desconocemos tanto a IA como a IB, pero las podemos calcular mediante la Ley de Ohm. Si a
la resistencia total de la malla A, la denominamos RA,
entonces: IA = VA/ RA → IA = 6V/5Ω → IA = 1,2 A
Para el cálculo de IB también utilizamos la Ley de Ohm, para ello, denominamos RB a la única
resistencia presente en la malla B y procedemos:
IB = VB /RB → IB = 8V/4Ω → IB = 2 A
Ahora, volvemos a la ecuación de IX para conocer su magnitud:
IX = IA + IB → IX = 1,2 A + 2 A → IX = 3,2 A
Esto significa que al conductor 3-5, llegan las dos corrientes (IA e IB), las cuales ingresan al
conductor por el punto marcado con el número 5, se desplazan juntas en el mismo sentido y
salen por el punto marcado con el número 3 para volver cada una a su respectiva malla.
Apliquemos la LKV a la malla externa:
Para ello, redibujaremos el circuito y colocaremos en cada resistor su caída de
voltaje con la polaridad marcada por la corriente que lo atravesó.
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Así:
Sabemos que la LKV establece que ΣV = 0 entonces, considerando que cada elemento
involucrado en el circuito tiene 2 extremos con una polaridad marcada cada uno de
ellos, debemos decidir con cual extremo trabajaremos y respetar ese criterio en
todos los elementos. Sin importar con cual extremo trabajemos, el resultado será el
mismo.
En este caso, trabajaremos con el signo del primer extremo encontrado en cada
elemento, siguiendo la dirección desde el punto 1 hasta el punto 5.
Así:
Entonces la ecuación LKV será:
–V1-2 – V2-3 + V3-4 –VB + VA= 0 → –2,4V – 3,6V + 8V – 8V + 6V= 0
Efectivamente queda comprobada una vez más la Ley de los Voltajes de Kirchhoff.
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VOLTAJES DE NODO
El método conocido como Voltajes de nodo, también se utiliza para la solución de circuitos
con corrientes de malla, tomando un nodo de referencia.
Consiste en emplear las caídas de voltaje existentes en el circuito, para determinar las
corrientes en los nodos, resolviendo sus ecuaciones respectivas.
EEjjeemmpplloo iilluussttrraattiivvoo:
El presente circuito, posee 3 resistores, 2 fuentes de
voltaje y 4 nodos, de los cuales 2 son principales, es decir,
presentan derivaciones.
Un voltaje de nodo o voltaje nodal, se determina entre
un nodo común y un nodo principal, empleado como nodo
de referencia.
Análisis del circuito:
Identifiquemos todos los nodos, seleccionemos el nodo de referencia y las mallas con las
que plantearemos las ecuaciones necesarias para iniciar los cálculos respectivos.
1º. Se selecciona como nodo de referencia, el nodo
que hayamos conectado a tierra. Así, VAY será el
voltaje entre los nodos A y Y, VXY será el voltaje
entre los nodos X y Y y, VBY será el voltaje entre los
nodos B y Y.
Como el voltaje de nodo, siempre estará
determinado con respecto a un nodo de referencia
específico, se denotará: VA para el voltaje VAY, VX
para el voltaje VXY y VB para el voltaje VBY
2º. Utilizando las Leyes de Kirchhoff (LKV y LKC) y la Ley de Ohm, planteamos las
ecuaciones necesarias. Exceptuando al nodo de referencia, en cada nodo principal se
puede escribir la ecuación respectiva, por ende, el número necesario de ecuaciones
siempre será menor en “uno” al número de nodos principales existentes en el
circuito.
Nodo común: Conexión entre dos componentes Nodo principal: Conexión entre tres o más componentes
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Resolución del ejercicio:
En el circuito existen 2 nodos principales (X y Y), en consecuencia, sólo necesitaremos
escribir la ecuación en el nodo principal “X”, para determinar todas las caídas de voltaje y
las corrientes existentes en el circuito
Aplicando la LKC en el nodo X:
Σ IX = 0
I1 + I2 –I3 = 0 → I3 = I1 + I2 (Ecuación 1)
De acuerdo a la Ley de Ohm:
2
3R
VI X (Ecuación 2-a)
3
2R
VVI XB
(Ecuación 2-b)
1
1R
VVI XA (Ecuación 2-c)
Sustituyendo las ecuaciones 2-a, 2-b y 2-c en la ecuación 1, tenemos:
132 R
VV
R
VV
R
V XAXBX
(Ecuación 3)
Si conocemos el valor de las resistencias y de las fuentes VA y VB, podemos calcular el valor
de VX y luego, todas las caídas de voltaje y cada una de las corrientes presentes en el
circuito.
EEjjeerrcciicciioo rreessuueellttoo
Utilicemos el ejemplo anterior con los siguientes datos:
R1= 2Ω, R2= 6Ω, R3= 5Ω, VA= 12V y VB= 18V.
Solución:
1.-En la ya obtenida ecuación 3, procedemos a sustituir los
valores conocidos, para obtener VX.
132 R
VV
R
VV
R
V XAXBX
2
12
5
18
6
XXX VVV
Recuerda que la dirección dada a las corrientes de malla, es arbitraria.
Si después de los cálculos, resulta alguna corriente negativa, significa que el sentido dado es incorrecto, bastará con cambiárselo para eliminarle el signo negativo.
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2.- Matemáticamente: eliminamos las fracciones, agrupamos términos semejantes y
despejamos VX
2
12
5
18
6
XXX VVV
→
10
125182
6
XXX VVV →
10
560236
6
XXX VVV
XX VV 796610 → XX VV 4257610 → 5764210 XX VV
57652 XV → 52
576XV → VVX 076,11
3.- Conociendo VX, podemos calcular todas las corrientes
2
3R
VI X → I3 = 11,076V/6 Ω → I3 = 1,846 A
3
2R
VVI XB
→ I2 = 6,924V/5 Ω → I2 = 1,384 A
1
1R
VVI XA → I1 = 0,924V / 2 Ω → I1 = 0,462 A
4.- Con las corrientes procedemos a calcular todas las caídas de voltaje mediante la Ley de
Ohm y comprobamos los resultados, mediante la LKV
VR1 = I1 * R1 → VR1 = 0,462A * 2Ω → VR1 = 0,924V
VR2 = I3 * R2 → VR2 = 1,846A * 6Ω → VR2 = 11,076V
VR3 = I2 * R3 → VR3 = 1,384A * 5Ω → VR3 = 6,920V
Ahora, hagamos la comprobación mediante la LKV:
Utilizando la malla externa, planteamos la ecuación
utilizando la LKV: ΣV = 0
VA – V1 + V3 – VB = 0
Sustituimos por los valores, ya calculados:
12 – 0,924 + 6,92 – 18 = 0,004V
Este resultado se considera prácticamente igual a cero, por ende se cumple la LKV
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BIBLIOGRÁFIA
- Colectivo de Autores. Guía Práctica de electricidad y electrónica, tomo I:
Principios básicos de electricidad. Edición 2002. Cultural, S.A. Madrid – España.
- Colectivo de Autores. Guía Práctica de electricidad y electrónica, tomo II:
Instalaciones. Edición 2002. Cultural, S.A. Madrid – España.
- Harry Mileaf. Electricidad dos: Circuitos de corriente continua. Editorial Limusa.
México. 1980
- James W. Nilsson. Addison-Wesley Circuitos eléctricos. 4ta. ed. Iberoamericana,
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- Joseph A. Edminister. Mahmood Nahvi Circuitos eléctricos. 3ra ed. Mc Graw-Hill.
- Lawrence P. Huelsman. Teoría de circuitos. 2da. ed. Prentice-Hall
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- Luís Quiñonez. Seguridad eléctrica. 2da ed. Gráficas El Portatítulo. Mérida –
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- Milton Gussow. Fundamentos de electricidad. Serie Schaum. Mc Graw-Hill.
México. 1980
- Van Valkenburgh, Nooger & Neville, Inc. Electricidad Básica, tomo 5:
Generadores y motores de corriente continua. 10ma. ed. S.A. Editorial Bell.
Buenos Aires – Argentina. 1978
- William H. Hayt. Teoría electromagnética. Mc Graw-Hill. México. 1980