1

ELECTROTECNIA

CORRIENTE ALTERNA

Ley de ohm

ZIV donde

V = Voltaje

Z = Impedancia

I = corriente

XRZ R = Resistencia

X = reactancia

jwLx

jwcx

L

c

1

En corriente alterna manejamos diferentes sistemas:

Sistema 3 (trifsicos) * 3 5 hilos (f

1, f

2, f

3, neutro y tierra fsica)

* 3 4 hilos (f1, f

2, f

3, neutro)

* 3 3 hilos (f1, f

2, f

3)

Sistema 2

(bifsico)

* 2 3 hilos * 2 2 hilos

Sistema 1

(monofsico)

* 1 3 hilos * 1 2 hilos

X = reactancia

jwLx

jwcx

L

c

1

2

Para analizar circuitos en CA necesitamos tener conocimiento de los

nmeros complejos y de sus distintas operaciones. Al final hay un

pequeo repaso para quien haya olvidado trabajar con estos nmeros.

Ejemplo:

Esta es la forma de operar en un sistema de CA para obtener

reactancias inductivas y Capacitivas.

Valor de la reactancia capacitiva:

Valor de la reactancia inductiva:

EJERCICIO:

APLICANDO LA 2 LEY DE KIRCHHOFF CALCULE LAS IS DE MALLA

tsenV 50020

H1010

mmf10

2.0)10)(500(

110

jj

Xc

5000)10)(500( jjXl

3

P/M1

30 0 V +5I1+(J5) (I1- I2)=0

(5+J5I1)-J5I2=30 0 V (1)

P/M2

(2+J3)I2 + (J5) (I2-I1) + 6 (I2-I3) = 0

-J5I1 + (8+8J) I2 6I3 = 0 (2)

P/M3

6 (I3-I1) + 4I3 + 20 0 V = 0

-6I2 + 10I3 = 20 0 V (3)

DE FORMA MATRICIAL

5+J5 -J5 0 I1 30

-J5 8+J8 -6 I 2 = 0

0 -6 10 I3 20

I1= 5.015 - 1.5628J AMP

I2= 3.4523 0.5779J AMP

I3= 4.0714 0.3467J AMP

Ejercicio:

Del Siguiente circuito calcular:

a) La Zeq del circuito

b) La IT del circuito

c) Trazar el triangulo de potencias

4

a)

b)

VARsenQ

WattsP

VAVIS T

5.6)3.9(28.40

75.39)3.9(cos28.40

3.928.40)7.2002.2)(3020(*

C)

Ejemplo:

Del siguiente circuito calcular:

a) Las corrientes de malla

b) Dibujar su diagrama vectorial

c) Calcular la potencia de cada una de las fuentes

5 8

4

8j

4j

V3020

Ampj

VI

IZV

jjZ

jjj

jj

T

Teq

eqT

71.2002.258.174.9

3020

*

58.174.958.174.45

58.174.443.185)88()44(

)88)(44(

VAS 28.40VARQ 5.6

WattsP 75.39

3.9

5

ampj

jI

ampj

jI

jjj

jjjjj

jjjjj

j

jjjjjjj

I

I

I

j

jj

jj

IjI

IIjII

MP

IjIj

IIIj

MP

IIjIj

IIIIjIj

MP

07.9587.5173985

5850500

14.1301.9173985

5009000

17505250)7)(59)(100()50)(53)(7(

5850500)53)(100)(311()50)(7)(7()311)(50)(12(

5009000)50)(53)(311()311)(59)(100(

173985

)53)(53)(311()59)(7)(7()311)(59)(12(

0

050

0100

31107

05953

75312

3...........0)311(7

043)(7

3/

2..............050)59()53(

00506))(53(

2/

1..........01007)53()12(

0)(7))(53()42(0100

1/

22

11

3

2

1

3

2

1

31

3313

21

212

321

31211

100 0 V

10

3

6

50 0 V

J4

-j5

7

4 J3

6

85.29189.35

07.955.293)07.9587.5)(050(*

82.24040.877

14.13901)14.1301.9)(0100(*

39.2853.5173985

17505250

2

1

3

3

j

VAVIS

j

VAVIS

Potencias

ampj

jI

Ejercicio:

Teniendo en cuenta el siguiente circuito, calcular:

a) Calcular la IT

b) Calcular la potencia que aporta la fuente

c) Trazar el triangulo de potencias e indicar si la I esta atrasada o

adelantada respecto al voltaje

a)

b)

c)

4

01006j

3j

1200)87.36(2000

99.1599)87.36(cos2000

87.36200012001600)12816)(0100(

121634

0100

34

*

senQ

WattsP

VAjjVS

VIS

jjR

VI

jZ EqT

7

La corriente se encuentra adelantada

Ejercicio:

Calcular

a) La IT del circuito

b) Diagrama fasorial e indicar si esta atrasado o adelantada la I

con respecto al voltaje

c) Calcular la IT por reduccin, mallas y por admitancias

a)

86.36

VARQ 1200

WattsP 99.159910

VAS 2000

10

6j

8

4j

3

050

VARsenQ

WattsP

VAjVS

VIS

93.249)43.18(56.790

01.750)43.18(cos56.790

43.1856.790)55)(050(

*

51543.1881.15

86.36568

050

13.531043

050

0510

050

321

3

2

1

jIIII

jI

jI

R

VI

RIV

T

8

b) la corriente se encuentra atrasada

c) por reduccin

Por mallas (I1=I

T)

0)211()43(

0))(43()68(

/

0)43()413(10

0))(43()(10

/

0501010

0)(10050

/

32

233

3

321

3212

2

21

21

1

IjIj

IIjIj

MP

IjIjI

IIjII

MP

II

II

MP

5.225.1

5.525.7

5.525.12

0

0

050

)211()43(0

)43()413(10

01010

3

2

1

321

321

321

jI

jI

jI

IjIjI

IjIjI

III

43.18

VAS 56.790

WattsP 01.750

VARQ 93.249

Ampjj

I

jj

j

jjj

jj

T 5153

050

3)2410(

)24)(10(

24)68()43(

)68)(43(

9

Por admitancias:

ZY

1 1.0

10

11 Y 16.012.013.532.0

13.535

1

43

12 j

jY

06.008.09.361.09.3610

1

68

13 j

jY

435.1832.01.00306.008.016.012.01.0 jjjYT

Z

VI

ZY

1

YZ

1

51543.188.15)435.1832.0)(050( jVYI

IMPEDANCIA COMPLEJA Y NOTACIN FASORIAL

Se analiza el siguiente circuito:

valor eficaz

2

mRMS

VV por ejemplo si mV =1 voltsVRMS 7071.0

2

1

jwt)( mVtV de a cuerdo a Euler senwtjVwtVV mmm cosjwt

si aplicamos la 2 ley de kirchoff al circuito anterior

0)(

)(jwt dt

tdiLtRVm

dt

diLtVL )(

jwt)()( mVdt

tdiLtRi (1) esta

ecuacin es de 1 orden y su deduccin particular es de la forma

jwt)( Keti (2). sustituyendo 2 en 1 tenemos: jwtjwtjwt eVjwLkeRke m de

donde

jwlR

Vk m

e jwt)( e

jwlR

Vti m

10

La relacin entre las funciones de tensin en intensidad de corriente,

pone de manifiesto que la impedancia (z) es un numero complejo

cuya parte real es R y la imaginaria wL

jwlR

ejwlR

V

eV

ti

tvZ

m

m

jwt

jwt

)(

)(

La relacin entre las funciones de tensin e intensidad de corriente,

pone de manifiesto que la impedancia (Z) es un nmero complejo,

cuya parte real es R y la imaginaria es wL.

Ejercicio:

Hallar la intensidad de la corriente de mallas I 3

+

-

20V

2

j5

4j 5

6

+

-

30V

5

P/M1

0)(55030 211 IIJI

0305)55( 21 IJIJ (I)

P/M2

0)(6)32()(5 32212 IIIJIIJ

06)88(5 321 IIJIJ (II)

P/M3

00204)(6 323 III

020106 32 II (III)

La matriz queda como:

1I

2I 3I

020

0

030

1060

6885

0555

3

2

1

I

I

I

jj

jj

0 0

11

La solucin es:

AmpereJI 77.110.31

AmperejI 11.132.12

AmperejI 82.15037.167.020.13

Este mismo ejercicio se puede resolver por el siguiente mtodo:

+

-

20V

2

j5

4j 5

6

+

-

30V

5

Hallar la intensidad de la corriente de malla I 3

P/SM1

00300204)32()32(555 332321 IIjIjIII

010)311()37(5 321 IjIjI (I)

P/SM2

00306)32()32(555 332321 IIjIjIII

030)37()313(5 321 IjIjI (II)

P/SM3

00305555 1321 IjIII

03055)55( 321 IIIj (III)

La matriz queda como:

0 0

12

030

030

010

5555

373135

311375

3

2

1

I

I

I

j

jj

jj

La solucin es:

3I =-1.204 + J0.67 = 1.37 150.9 Ampere

TEOREMA DE THEVENING Y NORTON EN C.A

Un circuito en el cual todas las impedancias permanecen fijas, se

pueden resolver tanto por el mtodo de las corrientes de malla,

tambin conocido como la 2 LKV. Tambin se puede resolver por el

mtodo de las tensiones en los nodos conocida como la 1 LKV.

Considerando el siguiente circuito.

En los que Z 1 , Z 2 se pueden conectar entre los puntos A y B o grupo A.

Alcanzar el circuito obtendremos admitancias o impedancias

diferentes en consecuencia para este caso en particular habr 3

soluciones diferentes.

La mayor parte del trabajo que es muy engorroso para este tipo de

circuitos se puede sustituir el circuito A por un circuito equivalente que tiene los mismos efectos de circuitos A sobre la carga que el circuito equivalente.

GRUPO A GRUPO B

Z A

Z B

Z C

Z D Z 1 Z 2 V S

13

TEOREMA DE THEVENIN

Establece que cualquier circuito Lineal activo con terminales de

salida A y B, este se puede sustituir por un equivalente como el circuito

que continuacin se indica.

Pasos para la solucin de un circuito de Thevenin.

1 Paso: Obtener la Zeq

entre A y B = Z th

2 Paso: Obtener el V th = V AB

Calcular el equivalente en thevenindel siguiente circuito

Zcarga

j5

5

+

-j5

+

-

50

1 pas para obtener la Z th entre A y B

Si el circuito original tiene fuentes de voltajes, estas se colocan

en corto circuito y si hay fuentes de Is independientes se abren para

facilitar su anlisis.

Nota: Si por alguna razn hay fuentes dependientes de Vs e Is

este mtodo no

Aplica.

A

B

Circuito

Lineal

Activo V th

Z th Z

acarg

A

B

j5

5

+

-j5

A

Zeq

0

14

5-5j

4507.755

555

555

i

jj

jjZ eq

Z equivalente

Regresando al circuito original y calculando el voltaje

Calculando el Vab por medio de divisor de voltaje tenemos:

voltsj

V 457.705

)050)(55(2

El circuito queda como:

j5

5

+

-j5

50 0

A

B

70.5 45

A

B

5-j5

15

j5

5

+

-j5

+

-j5

j5

5

TEOREMA EN NORTON

Colocando el circuito en corto circuito

Por anlisis tenemos que las impedancias en paralelo son iguales a

cero de tal modo el circuito queda de la siguiente manera:

Calculando por ley de Ohm

AmperejR

VI 9010

5

050

El circuito equivalente en Norton queda como:

50 0

50 0

A

B

A

B

9010

16

Calcular:

Colocando las fuentes en cortocircuito, tenemos:

Calculando la Zeq:

15.2303.3667.3413

)10)(43(1 j

j

jZeq

15.28515.23 jjZeq

+

-j2.15

8

Regresando al circuito original y calculando la fuente de corriente

tenemos :

5+ -

10

+

-

+

-j4

3

A

B

20 0

10 45

5

10+

-j4

3

A

B

17

5+ -

10

+

-

+

-j4

3

+

-j2.15

8

Resolviendo por mallas

P/M1

0)(10020)43( 211 IIIj

02010)413( 21 IIj (I)

P/M2

054510020)(10 212 III

66.2873.141510 21 II

Resolviendo el sistema de ecuaciones

66.2873.14

020

1510

10413

2

1

I

Ij

Solucin:

2I = ccI =0.2296-j1.3668=1.38 Ampere46.80

El equivalente en Norton es:

A

B

20 0

10 45

1I

2I

A

B

46.8638.1

18

Zl+

-j2

2

j4

3

2

+

-

TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Calcular la ZL con la que obtendremos la mxima transferencia de

potencia.

Qu potencia mxima transfiere la fuente al circuito.

1.- Para calcular la ZL entre los puntos A y B se cortocircuitan las

fuentes de voltaje y las de corriente se abren en caso de existir en el

circuito.

4.05.148.1456.1

432

4321 j

j

jZ eq

9050

A

B

+

-j2

2

j4

3

2

Zeq1

B

A

19

Zl+

-j2

2

j4

3

2

+

-

118.0137.196.514.1

224.05.1

22)4.05.1(j

jj

jjZ eq

118.0137.1 j

Regresando al circuito original

1 por divisor de voltaje

+

-j2

2

j0.4

1.5

Zeq

9050

A

B Zeq

20

2 Calculando el valor de la fuente de thevenin del circuito original

conocer el Vab

6.05.267.1362.2

25

22)43(

j

jjZ eq

+-j0.6

2.5

2

+

-

Utilizando divisor de voltaje

volts

jV 8309329

6.05.4

90506.05.22

Calculando la potencia de la carga queda como

VA

Z

vS

VIS

1627.73796.514.1

93.8329

*

22

1.137+j0.118

1.137-j0.118

+

-

9050

21

TEOREMA DE SUPERPOSICION

A.-Calcule la i que se muestra en la figura anterior por el mtodo de

superposicin.

1.-Activando la fuente de .

Primero se tiene que calcular la Z equivalente del circuito. La J5 est

en paralelo con 3+J4 y despus esta se encuentra en serie con la de 5

OHm.

J5

3homs

J4

5homs

50 0 v 50 90 v i

5homs

50 90 v 3homs

J4

J5

22

5.28333.5)5()5.28333.0(

5.28333.0543

5431

JJZ

JJJ

JJZeq

Ya teniendo la Z equivalente se calcula la I total y despus por divisor

de Corriente se calcula la I1 que seria la primera parte de la i que

deseamos calcular.

AJJ

JII

AJJ

IT

12.434.024.710.393

5

24.710.35.28333.5

9050

1

1

Despus se activa la fuente de .

Calculando la Z equivalente vemos que la resistencia de 5 OHM est en

paralelo con la de 3+J4 y despus esta en serie con la J5.

25.65.2)5()25.15.2(

25.15.2)43()5(

)43(51

JJJZ

JJ

JZeq

Ya teniendo la Z equivalente se calcula la I total y despus por divisor

de Corriente se calcula la I1 que seria la segunda parte de la i que

deseamos calcular.

50 0 v

50 0 v

J5

3homs 5homs

J4

23

AJJJ

II

AJ

IT

13.434.0)89.675.2()43(5

5

89.675.225.65.2

50

11

1

La i que buscamos es la suma de los dos efectos que encontramos al

activar cada una de las dos fuentes.

AJIIi 2621.86945.0111

TEOREMA DE COMPENSACION

Calcular la fuente de compensacin para sustituir las impedancias en

paralelo J10 y 3+J4.

Para obtener la fuente de compensacin que pueda sustituir a las

impedancias en paralelo se necesita conocer su Zeq y la I que circula

por esas resistencias, que en este caso es la I total.

20v

5 OHM

J10

3

J4

24

AJJJ

I

JJJ

JJZeq

T 22.149.2)10()17.346.1(

20

17.346.1)10()43(

)10)(43(

Teniendo la Z y la I que circula por las resistencias se aplica la ley de

OHM (V=RI).

vV

vJV

JJV

09.3970.9

11.652.7

)22.149.2)(17.346.1(

La fuente de compensacin que dara de la siguiente forma:

TEOREMA DE RECIPROCIDAD

Este teorema solo aplica en circuitos que tengan una sola fuente. Este

consiste en cambiar la fuente de posicin en el circuito y calcular la

corriente que circula en el lugar donde anteriormente estaba la

fuente.

56 -17v

5

OHM

OHOH

MMs

J5

2 J3

6 2I1II

25

Para la resolucin y la obtencin de la I que se indica se utilizara la

segunda ley de Kirchhoff.

AJI

AJI

I

I

JJ

JJ

IJIJ

IJIIJ

M

IJIJ

IIJI

M

0206.034.3

31.537.5

0

1756

885

555

0)88()(5

0))(38()(5

1756)(5)(55

0)(55)1756(

2

1

2

1

21

212

2

21

211

1

Ahora hacemos el cambio de la fuente hacia la segunda malla.

Obtenemos la I buscada utilizando la segunda ley

5

homs

J5

8 J3

2I1II

56 -17v

26

AJI

AJI

I

I

JJ

JJ

IJIJ

IJIIJ

M

IJIJ

IIJI

M

31.336.3

0206.034.3

1756

0

885

555

1756)88()(5

01756))(38()(5

0)(5))(55(

0)(55

2

1

2

1

21

212

2

21

211

1

Como la I2 del primer circuito y la I1 en el segundo son iguales el

teorema se cumple.

TEOREMA DE MILLMAN

Este teorema es utilizado para circuitos con una gran cantidad de

mallas con la finalidad de obtener un circuito ms sencillo. En este

mtodo se utilizan las transformaciones Norton y Thevenin.

A

B

6

A

2

8

hom

s

3 A

A

B

6A

6

v

2

2

4

A

B

6A

6v

6 A 1.5 A 4

A

B

27 CBA

BC

CBA

CA

CBA

BA

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

3

2

1

SISTEMAS POLIFASICOS

3 3 hilos

3 4 hilos

3 5 hilos

Sistemas a trabajar:

Delta

Estrella

Segn el diagrama anterior se muestran a continuacin las formulas

de transformacin entre los dos sistemas:

Transformacin estrella-delta. Transformacin

delta-estrella.

7.5 A 4

A

B

A

B

30 v

F1

F2

F3

F1

F2

F3

Neutro

F1

F2

F3

Neutro Tierra fsica

28

1

323121

2

323121

3

323121

))(())(())((

))(())(())((

))(())(())((

Z

ZZZZZZZC

Z

ZZZZZZZB

Z

ZZZZZZZA

Nota.- En un sistema delta el voltaje de fase es igual al voltaje de fase

y la corriente de lnea es 1.73 veces ms grande que la de fase. En un

sistema estrella las corrientes son iguales y el voltaje de lnea es 1.73

veces ms grande que el de fase.

Potencia en sistemas polifsicos:

trifasicoVIS *3 Si los sistemas 3 son balanceados, entonces la transformacin de

estrella a delta ser:

1

1

2

1

1

111111 33

ZZ

Z

Z

ZZZZZZZA

Por lo que para la transformacin de delta a estrella quedara de la

siguiente forma:

31

AZZ

La potencia entonces ser:

***

3

***

333 CCBBAA

CCBBAA

IVIVIVS

IVIVIVS

29

m

L

m

L

V

V

V

V

2

230cos

373.173.1

30cos2

LLmmL

mL

VVVVV

VV

TENSIONES EN UN SISTEMA TRIFASICO 3

Nota: la eleccin de una tensin como referencia con un ngulo de

fase cero 0 nulo determina los ngulos de fase de todas las dems tensiones del sistema. Ejem:

30

voltsVV

voltsVV

voltsVV

V

CA

BC

AB

ABC

0

1

0

1

0

1

240

0

120

0

0

0

1503

303

903

LCN

LBN

LAN

VV

VV

VV

Voltajes 3 v2543

440

Voltajes 3 v1273

220

Sistema trifsico con un sistema ABC que alimenta una carga

alimentada en delta de 3 impedancias iguales con

valores: 0455AZ . Determinar las intensidades en las lneas IA,

IB, IC de acuerdo a la siguiente figura.

Para calcular las corrientes de fase:

31

0

0

0

7544455

120220

ABI ;

0

0

0

4544455

0220

BCI ;

0

0

0

16544455

240220

CAI

BCCAC

ABBCB

CAABA

III

III

III

000

000

000

16521.76454416544

7521.7675444544

4521.76165447544

C

B

A

I

I

I

La corriente de fase debe ser < a la corriente de lnea.

LLA

LLALLA

CLCBLBALA

CLCBLBALA

CCBBAA

IVIVIV

IVIVIVS

IVIVIVS

IVIVIVS

33

33

3

3

3333

33 LAAL

IIII

32

LLLL

LALAAA

IVIV

S

VVIVIVS

33

3

3

3

1

Calcular las corrientes de lnea y la corriente que circula por el

neutro de la siguiente figura.

a) Calcular las corrientes de lnea y la corriente que pase por el

neutro.

b) Dibujar su diagrama fasorial.

33

Si nuestro sistema es una carga en estrella alimentada a 150v (Nota:

a nivel nacional este tipo de voltaje no existe; es solo para fines de

ejercicio.).

a)

AmpI

AmpI

AmpI

C

B

A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

030305

30150

12030305

150150

12030305

90150

000 0301203012030

N

CBAN

I

IIII

0NI

b)

Calcular las corrientes de lnea y la corriente que circula por el

neutro de la siguiente figura.

a) Calcular las corrientes de lnea y la corriente que pase por el

neutro.

b) Dibujar su triangulo de potencias

34

a) Para las corrientes de lnea:

ANBNLN

ABBNLB

ANABLA

III

III

III

0

0

0

0

0

0

0

0

0

87.367.1213.5310

90127

13.537.1213.5310

0127

87.812213.5310

135220

AN

BN

AB

I

I

I

AmpI

AmpI

AmpI

LN

LB

LA

000

000

000

87.17196.17)87.367.12()13.537.12(

96.8125.32)87.8122()13.537.12(

7.6525.32)87.367.12()87.8122(

La corriente que circula por el neutro es ILN.

b) Para el triangulo de potencias:

ANBNABT SSSS

35

VAS

VAS

VAS

AN

BN

AB

000

000

000

13.539.161287.367.12*)90127(

13.539.161213.537.12*)0127(

13.53484087.8122*)135220(

VAST0000 13.538.8065)13.539.1612()13.539.1612()13.534840(

51.638115.4786 jST

Qu bibliografa utilisaste para

realizar tus notas, por lo menos

indica la que se les di en la

antologa?

HAY MUCHSIMOS ERRORES DE

ORTOGRAFA HAY QUE CORREGIRLOS

ATTE.

ING. GENARO CAMPOS CASTILLO