electromagnetismo

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá Licenciatura en Ciencias Exactas 1era. Prueba Cátedra 11-10-2007

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SOLUCIONARIO

Primera Prueba de Cátedra

Electromagnetismo

Licenciatura en Ciencias Exactas

Semestre de Primavera (11 de Octubre de 2007)

1. (Obligatorio) Hallar el potencial electrostático y el campo eléctrico a lo largo del

eje de simetría , para puntos fuera del cascarón esférico de radio al cual le falta la parte

superior, tal como se muestra en la figura. El ángulo de la parte faltante vale . El

casquete esférico resultante posee una densidad superficial de carga constante .

Solución:

Calcularemos el potencial electrostático , y a partir de esa solución calcularemos el campo

eléctrico .

Potencial electrostático:

El potencial viene dado por la expresión:

Si ubicamos el origen del sistema de referencia en el centro de la esfera y usamos coordenadas

polares, los vectores y vienen dados por

donde es un parámetro y no cambia durante el cálculo del potencial. El vector denota la

posición de un elemento diferencial de carga en la superficie del casquete esférico, luego

Usando las relaciones de transformación a coordenadas polares, se tiene

____________________________________________________________________________Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected]; [email protected]

1

0

x

z

y

mailto:[email protected]



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luego,

y su módulo viene dado por

Como se trata de un cascarón esférico con distribución de carga superficial dada por la densidad ,

el diferencial de carga viene dado por

Reemplazando y en , se tiene la expresión del potencial:

Para recorrer todo el casquete definido en el problema, el ángulo debe variar entre y

y el ángulo debe variar entre y . El radio del casquete esférico es

constante. Escribamos explícitamente las integrales con sus límites:

La integral en vale , y la integral en vale:

Dado que , el potencial electrostático queda:

Campo eléctrico:

Obtendremos el campo eléctrico a través de la relación . Dado que el potencial

depende sólo del parámetro , el campo viene dado por:

Antes de derivar, reescribamos el potencial en la forma más útil para la derivación:


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El campo eléctrico queda

2. (Obligatorio) Una distribución de carga cilíndrica con densidad volumétrica de carga

constante, muy larga y de radio , tiene un agujero cilíndrico muy largo de radio . Hallar el

campo eléctrico en un punto cualquiera al interior del agujero cilíndrico. Exprese el

resultado en función del vector que une los centros de los cilindros.

Hint: Después de calcular los campos eléctricos, escríbalos vectorialmente en función de los

vectores y que parten del centro de los cilindros y llegan al punto , tal como se muestra

en la figura.

Solución:

Dado que el punto se encuentra en la parte interior de ambos cilindros, sólo necesitamos calcular

el campo en el interior de un cilindro usando ley de Gauss. Usemos una Gassiana cilíndrica de radio

y altura , donde es menor que el radio de un cilindro con densidad volumétrica de carga

constante . Si el cilindro es muy largo, no hay contribución de las tapas del cilindro gaussiano a

la integral de flujo, luego la ley de Gauss queda:

El campo eléctrico es constante sobre la superficie del manto cilíndrico y además es paralelo a la

diferencial de superficie en cada punto, por lo tanto, podemos sacar al campo fuera de la integral


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P

dr

r




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donde es la altura del cilindro gaussiano. La carga neta encerrada dentro de la gaussiana viene

dada por

Reemplazando en , se tiene

Simplificando, se obtiene el módulo del campo eléctrico en el interior de cualquier cilindro con

densidad de carga .

Pero el campo eléctrico de un cilindro muy largo apunta radialmente, de manera perpendicular al

eje del cilindro,por lo tanto, el campo eléctrico se escribe vectorialmente en la forma

Ahora que tenemos una expresión general para el campo eléctrico al interior de una distribución

cilíndrica de carga, podemos aplicarla al problema en estudio.

Mirando la figura, el campo eléctrico del cilindro con densidad viene dado por

El campo eléctrico del agujero cilíndrico viene dado por

donde el signo menos viene dado porque estamos considerando que el agujero cilíndrico tiene una

densidad de carga negativa.

Por superposición, el campo resultante en el punto , viene dado por

Pero, , luego


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3. (Optativo) Se tiene la siguiente distribución esférica de carga, dada por la densidad volumétrica

carga:

a) Calcular el campo eléctrico en cada región.

b) Hallar la fuerza que ejerce una distribución esférica de carga sobre una varilla de

largo , con densidad lineal de carga , localizada como la muestra la figura.

c) ¿Qué relación debe cumplirse entre las constantes y para que la fuerza resultante

sobre la varilla sea cero?

Solución:

a) Calcular el campo eléctrico en cada región.

Dada la simetría del problema, usaremos gaussianas esféricas para calcular los campos en cada

región, como función de la distancia radial .

Región con :

Dado que y son paralelos sobre la superficie de la esfera, y dado que el módulo del campo

eléctrico no varía sobre la superficie de la esfera, la ley de Gauss queda:


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Lba rD




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Región con :

Del mismo modo que el caso anterior, la ley de Gauss queda:

Usando las expresiones para la densidad de carga en cada región, escribimos,

Región con :

Del mismo modo que el caso anterior, la ley de Gauss queda:

Dado que la densidad de carga existe solo hasta , escribimos,


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b) Hallar la fuerza que ejerce una distribución esférica de carga sobre una varilla de largo ,

con densidad lineal de carga , localizada como la muestra la figura.

La fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de carga de la varilla que está sobre el eje

radial, viene dada en función del campo externo a la esfera que existe en la región donde

está la varilla:

Reemplazando el campo dado por y la densidad lineal de carga de la varilla, se tiene

Por simplicidad de notación, escribimos

Las integrales quedan


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c) ¿Qué relación debe cumplirse entre las constantes y para que la fuerza resultante sobre

la varilla sea cero?

Si la carga total contenida en las esferas es cero, entonces el campo eléctrico se anula fuera de la

distribución de cargas y la fuerza sobre la varilla se hace cero, luego, basta exigir la condición

, esto es,

En consecuencia, la relación entre las constantes viene dada por:

4. (Optativo) a) Calcule el potencial para la distribución de cargas puntuales mostrada en la

figura. Esta distribución se llama cuadrupolo. b) Escriba la ecuación de las equipotenciales. Use

la siguiente notación: , donde se denomina “momento cuadrupolar”.

Hint: Calcule el potencial del sistema de cargas y luego use el teorema general de Pitágoras

para expresar y en función de , y . Después haga las expansiones en serie para la

condición , conservando términos hasta el orden .

Solución:

a) Calcule el potencial para la distribución de cargas puntuales mostrada en la figura. Esta

distribución se llama cuadrupolo.

El potencial en el punto producido por las tres cargas puntuales viene dado por


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1r

2r

r

q q2q

P

d d




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Usando el teorema general de Pitágoras, podemos expresar y en función de y del coseno

del ángulo , en la siguiente forma:

Usando la notación,

la relación se escribe

donde , porque

Del mismo modo,

Pero , por lo que la relación , queda,

Usando la notación,

la relación se escribe

donde , porque

Reemplazando y en , se tiene,


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La expansión en serie de Taylor de la expresión , para , viene dada por,

Usando esta relación, cada uno de los términos de la relación , queda,

Reemplazando estos resultados en , se tiene,

Usando los valores conocidos, se encuentra que

Del mismo modo,

Reemplazando y en , se tiene,

Despreciando los términos mayores o iguales a , por ser demasiado pequeños en nuestra

aproximación , se tiene


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Pero el momento cuadrupolar viene dado por , luego, en esta aproximación, el potencial

del cuadrupolo viene dado por

b) Escriba la ecuación de las equipotenciales.

La ecuación de las equipotenciales se obtiene imponiendo la condición que el potencial sea

constante:

Despejando,

Sea , entonces, la ecuación de las equipotenciales queda

Cambiando el valor de , se obtienen las diferentes curvas equipotenciales.


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