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Daniel Miloviccontenido

ELASTICIDAD Tercera edicin

LUIS ORTIZ BERROCAL Catedrtico numerario de Elasticidad y Resistencia de M aterialcs

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politcnica de Madrid

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ELASTICIDAD. Tercera edicin

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Contenido

Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Notaciones................................................................................. xv

l. Introduccin a l estudio de la Elasticidad ........ .. ....................... .......... . 1. J. Objeto de la Elasticidad y de la Resistencia de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Concepto de s lido............................................................ 4 1.3. Definicin de prisma mecnico............................................... 6 1.4. Equilibrio esttico y equilibrio elstico...................................... 7 1.5. Esfuerzos que se derivan de la accin de un sistema de fuerzas sobre un

prisma mecnico............................................................... 8 1.6. Concepto de tensin........................................................... 1 1

2. Estado tensional en los slidos elsticos.. . . .. . . . . . . . .. . .. .. . . . . . .. . . .. .. . . . . . . . . . . .. 13 2.1. Componentes intrnsecas del vector tensin sobre un elemento de superficie. 13 2.2. Estudio de los vectores tensin en un punto. Matriz de tensiones........ 14 2.3. Condiciones necesarias entre las componentes de la matriz de tensiones.

Ecuaciones de equilibrio...................................................... 18 2.4. Cambio del sistema de referencia............................................. 19 2.5. Tensiones y direcciones principales........................................... 21 2.6. Elipsoide de tensiones de Lam.............................................. 24 2.7. Cudricas indicatrices de tensiones........................................... 27 2.8. Cudricas directrices de tensiones............................................ 33 2.9. Representacin grfica plana de las componentes intrnsecas del vector

tensin en un estado tensional tridimensional. Crculos de Mohr......... 35 2.10. Estados cilndrico y esfrico.................................................. 43 2. 11. Tensiones octadricas.......................................................... 46

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 3. Anlisis de las deformaciones en un medio continuo ............................... 69

3.1. 1 n trod uccn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2. Matrices que producen giro.................................................. 71 3.3. Alargamientos producidos por una matriz. Direcciones principales....... 72 3.4. Matrices infinitesimales........................................................ 73

vii

ESTADO TENSIONAI. EN LOS SLIDOS ELSTICOS 17

e

X

Figura 2A.

Planteando las condiciones de equilibrio del tetraedro, se tiene:

o-x t/Q = o-,x atlQ + r X)' {JtlQ + r :.< ydQ o-r dQ = r,,1 adQ + o-,Y {JdQ + rY= }dO. o-= dO. = r = ;Lt/0. + r ,.: {3d O. + o-,= }dO.

Se puede expresar este sistema de ecuaciones en forma matricial

o bien simblicamente

[t1] = [T] [] La matriz

(

o-,x rxy r :.< ) [T] = r_,,. a,>. ry:

r:x !)': o-,=

y

(2.2.6)

(2.2.7)

(2.2.8)

(2.2.9)

que es simtrica y depende exclusivamente de los seis valores (2.2.5) se llama matri: de 1 e /ISO/I eS.

Javier TorresResaltado



ESTADO TENSIONAL EN LOS SOLIDOS ELSTICOS 19

evidente que la tensin en los . puntos de dicha superficie exterior dada por (2.2.7) ha de coincidir con .J'n. Las ecuaciones que traducen esta condicin

{

X = (J nx (1. + T x y /3 + T :.~ }' Y =

20 ELASTICJDAD

Estas ecuaciones se pueden expresar matricialmente

(2.4.3)

o bien, simblicamente

[rJ = [RJ [r*J (2.4.4)

en donde [R] es la matriz del cambio de ejes que, como sabemos, es una matriz ortogonal. Veamos qu relaciones existen entre las matrices de tensiones [T] y [T*] que definen

el estado tensional del prisma mecnico, pero respecto de sistemas de referencia distin tos. El vector tensin correspondiente a un plano rr, cuya orientacin viene definida por un

determinado vector unitario, se puede obtener, segn sea la referencia adoptada, mediante las ecuaciones

ca J = crJ ciiJ ; ca*J = cr*J c*J (2.4.5)

estando relacionadas las matrices del mismo vector tensin mediante la matriz del cambio de ejes

(2.4.6)

Por otra parte, las componentes del vector unitario respecto de ambos sistemas de referencia estn ligadas por la relacin

cJ = [RJ cii'*J (2.4. 7)

que nos permite obtener de forma inmediata la ecuacin inversa, teniendo en cuenta que por ser ortogonal la matriz del cambio de ejes, su inversa es igual a su traspuesta*.

[u*] = [R]T [J (2.4.8)

Teniendo en cuenta las expresiones (2.4.6), (2.4.5) y (2.4.8), podemos poner

[a ] = [R] [a*] = [R] [T*J[u*J = [RJ [T*J[R]r [] (2.4.9) Comparando esta ltima expresin con la (2.4.5) se obtiene la relacin que buscba-

mos, es decir, la relacin que existe entre las matrices de tensiones que definen el estado tensional en los puntos de un prisma mecnico, referidas a sistemas de referencia distintos.

[T] = [RJ[T*J [RJT o bien [T*] = [R]T [T] [R] (2.4.1 O)

* La demostracin de las propiedades de las matrices ortogonales se har en el Epgrafe 3.2.










ESTADO TENSIONAL EN LOS SLIDOS ELSTICOS 21

2.5. Tensiones y direcciones _principales

Aplicando la expresin (2.2.8) se obtiene, en un punto P, el vector tensin correspondiente a la orientacin definida por el vector unitario . Cabe preguntarnos si existir algn plano ta l que su vector tensin sea perpendicula r a l. Si existt.:, se tendr que verificar

[T] [] = u [i/] (2.5.1)

o bien, pasando a l primer miembro

[T- u J] [ti] = [O] (2.5.2)

siendo [I] la matriz unidad y u un escalar. Esta ecuacin matricial da lugar a un sistema homogneo de tres ecuaciones con tres

incgnitas:

{

(u,.x - a) a+ r_9 , (3 + r:.T y= O r .. ,. a+ (a,,.- a) (3 + r,.= y: O r=x a+ rY= {J + (a,.= - a) y - O

cuya condicin de compatibilidad es:

a,,,. - a r.,,. r=x

rx,. a,.>, - a rY= =0 r=x r,.= a,.= - (J

(2.5.3)

(2.5.4)

determinante que desarrollado es una ecuacin cbica en a llamada ecuacin caracterfst i-ca o sec11lar. Las races de esta ecuacin, que no son otra cosa que los valores propios de la matriz [T], reciben el nombre de tensio11es principales, y las direcciones correspondien-tes direccilmes principales.

Los va lores de las tensiones principales son independientes del sistema de referencia adoptado. Quiere esto decir que las races de la ecuacin caracterstica son invariantes. Al ser constante el coeficiente de a3, tambin lo sern los restantes coeficientes.

Como la ecuacin se puede poner en la forma

(2.5.5)

se deducen los siguientes invariantes:

El primero

(2.5.6)








22 ELASTICIDAD

llamado invariante lineal o teusin cihicu indica que en un punto interior a un slido elstico la suma de las tensiones normales segn las direcciones de los ejes de cualquier triedro trirrectngulo, es constante.

El segundo (2.5.7)

se denomina invariante c11adrt ico. El tercero (2.5.8)

nos indica que el determinante de la matriz de tensiones, en cada punto del sistema elstico, es otro invariante.

Al ser de tercer grado la ecuacin caracterstica, se puede asegurar la existencia como mfnimo de una raz real cr 1, es decir, existe por lo menos una direccin principal de la matriz [T].

Supongamos realizado un cambio de coordenadas de tal forma que tomemos la direccin principal correspondiente a la raz real cr 1 como eje Ox (Fig. 2.7). En este caso la matriz toma la forma

(

(j'l

[T'] = ~ o

(2.5.9) a;.J,

ya que a l multiplicar la matriz [T'] por el vector unitario en la direccin de Ox, el vector tensin que resulta tiene la misma direccin (puesto que es principal) y de mdulo cr 1

Las tres races de la ecuacin caracterstica: (j'l - (j' o o

IT' - (j' Il = o a;,,,- cr r~= = 0 (2.5.1 O) o r;.= cr;,=- cr

a'n.:

r',.-

a'm

a ,

Figura 2.7.


ESTA DO TENSIONAL EN LOS SLIDOS ELSTICOS 23

son invariantes. Una de ellas es a = a 1, que ya conocamos. Las otras dos son las de la ecuacin de segundo grado

(2.5.11)

que son reales, ya que su discriminante es siempre mayor o igual a cero.

(2.5.12)

Queda demostrado con esto que en todo punto interior de un slido elstico existen, si el determinante de la matriz de tensiones es distinto de cero, tres direcciones principales. En los planos perpendiculares a estas direcciones los vectores tensin correspondientes slo tienen componente no rmal, careciendo, por consiguiente, de componente tangencial.

Las tensiones principales so n los valo res propios o a utovalo res de la matriz de tensiones y las direcciones principales las definidas por los autovectores de dicha matriz.

Veamos que las tres direcciones principa les son ortogonales entre s. En efecto, consi-deremos dos races a 1 y a 2 de la ecuacin caracterstica. Sean 1 y , 2 los dos vectores que definen las dos direcciones principales correspondientes

[T] [ 1] = a 1 [ 1] [T][ 2] = a 2 [ 2J

(2.5.13)

Multiplicando escalarmente por ii 2 la primera ecuacin, por ii 1 la segunda y restando miembro a miembro, se tiene

(2.5.J 4)

en donde el superfndice T indica matriz traspuesta. Po r la propiedad distributiva del producto escalar de dos vectores

(2.5. 15)

Al ser la matriz de tensiones simtrica se verifica [T] = [T]-r y, por tanto, el primer miembro de (2.5.14) es nulo.

Basndonos en la misma propiedad del producto escala r, el segundo miembro se puede expresar as

(2.5.16)

Como, en general, las dos races a 1 y a 2 ser n diferentes, se deduce de esta expre-sin que

(2.5.17)

es decir. las direcciones principales forman un triedro trirrectngulo.

124 ELASTICIDAD

Es evidente que todo esto es aplicable al caso de estar sometido el prisma a compre-sin sin ms que cambiar los signos: en sentido longitudinal, la deformacin (acortamien-to) sera negativa, mientras que las deformaciones transversales (alargamientos) seran positivas.

Conviene advertir que una deformacin en una cierta direccin no implica que exista tensin en esa misma direccin. Segn se ha visto anteriormente. se han producido deformaciones transversales, sin que por ello y en esas direcciones se produzca tensin alguna.

Otra cosa sera si la superficie lateral del prisma no fuera libre o estuviera sometida a una accin exterior que causara unas tensio nes a,,. y a,= en el interior del prisma en las direcciones de los ejes y,:::, respectivamente. Para estos casos, y suponiendo que el material trabaja en la zona elstica, admitiremos el llamado principio de superposicin.

4.3. Principio de superposicin

En la teora lineal de la Elasticidad se admite el principio de Sllperposicicn, que expresa que el estado de equilibrio debido a varias acciones exteriores es igual a la superpos icin de las soluciones que corresponden a cada uno de los estados si cada accin exterior actuara independientemente.

Supongamos un slido elstico al que se aplican fuer1.as de superficie lo (X. Y. Z) y fuerzas de masa l,,, (X, Y. Z) y sea [T] la matriz de tensiones correspondiente.

Supongamos ahora el mismo slido elstico descargado al que aplicamos fuerzas de superficie .f~ (X', Y, Z') y fuerzas de masa f~. (X', Y, Z'), correspondiendo al estado tensional que este sistema crea una matriz de tensiones [T'].

Segn el citado principio de superposicin, si consideramos que al slido elstico aplicamos simultneamente los dos sistemas de fuerzas, .To + f~ y .J:.+/1,., la matriL de tensiones que corresponde es [T + T']. Es decir, las tensiones debidas a la accin simult-nea de dos sistemas de fuerzas se obtienen sumando las correspond ientes a las acciones aisladas de cada uno de ellos. Una consecuencia inmediata que se deduce del citado principio es que el estado final del cuerpo no depende del orden en que se aplican las fuerzas.

Es evidente que para que este principio sea vlido las tensiones en el estado tensional resultante de la superposicin de otros tienen que verilicar las ecuacio nes de equi librio interno, las ecuaciones de equilibrio en el contorno y las ecuaciones de compatibilidad expresadas en trminos de tensiones*.

Comprobemos, por ejemplo, la primera ecuacin de equilibrio interno. Para cada sistema de fuerzas actuando independientemente se verificar:

X a G",x ti

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES 125

Sumando miembro a miembro

(4.3.1)

Anlogamente comprobaramos las dems ecuaciones. Por ejemplo, la segunda ecua-cin de equilibrio en el contorno

Y = r,,y a+ a,Y f3 + r,: }' Y _ 1 + 1 f3 + rl ,

- r x a a,y ,,: '

de las que se obtiene, sumando miembro a miembro

(4.3.2)

Hay que advertir que la comprobacin de este principio descansa en el carcter lineal de las ecuaciones de cond icin. No se verificar en la teora no lineal. Incluso en la teora lineal, no se podr admitir el principio de superposicin cuando los cambios de posicin y forma del slido al aplicar el primer sistema de fuerzas haya que tenerlos en cuenta al aplicar el segundo sistema.

4.4. Leyes de Hooke generalizadas

En un punto interior de un slido elstico consideremos un entorno cbico cuyas aristas tengan las direcciones principales de la matriz de tensiones. Este cubo, cuya arista conside-raremos que tiene lo ngitud unidad a ntes de la deformacin, se convierte, despus de ca rgada la pieza, en otro cuyas longitudes de las aristas sern 1 + s 1, 1 + r. 2 , l + e3 (Fi-gura 4.5), ya que por conservarse las ca ras paralelas se deduce que las direcciones principales de las matrices de tensiones y de deformacin son coincidentes.

~

1 +e,

Figura 4.5.


126 ELASTICIDAD

Admitido el principio de superposicin. las deformaciones principales sern

(4.4.1)

stas son las llamadas leyes de H ooke generali:adas para el caso particular que los ejes coordenadas sean coincidentes con las direcciones principales. Relacionan entre s las componentes de las matrices de tensin y de deformacin que, en este caso, se reducen ambas a su forma diagonal.

Pero veamos cules seran las relaciones entre las componentes de ambas matrices cuando el sistema de ejes Oxyz no coincida con la terna formada por las direcciones principales.

Para ello consideremos en un punto O interior al slido elstico un sistema ortogonal Ox* y* :*, cuyos ejes coincidentes con las direcciones principales y otro Oxyz tambin ortogonal pero en una posicin arbitraria.

Sean: [T] la matriz de tensiones referida al sistema Ox.r:: [T*] la matriz de tensiones referida al sistema Ox*y*:* [D] la matriz de deformacin referida al sistema Oxyz [D *] la matriz de deformacin referida al sistema Ox*y*:*

Si u* es un vector unitario referido al sistema Ox*v*.:*, el vector tensin a* correspon-diente a la orientacin definida por dicho vector y e vector deformacin unitaria ~* en esa direccin. en virt ud de (2.2.8) y (3.9.2). tienen por expresiones

[a*J = [T*J [ii*J [f7*] = [D*] [il*] (4.4.2)

Sea el mismo vector unitario pero referido al sistema Oxy.:. y a y f. los vectores tensin y deformacin unitaria correspondientes

[aJ = [TJ [iiJ [:] = [D] [li] (4.4.3}

Al ser * y il el mismo vector unitario, los vectores tensin a* y a son iguales, as como tambin son iguales los vectores deformacin unitaria e* y i. Quiere esto decir que si [R] es la matriz del cambio de coordenadas del sistema Ox*y*.:* al Oxy.:, se tiene

[1] = [RJ[*J [riJ = [RJ [a*J [t;] = [R] [f.*]

(4.4.4)




ELASTICIDAD 4 RELAC ESF DEFOR.pdf4142434445Ejercicios

Elasticidad 5 planteamiento general.pdf5152535455565758ejercicios

Elasticidad 6 bidimensional cartesiana.pdf6.16.26.36.46.56.66.76.86.96.106.116.126.136.146.15ejercicios

Elasticidad 7 torsion.pdf717273747576ejercicios

elasticidad_luis_ortiz_berrocal.pdf

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