el triángulo trinomial
DESCRIPTION
El Triángulo Trinomial. Helena Hdez. Obregón. Índice. Introducción El Binomio de Newton El Triángulo de Pascal El Triángulo Trinomial Concepto Demostración El Teorema del Multinomio. Introducción. El Binomio de Newton. Expresión (a + b) p Expansión de un binomio. donde. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
El Triángulo Trinomial
Helena Hdez. Obregón
Índice
• Introducción– El Binomio de Newton– El Triángulo de Pascal
• El Triángulo Trinomial– Concepto– Demostración
• El Teorema del Multinomio
Introducción
El Binomio de Newton
• Expresión (a + b)p
• Expansión de un binomio
mmpp
m
p bam
pba
0
)(
)!(!
!
pmm
p
m
p
donde
El Triángulo de Pascal
mmpp
m
p bam
pba
0
)(
Índice
• Introducción– El Binomio de Newton– El Triángulo de Pascal
• El Triángulo Trinomial– Concepto– Demostración
• El Teorema del Multinomio
El Triángulo Trinomial
Concepto
• Desarrollo de (a + b + c)p, con p є +
• Ejemplo: (a + b + c)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1
5
10
10
5
1
Concepto
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
n
0 1 2 3 4 5
m
0
1
2
3
4
5
(m, n)
a5-m · bn · cm-n
(3, 2)
a2 · b2 · c1
Concepto
(a + b + c)5 =
1
+ 5 + 5
+ 10 + 20 + 10
+ 10 + 30 + 30 + 10
+ 5 + 20 + 30 + 20 + 5
+ 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
a5
a4
a3
a2
a1
a0
c0
c1
c2
c3
c4
c5
a4
a3
a2
a1
a0
a3
a2
a1
a0
a2
a1
a0
a1
a0 a0
c0
c1
c2
c3
c4
c0
c1
c2
c3
c0
c1
c2
c0
c1 c0b0 b1 b2 b3 b4 b5
b0 b1 b2 b3 b4
b0 b1 b2 b3
b0 b1 b2
b0 b1
b0
Demostración
• Binomio de Newton
mmpp
m
p bam
pba
0
)(
nmnm
n
mpp
m
p cbn
ma
m
pcba
00
)(
mmpp
m
p cbam
pcba )())((
0
nmnmpp
m
m
n
cban
m
m
p
0 0
• Trinomio
1 1
5 1 1
10 1 2 1
10 1 3 3 1
5 1 4 6 4 1
1 1 5 10 10 5 1
n0 1 2 3 4 5
m
0
1
2
3
4
5
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
m
0
1
2
3
4
5
n0 1 2 3 4 5
nmnm
n
mpp
m
p cbn
ma
m
pcba
00
)( nmnmpp
m
m
n
cban
m
m
p
0 0 )!(!
!
)!(!
!
mnn
m
pmm
p
n
m
m
p
303
2
45
)!32(!2
!3
)!53(!3
!5
2
3
3
5
p = 5
Índice
• Introducción– El Binomio de Newton– El Triángulo de Pascal
• El Triángulo Trinomial– Concepto– Demostración
• El Teorema del Multinomio
El Teorema del Multinomio
Teorema Multinomio
donde:
q
q
kq
kk
pkkk q
pq aaa
kkk
paaa ...
,...,,)...( 21
... 2121
1
21
!!...!
!,...,,
2121 qq kkk
pkkk
p
Para q = 3:
nmnmp
p
,, )!(!)!(
!
nmnmp
p
)!(!
!
)!(!
!
nmn
m
mpm
p
n
m
m
p
mpk 1 nk 2 nmk 3
¡¡¡ FIN !!!