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El Triángulo Trinomial
Helena Hdez. Obregón
Índice
• Introducción– El Binomio de Newton– El Triángulo de Pascal
• El Triángulo Trinomial– Concepto– Demostración
• El Teorema del Multinomio
Introducción
El Binomio de Newton
• Expresión (a + b)p
• Expansión de un binomio
mmpp
m
p bam
pba
0
)(
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!
pmm
p
m
p
donde
El Triángulo de Pascal
mmpp
m
p bam
pba
0
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Índice
• Introducción– El Binomio de Newton– El Triángulo de Pascal
• El Triángulo Trinomial– Concepto– Demostración
• El Teorema del Multinomio
El Triángulo Trinomial
Concepto
• Desarrollo de (a + b + c)p, con p є +
• Ejemplo: (a + b + c)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1
5
10
10
5
1
Concepto
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
n
0 1 2 3 4 5
m
0
1
2
3
4
5
(m, n)
a5-m · bn · cm-n
(3, 2)
a2 · b2 · c1
Concepto
(a + b + c)5 =
1
+ 5 + 5
+ 10 + 20 + 10
+ 10 + 30 + 30 + 10
+ 5 + 20 + 30 + 20 + 5
+ 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
a5
a4
a3
a2
a1
a0
c0
c1
c2
c3
c4
c5
a4
a3
a2
a1
a0
a3
a2
a1
a0
a2
a1
a0
a1
a0 a0
c0
c1
c2
c3
c4
c0
c1
c2
c3
c0
c1
c2
c0
c1 c0b0 b1 b2 b3 b4 b5
b0 b1 b2 b3 b4
b0 b1 b2 b3
b0 b1 b2
b0 b1
b0
Demostración
• Binomio de Newton
mmpp
m
p bam
pba
0
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nmnm
n
mpp
m
p cbn
ma
m
pcba
00
)(
mmpp
m
p cbam
pcba )())((
0
nmnmpp
m
m
n
cban
m
m
p
0 0
• Trinomio
1 1
5 1 1
10 1 2 1
10 1 3 3 1
5 1 4 6 4 1
1 1 5 10 10 5 1
n0 1 2 3 4 5
m
0
1
2
3
4
5
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
m
0
1
2
3
4
5
n0 1 2 3 4 5
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n
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m
m
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mnn
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p
n
m
m
p
303
2
45
)!32(!2
!3
)!53(!3
!5
2
3
3
5
p = 5
Índice
• Introducción– El Binomio de Newton– El Triángulo de Pascal
• El Triángulo Trinomial– Concepto– Demostración
• El Teorema del Multinomio
El Teorema del Multinomio
Teorema Multinomio
donde:
q
q
kq
kk
pkkk q
pq aaa
kkk
paaa ...
,...,,)...( 21
... 2121
1
21
!!...!
!,...,,
2121 qq kkk
pkkk
p
Para q = 3:
nmnmp
p
,, )!(!)!(
!
nmnmp
p
)!(!
!
)!(!
!
nmn
m
mpm
p
n
m
m
p
mpk 1 nk 2 nmk 3
¡¡¡ FIN !!!
