el tratamiento de la medida y las magnitudes en la educación
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Rebeca Aguado Mayoral
Luz Roncal Gómez
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2013-2014
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
El tratamiento de la medida y las magnitudes en laEducación Primaria
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
El tratamiento de la medida y las magnitudes en la Educación Primaria, trabajofin de grado
de Rebeca Aguado Mayoral, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la Universidadde La Rioja), se difunde bajo una Licencia
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Trabajo de Fin de Grado
EL TRATAMIENTO DE LA MEDIDA Y LAS MAGNITUDES EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA.
TREATMENT OF MEASURE AND MAGNITUDES IN PRIMARY
EDUCATION
Autor:
REBECA AGUADO MAYORAL
Tutor/es:
Fdo.
Titulación:
Grado en Educación Primaria [206G]
Facultad de Letras y de la Educación
AÑO ACADÉMICO: 2013/2014
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RESUMEN
Este proyecto presenta una metodología cuyo objetivo es que los alumnos de Educación
Primaria desarrollen y mejoren su competencia matemática a la hora de aprender
aspectos del bloque de contenidos que trata sobre las magnitudes y su medida. Las
actividades que propongo en cada una de las etapas, están centradas en el razonamiento
matemático, la implicación para investigar cuestiones nuevas y por último en poder
realizar las diferentes operaciones y problemas. De esta manera le doy mayor
importancia a que los alumnos conozcan e indaguen sobre los problemas que causaron
el origen del Sistema Métrico Decimal. La educación debería centrarse en motivar a los
alumnos para que ellos mismos quieran saber la razón del surgimiento de muchas cosas
y no solo explicarles la teoría como si fuesen niños sin inquietud por aprender. Por tanto
mi metodología es esencial para que los conocimientos adquiridos y las cuestiones que
les surjan las puedan aplicar en su vida cotidiana. En nuestro día a día nos encontramos
con multitud de situaciones y contextos en los que tenemos que utilizar las matemáticas.
Por esta razón el trabajo en clase deberá servir para prepararles para estos momentos
creando situaciones de medida lo más similares posibles a la realidad.
El trabajo comienza con la introducción de los conceptos de magnitud y medida,
explicando la historia de estas y cómo han ido evolucionando a lo largo de los años
hasta ahora.
Además este proyecto también contiene una propuesta de construcción de algunos
instrumentos de medida.
La evaluación se lleva a cabo mediante la observación y la realización de diversas
actividades, unas más ricas que otras desde el punto de vista matemático y educativo,
pero siempre centradas en el desarrollo de la competencia matemática en la medida y
estimación de magnitudes. La puesta en práctica de mi propuesta se realizó en el colegio
Escuelas Pías de Logroño, en la clase de 5º C, en la que he realizado las prácticas.
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ABSTRACT
This project presents a methodology whose aim is that the students of Primary
Education develop and improve their mathematical competence when they learn
contents on magnitudes and their measurement. The activities that I propose are centred
on the mathematical reasoning, on the investigation of new questions and finally on the
performance of operations and problems. I give importance to the investigation of the
problems which originated the Metric Decimal System. The education should focus on
motivating the students so that they want to know the reason of things, not only on
explaining the theory without further reasoning. Therefore my methodology is essential
to apply new knowledgements in their daily life. Every day, we find multitude of
situations and contexts in which we have to use the mathematics. For this reason the
work in the class will be useful to prepare them and to create situations that are similar
to the ones in real life.
This work begins with the introduction of the concepts of magnitude and measurement,
explaining the history of these and how they have developed throughout the years till
now.
Furthermore, this project also contains an offer of construction of some instruments of
measurement.
The evaluation consists of the observation and the accomplishment of activities
different from the mathematical and educational point of view, but always centred on
the development of the mathematical competence in the measurement and estimation of
magnitudes. I carried out my proposal in the school Escuelas Pías of Logroño, in the
class of 5 º C where I have attended the practices.
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ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN……………………………………….….5
1.1. CURRÍCULO Y DEFINICIÓN DE MAGNITUD….5
1.2. DESARROLLO HISTÓRICO……………………….7
1.3. PRESENTACIÓN DE MI PROPUESTA…………....9
2. OBJETIVOS Y CONTENIDOS…………………………...13
3. ENFOQUE TEÓRICO Y METODOLÓGÍA……………...15
3.1. PIAGET Y CHAMORRO-BELMONTE……… …..15
3.2. PROPUESTA GENERAL………………………… 16
4. DESARROLLO Y APLICACIÓN DE LA PROPUESTA 23
5. EVALUACIÓN…………………………………………......43
6. CONCLUSIONES………………………………………......45
7. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………47
4
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1. INTRODUCCIÓN
1.1. Currículo y definición de magnitud.
Las matemáticas permiten conocer y estructurar la realidad, analizarla y obtener
información para valorarla y tomar decisiones; son necesarias en la vida cotidiana, para
aprender a aprender, y también por lo que su aprendizaje aporta a la formación
intelectual general, y su contribución al desarrollo cognitivo. El uso de las herramientas
matemáticas permite abordar una gran variedad de situaciones. Las matemáticas son un
conjunto de saberes asociados a los números y a las formas, y constituyen una forma de
analizar diversas situaciones, se identifican con la deducción, la inducción, la
estimación, la aproximación, la probabilidad, la precisión, el rigor, la seguridad, etc.
Estas nos ayudan a enfrentarnos a situaciones abiertas, sin solución única y cerrada; son
un conjunto de ideas y formas que nos permiten analizar los fenómenos y situaciones
que se presentan en la realidad, para obtener informaciones y conclusiones que no
estaban explícitas y actuar, preguntarnos, obtener modelos e identificar relaciones y
estructuras, de modo que conllevan no sólo utilizar cantidades y formas geométricas
sino, y sobre todo, encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas.
Como se puede extraer del Currículo de Educación Primaria en la Comunidad
Autónoma de La Rioja (Decreto 4/2011. 28 Enero) en la Educación Primaria se busca
alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida como la capacidad para
enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones,
permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la comparación, la
estimación y el cálculo mental o escrito. Para lograr una verdadera alfabetización
numérica no basta con dominar los algoritmos de cálculo escrito, es necesario actuar
con seguridad ante los números y las cantidades, utilizarlos siempre que sea necesario e
identificar las relaciones básicas que se dan entre ellos. El trabajo en esta área en la
Educación Primaria estará basado en la experiencia; los contenidos de aprendizaje
parten de lo cercano, y se deberán abordar en contextos de identificación y resolución
de problemas. Las matemáticas se aprenden utilizándolas en contextos funcionales
relacionados con situaciones de la vida diaria, para ir adquiriendo progresivamente
conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos previos.
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Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la
actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje a lo largo de
la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la
resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas:
leer, reflexionar, planificar el proceso de resolución, establecer estrategias y
procedimientos y revisarlos, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si
se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados. El currículo básico se ha
formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el que se encuentra el
alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus posibilidades
cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con el entorno, y
de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa. Los objetivos
generales del área van encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e
iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones
elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser
capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.
Para facilitar la concreción curricular, los contenidos se han organizado en cuatro
bloques que responden al tipo de objetos matemáticos que se manejan en cada uno de
ellos: Números y operaciones, Medida, Geometría y Tratamiento de la información,
azar y probabilidad. Asimismo, en cada ciclo se han incluido unos contenidos comunes
a todos los bloques, que se refieren básicamente a la adquisición de actitudes. Pero esta
agrupación no determina métodos concretos, sólo es una forma de organizar los
contenidos que han de ser abordados de una manera enlazada atendiendo a
configuración cíclica de la enseñanza del área, construyendo unos contenidos sobre los
otros, como una estructura de relaciones observables de forma que se facilite su
comprensión y aplicación en contextos cada vez más enriquecedores y complejos. Esta
agrupación no implica una organización cerrada, por el contrario, permitirá organizar de
diferentes maneras los contenidos adoptando la metodología más adecuada a las
características de los mismos y del grupo de alumnos.
El bloque 2 de contenidos del Currículo de Educación Primaria en la Comunidad
Autónoma de La Rioja, en todos los ciclos de esta etapa, trata sobre la medida,
estimación y cálculo de magnitudes. Es por esto que es fundamental que los alumnos
lleguen a interpretar correctamente este apartado. Mi intención en este Trabajo de Fin de
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Grado es mostrar una metodología de aprendizaje de los contenidos de este bloque 2,
basada en el desarrollo histórico de estos conceptos. Para ello, comenzaré con el
problema que tenían nuestros antepasados a la hora de medir magnitudes sin tener un
sistema métrico decimal. Los alumnos deben conocer desde el principio el origen del
problema de la medida y por qué utilizamos en la actualidad este tipo de
sistematización.
Un primer ejercicio que ayude a tomar conciencia de la importancia de las magnitudes y
medidas consiste en anotar, desde que te levantas hasta que te acuestas todas aquellas
situaciones en las que aparece la estimación, comparación o medida de alguna
magnitud. Son más de las que nadie imagina, ya que magnitudes y medidas son algo
cotidiano y muy frecuente.
Para comenzar es necesario definir aquello que llamamos magnitud. En términos
generales, la magnitud es aquella propiedad de los cuerpos que puede ser medida. Por
tanto se entienden como magnitudes el peso, la temperatura, la longitud, etc.
1.2. Desarrollo histórico
El gran problema que tuvo el hombre fue poder expresar numéricamente ciertas
propiedades de los objetos y de la naturaleza que se encontraban a su alrededor, y por
ello empezó a medir mediante conteo de objetos ya que no tenía ninguna otra técnica.
Avanzados los años, desarrolló el concepto de medida realizando sus primeras
mediciones a partir de unidades muy comunes como las medidas corporales o
antropomórficas. Cada pueblo o país comparaba las cosas con lo que más se
relacionaba. Por ejemplo, usaban la mano para medir distancias, y aún hoy mucha
gente, cuando no tiene una regla o una cinta métrica, mide el ancho de la puerta con la
mano o el largo del patio con pasos. El problema de esto es obvio: todos los seres
humanos no tienen los pies ni las manos del mismo tamaño, con lo cual este método de
medición no es eficiente. Al no tener ningún punto de referencia, tuvieron que buscarse
la vida tomando como medida objetos que estaban a su alcance relacionándolos entre sí.
Para poder saber la medida de algo necesario en su día a día, la comparación de masas
según la sensibilidad muscular y la medida de distancias relacionándolas con el tiempo
fueron técnicas que llevaron a cabo.
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Estas unidades de medida no resultaban muy fiables ya que podían variar de una
persona a otra y de diferentes lugares a otros. Por ello se empezaron a plantear
dificultades a la hora de establecer las relaciones comerciales entre ellos. Gracias a esta
situación se plantea la necesidad de medir, definir, establecer y utilizar un sistema de
medidas universal. Con el paso del tiempo los comercios, industrias y la ciencia fueron
factores esenciales en el desarrollo del importante papel que desempeñan las mediciones
hoy en día en las relaciones entre los hombres.
Los primeros que se esforzaron en imponer un sistema único de medidas fueron los
romanos. Sin embargo, todavía durante la Edad Media las medidas tenían cada una
valores diferentes dependiendo de una provincia a otra.
El primer paso para solucionar esto lo dio el sacerdote francés Gabriel Mouton, quien,
en 1670, propuso un sistema decimal cuya unidad era la longitud del arco de meridiano
equivalente a un minuto de arco. Más tarde, los físicos que se interesaron en esta
cuestión durante los siglos XVI y XVII (principalmente el inglés Wren, el holandés
Huygens y los franceses Picard y La Condamine), propusieron otros patrones para
medir longitud. En el siglo XVIII la leña se vendía por cuerdas, el carbón vegetal por
cestos, el carbón de piedra por sacos, el ocre por toneles y la madera de construcción
por marcas o vigas. Se vendía la fruta para sidra por barricas; la sal por moyos, por
sextarios, por minas; la cal se vendía por barricas y el mineral por espuertas. Se
compraba la avena por picotines y el yeso por sacos; se despachaba el vino por pintas,
jarras, pasmos, galones y botellas. El aguardiente se vendía por cuartillos, el trigo por
moyos y escudillas. Los paños, cortinas y tapices se compraban por alnas cuadradas; los
bosques y prados se contaban en pértigas cuadradas, la viña en cuarteras. Los boticarios
pesaban en libras, onzas, dracmas y escrúpulos. La libra valía doce onzas, la onza ocho
dracmas, la dracma tres escrúpulos y el escrúpulo veinte granos.
Mientras tanto, la determinación de la unidad universal de peso, el kilo, se le encarga al
químico Lavoisier quien concluye que determinar la unidad de peso significa pesar la
cantidad de materia que un cuerpo determinado contiene en un volumen determinado.
Llega la Revolución Francesa y el 5 de octubre de 1793, y en medio de la fiebre de
cambiar la medida de todas las cosas que recordaran al régimen anterior, a propuesta de
un joven profesor de matemáticas, Gilbert Romme, se adopta el calendario republicano.
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El 7 de abril de 1795 se decreta que habrá un solo patrón de pesos y medidas para toda
Francia e invita a los ciudadanos “a dar una prueba de su afecto por la unidad e
indivisibilidad de la República utilizando, a partir de ahora, las nuevas medidas”. El 25
de septiembre del mismo año el uso del metro sustituye a otras medidas que se
utilizaban en el municipio de París.
Todas las mediciones fueron largamente estudiadas y verificadas por los miembros de la
Comisión Internacional reunida en París “ad hoc” durante varios meses. A partir de
ellas se efectuaron los distintos cálculos y se estableció la longitud del metro.
Tras mucho pensar, los científicos de la época se pusieron de acuerdo en que la unidad
de medición debería tener que ver con el planeta Tierra. ¿Por qué no hacer que la unidad
de longitud sea la diez millonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre? Esto tiene
su explicación ya que un meridiano terrestre es la distancia que va desde el Polo Norte
al Polo Sur y vuelta al Polo Norte, es decir, una vuelta completa al planeta pasando por
ambos polos. La Academia de Ciencias le encomendó a un grupo de aventureros que
fueran a medir la distancia de la ciudad de Dunkirk, Francia, hasta la de Barcelona,
España. Gracias a esa medición, se pudo calcular el largo del cuarto de meridiano
terrestre. A ese número se le dividió por diez millones. El largo que resultó de esa
cuenta se usó para fabricar una barra de platino bautizándola con el nombre de metro. A
partir de ese momento, todas las mediciones fueron comparaciones con esa barra de
platino. Actualmente, la definición de metro supera a la barra de platino.
Finalmente, tras un emperador, un rey, una pequeña revolución, un segundo rey... el 1
de enero de 1840 el Sistema Métrico Decimal se hace oficial y obligatorio en territorio
francés; España lo declara obligatorio el 19 de julio de 1849.
1.3. Presentación de mi propuesta
Es esencial que los niños sepan que la medida de una magnitud es un concepto que ellos
no pueden apreciar de una forma espontánea y fácil a simple vista. Según avanzan los
cursos de enseñanza, gracias a la práctica y la experiencia podrán entender mejor los
conceptos. Es necesario que los alumnos tomen contacto con magnitudes y medidas
desde etapas tempranas mediante situaciones que les lleven a la investigación gracias al
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descubrimiento de las magnitudes físicas comparando diferentes objetos y sus
cualidades con la ayuda de los utensilios adecuados para ello. Por otro lado, es
necesario que identifiquen las unidades del Sistema Métrico Decimal (las de longitud,
capacidad, masa, superficie y volumen), pero no hay que centrarse exhaustivamente en
el trabajo aritmético. De hecho, el trabajo con magnitudes y medidas se ha de centrar en
que:
-Estimen longitudes, capacidades, masas, superficies y volúmenes de objetos y espacios
conocidos; eligiendo la unidad y los instrumentos más adecuados para medir y expresar
una medida, explicando de forma oral el proceso seguido y la estrategia utilizada.
-Puedan medir con instrumentos, utilizando estrategias y unidades convencionales y no
convencionales, eligiendo la unidad más adecuada para la expresión de una medida.
-Comparen y ordenen las medidas de una misma magnitud utilizando las equivalencias.
Y finalmente que sepan resolver problemas utilizando las unidades de medida más
usuales, convirtiendo unas unidades en otras de la misma magnitud, expresando los
resultados en las unidades de medida más adecuadas, explicando oralmente y por
escrito, el proceso seguido.
En este trabajo voy a proponer una secuencia metodológica para el uso de magnitudes
lineales y medidas en el tercer ciclo de Educación Primaria. Partiremos de la
manipulación y la experimentación, y desarrollando los elementos necesarios se tratará
de llegar a tomar conciencia de la necesidad de un sistema de medida universal, el cual
se trabajará de manera aritmética solo al final de dicha secuencia.
Es interesante reflexionar sobre los errores más frecuentes en los niños de estas edades
y por ello me interesa plasmar la posible causa y poder utilizar una serie de estrategias
adecuadas a ello. Los errores más comunes suelen ser:
o Uso erróneo de los sentidos.
o Uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos.
o Errores cometidos en la medición debidos a los malos procedimientos
empleados o a la elección de una unidad inadecuada.
o Errores de apreciación de la cantidad y posibilidad de autocorrección. Confusión
entre magnitudes.
o Resolución de problemas que contienen datos erróneos o no reales.
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o Abuso de la “exactitud” en las medidas.
o Escrituras erróneas o sin sentido.
o Carencia de estrategia para efectuar medidas de objetos comunes.
Mi intención con este proyecto es subsanar, o que no sucedan estos errores citados,
con mi propuesta. La finalidad es evitar que aparezcan estos problemas en el
alumnado y plantear una metodología para combatirlos y reforzar el aprendizaje de
este tema, haciéndolo de una manera motivante y que lo vean cercano y puedan
experimentar.
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2. OBJETIVOS Y CONTENIDOS
2.1 Objetivos:
o Conocer y comprender el origen de las magnitudes de medida.
o Facilitar y mejorar la comprensión de las magnitudes en Educación Primaria.
o Valorar con mayor importancia el conocimiento adquirido del alumno sin una
memorización de fórmulas, sino a su investigación.
o Manejar la medida en situaciones diversas.
o Resolver problemas de medida explicando el significado de los datos.
o Desarrollar estrategias personales para medir diferentes objetos.
o Utilizar instrumentos y unidades de medida convencionales en contextos
adecuados.
2.2 Contenidos:
o Unidades del Sistema Métrico Decimal.
o Longitud, capacidad, masa, superficie y volumen: Equivalencias entre las
medidas de capacidad y volumen.
o Expresión e forma simple de una medición de longitud, capacidad o masa,
en forma compleja y viceversa.
o Comparación y Ordenación de medidas de una misma magnitud.
o Desarrollo de estrategias para medir figuras de manera exacta y aproximada.
o Elección de la unidad más adecuada para la expresión de una medida.
o Realización de mediciones.
o Sumar y restar medidas de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
o Estimación de longitudes, capacidades, masas, superficies y volúmenes de
objetos y espacios conocidos; elección de la unidad y de los instrumentos
más adecuados para medir y expresar una medida.
o Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en
cualquiera de los procedimientos utilizados.
o Medida de tiempo: Unidades de medida del tiempo y sus relaciones.
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3. ENFOQUE TEÓRICO Y METODOLOGÍA
3.1 Enfoque teórico según Piaget y Chamorro-Belmonte
El libro El problema de la medida escrito por Mª Del Carmen Chamorro Plaza y Juan
Miguel Belmonte Gómez, pretende ayudar al maestro a la hora de reflexionar sobre uno
de los problemas más frecuentes en la docencia, la medida. Para ello dispone de
diferentes bases psicológicas y ejemplos con juegos, los cuales son muy útiles para
poder abordar este tema.
Es necesario comenzar hablando sobre los principales estadios que un niño debe superar
para el conocimiento y manejo de una magnitud.
El primer estadio sería el de Consideración y percepción de una magnitud como aquella
propiedad que posee una serie de objetos, sin tener en cuenta otras propiedades que
puedan presentar tales objetos.
El segundo es un estadio que el alumno supera una vez haya adquirido la idea de que
aunque un objeto cambie de forma, posición, tamaño o alguna otra propiedad, hay algo
que siempre permanece constante, Conservación de una magnitud.
Ordenación respecto a una magnitud dada, cuando el niño es capaz de ordenar objetos
teniendo en cuenta únicamente la magnitud a la que corresponde.
El último estadio corresponde a la capacidad que tiene el niño para establecer una
relación entre la magnitud y el número, es decir, que es capaz de medir.
Según Piaget (Chamorro, 1991), el niño realiza sus primeras medidas de una manera
espontánea; por tanto, desde un punto de vista psicológico, se trata de mejorar todo lo
que sea posible los mecanismos que intervienen en la construcción de la medida, para
sentar unas bases que les permitan una adquisición adecuada de la idea de medida en
cualquier magnitud particular.
El niño, para medir, empieza utilizando una medida a partir de sus impresiones
sensoriales. Gracias a la práctica durante cursos escolares pueden ser capaces de tomar
medidas con mayor precisión y conocimiento.
Para facilitar a los niños la adquisición del concepto de magnitud hay que realizar
muchas actividades de clasificación y seriación. Se debe comenzar en Educación
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Infantil mediante actividades de juego libre o dirigidas por el profesor. Estas actividades
de juego libre suelen proporcionar una gran información de tipo físico, necesaria para
que reconozcan y estimen las magnitudes. Actualmente en las clases cuentan con
abundante material para ello (barras de madera Montessori, regletas Cuisenaire, bandas
de cartón, metro de costurera, cuerdas, alambres, cubos encajables, etc.)
3.2. Propuesta general
La propuesta metodológica que presento en este trabajo se basa en una progresiva
comprensión del Sistema Métrico Decimal, en analogía a cómo evolucionaron las
magnitudes y medidas históricamente. De hecho, es conveniente que no se trabaje con
el Sistema Métrico Decimal hasta que los alumnos hayan trabajado bastante con
unidades antropométricas y diferentes patrones después. Esto se debe a la gran
dificultad para los alumnos de Primaria en trabajar con este sistema sin un trabajo
previo que les permita comprender los procesos de medición y la idea de unidad.
Teniendo en cuenta los contenidos de cada ciclo y por supuesto de cada curso, daremos
mayor o menor importancia a cada una de las siguientes etapas citadas a continuación.
Es conveniente que en los primeros cursos de Educación Primaria se trabajen las tres
primeras etapas ya que es necesario comenzar con la explicación e introducción del
concepto de magnitud y sus medidas ya sea con objetos o de manera antropomórfica. El
nivel de estos conceptos en el primer ciclo de Primaria es muy básico pero esencial para
el desarrollo de los conocimientos acerca de las magnitudes y su medida.
En segundo ciclo ya nos adentraremos en la necesidad de una misma medida y las
unidades universales. Todo esto recordando y trabajando las etapas anteriores como
base y haciendo una introducción en la aritmetización y estimación de dichas medidas.
Finalmente en el tercer ciclo de Educación Primaria se trabajan todas las etapas de
manera global dándole gran importancia al razonamiento personal y al espíritu crítico a
la hora de buscar estrategias para resolver los ejercicios que se proponen y no solo
centrarse en la explicación tradicional sino en una clase cooperativa en la que los
alumnos sean los protagonistas gracias a sus puntos de vista.
Las etapas de trabajo en mi propuesta son las siguientes:
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1. Reflexión del concepto magnitud y medida
2. Introducción de medidas antropomórficas
3. Introducción de medidas con objetos
4. Necesidad de una misma medida
5. Unidades universales smd
6. Aritmetización (múltiplos y submúltiplos)
7. Aproximación y estimación
1. Reflexión del concepto magnitud y medida
Para comenzar es necesario que los alumnos tengan claro las definiciones de magnitud y
medida ya que no se puede trabajar con algo sin conocer lo principal.
Iniciando con una breve introducción acerca de estos conceptos y haciéndoles pensar en
situaciones de su día a día en los que aparezcan diferentes magnitudes. Es muy
importante hacerles pensar ya que ellos se motivan y tienden a superarse, indagando en
su interior y mostrando lo que han pensado. Gracias a sus aportaciones se puede
establecer una dinámica en la clase para poder resolver y corregir aquellos fallos
comunes entre el concepto de magnitud y medida.
2. Introducción de medidas antropomórficas
Una vez adentrados en el tema de las magnitudes y su medida, conviene que los
alumnos establezcan su propia percepción sobre la medida. Debido al desconocimiento
del origen de un sistema universal, los alumnos deben elaborar sus propias mediciones
mediante las medidas antropomórficas ayudándose con las partes del cuerpo que
necesiten. Gracias a esta técnica pueden observar que no existe una medición fiable ya
que cada uno tiene diferente tamaño de manos o zancadas en caso de que hayan
utilizado estas partes del cuerpo. Por ello tienen que plantearse que no es el mejor
método para medir y que nuestros antepasados empezaron haciéndolo así debido a la
necesidad de contar y medir los objetos en sus días para poder vivir. Es importante que
capten el sentido que tiene medir con las partes del cuerpo y que debido a su poca
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fiabilidad, se fueron buscando otros tipos de mediciones hasta llegar al actual Sistema
Métrico Decimal.
3. Introducción de medidas con objetos
Saber medir es importante ya que nos permite conocer el tamaño de los objetos de
nuestro alrededor, luego podemos compararlos y ordenarlos según su tamaño. Para
medir conviene hacer comparaciones entre varios objetos y luego, elegir una unidad de
medida, que puede ser otro objeto o simplemente una parte del cuerpo como hemos
visto en la etapa anterior de mi propuesta, como el pie, la mano o los dedos.
Para que ellos practicasen les propondré establecer por ellos solos un sistema mediante
bolígrafos, gomas y la regla. De esta manera compararán y medirán objetos con otros
objetos. Por ejemplo la mesa corresponde a un número de gomas. Todo ello depende del
tamaño de la goma, ya que no todos los alumnos de la misma clase poseen la misma
goma. Sucede lo mismo con los bolígrafos y por ello este tipo de sistema de medición
no puede establecerse como universal dentro de la clase.
Muchas veces podemos distinguir que un objeto es más grande que otro con sólo
mirarlos. En esos casos medimos por apariencia o por sensación y no nos hace falta
utilizar otro tipo de medición.
4. Necesidad de una misma medida
Tras observar lo que sucede en la etapa anterior, los alumnos se dan cuenta y piensan
que necesitan medir los objetos con algo que fuese común para todos.
De esta manera se ponen en la piel de los antiguos vendedores que necesitaban una
misma medida ya que los productos pesaban y tenían diferentes dimensiones entre ellos.
De ahí les surge la curiosidad de conocer un sistema con la misma unidad de medida.
Por ello es conveniente adentrarles un poco en la historia del establecimiento del
Sistema actual para que conozcan el origen. Esto se ve en la siguiente etapa.
5. Unidades universales SMD
En este trabajo solo me centro en la importancia de las magnitudes lineales ya que son
las principales y por ello les doy mayor importancia. A continuación muestro una tabla
con algunas magnitudes y su abreviatura, no solo lineales. Recuerdo que superficie y
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volumen también son contenidos del currículo. Las principales magnitudes se recogen
en la tabla 1.
Magnitud Nombre Símbolo
Longitud Metro m
Masa Kilogramo kg
Capacidad Litro l
Tiempo Segundo s
Intensidad de corriente eléctrica Amperio A
Temperatura termodinámica Kelvin K
Cantidad de sustancia Mol mol
Intensidad luminosa Candela cd
Superficie Metro cuadrado
m²
Volumen Metro cúbico m³
Tabla 1
-El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de
1/299 792 458 de segundo. Unidad de longitud: metro (m)
-Unidad de masa: El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del
kilogramo.
-Unidad de capacidad: El litro (l).
Estas tres son las principales que se trabajan en el currículo de primaria pero es
conveniente recordar que superficie y volumen también se introducen en el tercer ciclo.
-Unidad de tiempo: El segundo (s).
-Unidad de intensidad de corriente eléctrica: El amperio (A).
-Unidad de temperatura termodinámica: El kelvin (K).
-Unidad de cantidad de sustancia: El mol (mol).
-Unidad de intensidad luminosa: La candela (cd).
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-Unidad de superficie: El metro cuadrado (m²)
-Unidad de volumen: El metro cúbico (m³)
6. Aritmetización (múltiplos y submúltiplos)
La aritmetización es necesaria a la hora de tomar conciencia sobre los cambios que se
deben realizar según las magnitudes que queramos trabajar. Esta rama de las
matemáticas surge del problema de diferentes cantidades dentro de una misma
magnitud. Entonces el sistema métrico decimal establece las relaciones con sus
múltiplos y submúltiplos para que gracias a la realización de una pequeña operación
sepamos la equivalencia entre diferentes mediciones.
Solo una vez que las anteriores etapas han sido comprendidas, me centraré en el trabajo
de aritmetización.
7. Aproximación y estimación
En nuestra vida cotidiana no solemos dar de manera exacta la medida de un objeto, sino
que tendemos a la aproximación. Por ello es necesario que en la escuela, tanto la
estimación como la aproximación se traten en matemáticas como algo cercano en su día
a día.
La estimación es aquella suposición que se acerca al valor real. Suponemos que una
cifra estará cerca de la cantidad exacta.
La aproximación es el acercamiento a la cantidad correcta pero no exacta. Por ello
decimos que se aproxima, pero nunca llega a acercarse tanto como el valor exacto.
Cuando se realizan mediciones de cantidades son frecuentes los errores. Estos pueden
llegar a deberse al fallo del instrumento de medición o a la persona que lo haya
realizado.
Rodino, Batanero y Roa nos dicen que “para estimar la medida de una cantidad,
acercándose lo más posible al valor exacto, hay que repetir la medida varias veces,
calcular el valor medio y los errores absolutos y las medidas de dispersión
correspondientes.” (Cantero: 2010, 4)
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En el sistema educativo se considera la estimación como aquel proceso por el que el
niño es capaz de acercarse al valor exacto sin necesidad de utilizar ningún instrumento
de medición, sino su propio instinto gracias a la interiorización de las magnitudes y su
medida. Para poder desarrollar estos procesos es necesario primero que analicen aquello
que tienen que medir para que lo conozcan y lo identifiquen. El trabajo en equipo puede
ayudarles a contrastar resultados y debatir entre ellos cuál es el más aproximado. La
manipulación de los objetos a medir puede facilitar el proceso de estimación. Plantear
hipótesis y comprobar finalmente si estas son ciertas.
Las estrategias más apropiadas para trabajar la estimación en Educación Primaria son
las siguientes: Primero se debe visualizar la unidad a tratar y repetirla sobre el objeto
que vamos a medir. En segundo lugar es conveniente la comparación entre la longitud
que va a ser medida con la de un objeto que ya conocemos. Después puede ser de gran
ayuda el disponer de objetos iguales a lo largo de la longitud concreta. Finalmente hallar
mitades es una técnica conveniente ya que vemos la relación doble-mitad.
Todo esto permite a los niños realizar comparaciones entre los objetos que están a su
alrededor, suelen darse aquellas como “menor que”, “mayor que”. Muchas de estas
expresiones las usan estando con sus compañeros y mientras juegan, dialogan, discuten
y las dicen en voz alta sin ser conscientes de que así están aprendiendo mucho más.
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4. DESARROLLO Y APLICACIÓN
Aprovechando mi estancia durante las prácticas en el centro Escuelas Pías de Logroño,
he elaborado un plan de desarrollo de este proyecto centrándome en los alumnos del
tercer ciclo, pero sobre todo teniendo en cuenta el grado de dificultad del temario a
tratar me he centrado en la clase de 5º C, que es en la que he podido desarrollar mi
experiencia como futura docente.
La clase está compuesta por 30 alumnos de los cuales 16 son chicas y 14 son chicos.
Por cuestiones académicas y orientativas se les mezcla al final de cada ciclo para buscar
clases más heterogéneas. Algunos alumnos de este curso muestran un grado de
madurez, pero otros todavía no y hay que estar muy pendientes de ellos. Las relaciones
entre ellos son bastante buenas.
El tema que he preparado en mi Unidad Didáctica en el Prácticum es el de “Operaciones
con números decimales” y para comenzar la primera sesión como en todas las clases de
matemáticas, empezamos con el cálculo mental. Ellos iban anotando sus resultados en
el cuaderno y finalmente los corregimos en alto para observar los fallos de la clase.
Nos adentramos en el tema observando con los alumnos diferentes objetos con sus
respectivos pesos y precios. Para ello dispusimos de un paquete de galletas, una hucha
vacía y un paquete de pasta. Los alumnos iban saliendo por grupos de 4 al rincón en el
que estaba preparado el material. Disponían de diferentes tipos de básculas y
contrastaban el peso en cada una de ellas. De esta manera pretendía que se
familiarizasen con decimales que aparecían asociados a situaciones que estuviesen más
cercanas a ellos.
En este caso el tema trataba de decimales pero como podemos observar, metí el
concepto de peso, y esto me permitía después introducir las magnitudes y comenzar con
la secuenciación de este proyecto. En un momento dado, les dije que tratasen de
expresar el peso de los objetos sin utilizar números decimales. Como es lógico, se podía
observar la limitación que tenían a la hora de pesar objetos. Ellos no son conscientes de
lo fundamental que es tener un sistema de medida. Con lo que mi mayor finalidad es
que los alumnos sean capaces de abrir su mente y preguntarse el origen y cómo pudo
alguien concretar las unidades de medida que ellos utilizan día a día.
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Una vez trabajada la unidad de “Operaciones con números decimales” toca seguir el
temario con la unidad de “Magnitudes y medida”. Esta distribución del temario me
parece adecuada ya que así es más sencillo para los alumnos trabajar operando y poder
medir las diferentes magnitudes realizando sus correspondientes operaciones. En este
momento trato de seguir las etapas propuestas en la sección 3 de mi metodología.
1. Reflexión del concepto magnitud y medida
Inicialmente conviene ponerles en situación y lanzar cuestiones al aire como por
ejemplo, ¿Quién sabe qué es una magnitud? ¿Y una medida? Tras muchas otras
cuestiones, el fin era llegar a la pregunta deseada, ¿Cómo y por qué creéis que se
estableció el sistema de medida que tenemos actualmente?
Un recurso que he encontrado es esta aplicación interactiva la cual se puede proyectar y
aprender realizando las actividades todos juntos en común.
http://ntic.educacion.es/w3//recursos/primaria/matematicas/longitud/menu.html
http://bit.ly/1lFfeG9
2. Introducción de medidas antropomórficas
Para que ellos le diesen importancia y formasen parte del proyecto, les mandé ponerse
por parejas y que se midiesen la longitud del brazo. Ellos tenían que experimentar y
poder ser capaces de pensar la manera de hacerlo ya que no disponían de ningún
material para medir. Mi propósito era que ellos mismos consiguiesen asociar y utilizar
la mano para medir su propio cuerpo. De esta manera les introduje el concepto de
medidas antropomórficas. Por otro lado tenían que medir el ancho y largo de la clase,
para ello podían recurrir a cualquier parte de su cuerpo, la más conveniente eran los
pasos. Una vez realizadas las medidas era conveniente que contrastasen los resultados
con diferentes compañeros ya que no les iba a dar el mismo resultado. Esto les hacía
reflexionar acerca de si este tipo de medición es la más apropiada y fiable. Les expliqué
que en la antigüedad, y hasta hace no muchos años, ocurría lo mismo que les estaba
pasando a ellos. Las medidas no eran fiables, por ello necesitaban un sistema de medida
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que fuese común a todos. Les anticipé que estas circunstancias dieron lugar al origen del
Sistema Métrico Decimal.
Todos los resultados debían estar anotados en tablas como la tabla 2. Esta tabla
corresponde a la medición del alto, ancho y largo de la mesa.
Tabla 2.
A continuación, les reparto una hoja como la de la figura 1 la cual trata las medidas de
longitud y algunos instrumentos de medida como los mencionados anteriormente:
Figura 1.
Como podemos observar, los alumnos tienen que medir su pupitre y la mochila
mediante palmos. También propongo ejercicios similares con las otras “unidades”
antropomórficas. En su cuaderno tienen que seguir esa estructura y poner las medidas
de esos dos objetos con los objetos que pueden utilizar. Para ello deben razonar si todos
son útiles para medir ese tipo de objetos o no. Una vez finalizado han de poner en
común los resultados para ver si tienen semejanzas o se desvían de los resultados más
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comunes. De esta manera podemos observar aquellos alumnos con mayor dificultad a la
hora de comprender el tema tratado y podemos hacer hincapié en los errores más
frecuentes para lograr corregirlos y que aprendan.
3. Introducción de medidas con objetos
El siguiente ejercicio consistirá en sacar un bolígrafo, una goma de borrar (tamaño
estándar) y finalmente la regla para poder contrastar la medida de la longitud.
En primer lugar tienen que investigar y conseguir establecer una relación de tamaños
con la goma y el bolígrafo. De esta manera si colocan la goma en el principio del
bolígrafo pueden sacar la equivalencia a cuantas veces hay que desplazar la goma para
que de la medida del bolígrafo.
El material necesario (ver imagen 1):
Imagen 1.
Los desplazamientos que deben hacer con la goma sobre el bolígrafo se
muestran en la imagen 2.
Imagen 2.
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Anotar las marcas que corresponden a cada posición de la goma para poder
realizar la equivalencia (imagen 3):
1 bolígrafo = 5 gomas de borrar
Imagen 3.
(Más adelante, una vez relacionada la medida de los dos elementos anteriores,
añadiremos la regla para poder medir con unidades exactas. Siendo así, el bolígrafo 13,2
cm y la goma de borrar 2,64 cm. Pero este tipo de medición exacta solo la podrán hacer
cuando comiencen la aritmetización. Ya que esta etapa consiste en la comparación y
medición mediante objetos sin una unidad exacta.)
Les propondré entonces que midan con este “sistema de medida” la longitud de la mesa
y las dimensiones de la mochila. Les preguntaré si les parece idóneo si podemos
establecer un sistema de medidas con “bolis” y “gomas”. Deberán imaginar su día a día
midiendo todos los elementos que les rodean con gomas y bolígrafos, llegando a la
conclusión tras mucho pensar, de que es un sistema poco exacto y que les haría perder
mucho tiempo ya que los movimientos que hacen al desplazar los objetos deben tener
precisión y en caso de que sea una medida muy grande no sería recomendable este tipo
de utensilios.
Debido a esto, ellos piensan diferentes tipos de alternativas y otros objetos de tamaño
superior para ahorrar movimientos en la medición. Pasan de bolígrafos y gomas a mesas
y sillas ya que su tamaño aumenta respecto a los otros.
Les pregunto ¿es fiable este tipo de medición?, ¿todos vosotros tenéis el mismo
bolígrafo? ¿Miden diferente? Esto les hace dudar acerca de cuál es la medida correcta.
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Es conveniente explicarles que cualquier medida tomada es correcta, que la diferencia
entre unas medidas u otras se debe al tamaño de un bolígrafo u otro y por lo tanto no se
puede establecer una forma uniforme de establecer equivalencias.
Por ello es necesario que sepan asimilar la problemática que supone medir un objeto
con algo que no corresponda ni tenga la exactitud universal que poseen otro tipo de
mediciones.
4. Necesidad de una misma medida
Tras esta ejemplificación puedo comenzar a explicarles el origen de las medidas. Para
ello utilizaré una presentación de Power Point contando la historia pero de manera más
lúdica y con otro vocabulario para que ellos lo entiendan y se sitúen. El resumen del
contenido del Power Point es el siguiente:
-Todos los sistemas de medidas de longitud derivaron de las dimensiones del cuerpo
humano (codo, pie...), de sus acciones y de las acciones de los animales.
-Los sistemas de medidas concretos, tales como las de longitud, superficie, tuvieron una
evolución muy distinta. Los de longitud derivaron de las dimensiones que se recorrían.
Sin embargo en las medidas de capacidad hubo un doble sistema según fuera para medir
líquido o sólido, y los nombres de ambos sistemas derivaron de los recipientes en los
que eran contenidos o de sus divisores.
-Aún vemos, sobre todo en mercadillos al aire libre, pesar con romanas o viejas
balanzas de dos platos que nos hacen dudar a veces de la honestidad del comerciante,
pero, eso sí, siempre en kilos. Antes era otra cosa, los pesos se hacían en quintales,
arrobas, cuartillas, libras y cuarterones.
-Antiguas formas de pesar, por ejemplo: la arroba, que equivalía a la cuarta parte de un
quintal. Algunos instrumentos de medida de peso antiguos, como: la balanza romana,
balanza de platos, balanza de aguja y báscula para grandes pesos.
-Antiguas formas de capacidad: como medida de capacidad se utilizaba la vasija y era
de metal o cántara de cerámica, que tenían en bodegas y almacenes para servir el vino o
el aceite. Dependiendo de las zonas implicaba una cantidad o medición distinta y un
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sistema de divisiones también diferente. A continuación en la imagen 4 podemos ver
antiguas medidas de líquidos, garrafa de vino de una arroba, cántara y zafra de aceite
Imagen 4
Otra unidad de capacidad comúnmente usada era el costal, que era una talega grande
con una capacidad de tres fanegas. Y el cahíz, con 12 fanegas, muy utilizado para medir
en su tiempo yeso y cal. La fanega para medir los cereales era un cajón que llevaba un
asa.
Imagen 5
-Antiguas formas de longitud: existían los denominados Caminos de Postas, que eran
rutas por las que circulaba el correo, siendo medidas las distancias de una posta a otra
en leguas, con lo que también se calculaba lo que costaba enviar el correo. Una legua
era lo que recorría un caballo en una hora.
La vara era una barra o listón de madera con marcas o divisiones gravadas a fuego, que
se utilizaba en las tiendas para medir las telas, sogas.
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-Antiguas formas de superficie: la superficie también se medía en fanegas. La fanega de
tierra era la superficie que se sembraba con una fanega de trigo. Pero esta equivalencia
cambiaba en cada región e incluso en cada pueblo.
-Como ya hemos dicho con anterioridad, medir es una necesidad vital para el hombre. Y
por ello la medida surge debido a esa necesidad de informar a los demás de las
actividades de caza y recolección, como por ejemplo: a qué distancia estaba la presa,
qué tiempo transcurría para la recolección; hasta dónde marcaban los límites de la
población.
-Medidas que persisten: hoy en día se siguen expresando para las medidas de una finca,
medidas antiguas como las fanegas. Esto no solo se usa a nivel popular sino a nivel de
comunicación. También hay medidas que fueron desterradas hace más de un siglo pero
la cultura popular desde la antigüedad ha ayudado a que estas sigan en su uso.
-Les explicaría de modo resumido los acontecimientos históricos de los siglos XVII,
XVIII y del siglo XIX que he expuesto en la introducción y que motivaron la iniciación
del Sistema Métrico Decimal. La educación y los medios de comunicación están
contribuyendo a la unificación de pesos y medidas. Pero a pesar de que las medidas son
las mismas en todas partes, en nuestro lenguaje y en algunos pueblos se siguen usando
estas medidas de cultura tradicional.
-Como bien sabemos el Sistema Métrico Decimal no se usa en países anglosajones a
que estos tienen sus propias unidades de medida. Por ejemplo en Estado Unidos el
sistema para medir longitudes se basa en la pulgada, el pie, la yarda y la milla. El
sistema anglosajón es un sistema de unidades que se utiliza en los Estados Unidos,
Bahamas, Barbados, Jamaica, Puerto Rico y Reino Unido. Es muy diferente al Sistema
Métrico Decimal.
5. Unidades universales SMD
Les introduzco entonces el Sistema Métrico Decimal, y las medidas asociadas a cada
magnitud, mencionando la tabla 1. Esta tabla sería una buena forma de que los alumnos
aprendan las abreviaturas de las unidades de medida. Solo bastaría con dejar huecos
salteados en blanco y ellos rellenen estos con su correspondiente respuesta.
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6. Aritmetización (múltiplos y submúltiplos)
Ya estamos en disposición de “hacer cuentas” con las unidades de medida. Recuerdo
que la U.D anterior trataba sobre operaciones con números decimales.
Utilizar la aritmética es un punto esencial en las matemáticas ya que se trabajan las
estructuras numéricas para realizar operaciones con los números y sus propiedades. A
menudo nos encontramos en nuestra vida ocasiones en las que tenemos que realizar
operaciones como por ejemplo cuando vamos a comprar y es necesario realizar
operaciones para pagar. También es necesario operar cuando echamos cuentas de
cantidades. Sin las operaciones no podríamos calcular las cantidades exactas.
Por ello en este punto me centro en que los alumnos puedan empezar a realizar
operaciones con las unidades de medida y establecer los cambios necesarios con los
múltiplos y submúltiplos de cada magnitud. Es importante primero decirles que cada
unidad se divide y se agrupa de diez en diez para que de esta manera multipliquen o
dividan según la operación. Les recuerdo el ejercicio de la goma y el bolígrafo, para que
vean que este sistema de múltiplos y submúltiplos, es más sencillo.
Imagen 6.
En la imagen 6 aparecen tres escaleras en las que muestro con suficiente claridad la
operación que tienen que realizar en caso de querer cambiar de un peldaño a otro. Este
tipo de recurso es muy recomendado por docentes ya que comienzan a percibir los
conceptos de manera visual. Al principio se les deja operar mirando la escalera, pero
una vez asimilado la técnica es necesario quitarles la ayuda para que establezcan ellos
solos los cambios.
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A continuación muestro una serie de actividades para trabajar la aritmetización que los
alumnos deben ser capaces de resolver por sí solos.
1. Estos son ejercicios de nivel fácil pero podríamos ir añadiéndoles dificultad a
medida que fuesen logrando los resultados que pretendemos.
3 hl = ________ dl 300 dl = ________ dal
60 cm = ________ dm 54 cm = ________ dm
10 dam = ________ dm 50 dg = ________ g
2 500 dg = ________ hg 490 dg = ________ dag
3 800 cm = ________ dam 9,6 dag = ________ dg
9,3 hl = ________ dl 1 000 cl = ________ dal
7 hl = ________ dal 100 dag = ________ hg
2 dal = ________ cl 5 000 ml = ________ l
7 m = ________ dm 7,9 l = ________ dl
1 dg = ________ cg 42 l = ________ dal
Para realizar cambios con una mayor dificultad les presentamos la siguientes
equivalencias con un mayor número de decimales:
0,1 m = ___________ cm 16 280 ml = ___________ l
44 cm = ___________ m 920 mm = ___________ cm
4,9 cm = ___________ mm 11,84 kg = ___________ g
10 mm = ___________ cm 26,61 cm = ___________ mm
2,95 l = ___________ ml 41,09 cm = ___________ mm
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1,6 m = ___________ cm 87 g = ___________ kg
3,4 cm = ___________ mm 1,83 kg = ___________ g
526 cm = ___________ m 1 052 g = ___________ kg
0,38 m = ___________ cm 2,1 m = ___________ cm
1 001 g = ___________ kg 4,12 kg = ___________ g
2. A continuación muestro una variedad de problemas con las diferentes
magnitudes a trabajar:
UNIDADES DE LONGITUD
1. - Escribe la unidad que falta:
3,8 dam = 3800.......... = 0,038........ = 380......... 0,38........
1249 dm = 1,249 ........ = 12,49 ......... =0,01249 ....... = 124900 .......
24,72 m = 0,2472 ........ = 2472 .......... = 247,2 ......... = 0,002472 ........
2. – Jonás tiene la escuela a una distancia de 3 hm, 6 dam, 9 m de su casa. Si recorre el
camino 4 veces al día, ¿cuántos dam anda al día?
3. - La distancia entre dos ciudades es de 19,2 km. Se colocan postes de teléfono, que
distan entre sí 48 m. ¿Cuántos postes hay?
4. - Un peldaño tiene 6,5 dm de altura. ¿Cuántos cm. le faltan para medir un metro?
5. - ¿Cuánto cuestan 135 m de una pieza de tela, si un dam de la misma cuesta 78,15€?
6. - De una pieza de tela de 90 m. de largo se han cortado 37,5 dm una vez y 1,87 dam
otra. ¿Cuántos cm. quedan?
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7. - La escalera de una casa tiene 101 peldaños y cada peldaño tiene una altura de
125mm. ¿Qué altura, en m., tiene la escalera?
UNIDADES DE CAPACIDAD
1. - Escribe la unidad que falta:
0,0072 dal = 72....... = 0,7......... = 0,00072......... = 7,2.........
2375 dl = 2,375.......... = 0,2375....... = 23,75................ = 237500........
2,56 kl = 256.............. = 0,256......... = 25,6.................. = 256000.........
2. - Si tenemos 4 botellas de vino de un litro cada una, ¿cuántas copas se pueden llenar
si en cada copa caben 25 cl?
3. - Una fábrica ha comprado 500.000 l. de leche por 138.000€, y después los vende a
0,15€ el dl. ¿Cuánto gana la fábrica en la venta?
4. - ¿Cuántos vasos de 33 cl. se pueden llenar con un depósito de 20 litros y 8 dl?
5. - ¿Cuánto costarán 6 hl 2 dal 5 dl de vino, si el litro ha costado a 2,5€?
6. - Una fuente mana 42 l, 5 dl por minuto y tarda 4 horas y 16 minutos para llenar un
estanque ¿Cuál es la capacidad del estanque en kl?
7 - ¿Cuántas cañas de cerveza de 1,5 dl salen de un barril de 0,036 kl?
UNIDADES DE MASA
1. - Pon la unidad que falta:
35 dag = 0,35....... = 3500 ......... = 0,0035 ......... = 3,5 .........
0,527 tm = 52700 ........ = 52,7 .............. = 5270 ................. = 5,27 .............
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32578 mg = 0,032578 ....... = 325,78 .......... = 3,2578 ......... = 3257,8 .........
2. - Una tonelada de paja cuesta 10.840€. ¿Cuánto costará un saco de 75 kg.?
3. - Calcula el precio de 2hg., 23 dag., 5 g. de garbanzos, a 1,4€ el kg.
4. - Una botella llena de vino pesa 2,455 kg. Si la botella vacía tiene un peso de 824g,
¿cuál es el peso de vino que contiene en dag?
5. - Una persona pesa 100 kg.; sometida a un régimen de adelgazamiento pierde 175 g.
de peso cada día. ¿Cuánto pesa esta persona después de 60 días de adelgazamiento?
Estos problemas son parecidos a los que les aparecen en los libros de texto. Voy a
proponer otras actividades y mostrar otros recursos con el fin de animar y motivar a los
alumnos.
Otras actividades
Me gustaría en primer lugar mencionar y dar las gracias a la página web del Grupo
Alquerque, ya que he conseguido algunos recursos para trabajar con los alumnos una
vez haya sido explicado y desarrollado el Sistema Métrico Decimal. La publicación de
la Revista SUMA Noviembre 2013 “Medidas las justas” nos muestra este tipo de
recursos y su posible aplicación dentro del aula.
http://bit.ly/1itZbfk
Una buena actividad para consolidar los conocimientos adquiridos acerca de la
capacidad y el volumen es el dominó de la imagen 7, con fichas en las que cada una
tiene diferentes medidas y puedan unirlas según su equivalencia.
Por otro lado el famoso Tangram tan temido por algunos, es un recurso apropiado para
desarrollar la capacidad lógica a la hora de asociar las equivalencias ya que es un puzzle
o rompecabezas formado por un conjunto de piezas de formas poligonales que se
obtienen al fraccionar una figura plana y que pueden acoplarse de diferentes maneras
para construir distintas figuras geométricas.
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El Tangram puede ser un interesante material didáctico en el aprendizaje de la
geometría. Al manipular las piezas y figuras geométricas se fijan los conceptos de:
Construcción geométrica.
Construcción de polígonos convexos.
Clasificación de polígonos.
Congruencia. Semejanza.
Medir longitudes, ángulos y áreas.
Calcular áreas y perímetros.
Utilización de fracciones.
Iniciación con los números irracionales.
Relaciones entre los polígonos construidos.
En las imágenes 8 y 9 se pueden observar que según el tipo de magnitud que quieras
trabajar con ellos puedes hacerlo como convenga siguiendo las respectivas
equivalencias.
Estos ejercicios son buenos y adecuados para cuando ya se ha explicado y desarrollado
el Sistema Métrico Decimal, una vez estudiado ya los cambios de unidades con las
escaleras.
Para trabajar con el tangram y con el dominó, distribuiremos a los alumnos por tríos
para que de esta manera trabajen la cooperación pero se complementen unos con las
ideas de los otros. Puede que uno piense que corresponde una ficha exacta y quiere
colocarla en un lugar erróneo y los otros dos compañeros están ahí para aportar sus
diferentes pensamientos e ideas y de ahí sacar cuál sería la ejecución correcta.
De esta manera fomentamos por un lado una pequeña parte de competitividad que es
necesaria para que un alumno crezca y elabore su propio espíritu crítico y por otro lado
el compañerismo ya que si un movimiento no lo sabe resolver uno de los tres, puede
aportar sus conocimientos ayudándole otro del trío. Por ello no les junto por parejas ya
que ahí están dos personas que a la hora de tener sus diferentes puntos de vista no hay
un tercero que ponga el desempate. Bajo mi punto de vista por ello es mejor un grupo
de tres personas ya que es un grupo reducido casi llegando a ser una pareja pero justo
añadimos uno más para aportar el equilibrio frente a pensamientos dispares. Jugando y
elaborando las actividades del dominó y tangram desarrollan y amplían su conocimiento
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hacia las unidades de medida y sus múltiplos y submúltiplos, siendo capaces de buscar
la ficha correspondiente que equivalga a la cantidad que necesitan en cada momento del
juego. Se evaluarán unos a otros apuntando en una hoja los resultados que vayan
adquiriendo siendo así un trabajo autónomo y libre en el que los alumnos se dediquen
plenamente a esforzarse y entender el resultado que corresponde a cada ficha.
Imagen 7.
Imágenes 8 y 9.
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7. Aproximación y estimación
Por último, aunque no menos importante, muestro una propuesta de actividades para
que los alumnos trabajen estimaciones y aproximaciones. Comienzo con la estimación
de medidas de las dimensiones de la clase. Antes de comenzar les explicaría una serie
de estrategias para una mejor realización, dejándoles de manera libre y comprobando
los resultados una vez terminada la actividad. Finalmente se debe comprobar con un
metro las dimensiones de la clase para que puedan ver qué grado de fiabilidad tienen sus
estimaciones.
Otra actividad motivante, de carácter grupal a la hora de estimar y aproximarnos al
valor correcto es plantearles cuánto pueden medir las calles que rodean al colegio y
exponer los resultados en común. De esta manera trabajamos la estimación de la
longitud ya que es muy necesaria en el futuro laboral y personal cuando les den
instrucciones de moverse a un sitio u otro para hacer recados. Es necesario que
conozcan las distancias y longitudes que tienen algunas calles por lo menos
aproximadamente para poder calcular el tiempo de camino y llegar puntuales a su
destino. Así que para ello se colocarán en grupos de cuatro personas y su misión será
elaborar un trayecto cercano al colegio, con los movimientos que hay que realizar y
poder ir calculando las distancias para que al final del recorrido puedan estimar los
metros totales. De esta manera cada grupo realizará su recorrido con indicaciones
necesarias en un folio para que al acabar de elaborarlo roten los folios por los grupos y a
cada grupo le toque un recorrido diferente al suyo. De esta manera serán ellos los que
estimen el resultado final basándose y centrándose en lo estudiado a lo largo del tema y
pudiéndose ayudar con elementos que dispongan en la clase.
No obstante, las actividades de estimación y aproximación han de realizarse a lo largo
del proceso metodológico, no solo al final.
Dos propuestas transversales
1º Exposición
Voy a proponer elaborar un proyecto en el cuál ellos estén involucrados trabajando la
transversalidad. Para ello, me pongo en contacto con el maestro de Plástica ya que me
gustaría trabajar la transversalidad. Como han visto diferentes tipos de medidas y
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elementos antiguos, propongo que cada alumno se informe en su casa preguntándoles a
sus familiares o amigos sobre diferentes instrumentos que ellos hayan conocido con el
paso del tiempo. Mi intención es elaborar una exposición para que a final de curso
puedan acercarse a verla los familiares y sepan que los alumnos han trabajado con este
tema las diferentes medidas y magnitudes. Es conveniente repartir los papeles en
función de sus labores, cada alumno será el encargado de una cosa ya sea preparar el
cartel de la exposición, investigar en casa a cerca de diferentes instrumentos, elaborar
murales que expliquen las diferentes medidas, colocación de los utensilios.
En la imagen 10 muestro un ejemplo del cartel anunciador
de la exposición para que cada alumno reparta a sus amigos
y familiares para la visita al final de curso. La idea es que
intervengan también mayores y pequeños y sean capaces de
aprender junto a sus abuelos y los mayores para recordar sus
tiempos en los que se utilizaban este tipo de medidas.
Imagen 10.
El folleto se realizará en clase de Educación Plástica y Visual con los materiales que
dispongan y decorándolo de manera atractiva. Así pueden trabajar la
interdisciplinariedad en diferentes asignaturas. Uno de los resultados de los murales
informativos de la exposición sería el que muestra la imagen 11.
Imagen 11.
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En estos murales tienen que poner las diferentes magnitudes y su medida, una breve
explicación de cada una de ellas y su instrumento de medida. De esta manera colaboran
en grupos realizando el trabajo y estableciendo cada uno sus ideas. Para ello pueden
consultar información en la enciclopedia, libro de texto o preguntarme en caso de duda.
2º Construcción de instrumentos de medición
Propongo también un taller en el que ellos mismos construyesen sus propios sistemas de
medida. Podría realizarse en una sesión de Matemáticas o también de Plástica,
dependiendo del acuerdo llegado con el maestro de Plástica.
Primero me parece apropiado realizar una balanza con materiales reciclables y los
cuales estén al alcance de todos en sus casas. En caso de no tener algún material yo
llevaré de más por si acaso algún alumno no dispone de algo y no es conveniente que se
quede sin tener balanza. Para la realización de esta, son necesarios pocos materiales ya
que su elaboración es muy apropiada para niños de primaria debido a que no conlleva
una gran dificultad:
-Una percha de plástico.
-Lana
-Dos tapas de botes de plástico (cola cao)
-Cinta adhesiva
Imagen 12.
Para la utilización de la balanza de la imagen 12, se puede colocar la percha en la
manilla de una puerta, un perchero o cualquier punto en el que la percha quede
totalmente suspendida en el aire. Una vez realizada, los alumnos pudieron comprobar
que objetos eran más pesados que otros ya que veían la inclinación de a percha hacia un
lado u otro.
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También me parece apropiado que los alumnos conozcan y puedan estimar el tiempo.
Por ello otra construcción que tienen que realizar es un reloj de arena casero y muy
sencillo de fabricar. El reloj de arena es un artilugio que se compone de dos partes
unidas por el cuello, se mide el tiempo viendo como la arena cae de una parte a la otra.
Es necesario explicarles que dependiendo de la arena que contenga su reloj, este medirá
un tiempo u otro. Primero tengo que medir la cantidad de arena necesaria para medir un
tiempo determinado, calculando mientras con un reloj digital. A ellos les indicaré las
cantidades que correspondan a un minuto. Para ello necesitamos:
-Dos botellas de agua (a poder ser
trasparentes y pequeñas)
-Cinta adhesiva
-Sal y tizas de colores (en caso de que quieran
teñirla)
Imagen 13.
42
43
5. EVALUACIÓN
Para realizar la evaluación de mi propuesta y observar los resultados obtenidos, me
basaré tanto en los criterios de evaluación del currículo de matemáticas como en una
serie de herramientas (exámenes escritos, observaciones, pruebas orales).
Algunos de los criterios de evaluación según el Currículo y que voy a seguir para mi
propuesta son:
o Seleccionar, instrumentos y unidades de medida usuales, haciendo previamente
estimaciones y expresando con precisión medidas de longitud, superficie,
peso/masa, capacidad y tiempo, en contextos reales.
o Escoger los instrumentos de medida más pertinentes en cada caso, estimando la
medida de magnitudes de longitud, capacidad, masa y tiempo haciendo
previsiones razonables.
o Operar con diferentes medidas.
o Utilizar las unidades de medida más usuales, convirtiendo unas unidades en
otras de la misma magnitud, expresando los resultados en las unidades de
medida más adecuadas, explicando oralmente y por escrito, el proceso seguido y
aplicándolo a la resolución de problemas.
o Identificar, resolver problemas de la vida cotidiana, adecuados a su nivel,
estableciendo conexiones entre la realidad y las matemáticas y valorando la
utilidad de los conocimientos matemáticos adecuados y reflexionando sobre el
proceso aplicado para la resolución de problemas.
Como bien he mencionado antes las herramientas que voy a utilizar para evaluar el
aprendizaje de los alumnos son varias. No quiero centrar la evaluación en algo
tradicional como muchos profesores, hacen que se limitan al examen final y solo
ven el resultado. Si una cosa he aprendido estos cuatro años en el grado, es a centrar
la atención tanto en el resultado como en el proceso de aprendizaje. Por ello las
observaciones de aula en las actividades que se hacen han de ser evaluadas. De esta
manera, lo que haré será observar a aquellos alumnos que se esfuerzan más que
otros, a aquellos que les cuesta entender pero muestran un gran interés, y muchas
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variables diferentes. Como herramienta para la observación usaré rúbricas del tipo
de la rúbrica en la figura 3.
Otro modo de evaluación será la evaluación entre compañeros. Esta técnica ha
comenzado a usarse hace poco en los centros, pero me parece muy innovadora ya
que aprenden a tener una autonomía personal y conocer los criterios de evaluación
para puntuar a sus compañeros.
Excelente Bueno Suficiente Deficiente
Interpreta la información que se
le presenta
Deduce información implícita
para encontrar resultados
Realiza estimaciones
Utiliza las operaciones de
manera eficiente
Se plantea nuevas preguntas
Comunica sus ideas
Argumenta sus razonamientos
Asume responsabilidad en el
trabajo cooperativo
Resuelve problemas de manera
autónoma
Figura 3.
Tras la realización de la evaluación mediante esta rúbrica, es conveniente hacer un
estudio sobre los resultados y características de cada alumno para juntar todos los ítems
y establecer una valoración final.
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6. CONCLUSIONES
Tras la realización de este trabajo puedo decir que ha sido una experiencia muy
satisfactoria. Ver a los alumnos motivados debido a impartirles la clase de manera
diferente a lo habitual y que lo pueden poner en práctica fuera del colegio es una
sensación muy satisfactoria. Que los alumnos comprendan los contenidos sobre las
medidas es un poco complicado si solo nos centramos en repetir el proceso de manera
tradicional. Por ello me ha gustado innovar y centrarme en que ellos reflexionen sobre
el pasado en el que otras personas no tenían ningún sistema establecido como nosotros
actualmente.
Elaborar este proyecto me ha resultado útil para poder mejorar y progresar en el ámbito
de las matemáticas y su didáctica. Recuerdo que de pequeña no me gustaban las
matemáticas pero con el paso de los años me tocó una maestra muy implicada en
motivarnos y esta hizo que mi visión hacia esta cambiase. Por ello escogí este tema para
el trabajo fin de grado, ya que me parecía idóneo cerrar este ciclo universitario con una
asignatura que realmente atrae al conocimiento propio. Ver a los alumnos motivados y
con la ilusión de resolver el problema que se le plantea es como un juego de superación.
Es emocionante cuando un profesor propone un problema que requiere un razonamiento
más profundo y anima a sus alumnos a ver quién es el primero en resolverlo, esto hace
años no sucedía y por ello a muchos no les gustan las matemáticas. Pero por suerte
actualmente los docentes están preparados no solo para adoctrinar sino para hacer el
aprendizaje del niño mucho más motivante y llevadero. Siendo capaces de detectar las
aficiones y gustos de nuestro alumnado, podremos elaborar actividades y problemas
teniéndolos en cuenta para un aumento de su motivación.
Como es normal, no podemos impartir la clase como nos apetezca, sino siguiendo el
currículo establecido para que todos los alumnos adquieran conocimientos similares y
desarrollen las mismas competencias.
Quiero finalizar cerrando este trabajo con unas frases que me parecen muy convenientes
y atractivas en el ámbito en el que nos encontramos:
∞ “El buen maestro hace que el mal estudiante se convierta en bueno y el buen
estudiante en superior”. (Maruja Torres)
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∞ “Enseñar no debe parecerse a llenar una botella con agua, sino más bien a
ayudar a crecer una flor a su manera”. (Noam Chomsky)
∞ “El maestro que intenta enseñar sin inspirar en el alumno el deseo de aprender
está tratando de forjar un hierro frío”. (Horace Greeley)
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7. BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA
Revista Digital de Granada:
Cantero, N. (2010). El Tratamiento de las Magnitudes en Educación Primaria.
Granada.
Libro Educativo y Pedagógico acerca de los problemas frecuentes de los
docentes a la hora de impartir el tema de Magnitudes y Medidas a sus
alumnos:
Chamorro, M.C., y Belmonte, J. M. (1991). El problema de la medida:
didáctica de las magnitudes lineales. España.
Cuaderno de Aula en el que se desarrolla una propuesta novedosa acerca
del Bloque de La Medida en la Educación Primaria:
Dirección General de Ordenación e Innovación Educativa. (2003) La medida en
la Educación Primaria. Canarias
Manual para el desarrollo de la Medida y su Didáctica para maestros:
Godino, J. D., Batanero, C. y Roa, R. (2003). Medida y su didáctica para
maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de
Granada.
Página web con información sobre la historia de la medición:
http://www.ecured.cu/index.php/Historia_de_la_medici%C3%B3n
Página web de la revista digital de Granada citada anteriormente:
http://bit.ly/1lVCQ56
Boletín Oficial del Estado:
http://www.boe.es/boe/dias/2014/03/01/pdfs/BOE-A-2014-2222.pdf
Frases sobre educación y maestros:
http://bit.ly/1lerMEJ
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Página web con recursos educativos sobre la Longitud:
http://ntic.educacion.es/w3//recursos/primaria/matematicas/longitud/menu.html