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El Teorema del Límite Central
CLT
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• Encuestas de salida.• Conteos rápidos.• Ejercicio estadístico con soporte científico.• PREP (Programa de Resultados Electorales Preliminares).• Confiabilidad de 99%.• Consulta Mitovsky.
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El Teorema del Límite Central
• Quizá el más importante que fundamenta la de la Estadística.
• Más de 200 años resumidos en unos minutos.
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El Teorema del Límite Central
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blackboard
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Propiedades estadísticas
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Propiedad 1
A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución muestral de medias tiende a la
Normal.F#
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Propiedad 2
El promedio de la distribución de medias no
cambia independientemente del
tamaño de la muestra tomada.
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Propiedad 3
Conforme aumenta el tamaño de la muestra,
la variación de la distribución muestral
disminuye.F#
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Desarrollo Histórico
1718-1935
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Abraham de Moivre (1667-1754)
• En 1718 escribió “La Doctrina del Azar” para jugadores.
• Amigo de Isaac Newton.• Desarrolló el primer
acercamiento al modelo del CLT.
• Detuvo un tiempo sus trabajos y 100 años después Gauss, de manera independiente, desarrolló un modelo CLT.
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Pierre Simon Laplace (1749-1827)
• Estudió los principios de la distribución normal en Francia paralelamente lo hizo también Gauss en Alemania.
• Estudiando la distribución de la inclinación de meteoros encontró errores contra valores teóricos.
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Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)
• Encontró la mejor aproximación, hasta entonces, de los errores observados contra los esperados.
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Siméon Denis Poisson (1781-1840)
• En 1824 proveyó una mejor aproximación del teorema de Laplace
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Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
• En 1828 llegó a darse cuenta de la existencia de curvatura y su propiedad.
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Alexander M. Lyapunov (1857-1918)
• En 1870 Desarrolló la función característica moderna que hoy conocemos a partir de la función límite de la distribución Binomial.
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Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-894)
• De la “escuela de San Petesburgo” concluyó con un riguroso desarrollo del Teorema del Límite Central.
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Andrey Andreyevich Markov (1856-1922)
• De la “escuela de San Petesburgo” llegó a probar rigurosamente el CLT de Liapounov usando el método de momentos.
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Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932)
• En 1922 publicó una prueba elemental del CLT.
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Paul Pierre Lévy (1886-1971)
• De 1925 a 1930 publicó sobre el CLT usando mayormente funciones características en sus pruebas.
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William Feller (1906 –1970)
• En 1935 junto con Lévy dan las condiciones necesarias y suficientes del CLT que hoy conocemos, terminando con esto la larga discusión sobre el tema.
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El Teorema del Limite Central
• Si x1, x2, … xn es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con media µ y varianza σ2, entonces el límite de la distribución
• cuando n→∞, es la distribución normal.
n
xzn
/
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• Gracias al CLT las gráficas de control trabajan!• La mayoría de las distribuciones, sin
importar su forma, se aproximan aceptablemente a la normal con muestras de tamaño 4 o 5.
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Preguntas y respuestas
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Gracias!
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