EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Definicion Axiomatica de los Numeros reales El sistema de los nmeros reales esta formado por el conjunto cuyos elementos son los numeros reales, dos

operaciones: Adicion, denotada por + y multiplicacion, denotada por ; y una relacion de orden denotada por ( o , la solucin est dada por la unin de todos los intervalos abiertos (o cerrados) que contiene el signo + y Si la inecuacin contiene el signo < ( o , la solucin est dada por la unin de todos los intervalos abiertos (o cerrados) que contiene el signo -

Ejms. Resolver: 1) 3)

2) 4)

Caso 2.- En la factorizacin aparecen factores lineales que se repiten Si en la factorizacin, el factor lineal se repite veces, entonces el valor crtico tambin se repite veces, y en este caso se procede de la forma siguiente: y Si es par, entonces a los intervalos que contienen al valor crtico , se les asigna igual signo. y Si es impar, entonces a los intervalos que contienen al valor crtico , se les coloca signos opuestos. Ejms. Resolver: 1) 2)

Caso 3.- En la factorizacin aparecen factores cuadrticos. Si en la factorizacin aparece el factor cuadrtico ello se debe a que su discriminante , y por lo tanto ellos pueden ser eliminados aplicando la propiedad 2.1. Ejms. Resolver: 1) 2) 3) INECUACIONES RACIONALES Una inecuacin racional es aquella que puede ser expresada en la forma: son polinomios no nulos. Tambin pueden aparecer los signos: >, Para resolver una inecuacin racional procederemos en la forma siguiente: 1. Factorizamos numerador y denominador. 2. Si contienen factores cuadrticos irreducibles, estos se cancelan aplicando la propiedad 2.1. entonces se tienen 3. Si contienen factores lineales repetidos, de la forma dos posibilidades: se cancela. a) Si es par, entonces el factor por ser y cancelamos b) Si es impar, escribimos par. , donde

De esta manera en el numerador y denominador solo estn quedando factores lineales no repetidos, y la inecuacin original est quedando en la forma: 4. Multiplicar ambos miembros por el denominador elevado al cuadrado y se obtiene: A continuacin se aplica el mtodo de los intervalos. En las inecuaciones donde aparece el signo o , se debe tener cuidado de no considerar en la solucin aquellos valores que anulan el denominador.

Ejms. Resolver: 1) 4) 5)

2) 6)

3)

VALOR ABSOLUTO Sea Ejm. 1) . El valor absoluto de , pues se denota por 2) y se define como: , pues

4. 5. 6. 7. 8.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1. 2. 3.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Son aquellas ecuaciones donde la incgnita est afectada por un valor absoluto. Para resolver una ecuacin con valor absoluto, primero hay que tomar en cuenta la forma que presenta la ecuacin y luego se aplica alguna de las propiedades siguientes: 1) 2) 3) Si la forma de la ecuacin es tal que no es posible aplicar alguna de estas propiedades, entonces se aplica la definicin de valor absoluto. Ejms. Resolver: 1) 5) 6) 2) 7) 3) 4)

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Son aquellas inecuaciones donde la incgnita est afectada por un valor absoluto. Para resolver una inecuacin con valor absoluto aplicaremos, segn la forma que tenga la inecuacin, alguna de las propiedades siguientes: 1. 2. 3. 4.

Si la forma de la inecuacin es tal que no es posible aplicar alguna de estas propiedades, entonces se aplica la definicin de valor absoluto. Ejms. Resolver: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

EJERCICIOS DE MATEMATICA BASICALISTA N 03 PROFESOR: VICENTE CAMPOS MONTES

1. Resolver 2. Resolver: 3. Resolver 4. Resolver 5. En la ecuacin 6. Se sabe que 7. 8. 9. 10. , calcular el valor de para que sus races difieran en 2 unidades tiene races iguales. Cunto vale para que la ecuacin tambin tenga races iguales? Cul es el valor de para que la suma de las races de la ecuacin sea 7? Hallar la suma de las races de la ecuacin , sabiendo que son reciprocas. Calcular el valor de si las races de la ecuacin son iguales. Calcular el valor de en la ecuacin , si sus races se diferencian en 1 en la ecuacin , si sus races cumplen

11. Calcular el valor de

12. Calcular en la ecuacin , si sus races cumplen la condicin 13. Hallar la ecuacin de segundo grado cuyas races son la suma y el producto de las races de la ecuacin 14. El promedio de glbulos rojos que contiene la mujer. Cuntos glbulos contiene

de sangre es de 5 000 000 en el hombre y 4 500 000 en de una solucin de una parte de sangre y 199 partes de

15. 16. 17.

18. 19. 20. 21.

22.

una solucin salina? Se tienen 4 litros de una solucin de yodo al 8%, y se desea rebajar a una solucin al 5%. Qu cantidad de alcohol se debe agregar? Se tienen 2 litros de dextrosa al 10%. Qu cantidad debe ser sustituida por dextrosa al 5% para obtener 2 litros de dextrosa al 8%? Una sustancia contiene 6 mg de tiamina por onza, y la sustancia contiene 3 mg de tiamina por onza. Qu cantidad hay que tomar de y para obtener una mezcla de 15 onzas que contenga 5 mg de tiamina por onza? Se tienen 3 litros de dextrosa al 10%, Qu cantidad debe ser sustituida por dextrosa al 5% para obtener 3 litros de dextrosa al 7%? Se tiene 5 litros de una solucin de yodo al 12%. Qu cantidad debe ser sustituida por una solucin de yodo al 5% para obtener 5 litros de una solucin al 10%? Se tienen dos soluciones al 40% y 80% de acido. Cuntos litros deben tomarse de cada una de ellas para obtener 10 litros de solucin al 60%? Se quiere saber cul es la capacidad de un depsito lleno de alcohol puro, del cual se ha sacado por 2 veces consecutivas 4 litros, reponiendo al final de cada operacin con idntico volumen de agua, quedando finalmente solo 72,2 litros de alcohol Se agrega agua a 30 litros de una solucin al 90% de cido, y se obtiene una solucin al 50% de acido. Se vuelve a aadir acido hasta obtener una solucin al 70% de acido. Qu cantidad de acido se aadi?