SISTEMA DE NUMEROS REALESUNIDAD2

MATERIA: MATEMATICAS

DOCENTE: LILIAM ELVIRA GARCIA HERNANDEZ

REALIZADO POR YULIS MARCELA PEREIRA ROJAS Y CRISTIAN DAVID LOPEZ

Universidad autnoma de Bucaramanga

Gestin de sistemas45463-201510-DMCN: MATEMATICAS

Bogot D.C

EJERCICIOS CAPITULO 2. ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

16. Los miembros de una fundacin desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8% de la inversin total?

Solucin:

Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 P) ser la cantidad a invertir al 6%.

Establecemos:

(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total

Sustituimos los valores

(9%)P + (6%)($18,000 P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:

.09P + .06(18,000 P) = .08*(18,000).09P + 1,080 .06P = 1,440.09P .06P = 1,440 1,080.15P = 360P = (360)/(.15)P = 2,400

Los miembros de la fundacin deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al 6%.

17. Una persona invirti $2,000 ms al 8% que al 10% y recibi un ingreso total por intereses de $700 por un ao. Cunto invirti a cada tasa?

Solucin:

Sea P la cantidad invertida al 10%, por la tanto (P + $,2000) es la cantidad invertida al 8%. Los ingreso estn dados por I = PR, donde P es la cantidad invertida y R es la tasa de inters.

Establecemos:

(Ingresos invertidos al 10%) + (Ingresos invertidos al 8%) = Ingreso Total

Sustituimos:

P(10%) + (P + $,2000)(8%) = $700

Resolvemos para P:

.10P +.08(P + 2,000) = 700.10P +.08P + 160 = 700.18P = 700 160.18P = 540P = (540)/(.18)P = 3,000

La persona invirti $3,000 al 10% y $5,000 al 8%.

18. Una compaa invierte $15,000 al 8% y $22,000 al 9%. A qu tasa debe invertir $12,000 restantes de modo que el ingreso por los intereses anuales de las tres inversiones sea de $4,500?

Solucin:

Sea R la tasa de inters a la cual se invertirn los $12,000 restantes.

Establecemos:

(Ingresos invertidos al 8%) + (Ingresos invertidos al 9%) + (Ingresos invertidos al R%) = Ingreso Total

Sustituimos:

$15,000(8%) + $22,000(9%) + $12,000R = $4,500.08*15,000 + .09*22,000 + 12,000R = 4,500.08*15,000 + .09*22,000 + 12,000R = 4,5001,200 + 1,980 + 12,000R = 4,5003,180 + 12,000R = 4,50012,000R = 4,500 3,18012,000R = 1,320R = (1,320)/(12,000)R = 0.11

La compaa deber invertir los $12,000 restantes al 11% de modo que de las tres inversiones sea de $4,500.

19. Durante una venta de liquidacin un artculo tiene marcada una rebaja de 20%. Si su precio de liquidacin es $2, cul era su precio original?

Solucin:

Sea x el precio original del artculo.

Establecemos:

(Precio original) (Rebaja) = Precio de liquidacin

Sustituimos:

x x(20%) = $2

Resolvemos para x:

x .20x = 2x(1 .20) = 2x(.80) = 2x = 2/.80x = 2.5

El precio original del artculo era de $2.50.

20. Un artculo se vende por $12. Si la ganancia es de 50% del precio de mayoreo, cul es el precio de mayoreo?

Solucin:Sea x el precio del mayoreo.

Establecemos:

(Precio de venta) (Precio del mayoreo) = Ganancia

Sustituimos los valores:

$12 x = (50%)x

Resolvemos para x:

12 x = .50x12 = .50x + x12 = 1.50xx = (12)/(1.50)x = 8

El precio de mayoreo del artculo fue $8.

21. Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artculo, y an as obtiene una ganancia del 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artculo, cul debe ser el precio marcado?

Solucin:

Sea x el precio marcado.

Establecemos:

(Precio de venta) (Costo) = Ganancia

Sustituimos:

(x x(30%)) $35 = $35(10%)

Resolvemos para x:x .30x 35 = .10*35.70x = 3.5 + 35.70x = 38.5x = (38.5)/(.70)x = 55

El precio marcado es $55.00.

22. Diez libras de cacahuates que tiene un precio de 75 cent. por libra y 12 libras de nueces que valen 80 cent. por libra se mezclan con pacana que tiene una valor de $1.10 por libra para producir una mezcla que vale 90 cent. por libra cuantas libras de pacana deben utilizarse?

Se quiere usar totalmente:

10 libras de cacahuete que tienen un precio de 75 centavos por libra y 12 libras de nueces que vale 80 centavos

x son las libras de pacana que tiene un valor de $1.10

0,75*10 + 0,8*12 + 1,10*x = 0,90*(10+12+x)

7,5 + 9,6 + 1,10*x = 0,90*(22+x)

17,1+ 1,10*x = 19,8 + 0,90*x

17,1+ 1,10*x = 19,8 + 0,90*x

1,10*x - 0,90*x = 19,8 -17,1

0,2*x = 2,7

x = 2,7 / 0,2 = 13,5 libras de pacana

Precio por libra:

31.95 / 35.5 = 0.90

23. Qu cantidad de una solucin de cido al 10% debe mezclarse con 10 onzas de una solucin de cido al 15%, para obtener una solucin de cido al 12%?

Los % los representamos as:

10% = 10/100 = 0,10 15% = 15/100 = 0,15 12% = 12/100 = 0,12

Llamando x a la cantidad de onzas que se necesitan, hacemos:

010x + 0,15(10) = 0,12(10+x)

De donde:

0,10x+1,5 = 1,2+0,12x

1,5-1,2 = 0,12x-0,10x

0,3 = 0,02x

0,3/0,02 = x

x = 15

Debe mezclarse 15 onzas

24. Que cantidad de agua debe agregarse a 15 onzas de una solucin de cido al 20% para obtener una solucin al 12%?

1) Si la solucin esta al 20% entonces hay 0.2x15 = 3 onzas de acido en 15 onzas de solucin. Si agregamos agua a la solucin para que el 20% baje a 12%, entonces:

(3 oz de acido) / (15 oz de solucin + agua) = 0.12

3 = 0.12 ( 15 + agua) = 1.8 + .12 agua

agua = (3 - 1.8)/.12

agua = 10 onzas [lo que debe agregarse]

25. Una muestra de agua de mar tiene un contenido de 20% de sal. Se agrega agua pura para obtener 75 onzas de una solucin salina al 8%. Cunta agua de mar estaba en la muestra?

Sistema de ecuaciones:

C1V1 + C2V2 = C3V3...(ecuacin 1) V1 + V2 = V3....(ecuacin 2)

sustituimos valores en cada una de ellas: (0.2)V1+ (0)V2 = (0.08)(75 oz) 0.2V1 + 0 = 6...(1) V1 + V2 = 75...(2)

Resolvemos el sistema (1) y (2):

V1 = 30 oz V2 = 45 oz

Como ahora ya sabemos que la masa de la solucin al 20% de sal es de 30 onzas ahora podemos calcular la masa de agua en la misma:

masa de agua = (1 - 0.2)(30) = (0.8)(30) = 24 onzas de agua.

26. Cunta agua debe evaporarse de 300 onzas de una solucin salina al 12% para obtener una solucin salina al 15%?

En una solucin salina de 300 onzas al 12%:

Hay 300 * 0,12 = 36 onzas de sal

300 - 36=264 onzas de agua pura.

Si se evaporan x litros de agua pura --> La solucin queda a 15%

36/(300-x)= 0,15 --> 36= 45 - 0,15x --> 0,15x = 9 --> x= 9/0,15= 60 onzas

Debe evaporarse 60 onzas de agua (quedara 240 onzas de solucin salina al 15%: 36 onzas de sal y 204 de agua) 27. La sustancia A contiene 5 miligramos de Niacina por onza y la sustancia B contiene 2 miligramos de Niacina por onza En qu proporciones se debe mezclar A y B de modo que la mezcla resultante contenga 4 miligramos de Niacina por onza?

A = 5 miligramos de Niacina por onzaB = 2 miligramos de Niacina por onza

Tenemos que:

A + B = 4 miligramos de Niacina / onza

Entonces:A = 5 XB = 2 X

Por lo tanto5 X + 2 X = 4 X7 X = 4 X8 X = 4X = 4/8 =

Sustituyendo:B = 2 X B = 2 (1/2) = 2/2 = 1

Entonces:A + B = 4 miligramos de Niacina/ onzaA = 4 BA = 4 2 XA = 4 -2(1)A = 4-2 = 2 miligramos de Niacina/ onza

Relacin 2:1

28. Una cosecha de papas da un promedio de 16 toneladas mtricas de protena por un kilmetro cuadrado de rea plantada, mientras que el maz produce 24 toneladas mtricas por kilmetro cuadrado. En qu proporciones deben plantarse las papas y el maz para obtener 21 toneladas mtricas de protena por kilmetro cuadrado de la cosecha combinada?

P = superficie plantada con papas M = superficie plantada con maz

16P + 24M = 21 . . . . . .(1)P + M = 1 . . . . . . . . . . .(2)

MTODO DE SUSTITUCIN. De (2), despejamos M ===> M = 1 - P

En (1), reemplazamos M por (1 - P)

16P + 24(1 - P) = 21

16P + 24 - 24P = 21

-8P = 21 - 24

P = -3 / (-8)

P = 3/8

Luego, M = 1 - 3/8 = 5/8

Se debe plantar 3/8 de la superficie con papas y 5/8 con maz.

29. A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto articulo casero. Si el costo para material y mano de obra es de $60 por articulo producido, y el fabricante puede vender cada artculo en $90 encuentre cuantos artculos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000 x(90-60)=2000+1000 90x-60x=3000 30x=3000 x=3000/30 x=100

si vende 100 artculos a $90 = $9000 los costos de material y mano de obra son 100 * $60 =$6000 y la inversin inicial en la maquinaria es $2000

la ganancia es $9000-($6000+$2000)= $1000

30. El costo de publicar cada copia de una revista semanal es de 28$. El ingreso de las ventas al distribuidor es de 24$ por copia y de los anuncios es de 20% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 3000 copias. Cuntas copias deben publicarse y venderse cada semana para generar una utilidad semanal de $1000?

Costo C=28X

Ingreso I=24X+0.20(24)(X-3000) I=24X+4.8(X-3000) I=24X+4.8X-14400 I=28.8X-14400

Utilidad U=I-C U=28.8X-14400-28X U=0.8X-14400

Para que exista una utilidad U=$1000 U=0.8X-14400=1000 0.8X=1000+14400 0.8X=15400 X=15400/0.8 X=19250

Se deben publicar y vender cada semana 19250 peridicos.

31. Un vendedor de autos usados compr dos automviles por $2,900. Vendi uno con una ganancia de 10% y otro con una prdida de 5% y an obtuvo una ganancia de $185 en la transaccin completa. Encuentre el costo de cada automvil.

Solucin:

Sea x el costo del automvil con ganancia de 10%. Por lo tanto, ($2,900 x) es el costo del automvil con perdida de 5%.

Establecemos:

(Ganancia del primer automvil) (Perdida del segundo automvil) = Ganancia Total

Sustituimos los valores y resolvemos para x:

(10%)x (5%)($2,900 x) = $1850.10x 0.05(2,900 x) = 1850.10x 0.05*2,900 + .05x = 1850.10x 145 + 0.05x = 1850.10x + 0.05x = 185 + 1450.15x = 330x = (330/(0.15)x = 2,200

El primer automvil (el de la ganancia) cost $2,200 y el segundo (el de la perdida) cost $2,900 $2,200 = $700.

32. Un empresario esta estableciendo un pequeo negocio. si sus costos fijos son 720$ semanales, y planea emplear 48 horas de mano de obra semanales. El desea asegurar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra y que su producto sea venda a solo 40% sobre el costo total. Que salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artculos por semana, a qu precio debe venderlos?

CT = 720 + CMO (donde CMO signfica Costo Mano de Obra) CMO = 48x (donde 48 son las horas semanales empleadas y "x" el salario por hora desconocido) CT = 720 + 48x ................ (1)

Dado que el problema nos dice que se desea que la ganancia sea igual al CMO, entonces:

UT = CMO (donde UT significa utilidad total - o ganancia) UT = 48x .................. (2)

El problema nos dice que se desea que el producto se venda a solo un 40% sobre el costo total; ello implica que los ingresos sern de: IT = CT + 0.40*CT (donde IT significa ingresos totales) IT = CT * (1 + 0.40) IT = 1.40*CT ............ (3)

Reemplazando la expresin (1) en (3) nos queda: IT = 1.40*(720 + 48x) IT = 1008 + 67.20x ................. (4)

Ahora bien, la utilidad total es la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales, de esta forma: UT = IT - CT .............. (5)

Reemplazando (4) y (1) en (5) resulta:

UT = (1008 + 67.20x) - (720 + 48x) UT = 1008 + 67.20x - 720 - 48x UT = 288 + 19.20x

Pero por la expresin (2) tambin UT = 48x; reemplazando en la expresin anterior se tiene:

48x = 288 + 19.20x

Despejando para "x" en esta ltima expresin se obtiene el valor del salario a pagar:

48x - 19.20x = 288 28.8x = 288 x = 10

El salario por hora que debe pagarse es de 10 unidades monetarias

24. Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dlares por unidad, en donde p=200 - x. Qu nmero de unidades deber venderse a la semana para obtener ingresos mnimos por $9900?

Ingresos totales semanales = 9900 $Precio = 200-xIngresos totales semanales = n clientes x Precio9900 = X (200 X)9900 = 200X X2X2 - 200X +9900 = 0(X -110) (X- 90) = 090 x 110