El problema de la mquina barrenieves. Empieza a nevar, y lo sigue haciendo continuamente. Una mquina barrenieves sale a las 12 horas, y recorre en la primera hora dos km y en la segunda uno. A qu hora empez a nevar? Notas.

Este problema es muy antiguo. Aparece en muchos libros, y para poder resolverlo (al menos que yo sepa) hay que tener conocimientos de clculo diferencial e integral. Bueno ... Tiene sentido este problema?. Veamos: se supone que la potencia de la mquina es constante (la cantidad de nieve que retira la mquina es constante), y que nieva constantemente (la cantidad de nieve cada por unidad de tiempo es constante). Por eso en la primera hora la mquina recorre ms distancia (hay menos nieve) que en la segunda. Si la distancia recorrida depende de la cantidad de nieve, y sta a su vez del tiempo transcurrido, no es tan descabellado preguntarse por el momento en que la cantidad de nieve sea 0.

Empezamos haciendo preguntas Qu necesitamos? Nos vendra bien una funcin que nos diera el espacio recorrido por la mquina, en funcin del tiempo, a partir de las 12. Vamos a llamar a dicha funcin e(t), en donde suponemos que t se mide en horas, y e(t), el espacio, en kms Qu sabemos? En este momento, no mucho: por ejemplo sabemos que

e(12) = 0: es decir el espacio recorrido en el momento de salir (es decir, a las 12 horas) es 0. e(13) = 2: es decir, al cabo de una hora, el espacio recorrido es de 2 kms a(14) = 3: el espacio recorrido al cabo de dos horas es de 3 kms

Qu ms sabemos? Supongamos que empieza a nevar a las 12 - to horas: a partir de este momento empezamos a contar el tiempo.

Como el tiempo no puede ser negativo, el dominio de la funcin e(t) es al menos [0, + [, pero como empezamos a contar a partir del momento 12- to, podemos asumir que el dominio es [12- to, + [ La cantidad de nieve, depende del tiempo as que cuanto ms nieve hay, la mquina quitanieves va ms lenta. Parece razonable suponer, por tanto, que la velocidad de la mquina disminuye con el tiempo, es decir, la velocidad de la mquina es inversamente proporcional al tiempo. Supongamos que la constante de proporcionalidad es k que es desconocida.

Cmo podemos expresar esta idea, mediante una ecuacin?La derivada de una funcin, nos da la velocidad a la que vara la funcin. Por ( ) tanto: sea Ya podemos empezar a encontrar respuestas Expresamos la relacin anterior con notacin en derivadas: Para obtener e(t), podemos integrar: ( ) | ( ) | .

De esta relacin desconocemos to, k y C. Estas tres constantes se pueden obtener a partir de las condiciones iniciales anteriores. Veamos cmo:

e(12) = 0 e(13) = 2 e(14) = 3

( ( (

) ) )

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(1) (2) (3)

A partir de estas tres igualdades hemos de determinar el valor de to, k y C. Para ello Restamos trmino a trmino (3) y (2) resultando | | | | | |

despejando k , se tiene

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sustituyendo esta relacin en (2) obtenemos

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De donde podemos despejar C

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Por tanto la funcin e(t), ser:

( )

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Simplificando se llega a

( )

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funcin que nos da el espacio e(t), en funcin del tiempo transcurrido desde que sale la mquina. Como e(12) = 0, a partir de aqu podemos determinar el valor de to, es decir: ( )| |

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Los numeradores y denominadores de estas fracciones han de ser positivos, porque representan tiempos, por lo que ( ) ( ) ( )

Al desarrollar y simplificar obtenemos:

Resolviendo esta ecuacin , se obtiene

De estas dos soluciones, la solucin posible es

ya que

por lo que la hora a la que empez a nevar es

horas antes de las 12, es decir a las 11hrs. y 23 min. (aprox.)

ver pagina:

http://www.aulamatematicas.org/Marco1.html

tesis http://fondosdigitales.us.es/tesis/tesis/894/ecuaciones-en-derivadas-parciales-concondiciones-de-contorno-no-lineales-aplicaciones-la-dinamica-de-tumores/