EL MTODO DE LA FONTERA INMERSAEste artculo es interesado en con la estructura matemtica del mtodo de la frontera inmersa (FI), el cual es destinado para la simulacin computarizada de la interaccin fluido- estructura, especialmente en dinmica biolgica de fluidos, la formulacin de los problemas de (FI), deriva aqu del principio de mnima accin, envuelve a ambas variables Eulerianas y Langrangianas, relacionados por la funcin delta de Dirac. La discretizacin espacial de las ecuaciones de mtodo (FI) est basado sobre un arreglo en una malla cartesiana para las variables Eulerianas, y una malla curvilnea en movimiento para las variables Lagrangianas. Los dos tipos de variables estn relacionados por las ecuaciones de interaccin que envuelven una suave aproximacin a la funcin delta de Dirac. Las identidades Eulerianas / Lagrangianas gobiernan la transferencia de datos de una malla a la otra. La discretizacin temporal est dada por el mtodo de Runge-Kutta de segundo orden. Actuales y futuras investigaciones estn a punto, y aplicaciones del mtodo (FI) son brevemente discutidas.

CONTENIDOS1- Introduccin.2- Ecuaciones de movimiento.3- Interaccin fluido- Estructura.4- Discretizacin espacial.5- Identidades Eulerianas / Lagrangianas.6- Construccin de .7- Discretizacin temporal.8- Direcciones de investigacin.9- Aplicaciones.10- Conclusiones.Agradecimientos.Referencias.

1. INTRODUCCINEl mtodo de las fronteras inmersas (FI) fue introducido para el estudio de patrones de flujo alrededor de las valvas del corazn y ha evolucionado con generalidad para ser utilizado como mtodo para problemas de interaccin fluido estructura. El mtodo (FI) es ambas una formulacin matemtica y un esquema numrico. La formulacin matemtica emplea una mezcla de variables Eulerianas y Lagrangianas. Estas estn relacionadas por las ecuaciones de interaccin en las cuales la funcin delta de Dirac juega un rol prominente. En el esquema numrico motivado por la formulacin del mtodo de (FI), las variables Eulerianas son definidas sobre un arreglo de mallas cartesiana y las variable Lagrangianas son definidas sobre una malla curvilnea que se mueve libremente a travs del arreglo de malla cartesiano sin ser constreido para adaptar este en alguna manera a todo. Las ecuaciones de interaccin del esquema numrico envuelven una aproximacin suave a la funcin delta de Dirac, construida de acuerdo a ciertos principios que discutiremos.Este artculo es interesado primeramente con la estructura matemtica del mtodo de (FI). Esto incluye ambas formas para que el mtodo de las (FI) desde las ecuaciones de movimiento y tambin el esquema numrico. Los detalles de implementacin son omitidos, y las aplicaciones son discutidas en el sumario, aunque las referencias de estos temas estn dadas para los lectores interesados.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTONuestro propsito en esta seccin es deducir para el mtodo de (FI), la formulacin matemtica de las ecuaciones de movimiento de un material elstico incompresible. El enfoque que nosotros tomamos es similar al de Elbin y Saxton (1986, 1987). Para empezar este punto de esta derivacin es el principio de mnima accin. Aunque nosotros empezamos en variables Lagrangianas, el paso clave es introducir variables Eulerianas a lo largo del camino y hacerlo de tal manera que conduzca en la funcin delta de Dirac. Hablando aproximadamente, nuestro objetivo aqu es hacer que las ecuaciones de elasticidad parezcan lo mejor posible a las ecuaciones de la dinmica de fluidos. Una vez hechos eso, la interaccin fluido estructura ser fcil de manejar.Consideremos, entonces, un material elstico incompresible que llena el espacio tridimensional. Sean (q,r,s) las coordenadas curvilneas ligadas al material, para valores fijos de (q,r,s) etiquetan a un punto material. Sea X(q,r,s,t) la posicin para el tiempo t en coordenadas cartesianas del punto material cuya etiqueta es (q,r,s) . Sea M(q,r,s) la densidad de masa del material, en el sentido de que es la masa de la parte del material definida por que pertenecen a la regin de integracin. Note que M es independiente del tiempo , entonces la masa es conservada.Note que X(, , , t) describe la configuracin en el espacio de todo el material en un tiempo particular t. Nosotros asumiremos que esto determina la energa potencial elstica del material de acuerdo a un funcional de energa E(X) tal que E(X(, , , t) ) es la energa elstica almacenada en el material en el tiempo t. Un papel prominente en lo siguiente ser jugada por la derivacin de Frchet de E. La cual es implcitamente definida como sigue.Considere una perturbacin de la configuracin X(, , , t). (Nosotros denotamos la perturbacin por el smbolo en lugar del smbolo tradicional en el clculo de variaciones. Porque nosotros necesitamos el smbolo para la funcin delta de Dirac que ser pronto su aparicin). Para trminos de primer orden, el resultado de la perturbacin en la energa elstica ser un funcional lineal de la perturbacin en la configuracin del material. Como un funcional puede ser siempre puesto en la siguiente forma:

La funcin -F(, , , t), la cual aparece en esta ecuacin es la derivacin es la derivacin de Frchet de E evaluado en la configuracin X( , , , t). La interpretacin fsica de la precedente es que F es la densidad de fuerza (Con respecto a q, r, s) generada por la elasticidad del material. Esto es esencialmente el principio de trabajos virtuales. Como una forma de abreviar la anterior ecuacin, nosotros debemos escribir:

Para divagar aqu se va a dar un ejemplo de un funcional de energa elstica E y la fuerza elstica F que esta genera. Considere un sistema de fibras elsticas, con la direccin de la fibra variando suavemente como una funcin de la posicin. Sea (q, r, s) las coordenadas curvilneas del material (Lagrangianas) escogidas en una manera tal que q y r sean constantes a lo largo de cada fibra. Nosotros vamos asumir que la energa elstica es de la forma:

El significado de esta es que la energa elstica depende solamente de la tensin en la direccin de la fibra, y no de todas las tensiones sobre la fibra. En otras palabras, nosotros tenemos un caso extremo de un material anisotrpico. Tambin que aqu no hay restricciones sobre , la cual determina la tensin local de la fibra. Y la densidad de energa local es una funcin arbitraria de esta cantidad, nosotros estamos tratando aqu con un caso de elasticidad no lineal. Para evaluar F, nosotros vamos aplicar el operador de perturbacin a E y entonces se usa integracin por partes con respecto a s para obtener el resultado en la siguiente forma:

Donde es la derivada de . Por definicin entonces:

Sea, tambin

Y

Entonces:

Esta ecuacin tambin puede ser obtenida sin referirse a la energa elstica, para empezar de la suposicin que es la fuerza trasmitida por el haz de fibras dq dr, y por consideracin de balance de fuerza sobre un segmento arbitrario tal que un haz pertenece a s1 y s2.Expandiendo la derivada de la ecuacin anterior, nosotros llegamos a una importante conclusin que la densidad de fuerza elstica generada por el sistema de fibras es localmente paralela al plano osculador de la fibras, que es, el plano formado por y . No hay densidad de fuerza elstica en la direccin binormal. Retornando a nuestra principal tarea, Nosotros consideramos la restriccin de incompresibilidad. Sea:

El volumen ocupado en el tiempo t por la parte del material que pertenece a la regin de la siguiente integracin: . Como el material es incompresible, este debe ser independiente del tiempo para toda la regin de integracin, lo cual es solamente posible si:

De aqu en adelante, vamos a escribir en lugar de .El principio para los estados de mnima accin que nuestro sistema envolver en el intervalo de tiempo (0, T) de tal manera que minimice la accin S, definida por:

Donde L es el Lagrangiano (Definido adelante). La minimizacin es hecha bajo la restriccin de incompresibilidad, y tambin por las configuraciones inicial y final.

En general, el Lagrangiano L es la diferencia entre la energa cintica y la energa potencial, es decir:

As, para un arbitrario consistente con las restricciones, nosotros requerimos:

Para llegar a este resultado, hemos usado integracin por partes con respecto a t en el primer trmino. En el segundo trmino nosotros hemos hecho uso de la definicin de F como de la derivacin Frchet de la energa elstica E.