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Ana Cañas Capellán

El grupo fundamental como clasificador de superficies compactas

Luis Javier Hernández Paricio y María Teresa Rivas Rodríguez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2012-2013

Título

Autor/es

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

El grupo fundamental como clasificador de superficies compactas, trabajo fin degrado

de Ana Cañas Capellán, dirigido por Luis Javier Hernández Paricio y María Teresa Rivas Rodríguez (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a lostitulares del copyright.

Facultad

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Titulación

Grado en Matemáticas

Título

El grupo fundamental como clasificador de superficies compactas Autor/es

Ana Cañas Capellán

Tutor/es

Luis Javier Hernández Paricio / Maria Teresa Rivas Rodríguez

Departamento

Matemáticas y Computación

Curso académico

2012 / 2013

Resumen

Resumen

Uno de los problemas centrales de la Topologıa es el de la clasificacion de espacios topologicos; esto es,dados dos espacios topologicos cualesquiera, poder saber si estos son homeomorfos o no. En particular,en este Trabajo Fin de Grado nos planteamos como objetivo principal la clasificacion topologica de lassuperficies compactas.

Las herramientas que utilizaremos para llevar a cabo esta clasificacion son tecnicas basicas de laTopologıa Algebraica con las que trasladamos los problemas de clasificacion de espacios topologicos aproblemas algebraicos.

Esta memoria se centra en la introduccion del grupo fundamental de un espacio topologico basado,las tecnicas para calcular, en condiciones adecuadas, una presentacion de dicho grupo por generado-res y relaciones, y su aplicacion para encontrar una clasificacion topologica explıcita de las superficiescompactas.

Ademas, estas tecnicas permiten encontrar un algoritmo para el calculo del grupo fundamental de unCW-complejo finito cualquiera a traves de su estructura celular.

Abstract

One of the main problems of Topology is the classification of topological spaces; that is, whatever twotopological spaces we have, recognize if these ones are homeomorphic or may not. Specially, in ourdiscussion we arise like principal goal the topological classification of compact surfaces.

Tools which are used to carry out the classification are basic results of Algebraic Topology, with whichwe transform our problems about topological spaces to algebraic problems.

These notes are focused on the introduction of fundamental group that we associate to a topologicalspace, the techniques to calculate, in adequate conditions, a presentation of this group by generators andrelations, and its application to find an explicit topological classification of compact surfaces.

Moreover, these techniques allow us to find an algorithm for the fundamental group of any finiteCW-complex through its cellular structure.

Indice general

Resumen III

Indice General V

1. Introduccion 1

2. Algunos resultados preliminares sobre Espacios topologicos y Superficies 72.1. Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Superficies compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. La relacion de homotopıa 19

4. El grupo fundamental de un espacio 234.1. Caminos. Producto de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. El grupo fundamental de un espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. El grupo fundamental de la circunferencia 315.1. Espacios recubridores y teoremas de elevacion de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. El grupo fundamental de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6. El Teorema de Seifert-Van Kampen 356.1. Presentaciones de grupos por generadores y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2. El Teorema de Seifert-Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3. Aplicaciones del Teorema de Seifert-Van Kampen: Esferas y espacios proyectivos reales. . 41

7. Clasificacion topologica de superficies compactas utilizando el grupo fundamental 45

8. CW-complejos y su grupo fundamental 498.1. Adjuncion de celdas a un espacio y grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.2. El grupo fundamental de un CW Complejo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Conclusiones 53

Bibliografıa 55

Capıtulo 1

Introduccion

El presente Trabajo Fin de Grado (TFG) se puede enmarcar en el contexto de las relaciones de laTopologıa con otras ramas matematicas. Mas concretamente, se situa en la base inicial de la especialidadque se suele denominar Topologıa Algebraica, que se caracteriza por el uso de invariantes algebraicos parala solucion de problemas topologicos y geometricos.

Parece ser que fue J. B. Listing (1808-1882), discıpulo de K.F. Gauss, el primero en utilizar la palabra“topologıa” en 1836, cuando en la correspondencia con un amigo, propone esa palabra para designar una“ciencia aun en embrion” cuya definicion segun Listing podrıa ser “ el estudio de las leyes cualitativasde las relaciones de lugar ... ”, con la que pudieran estudiarse aspectos cualitativos de objetos y formasgeometricas sin tener en cuenta medidas ni magnitudes de los mismos, lo que posteriormente refleja ensu obra “Vorstudien zur Topologie (Introduccion al estudio de la Topologıa)” de 1847.

No obstante, aunque no se utilizara tal palabra, las ideas esenciales sobre las que se sustenta la ramamatematica que hoy llamamos Topologıa aparecen mucho antes. La necesidad de crear nuevos marcosmatematicos en los que se pudieran expresar y resolver problemas de tipo cualitativo ya fue senaladapor Leibniz (1646-1716) (quien se referıa a ello con “Geometrie des Large” (Geometrıa de posicion)) en1679 en su obra “Analisis Situs”, y fue establecida en parte por Euler(1707-1783) en 1736 con su famosasolucion al problema de los puentes de Konigsberg y sus trabajos sobre grafos, donde muchos autoressituan el nacimiento de la Topologıa.

Posteriormente, la busqueda de una buena fundamentacion matematica, la formalizacion de conceptosesenciales del Calculo, el enorme desarrollo de Analisis y la liberacion de ciertos prejuicios geometricosque impulso el descumbrimiento de la geometrıa hiperbolica (trabajo que llevaron a cabo durante el sigloXIX y principios del XX grandes matematicos entre los que podemos encontrar a Cauchy, Gauss, Cantor,Poincare, Hilbert, Riemann y muchos otros) hizo posible la creacion de nuevos modelos matematicos querespondiesen a las necesidades senaladas.

En 1906, Frechet(1878-1973) introdujo la nocion de espacio metrico como un modelo general en quepueden expresarse con precision las nociones de proximidad, lımite y continuidad esenciales en el Analisis.Inspirado por los espacios metricos, Hausdorff (1868-1942), considerado como uno de los fundadores dela Topologıa moderna, introdujo en 1914 la nocion de espacio topologico como un modelos abstractoadecuado para expresar y estudiar los problemas de tipo cualitativo. La nocion que hoy conocemos deespacio topologico fue introducida por Alexandroff (1896-1982) en 1924.

La llamada Topologıa General o Conjuntista estudia estos modelos llamados espacios topologicos(conjuntos con una seleccion determinada de subconjuntos que los dota de una estructura interna) ylas aplicaciones continuas entre ellos (aplicaciones entre esos conjuntos compatibles con su estructurainterna).

Uno de los problemas fundamentales de la Topologıa es la clasificacion topologica de espacios; estoes, dados dos espacios topologicos cualesquiera, saber discernir si estos son topologicamente equivalenteso no lo son (dos espacios son topologicamente equivalentes u homeomorfos si entre ellos existe algunaaplicacion biyectiva continua y con inversa continua).

El problema enunciado de esta forma parece sencillo, pero una solucion general es inviable, ası quemuchas veces lo que se hace es restringir el problema de clasificacion a determinadas clases de espacios(por ejemplo, en el caso de este TFG, superficies compactas). Tambien suelen utilizarse de herramientas

2 Introduccion

y tecnicas que ayuden, aunque sea de un modo parcial, a abordar el problema.

Una de las primeras tecnicas basicas es el uso de las llamadas propiedades topologicas (propiedades quese preservan bajo homeomorfismos), pues, si dados dos espacios topologicos se encuentra una propiedadtopologica que es verificada por uno de ellos y no por el otro, esto garantiza que tales espacios no sontopologicamente equivalentes.

Lo que ocurre en muchas ocasiones es que espacios concretos que la intuicion indica que son topologi-camente distintos (por ejemplo pensemos en una esfera y un toro), tienen el mismo comportamientorespecto a las diversas propiedades topologicas mas habituales.

Por este motivo, surge la necesidad de desarrollar en Topologıa otros mecanismos que nos ayuden adistinguir ese tipo de espacios. A esto responden los llamados invariantes algebraicos, que consisten enasociar a cada espacio topologico un determinado objeto algebraico (en la mayorıa de los casos un grupo)de modo que para dos espacios topologicamente equivalentes, los objetos asociados sean algebraicamenteequivalentes (isomorfos en el caso de grupos).

El estudio y desarrollo de ese tipo de invariantes forma lo que se conoce como Topologıa Algebraica.El invariante algebraico mas basico y popular es el llamado grupo fundamental o grupo de Poincare,que introdujo H. Poincare (1854-1912) en su artıculo “Analisis Situs” de 1895. Cabe destacar que Poin-care realizo su tesis doctoral en ecuaciones diferenciales bajo la direccion de C. Hermite, defendiendola enParıs en 1879. Fue profesor de la Universidad de Caen, la Sorbonne, la Ecole Polytechnique y la Facultadde Ciencias de Parıs. Considerado uno de los fundadores de la Topologıa Algebraica, las aportacionesde Poincare pertenecen a practicamente todos los campos matematicos de la epoca, tanto puros comoaplicados: algebra, aritmetica, teorıa de grupos, topologıa, mecanica celeste, mecanica de fluidos, fısicamatematica . . . Es considerado uno de los grandes genios de todos los tiempos.

En relacion con este invariante algebraico introducido por Poincare, el objetivo principal del presenteTFG sera la clasificacion topologica de las superficies compactas utilizando el grupo fundamental comoherramienta.

La clasificacion de las superficies compactas es un tema que en el actual plan de estudios del Gradoen Matematicas se realiza con una tecnica diferente, haciendo uso de la orientabilidad y la caracterısticade Euler. El proposito de este trabajo es mostrar la potencia topologica clasificadora de una herramientaalgebraica como es el grupo fundamental.

Puesto que la definicion del grupo fundamental se hace a traves de la nocion de homotopıa, surgede modo natural otro de los objetivos de este trabajo: el estudio de las nociones basicas en Teorıa deHomotopıa que son base esencial para una iniacion en la Topologıa Algebraica.

Una vez establecida la nocion de grupo fundamental, se plantea el problema del calculo concreto delgrupo fundamental asociado a un espacio topologico dado cualquiera. En general, es muy complicadosaber, solo con la definicion, cual es el grupo concreto que corresponde a espacios topologicos que puedenresultarnos tan familiares como la circunferencia, la esfera, el toro o cualquier otra superficie compacta.

Aquı se situa otro de los objetivos principales del trabajo: Conocer tecnicas para el calculo del grupofundamental de muchos espacios topologicos.

Para ello, en una primera fase, se propone abordar el calculo del grupo fundamental de la circunferenciautilizando para ello tecnicas de espacios recubridores, y en una segunda fase, conocer, a traves del Teoremade Seifert-Van Kampen, el calculo del grupo fundamental de espacios mas generales a partir de ciertossubespacios cuyos grupos fundamentales puedan calcularse de manera mas sencilla.

El llamado Teorema de Seifert-Van Kampen fue probado de forma independiente y en el orden en que secitan por los alemanes H. Seifert(1907-1996) y E. van Kampen(1908-1942). Sobre H. Seifert comentaremosque tras asistir en 1927 a un curso de Topologıa impartido por W. Threlfall, comenzo a interesarse poresta teorıa, colaborando estrechamente con el. Durante tres anos fue el unico catedratico de matematicasen Heidelberg.

Sobre E. van Kampen cabe destacar que en 1931 viajo a Estados Unidos para ocupar una plazade profesor en la Universidad Johns Hopkins, en Baltimore. Allı conocio a O. Zariski, que habıa estadotrabajando en el grupo fundamental. En algunos casos Zariski conocıa los generadores y algunas relacionesdel grupo fundamental, pero no era capaz de probar que dichas relaciones eran suficientes para dar lapresentacion del grupo. Esto fue resuelto por van Kampen y fue una de sus primeras contribucionesimportantes a la Topologıa Algebraica.

3

Figura 1.1: A la izquierda Herbert Seifert y a la derecha Egbert van Kampen

Precisamente en esta memoria veremos como el Teorema de Seifert-Van Kampen (enunciado en termi-nos de presentaciones de grupos mediante generadores y relaciones), permitira el calculo del grupo funda-mental de todas las superficies compactas existentes. El analisis de la diferencia algebraica de los gruposfundamentales obtenidos conduce a la distincion topologica de las superficies compactas, y como conse-cuencia, a la observacion de que si una superficie compacta es homotopicamente equivalente a la esferaS2, entonces es homeomorfa a S2.

De este modo, queda abierta la puerta a otro de los objetivos de este trabajo: una aproximacion a com-prender del significado de la Conjetura de Poincare que tanta importancia tiene en campos geometricos,topologicos y diversas ramas matematicas.

Senalamos que dicha Conjetura propuesta por Poincare ha formado parte de los siete Problemas delMilenio para el siglo XXI, seleccionados por el Instituto Matematico Clay en el ano 2000. La Conjeturade Poincare es una caracterizacion de la esfera S3 establecida en los siguientes terminos: “toda 3-variedadcompacta homotopicamente equivalente a la esfera S3 es homeomorfa a S3”. Aunque la conjetura, endimension 3, parece una sencilla afirmacion, las demostraciones detalladas del siglo XX han sido incom-pletas o erroneas, hasta que el matematico ruso G. Perelman ha encontrado una demostracion que hasido reconocida por el Instituto Matematico Clay.

Figura 1.2: A la izquierda Henri Poincare y a la derecha Gregori Perelman

Ademas de la aplicacion del Teorema de Seifert-Van Kampen al calculo de los grupos fundamentales delas superficies compactas, se incluye en esta memoria su aplicacion al estudio de otros espacios topologicos,como por ejemplo esferas, espacios proyectivos reales, etc.

Generalizando el proceso de calculo del grupo fundamental llevado a cabo para las superficies compac-tas, se plantea otro de los objetivos del TFG: Obtener un algoritmo para el calculo del grupo fundamentalde un CW-complejo.

Los CW-complejos, introducidos por J. H. C. Whitehead(1904-1960) permiten abordar un estudiocombinatorio de aquellos espacios que se pueden descomponer en una reunion de celdas (discos topologi-cos) de diferentes dimensiones.

Sobre J. H . C . Whitehead senalaremos que fue uno de los fundadores de la Teorıa de Homotopıa.Estudio Matematicas en la Universidad de Oxford, donde fue socio fundador de The Invariant Society,una sociedad de estudiantes de matematicas. Fue presidente de London Mathematical Society (LMS), lacual otorga dos premios en su memoria.

4 Introduccion

Figura 1.3: J.H.C Whitehead

La memoria de este Trabajo Fin de Grado esta estructurada en ocho capıtulos:

El primero de ellos, en el que nos encontramos, constituye la Introduccion y en ella se muestran losobjetivos fundamentales del TFG y algunos datos historicos de interes relacionados con los mismos.

El Capıtulo 2 esta destinado a recordar algunos conceptos y resultados basicos sobre espacios to-pologicos, y, en particular, sobre superficies compactas, que se estudiaron durante el Grado y serviranpara fundamentar el contexto en el que se realiza la memoria. Se precisa en este capıtulo el problema dela clasificacion topologica de espacios y, mas en concreto, el de la clasificacion topologica de las superficiescompactas.

En el Capıtulo 3 se introducen las nociones mas basicas de la Teorıa de Homotopıa: aplicacioneshomotopas, tipo de homotopıa para espacios topologicos, espacios contractiles, retractos, retractos pordeformacion, etc. Se plantea tambien el problema de la clasificacion homotopica como una herramientapara abordar la clasificacion topologica.

En el Capıtulo 4 se presenta la definicion de grupo fundamental de un espacio, introduciendo para ellopropiedades basicas de caminos. En su desarrollo, se obtendra que es un invariante topologico (inclusoun invariante homotopico), y, por tanto, una herramienta para la clasificacion topologica.

El Capıtulo 5 esta dedicado al calculo del grupo fundamental de la circunferencia. Observaremos quees facil intuir que ese grupo es Z, el grupo de los enteros, pero veremos que la formalizacion matematicade estas ideas intuitivas no es nada simple. Esta se lleva a cabo desarrollando algunas tecnicas generalespara espacios recubridores, particularizadas posteriormente al caso de la circunferencia.

El Capıtulo 6 esta destinado a demostrar el Teorema de Seifert-Van Kampen, uno de los mecanismosmas utiles para el calculo del grupo fundamental de un espacio a traves de adecuados subespacios cuyogrupo fundamental tenga un calculo mas simple. Puesto que el teorema se enuncia en terminos de pre-sentaciones de los grupos fundamentales por generadores y relaciones, se incluye una seccion preliminarsobre presentaciones de grupos. Tambien se incluye una seccion con aplicaciones inmediatas al estudio deespacios interesantes, como esferas, espacios euclıdeos, espacios proyectivos reales, etc.

En el Capıtulo 7 se realiza el calculo del grupo fundamental de las superficies compactas utilizandoel Teorema de Seifert-Van Kampen y se aplica para obtener la clasificacion topologica de las mismas. Seincluyen en este capıtulo algunas observaciones sobre la Conjetura de Poincare en distintas dimensiones.

Finalmente, en el Capıtulo 8, se estudia el efecto que produce en el grupo fundamental la adjuncionde celdas (segun la dimension de las mismas) a un espacio, lo que se utiliza posteriormente para obtenerun algoritmo para el calculo del grupo fundamental los CW-complejos finitos, espacios construidos apartir de un espacio discreto mediante adjuncion sucesiva de celdas de diversas dimensiones, en base asu estructura celular.

La memoria ha sido redactada con LATEX, que es una herramienta que nos permite editar documentoscientıficos con mayor facilidad. La mayorıa de las imagenes incluidas en ella han sido creadas con Geogebra,programa muy util para la realizacion de graficos; aunque estos pueden realizarse tanto en dos dimensionescomo en tres, esta mas desarrollado para imagenes en el plano. El resto de las imagenes se han creadocon el programa Mathematica y han sido trasladadas a nuestro codigo LATEX.

5

Por ultimo, expresar mi mas sincero agradecimiento a todas aquellas personas que han contribuidoen la realizacion de este trabajo, en especial a mis tutores Luis Javier Hernandez y Marıa Teresa Rivaspor la orientacion, el seguimiento y el apoyo recibido. Ademas, dar las gracias al resto de profesores quedurante el Grado han desarrollado su actividad docente preocupandose por nuestra ensenanza.

6 Introduccion

Capıtulo 2

Algunos resultados preliminaressobre Espacios topologicos ySuperficies

Este capıtulo esta destinado a recordar algunos conceptos basicos estudiados en las asignaturas Topo-logıa General y Geometrıa y Topologıa de Superficies del actual plan de estudios del Grado en Matematicasen la Universidad de La Rioja. Veremos algunas definiciones, propiedades basicas y teoremas que funda-mentan el contexto en el que se realiza la memoria y que seran explıcita o implıcitamente utilizados enel desarrollo de la misma.

2.1. Espacios Topologicos

Definicion 2.1.1. Sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Se dice que τ es unatopologıa en X si verifica las siguientes propiedades:

(i) X, ∅ ∈ τ .

(ii) Cualquier union de elementos de τ es un elemento de τ .

(iii) Cualquier interseccion finita de elementos de τ es un elemento de τ .

Notese que esto es equivalente a decir que τ es cerrada por uniones de subfamilias arbitrarias (la unionde la subfamilia vacıa es el subconjunto vacıo) y por interseccion de subfamilias finitas (la interseccionde la subfamilia vacıa es el conjunto total X).

Llamaremos espacio topologico a un par (X, τ) donde τ es una topologıa en el conjunto X . Normal-mente acortaremos la notacion de modo que X denotara tanto al par (X, τ) como al conjunto subyacente.Diremos que los miembros de la topologıa τ son los abiertos del espacio X.

Definicion 2.1.2. Sea X un espacio topologico. Diremos que F ⊂ X es un cerrado si su complementarioX \ F es un abierto de X. Dado un subconjunto A de X llamaremos interior de A, y lo denotamos porIntA (o por A), al conjunto union de los abiertos contenidos en A, o lo que es lo mismo, al mayor abiertocontenido en A. Llamaremos clausura de A, y lo denotaremos por cl(A) (o por A), a la interseccion delos cerrados que contienen a A, es decir, al menor cerrado que contiene a A. Si cl(A) = X, diremos queel subconjunto A es denso en X.

Definicion 2.1.3. Sea X un espacio topologico, V un subconjunto de X y p ∈ X . Se dice que V es unentorno del punto p si existe un abierto U tal que p ∈ U ⊂ V . En general, diremos que V es un entornode un subconjunto A ⊂ X si existe un abierto U tal que A ⊂ U ⊂ V .

Definicion 2.1.4. Sea τ la topologıa de un espacio topologico X. Se dice que una subfamilia B ⊂ τ esuna base de la topologıa τ si para cada abierto U existe una subfamilia BU ⊂ B tal que U =

⋃B∈BU B.

Se dice que una subfamilia S ⊂ τ es una subbase de la topologıa τ si la familia B de las interseccionesfinitas de elementos de S es una base de la topologıa τ .

8 Algunos resultados preliminares sobre Espacios topologicos y Superficies

Definicion 2.1.5. Sea X un espacio topologico y p ∈ X. Una familia Bp de entornos de p es una basede entornos de dicho punto si para cada entorno V de p existe B ∈ Bp tal que B ⊂ V .

Notese que si τ es la topologıa de un espacio X y tenemos una subfamilia B ⊂ τ , entonces B es unabase de τ si y solo si para cada p ∈ X la familia Bp = B ∈ B|p ∈ B es una base de entornos de p.

Un caso muy especial de espacio topologico es aquel en el que la topologıa viene inducida por unametrica: Recordemos que una metrica en un conjunto no vacıo X es una aplicacion d : X ×X → R talque safisface las siguientes propiedades:

(M1) Si x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0. Ademas, d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

(M2) Si x, y ∈ X, se tiene que d(x, y) = d(y, x).

(M3) Si x, y, z ∈ X, entonces d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Un espacio metrico (X, d) consiste en un conjunto no vacıo X junto con una metrica d definida en el.

En un espacio metrico (X, d), si a ∈ X y ε ∈ R con ε > 0, se llama bola de centro a y radio ε alconjunto Bd(a; ε) = x ∈ X|d(a, x) < ε.

Dado un espacio metrico (X, d), la familia :

τd = U ⊂ X|Si x ∈ U, existe ε > 0 tal queBd(x; ε) ⊂ U

es una topologıa en X a la que se le llama topologıa inducida por la metrica d.Si d, d′ son metricas en X que inducen la misma topologıa τd = τd′ diremos que dichas metricas son

equivalentes.

Se dice que un espacio topologico X es metrizable si su topologıa esta inducida por alguna metrica.

El espacio metrico que mas utilizaremos en esta memoria sera Rn, n ≥ 1, con la metrica d in-ducida por la norma euclıdea, que viene dada por d(x, y) = |x − y| =

√∑ni=1(xi − yi)2, para cada

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. A la topologıa inducida por dicha metrica se le llama topo-logıa euclıdea o usual en Rn. Si A ⊂ Rn y d es la metrica euclıdea en Rn, se tiene que dA, dada pordA(x, y) = d(x, y) para todo x, y ∈ A, es una metrica en A y (A, dA) es un subespacio metrico de (Rn, d),y se dice que τdA es la topologıa euclıdea o usual en A.

Siempre que no se advierta lo contrario, se considera en Rn o en cualquier subconjunto A ⊂ Rn sutopologıa usual.

Definicion 2.1.6. Sean X,Y espacios topologicos. Se dice que una aplicacion f : X → Y es continuasi para todo abierto V de Y se tiene que f−1(V ) es abierto en X . Diremos que dicha aplicacion f esabierta (respectivamente cerrada) si para todo abierto A de X (respectivamente cerrado), se verifica quef(A) es abierto de Y ( respectivamente cerrado).

Diremos que una aplicacion ϕ : X → Y es un homeomorfismo si es continua y existe una aplicacioncontinua ψ : Y → X tal que las composiciones verifican que ψϕ = idX , ϕψ = idY , donde idX , idY sonlas aplicaciones identidad. Se dice que los espacios X,Y son homeomorfos ( o que son topologicamenteequivalentes) si existe algun homeomorfismo entre ellos, lo que se denota mediante X ∼= Y .

Recordemos ademas, que si tenemos dos aplicaciones continuas entre espacios topologicos f : X → Y ,g : Y → Z, entonces la aplicacion composicion g f : X → Z es continua.

Surge la cuestion de conocer si dados dos espacios topologicos cualesquiera, estos son homeomorfos ono; es decir, nos plantemos el problema de la clasificacion topologica de espacios.

Definicion 2.1.7. Diremos que una propiedad P enunciada para espacios topologicos es una propiedadtopologica si se cumple que cuando un espacio X verifica P , entonces todo espacio homeomorfo a Xtambien verifica P .

A continuacion veremos algunas propiedades topologicas basicas que pueden ser utiles en este problemade la clasificacion, ya que, dados X, Y espacios topologicos, si se tiene que X verifica una determinadapropiedad topologica P y el espacio topologico Y no la verifica, entonces se deduce que X 6∼= Y .

2.1 Espacios Topologicos 9

Definicion 2.1.8. Sea X un espacio topologico. X se dice separable si existe algun subconjunto D ⊂ Xnumerable y denso. Diremos que X es primero numerable si cada punto p ∈ X posee una base numerablede entornos. Se dice que X es segundo numerable si su topologıa tiene una base numerable.

Notemos que cuando un espacio es segundo numerable entonces es primero numerable y separable. Esimportante destacar que todo espacio topologico metrizable es primero numerable, aunque no todos losespacios metricos son segundo numerables ni separables. Notemos que en el caso particular del espacio Rcon la topologıa usual, este es segundo numerable (basta considerar por ejemplo la base B = (q, q′)|q, q′ ∈Q|q < q′. En general, para n ≥ 1, Rn es segundo numerable.

Definicion 2.1.9. Sea X un espacio topologico. Se dice que X es T0 si para cada pareja de puntosp, q ∈ X , p 6= q, existe U entorno de p tal que q 6∈ U o existe V entorno de q tal que p 6∈ V .

X es T1 si para cada pareja de puntos p, q ∈ X , p 6= q, existen U entorno de p y V entorno de q talesque q 6∈ U y p 6∈ V .

X se dice T2 o de Hausdorff si para cada pareja de puntos p, q ∈ X , p 6= q, existen U entorno de p yV entorno de q tales que U ∩ V = ∅.

X es regular si para cada cerrado A ⊂ X y cada punto p ∈ X tal que p 6∈ A existen U entorno de Ay V entorno de p tales que U ∩ V = ∅.

X es completamente regular si para cada cerrado A ⊂ X y cada punto p ∈ X tal que p 6∈ A existe unaaplicacion continua f : X → I tal que f(A) = 0 y f(p) = 1, donde I = [0, 1] con la topologıa usual.

Diremos que X es normal si para cada pareja de cerrados A,B ⊂ X tales que A ∩ B = ∅ existen Uentorno de A y V entorno de B tales que U ∩ V = ∅.

Se dice que X es T3 si es regular y T1, que es T3 12

o de Tychonoff si es completamente regular y T1, yque es T4 si es normal y T1 .

En cuanto a los espacios metrizables, se verifica que todos ellos son T4. Ademas, es importante conoceren general las relaciones entre estas propiedades: Si un espacio topologico X es T4 entonces es T3 1

2, lo

cual implica que es T3, esto a su vez implica que es T2, que a su vez implica que es T1 y esto ultimoimplica que es T0.

Definicion 2.1.10. Se dice que un espacio topologico X es conexo si siempre que X = U ∪ V con U, Vabiertos y U ∩V = ∅, entonces U = ∅ o V = ∅. Se llama componente conexa, o sencillamente componente,de X a todo subconjunto conexo maximal de X. Diremos que un espacio topologico X es localmenteconexo si cada punto del espacio tiene una base de entornos conexos.

Recordemos que un subespacio X de R con la topologıa usual es conexo si y solo si X es un intervalo.

Definicion 2.1.11. Sea I el intervalo [0, 1]. Se dice que un espacio topologico X es conexo por caminos(o arco-conexo) si siempre que x, y ∈ X, existe una aplicacion continua f : I → X tal que f(0) = x yf(1) = y. Se llama componente conexa por caminos, o abreviadamente arco-componente de X a todosubconjunto arco-conexo maximal de X. Diremos que un espacio topologico X es localmente conexo porcaminos (o localmente arco-conexo) si cada punto del espacio tiene una base de entornos conexos porcaminos.

Notemos que la arcoconexion (o conexion por caminos) de un espacio implica que el espacio es tambienconexo. Recordemos tambien que la imagen por una aplicacion continua de un espacio conexo (respecti-vamente arcoconexo) es un espacio conexo (respectivamente arcoconexo).

Definicion 2.1.12. Diremos que un espacio topologico X es compacto si todo cubrimiento abierto de Xposee algun subcubrimiento finito; es decir, si dada cualquier familia U de abiertos de X verificando queX =

⋃U∈U U , existe una subfamilia finita V ⊂ U tal que X =

⋃V ∈V V .

Se dice que un espacio topologico X es localmente compacto si cada punto del espacio tiene una basede entornos compactos.

Recordemos que la imagen por una aplicacion continua de un espacio compacto tambien es compacto.

Proposicion 2.1.1. Si f : X → Y es una aplicacion suprayectiva y continua, X es compacto e Y es unespacio T2, entonces f es cerrada.

(En el caso de ser f una biyeccion, lo que se obtiene es que f es un homeomorfismo).


Proposicion 2.1.2. Si (X, d) es un espacio metrico compacto y U un cubrimiento abierto de X, entoncesexiste un numero real ε = ε(U) > 0 tal que para cada x ∈ X, existe Ux ∈ U de modo que B(x; ε) ⊂ Ux.( Tal numero ε se llama numero de Lebesgue asociado al cubrimiento abierto U .)

Recordemos que si consideramos en Rn la metrica euclıdea se verifica que, dado un subconjunto X deRn, X es compacto si y solo si X es cerrado y acotado.

A continuacion, recordaremos brevemente algunos metodos basicos de construccion para obtener nue-vos espacios a partir de espacios topologicos dados.

Sobre el comportamiento de las distintas construcciones con las diferentes propiedades topologicassenaladas, referimos al lector a [16] o [1]. Aquı unicamente indicaremos algunas de las que mas utilizamosen esta memoria.

Definicion 2.1.13. Sea (X, τ) un espacio topologico y A ⊂ X un subconjunto de X. Entonces, la familiaτ |A = A ∩ U |U ∈ τ es una topologıa sobre el conjunto A, que se llama topologıa relativa de X en A .Cuando en A se considera esta topologıa se dice que A es un subespacio del espacio X.

Notemos que la inclusion i : A→ X es una aplicacion continua si A es un subespacio de X y por tanto,si f : X → Y es una aplicacion continua, entonces la aplicacion restriccion f |A : A → Y , f |A(x) = f(x),∀x ∈ A, tambien es continua.

Proposicion 2.1.3. (Lema de Pegado) Sean X,Y espacios topologicos y f : X → Y una aplicacion. SiX = A1 ∪A2 donde A1 y A2 son ambos abiertos (o ambos cerrados) de X y f |A1 y f |A2 son aplicacionescontinuas, entonces la aplicacion f es continua.

Notemos que la proposicion se extiende para uniones finitas, pero para uniones infinitas el resultadoextendido es cierto en el caso de abiertos y falso en el de cerrados.

Recordemos que dada una familia de conjuntos Xαα∈A, se llama producto cartesiano de dicha familiaal conjunto ∏

α∈AXα = x : A →

⋃α∈A

Xα|x es una aplicacion tal que x(α) ∈ Xα , ∀α ∈ A.

Xα se dice α-esimo conjunto factor y a xα = x(α) se le llama α-esima coordenada de x.Para cada β ∈ A, denominaremos β-esima aplicacion proyeccion a la aplicacion prβ :

∏α∈A

Xα → Xβ

tal que x→ xβ .

Definicion 2.1.14. Sea una familia de espacios topologicos Xαα∈A. Se llama topologıa producto en elproducto cartesiano

∏α∈A

Xα a la topologıa que tiene como subbase la familia:

S = pr−1α (Uα)|Uα abierto de Xα,α ∈ A.

Se llama espacio producto de la familia de espacios Xαα∈A al conjunto∏α∈A

Xα con la topologıa producto.

Por ejemplo, el Toro T = (x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 = (R +√r2 − z2)2 donde r es el radio de la

circunferencia que se hace girar alrededor del eje z y R es la distancia del centro de la circunferencia quese gira al centro de coordenadas, es homeomorfo al espacio producto S1×S1 donde S1 = x ∈ R2||x| = 1es la circunferencia unidad.

Notemos que si∏α∈A

Xα es un espacio producto, entonces para todo β ∈ A la β-esima proyeccion

prβ :∏α∈A

Xα → Xβ es una aplicacion suprayectiva, continua y abierta.

Proposicion 2.1.4. Sea∏α∈A

Xα un espacio producto y sea Y un espacio topologico. Entonces una

aplicacion f : Y →∏α∈A

Xα es continua si y solo si para todo β ∈ A, la composicion prβ f : Y → Xβ es

continua.

2.2 Superficies compactas 11

Teorema 2.1.1. (Teorema de Tychonoff ) Sea X =∏α∈A

Xα un espacio producto no vacıo. Entonces, X

es compacto si y solo si ∀α ∈ A, Xα es compacto.

(El resultado anterior se verifica tambien si reemplazamos la palabra compacto por conexo o porarcoconexo.)

Definicion 2.1.15. SeaX un espacio topologico, Y un conjunto y f : X → Y una aplicacion suprayectiva.La familia

τf = A ⊂ Y |f−1(A) es abierto de X

es una topologıa en Y a la que se le llama topologıa cociente inducida por f . El par (Y, τf ) se denominaespacio cociente obtenido de X mediante f , y se dice que f : X → Y es la aplicacion cociente.

Proposicion 2.1.5. Sea Z un espacio topologico y sea Y un espacio que tiene la topologıa cocienteinducida por una aplicacion cociente f : X → Y . Si g : Y → Z es una aplicacion, entonces g es continuasi y solo si g f : X → Z es continua.

Proposicion 2.1.6. Si X e Y son espacios topologicos y f : X → Y es una aplicacion suprayectiva,continua y abierta (o cerrada), entonces la topologıa de Y es la topologıa cociente τf .

Por ejemplo, como el intervalo unidad I = [0, 1] es compacto y la circunferencia S1 es T2, la aplicacioncontinua f : I → S1, dada por f(t) = (cos 2πt, sen 2πt), tambien es cerrada y por consiguiente es unaaplicacion cociente. Ası, podemos interpretar la circunferencia S1 como un espacio cociente obtenido delintervalo I.

Como caso particular de los espacios cociente estan los espacios identificacion: Sea X un espaciotopologico y sea ∼ una relacion de equivalencia en X. Se llama espacio identificacion de X mediante ∼al conjunto de clases de equivalencia en X determinadas por ∼, X

∼ , con la topologıa cociente respecto a

la aplicacion natural p : X → X∼ , dada por p(x) = [x], para todo x ∈ X.

En realidad, todos los espacios cociente son esencialmente ası, ya que si tenemos una aplicacioncociente f : X → Y , entonces Y ∼= X

∼ , donde ∼ es la relacion de equivalencia inducida por f : x ∼ x′ si y

solo si f(x) = f(x′). Por ejemplo, S1 ∼= I∼ , donde 0 ∼ 1.

Un caso especialmente interesante de espacios identificacion se produce cuando se colapsa un subcon-junto A de un espacio topologico X. Suele denotarse por X

A al espacio identificacion X∼ obtenido mediante

la relacion ∼ dada por : a ∼ a′ para todo a, a′ ∈ A. Por ejemplo, para todo n ≥ 1, podemos pensar lan-esfera unidad Sn = x ∈ Rn+1||x| = 1 como el espacio cociente Dn

Sn−1 obtenido del n-disco unidadDn = x ∈ Rn||x| ≤ 1 al colapsar su borde ∂Dn = Sn−1.

Definicion 2.1.16. SeanX e Y espacios topologicos disjuntos, A un subespacio cerrado deX y f : A→ Yuna aplicacion continua. Sea U t V el espacio union disjunta (esto es, U ⊂ X ∪ Y es abierto si U ∩X esabierto en X y U ∩ Y es abierto en Y ). Se denota por X tf Y al espacio cociente XtV

R obtenido de launicon disjunta X t V mediante la relacion R dada por x ∼ f(x), para todo x ∈ A y se llama adjuncionde X e Y mediante f . Tambien suele decirse que X tf Y es el espacio obtenido pegando X e Y mediantef .

2.2. Superficies compactas

Definicion 2.2.1. Sea n un entero tal que n ≥ 0. Una variedad topologica n-dimensional, o brevementen-variedad, es un espacio topologico X tal que es de Hausdorff y ademas verifica que cada punto x ∈ Xposee un entorno abierto Ux homeomorfo a la bola n-dimensional unidad Bn = y ∈ Rn | |y| < 1.

Ejemplos basicos de n-variedades son Rn, Bn y Sn. Ademas, todo subconjunto abierto de una n-variedad es una n-variedad.

Una n-variedad puede ser compacta o no compacta, conexa o no conexa, pero toda n-variedad Xposee dos importantes propiedades locales: es localmente compacta y localmente arcoconexa, y por tanto,tambien es localmente conexa. Ası, las arcocomponentes coinciden con las componentes y son abiertas ycerradas en X, luego estas arcocomponentes son tambien n-variedades. Debido a este hecho, lo habituales estudiar unicamente n-variedades conexas, que seran, debido a la propiedad de arcoconexion local,tambien arcoconexas.


Recordemos ademas que las variedades compactas son incrustables en algun espacio Rm y por tantoson metrizables.

Definicion 2.2.2. Llamaremos superficie a toda 2-variedad conexa.

Por ejemplo, el plano R2 y el cilindro abierto S1 × (0, 1) son superficies no compactas. En cambio,notemos que el cilindro cerrado S1 × [0, 1] no es 2-variedad, luego no puede ser superficie.

La banda de Moebius BM = [−1,1]×(−1,1)∼ , donde (1, t) ∼ (−1,−t) para todo t ∈ (−1, 1), es una

superficie no compacta (Ver figura 2.1). En cambio, notemos que la banda de Moebius cerrada, quese define de modo analogo pero considerando el espacio [−1, 1] × [−1, 1], no es 2-variedad, luego no essuperficie.

Figura 2.1: Banda de Moebius

Veremos a continuacion algunos ejemplos de superficies compactas utilizando su representacion plana.Notemos el interes de esta representacion para dichas superficies, ya que, en muchas ocasiones, es massencillo manipular objetos sobre la region poligonal (o disco) que las representa.

La 2-esfera S2 es una superficie compacta. Notemos que tambien podemos pensar topologicamente la2-esfera como el espacio obtenido de un disco D2 = (x, y) ∈ R2|x2+y2 ≤ 1 identificando adecuadamente

los puntos del borde; es decir, S2 ∼= D2

∼ donde (x, y) ∼ (x,−y) para todo (x, y) ∈ S1, lo que se expresabrevemente diciendo que se identifican los puntos del borde siguiendo el esquema aa−1. A este esquemase le conoce como la representacion canonica de la esfera. (Ver Figura 2.2).

Figura 2.2: Representacion poligonal de la 2-esfera junto con su representacion tridimensional.

El toro T = S1×S1 es una superficie compacta. Notemos que podemos obtener el toro a partir de un

cuadrado I2 identificando adecuadamente los puntos del borde; es decir, T ∼= I2

∼ , donde (x, 0) ∼ (x, 1),(0, y) ∼ (1, y), para todo x, y ∈ I, lo que se expresa de forma breve diciendo que se identifican los puntosdel borde siguiendo el esquema aba−1b−1. A este esquema se le llama representacion canonica del toro.(Ver Figura 2.3).


Figura 2.3: Representacion poligonal del toro junto con su representacion tridimensional.

El plano proyectivo real RP 2 = S2

∼ , donde z ∼ −z, para todo z ∈ S2, es una superficie compacta.

Recordemos que RP 2 tambien suele definirse como el espacio cociente RP 2 = I2

∼ obtenido de un cuadradoI2 identificando adecuadamente los puntos de su borde mediante la relacion (x, 0) ∼ (1 − x, 1), (0, y) ∼(1, 1 − y), para todo x, y ∈ I; es decir, se identifican los puntos del borde siguiendo el esquema abab

.Tambien puede definirse el plano proyectivo real como el espacio cociente D2

∼ , donde x ∼ −x para todox ∈ S1, y su esquema serıa en este caso cc. A este ultimo esquema se le llama representacion canonicadel plano proyectivo real. (Ver figuras 2.4 y 2.5).

Figura 2.4: Representaciones poligonales del plano proyectivo real.

Figura 2.5: “Visualizacion” en el espacio tridimensional del plano proyectivo real.

La botella de Klein (BK) es una superficie compacta. Este espacio suele definirse como el espacio

cociente BK = I2

∼ obtenido de un cuadrado identificando sus lados segun la relacion (x, 0) ∼ (1 − x, 1),(0, y) ∼ (1, y) para todo x, y ∈ I; es decir, se identifican los puntos del borde siguiendo el esquema aba−1b.(Ver Figura 2.6).


Figura 2.6: Representacion poligonal de la botella de Klein junto con su “visualizacion” tridimensional.

En general, recordemos que se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 2.2.1. El espacio cociente P∼ , obtenido de un polıgono P con un numero par de lados,

identificando estos a pares (o equivalentemente el espacio cociente D2

∼ , obtenido de un disco D2 cuyoborde esta dividido en un numero par de arcos, identificando estos arcos a pares) es una superficiecompacta.

Para construir otros ejemplos de superficies compactas, se introduce una manera estandar de fabricarnuevas superficies anexionando otras mas sencillas del siguiente modo:

Llamamos disco a todo espacio D homeomorfo a D2 y si f : D → D2 es un homeomorfismo, entoncesllamamos borde del disco D a ∂D = f−1(S1) e interior del disco D a D = f−1(D2 − S1).

Definicion 2.2.3. Sean S1 y S2 dos superficies compactas disjuntas y sean D1 ⊂ S1 y D2 ⊂ S2 discosen S1 y S2 respectivamente. Sea h : ∂D1 → ∂D2 un homeomorfismo.

Se llama suma conexa de S1 y S2, y se denota por S1]S2 al espacio cociente(S1−D1 )∪(S2−D2 )

∼ , dondese identifican x ∼ h(x) para todo x ∈ ∂D1.

Entre las principales propiedades de la suma conexa de superficies compactas se encuentran las si-guientes:

(i) S1]S2 no depende topologicamente de la eleccion de los discos D1 y D2, ni del homeomorfismoelegido h : ∂D1 → ∂D2.

(ii) S1]S2 es una superficie compacta.

(iii) S1]S2∼= S2]S1.

(iv) S1](S2]S3) ∼= (S1]S2)]S3.

(v) S1]S2 ∼= S1.

En general, si utilizamos una representacion poligonal de las superficies compactas dadas y las tecnicasde cortar y pegar, obtenemos un manejo mas sencillo de la suma conexa, como muestran los siguientesejemplos.

Consideremos dos toros disjuntos cuyos esquemas en forma canonica son aba−1b−1 y cdc−1d−1. Con-sideremos ahora un disco en cada toro y quitemos su parte interior, identificamos los bordes de los discosy obtenemos la representacion cdc−1d−1b−1aba−1 de la suma conexa de los dos toros. (Ver Figura 2.7).


Figura 2.7: Suma conexa de dos toros mediante su representacion poligonal.

Podemos dejar la representacion poligonal anterior o seguir aplicando la tecnica de cortar y pe-gar. En la siguiente figura, si cortamos por m y pegamos por a obtenemos la representacion poligonalcdc−1d−1mbm−1b−1. Ası, con dicha tecnica hemos obtenido la llamada representacion canonica de lasuma conexa T]T de dos toros que es a1b1a

−11 b−1

1 a2b2a−12 b−1

2 .

Figura 2.8: A la izquierda, tecnica de cortar y pegar para la obtencion de la representacion canonica. Ala derecha, representacion tridimensional de la suma conexa de dos toros.

Consideremos ahora dos planos proyectivos reales, cuyos esquemas en forma canonica son aa y bb, yveamos cual es su suma conexa. Elegimos un disco en cada plano proyectivo en la posicion que queramosy quitamos la parte interior del disco, identificamos los bordes de los discos (ver Figura 2.9)y obtenemosla llamada representacion canonica de la suma conexa RP 2]RP 2 de dos planos proyectivos reales, que esaabb.


Figura 2.9: Suma conexa de dos planos proyectivos reales mediante su representacion poligonal.

Podemos dejar la representacion poligonal anterior, o, para visualizar que el resultado es una botellade Klein BK, podemos aplicar la tecnica de cortar y pegar. En la siguiente Figura 2.10, si cortamos porc y pegamos por a obtenemos la representacion poligonal cbb−1c.

Figura 2.10: Tecnica de cortar y pegar para la obtencion de la botella de Klein como suma conexa de dosplanos proyectivos reales.

De igual forma que en los ejemplos anteriores podrıa verse que la suma conexa de un toro y un planoproyectivo real es homeomorfa a la suma conexa de tres planos proyectivos reales:

T]RP 2 ∼= RP 2]RP 2]RP 2.

El siguiente resultado es el recıproco de la Proposicion 2.2.1 y su demostracion (ver por ejemplo [9],[10]) esta basada en el hecho de que toda superficie compacta es triangulable (Teorema de Rado) y enconsiderar una adecuada construccion cociente a partir de la relacion de los triangulos.

Proposicion 2.2.2. Toda superficie compacta es homeomorfa al espacio cociente obtenido de un polıgonocon un numero par de lados identificados dos a dos, o lo que es lo mismo, es homeomorfa al espacio cocienteobtenido de un disco con su borde dividido en un numero par de arcos, identificando estos dos a dos.

Corolario 2.2.1. Todas las superficies compactas S que existen son homeomorfas a un espacio cociente

S = D2

∼ , obtenido de un disco cuyo borde S1 esta dividido en un numero par de arcos al identificar estosa pares.

Utilizando tecnicas de cortar y pegar sobre la representacion poligonal D2

∼ de la superficie compactaque indica el Corolario anterior (puede encontrarse la demostracion detallada en [9]), se llega al siguienteresultado.


Proposicion 2.2.3. El espacio cociente D2

∼ , obtenido de un disco cuyo borde esta dividido en un numeropar de arcos, al identificar estos a pares, es homeomorfo a una esfera S2 o a una suma conexa de toros

(m)

T] . . . ]T (que denotaremos brevemente por mT ) o a una suma conexa de planos proyectivos reales(n)

RP 2] . . . ]RP 2 (que denotaremos sencillamente por nRP 2).

Ahora, teniendo en cuenta el Corolario 2.2.1 y que T]RP 2 ∼= 3RP 2, se obtiene:

Corolario 2.2.2. Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera o a una suma conexa de toroso a una suma conexa de planos proyectivos reales.

Definicion 2.2.4. Sea n ≥ 1. Se dice que una superficie compacta que es suma conexa de n toros o sumaconexa de n planos proyectivos reales tiene genero n. Se dice que una esfera tiene genero 0.

Ası, ya sabemos que toda superficie compacta S puede ser descrita del siguiente modo:

S ∼= S2]mT]nRP 2, con n,m numeros enteros tal que n,m ≥ 0. Por tanto,

Si m = 0 y n = 0, nuestra superficie es homeomorfa a la esfera S2.

Si m 6= 0 y n = 0, nuestra superficie es homeomorfa a la suma conexa de m toros.

Si m = 0 y n 6= 0, nuestra superficie es homeomorfa a la suma conexa de n planos proyectivos.

Si m 6= 0 y n 6= 0, nuestra superficie es homeomorfa a la suma conexa de 2m+ n planos proyectivos.

Si queremos clasificar topologicamente las superficies compactas, tendremos que conocer si lassuperficies anteriores son o no topologicamente diferentes.

Recordemos brevemente que la clasificacion de superficies compactas que se estudia en la asignaturaGeometrıa y Topologıa de Superficies del Grado en Matematicas, se realiza mediante la orientabilidad yla caracterıstica de Euler.

Se dice que una superficie compacta es no orientable si contiene alguna banda de Moebius y orientablesi no contiene ninguna banda de Moebius. Ademas, sabemos que una suma conexa de superficies noorientables es no orientable y una suma conexa de superficies orientables es orientable.

Dada una superficie compacta S consideremos en ella una triangulacion y denotemos por v el numerototal de vertices, por e el numero total de aristas y por t el numero total de triangulos. Recordemos quese llama caracterıstica de Euler de S y se denota por χ(S) al numero entero

χ(S) = v − e+ t.

Si en la definicion de triangulacion de una superficie compacta S se cambia la palabra triangulo porpolıgono y denotamos por V el numero total de vertices, E el numero total de aristas y T el numero totalde polıgonos, se tiene que χ(S) = V − E + T .

La caracterıstica de Euler de la esfera es 2, la del toro es 0 y la del plano proyectivo real es 1.Ademas, la caracterıstica de Euler de la suma conexa de dos superficies compactas S1 y S2 es χ(S1]S2) =χ(S1) + χ(S2)− 2. Por tanto, en general, χ(S2]mT ) = 2− 2m y χ(nRP 2) = 2− n.

Notemos que la caracterıstica de Euler de una superficie compacta orientable es siempre par, y la deuna no orientable puede ser par o impar.

Por tanto, utilizando la caracterıstica de Euler y la orientabilidad, se obtiene el siguiente resultado.

Teorema 2.2.1. Dos superficies compactas son homeomorfas si y solo si tienen la misma caracterısticade Euler y las dos son a la vez orientables o no orientables.

El objetivo fundamental de este Trabajo Fin de Grado reside en la clasificacion topologica de superfi-cies compactas utilizando teorıa de homotopıa basica, en particular, el grupo fundamental. Aunquenuestro desarrollo puediera dar la impresion de ser mas complejo que la utilizacion de los conceptos delGrado aludidos, hay que tener en cuenta la dificultad que presenta, por ejemplo, demostrar que la ca-racterıstica de Euler es un invariante topologico, ya que para ello se necesita teorıa de homologıa (puedeconsultarse este desarrollo en [8]).

Capıtulo 3

La relacion de homotopıa

El problema general de determinar si dos espacios topologicos cualesquiera dados son homeomorfoso no, utilizando directamente la definicion de homeomorfismo, puede resultar complicado, ya que paraprobar que son homeomorfos debemos establecer algun homeomorfismo entre ellos, y para demostrar queno lo son tenemos que garantizar que no existe ningun homeomorfismo entre ellos, lo cual puede ser difıcil.

Una herramienta util para abordar el problema consiste en la utilizacion de propiedades de los espaciostopologicos que se preserven bajo homeomorfismo; esto es, de propiedades topologicas. Dados dos espaciostopologicos X e Y , si encontramos una propiedad topologica que se verifique para uno de dichos espaciospero no para el otro, entonces no pueden ser homeomorfos.

Ahora bien, puede ocurrir que al realizar para ambos espacios un test de verificacion de las propie-dades topologicas basicas que han sido recordadas en el Capıtulo 2, el resultado sea el mismo, lo cualno garantiza que dichos espacios topologicos sean homeomorfos. Por tanto, surge la necesidad de utili-zar nuevas tecnicas, dentro de las cuales esta el uso de invariantes homotopicos que dieron origen a laTopologıa Algebraica.

En este capıtulo presentaremos una relacion de equivalencia mas debil que la topologica, la relacion dehomotopıa. Ası, veremos que si dos espacios no son homotopicamente equivalentes, entonces no puedenser homeomorfos.

Definicion 3.0.5. Sean f, g : X → Y aplicaciones continuas entre espacios topologicos. Se dice que f eshomotopa a g si existe una aplicacion continua H : X × I → Y tal que H0(x) = H(x, 0) = f(x), H1(x) =H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. La aplicacion H se dice que es una homotopıa entre f y g.

Se denota f ' g y si se quiere especificar la homotopıa H : f ' g

Intuitivamente, cuando tenemos una homotopıa H : f ' g , podemos interpretar que H expresa unadeformacion continua de f en g.

Figura 3.1: Homotopıa entre f y g.

A veces, la homotopıa H se representa como una familia de aplicaciones continuas Ht : X → Y |t ∈ Idonde Ht(x) = H(x, t), ∀x ∈ X.

Definicion 3.0.6. Una aplicacion continua f : X → Y se dice que es nulhomotopa si f es homotopa aalguna aplicacion constante.

20 La relacion de homotopıa

Ejemplo 3.0.1. En general, si X es un espacio topologico cualquiera e Y es un subconjunto convexo deRn, entonces dadas aplicaciones continuas cualesquiera f, g : X → Y , se tiene que f ' g.

En efecto, definimos H : X × I → Y dada por H(x, t) = (1 − t)f(x) + tg(x). Notar que H esta biendefinida pues ∀x ∈ X, f(x), g(x) ∈ Y , y, como Y es convexo, entonces el segmento f(x)g(x) ⊂ Y . AdemasH es continua por serlo f y g, y, puesto que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x), se obtiene que H : f ' g.

Dados X,Y espacios topologicos, la relacion de homotopıa ' es una relacion de equivalencia en elconjunto C(X,Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y . La demostracion de este hecho es un casoparticular de la que desarrollaremos para el caso de la homotopıa relativa que definimos a continuacion.

Definicion 3.0.7. Sean X,Y espacios topologicos, A ⊂ X y f, g : X → Y aplicaciones continuas talesque sus restricciones verifican que f |A = g|A.

Se dice que f es homotopa a g relativamente a A si existe una homotopıa H : X × I → Y entre f y gque ademas verifica que H(a, t) = f(a) = g(a) para todo a ∈ A, t ∈ I. En tal caso, se dice que H es unahomotopıa entre f y g relativa a A.

Suele denotarse f ' g(relA) o f 'A g. Si se quiere especificar la homotopıa se denota H : f ' g(relA)o H : f 'A g.

Figura 3.2: Homotopıa entre f y g relativa a A.

Intuitivamente, cuando tenemos una homotopıa relativa H : f ' g(relA), puede interpretarse que Hdeforma de modo continuo f en g dejando “quietos”los puntos de A; es decir, para los puntos a ∈ A,H(a, t) = f(a) = g(a) no depende de t.

Notemos que si A = ∅, la relacion de homotopıa relativa a A coincide con la relacion de homotopıaabsoluta definida anteriormente (Definicion 3.0.5). Luego la homotopıa absoluta es un caso particular dela relativa.

Proposicion 3.0.4. Dados X,Y espacios topologicos y A ⊂ X, la relacion de homotopıa relativa '(relA) es una relacion de equivalencia en el conjunto C(X,Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y .

Demostracion. Veamos que se verifican las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva:

(i) Reflexiva: Sea f : X → Y una aplicacion continua. Consideremos H : X×I → Y dada por H(x, t) =f(x), ∀x ∈ X,∀t ∈ I. Notemos que H es continua pues f es continua, ademas H(x, 0) = f(x),H(x, 1) = g(x) , ∀x ∈ X y H(a, t) = f(a) ,∀a ∈ A, ∀t ∈ I. Luego H : f ' f(relA).

(ii) Simetrica: Sean f, g : X → Y aplicaciones continuas. Supongamos que f ' g(relA). Esto significaque f |A = g|A y existe una aplicacion continua H : X × I → Y tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) =g(x) ∀x ∈ X, y H(a, t) = f(a) = g(a), ∀a ∈ A, ∀t ∈ I.

Entonces, si consideramos la aplicacion H : X × I → Y dada por H(x, t) = H(x, 1− t), se tiene queH es continua por serlo H y se verifica que H(x, 0) = H(x, 1) = g(x), H(x, 1) = H(x, 0) = f(x),∀x ∈ X y H(a, t) = H(a, 1− t) = f(a) = g(a), ∀a ∈ A, ∀t ∈ I. Luego H : g ' f(relA).

(iii) Transitiva: Sean f, g, h : X → Y aplicaciones continuas. Supongamos que f ' g(relA) y g 'h(relA). Esto significa que f |A = g|A = h|A y existen homotopıas relativas F : f ' g(relA) y

21

G : g ' h(relA). Entonces, podemos considerar la aplicacion H : X × I → Y dada por

H(x, t) =

F (x, 2t) si 0 ≤ t ≤ 12 ,

G(x, 2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1.

Notemos que H es continua, ya que F y G son continuas y por el lema de Pegado, y verifica queH(x, 0) = F (x, 0) = f(x), H(x, 1) = G(x, 1) = h(x), ∀x ∈ X. Ademas, si a ∈ A, se tiene que

H(a, t) =

F (a, 2t) = f(a) = g(a) si 0 ≤ t ≤ 12 ,

G(a, 2t− 1) = g(a) = h(a) si 12 ≤ t ≤ 1.

= f(a) = h(a)

Por tanto, H : f ' h(relA).

Proposicion 3.0.5. Sean X,Y, Z espacios topologicos, A ⊂ X, B ⊂ Y y sean f1, g1 : X → Y yf2, g2 : Y → Z aplicaciones continuas tales que f1|A = g1|A : A→ B y f2|B = g2|B : B → Z.

Si f1 ' g1(relA) y f2 ' g2(relB), entonces f2 f1 ' g2 g1(relA).

Demostracion. Por hipotesis, existen homotopıas H1 : f1 ' g1(relA) y H2 : f2 ' g2(relB). Consideramosahora la aplicacion L = H2 (H1, pr2) : X× I → Y × I → Z definida por L(x, t) = H2(H1(x, t), t), siendopr2 la proyeccion pr2(x, t) = t, ∀(x, t) ∈ X × I.

Se tiene entonces que L es continua, por serlo H1 y H2, y ademas verifica que L(x, 0) = H2(f1(x), 0) =f2(f1(x)) = (f2 f1)(x), L(x, 1) = H2(g1(x), 1) = g2(g1(x)) = (g2 g1)(x), ∀x ∈ X y L(a, t) =H2(f1(a), t) = f2(f1(a)) = (f2 f1)(a) = (g2 g1)(a), ∀a ∈ A, ∀t ∈ I. Por tanto, L : f2 f1 ' g2 g1 (relA).

Definicion 3.0.8. Se dice que una aplicacion continua f : X → Y es una equivalencia de homotopıa siexiste una aplicacion continua g : Y → X tal que g f ' idX y f g ' idY . Tal g se dice que es unainversa homotopica de f.

Se dice que dos espacios X e Y son homotopicamente equivalentes o que tienen el mismo tipo dehomotopıa si existe alguna equivalencia de homotopıa f : X → Y . En tal caso se denota X ' Y .

Notemos que si f : X → Y es un homeomorfismo, entonces f es una equivalencia de homotopıa. Deaquı se deduce, por tanto, que si X ∼= Y , entonces X ' Y , lo que indica que la clasificacion homotopicade espacios puede ser una ayuda para la clasificacion topologica.

La siguiente definicion se refiere a los espacios que desde el punto de vista homotopico son como unpunto.

Definicion 3.0.9. Se dice que un espacio topologico X es contractil o contractible si X es homotopica-mente equivalente a un punto; es decir, si X tiene el mismo tipo de homotopıa que un espacio unipuntual.

Proposicion 3.0.6. Para un espacio topologico X son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) X es contractil.

(ii) La identidad idX es homotopa a alguna aplicacion constante.

(iii) ∀ Y espacio topologico y ∀f, g : Y → X aplicaciones continuas, se tiene que f ' g.

Demostracion. (i) =⇒ (ii) : Supongamos que X es contractil ( X ' ∗), entonces existen f : X → ∗y g : ∗ → X aplicaciones continuas tales que g f ' idX y f g ' id∗. Sea g(∗) = x0 ∈ X. Entonces(g f)(x) = x0, ∀x ∈ X; es decir, g f es la aplicacion constante ex0

: X → X. Ası que ex0' idX .

(ii) =⇒ (iii): Supongamos que idX : X → X verifica que idX ' ex0para algun x0 ∈ X. Sea Y un

espacio topologico y sean f, g : Y → X aplicaciones continuas. Como idX ' ex0, por la Proposicion 3.0.2

se tiene que f = idX f ' ex0 f = ex0 y g = idX g ' ex0 g = ex0 siendo ex0 : Y → X la aplicacionconstante tal que ex0(y) = x0,∀y ∈ Y . Luego, aplicando la Proposicion 3.0.1, f ' g.

22 La relacion de homotopıa

(iii) =⇒ (i) : Consideremos un punto cualquiera x0 ∈ X y las aplicaciones f : X → x0 tal quef(x) = x0, ∀x ∈ X y g : x0 → X la inclusion. Notemos que f y g son continuas y verifican queg f = ex0

: X → X. Como X verifica la propiedad (iii) se tiene que g f ' idX . Ademas f g =idx0 : x0 → x0, entonces f g ' idx0. Por tanto f es una equivalencia de homotopıa y X ' x0,luego X es contractil.

Notemos que si un espacio es contractil, entonces es arcoconexo, aunque el recıproco no es cierto,como veremos en el Capıtulo 5.

Ejemplo 3.0.2. Ejemplos inmediatos de espacios contractiles son los espacios euclıdeos Rn, los n-discosDn, las n-bolas Bn, etc. En general, si X es un subconjunto estrellado de Rn, puesto que existe un puntox0 ∈ X tal que para todo x ∈ X el segmento xx0 ⊂ X, podemos considerar la homotopıa H : X×I → X,dada por H(x, t) = (1 − t)x + tx0, ∀x ∈ X, ∀t ∈ I, con la que se obtiene idX ' ex0

, y, aplicando laProposicion 3.0.3, se tiene que X es contractil. Como consecuencia, todo subconjunto convexo de Rn escontractil.

La siguiente definicion recoge nociones sobre subespacios con un comportamiento homotopico especialrespecto al espacio total.

Definicion 3.0.10. Sea X un espacio topologico, A ⊂ X, i : A→ X la aplicacion inclusion.Se dice que A es un retracto de X (o que X retracta a A) si existe una aplicacion continua r : X → A

tal que r i = idA (es decir r(a) = a, para todo a ∈ A). Tal r se llama retraccion de X en A.Si ademas se verifica que i r ' idX , se dice que A es un retracto por deformacion de X(o que X

retracta por deformacion a A).Por ultimo, si ademas de todo lo anterior se verifica que i r ' idX(relA) se dice que A es un retracto

por deformacion fuerte de X (o que X retracta por deformacion fuerte a A).

Notemos tambien, y esta es una de las propiedades mas importantes de los retractos, que si A es unretracto por deformacion de X, entonces X ' A, pues las retraciones por deformacion, ya sean fuertes ono, siempre son equivalencias homotopicas. Observemos que si A es un retracto por deformacion fuertede X, entonces A es un retracto por deformacion de X, lo cual a su vez implica que A es un retracto deX, aunque no se verifican las implicaciones inversas.

Ejemplo 3.0.3. El cilindro cerrado X = S1× [−1, 1] retracta por deformacion fuerte a su circunferenciaecuatorial S1 × 0 mediante la retraccion r dada por r(x, s) = (x, 0), ∀(x, s) ∈ S1 × [−1, 1]. Por tanto,S1 × [−1, 1] ' S1 × 0 a pesar de no ser homeomorfos.

Tambien es sencillo comprobar que ∀n ≥ 1, el espacio euclıdeo “pinchado” por el origen, Rn − 0retracta por deformacion fuerte a la (n − 1)-esfera estandar Sn−1, mediante la retraccion r dada porr(x) = x

|x| , ∀x ∈ Rn − 0. Por tanto, Sn−1 ' Rn − 0, a pesar de que Sn−1 6∼= Rn − 0.Se obtiene un resultado analogo cambiando el origen 0 por cualquier otro punto x0 ∈ Rn y la (n− 1)-

esfera estandar por cualquier otra (n− 1)-esfera centrada en x0.

Capıtulo 4

El grupo fundamental de un espacio

En este capıtulo asociaremos un grupo (al que se le denominara grupo fundamental) a un espaciotopologico basado, de modo que los grupos asociados a dos espacios topologicos homeomorfos sean iso-morfos. Ası, este grupo asociado sera un invariante topologico. Intuitivamente, trataremos de introducir,con la ayuda de la nocion de homotopıa, una nueva herramienta algebraica para resolver, por ejemplo, ladiferencia topologica entre el disco D2 y la corona circular de la Figura 4.1.

Figura 4.1: Camino cerrado en el disco D2 y la corona circular respectivamente.

En otras palabras, ¿puede detectarse topologicamente el agujero de la corona utilizando esta nuevaherramienta? La respuesta la obtendremos intentando contraer un camino cerrado en cada uno de losespacios. En el disco, todo camino cerrado puede “llevarse” a un punto, mientras que esto es imposibleen la corona circular, en donde el agujero actua de barrera para caminos cerrados que rodean a esteagujero, impidiendo dicha contraccion. Esta diferencia la medira, como veremos mas adelante, el grupofundamental. Introduciremos esta nocion con rigor a continuacion.

4.1. Caminos. Producto de caminos

Definicion 4.1.1. Un camino (o arco) en un espacio topologico X es una aplicacion continua f : I → X.Llamamos al punto f(0) origen del camino y al punto f(1) final del camino . La aplicacion f (o a vecesIm(f)) se dice que es un camino en X desde a = f(0) hasta b = f(1).

Figura 4.2: Camino f en el espacio X.

Dado un punto cualquiera a ∈ X, la aplicacion ea : I → X definida por ea(t) = a para todo t ∈ I, sellama camino constante en a.

24 El grupo fundamental de un espacio

Llamaremos camino inverso de un camino f en X y lo denotaremos por f , a la aplicacion f : I → Xdefinida por f(t) = f(1− t) ,∀t ∈ I.

Definicion 4.1.2. Sean f y g dos caminos en X tales que f(1) = g(0). Llamaremos producto de f y g,y lo denotaremos por f · g, al camino en X definido por

(f · g)(t) =

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 12

g(2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1

Figura 4.3: Producto de dos caminos f y g.

Notemos que dados dos caminos cualesquiera f y g en X no siempre esta definido el producto f · g.Para que lo este, es necesario que f(1) = g(0).

Definicion 4.1.3. Diremos que dos caminos f y g en X son caminos equivalentes si f ' g(rel∂I), siendo∂I = 0, 1.

Una condicion necesaria para que f ' g(rel∂I) es que f |∂I = g|∂I . Por comodidad, si dos caminos fy g son equivalentes, esto sera denotado por f ∼ g.

Notemos que por la Proposicion 3.0.1, la relacion ∼ = ' (rel∂I) es una relacion de equivalencia enC(I,X). Denotaremos por [f ] la clase de equivalencia correspondiente a un camino f en X.

Proposicion 4.1.1. Sean f0, f1, g0, g1 caminos en X tales que f0(1) = f1(1) = g0(0) = g1(0).Si f0 ∼ f1 y g0 ∼ g1, entonces f0 · g0 ∼ f1 · g1.

Demostracion. Como f0 ∼ f1, entonces existe una homotopıa F : f0 ' f1(rel∂I). Por tanto F : I×I → Xes una aplicacion continua, F (t, 0) = f0(t), F (t, 1) = f1(t), F (0, s) = f0(0) = f1(0) y F (1, s) = f0(1) =f1(1), ∀t, s ∈ I.

Por otro lado, como g0 ∼ g1, entonces existe una homotopıa G : g0 ' g1(rel∂I), lo que significa queG : I × I → X es una aplicacion continua verificando que G(t, 0) = g0(t), G(t, 1) = g1(t), G(0, s) =g0(0) = g1(0) y G(1, s) = g0(1) = g1(1), ∀t, s ∈ I.

Para probar que f0 · g0 ∼ f1 · g1, consideramos la aplicacion H : I × I → X dada por

H(t, s) =

F (2t, s) si 0 ≤ t ≤ 12

G(2t− 1, s) si 12 ≤ t ≤ 1

Notemos que H esta bien definida, es continua (por el Lema de Pegado, ya que F , G son continuas) yademas H : f0 · g0 ∼ f1 · g1.

Esta proposicion permite definir el producto de clases de caminos inducido por el producto de caminosdefinido anteriormente.

4.1 Caminos. Producto de caminos 25

Definicion 4.1.4. Sean [f ] y [g] clases correspondientes a caminos f y g en un espacio topologico Xtales que f(1) = g(0).

Definimos el producto de las clases [f ] y [g], y lo denotaremos tambien [f ] · [g], por:

[f ] · [g] = [f · g]

Este producto de clases de caminos verifica las propiedades recogidas en la siguiente proposicion:

Proposicion 4.1.2. (i) (Asociatividad) Si f , g, h son caminos en X con f(1) = g(0) y g(1) = h(0),entonces:

([f ] · [g]) · [h] = [f ] · ([g] · [h])

(ii) (Existencia de neutros) Si f es un camino en X tal que x = f(0), y = f(1), entonces:

[ex] · [f ] = [f ] = [f ] · [ey]

(iii) (Existencia de inversos) Si f es un camino en X tal que x = f(0), y = f(1) y f : I → X es elcamino definido por f(t) = f(1− t), entonces:

[f ] · [f ] = [ex]

[f ] · [f ] = [ey]

Demostracion. (i) Basta comprobar que (f ·g)·h ∼ f ·(g ·h). Notemos que dichos productos de caminosvienen dados por:

((f · g) · h)(t) =

f(4t) si 0 ≤ t ≤ 1

4

g(4t− 1) si 14 ≤ t ≤

12

h(2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1

(f · (g · h))(t) =

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1

2

g(4t− 2) si 12 ≤ t ≤

34

h(4t− 3) si 34 ≤ t ≤ 1

Entonces podemos considerar la homotopıa F : (f · g) · h ∼ f · (g · h) definida por:

F (t, s) =

f( 4t

s+1 ) si 0 ≤ t ≤ s+14

g(4t− (s+ 1)) si s+14 ≤ t ≤

s+24

h( 4t−s−22−s ) si s+2

4 ≤ t ≤ 1

cuya formula refleja la idea geometrica mostrada en la Figura 4.4.

Figura 4.4


(ii) Basta comprobar que ex · f ∼ f y f · ey ∼ f . Para demostar que ex · f ∼ f (el otro caso es analogo),basta considerar la homotopıa F : ex · f ∼ f definida por :

F (t, s) =

x si 0 ≤ t ≤ 1−s

2

f( 2t+s−11+s ) si 1−s

2 ≤ t ≤ 1

cuya formula refleja la idea geometrica que se recoge en la Figura 4.5.

Figura 4.5

(iii) Basta comprobar que f ·f ∼ ex y f ·f ∼ ey. Para demostrar que f ·f ∼ ex (el otro caso es analogo)definimos la homotopıa F : f · f ∼ ex dada por:

F (t, s) =

f(2t(1− s)) si 0 ≤ t ≤ 12

f((2− 2t)(1− s)) si 12 ≤ t ≤ 1

cuya formula refleja la idea geometrica mostrada en la Figura 4.6.

Figura 4.6

En cada nivel s, la aplicacion h, dada por h(t) = f(t(1−s)), ∀t ∈ [0, 1], describe el trozo del caminof desde 0 hasta (1− s).

4.2 El grupo fundamental de un espacio 27

4.2. El grupo fundamental de un espacio

Hemos visto en la seccion anterior que el producto de dos caminos de un espacio topologico, y portanto el de sus clases, no siempre esta definido, y cuando lo esta, cumple propiedades parecidas a losaxiomas de grupo, pero no se tiene obviamente una estructura de grupo.

Con el fin de subsanar este hecho, podemos restringir los caminos considerados en un espacio comomuestra la siguiente definicion.

Definicion 4.2.1. Sea X un espacio topologico y x0 ∈ X. Llamaremos lazo o camino cerrado basado enx0 a todo camino f en X tal que f(0) = f(1) = x0.

Si consideramos el conjunto Ω(X,x0) = f | f es un lazo en X basado en x0, notemos que, comoconsecuencia de lo senalado en la seccion 1, la relacion de homotopıa relativa ' (rel∂I) denotada por ∼es una relacion de equivalencia en Ω(X,x0). Por comodidad seguiremos denotando por [f ] a la clase deequivalencia del lazo f en Ω(X,x0).

Notemos que el producto f ·g de dos lazos en X basados en x0 cualesquiera f y g siempre esta definido,y por tanto el producto de clases de lazos tambien lo esta.

Entonces, como consecuencia inmediata de la Proposicion 4.1.2, obtenemos una estructura de grupoen el conjunto de las clases de lazos en X basados en x0.

Teorema 4.2.1. Dado un espacio topologico X y un punto x0 ∈ X, el conjunto de las clases de equiva-lencia de lazos en X basados en x0 :

Π1(X,x0) = [f ]| f es un lazo en X basado en x0

con el producto (·) definido por: [f ] · [g] = [f · g], ∀[f ], [g] ∈ Π1(X,x0), donde

(f · g)(t) =

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 12

g(2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1

es un grupo.

Notemos que el elemento neutro es la clase correspondiente al lazo constante [ex0 ] (lo denotaremos[ex0 ] = 1) y el inverso de un elemento [f ] es [f ]−1 = [f ].

Definicion 4.2.2. Dado un espacio topologico X y un punto x0 ∈ X, al grupo anterior

(Π1(X,x0), ·)

se le llama grupo fundamental del espacio X basado en el punto x0.

El punto base x0 ∈ X que elijamos es muy importante en el grupo fundamental Π1(X,x0). Solo enaquellos contextos donde no haya lugar a confusion sobre el punto base elegido o no sea relevante, seescribe por comodidad Π1(X) en lugar de Π1(X,x0).

El siguiente resultado analiza que ocurre en ciertos casos cuando se cambia de punto de base.

Proposicion 4.2.1. Sea X un espacio topologico, x0, x1 ∈ X y supongamos que existe un camino γen X de x0 a x1. Entonces la aplicacion uγ : Π1(X,x1) → Π1(X,x0) dada por uγ([g]) = [γ · g · γ], es unisomorfismo de grupos. A tal uγ se le llama isomorfismo inducido por el camino γ.

Demostracion. Notemos que uγ esta bien definida, pues ∀[f ] ∈ Π1(X,x1) tenemos que (γ · f) · γ es unlazo en X basado en x0 y ademas si suponemos que [f ] = [g] ∈ Π1(X,x0), entonces f ∼ g, y, aplicandola Proposicion 4.1.1, obtenemos que (γ · f) · γ ∼ (γ · g) · γ. Ademas, puesto que por la Proposicion 4.1.2,(γ · f) · γ ∼ γ · (f · γ) se tiene que [(γ · f) · γ] = [γ · (f · γ)], por lo que suele escribirse sencillamenteuγ([f ]) = [γ · f · γ].

Veamos ahora que uγ es un homomorfismo de grupos, es decir, que ∀[f ], [g] ∈ Π1(X,x1), uγ([f ] ·[g]) = (uγ([f ])) · (uγ([g])). En efecto, sin mas que aplicar las propiedades sobre el producto de caminosdesarrolladas en la seccion anterior, tenemos que

uγ([f ·g]) = [γ ·(f ·g)·γ] = [(γ ·f)·ex1·(g·γ)] = [(γ ·f ·γ)·(γ ·g·γ)] = [γ ·f ·γ]·[γ ·g·γ] = (uγ([f ]))·(uγ([g]))

Por ultimo, basta considerar el homomorfismo inducido por el camino γ inverso de γ,uγ : Π1(X,x0) → Π1(X,x1), dado por uγ([h]) = [γ · h · γ], ∀[h] ∈ Π1(X,x0), y es casi inmediato

comprobar que uγ uγ = idΠ1(X,x1) y uγ uγ = idΠ1(X,x0).


Corolario 4.2.1. Si X es un espacio arcoconexo, entonces , para todo x0, x1 ∈ X, los grupos fundamen-tales Π1(X,x0) y Π1(X,x1) son isomorfos.

Por este motivo, cuando un espacio X es arcoconexo, muchas veces denotamos a su grupo fundamentalsencillamente por Π1(X), sin indicar el punto base.

A continuacion, veremos una de las propiedades esenciales de las aplicaciones continuas en relacion algrupo fundamental.

Teorema 4.2.2. Si ψ : X → Y es una aplicacion continua, entonces, para cada x0 ∈ X, ψ induce unhomomorfismo de grupos, ψ∗ : Π1(X,x0)→ Π1(Y, ψ(x0)), dado por ψ∗([f ]) = [ψf ]. (A tal ψ∗ se le llamahomomorfismo inducido por la aplicacion continua ψ).

Demostracion. Notemos que para todo [f ] ∈ Π1(X,x0), f : I → X es una aplicacion continua tal quef(0) = x0 y f(1) = x0. Como ψ es una aplicacion continua, la composicion ψ f : I → Y tambien escontinua y verifica que (ψ f)(0) = ψ(x0) y (ψ f)(1) = ψ(x0); es decir, ψ f es un lazo en Y basadoen el punto ψ(x0). Ademas si [f ] = [g], se tiene que f ∼ g y entonces, aplicando la Proposicion 3.0.2 seobtiene que ψ f ∼ ψ g. Por tanto, ψ∗ esta bien definida.

Es facil comprobar que ψ∗ es homomorfismo de grupos, es decir, ∀[f ], [g] ∈ Π1(X,x0), ψ∗([f ] · [g]) =(ψ∗([f ])) · (ψ∗([g])). En efecto, observemos que ψ (f · g) = (ψ f) · (ψ g), pues

(ψ (f · g))(t) =

ψ(f(2t)) = (ψ f)(2t) si 0 ≤ t ≤ 12

ψ(g(2t− 1)) = (ψ g)(2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1

= ((ψ f) · (ψ g))(t)

Entonces, ψ∗([f ] · [g]) = ψ∗([f ·g]) = [ψ(f ·g)] = [(ψf) ·(ψg)] = [ψf ] · [ψg] = (ψ∗([f ])) ·(ψ∗([g]))

A continuacion, como ejemplos, senalamos algun resultado particular interesante sobre homomorfismosinducidos que facilitara en ocasiones el calculo del grupo fundamental de un espacio y cuya demostracionno tiene dificultad.

Si X e Y son espacios topologicos, x0 ∈ X, y0 ∈ Y , y X×Y es su espacio producto, podemos considerarlas proyecciones canonicas pr1 : X×Y → X y pr2 : X×Y → Y que son aplicaciones continuas y por tanto,inducen homomorfismos (pr1)∗ : Π1(X×Y, (x0, y0))→ Π1(X,x0), (pr2)∗ : Π1(X×Y, (x0, y0))→ Π1(Y, y0).

Entonces, se obtiene el siguiente resultado sobre el grupo fundamental del espacio producto.

Proposicion 4.2.2. El homomorfismo h = ((pr1)∗, (pr2)∗) : Π1(X×Y, (x0, y0))→ Π1(X,x0)×Π1(Y, y0)es un isomorfismo.

El siguiente resultado mostrara que el calculo del grupo fundamental de un espacio X basado en unpunto x0 ∈ X, se reduce al calculo del grupo fundamental de la arcocomponente del punto x0.

Proposicion 4.2.3. Sea X un espacio topologico, x0 ∈ X y A la arcocomponente de X que contienea x0. Entonces, el homomorfismo inducido por la inclusion i : A → X, i∗ : Π1(A, x0) → Π1(X,x0) es unisomorfismo.

El teorema que veremos a continuacion muestra las dos propiedades generales basicas de los homo-morfismos inducidos, que se deducen de forma inmediata de la definicion.

Teorema 4.2.3. Sean X, Y , Z espacios topologicos.

(i) Si ψ : X → Y , ϕ : Y → Z son aplicaciones continuas, entonces (ϕ ψ)∗ = ϕ∗ ψ∗

(ii) (idX)∗ = idΠ1(X,x0) , ∀x0 ∈ X.

Corolario 4.2.2. Si ψ : X → Y es un homeomorfismo, entonces ψ∗ es un isomorfismo.

Notemos que del anterior resultado se deduce que el grupo fundamental es un invariantes topologico,por tanto podra ser utilizado como una herramienta para la clasificacion topologica de espacios.

Ademas, las propiedades reflejadas en el Teorema 4.2.3 expresan que el grupo fundamental es unavıa para pasar de la Topologıa al Algebra. Con mas precision en el lenguaje, es lo que se denomina un

4.2 El grupo fundamental de un espacio 29

funtor de la categorıa de los espacios topologicos basados y aplicaciones continuas entre ellos a la cate-gorıa de los grupos y homomorfismos de grupos, ya que hemos visto que para cada espacio topologicobasado (X,x0), obtenemos un grupo (su grupo fundamental Π1(X,x0)), para cada aplicacion continua ψentre espacios topologicos basados obtenemos un homomorfismo entre los grupos fundamentales asocia-dos (el homomorfismo inducido ψ∗), la identidad induce el homomorfismo identidad, la composicion deaplicaciones continuas induce la composicion de los homomorfismos inducidos, y, en consecuencia, todohomeomorfismo induce un isomorfismo.

Corolario 4.2.3. Si ϕ : X → Y es una equivalencia de homotopıa, entonces, para todo x0 ∈ X, elhomomorfismo inducido ϕ∗ : Π1(X,x0)→ Π1(Y, ϕ(x0)) es un isomorfismo.

Este corolario nos dice que el grupo fundamental es un invariante no solo topologico, sino inclusohomotopico; es decir, que si dos espacios X e Y son homotopicamente equivalentes, sus grupos funda-mentales son isomorfos.

Corolario 4.2.4. (i) Si X es un espacio topologico y A es un retracto de X, entonces la inclusioni : A→ X y la retraccion r : X → A, inducen un monomorfismo i∗ y un epimorfismo r∗ respectivamente.(ii) Si A es un retracto por deformacion de X, entonces la inclusion y la retraccion anteriores inducenisomorfismos i∗ y r∗.

Corolario 4.2.5. Si X es un espacio topologico contractil, entonces, para todo x ∈ X, Π1(X,x) estrivial.

Los espacios que, como en el caso de los contractiles, son arcoconexos y tienen grupo fundamentaltrivial son mas simples desde el punto de vista homotopico y reciben un nombre especial.

Definicion 4.2.3. Se dice que un espacio topologico X es simplemente conexo si X es arcoconexo y∀x0 ∈ X, Π1(X,x0) es trivial.

Notemos que si X es un espacio topologico con mas de un punto y es totalmente disconexo, entoncesX no es simplemente conexo, a pesar de que Π1(X,x) ≡ 1 ,∀x ∈ X. Este es el caso de la 0-esferaS0 = 1,−1.

En el siguiente capıtulo 5, probaremos que la 1-esfera, esto es, la circunferencia S1, no es simplementeconexa. Y en el Capıtulo 6 veremos que, en cambio, para todo n ≥ 2, la n-esfera Sn sı es simplementeconexa.

Capıtulo 5

El grupo fundamental de lacircunferencia

En este capıtulo calcularemos el grupo fundamental de la circunferencia S1 y probaremos que es elgrupo Z de los enteros.

Aunque intuitivamente podemos imaginar este resultado, pues si consideramos un lazo f en S1 basadoen un punto ∗ ∈ S1, podemos asociarle un numero entero (grado de f) que senala el numero de vueltascompletas, considerando el signo, que f da alrededor de S1, la definicion rigurosa de grado de un lazo yla correspondiente demostracion del isomorfismo no es algo sencillo. A continuacion, para definir el gradoy obtener el resultado deseado utilizaremos tecnicas de espacios recubridores.

5.1. Espacios recubridores y teoremas de elevacion de caminos

Definicion 5.1.1. Sea p : X → X una aplicacion suprayectiva y continua entre espacios topologicos. Sicada punto x ∈ X posee un entorno abierto U tal que p−1(U) es union disjunta de abiertos Vα, α ∈ A,de X, de modo que, para cada α, p|Vα es un homeomorfismo de Vα con U , entonces se dice que p es unaaplicacion recubridora y que X es un espacio recubridor o cubierta de X.

Al entorno U de x se le suele llamar entorno elemental de x y al conjunto p−1(x) se le llama la fibrade x.

Notemos que si p : X → X es una aplicacion recubridora, entonces para todo x ∈ X, la fibra p−1(x)es un subespacio discreto de X. Ademas, la aplicacion p es abierta, y, por tanto, el espacio X tiene latopologıa cociente respecto a p.

Para el desarrollo de este capıtulo el ejemplo mas relevante de aplicacion recubridora es la aplicacionp : R→ S1 dada por p(t) = (cos 2πt, sin 2πt), ∀t ∈ R.

Otros ejemplos interesantes sobre aplicaciones recubridoras son los siguientes:

(i) Dado un espacio topologico X, cualquier homeomorfismo f : Y → X es una aplicacion recubridora.

(ii) Si dado un espacio X, consideramos X = X × 1, . . . , n (n copias disjuntas de X), entonces laproyeccion p : X → X, dada por p(x, k) = x, tambien es una aplicacion recubridora.

(iii) Si para cada entero n ≥ 0, RPn es el espacio proyectivo real n-dimensional RPn = Sn

∼ obtenidode la n-esfera Sn al identificar cada pareja de puntos antipodales x ∼ −x, entonces la aplicacion cocientep : Sn → RPn, dada por p(x) = [x] , es una aplicacion recubridora.

A continuacion, veremos los principales teoremas de elevacion de caminos y homotopıas para cubiertas.Estos teoremas son de tipo tecnico, solo se dara un esquema de la demostracion de alguno de ellos dondese puede observar como intervienen algunos de los resultados vistos en Topologıa General y el hecho detrabajar con aplicaciones recubridoras.

Definicion 5.1.2. Sea p : X → X una aplicacion recubridora y f : Y → X una aplicacion continua entreespacios topologicos. Una elevacion de f (respecto a p) es una aplicacion continua f : Y → X tal quep f = f .

32 El grupo fundamental de la circunferencia

Teorema 5.1.1. (Teorema de elevacion de caminos)Sea p : X → X una aplicacion recubridora. Entonces, todo camino f : I → X tiene alguna elevacionf : I → X.

Ademas, dado un punto a ∈ X tal que p(a) = f(0), existe una unica elevacion f de f con f(0) = a.

Demostracion. Para la existencia de la elevacion, puesto que cada punto x ∈ X posee un entorno abiertoelemental Ux tal que p−1(Ux) =

⋃α∈A V

xα con V xα abierto de X en las condiciones de la Definicion 5.1.1,

se considera el cubrimiento abierto f−1(Ux)|x ∈ X de I. Como I es metrico compacto, haciendo usode la Proposicion 2.1.2, existe una particion de I, 0 = s0 < s1 < . . . < sm = 1 tal que f([si, si+1]) ⊂ Uxipara algun xi ∈ X.

A continuacion, construimos f : I → X mediante sucesivas extensiones: Se considera un punto a ∈ Xtal que p(a) = f(0) (su existencia esta garantizada por ser p suprayectiva) y se procede de la siguientemanera. Definimos f(0) = a. Supuesta definida f(s) para todo s con 0 ≤ s ≤ si con las condicionesrequeridas, definimos f en [si, si+1] del modo siguiente: Puesto que f([si, si+1]) ⊂ Uxi para algun xi ∈ X,f(si) ∈ p−1(Uxi) y, por tanto, existe un unico α0 ∈ A tal que f(si) ∈ V xiα0

. Como p|V xiα0: V xiα0

→ Uxi es un

homeomorfismo, definimos f(s) = (p|V xiα0)−1(f(s)), ∀s ∈ [si, si+1]. Reiterando el proceso obtenemos toda

la aplicacion f : X → X, que es continua por el Lema de Pegado y verifica que p f = f .En cuanto a la unicidad, si suponemos que existe otra elevacion g : I → X de f de modo que g(0) =

a = f(0), para demostrar que g = f se utiliza un proceso parecido al anterior: Si suponemos queg(s) = f(s) para todo s tal que 0 ≤ s ≤ si, entonces, como g es continua y [si, si+1] es conexo, setiene un conexo g([si, si+1]) ⊂ p−1(f [si, si+1]) ⊂ p−1(Uxi) que es una union disjunta de los abiertos V xiα .Puesto que g(si) = f(si) ∈ V xiα0

, se deduce que g([si, si+1]) ⊂ V xiα0. Por lo tanto, para todo s ∈ [si, si+1],

g(s) ∈ p−1(f(s)) ∩ V xiα0= f(s). Reiterando el proceso, se obtiene que g = f .

Corolario 5.1.1. Si p : X → X es una aplicacion recubridora y X es arcoconexo, entonces las fibrasp−1(x) tienen el mismo cardinal para todo x ∈ X.

En este caso, el cardinal |p−1(x)| se denomina numero de hojas de la cubierta.

Demostracion. Sean x, y ∈ X. Puesto que X es arcoconexo, podemos elegir un camino f : I → X conf(0) = x, f(1) = y. Entonces, haciendo uso del Teorema 5.1.1, definimos la aplicacion ψ : p−1(x)→ p−1(y)por ψ(a) = f(1), donde f es la unica elevacion de f tal que f(0) = a, a ∈ p−1(x). Es facil comprobar queψ es una biyeccion haciendo uso del camino inverso de f .

Teorema 5.1.2. (Teorema de elevacion de homotopıas)Sea p : X → X una aplicacion recubridora. Entonces, dada una aplicacion continua F : I × I → X y unpunto a ∈ X tal que p(a) = F (0, 0), existe una unica elevacion de F , F : I × I → X tal que F (0, 0) = a

Demostracion. Razonamos de modo similar a como lo hemos hecho en el Teorema 5.1.1, cambiandoel intervalo I por el cuadrado I2 y utilizando una particion de este en pequenos rectangulos Rij =[si, si+1]× [tj , tj+1], i ∈ 0, . . . , n− 1, j ∈ 0, . . . ,m− 1.

Se construye la elevacion F partiendo de F (0, 0) = a y realizando sucesivas extensiones sobre losrectangulos R00, . . . , R0(m−1), R10, . . . , R(n−1)(m−1).

La unicidad se demuestra tambien de modo analogo al caso de elevacion de caminos, utilizando ahorael hecho de que cada rectangulo Rij es conexo.

Corolario 5.1.2. (Teorema de Monodromıa)Sea p : X → X una aplicacion recubridora y sean f, g : I → X caminos equivalentes. Sea a ∈ X tal quep(a) = f(0) = g(0). Entonces, las elevaciones respectivas f , g : I → X tales que f(0) = g(0) = a, verificanque son caminos equivalentes. En particular, f(1) = g(1).

Demostracion. Consideremos una homotopıa F : f ∼ g. Puesto que p(a) = F (0, 0), aplicando el Teorema5.1.2 existe una unica elevacion de F , F : I × I → X tal que F (0, 0) = a. Ahora, utilizando resultados deconexion, es facil comprobar que F : f ∼ g. En particular, esto implica que f(1) = F (1, 0) = F (1, 1) =g(1).

Corolario 5.1.3. Si p : X → X es una aplicacion recubridora y X es simplemente conexo, entoncesexiste una biyeccion entre Π1(X, p(a)) y la fibra p−1(p(a)), para todo a ∈ X.

5.2 El grupo fundamental de la circunferencia 33

Demostracion. Dado a ∈ X, consideramos la aplicacion φ : Π1(X, p(a))→ p−1(p(a)) definida por φ([f ]) =f(1), donde f : I → X es la unica elevacion de f tal que f(0) = a.

Por el Teorema de Monodromıa (Corolario 5.1.2), φ esta bien definida. Para comprobar que φ essuprayectiva utilizamos que X es arcoconexo y para comprobar que es inyectiva utilizamos que Π1(X, a)es trivial.

Notemos que como X es arcoconexo, entonces X tambien lo es, y tendremos que para todo x, y ∈ X,|p−1(x)| = |p−1(y)|, ademas Π1(X,x) es isomorfo a Π1(X, y).

Definicion 5.1.3. Una aplicacion recubridora p : X → X se llama cubierta universal de X si X essimplemente conexo.

La cubierta universal, cuando existe, ademas de ser topologicamente unica, es cubierta de cualquierotra cubierta arcoconexa de X. Un ejemplo importante es la cubierta universal de S1, p : R → S1, queestudiaremos en la siguiente seccion.

5.2. El grupo fundamental de la circunferencia

Particularizando los resultados anteriores para el caso de la cubierta p : R → S1 dada por p(t) =(cos 2πt, sin 2πt), obtendremos una formulacion rigurosa de la idea intuitiva de grado de un lazo en lacircunferencia S1, y, con ello, el calculo de su grupo fundamental.

Teorema 5.2.1. (Teorema de elevacion de caminos)Todo camino f : I → S1 tiene una elevacion f : I → R. Ademas, dado un punto a ∈ R tal que p(a) = f(0),existe una unica elevacion f de f con f(0) = a.

Notemos que en el caso de ser f un lazo de S1, la elevacion f de f no tiene por que ser un lazo de R.

Definicion 5.2.1. Sea f un lazo de S1 basado en el punto ∗ = (1, 0), y sea f la unica elevacion de fcon f(0) = 0. Notemos que f(1) ∈ p−1(∗) = Z. Llamaremos grado de f al entero f(1) y lo denotaremoscomo grado(f).

Con el siguiente teorema de elevacion de homotopıas en S1 y su corolario veremos que, en realidad, elgrado de un lazo f de S1 basado en ∗ = (1, 0), solo depende de la clase de equivalencia [f ] ∈ Π1(S1, ∗).

Teorema 5.2.2. (Teorema de elevacion de homotopıas)Sea F : I × I → S1 una aplicacion continua. Sea a ∈ R tal que p(a) = F (0, 0). Entonces existe una unicaelevacion de F , F : I × I → R tal que F (0, 0) = a.

Corolario 5.2.1. (Teorema de Monodromıa)Sean f, g : I → S1 lazos en S1 basados en ∗ tales que f ∼ g. Sea a ∈ Z ⊂ R y sean f , g : I → R las unicaselevaciones de f y g respectivamente tales que f(0) = g(0) = a. Entonces, f ∼ g y por tanto, f(1) = g(1).

Notemos que si en el teorema anterior consideramos a = 0, obtenemos el siguiente resultado.

Corolario 5.2.2. Si [f ] = [g] ∈ Π1(S1, ∗), entonces grado(f) = grado(g).

Teorema 5.2.3. La aplicacion grado, Φ: Π1(S1, ∗)→ Z, dada por Φ([f ]) = grado(f), ∀[f ] ∈ Π1(S1, ∗),es un isomorfismo de grupos.

Demostracion. Por el Corolario 5.2.2, se tiene que la aplicacion Φ esta bien definida. Veamos que Φ eshomomorfismo de grupos, es decir, que Φ([f ] · [g]) = Φ([f ]) + Φ([g]), ∀[f ], [g] ∈ Π1(S1, ∗).

Sean f la unica elevacion de f con origen 0 y n = f(1) = Φ([f ]), g la unica elevacion de g con

origen 0 y m = g(1) = Φ([g]) y f · g la unica elevacion de f · g con origen 0. Tendremos entonces que

Φ([f ] · [g]) = f · g(1).Consideremos la aplicacion h : I → R dada por

h(t) =

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 12 ,

n+ g(2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1.

34 El grupo fundamental de la circunferencia

Notemos que h esta bien definida, es continua debido al Lema de Pegado y h(0) = f(0) = 0. Ası, por el

teorema de elevacion de caminos (Teorema 5.2.1), se tiene que h = f · g. Por tanto, Φ([f ] · [g]) = f · g(1) =h(1) = n+ g(1) = n+m.

Veamos que Φ es inyectiva. Sea [f ] ∈ Π1(S1, ∗) con Φ([f ]) = 0. Por tanto, la unica elevacion f def con origen 0 verifica que f(1) = 0. Entonces, f es un lazo en R basado en 0. Ahora bien, como R essimplemente conexo, se tiene que f ∼ c0 siendo c0 : I → R el lazo constante tal que c0(t) = 0 para todot ∈ I. Ası, por el teorema de composicion (Proposicion 3.0.2) se tiene que f = p f ∼ p c0 = e∗. Luego[f ] = [e∗] = 1 ∈ Π1(S1, ∗).

Veamos que Φ es suprayectiva. Dado n ∈ Z, consideremos el camino h : I → R entre 0 y n dadopor h(t) = nt, ∀t ∈ I, y la composicion f = p h : I → S1. Notemos que f es continua y ademasf(0) = (p h)(0) = p(0) = ∗ y f(1) = (p h)(1) = p(n) = ∗, por lo cual f es un lazo en S1 basado en ∗.Ası que la unica elevacion f de f con f(0) = 0 es la aplicacion h. Luego se tiene que [f ] ∈ Π1(S1, ∗) yΦ([f ]) = f(1) = h(1) = n.

Corolario 5.2.3. Para todo x ∈ S1, se verifica que Π1(S1, x) ∼= Z.

Corolario 5.2.4. Para todo x ∈ R2, Π1(R2 \ x) ∼= Z.

Demostracion. Notemos que basta probarlo para el caso x = 0. Como R2 \ 0 retracta por deformacion(fuerte) a S1, el resultado se deduce inmediatamente del Corolario 4.2.4 y del Teorema 5.2.3.

Corolario 5.2.5. El grupo fundamental del toro T = S1 × S1 es Π1(T, x) ∼= Z× Z, para todo x ∈ T .

Demostracion. Basta aplicar la Proposicion 4.2.2 y el Teorema 5.2.3.

Capıtulo 6

El Teorema de Seifert-Van Kampen

En los capıtulos anteriores hemos podido comprobar que el calculo del grupo fundamental de unespacio topologico a partir de la definicion es, en ocasiones, como sucede en el caso de la circunferencia,una tarea complicada. Nos planteamos entonces encontrar otros metodos para el calculo de dicho grupo.La idea en la que se basa el resultado central del capıtulo, el Teorema de Seifert-Van Kampen, es la deconocer, bajo ciertas condiciones, el grupo fundamental de un espacio topologico expresando este espaciocomo una union de dos subespacios mas sencillos de los que ya conocemos los grupos fundamentales. Ası,obtendremos un metodo para el calculo del grupo fundamental accesible para muchos espacios topologicos.

Antes de enunciar el teorema, puesto que este esta enunciado expresando los grupos fundamentalesen terminos de generadores y relaciones, se incluye una primera seccion con nociones y resultados basicossobre presentaciones de grupos por generadores y relaciones, que es un tema no incluido en el actual plande estudios del Grado en Matematicas. Para mas informacion puede consultarse [4].

6.1. Presentaciones de grupos por generadores y relaciones

Definicion 6.1.1. Sea X un conjunto. Se llama grupo libre sobre X a un par (F, i) donde F es un grupoe i : X → F es una aplicacion tal que para todo grupo G y para toda aplicacion f : X → G, existe ununico homomorfismo de grupos f : F → G tal que f = f i.

Si (F, i) es un grupo libre sobre X, entonces i es inyectiva y F esta generado por Im(i).El grupo libre sobre X existe y es unico salvo isomorfismos. La unicidad se deduce de la definicion,

veamos la existencia:Si X = ∅ tomamos F el grupo trivial 1 e i la aplicacion vacıa. Si X 6= ∅, definimos una palabra no

vacıa en X como una expresion formal w = xε11 xε22 . . . xεkk donde xi ∈ X, εi ∈ −1, 1, k ∈ N.

Definimos la palabra vacıa en X como aquella en la que no aparecen sımbolos y la denotamos w = 1.Una palabra w en X se dice que es reducida si w es la palabra vacıa o si para todo x ∈ X w no

contiene en su expresion ni a x1x−1 ni a x−1x1.Se considera la siguiente relacion de equivalencia en el conjunto de las palabras en X: w ∼ w′ si w

puede obtenerse de w′ mediante una sucesion finita de operaciones del tipo:(i) insertar x1x−1 o x−1x1 en w′ para algun x ∈ X.(ii) suprimir x1x−1 o x−1x1 en w′ para algun x ∈ X.Si consideramos el conjunto de las clases de equivalencia F = [w]| w es una palabra en X, definimos

el producto en F del siguiente modo : dadas [w], [w′] ∈ F donde w = xε11 xε22 . . . xεkk , w′ = yλ1

1 yλ22 . . . yλkk ,

entonces [w] · [w′] = [xε11 xε22 . . . xεkk y

λ11 yλ2

2 . . . yλrr ], [w] · [1] = [w] = [1] · [w]. Se tiene que (F, .) es ungrupo donde el neutro es [1] y el inverso de un elemento [w] es [w] tal que si w = xε11 x

ε22 . . . xεkk , entonces

w = x−εkk . . . x−ε11 .Por ultimo, si consideramos i : X → F dada por i(x) = [x] se obtiene que (F, i) es un grupo libre

sobre X.

Observemos que todo elemento de F tiene un representante que es una palabra reducida. Normalmente,los elementos de F se denotan sin corchetes y se identifican con igualdades palabras de la misma clase.

Tambien es habitual escribir x en lugar de x1, xn en lugar de(n)

x1 . . . x1 y x−n en vez de(n)

x−1 . . . x−1 .

36 El Teorema de Seifert-Van Kampen

El grupo libre sobre X suele denotarse sencillamente por F (X).

Notemos que dado un grupo G y un sistema generador X de G, entonces G y X determinan de modo

unıvoco un epimorfismo h : F (X)→ G, y por tanto, G ∼= F (X)Ker(h) . Como consecuencia se tiene el siguiente

resultado.

Proposicion 6.1.1. Todo grupo G es imagen homomorfa de un grupo libre.

Definicion 6.1.2. Sea X un conjunto y sea Y ⊂ F (X). Un grupo G se dice que es el grupo presentadoo definido por los generadores x ∈ X y las relaciones w = 1, w ∈ Y , si

G ∼=F (X)

NY

siendo NY el subgrupo normal de F (X) generado por Y . Entonces decimos que < X;Y > es unapresentacion de G.

Habitualmente se expresa la presentacion anterior como < X;R > donde R = w = 1|w ∈ Y y sedice que X es el conjunto de generadores y que R es el conjunto de relaciones.

Toda palabra α ∈ F (X) tal que α ∼ β con β ∈ NY se dice que es una consecuencia de las relacionesR.

Notemos que el significado de F (X)NY

es el siguiente: Dos palabras en X se identificaran cuando puedaobtenerse una de la otra mediante una sucesion finita de operaciones del tipo :

(i) insertar w o w−1 , para algun w ∈ Y .

(ii) suprimir w o w−1 , para algun w ∈ Y .

(iii) insertar x1x−1 o x−1x1 , para algun x ∈ X.

(iv) suprimir x1x−1 o x−1x1 , para algun x ∈ X.

Notemos que el grupo libre sobre un conjunto X, F (X), tiene por presentacion < X; ∅ > y muchasveces se denota sencillamente como < X >.

Todo grupo admite una presentacion; en general, varias presentaciones distintas. La mayorıa de lasveces el problema radica en, dada una presentacion, saber cual es el grupo concreto al que esta repre-sentando, y otras veces, dadas dos presentaciones, saber si los grupos a los que estan representando sonisomorfos o no.

Definicion 6.1.3. Se dice que una presentacion es finita si el conjunto de generadores y el conjunto derelaciones son finitos.

Definicion 6.1.4. Se dice que dos presentaciones G =< X;Y > y G′ =< X ′;Y ′ > son equivalentes siG ∼= G′; es decir, si existen aplicaciones f : X → G′ y g : X ′ → G preservando relaciones, de modo quef g = idX′ y g f = idX . Tales f y g se llaman equivalencias de presentaciones.

Entre las equivalencias de presentaciones tienen especial relevancia las llamadas Transformaciones deTietze, que son las siguientes:

(a) Anadir o eliminar una relacion superflua:Si G =< X;Y > y G′ =< X;Y ∪ s >, donde s es una consecuencia de las relaciones determinadas

por Y , entonces son presentaciones equivalentes.

(b) Anadir o eliminar un generador superfluo:Si G =< X;Y >, a /∈ X, w ∈ F (X) y G′ =< X ∪ a;Y ∪ aw−1 >, entonces son presentaciones

equivalentes.

La importancia de las transformaciones de Tietze estriba en el hecho de que toda equivalencia entrepresentaciones finitas es una composicion finita de transformaciones de Tietze.

Veamos a continuacion algunos ejemplos de presentaciones de grupos:(i) Considerar el grupo< x; xn > donde n ∈ Z+. Este grupo consta de los elementos 1, x, x2, x3, . . . , xn−1,

luego es isomorfo al grupo cıclico de orden n.

6.2 El Teorema de Seifert-Van Kampen 37

(ii) Considerar el grupo < x, y; xyx−1y−1 >, o, lo que es equivalente, < x, y;xyx−1y−1 = 1 >.Este grupo es isomorfo a Z× Z.

(iii) Considerar el grupo < x, y; y >. Este grupo es isomorfo al grupo libre F (x) =< x >; esdecir, el grupo cıclico infinito generado por x, que a su vez es isomorfo a Z.

(iv) El grupo < a, b; baba−1 = 1 > es isomorfo al grupo < a, c; a2c2 = 1 >.

(v) Las presentaciones G =< x, y, z;xyz = yzx > y G′ =< x, y, a;xa = ax > son equivalentes.

Definicion 6.1.5. Sea G un grupo. El subgrupo conmutador de G, que denotamos [G,G], es el conjuntocuyos elementos son productos finitos de elementos de la forma xyx−1y−1, x, y ∈ G.

Notar que [G,G] es un subgrupo normal de G y el grupo cociente G[G,G] es abeliano. Se dice que G

[G,G]

es el abelianizado de G.

Notemos que, en ocasiones, una forma de distinguir dos grupos es abelianizarlos. Si los abelianizadosno son isomorfos, los grupos tampoco lo seran, pues si G ∼= G′, entonces G

[G,G]∼= G′

[G′,G′] .

Como muchas veces se tienen los grupos expresados mediante presentaciones, es interesante conocercomo es una presentacion del abelianizado:

Si G =< X;Y >, entonces G[G,G]

∼=< X;Y ∪ xzx−1z−1|x, z ∈ X > es una presentacion de su

abelianizado.

Definicion 6.1.6. Un grupo abeliano libre sobre un conjunto X es un par (A, i) donde A es un grupoabeliano e i : X → A es una aplicacion tal que para todo grupo abeliano L y para toda aplicacionf : X → L, existe un unico homomorfismo de grupos f : A→ L tal que f = f i.

El grupo abeliano libre sobre X es unico salvo isomorfismo y suele denotarse por Ab(X).

Es facil comprobar que el abelianizado del grupo libre F (X) sobre X, F (X)[F (X),F (X)] , es un grupo abeliano

libre sobre X.Como F (X) tiene por presentacion < X; ∅ >, se tiene que Ab(X) =< X; xzx−1z−1|x, z ∈ X >.

6.2. El Teorema de Seifert-Van Kampen

Teorema 6.2.1. (Teorema de Seifert-Van Kampen)Sea X un espacio topologico tal que X = U1 ∪ U2, donde U1, U2 y U1 ∩ U2 son subconjuntos abiertos,arcoconexos y no vacıos de X. Sea x0 ∈ U1 ∩ U2.

Supongamos que conocemos presentaciones de los grupos fundamentales de esos subespacios de X:

Π1(U1 ∩ U2, x0) =< S;R > Π1(U1, x0) =< S1;R1 > Π1(U2, x0) =< S2;R2 >

Consideremos las inclusiones ϕ1 : U1 ∩ U2 → U1, ϕ2 : U1 ∩ U2 → U2, ψ1 : U1 → X y ψ2 : U2 → X,y los correspondientes homomorfismos inducidos ϕ1∗ : Π1(U1 ∩ U2, x0) → Π1(U1, x0), ϕ2∗ : Π1(U1 ∩

U2, x0)→ Π1(U2, x0), ψ1∗ : Π1(U1, x0)→ Π1(X,x0) y ψ2∗ : Π1(U2, x0)→ Π1(X,x0) (ver Figura 6.1).

Figura 6.1: Esquema de los homomorfismos inducidos por las inclusiones

Entonces se verifica queΠ1(X,x0) =< S1 ∪ S2;R1 ∪R2 ∪Rs >

siendo Rs = “ϕ1∗(s)” = “ϕ1∗(s)”|s ∈ S donde “ϕi∗(s)” es la expresion de ϕi∗(s) en terminos de losgeneradores Si.


Demostracion. Dividiremos nuestra demostracion en dos partes, en la primera de ellas trataremos losgeneradores y en la segunda las relaciones. En todo lo que sigue, se suponen las hipotesis del teorema6.2.1.

GENERADORES:

Proposicion 6.2.1. Para todo α ∈ Π1(X,x0) se tiene que α =

m∏k=1

ψλ(k)∗(αk) donde αk ∈ Π1(Uλ(k), x0)

con λ(k) ∈ 1, 2.

Demostracion. Sea α = [f ] ∈ Π1(X,x0), donde f es un lazo en X basado en x0. Consideremos elcubrimiento abierto f−1(U1), f−1(U2) de I y sea δ un numero de Lebesgue asociado a dicho cubrimiento.Consideremos una particion 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 de I tal que ti − ti−1 < δ, entonces f([ti−1, ti]) ⊂U1 o f([ti−1, ti]) ⊂ U2 para cada i = 1, . . . , n.

Figura 6.2: Lazo en X basado en x0.

Notemos que podemos suponer que para todo i = 0, . . . , n, f(ti) ∈ U1∩U2.(En efecto, si f(ti) /∈ U1∩U2,entonces f([ti−1, ti]) y f([ti, ti+1]) estan ambos contenidos en U1 o ambos contenidos en U2; entonces,considerando el intervalo [ti−1, ti+1], este cumple que esta contenido en U1 o en U2. Reiterando esteproceso, se obtiene una nueva particion 0 = s0 < s1 < . . . < sm = 1 con m < n verificando quef([sj , sj+1]) ⊂ U1 o f([sj , sj+1]) ⊂ U2 para todo j = 0, . . . ,m− 1 y f(sj) ∈ U1 ∩ U2).

Consideremos los caminos fi : I → X definidos por fi(t) = f((1− t)ti−1 + tti) para todo i = 1, . . . , n.Cada fi es un camino que esta en U1 o en U2, con origen f(ti−1) y extremo f(ti) ambos en U1 ∩ U2.

Utilizando una reparametrizacion puede verse que, como caminos en X, se verifica que

f ∼ f1 · f2 · . . . · fn.

Elegimos ahora, para i = 1, . . . , n, caminos qi : I → X tales que qi(0) = x0, qi(1) = f(ti) y qi(t) ∈U1 ∩ U2, ∀t ∈ I (notemos que podemos hacerlo puesto que x0 y f(ti) pertenecen a U1 ∩ U2 que esarcoconexo).

Figura 6.3: Caminos qi en X.

6.2 El Teorema de Seifert-Van Kampen 39

Por las propiedades del producto de caminos, se verifica que

(q0 · f1 · q1) · (q1 · f2 · q2) · . . . · (qn−1 · fn · qn) ∼ f1 · f2 · . . . · fn ∼ f.

Por lo tanto, en el grupo fundamental Π1(X,x0), tendremos que

[q0 · f1 · q1] · [q1 · f2 · q2] · . . . · [qn−1 · fn · qn] = [f ].

Ahora bien, notemos que cada (qi · fi+1 · ¯qi+1) es un lazo en X basado en x0 y su imagen esta con-tenida enteramente en U1 o en U2; por tanto, [qi · fi+1 · ¯qi+1] es un elemento de ψ1∗(Π1(U1, x0)) ode ψ2∗(Π1(U2, x0)). Luego α = [f ] es un producto finito de imagenes de elementos de Π1(U1, x0) yΠ1(U2, x0).

Corolario 6.2.1. Π1(X,x0) esta generado por ψ1∗(S1) ∪ ψ2∗(S2).

Convenio: por comodidad suele suprimirse ψj∗ en las notaciones; es decir, se escribe s en lugar deψj∗(s), para s ∈ Sj , j ∈ 1, 2. Esto significa que si g : I → Uj representa a s ∈ Π1(Uj , x0) y, por tanto,ψj g : I → Uj → X representa a ψj∗(s) ∈ Π1(X,x0), lo habitual es seguir denotando a ψj g como g ya ψj∗(s) como s.

De este modo, nuestro corolario 6.2.1 queda de la forma siguiente:

Π1(X,x0) esta generado por S1 ∪ S2.

RELACIONES :

Proposicion 6.2.2. (i) Los generadores S1 ∪ S2 de Π1(X,x0) satisfacen las relaciones R1 ∪R2 ∪Rs.

(ii) Cualquier relacion satisfecha por los elementos de S1 ∪ S2 en Π1(X,x0) es una consecuencia de lasrelaciones R1 ∪R2 ∪Rs.

Demostracion. (i) Como ψj∗ : Π1(Uj , x0) → Π1(X,x0) es homomorfismo para j ∈ 1, 2, una relacionsatisfecha por los elementos de Sj en Π1(Uj , x0), se satisface tambien por los elementos de ψj∗(Sj) ⊂Π1(X,x0). Ası, bajo el convenio de suprimir en las notaciones ψj∗, esto significa que los elementos deS1 ∪ S2 en Π1(X,x0) satisfacen las relaciones R1 ∪R2.

Por otra parte, puesto que el diagrama de inclusiones es conmutativo (ψ1 ϕ1 = ψ2 ϕ2), se tiene quepara todo s ∈ S ⊂ Π1(U1 ∩ U2, x0), ψ1∗ ϕ1∗(s) = ψ2∗ ϕ2∗(s). Por tanto, para s ∈ S, si una palabra enSj representa a ϕj∗(s), entonces la misma palabra en Sj representa a ψj∗ ϕj∗(s) en Π1(X,x0). Por lotanto, “ϕ1∗(s)” = “ϕ2∗(s)” para todo s ∈ S, luego se satisfacen las relaciones Rs.

(ii) Supongamos que tenemos una relacion αε11 αε22 . . . αεkk = 1 entre los elementos de S1 ∪ S2 ⊂

Π1(X,x0), con εi = ±1 y αi ∈ Sλ(i) para cada i = 1, . . . , k, λ(i) ∈ 1, 2Supongamos que fi es un lazo en Uλ(i) basado en x0 que representa a αεii en Π1(X,x0); es decir,

αεii = [fi] en π1(X,x0).Ahora, consideramos el lazo f : I → X definido a trozos por fi hi = f |[ i−1

k , ik ] : [ i−1k , ik ] ∼= [0, 1]→ X,

donde hi es el homeomorfismo estandar cuya formula es hi(t) = kt− i+1, luego f(t) = fi(kt− i+1) paracada t, donde i−1

k ≤ t ≤ik . Entonces se verifica que f ∼ f1 ·f2 ·. . .·fk en X; es decir, [f ] = [f1]·[f2]·. . .·[fk]

en Π1(X,x0).Puesto que, por hipotesis, αε11 α

ε22 . . . αεkk = 1, se tiene que f ∼ ex0

en X, y por tanto, existe unaaplicacion continua F : I × I → X tal que F (t, 0) = f(t), F (t, 1) = x0, F (0, s) = x0 = F (1, s), ∀t, s ∈ I.

Consideremos el cubrimiento abierto F−1(U1), F−1(U2) de I × I y sea δ un numero de Lebesgueasociado al cubrimiento. Entonces, existen particiones 0 = t0 < . . . < tm = 1 y 0 = s0 < . . . < sn = 1tales que cada rectangulo Rij = [ti−1, ti]× [sj−1, sj ] es de diametro menor que δ, y por tanto F (Rij) ⊂ U1

o F (Rij) ⊂ U2.Ahora, consideremos los siguientes caminos: bij : [0, 1] ∼= [ti−1, tj ] × sj → X, cij : [0, 1] ∼= ti ×

[sj−1, sj ]→ X, donde tanto bij como cij son la composicion de la restriccion de F con el homeomorfismoestandar correspondiente, y aij : [0, 1]→ X es un camino cualquiera que una x0 con F (ti, sj) (si F (ti, sj) =x0, elegimos aij = ex0), de modo que los caminos anteriores estan en U1, U2 o U1 ∩ U2 segun F (Rij)este contenido en U1, U2 o U1 ∩ U2.


Figura 6.4: Caminos bij , cij y aij .

Notemos que siempre existe el camino aij porque U1, U2 y U1 ∩U2 son arcoconexos, y que se verificaque f ∼ b10 · b20 · . . . · bm0 y ex0

∼ b1n · b2n · . . . · bmn.Ademas, los caminos bi,j−1 · cij y ci−1,j · bij son equivalentes (intuitivamente basta mover los caminos

dentro de la region F (Rij)). Podemos dar explıcitamente la equivalencia de estos caminos mediante lahomotopıa H : I × I → X definida por H(t, s) = F ((1− s)((1− 2t)ti−1 + 2tti) + sti−1, (1− s)sj−1 + s((1− 2t)sj−1 + 2tsj)) , 0 ≤ t ≤ 1

2 .

F ((1− s)ti + s((2− 2t)(ti−1 + (2t− 1)ti)), (1− s)((2− 2t)sj−1 + (2t− 1)sj) + ssj) , 12 ≤ t ≤ 1.

Observemos que H(I × I) esta contenido en U1, U2 o U1 ∩U2 segun que F (Rij) este contenido en U1, U2

o U1 ∩ U2 respectivamente.Consideremos ahora los siguientes lazos basados en x0: fij = (ai−1,j · bij) · aij y gij = (ai,j−1 · cij) · aij .Puesto que bi,j−1 · cij ∼ ci−1,j · bij , se tiene que fi,j−1 · gij ∼ gi−1,j · fij , en U1, U2 o U1 ∩ U2 segun

que F (Rij) este contenido en U1, U2 o U1 ∩ U2 respectivamente.Ası, [fi,j−1] = [gi−1,j ] · [fij ] · [gij ]. Si expresamos cada uno de estos elementos como palabras “(-)” en

S1 o en S2, se cumple la relacion: “[fi,j−1]” = “[gi−1,j ]”“[fij ]”“[gij ]” en Π1(U1, x0) o en Π1(U2, x0).Por tanto, la relacion [fi,j−1] = [gi−1,j ] · [fij ] · [gij ] es consecuencia de R1 o R2.Supongamos ahora que 1

k = ti(1). Puesto que f1 ∼ b10 · . . . · bi(1)0 y fr0 ∼ ar−1,0 · br0 · ar0, se tiene quef1 ∼ f10 · f20 · . . . · fi(1)0.

Como f1 es un lazo en Uλ(1) basado en x0, podemos usar las relaciones Rλ(1) al expresar [f10] · [f20] . . . ·[fi(1)0] como palabras en Sλ(1). Ası, tenemos la relacion αε11 = [f1] = “[f10]” · “[f20]” . . . · “[fi(1)0]” quesera una consecuencia de las relaciones R1 o R2.

Si procedemos de modo analogo, en lugar de para αε11 , para αε22 , . . . , αεkk , se tiene que

αε11 αε22 . . . αεkk = “[f10]”“[f20]” . . . “[fm0]”

que sera una relacion consecuencia de las relaciones R1 y R2.Ahora, utilizando que “[fi,0]” = “[gi1]”“[fi1]”“[gi1]” y que αε11 α

ε22 . . . αεkk = “[f10]”“[f20]” . . . “[fm0]”,

obtenemos que

αε11 αε22 . . . αεkk = (“[g01]”)(“[f11]”)(“[g11]”“[g11]”)(“[f21]”)(“[g21]”“[g21]”) . . . (“[fm1]”)(“[gm1]”)

que es una relacion consecuencia de R1 y R2.Notemos que, como g01 = ex0 = gm1, se tiene que “[g01]” = 1 y “[gm1]” = 1 son relaciones triviales.

Ademas, la relacion “[gj1]”“[gj1]” = 1 tambien es trivial si ambos estan expresados como palabras en S1

o en S2.Pero si gj1 es un camino en U1∩U2 es posible que “[gj1]” este expresado, por ejemplo, como palabra en

S1 y “[gj1]” este expresado como palabra en S2. En este caso, la relacion “[gj1]”“[gj1]” = 1 es consecuenciade las relaciones R1, R2 y Rs.

Aplicando todo esto, tenemos la relacion

αε11 αε22 . . . αεkk = “[f11]”“[f21]” . . . “[fm1]”

6.3 Aplicaciones del Teorema de Seifert-Van Kampen: Esferas y espacios proyectivosreales. 41

como consecuencia de las relaciones R1, R2 y Rs.Repitiendo este proceso, se llega a la relacion:

αε11 αε22 . . . αεkk = “[f1n]”“[f2n]” . . . “[fmn]” = “[ex0

]” . . . “[ex0]” = 1

como una consecuencia de las relaciones R1, R2 y Rs.

Corolario 6.2.2. En las hipotesis del Teorema de Seifert-Van Kampen, si ademas U1∩U2 es simplementeconexo, entonces Π1(X,x0) es el grupo con generadores S1 ∪ S2 y relaciones R1 ∪R2.

Corolario 6.2.3. En las hipotesis del Teorema de Seifert-Van Kampen, si ademas las inclusionesψ1 : (U1, x0) → (X,x0) y ψ2 : (U2, x0) → (X,x0) inducen homomorfismos nulos entre los grupos

fundamentales, entonces Π1(X,x0) = 1

Corolario 6.2.4. En las hipotesis del Teorema de Seifert-Van Kampen, si ademas se verifica que U1 yU2 son simplemente conexos, entonces X es simplemente conexo.

6.3. Aplicaciones del Teorema de Seifert-Van Kampen: Esferasy espacios proyectivos reales.

Veremos a continuacion como pueden ser aplicados de forma casi inmediata los resultados obtenidosen la seccion anterior al estudio de las esferas y los espacios proyectivos reales.

ESFERAS :

Consideremos para cada n ≥ 0, la n-esfera Sn.Para n = 0, sabemos que S0 = −1, 1 es un espacio discreto y, por tanto, no es simplemente conexo,

a pesar de que Π1(S0, x) = 1, ∀x ∈ S0.

Para n = 1, sabemos que S1 es arcoconexo, pero hemos visto en la seccion 5.2 del Capıtulo 5 queΠ1(S1, x) ∼= Z, ∀x ∈ S1, luego tampoco es simplemente conexa.

Con el siguiente resultado veremos lo que sucede para n ≥ 2.

Proposicion 6.3.1. Para todo n ≥ 2, la n-esfera Sn es simplemente conexa.

Demostracion. Sea n ≥ 2. Consideremos los polos norte y sur x1 = (0, . . . , 0, 1) y x−1 = (0, . . . , 0,−1) dela n-esfera Sn y sean U1 = Sn − x1 y U2 = Sn − x−1. Se tiene que Sn = U1 ∪ U2 y tanto U1 comoU2 y U1 ∩ U2 = Sn − x1, x−1 son subconjuntos abiertos, arcoconexos y no vacıos de S1 (notar que laarcoconexion esta garantizada por ser n ≥ 2).

Puesto que U1 = Sn−x1 ∼= Rn mediante la proyeccion estereografica y sabemos que Rn es contractil,se deduce que U1 es contractil. De la misma manera, como U2 = Sn − x−1 ∼= Rn, sabemos que U2 escontractil. Entonces, se tiene que U1 y U2 son simplemente conexos, y, por el Corolario 6.2.4, Sn tambienes simplemente conexo.

Corolario 6.3.1. Para todo n ≥ 3, se tiene que Rn − 0 es simplemente conexo.

Demostracion. Sabemos que Rn − 0 retracta por deformacion (fuerte) a Sn−1. Entonces Rn − 0 'Sn−1.

Como para todo m ≥ 2 hemos visto que Sm es simplemente conexo, entonces Rn−0 es simplementeconexo para todo n ≥ 3.

Como consecuencia de los resultados anteriores, obtendremos la distincion topologica de algunasesferas y de algunos espacios euclıdeos.

Corolario 6.3.2. (i) S0 6∼= Sm para todo m ≥ 1

(ii) S1 6∼= Sm para todo m ≥ 2

(iii) S2 6∼= Sm para todo m ≥ 3.


Corolario 6.3.3. (i) R0 = 0 6∼= Rm para todo m ≥ 1

(ii) R 6∼= Rm para todo m ≥ 2

(iii) R2 6∼= Rm para todo m ≥ 3.

El estudio realizado hasta ahora sobre el grupo fundamental de las esferas Sn nos sera util para conocerel grupo fundamental de los llamados “ramilletes” de n-esferas; esto es, espacios obtenidos mediante launion de n-esferas, n ≥ 1, con un unico punto en comun. En el caso particular en el que n = 1, sueledenominarse al espacio rosa de m petalos.

Proposicion 6.3.2. Sea X la union de m circunferencias con un unico punto x0 en comun, m ≥ 1; esdecir, X =

⋃mi=1Ai donde cada Ai es homeomorfo a S1 y Ai ∩ Aj = x0 si i 6= j (el espacio puede

dibujarse como una rosa de m petalos. (Ver Figura 6.5). Entonces, Π1(X,x0) es el grupo libre con mgeneradores.

Demostracion. Para cada i ∈ 1, . . . ,m, consideramos el elemento αi de Π1(X,x0) representado por unlazo en Ai basado en x0 correspondiente, bajo el homeomorfismo (Ai, x0) ∼= (S1, ∗), al lazo canonico queda una vuelta sobre S1.

Procedemos por induccion respecto a m. Para m = 1, X es una circunferencia A1 y se tiene, por losresultados del Capıtulo 5, que Π1(X,x0) = Π1(A1, ∗) ∼= Z ∼=< α1 >.

Figura 6.5: Rosa de cuatro petalos.

Supongamos que m ≥ 2 y que el resultado es cierto para m − 1. Elegimos un punto ak ∈ Ak \ x0para cada k ≤ m y consideramos U = X \ am y V = X \ akm−1

k=1 . Notemos que X = U ∪ V y tantoU como V y U ∩ V son subconjuntos abiertos, arcoconexos y no vacıos de X.

Se verifica que U ∩ V = X \ akmk=1 es contractil, pues retracta por deformacion a x0. Ademas,V retracta por deformacion a Am, y ası Π1(V ) ∼=< αm >. Por otra parte, U retracta por deformacion a⋃m−1i=1 Ai, por lo que, segun la hipotesis de induccion, Π1(U) ∼=< α1, . . . , αm−1 >.

Aplicando el Teorema de Seifert-Van Kampen, se tiene que Π1(X) ∼=< α1, . . . , αm >.

Proposicion 6.3.3. Sea n ≥ 2 y X un ramillete de m n-esferas, con m ≥ 1; es decir, X =⋃mi=1Ai donde

cada Ai es homeomorfo a Sn y Ai ∩Aj = x0 si i 6= j. Entonces, X es simplemente conexo.

Demostracion. Es analoga a la de la Proposicion 6.3.1 sustituyendo S1 por Sn y aplicando el Corolario6.3.1.

El calculo del grupo fundamental de las esferas, junto con algun resultado obtenido para espaciosrecubridores, nos permitira conocer el grupo fundamental de los espacios proyectivos reales.

ESPACIOS PROYECTIVOS REALES :

Recordemos que para todo n ≥ 0, el espacio proyectivo real n-dimensional RPn es el espacio cocienteRPn = Sn

∼ obtenido de la n-esfera Sn , donde ∼ es la relacion que identifica cada par de puntos an-tipodales, esto es x ∼ −x, ∀x ∈ Sn. Puesto que todos los espacios proyectivos reales son arcoconexos,omitiremos el punto base.

6.3 Aplicaciones del Teorema de Seifert-Van Kampen: Esferas y espacios proyectivosreales. 43

Notemos que RP 0 = ∗ y RP 1 ∼= S1, y por tanto, ya conocemos sus grupos fundamentales:Π1(RP 0) = 1 y Π1(RP 1) ∼= Z

Para conocer como son los grupos fundamentales del resto de espacios proyectivos reales, nos apoya-remos en que la aplicacion cociente p : Sn → RPn es una aplicacion recubridora.

Corolario 6.3.4. Para todo n ≥ 2, se tiene que Π1(RPn) ∼= Z2, esto es, el grupo cıclico de orden dos< a; a2 = 1 >.

Demostracion. Sabemos que la aplicacion cociente p : Sn → RPn, dada por p(x) = [x], es una aplicacionrecubridora y por la Proposicion 6.3.1 conocemos que Sn es simplemente conexo si n ≥ 2. Entonces, porel Corolario 4.1.3 ,∀x ∈ RPn existe una biyeccion de Π1(RPn, p(x)) con la fibra p−1(p(x)) = x,−x.

Por tanto, el orden de Π1(RPn, p(x)) es 2. Ası que Π1(RPn, p(x)) ∼= Z2.

Capıtulo 7

Clasificacion topologica desuperficies compactas utilizando elgrupo fundamental

En cuanto a la clasificacion de superficies compactas, hemos obtenido, a partir los resultados cono-cidos hasta el momento, los grupos fundamentales de la esfera, el toro y el plano proyectivo real, queson Π1(S2) = 1, Π1(T ) ∼= Z × Z ∼=< a1, b1; a1b1a

−11 b−1

1 = 1 > y Π1(RP 2) ∼= Z2∼=< c; c2 = 1 >,

respectivamente.Como dichos grupos fundamentales no son isomorfos, se deduce de modo inmediato que estas super-

ficies son topologicamente diferentes.Ahora bien, hay muchas otras superficies compactas, como hemos senalado en el Capıtulo 2. De hecho,

sabemos que toda superficie compacta S es de la forma S = S2]mT]nRP 2 con m,n ≥ 0. En este capıtuloveremos que el grupo fundamental es capaz de clasificarlas todas.

Como toda superficie compacta es tambien arcoconexa, omitiremos en muchas ocasiones el punto baseen su grupo fundamental.

Teorema 7.0.1. El grupo fundamental de una superficie compacta S = S2]mT]nRP 2, m,n ≥ 0,

es el grupo con generadores:

A1, B1, A2, B2, . . . , Am, Bm, C1, . . . , Cny la relacion:

A1B1A−11 B−1

1 A2B2A−12 B−1

2 . . . AmBmA−1m B−1

m C21C

22 . . . C

2n = 1

Figura 7.1: Disco en el que se identifican sus arcos a pares

46 Clasificacion topologica de superficies compactas utilizando el grupo fundamental

Demostracion. Si m = n = 0, se tiene que S = S2 y ya hemos calculado que Π1(S2) = 1.En otro caso, sabemos que S es el cociente obtenido de un disco D2 cuyo borde esta dividido en

4m+ 2n arcos, identificando estos a pares segun el esquema a1b1a−11 b−1

1 . . . ambma−1m b−1

m c1c1 . . . cncn (verFigura 7.1).

Sea p : D2 → S la correspondiente aplicacion cociente. Consideramos las imagenes por p en S de lospuntos, caminos y arcos del disco senalados en la figura anterior. Ası, obtenemos los puntos x, x0, x1 ylos caminos c, d y a1, b1, . . . , am, bm, c1, . . . , cn en S.

Sean los subconjuntos U1 = S \ x, U2 = S \ (a1 ∪ b1 ∪ . . .∪am ∪ bm ∪ c1 ∪ . . .∪ cn). Se tiene entoncesque S = U1 ∪ U2 y U1, U2, U1 ∪ U2 son subconjuntos abiertos, arcoconexos y no vacıos de S.

Como U2 retracta por deformacion a x0, sabemos que Π1(U2, x0) = 1. Por otro lado, se tiene queU1 retracta por deformacion a la rosa de 2m+n petalos a1 ∪ b1 ∪ . . .∪ am ∪ bm ∪ c1 ∪ . . .∪ cn (ver Figura7.2).

Figura 7.2

Por tanto, Π1(U1, x1) es el grupo libre generado por [α1], [β1], . . . , [αm], [βm], [v1], . . . , [vn], donde, paracada i ∈ 1, . . . ,m, αi es el lazo en S correspondiente a ai y βi es el lazo en S correspondiente a bi, ypara cada j ∈ 1, . . . , n, vj es el lazo en S correspondiente a cj .

Si consideramos γ el camino en S correspondiente a d, se tiene que Π1(U1, x0) es el grupo libregenerado por A1, B1, . . . , Am, Bm, C1, . . . , Cn, donde Ai = [γ · αi · γ], Bi = [γ · βi · γ] y Cj = [γ · vj · γ],para cada i ∈ 1, . . . ,m, j ∈ 1, . . . , n.

Notemos que U1 ∩ U2 retracta por deformacion a c, por lo tanto Π1(U1 ∩ U2, x0) es el grupo libregenerado por ω, donde ω es el lazo en S correspondiente a c.

Aplicando ahora el Teorema de Seifert-Van Kampen, se tiene que Π1(S, x0) es isomorfo al grupogenerado por A1, B1, . . . , Am, Bm, C1, . . . , Cn y sujeto a la relacion “ϕ1∗[ω]” = “ϕ2∗[ω]”.

Como Π1(U2, x0) = 1, se tiene que “ϕ2[ω]” = 1. Ahora bien, en el subespacio U1 se verifica que[ϕ1 ω] = [γ ·α1 · β1 · α1 · β1 · . . . αm · βm · αm · βm · v1 · v1 · . . . vn · vn · γ] = [γ ·α1 · γ][γ · β1 · γ] . . . [γ · vn · γ].Por tanto, “ϕ1∗[ω]” = A1B1A

−11 B−1

1 A2B2 . . . AmBmA−1m B−1

m C21 · . . . · C2

n.Luego la relacion en el grupo fundamental de nuestra superficie compacta S es:

A1B1A−11 B−1

1 A2B2 . . . AmBmA−1m B−1

m C21 . . . C

2n = 1

y tendremos que π1(S, x0) =

< A1, B1, A2, B2, . . . , Am, Bm, C1, . . . , Cn;A1B1A−11 B−1

1 A2B2 . . . AmBmA−1m B−1

m C21 . . . C

2n = 1 >

Por tanto, como una demostracion alternativa para la clasificacion de superficies compactas a la quese realizo en el Grado, podemos utilizar el resultado anterior.

Teniendo en cuenta que T]RP 2 ∼= RP 2]RP 2]RP 2 = 3RP 2, recordemos que toda superficie compactaS es de la forma S = S2]pT (esfera o suma conexa de toros) con p ≥ 0 o qRP 2 (suma conexa de planosproyectivos reales) con q ≥ 1.

Corolario 7.0.5. (i) El grupo fundamental de una superficie compacta de la forma S = S2]pT , p ≥ 0,tiene como presentacion:

< A1, B1, A2, B2, . . . , Ap, Bp;A1B1A−11 B−1

1 A2B2 . . . ApBpA−1p B−1

p = 1 > .

47

(ii) El grupo fundamental de una superficie compacta de la forma S = qRP 2 , q ≥ 1, tiene comopresentacion:

< C1, . . . , Cq;C21 . . . C

2q = 1 > .

Ası, conocemos los grupos fundamentales de todas las superficies compactas a partir de sus presenta-ciones, pero hemos visto que un mismo grupo puede admitir presentaciones distintas. Para distinguirlosutilizamos la tecnica de la abelianizacion:

(i) Si G =< A1, B1, A2, B2, . . . , Ap, Bp;A1B1A−11 B−1

1 A2B2 . . . ApBpA−1p B−1

p = 1 >, entonces el abe-lianizado de G es:

Ab(G) =< A1, B1, A2, B2, . . . , Ap, Bp;A1B1A−11 B−1

1 A2B2 . . . ApBpA−1p B−1

p = 1,

AiAjA−1i A−1

j = 1, AiBjA−1i B−1

j = 1, BiBjB−1i B−1

j = 1, (i, j ∈ 1, . . . , p) > .

Notemos que, suprimiendo una relacion superflua, Ab(G) es igual al abelianizado de

< A1, B1, A2, B2, . . . , Ap, Bp; ∅ >, que es el grupo abeliano libre sobre los generadores

A1, B1, A2, B2, . . . , Ap, Bp.Por tanto,

Ab(G) ∼=(2p)

Z× . . .× Z ∼= Z2p.

(ii) Si G =< C1, . . . , Cq;C21 · . . . · C2

q = 1 >, entonces el abelianizado de G es:

Ab(G) =< C1, . . . , Cq;C21 · . . . · C2

q = 1, CiCjC−1i C−1

j = 1, (i, j ∈ 1, . . . , q) > .

Por tanto,

Ab(G) ∼= ((q−1)

Z× . . .× Z)× Z2∼= Zq−1 × Z2.

Notemos que los abelianizados salen distintos en todos los casos; por lo que se obtiene el siguienteresultado:

Corolario 7.0.6. (i) Para todo p ≥ 0 y q ≥ 1, Π1(S2]pT ) 6∼= Π1(qRP 2), y por tanto S2]pT 6∼= qRP 2.

(ii) Si p, p′ ≥ 0 y p 6= p′, Π1(S2]pT ) 6∼= Π1(S2]p′T ), y por tanto S2]pT 6∼= S2]p′T .

(iii) Si q, q′ ≥ 1 y q 6= q′, Π1(qRP 2) 6∼= Π1(q′RP 2), y por tanto qRP 2 6∼= q′RP 2.

Como consecuencia, se obtiene de forma inmediata el siguiente corolario, que afirma que en el caso desuperficies compactas, el grupo fundamental es capaz de clasificarlas topologicamente:

Corolario 7.0.7. Dos superficies compactas son homeomorfas si y solo si sus grupos fundamentales sonisomorfos.

Corolario 7.0.8. Toda superficie compacta simplemente conexa es homeomorfa a la esfera S2.

Puesto que si una superficie compacta S verifica que S ' S2, entonces S, es simplemente conexa,obtenemos de forma inmediata el siguiente resultado.

Corolario 7.0.9. Toda superficie compacta homotopicamente equivalente a la esfera S2 es homeomorfaa S2.

Henri Poincare conjeturo que el resultado descrito en el Corolario 7.0.10 para la esfera S2 en R3

tenıa un analogo para la esfera S3 en R4. Dicha conjetura, conocida como la Conjetura de Poincare, fueuna de las cuestiones abiertas mas importantes de la Topologıa, incluida entre los siete problemas delmilenio seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Se le suele denominar actualmenteTeorema de Poincare tras la demostracion realizada por el matematico ruso Grigori(Grisha) Perelman en2002. Dicha demostracion fue publicada en dos artıculos (el primero, creado en 2002, puede verse en [13],y el segundo, que es una mejora del primero y fue publicado en 2003 puede verse en [14]) en el repositoriode Internet arXiv y tiene el siguiente enunciado:

48 Clasificacion topologica de superficies compactas utilizando el grupo fundamental

Teorema 7.0.2. Toda 3-variedad compacta homotopicamente equivalente a la esfera S3 es homeomorfaa S3.

Tras la exposicion de los trabajos de Perelman, los expertos se mostraron esperanzados pero cautos,debido a la complejidad de los desarrollos que habıa presentado. Para conocer mas acerca de las personasque han contrastado la demostracion puede verse [11] y para conocer las ideas y tecnicas que en esta seemplean remitimos al lector a [2]. En el ano 2006 se le premio con la medalla Fields, la cual rechazo.

Para variedades de dimension n ≥ 5 el teorema analogo fue demostrado en diversas dimensionesdurante los anos 60.

En 1960 S. Smalle demuestra la conjetura en dimension igual o superior a cinco. En realidad, Smaleno demostro la conjetura para variedades topologicas sino para variedades diferenciables. Tan importantese considero su trabajo que recibio por el la medalla Fields.

En la misma decada, otros matematicos demostraron tambien la conjetura pero con detalles tecnicosligeramente diferentes, entre ellos destacan J. Stallings y E.C. Zeeman. El proceso concluyo en 1966 conM.H.A. Newman, quien completo su demostracion con toda generalidad.

En 1982, M. Friedmann demostro la conjetura de Poincare generalizada en dimension 4, inclusoclasifico todas las variedades cerradas de esta dimension con grupo fundamental trivial. Michael Freedmanrecibio tambien una medalla Fields en 1986.

Capıtulo 8

CW-complejos y su grupofundamental

Los CW-complejos o espacios de celdas fueron introducidos por J.H.C. Whitehead en [15]. Son espaciosque se contruyen partiendo de un espacio discreto al que se le van pegando sucesivamente celdas dedistintas dimensiones.

Las siglas CW corresponden a Closure finite (clausura finita) y Weak (debil) respectivamente y estanestrechamente ligadas con su definicion, pues la topologıa que tiene el espacio es la topologıa “debil”respecto a la familia de las clausuras de las celdas y dichas celdas verifican la propiedad de ClausuraFinita.

Adjuntarle una n-celda a un espacio es unirle una copia del disco Dn pegando el borde ∂Dn = Sn−1

a X mediante alguna aplicacion continua. Por ejemplo, si queremos adjuntar una n-celda a un punto x,debemos unirle el disco al punto pegando el borde a x y el resultado sera la esfera Sn.

Definiremos formalmente las ideas mas basicas sobre CW-complejos a continuacion. Recomendamosal lector [7] para obtener mas informacion sobre el tema.

8.1. Adjuncion de celdas a un espacio y grupo fundamental

Definicion 8.1.1. Sea X∗ un espacio T2 y sea X un subespacio de X∗ tal que X∗ \ X es una uniondisjunta de subconjuntos abiertos enλ, λ ∈ Λ, tales que cada enλ es homeomorfo a la bola n-dimensionalBn (a cada enλ se le llama n-celda o n-celda abierta).

Supongamos que cada n-celda enλ esta adjuntada o “pegada” a X mediante lo que denominaremos suaplicacion caracterıstica; es decir, que para cada λ ∈ Λ existe una aplicacion continua fλ : Dn → enλ demodo que fλ transforma homeomorfamente Bn en enλ y fλ(Sn−1) ⊂ X.(Ver Figura 8.1).

Supongamos ademas que X∗ tiene la topologıa “debil”; es decir, que un subconjunto A ⊂ X∗ escerrado (o abierto) en X∗ si y solo si A ∩X es cerrado (o abierto) en X y f−1

λ (A) es cerrado (o abierto)en Dn, ∀λ ∈ Λ.

Entonces se dice que el espacio X∗ ha sido obtenido de X adjuntandole o pegandole a este n-celdas.

Notemos que las aplicaciones caracterısticas fλ describen precisamente como cada n-celda enλ se pegaa X. Ademas, la ultima condicion exigida en la definicion puede omitirse en el caso en el que Λ es finito,ya que se obtiene como consecuencia de las demas.

Podemos observar facilmente como toda superficie compacta puede construirse adjuntando una 2-celdaa un espacio:

En el caso de la esfera S2, basta adjuntar una 2-celda a un punto ∗. Para la suma conexa de mtoros, mT , se adjunta una 2-celda a un ramillete de 2m circunferencias, pegando el borde del discosegun el esquema a1b1a

−11 b−1

1 . . . ambma−1m b−1

m . Y para la suma conexa de n planos proyectivos reales,nRP 2, se adjunta una 2-celda a un ramillete de n circunferencias pegando el borde del disco segun elesquema c1c1 . . . cncn. Ademas, si recordamos los resultados obtenidos en el Capıtuo 7, podemos observarla coherencia del proceso constructivo descrito con el desarrollo de calculo del grupo fundamental realizadopara dichas superficies compactas.

50 CW-complejos y su grupo fundamental

Figura 8.1: Adjuncion de una n-celda a X.

En general, veremos a continuacion que efecto produce la adjuncion de 2-celdas a un espacio en elgrupo fundamental.

Supongamos que X es un espacio arcoconexo y que X∗ se ha obtenido de X mediante la adjuncionde una 2-celda que denotamos por e2. Sea x0 ∈ X, y ∈ e2.

Consideramos U = X∗ \ y, V = e2. Notemos que X∗ = U ∪ V , y que U , V y U ∩ V = e2 \ yson subconjuntos de X∗ abiertos, arcoconexos y no vacıos. Por otra parte, se tiene que U retracta pordeformacion a X y por tanto Π1(U) = Π1(X). Como V es contractil, Π1(V ) = 1. Ademas, U∩V = e2\yretracta por deformacion a una circunferencia γ, luego Π1(U ∩ V ) =< [γ] >. Sea x′0 ∈ γ, entonces, enΠ1(U, x′0) se tiene que [γ] = αλ, donde αλ es el elemento de Π1(U, x′0) determinado por la aplicacioncaracterıstica fλ|S1 : S1 → U , y, en Π1(V, x′0), se tiene que [γ] = 1.

Por tanto, aplicando el Teorema de Seifert-Van Kampen, si r denota la relacion αλ = 1, obtenemosel siguiente resultado:

“ Si Π1(X,x0) =< S;R >, entonces Π1(X∗, x0) =< S;R ∪ r >, donde r es la nueva relacion quese ha obtenido al pegar la 2-celda y viene determinada por la aplicacion caracterıstica de la misma (rdescribe como se ha pegado a X el borde del disco correspondiente a dicha 2-celda).”

Procediendo inductivamente obtenemos el siguiente teorema que expresa el efecto que produce en elgrupo fundamental la adjuncion de un numero finito de 2-celdas a un espacio.

Teorema 8.1.1. Si X∗ se ha obtenido de un espacio arcoconexo X mediante la adjuncion de una coleccionfinita de 2-celdas e2

λ|λ ∈ Λ con aplicaciones caracterısticas fλ|λ ∈ Λ y Π1(X,x0) =< S;R >, entoncesse tiene que

Π1(X∗, X0) =< S;R ∪ rλ|λ ∈ Λ >donde cada nueva relacion rλ viene determinada por la aplicacion caracterıstica fλ.

Si queremos evaluar el efecto que produce en el grupo fundamental la adjuncion de n-celdas a unespacio, para n ≥ 3, podemos repetir un procedimiento analogo al que hemos realizado para n = 2.Ahora bien, en este caso se tiene que U ∩ V ∼= Bn \ ∗ tiene el mismo tipo de homotopıa que Sn−1 yΠ1(Sn−1) = 1 para n ≥ 3, por la Proposicion 6.3.1. Luego la adjuncion a un espacio X de n-celdas conn ≥ 3, no produce ningun efecto en el grupo fundamental.

Teorema 8.1.2. Si X∗ es un espacio obtenido de un espacio arcoconexo X mediante la adjuncion deuna coleccion finita de n-celdas con n ≥ 3, entonces

Π1(X∗, x0) = Π1(X,x0).

8.2. El grupo fundamental de un CW Complejo finito

Definicion 8.2.1. Una estructura de CW-complejo en un espacio X, de Hausdorff, consiste en unasucesion creciente de subespacios cerrados X0 ⊂ X1 ⊂ X2 ⊂ . . . de modo que se verifican las siguientescondiciones:

8.2 El grupo fundamental de un CW Complejo finito 51

(i) X0 tiene la topologıa discreta.

(ii) Para cada n > 0, Xn se obtiene de Xn−1 por adjuncion de una coleccion de n-celdas.

(iii) X =⋃n≥0X

n.

(iv) El espacio X y cada uno de los subespacios Xn tienen la topologıa “debil”; es decir, un subconjuntoA de X es cerrado si y solo si para toda q-celda eq, A ∩ eq es cerrado en eq.

Para cada n ≥ 0, el subconjunto Xn se llama el n- esqueleto de X. Los puntos de X0 se llamanvertices o 0-celdas de X.

Ademas, un CW-complejo X se dice finito o infinito segun que el numero de celdas sea finito o infinito.Si X = Xn para algun n, es decir, no tiene celdas de dimension mayor que n, se dice que X es de

dimension finita. El menor n para el que esto ocurre se llama dimension de X. En caso contrario se diceque X tiene dimension infinita.

Obviamente, si un CW-complejo X es finito, entonces X tiene dimension finita, pero si X tienedimension finita, X no tiene por que ser finito (por ejemplo, podemos dotar a R de una estructura deCW complejo de dimension 1, donde cada entero k ∈ Z es un vertice y cada intervalo (k, k + 1) una1-celda abierta). Ademas, para los CW-complejos finitos la ultima condicion de su definicion puede sereliminada pues se obtiene como consecuencia de las demas.

Notemos que un mismo espacio topologico puede admitir diferentes estructuras de CW-complejo,ası que cuando hablemos de un CW-complejo X se considera el espacio topologico X junto con unaestructura celular concreta fijada en el.

A continuacion, senalamos algunos ejemplos de CW-complejos.

(i) Podemos dotar a la n-esfera X = Sn (n ≥ 1) de la siguiente estructura de CW Complejo: una unica0-celda y una unica n-celda; es decir, Xk = ∗ para todo k con 0 ≤ k ≤ n y Xp = Sn para todop ≥ n.

(ii) Una superficie compacta triangulada es un CW-complejo finito de dimension 2: los vertices de latriangulacion son las 0-celdas, las aristas son las 1-celdas y los triangulos las 2-celdas.

(iii) Una superficie compacta, considerada como el espacio cociente obtenido de un disco cuyo bordeesta dividido en un numero par de arcos identificando estos a pares segun su representacion canonica,es un CW-complejo finito de dimension 2 con una unica 0-celda (salvo en el caso de la esfera dondehay dos 0-celdas), tantas 1-celdas como pares de arcos se identifican y una unica 2-celda.

Un caso particular de CW-complejos son los grafos, que son aquellos CW-complejos cuya dimensiones 1. Por tanto, las unicas celdas a considerar en un grafo son las 0-celdas (se denominan vertices) y las1-celdas (llamadas aristas).

Analizamos a continuacion como es el grupo fundamental de un grafo conexo finito:Sea X un grafo finito y conexo. Para cada arista e del grafo X elegimos una orientacion. Ası, si e\e

son dos puntos, tendremos fijado cual de ellos es el vertice inicial y cual el final, si e\e es un unico punto,se dice que ese punto es el vertice final e inicial.

Un camino de aristas en el grafo es una sucesion finita de aristas orientadas (e1, e2, . . . , en) tal queel vertice final de ei−1 coincida con el inicial de ei. Diremos que el camino de aristas es reducido si noaparece el caso en el que ei−1 y ei sean la misma arista con orientaciones opuestas, y se dice que escerrado si el vertice inicial de e1 coincide con el vertice final de en.

Un arbol es un grafo conexo que no contine caminos reducidos cerrados, por este motivo todo arboles contractil pues retracta por deformacion a cualquiera de sus puntos.

Dado el grafo X, todo arbol contenido en X esta contenido en un arbol maximal. Ademas, como Xes un grafo conexo, entonces un arbol es maximal si contiene a todos los vertices del grafo X,y se tieneque dados dos vertices cualesquiera, en el arbol maximal existe un unico camino de aristas reducido quelos une.

52 CW-complejos y su grupo fundamental

En orden a calcular el grupo fundamental procedemos como sigue:Consideramos el grafo finito y conexo X con sus aristas orientadas, y elegimos un vertice v0 de X y

un arbol maximal T en X.Sea eλ|λ ∈ ΛT el conjunto de aristas de X tal que no estan contenidas en T y sean aλ y bλ los

vertices inicial y final de eλ.A cada arista eλ con λ ∈ ΛT le asociamos un elemento αλ ∈ Π1(X, v0) del siguiente modo:Como existe un unico camino de aristas reducido Aλ en T de v0 a aλ y un unico camino de aristas

reducio Bλ en T de bλ a v0, entonces αλ sera la clase asociada al camino de aristas cerrado (Aλ, eλ, Bλ).Si aλ = v0 omitimos Aλ y si bλ = v0 omitimos Bλ. Ası, obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 8.2.1. Sea X un grafo finito y conexo. Entonces, el grupo fundamental Π1(X) es el grupolibre sobre el conjunto de generadores αλ|λ ∈ ΛT correspondientes a las aristas de X no contenidas enun arbol maximal T de X.

En el caso general, si tenemos un CW-complejo finito y conexo X de dimension n ≥ 1 y deseamoscalcular su grupo fundamental, obtenemos, como consecuencia del Teorema 8.1.2, el siguiente resultado,que nos dice que el grupo fundamental del CW-complejo X solo depende del 2-esqueleto.

Teorema 8.2.2. Si X es un CW-complejo conexo y finito, entonces Π1(X) ∼= Π1(X2).

Aplicando ahora el Teorema 8.1.1 y el Teorema 8.2.1 obtenemos el siguiente algoritmo para calcularel grupo fundamental de cualquier CW-complejo conexo y finito:

1. Consideramos el 1-esqueleto X1 de X y calculamos su grupo fundamental con la tecnica aplicadapara los grafos (Teorema 8.2.1). Ası tendremos que

Π(X1) ∼=< αλ|λ ∈ ΛT ; ∅ >

donde αλ son los generadores correspondientes a las 1-celdas de X1 no contenidas en un arbolmaximal T de X1.

2. Aplicando el Teorema 8.1.2, obtendremos el grupo fundamental del 2-esqueleto X2 de X, que sera dela forma

Π(X2) ∼=< αλ|λ ∈ ΛT ; rβ |β ∈ Λ2 >

donde hay tantas relaciones rβ como 2-celdas tiene X2 y cada relacion rβ viene determinada porla aplicacion caracterıstica de la 2-celda e2

β que describe como se pega el borde del disco D2 al

1-esqueleto X1.

3. Finalmente, aplicando el Teorema 8.2.2, tendremos que Π1(X) ∼= Π1(X2).

Conclusiones

Tras la aceptacion por parte de mis tutores de la peticion que les hice de realizar un Trabajo Fin deGrado relacionado con la Topologıa, asignatura que me parecio interesante desde el primer momento enel que tuve contacto con ella durante el Grado en Matematicas, el tema propuesto por ellos fue Teorıa deHomotopıa y Variedades, un campo muy amplio en el que decidimos restringirnos al grupo fundamentaly sus aplicaciones.

Al ir tomando contacto con la materia, me di cuenta de que una de las aplicaciones era la clasificaciontopologica de las superficies compactas; dicha clasificacion habıa sido obtenida durante el Grado haciendouso de la caracterıstica de Euler y de la orientabilidad.

Tras conocer ambas vıas, he podido reflexionar y darme cuenta de la herramienta tan util que es elgrupo fundamental, ya que sin ella era necesario utilizar las nociones de orientabilidad y caracterısticade Euler, temas ambos en los que las ideas intuitivas son sencillas pero resulta muy costoso tratarlos conrigor.

A continuacion realizare una breve lista con las conclusiones que, bajo mi punto de vista, merecen serdestacadas:

Aunque la herramienta del grupo fundamental no es trivial (se necesita conocer los fundamentosbasicos de la teorıa de homotopıa y ademas, para su calculo en la mayorıa de ocasiones, las presenta-ciones de grupos por generadores y relaciones), ayuda a abordar temas que por otras vıas serıan mascomplicados. Por ejemplo, permite conocer que el plano R2 y el espacio R3 no son homeomorfos,aunque al analizar las propiedades topologicas mas habituales se obtiene que ambos espacios tienenel mismo comportamiento respecto a compacidad, conexion, axiomas de numerabilidad, axiomas deseparacion, etc.

Gracias al desarrollo de esta teorıa he conocido un ejemplo de funtor: el grupo fundamental. Dichasconstrucciones tienen relevancia en todos los campos, ya que permiten trasladar un problema situadoen determinadas areas matematicas a otras donde puede resultar mas sencilla su resolucion. Ennuestro caso, hemos asociado a los espacios topologicos basados sus grupos fundamentales, y a lasaplicaciones continuas entre espacios topologicos basados, los correspondientes homomorfismos degrupos.

Ha sido muy satisfactorio poder incluir en este trabajo todos los resultados necesarios que nospermiten clasificar con el grupo fundamental las superficies compactas. Ademas, se ha podido darun algoritmo para obtener una presentacion del grupo fundamental de cualquier CW-complejofinito.

He podido aproximarme a la Topologıa Algebraica y hacerme una idea de la complejidad que suponeel calculo de algunos invariantes algebraicos.

Destacar la diferencia que he encontrado entre comprender conceptos impartidos en una asignaturapor un profesor y tomar el primer contacto con definiciones y resultados nuevos de forma algo masautonoma.

Ademas, he comprendido la dificultad de sintetizar los conocimientos de un tema tan amplio, y avalorar los conocimientos adquiridos durante el Grado, ya que estos, sobre todo los topologicos, hansido la base para poder comprender la teorıa que se ha desarrollado.

Por ultimo, ha sido muy motivador ver como era capaz de encontrar una demostracion de la conje-tura de Poincare en dimension 2 y poder entender la formulacion de dicha conjetura en dimension3, uno de los siete problemas del milenio seleccionados por el Instituto Matematico Clay para elsiglo XXI, recientemente resuelto.

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