el fin de las insertidumbres

EL FIN DE LAS CERTIDUMBRES ILYA PRIGOGINE

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PRLOGO UNA NUEVA RACIONALIDAD?

Segn Karl Popper el sentido comn tiende a afirmar que todo acontecimiento es causado por un acontecimiento, de suerte que todo acontecimiento podra ser predicho o explicado... Por otra parte, el sentido comn atribuye a las personas sanas y adultas la capacidad de elegir libremente entre varios caminos distintos de accin...1. En el pensamiento occidental esa tensin al interior del sentido comn se traduce en un problema mayor, que William James2 denomin Dilema del determinismo. Dilema en que se juega nuestra relacin con el mundo, y par-ticularmente con el tiempo. El futuro est dado o en perpetua construccin? Acaso la creencia en nuestra libertad es una ilusin? Es una verdad que nos se-para del mundo? Es nuestra manera de participar en la verdad del mundo? La cuestin del tiempo se sita en la encrucijada del problema de la existencia y el conocimiento. El tiempo es la dimensin fundamental de nuestra existencia, pero tambin se inserta en el centro de la fsica, ya que la incorporacin del tiempo en el esquema conceptual de la fsica galileana fue el punto de partida de la ciencia occidental. Desde luego ese punto de partida es un triunfo del pensamiento humano, pero adems se sita en el origen del problema que trata este libro. Es sabido que Ein-stein asever a menudo que el tiempo es una ilusin. Y en efecto, el tiempo tal como fuera incorporado en las leyes fundamentales de la fsica desde la dinmica newtoniana clsica hasta la relatividad y la fsica cuntica no autoriza ninguna distincin entre pasado y futuro. Todava hoy y para numerosos fsicos la siguiente es una verdadera profesin de fe: en el nivel de la descripcin fundamental de la Naturaleza no hay flecha del tiempo. Sin embargo en todas partes en qumica, geologa, cosmologa, biologa o cien-cias humanas pasado y futuro desempean papeles diferentes. Cmo podra la flecha del tiempo surgir de un mundo al que la fsica atribuye una simetra tem-poral? Tal es la paradoja del tiempo, que traslada a la fsica el Dilema del de-terminismo. La paradoja del tiempo est en el centro de este libro. La paradoja del tiempo slo fue identificada tardamente, en la segunda mitad del siglo XIX, gracias a los trabajos del fsico viens Ludwig Boltzmann. Este crey posible seguir el ejemplo de Charles Darwin en biologa y dar una descripcin evolucionista de los fenmenos fsicos. Su intento tuvo por efecto el poner en evi-dencia la contradiccin entre las leyes de la fsica newtoniana basadas en la equivalencia entre pasado y futuro y toda tentativa de formulacin evolucionista que afirmara una distincin esencial entre futuro y pasado. En esa poca las leyes de la fsica newtoniana eran aceptadas como la expresin de un conocimiento


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ideal, objetivo y completo. Puesto que dichas leyes afirmaban la equivalencia en-tre pasado y futuro, cualquier tentativa de atribuir una significacin fundamental a la flecha del tiempo pareca una amenaza a ese ideal. La situacin no ha cam-biado hoy. Numerosos fsicos consideran la mecnica cuntica (en el mbito de la microfsica) como la formulacin definitiva de la fsica, tal como en la poca de Boltzmann los fsicos consideraban definitivas las leyes de la fsica newtoniana. Perdura por lo tanto la interrogante: cmo incorporar la flecha del tiempo sin destruir esas grandiosas construcciones del intelecto humano? As entonces, desde la poca de Boltzmann la flecha del tiempo ha sido relegada al dominio de la fenomenologa. Nosotros, observadores humanos limitados, se-ramos responsables de la diferencia entre pasado y futuro. Esta tesis, que reduce la flecha del tiempo al carcter aproximativo de nuestra descripcin de la Natura-leza, es an sustentada en la mayora de los libros recientes. Otros autores re-nuncian a pedir a la ciencia la clave del misterio insoluble que constituira el sur-gimiento de la flecha del tiempo. Pero desde Boltzmann la situacin ha cambiado profundamente. El desarrollo espectacular de la fsica de no-equilibrio y de la di-nmica de los sistemas dinmicos inestables, asociados a la idea de caos, nos obliga a revisar la nocin de tiempo tal como se formula desde Galileo. En efecto, en el curso de los ltimos decenios naci una nueva ciencia: la fsica de los procesos de no equilibrio. Esta ciencia condujo a conceptos nuevos como la auto-organizacin y las estructuras disipativas, hoy ampliamente utilizados en mbitos que van de la cosmologa a la ecologa y las ciencias sociales, pasando por la qumica y la biologa. La fsica de no-equilibrio estudia los procesos disipa-tivos caracterizados por un tiempo unidireccional y, al hacerlo, otorga una nueva significacin a la irreversibilidad. Antes, la flecha del tiempo se asociaba a proce-sos muy simples, como la difusin, el frotamiento, la viscosidad. Se poda concluir que esos procesos eran inteligibles con la sola ayuda de las leyes de la dinmica. No sucede lo mismo hoy. La irreversibilidad ya no slo aparece en fenmenos tan simples. Est en la base de una multitud de fenmenos nuevos, como la forma-cin de torbellinos, las oscilaciones qumicas o la radiacin laser. Estos fenmenos ilustran el papel constructivo fundamental de la flecha del tiempo. La irrever-sibilidad ya no se puede identificar con una simple apariencia que desaparecera si accediramos a un conocimiento perfecto. Es condicin esencial de comporta-mientos coherentes en el seno de poblaciones de miles y miles de millones de molculas. Conforme a una frmula que me gusta repetir, la materia es ciega al equilibrio all donde no se manifiesta la flecha del tiempo, pero cuando sta se manifiesta lejos del equilibrio, La materia comienza a ver! Sin la coherencia de los procesos irreversibles de no-equilibrio sera inconcebible la aparicin de la vi-da en la Tierra. La tesis segn la cual la flecha del tiempo slo sera fenomenol-


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gica se vuelve absurda. Nosotros no engendramos la flecha del tiempo. Por el contrario, somos sus vstagos. El segundo desarrollo relativo a la revisin del concepto de tiempo en fsica fue el de los sistemas dinmicos inestables. La ciencia clsica privilegiaba el orden y la estabilidad, mientras que en todos los niveles de observacin reconocemos hoy el papel primordial de las fluctuaciones y la inestabilidad. Junto a estas nociones aparecen tambin las opciones mltiples y los horizontes de previsibilidad limita-da. Nociones como el caos se han popularizado e invaden todos los mbitos de la ciencia, de la cosmologa a la economa. Pero, como mostraremos en este libro, los sistemas dinmicos inestables conducen igualmente a una ampliacin de la dinmica clsica y de la fsica cuntica, y a partir de all a una formulacin nueva de las leyes fundamentales de la fsica. Esta formulacin rompe la simetra entre pasado y futuro que afirma la fsica tradicional, mecnica cuntica y relatividad inclusive. La fsica tradicional vinculaba conocimiento completo y certidumbre, que en ciertas condiciones iniciales apropiadas garantizaban la previsibilidad del futuro y la posibilidad de retrodecir el pasado. Apenas se incorpora la inestabili-dad, la significacin de las leyes de la Naturaleza cobra un nuevo sentido. En ade-lante expresan posibilidades. La ambicin de este libro es presentar esta transformacin de las leyes de la fsi-ca y, por ende, de toda nuestra descripcin de la Naturaleza. Otras cuestiones se vinculan directamente al problema del tiempo. Una de ellas es el extrao papel que la fsica cuntica otorga al observador. La paradoja del tiempo hace que nosotros seamos responsables de la rotura de simetra temporal observada en la Naturaleza. Es ms, el observador sera responsable de un as-pecto fundamental de la teora cuntica, denominado reduccin de la funcin de onda. Veremos que ese papel atribuido al observador otorg a la mecnica cun-tica su aspecto aparentemente subjetivista y suscit interminables controversias. En la interpretacin habitual, la medicin que en la teora cuntica impone una referencia al observador corresponde a una rotura de simetra temporal. En cambio, la introduccin de la inestabilidad en la teora cuntica conduce a una ro-tura de la simetra del tiempo. A partir de all el observador cuntico pierde su estatus singular! La solucin de la paradoja del tiempo aporta igualmente una so-lucin a la paradoja cuntica y lleva a una formulacin realista de la teora. Aclaremos que ello no nos hace retornar a la ortodoxia clsica y determinista. Por el contrario, nos conduce a afirmar an ms el carcter estadstico de la mecnica cuntica. Como ya hemos destacado, tanto en dinmica clsica como en fsica cuntica las leyes fundamentales ahora expresan posibilidades, no certidumbres. No slo po-seemos leyes sino acontecimientos que no son deducibles de las leyes pero ac-tualizan sus posibilidades. En esa perspectiva, estamos obligados a plantear el


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problema de la significacin del acontecimiento primordial que la fsica bautiz Big Bang. Qu significa el Big Bang? Nos libera de las races del tiempo? El tiempo debut con el Big Bang? O el tiempo preexista a nuestro Universo? Llegamos as a la frontera de nuestros conocimientos en un mbito donde razo-namiento fsico y especulacin se delimitan con dificultad. Por cierto es prematuro hablar de demostracin o de prueba, pero es interesante analizar las posibilidades conceptuales. Como veremos, podemos concebir hoy el Big Bang como un acon-tecimiento asociado con una inestabilidad, lo que implica que es el punto de par-tida de nuestro Universo, mas no del tiempo. Si bien nuestro Universo tiene una edad, el medio cuya inestabilidad produjo ese Universo no la tendra. En esta concepcin, el tiempo no tiene principio, y probablemente no tiene fin... Es satisfactorio que incluso en sus fronteras la fsica pueda afirmar el carcter primordial de la flecha del tiempo. Pero lo esencial de nuestra tarea sigue siendo la formulacin de las leyes de la Naturaleza en el mbito en que se sita princi-palmente nuestro dilogo experimental, el mbito de las energas dbiles (basses), de la fsica macroscpica, de la qumica y la biologa. Tambin all se anudan los lazos que unen la existencia humana con la Naturaleza. La cuestin del tiempo y el determinismo no se limita a las ciencias: est en el centro del pensamiento occidental desde el origen de lo que denominamos racio-nalidad y que situamos en la poca presocrtica. Cmo concebir la creatividad humana o cmo pensar la tica en un mundo determinista? La interrogante tra-duce una tensin profunda en el seno de nuestra tradicin, la que a la vez pre-tende promover un saber objetivo y afirmar el ideal humanista de responsabilidad y libertad. Democracia y ciencia moderna son ambas herederas de la misma his-toria, pero esa historia llevara a una contradiccin si las ciencias hicieran triunfar una concepcin determinista de la Naturaleza cuando la democracia encarna el ideal de sociedad libre. Considerarnos extraos a la Naturaleza involucra un dua-lismo ajeno a la aventura de las ciencias y a la pasin de inteligibilidad propia del mundo occidental. Segn Richard Tarnas, esa pasin es reencontrar la unidad con las races del propio ser3. Hoy creemos estar en un punto crucial de esa aventura, en el punto de partida de una nueva racionalidad que ya no identifica ciencia y certidumbre, probabilidad e ignorancia. En este fin de siglo se plantea frecuentemente la cuestin del porvenir de la cien-cia. Para algunos, como Stephen Hawking en su Breve histoire du temps (Breve historia del tiempo)4 estaramos cerca del fin, del momento en que podramos descifrar el pensamiento de Dios. Por el contrario, creo que la aventura recin empieza. Asistimos al surgimiento de una ciencia que ya no se limita a situacio-nes simplificadas, idealizadas, mas nos instala frente a la complejidad del mundo real, una ciencia que permite que la creatividad humana se vivencie como la ex-


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presin singular de un rasgo fundamental comn en todos los niveles de la Natu-raleza. He intentado presentar esta transformacin conceptual (que implica la apertura de un nuevo captulo en la historia fecunda de las relaciones entre fsica y mate-mticas) de una manera legible y accesible para cualquier lector interesado en la evolucin de nuestras ideas sobre la Naturaleza. Con todo, era inevitable que al-gunos captulos, en especial el captulo V y el VI, recurrieran a desarrollos algo tcnicos. Pero los resultados son recuperados de manera ms general en los captulos ulteriores. Toda innovacin conceptual exige una justificacin precisa y debe delimitar las situaciones donde permite nuevas predicciones. Observemos que dichas predicciones ya fueron verificadas mediante simulaciones en el com-putador. Aunque este libro sea fruto de decenios de trabajo, slo estamos en el umbral de este nuevo captulo de la historia de nuestro dilogo con la Naturaleza. Pero eltiempo de vida de cada uno de nosotros es limitado y he querido presentar los resultados tal como existen hoy. No invito al lector a visitar un museo arqueolgico, sino a excursionar en una ciencia en devenir.


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CAPTULO 1 EL DILEMA DE EPICURO

I Las cuestiones estudiadas en este libro el Universo se rige por leyes determi-nistas? Cul es el papel del tiempo? fueron formuladas por los presocrticos en los albores del pensamiento occidental. Nos han acompaado durante ms de dos mil quinientos aos. Hoy, los desarrollos de la fsica y las matemticas del caos y la inestabilidad abren un nuevo captulo en esa larga historia. Percibimos esos problemas desde un ngulo renovado. En adelante, podremos evitar las contra-dicciones del pasado. Epicuro fue el primero que plante los trminos del dilema al que la fsica moder-na otorg el peso de su autoridad. Sucesor de Demcrito, imaginaba el mundo constituido por tomos movindose en el vaco. Pensaba que caan todos con igual velocidad, siguiendo trayectorias paralelas. Cmo podan entonces entrar en colisin? Cmo la novedad nueva combinacin de tomos poda aparecer? Para Epicuro, el problema de la ciencia, de la inteligibilidad de la Naturaleza, era inseparable del destino de los hombres. Qu poda significar la libertad humana en el mundo determinista de los tomos? Escriba a Meneceo: En cuanto al des-tino, que algunos ven como el amo de todo, el sabio se mofa. En efecto, ms vale aceptar el mito de los dioses que someterse al destino de los fsicos. Porque el mito nos deja la esperanza de reconciliarnos con los dioses mediante los honores que les tributamos, en tanto que el destino posee un carcter de necesidad inexo-rable.1 A pesar de que los fsicos de que habla Epicuro sean los filsofos estoi-cos, la cita posee una resonancia asombrosamente moderna... Una y otra vez los pensadores de la tradicin occidental, como Kant, Whitehead o Heidegger, defen-dieron la existencia humana contra una representacin objetiva del mundo, que amenazaba su sentido. Pero ninguno logr proponer una concepcin que satisfi-ciera las pasiones contrarias, que reconciliara nuestros ideales de inteligibilidad y libertad. As, la solucin propuesta por el propio Epicuro, el clinamen que en mo-mentos imprevisibles trastorna imperceptiblemente la cada paralela de los to-mos, permaneci en la historia del pensamiento como el paradigma mismo de la hiptesis arbitraria, que salva un sistema mediante la introduccin de un ad hoc.2 Necesitamos acaso un pensamiento de la novedad? No es toda novedad una ilusin? Tambin aqu la cuestin se remonta a los orgenes. Para Herclito, tal como lo entendi Popper, la verdad es haber captado lo esencial de la Naturale-za, haberla concebido como implcitamente infinita, como el proceso mismo.3 Por contraste, el clebre Poema de Parmnides afirma la realidad nica del ser que no muere, nace, ni deviene. Y, como se sabe por el Sofista, Platn postula la


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imprescindibilidad del ser y el devenir, ya que si la verdad est vinculada al ser, a una realidad estable, no podemos concebir la vida o el pensamiento apartando el devenir. Desde sus orgenes la dualidad del ser y el devenir ha obsesionado el pensamien-to occidental, a tal extremo que Jean Whal pudo caracterizar la historia de la filo-sofa como una historia desdichada que oscila continuamente entre un mundo au-tmata y un Universo gobernado por la voluntad divina.4

La formulacin de las Leyes de la Naturaleza aport un elemento fundamental a este antiguo debate. En efecto, las leyes enunciadas por la fsica no tienen por objeto negar el devenir en nombre de la verdad del ser. Por el contrario: preten-den describir el cambio, los movimientos caracterizados por una velocidad que vara con el curso del tiempo. Y, sin embargo, su enunciado constituye un triunfo del ser sobre el devenir. El ejemplo por excelencia de ello es la ley de Newton, que vincula fuerza y aceleracin: es determinista y a la vez reversible en el tiem-po. Si conocemos las condiciones iniciales de un sistema sometido a esta ley, es decir su estado en un instante cualquiera, podemos calcular todos los estados si-guientes as como todos los estados anteriores. Es ms, pasado y futuro desem-pean el mismo papel, puesto que la ley es invariante con respecto a la inversin de los tiempos t- -t. La ley de Newton justifica perfectamente al clebre demonio de Laplace, capaz de observar el estado presente del Universo y deducir toda evolucin futura. Es sabido que la fsica newtoniana fue destronada en el siglo XX por la mecnica cuntica y la relatividad. Pero los rasgos fundamentales de la ley de Newton su determinismo y simetra temporal sobrevivieron. Por supuesto que la mecnica cuntica ya no describe trayectorias sino funciones de onda (ver seccin IV de este captulo y el captulo VI), pero su ecuacin de ba-se, la ecuacin de Schrdinger, tambin es determinista y de tiempo reversible. Las leyes de la Naturaleza enunciadas por la fsica representan por lo tanto un conocimiento ideal que alcanza la certidumbre. Una vez establecidas las condicio-nes iniciales, todo est terminado. La Naturaleza es un autmata que podemos controlar, por lo menos en principio. La novedad, la eleccin, la actividad espon-tnea son slo apariencias relativas al punto de vista humano. En esa formulacin de las leyes de la Naturaleza, numerosos historiadores subra-yan el papel esencial desempeado por la figura del Dios cristiano, concebido en el siglo XVII como un legislador todopoderoso. En esa poca teologa y ciencia convergan, y Leibniz escribi: ... en la ms mnima sustancia, ojos tan pene-trantes como los de Dios podran leer la serie completa de cosas del Universo. Quae sint, quae fuerint, quae mox futura trahantur (que son, que fueron, que se producirn en el porvenir).5


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La sumisin de la Naturaleza a leyes deterministas acercaba as el conocimiento humano al punto de vista divino atemporal. La concepcin de una Naturaleza pasiva sometida a leyes deterministas es una especificidad de Occidente. En China, o en Japn, "Naturaleza" significa lo que existe por s mismo. Joseph Needham nos record la irona con que los letrados chinos recibieron la exposicin de los triunfos de la ciencia moderna.6 Quiz el gran poeta hind Tagore tambin sonri al enterarse del mensaje de Ein-stein: Si la Luna, mientras cumple su carrera eterna alrededor de la Tierra, es-tuviera dotada de conciencia de s misma, estara profundamente convencida de que se mueve motu proprio en funcin de una decisin tomada de una vez por todas. Tambin sonreira un ser dotado de una percepcin superior y de una inte-ligencia ms perfecta al mirar al hombre, sus obras y su ilusin de actuar por li-bre voluntad. Esa es mi conviccin, aunque s que no es plenamente demostra-ble. Pocos seres humanos si pensaran hasta sus ltimas consecuencias lo que saben y lo que entienden seran insensibles a esta idea, mientras el amor pro-pio no los irguiera contra ella. El hombre se defiende de la nocin de ser un obje-to impotente en el curso del Universo. Acaso el carcter legal de los aconteci-mientos (que se manifiesta de manera ms o menos clara en la Naturaleza inor-gnica) debera cesar de verificarse ante las actividades de nuestro cerebro?.7 Einstein consideraba que esta posicin era la nica compatible con las enseanzas de la ciencia. Pero dicha concepcin nos resulta tan difcil de aceptar como lo era para Epicuro. Y tanto ms cuanto que desde el siglo XX el pensamiento filosfico se ha interrogado ms y ms sobre la dimensin temporal de nuestra existencia, como testimonian Hegel, Husserl, William James, Bergson, Whitehead o Heideg-ger. Si para los fsicos que seguan a Einstein el problema del tiempo estaba re-suelto, para los filsofos segua siendo la interrogante por excelencia, en la que se jugaba el significado de la existencia humana. En uno de sus ltimos libros, Lunivers irrsolu (El Universo indeciso), Karl Popper escribe: Considero que el determinismo laplaciano confirmado como parece estarlo por el determinismo de las teoras fsicas y su xito brillante es el obst-culo ms slido y ms serio en el camino de una explicacin y una apologa de la libertad, creatividad y responsabilidad humanas.8

Sin embargo, para Popper el determinismo no slo pone en cuestin la libertad humana. Torna imposible el encuentro de la realidad, vocacin misma de nuestro conocimiento. Popper escribe ms adelante que la realidad del tiempo y del cam-bio han sido siempre para l el fundamento esencial del realismo.9 En Le possible et le rel, Henri Bergson pregunta: Para qu sirve el tiempo?... El tiempo es lo que impide que todo sea dado de una vez. Aplaza, o, ms bien, es aplazamiento. Por lo tanto debe ser elaboracin. No ser entonces el vehculo de


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creacin y eleccin? Acaso la existencia del tiempo no probara que hay indeter-minacin en las cosas?.10 Para Bergson, igual que para Popper, realismo e indeterminismo son solidarios. Pero esa conviccin tropieza con el triunfo de la fsica moderna, al punto que el ms fructuoso y riguroso de los dilogos que hayamos emprendido con la Natura-leza desemboca en la afirmacin del determinismo. La oposicin entre el tiempo irreversible y determinista de la fsica y el tiempo de los filsofos termin en conflictos abiertos. Hoy, la tentacin es ms bien hacia un repliegue y se traduce en un escepticismo general acerca de la significacin de nuestros conocimientos. As, la filosofa posmoderna predica la "Deconstruccin". Rorty, por ejemplo, pide transformar en temas de conversacin civilizada los pro-blemas que han dividido nuestra tradicin. Por supuesto, segn l, las controver-sias cientficas, demasiado tcnicas, no tienen cabida en esa conversacin.11 Pero el conflicto no slo opone a las ciencias y la filosofa. Opone la fsica al resto de nuestro saber. En octubre de 1994, la revista Scientific American dedic un nmero especial a La vida en el Universo. En todos los niveles, en cosmologa, geologa, biologa o en la sociedad, se afirma cada vez ms el carcter evolutivo de la realidad. En consecuencia, debera esperarse que se planteara la pregunta sobre cmo entender ese carcter evolutivo en el marco de las leyes de la fsica. Un solo artculo (escrito por el clebre fsico Steven Weinberg) discute ese aspec-to, sin embargo. Weinberg escribe: Sea cual sea nuestro deseo de poseer una visin unificada de la Naturaleza, no cesamos de tropezar con la dualidad del pa-pel de la vida inteligente en el Universo... Por una parte est la ecuacin de Schrdinger que describe de manera perfectamente determinista cmo evolucio-na en el tiempo la funcin de onda de cualquier sistema. Y, en forma indepen-diente, hay un conjunto de principios que nos dice cmo utilizar la funcin de on-da para calcular las probabilidades de los distintos resultados posibles, producidos por nuestras mediciones.12 Nuestras mediciones? Acaso ello sugiere que somos nosotros, con nuestras mediciones, los responsables de lo que escapa al determinismo universal? Esta-ramos por lo tanto en el origen de la evolucin csmica? Tambin Stephen Hawk-ing defiende este punto de vista en su Breve historia del tiempo. All expone una interpretacin puramente geomtrica de la cosmologa: de alguna manera, el tiempo slo sera un accidente del espacio. Pero Hawking entiende que no es suficiente: necesitamos una flecha del tiempo para dar cuenta de la vida inteligente. As, tal como muchos otros cosmlogos, Hawking se vuelve hacia el principio "Antrpico", principio por lo menos tan arbi-trario como el clinamen de Epicuro. Cmo entender que tal principio pueda sur-gir de un Universo geomtrico esttico? Nos retrotrae directamente al dualismo cartesiano. Mientras Einstein aceptando reducir al hombre a un autmata en


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nombre de la unidad de la Naturaleza se refera a Spinoza, los fsicos contem-porneos (que quieren conservar a un hombre capaz de ser el observador que requiere la mecnica cuntica) insertan un principio tan ajeno a su propia con-cepcin del Universo como la res cogitans de Descartes lo era a la res extensa. En The Emperor's new mind (La nueva mente del Emperador), Roger Penrose es-cribe que nuestra comprensin actualmente insuficiente de las leyes fundamen-tales de la fsica nos impide expresar la nocin de mente (mind) en trminos fsi-cos o lgicos.13 Estoy de acuerdo con Penrose: necesitamos una nueva formulacin de las leyes fundamentales de la fsica, pero sta no debe necesariamente describir la nocin de mente; primero debe incorporar en nuestras leyes fsicas la dimensin evoluti-va, sin la cual estamos condenados a una concepcin contradictoria de la reali-dad. La respuesta que podemos dar hoy al dilema de Epicuro es enraizar el inde-terminismo y la asimetra del tiempo en las leyes de la fsica. De lo contrario, di-chas leyes son incompletas, tan incompletas como si ignorasen la gravitacin o la electricidad. El objetivo de este libro es presentar una formulacin de la fsica que familiarice al lector con una descripcin de la Naturaleza capaz de otorgar su lugar a las le-yes, pero tambin a la novedad y la creatividad. Al comenzar este captulo mencionamos a los presocrticos. Los antiguos griegos, en efecto, nos legaron dos ideales que han guiado nuestra historia: la inteligi-bilidad de la Naturaleza o, como escribe Whitehead, formar un sistema de ideas generales que sea necesario, lgico, coherente, y en funcin del cual todos los elementos de nuestra experiencia puedan ser interpretados,14 y la democracia, cimentada en el supuesto de la libertad, creatividad y responsabilidad humanas. Estamos muy lejos, por cierto, de cumplir ambos ideales, pero por lo menos de ahora en adelante podemos juzgar que no son contradictorios.

II

Acabamos de destacar que los problemas del tiempo y del determinismo crean una divisin que convalida la idea de las dos culturas de C. P. Snow. Pero la fsica est lejos de ser un bloque monoltico. En efecto, el siglo XIX nos entreg un do-ble legado: por una parte las leyes de Newton, que como vimos corresponden a un Universo esttico, y por otra una descripcin evolutiva asociada con la entro-pa. La entropa es el elemento esencial que aporta la termodinmica, ciencia de los procesos irreversibles, es decir orientados en el tiempo. Sabemos lo que es un proceso irreversible. Se puede pensar en la descomposicin radioactiva, en la


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friccin o en la viscosidad que modera el movimiento de un fluido. Todos esos procesos poseen una direccin privilegiada en el tiempo, en contraste con los pro-cesos reversibles, semejantes al movimiento de un pndulo sin friccin. Una sus-tancia radiactiva preparada en el pasado desaparece en el futuro, y la viscosidad modera el movimiento del fluido hacia el futuro. En cambio, en el movimiento del pndulo ideal no podemos distinguir futuro y pasado. Si permutamos el futuro, es decir [+t], con el pasado, es decir [-t], obtenemos un movimiento pendular tan plausible como el primero. Mientras los procesos reversibles son descritos me-diante ecuaciones de evolucin invariantes en relacin a la inversin de los tiem-pos como la ecuacin de Newton en dinmica clsica y la de Schrdinger en mecnica cuntica, los procesos irreversibles implican una rotura de la simetra temporal. La Naturaleza nos presenta a la vez procesos irreversibles y procesos reversibles, pero los primeros son la regla y los segundos la excepcin. Los procesos macros-cpicos, como las reacciones qumicas y los fenmenos de traslado, son irreversi-bles. La irradiacin solar resulta de procesos nucleares irreversibles. Ninguna des-cripcin de la ecsfera sera posible sin los innumerables procesos irreversibles que en ella se producen. Los procesos reversibles, en cambio, siempre correspon-den a idealizaciones: para atribuir al pndulo un comportamiento reversible de-bemos descartar la friccin, y ello slo vale como aproximacin. La distincin entre procesos reversibles e irreversibles la introduce en termodi-nmica el concepto de entropa, que Clausius asocia ya en 1865 al "Segundo principio de la termodinmica".15 Recordemos su enunciacin de los dos principios de la termodinmica: La ener-ga del Universo es constante. La entropa del Universo crece hacia un mximo. Contrariamente a la energa que se conserva, la entropa permite establecer una distincin entre los procesos reversibles donde la entropa permanece constante, y los procesos irreversibles, que producen entropa. El aumento de la entropa indica entonces la direccin del futuro, en el nivel de un sistema local o bien del Universo en su conjunto. Por esa razn, A. Eddington lo asoci con la flecha del tiempo.16 Pero, curiosamente, esta flecha del tiempo no desempea papel alguno en la formulacin de las leyes fundamentales de la fsica newtoniana. El siglo XIX nos leg entonces dos visiones conflictivas de la Naturaleza. Cmo reconciliarlas? Fue el problema central del fsico viens Ludwig Boltzmann. Sigue siendo el nuestro. Para Ludwig Boltzmann el siglo XIX era el de Darwin, el siglo en que se concibi la vida como resultado de un proceso continuo de evolucin, cuando el devenir se situ en el centro de nuestra inteleccin de la Naturaleza. Y, sin embargo, la ma-yora de los fsicos contemporneos sigue asociando el nombre de Boltzmann a un resultado asaz diferente: habra mostrado que la irreversibilidad slo era una ilu-


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sin. Esa fue su tragedia: intent lograr en fsica lo que Darwin haba conseguido en biologa, y fracas. De hecho, la semejanza entre las investigaciones de esos dos gigantes del siglo XIX es pasmosa. Ambos razonan sobre poblaciones. Darwin mostr que el estudio de las poblaciones y no el de los individuos, en dilatados perodos, permite entender cmo la variabilidad individual sometida a un proceso de seleccin en-gendra una deriva. De igual manera, Boltzmann sostuvo que no se puede entender el segundo prin-cipio y el incremento espontneo de entropa que vaticina si uno sigue atado a la descripcin de trayectorias dinmicas individuales. Las innumerables colisio-nes en el seno de una poblacin de partculas son responsables de la deriva glo-bal que describe el aumento de la entropa. En 1872 Boltzmann public su "Teorema ,,,,, que propone un anlogo microscpi-co de la entropa: la funcin ,,,,. El teorema de Boltzmann pone en escena el modo en que las colisiones modifican a cada instante la distribucin de las velocidades en el seno de una poblacin de partculas. Demuestra que el efecto de estas coli-siones es disminuir el valor de esta funcin ,,,, a un mnimo, que corresponde a lo que se denomina la distribucin de equilibrio de Maxwell-Boltzmann: en este es-tado las colisiones ya no modifican la distribucin de las velocidades en la pobla-cin, y la magnitud ,,,, permanece constante. Dicho de otro modo, las colisiones entre las partculas aparecen como el meca-nismo microscpico que conduce el sistema al equilibrio. En nuestras obras, La nueva alianza y Entre el tiempo y la eternidad, describimos el drama de Boltzmann y la interpretacin probabilista a la que debi resignarse. Enunciamos las paradojas de Loschmidt y de Zermelo, que lo obligaron a renun-ciar al vnculo entre colisiones e irreversibilidad. Tuvo que concluir que el papel de las colisiones slo es aparente, y se vincula al hecho de que estudiamos la distri-bucin de las velocidades en el seno de una poblacin, y no la trayectoria indivi-dual de cada partcula. Consecuentemente, el estado de equilibrio slo sera el estado macroscpico ms probable. Su definicin sera relativa a su carcter ma-croscpico, aproximativo. En otras palabras, la irreversibilidad no traducira una propiedad fundamental de la Naturaleza; sera slo una consecuencia del carcter aproximativo, macroscpico, de la descripcin boltzmaniana. No insistir en esta historia y me contentar con subrayar un aspecto sorpren-dente. Despus de ms de un siglo, durante el cual la fsica conoci mutaciones extraordinarias, la mayora de los fsicos presenta la interpretacin de la irrever-sibilidad en cuanto aproximacin como si fuera algo evidente. Es ms, no se acla-ra que en tal caso seramos responsables del carcter evolutivo del Universo. Por el contrario: una primera etapa del razonamiento que debe conducir al lector a aceptar el hecho de la irreversibilidad slo como una consecuencia de nuestras


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aproximaciones consiste siempre en presentar las consecuencias del segundo principio como evidentes, incluso triviales. As se expresa, por ejemplo, Murray Gell-Mann en The quark and the jaguar17, La explicacin [de la irreversibilidad] es que existen ms maneras de que clavos y monedas estn mezclados que sepa-rados. Los potes de mermelada tienen ms maneras de contaminarse entre s que de guardar su pureza. Y hay ms maneras de que las molculas de un gas de oxgeno y de nitrgeno estn mezcladas que separadas. En la medida en que se dejan las cosas al azar, se puede prever que un sistema cerrado, caracterizado por algn orden inicial, evolucionar hacia el desorden, que ofrece muchas ms posibilidades. Cmo se deben contar esas posibilidades? Un sistema totalmente cerrado, descrito de manera exacta, puede encontrarse en gran nmero de esta-dos distintos, frecuentemente denominados microestados. En mecnica cunti-ca sos son los estados cunticos posibles del sistema. Se reagrupan en catego-ras (a veces llamadas macroestados) segn propiedades establecidas por una descripcin grosera (coarse grained). Los microestados correspondientes a un macroestado dado se tratan como equivalentes, lo que resulta en que slo impor-ta su nmero. Y Gell-Mann concluye: La entropa y la informacin estn estre-chamente vinculadas. De hecho, la entropa se puede considerar una medida de la ignorancia. Cuando slo sabemos que un sistema est en un macroestado da-do, la entropa del macroestado mide el grado de ignorancia respecto del microestado del sistema, contando el nmero de bits de informacin adicional que sera necesario para especificarlo, ya que todos los microestados en el macroes-tado se consideran como igualmente probables. He citado ampliamente a Gell-Mann, pero el mismo tipo de presentacin de la fle-cha del tiempo figura en la mayora de los trabajos. Esta interpretacin que im-plica que nuestra ignorancia y la tosquedad de nuestras descripciones seran res-ponsables del segundo principio y en consecuencia de la flecha del tiempo es insostenible, sin embargo. Nos obliga a concluir que el mundo parecera perfec-tamente simtrico en el tiempo ante los ojos de un observador bien informado (como el demonio imaginado por Maxwell), capaz de observar los microestados. Pero, cmo explicar entonces que las propiedades disipativas, los coeficientes de difusin o los tiempos de relajacin tengan una definicin precisa, no importando la precisin de nuestras experiencias? Cmo explicar el papel constructivo de la flecha del tiempo, que hemos evocado ms arriba? El punto de vista de este libro es diferente. En su formulacin tradicional, las le-yes de la fsica describen un mundo idealizado, un mundo estable, y no el mundo inestable, evolutivo, en el que vivimos. Este punto de vista nos obliga a reconsi-derar la validez de las leyes fundamentales, clsicas y cunticas. En primer lugar, nuestro rechazo de la banalizacin de la irreversibilidad se apoya en el hecho de que incluso en fsica la irreversibilidad ya no puede asociarse slo a un aumento


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del desorden. Por el contrario, los desarrollos recientes de la fsica y de la qumica de no-equilibrio muestran que la flecha del tiempo puede ser fuente de orden. Ya era as en ciertos casos clsicos simples, como la difusin trmica. Por supuesto que las molculas de hidrgeno y nitrgeno, digamos, dentro de una caja her-mtica evolucionarn hacia una mezcla uniforme. Pero calentemos una parte de la caja y enfriemos la otra. El sistema evoluciona entonces hacia un estado esta-cionario en que la concentracin de hidrgeno es ms elevada en la parte caliente y la de nitrgeno en la parte fra. La entropa producida por el flujo de calor (fe-nmeno irreversible) destruye la homogeneidad de la mezcla. Por lo tanto, se tra-ta de un proceso generador de orden, un proceso que sera imposible sin el flujo de calor. La irreversibilidad conduce a la vez al desorden y al orden. Lejos del equilibrio, el papel constructivo de la irreversibilidad se torna an ms sorprendente. Crea nuevas formas de coherencia. Volveremos a la fsica alejada del equilibrio y a los conceptos de autoorganizacin y de estructura disipativa en el captulo II. Retengamos por ahora que hoy podemos aseverar que la Naturale-za realiza sus estructuras ms delicadas y complejas gracias a los procesos irre-versibles asociados a la flecha del tiempo. La vida slo es posible en un Universo alejado del equilibrio. El notable desarrollo de la fsica y la qumica del no-equilibrio durante los ltimos decenios refuerza entonces las conclusiones presen-tadas en La nueva alianza: 1. Los procesos irreversibles (asociados a la flecha del tiempo) son tan reales co-mo los procesos reversibles descritos por las leyes tradicionales de la fsica; no pueden interpretarse como aproximaciones de las leyes fundamentales. 2. Los procesos irreversibles desempean un papel constructivo en la Naturaleza. 3. La irreversibilidad exige una extensin de la dinmica. Una extensin de la dinmica? Enunciado asaz temerario, que fcilmente puede malinterpretarse. No se trata de sugerir que se agreguen nuevos trminos a las ecuaciones de la dinmica. La aplicacin de la dinmica tal cual existe a situacio-nes simples como el movimiento de la Luna en mecnica clsica o el tomo de hidrgeno en mecnica cuntica ha sido tremendamente exitosa. Por lo tanto, no se trata de agregar simplemente trminos que pudieran, como el clinamen de Epicuro, romper la simetra de las ecuaciones. Mostraremos que las situaciones donde cabra esperar una rotura de la simetra en el tiempo son asimismo las que requieren una nueva formulacin de la dinmica.


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Figura I-1

Como veremos, corresponden a comportamientos dinmicos inestables. Mediante la extensin de la dinmica a los sistemas inestables y caticos se vuelve posible superar la contradiccin entre las leyes reversibles de la dinmica y la descripcin evolucionista asociada a la entropa. Pero no vayamos demasiado deprisa. Hace dos siglos Lagrange describi la mecnica analtica, en la que las leyes del movimiento newtoniano encontraban su formulacin rigurosa como rama de las matemticas.18 Aun hoy se suele hablar de Mecnica racional, lo que significara que las leyes newtonianas expresaran las leyes de la "razn", esto es, una verdad inmutable. Sabemos que ello no es cierto, puesto que vimos nacer la mecnica cuntica y la relatividad. Pero hoy se tiende a atribuir esa veracidad inmutable a la mecnica cuntica. Gell-Mann escribe en The quark and the jaguar que la mecnica cun-tica no es en s misma una teora; es, ms bien, el marco en el cual debe inser-tarse toda teora fsica contempornea.19

Realmente es as? Como mi lamentado amigo Len Rosenfeld no cesaba de enfa-tizar, toda teora se funda en conceptos fsicos asociados a idealizaciones que tor-nan posible la formulacin matemtica de esas teoras; por ello, ningn concep-to fsico est suficientemente definido si no se conocen los lmites de su vali-dez20, lmites procedentes de las mismas idealizaciones que lo fundan.

T T1 2

Debido a la diferencia de temperatura entre los dos recipientes, las mol-culas rojas se concentran ms en el de la izquierda (difusin trmica).


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Lo que comenzamos a percibir son los lmites de validez de los conceptos funda-mentales de la fsica, como las trayectorias en la mecnica clsica o las funciones de onda en la mecnica cuntica. Se vinculan a las nociones de inestabilidad y caos que presentaremos someramente en la prxima seccin. La consideracin de estos conceptos conduce a una nueva formulacin de las leyes de la Naturaleza, una formulacin que, como he dicho, ya no reposa en certidumbres como las leyes deterministas, sino que se postula sobre la base de posibilidades. Ade-ms, esta formulacin probabilista destruye la simetra temporal, y por lo tanto permite la expresin del carcter evolutivo del Universo en la estructura de las leyes fundamentales de la fsica. Recordemos el ideal de inteligibilidad formulado por Whitehead (seccin I): que todos los elementos de nuestra experiencia pue-dan incluirse en un sistema coherente de ideas generales. La fsica dio un paso en esa direccin al progresar en el programa inaugurado por Boltzmann hace ms de un siglo.

III

La diferencia entre sistemas estables e inestables nos es familiar. Tomemos un pndulo y estudiemos su movimiento considerando la existencia de una friccin. Supongmoslo primero inmvil y en equilibrio. Se sabe que su energa potencial presenta su valor mnimo. A una pequea perturbacin seguir un retorno al equilibrio. El estado de equilibrio del pndulo es estable. Pero, si logramos sujetar un lpiz en su extremo, el equilibrio ser inestable. La menor perturbacin lo pre-cipitar a un lado u otro. Existe una distincin fundamental entre los movimientos estables e inestables. En pocas palabras, los sistemas dinmicos estables son aquellos en los que pequeas modificaciones de las condiciones iniciales producen pequeos efectos. Pero para una clase muy vasta de sistemas dinmicos dichas modificaciones se amplan con el tiempo. Los sistemas caticos son un ejemplo extremo de sistema inestable: en ellos las trayectorias correspondientes a condi-ciones iniciales tan vecinas como se quiera divergen de manera exponencial con el tiempo. Entonces hablamos de sensibilidad a las condiciones iniciales, y lo ilustramos con la conocida parbola del "efecto mariposa", que dice que el aleteo de una mariposa en la cuenca amaznica puede afectar el clima de Estados Uni-dos. Veremos ejemplos de sistemas caticos en los captulos III y IV. Se habla a menudo de caos determinista. En efecto, las ecuaciones de sistemas caticos son tan deterministas como las leyes de Newton. Y empero engendran comportamientos de aspecto aleatorio! Este descubrimiento sorprendente renov la dinmica clsica, que hasta entonces se consideraba un tema cerrado. Los sis-temas que describe la ley de Newton no seran todos semejantes. Por supuesto,


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se saba que el clculo de la trayectoria de una piedra que cae es ms fcil que el de un sistema compuesto de tres cuerpos, como el Sol, la Tierra y la Luna. Pero se crea que se trataba de un simple problema tcnico. Slo a fines del siglo XIX Poincar mostr que los problemas son fundamentalmente diferentes segn se trate de un sistema dinmico estable o no. El problema de tres cuerpos ya entra en la categora de los sistemas inestables.

(a) x (b) x

Figura I-2

Grficos de equilibrios estables (a) e inestables (b).

Con todo, hubo que esperar estos ltimos decenios para que el descubrimiento de Poincar lograse su pleno alcance. Acabamos de mencionar los sistemas caticos. Existen otros tipos de inestabili-dad; volveremos a ellos. El propsito de esta seccin es indicar en trminos cuali-tativos el camino que lleva de la inestabilidad a la extensin de las leyes de la di-nmica. Empecemos por la formulacin habitual de la dinmica. El estado inicial es representado por las posiciones q y las velocidades v, o los momentos p (para simplificar la notacin utilizamos aqu una sola letra, incluso cuando consideramos un sistema formado por un gran nmero de partculas, cada una detentando posi-cin y velocidad). Cuando se conocen las posiciones y velocidades, la trayectoria se puede determinar a partir de la ley de Newton o de cualquier otra formulacin equivalente de la dinmica.

Equilibrio Estable Equilibrio Inestable

Epot Epot


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Figura I-3

El estado dinmico se representa con un punto en el espacio de las fases q, p. La evolucin en el tiempo se representa por una trayectoria que parte del punto inicial q0, p0.

El estado dinmico inicial se puede representar por un punto de coordenadas q0, p0 en el espacio de las fases. En vez de considerar un solo sistema, podemos estudiar una coleccin, un "con-junto" segn el trmino que se utiliza desde el trabajo pionero de Gibbs y Einstein a comienzos de siglo. Un conjunto se representa mediante una nube de puntos en el espacio de las fases. Esta nube se describe mediante una funcin (q, p, t) cuya interpretacin fsica es simple: es la distribucin de probabilidad, que des-cribe la densidad de los puntos de la nube en el seno del espacio de las fases. El caso particular de un solo sistema corresponde entonces a la situacin en la que tiene valor nulo en todo el espacio de las fases excepto en un nico punto q0, p0. Este caso corresponde a una forma especial de : las funciones que poseen la propiedad de anularse en todas partes excepto en un solo punto sealado por x0 son denominadas "funciones de Dirac" (x x0). Dicha funcin (x x0) es por lo tanto nula para todo punto x diferente de x0. Ms adelante volveremos a las propiedades de las funciones delta. Ahora desta-quemos que pertenecen a una clase de funciones generalizadas o de distribucio-nes (no confundir con las distribuciones de probabilidad).

P

q

p0 q0


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Poseen, en efecto, propiedades anormales con respecto a las funciones regulares, ya que cuando x = x0, la funcin (x - x0) diverge, es decir, tiende al infinito. Aclaremos inmediatamente que ese tipo de funcin slo puede utilizarse en con-juncin con funciones regulares: las funciones test (x).

Figura I-4

Conjunto de Gibbs representado por una nube de puntos correspondiente a condiciones iniciales diferentes.

La necesidad de introducir una funcin test desempear un papel crucial en la extensin de la dinmica que describiremos. Limitmonos a subrayar la inversin de perspectiva que estamos esbozando: mientras la descripcin de un sistema individual parece intuitivamente la situacin primera, cuando se parte de conjun-tos deviene un caso particular que implica la introduccin de una funcin dotada de propiedades singulares. Para Gibbs y Einstein, la teora de los conjuntos slo era un cmodo instrumento de clculo, puesto que las condiciones iniciales se desconocan. Desde ese punto de vista las probabilidades traducen nuestra ignorancia, nuestra falta de informa-cin. Era evidente que en dinmica el estudio de las trayectorias individuales y el de las distribuciones de probabilidad venan a ser lo mismo. Podemos partir de las trayectorias individuales y obtener la evolucin de las funciones de probabilidad, y viceversa. La probabilidad corresponde simplemente a una superposicin de tra-yectorias, y no conduce a ninguna propiedad nueva. Ambos niveles de descrip-

P

q


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cin, el nivel individual (correspondiente a trayectorias nicas) y el nivel estads-tico (correspondiente a probabilidades), seran equivalentes. Siempre es as? Gibbs y Einstein tenan razn en el caso de los sistemas esta-bles, donde la cuestin de la irreversibilidad no se plantea: los puntos de vista individual y estadsticos son equivalentes. Se lo puede verificar fcilmente; lo haremos en el captulo V. Pero, qu sucede con los sistemas inestables? Cmo es posible que todas las teoras relativas a los procesos irreversibles, como la teo-ra cintica de Boltzmann, traten de probabilidades y no de trayectorias? Acaso la nica razn se refiere a nuestras afirmaciones, a la tosquedad (coarse grained) de nuestras descripciones? Y entonces, cmo se explica el xito de la teora cin-tica, sus predicciones cualitativamente verificadas por la experiencia? Porque la teora cintica permite calcular las propiedades cuantitativas de fenmenos como la conductividad trmica y la difusin de gases diluidos, y esos clculos son rigu-rosamente verificados por la experiencia. El xito de la teora cintica impresion de tal manera a Henri Poincar que escri-bi: Tal vez sea la teora cintica de los gases la que se desarrollar y servir de modelo a las otras... La ley fsica cobrara entonces un aspecto totalmente nue-vo... poseera el carcter de una ley estadstica.21

Figura I-5

Sistema dinmico estable: los movimientos marcados + y - pertenecen a regiones distintas del espacio de las fases.


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Veremos que su enunciado result proftico. La nocin de probabilidad introduci-da empricamente por Boltzmann fue un golpe de audacia muy fecundo. Despus de ms de un siglo empezamos a entender cmo surge de la dinmica a travs de la inestabilidad: sta destruye la equivalencia entre el nivel individual y el nivel estadstico, al extremo que las probabilidades cobran una significacin intrnseca, irreductible a una interpretacin en trminos de ignorancia o aproximacin. Es lo que mi colega B. Misra y yo destacamos al introducir la expresin "intrnse-camente aleatorio". Para explicar lo que entendemos por "intrnsecamente aleatorio" tomemos un ejemplo simplificado de caos. Supongamos dos tipos de movimientos marcados [+] y [-] (por ejemplo, un mo-vimiento hacia arriba y otro hacia abajo). Consideremos el espacio de las fases en la figura I-4. Tenemos las dos situaciones representadas por las figuras I-5 y I-6. En la primera, el espacio de las fases comprende dos regiones distintas, una que corresponde al movimiento [+] y otra al movimiento [-]. Si desechamos la regin fronteriza, cada [-] est rodeado de otros [-], y cada [+] rodeado por otros [+]. Este caso corresponde a un sistema estable. Pequeas modificaciones en las con-diciones iniciales no alterarn el resultado. En cambio, en la figura I-6 hay movi-mientos [-] en el vecindario de cada [+], y recprocamente. El ms mnimo cam-bio en las condiciones iniciales se amplificar.

Figura I-6

Sistema dinmico inestable: cada movimiento + est rodeado de movimientos -, y recprocamente.


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El sistema es inestable. Una primera consecuencia de esa inestabilidad, y de la sensibilidad a las condiciones iniciales resultante, es que la trayectoria se convier-te en una idealizacin. En efecto, nos resulta imposible preparar un sistema de tal suerte que podamos asignarle una trayectoria bien determinada, ya que dicha formulacin debera poseer una precisin infinita. El carcter finito de la preparacin del estado inicial de un sistema el hecho de que slo podamos preparar sistemas caracterizados por una distribucin de pro-babilidad concentrada en una pequea regin finita del espacio de las fases, y no por una situacin inicial representable mediante un punto nico no tiene conse-cuencias para los sistemas estables. Para los sistemas inestables representados por la figura I-6 tiene por consecuencia la imposibilidad de preparar el sistema de suerte que siga la trayectoria [+] y no la trayectoria [-], o la trayectoria [-] y no la trayectoria [+]. Esta imposibilidad slo tiene un carcter prctico? S, si hubiera que limitarse a reconocer que las trayectorias se tornan no calculables. Pero hay ms: la distribu-cin de probabilidad nos permite incorporar en el marco de la descripcin dinmi-ca la microestructura compleja del espacio de las fases. Contiene entonces una informacin adicional, que se pierde en la descripcin de las trayectorias indivi-duales. Lo ms importante, como veremos en el captulo IV, es que la descripcin probabilista es ms rica que la descripcin individual; sta, empero, siempre se ha considerado la fundamental. Por eso obtendremos, en el nivel de las distribu-ciones de probabilidad , una descripcin dinmica nueva que permite predecir la evolucin del conjunto. Podemos as obtener las escalas de tiempo caractersticas correspondientes al acercamiento de las funciones de distribucin hacia el equili-brio, lo que es imposible en el nivel de las trayectorias individuales. La equivalen-cia entre el nivel individual y el nivel estadstico se destruye. Para las dis-tribuciones de probabilidad logramos as soluciones nuevas irreductibles, es decir, que no se aplican a las trayectorias individuales. Las "leyes del caos" asociadas a una descripcin regular y predictiva de los sistemas caticos se sitan en el nivel estadstico. A ello nos referamos en la seccin anterior al hablar de generaliza-cin de la dinmica. Se trata de una formulacin de la dinmica en el nivel esta-dstico, que no tiene equivalente en trminos de trayectorias. Ello nos conduce a una situacin nueva. Las condiciones iniciales ya no pueden asimilarse a un punto en el espacio de las fases: corresponden a una regin descrita por una distribu-cin de probabilidad. Se trata, por lo tanto, de una descripcin no local. Adems, como veremos, la simetra con respecto al tiempo se rompe, porque en la formu-lacin estadstica el pasado y el futuro desempean papeles diferentes. Por su-puesto, cuando se consideran sistemas estables, la descripcin estadstica se re-duce a la descripcin habitual.


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Cabra preguntarse por qu fue necesario tanto tiempo para llegar a una generali-zacin de las leyes de la Naturaleza que incluya la irreversibilidad y las probabili-dades. Sin duda, una de las razones es de orden ideolgico: el deseo de un punto de vista cuasi divino sobre la Naturaleza. Pero tambin se interpona un problema de tcnica matemtica. Nuestro trabajo se fundamenta en los progresos recientes del anlisis funcional. Veremos que la formulacin ampliada de la dinmica impli-ca un espacio funcional extenso. Una formulacin estadstica de las leyes de la Naturaleza requiere de un nuevo arsenal matemtico en el que las funciones ge-neralizadas, los "fractales" como los denomin Mandelbrot,22 desempeen un pa-pel importante. As, este desarrollo constituye un nuevo ejemplo del dilogo fe-cundo entre la fsica y las matemticas. Qu sucede con el demonio de Laplace en el mundo que describen las leyes del caos? El caos determinista nos ensea que slo podra predecir el futuro si ya co-nociese el estado del mundo, con una precisin infinita. Pero en adelante es posi-ble ir ms lejos, pues existe una forma de inestabilidad dinmica an ms fuerte, en que las trayectorias son destruidas cualquiera sea la precisin de la descrip-cin. Veremos que ese tipo de inestabilidad es fundamental, porque se aplica tan-to a la dinmica clsica como a la mecnica cuntica. Es uno de los ejes de este libro. Una vez ms, el trabajo fundamental de Henri Poincar a fines del siglo XIX es nuestro punto de partida.23 Ya vimos que Poincar haba establecido una distincin primordial entre sistemas estables y sistemas inestables. Pero hay ms. Introdujo la nocin clave de sis-tema dinmico no integrable". Mostr que la mayora de los sistemas dinmicos eran no integrables. En una primera aproximacin se trataba de un resultado ne-gativo, durante largo tiempo considerado un simple problema de tcnica matem-tica. Sin embargo, veremos que ese resultado expresa la condicin sine qua non para toda posibilidad de articular de modo coherente el lenguaje de la dinmica en este mundo en devenir que es el nuestro. Qu es, en efecto, un sistema integrable en el sentido de Poincar? Todo siste-ma dinmico puede caracterizarse por una energa cintica, que depende de la sola velocidad de los cuerpos que lo componen, y por una energa potencial, que depende de la interaccin entre esos cuerpos, es decir de sus distancias relativas. Un caso particularmente simple es el de las partculas libres, carentes de interac-ciones mutuas. En su caso no hay energa potencial, y el clculo de la trayectoria se vuelve trivial. Un sistema as es integrable, en el sentido que le da Poincar. Es posible mostrar que todo sistema dinmico integrable puede representarse como si estuviera constituido por cuerpos desprovistos de interacciones. En el captulo V retornaremos al formalismo hamiltoniano, que permite ese tipo de transforma-cin. Ahora nos limitamos a presentar la definicin de integrabilidad de Poincar: un sistema dinmico integrable es un sistema cuyas variables pueden definirse de


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manera que la energa potencial sea eliminada, es decir, de manera que su com-portamiento se torne isomorfo con el de un sistema de partculas libres, sin inter-accin. Poincar mostr que, por lo general, tales variables no pueden obtenerse. En consecuencia, los sistemas dinmicos generalmente no son integrables. Si la demostracin de Poincar condujera a un resultado diferente, si hubiese po-dido mostrar que todos los sistemas dinmicos son integrables, no se habra po-dido tender un puente entre el mundo dinmico y el mundo de los procesos que observamos. En un mundo isomorfo, con un conjunto de cuerpos sin interaccin, no hay cabida para la flecha del tiempo, ni para la autoorganizacin o la vida. Pe-ro Poincar no slo demostr que la integrabilidad se aplica nicamente a una clase reducida de sistemas dinmicos, sino que identific la razn del carcter ex-cepcional de dicha propiedad: la existencia de resonancias entre los grados de libertad del sistema. Al hacerlo, identific el problema a partir del cual se torna posible una formulacin ampliada de la dinmica. La nocin de resonancia caracteriza una relacin entre frecuencias. Un ejemplo simple de frecuencia es el del oscilador armnico, que describe el comportamien-to de una partcula vinculada a un centro por una fuerza proporcional a la distan-cia: si la partcula es apartada del centro, oscilar con una frecuencia bien defini-da. Consideremos ahora el tipo ms familiar de oscilador, el del resorte que, ale-jado de su posicin de equilibrio, vibra con una frecuencia caracterstica. Some-tamos dicho resorte a una fuerza externa, tambin caracterizada por una fre-cuencia que podamos variar. Observamos entonces un fenmeno de acoplamien-to entre dos frecuencias. La resonancia se produce cuando las dos frecuencias la del resorte y la de la fuerza externa corresponden a una relacin numrica simple (una de las fre-cuencias es igual a un mltiplo entero de la otra). La amplitud de la vibracin del pndulo aumenta entonces considerablemente. En msica se produce el mismo fenmeno, cuando tocamos una nota en un instrumento. Omos las armnicas. La resonancia "acopla" los sonidos. Las frecuencias, y en particular la cuestin de su resonancia, resultan capitales en la descripcin de los sistemas dinmicos. Cada uno de los grados de libertad de un sistema dinmico se caracteriza por una frecuencia. El valor de las diferentes frecuencias en general depende del punto del espacio de las fases. Consideremos un sistema con dos grados de libertad, caracterizado por las fre-cuencias 1 y 2. Por definicin, en cada punto del espacio de las fases donde la suma n1 1 + n2 2 se anula para valores enteros, no nulos, de n1 y n2, tenemos resonancia, ya que en tal punto n1/n2 = 2/1. Ahora, el clculo de la trayectoria de tales sistemas hace intervenir denominadores de tipo 1/n1 1+ n2 2 , que di-vergen por tanto en los puntos de resonancia, lo que torna imposible el clculo. Es el problema de los pequeos divisores, ya destacado por Le Verrier. Lo que


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mostr Poincar es que las resonancias y los denominadores peligrosos concomi-tantes constituan un obstculo ineludible, opuesto a la integracin de la mayora de los sistemas dinmicos. Poincar entendi que su resultado llevaba a lo que llam El problema general de la dinmica, pero dicho problema fue descuidado por largo tiempo. Max Born escribi: Sera verdaderamente notable que la Naturaleza hubiese encontrado la manera de resistir el progreso del conocimiento escondindose tras la muralla de las dificultades analticas del problema con n cuerpos.24 El obstculo identificado por Poincar bloqueaba, por cierto, el camino que lleva de las ecuaciones del movimiento a la construccin de trayectorias que constitu-yen su solucin, pero ese obstculo no pareca cuestionar la estructura conceptual de la dinmica: todo sistema dinmico debe seguir una trayectoria solucin de sus ecuaciones con independencia del hecho de que podamos o no construirla. Hoy nuestra perspectiva ha cambiado profundamente. Para nosotros, las diver-gencias de Poincar no son un obstculo que traduzca, parafraseando a Born, una resistencia frustrante por parte de la Naturaleza, sino una oportunidad, la posibi-lidad de un nuevo punto de partida. En efecto, de ahora en adelante podemos ir ms all del resultado negativo de Poincar y mostrar que la no integrabilidad al igual que los sistemas caticos abre la va a una formulacin estadstica de las leyes de la dinmica. Tal resultado fue posible gracias a las investigaciones que ahora se asocian a la renovacin de la dinmica que inici, sesenta aos despus de Poincar, el traba-jo de Kolmogorov, proseguido por el de Arnold y Moser (la teora KAM). Las resonancias de Poincar desempean un papel fundamental en fsica. La ab-sorcin y la emisin de la luz se deben a resonancias. En un sistema de partculas en interaccin, la aproximacin al equilibrio se debe, lo veremos, a resonancias. Los campos en interaccin tambin crean resonancias. Resulta difcil citar un pro-blema importante de fsica cuntica o clsica en que las resonancias no desempe-en un papel. El hecho de poder superar el obstculo que oponen a la descripcin dinmica de los sistemas se puede considerar, por tanto, y con toda justicia, co-mo una ampliacin de la dinmica, una extensin que escapa al modelo esttico y determinista aplicable a los sistemas dinmicos integrables. Como veremos, dicha extensin es esencial para desembocar en una concepcin realista de los procesos cunticos (es decir, liberada del problema del observador). Demos un vistazo al camino que lleva de la teora KAM a esta ampliacin de la dinmica. La teora KAM estudia la influencia de las resonancias sobre las trayectorias. Co-mo vimos, las frecuencias dependen en general de las variables dinmicas y ad-quieren valores diferentes en diferentes puntos del espacio de las fases. En con-secuencia, ciertos puntos de dicho espacio sern caracterizados por resonancias, y otros no. Correlativamente, observamos dos tipos de trayectorias: trayectorias


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normales, deterministas, y trayectorias aleatorias asociadas a las resonancias que erran a travs del espacio de las fases. La teora KAM describe la manera en que se transforma la topologa del espacio de las fases para un valor creciente de energa. A partir de un valor crtico, el comportamiento del sistema se torna ca-tico: trayectorias vecinas divergen en el curso del tiempo. En el caso del caos plenamente desarrollado observamos fenmenos de difusin, esto es, la evolu-cin hacia una dispersin uniforme en todo el espacio de las fases. Ahora bien, los problemas de difusin son fenmenos irreversibles: la difusin corresponde a una aproximacin a la uniformidad en el futuro, y produce entropa. Cmo explicar que, partiendo de la dinmica clsica, podamos observar una evolucin irreversi-ble, por tanto de simetra temporal rota? Cmo traducir en trminos dinmicos la regularidad que caracteriza dicho comportamiento a nivel estadstico, en con-traste con el comportamiento aleatorio, catico, en el nivel individual de las tra-yectorias? Es el problema clave que debemos resolver para superar la paradoja del tiempo. Por lo tanto, hay que distinguir el nivel individual (las trayectorias) y el nivel es-tadstico (los conjuntos) descrito por una distribucin de probabilidad . Las di-vergencias debidas a las resonancias se refieren al nivel individual, pero pueden eliminarse a nivel estadstico (ver captulos V y VI). Como vimos, las resonancias conducen a un acoplamiento entre acontecimientos (pensemos en el que ocurre entre dos sonidos). Las resonancias eliminadas en el nivel estadstico conducen a la formulacin de una teora no newtoniana, incompatible con la descripcin en trminos de trayectorias. No es tan sorprendente: resonancia y acoplamiento en-tre acontecimientos no se producen en un punto y en un instante. Implican una descripcin no local, que no puede ser incorporada en la definicin dinmica usual en trminos de puntos individuales y de trayectorias en el espacio de las fases. Esta formulacin permite, en cambio, obtener un movimiento difusivo en el espa-cio de las fases. Permite, en efecto, asociar a un punto inicial P0 de ese espacio, no un punto Pt, que podra ser previsto con certidumbre como el estado del sis-tema despus de un tiempo de evolucin t, sino un mbito D en cuyo seno cada punto tiene una probabilidad no nula de representar el sistema. Cada punto se caracteriza por una probabilidad de transicin bien definida. Llegamos as en un cuadro puramente dinmico a una representacin sor-prendentemente anloga a la difusin asociada al movimiento browniano. En el caso ms simple, ste corresponde a una partcula operando una transicin de una unidad a intervalos de tiempo regulares en una red unidimensional. En el movimiento browniano, en cada transicin el desplazamiento puede efectuarse hacia la derecha o hacia la izquierda con una probabilidad de transicin 1/2. En cada transicin el futuro es incierto. Sin embargo, en el nivel estadstico, el mo-delo da un comportamiento regular bien definido, correspondiente a una difusin.


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Se trata de un fenmeno orientado en el tiempo, pues, si partimos de una nube concentrada de puntos en el origen, esta nube se dispersar con el tiempo y al-gunos puntos se encontrarn lejos del origen y otros cerca. Es impresionante que podamos mostrar que las resonancias hacen aparecer tr-minos difusivos partiendo de ecuaciones deterministas de la dinmica clsica y no de un modelo de movimiento browniano en el cual las probabilidades de transi-cin estn dadas. A nivel estadstico, las resonancias ocasionan la ruptura del de-terminismo: introducen la incertidumbre en el marco de la mecnica clsica y rompen la simetra del tiempo. Por supuesto, no hay trmino difusivo cuando nos las habemos con un sistema integrable y volvemos a una descripcin en trminos de trayectorias, pero este tipo de descripcin slo corresponde a un caso particu-lar: en general, las leyes de la dinmica deben formularse en trminos de proba-bilidades. Durante siglos las trayectorias fueron consideradas los objetos funda-mentales de la fsica clsica: ahora aparecen detentando una validez limitada.

Figura I-7 Movimiento difusivo: despus de un tiempo el sistema puede encontrarse en cualquier

punto P1, P2, P3 del mbito D.


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Subsiste la pregunta fundamental: en qu situaciones podemos esperar la apari-cin de trminos difusivos? En otras palabras, cules son los lmites de validez de la descripcin newtoniana, en trminos de trayectorias, o de la descripcin cuntica en trminos de funcin de onda? Desarrollaremos la respuesta a esas interrogantes en el captulo V y, en lo tocante a la mecnica cuntica, en el captulo VI. Indicamos desde ya el tipo de respuesta que aportaremos. Cuando se trata de interacciones transitorias (por ejemplo, un haz de partculas que colisiona con un blanco y prosigue su movi-miento libre), los trminos difusivos son desdeables. Caemos nuevamente en la fsica newtoniana de las trayectorias. Si se trata, en cambio, de interacciones per-sistentes (como el caso de un flujo continuo de partculas cayendo sobre un blan-co), los fenmenos difusivos se tornan dominantes. Podemos poner a prueba nuestras predicciones tericas, puesto que tanto en las simulaciones por compu-tadora como en el mundo real podemos realizar ambas situaciones.

Figura I-8

Los resultados muestran sin ambigedad la aparicin de trminos difusivos en el caso de interacciones persistentes y, por ende, el desplome de la descripcin newtoniana. Pero existe un segundo caso, ms notable an. Generalmente se define los sis-temas macroscpicos en trminos del "lmite termodinmico", que corresponde al lmite donde a la vez el nmero N de partculas y el volumen V del recinto tienden al infinito, si bien su relacin permanece finita. El lmite termodinmico no es una simple aproximacin prctica que indica que renunciamos a seguir el comporta-miento individual de las partculas. Es una condicin esencial de la articulacin entre la descripcin dinmica en trminos de partculas en interaccin y las pro-piedades observables de la materia, como las transiciones de fase. El paso del estado lquido al gaseoso o del estado slido al lquido slo queda bien definido en

Movimiento browniano en una red unidimensional: en cada transicin las probabili-dades respectivas de ir hacia la izquierda o hacia la derecha son iguales a 1/2.


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el lmite de la termodinmica. Como veremos, este lmite corresponde precisa-mente a las condiciones de aparicin de una descripcin probabilista irreductible, lo que concuerda plenamente con la observacin: en efecto, en fsica macroscpi-ca la irreversibilidad y las probabilidades se imponen con ms evidencia. La existencia de transiciones de fase traduce entonces una propiedad emergente, irreductible a una descripcin en trminos de comportamientos individuales. Ilus-tra los lmites de la actitud reduccionista, que concluira por negar la posibilidad con el pretexto de una carencia de sentido en el nivel de las partculas individua-les. Las partculas individuales no son ni slidas ni lquidas. Los estados gaseosos, slidos y lquidos son propiedades de conjunto de las partculas. Es tambin la significacin de la rotura de la simetra temporal: las resonancias deben producir-se de manera persistente, y aqu tambin hay que considerar un conjunto de par-tculas. Si aislamos ciertas partculas, incluso interactuantes, nos quedamos en el marco clsico. Precisaremos estas observaciones cualitativas en el captulo V. Como en el caso del caos determinista, que abordaremos en el captulo III, la nueva formulacin de la mecnica clsica requiere de una extensin de su marco matemtico. La situacin recuerda la de la relatividad general. Einstein mostr que, para incorporar la gravitacin en la mtrica espacio-temporal, debamos pa-sar de la geometra euclidiana a la geometra riemaniana (ver captulo VIII). En el clculo funcional, el espacio de Hilbert que puede ser concebido como una ex-tensin de la geometra euclidiana a un nmero infinito de dimensiones desem-pea un papel central: tradicionalmente, las operaciones matemticas asociadas a la mecnica cuntica y a la mecnica estadstica se definen en el seno del espa-cio de Hilbert. Ahora bien, nuestra formulacin como veremos en los captulos IV al VI implica el empleo de funciones singulares y por lo tanto el paso del es-pacio de Hilbert a espacios funcionales ms generales. Es un campo nuevo de las matemticas, hoy en pleno auge. Desde comienzos de siglo nos acostumbramos a la idea de que la mecnica clsi-ca deba generalizarse cuando se trataba de objetos microscpicos como los to-mos y las partculas elementales, o cuando haba que pasar a las escalas astrof-sicas. El hecho de que la inestabilidad imponga asimismo una ampliacin de la mecnica clsica resulta del todo inesperado. Tanto mas inesperado cuanto que esa ampliacin atae igualmente a la mecnica cuntica. En este caso las inesta-bilidades asociadas a las resonancias tambin desempean un papel primordial. Rematan en una transformacin de la formulacin misma de la teora cuntica, y contribuyen a dilucidar la paradoja fundamental de la mecnica cuntica.


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IV

Cuando nos volvemos hacia la mecnica cuntica, enfrentamos, en efecto, una situacin extraa. Como es sabido, la mecnica cuntica ha obtenido xitos nota-bles. Y sin embargo, setenta aos despus de la formulacin de sus principios fundamentales, los debates siguen siendo acalorados25 y sus ms grandes espe-cialistas comparten un sentimiento de malestar. Richard Feynman confes un da que nadie "entiende" la teora cuntica! Es un caso nico en la historia de las ciencias. Algunos elementos permitirn entenderlo mejor. La magnitud central es la funcin de onda , que desempea un papel si-milar al de la trayectoria en mecnica clsica. La ecuacin fundamental, la ecua-cin de Schrdinger, describe la evolucin de la funcin de onda en el curso del tiempo. Transforma la funcin de onda (t0), dada en el instante inicial t0, en funcin de onda (t) en el tiempo t, exactamente como, en mecnica clsica, las ecuaciones del movimiento llevan de la descripcin del estado inicial de una tra-yectoria a cualquiera de sus estados en otros instantes. La ecuacin de Schrdinger, como la de Newton, es determinista y de tiempo re-versible. Un mismo abismo separa entonces la descripcin cuntica y la descrip-cin dinmica clsica de la descripcin evolucionista asociada a la entropa. Sin embargo, al contrario de lo que sucede en mecnica clsica, donde es posible ob-servar trayectorias, la funcin de onda no es observable. Siguiendo su interpreta-cin fsica, la funcin de onda es una amplitud de probabilidad. Ello significa que el cuadrado ||2 = * ( tiene una parte imaginaria y una parte real, y * es el complejo conjugado de ) corresponde a una probabilidad. La marcaremos . Existen definiciones ms generales de la probabilidad cuntica en trminos de conjuntos obtenidos por superposicin de diferentes funciones de onda. A estos conjuntos se los denomina "mezclas", por oposicin a los "casos puros", caracterizados por una funcin de onda nica. La hiptesis fundamental de la teora cuntica es que todo problema dinmico debe poder resolverse en trminos de amplitudes de probabilidad, as como en mecnica clsica todo problema debera resolverse en trminos de trayectorias individuales. En el caso cuntico, empero, la atribucin de propiedades a la mate-ria implica una operacin suplementaria: hay que pasar de las amplitudes a las probabilidades propiamente dichas. Con el fin de entender este problema, consi-deremos un ejemplo simple, una situacin donde la energa puede adoptar dos valores: El y E2. Una vez medida la energa del sistema, atribuimos a ste la fun-cin de onda u1 o u2 conforme al valor observado de la energa. Pero antes de efectuar la medicin, la funcin de onda del sistema corresponde a una superpo-sicin lineal = c1 u1 + c2 u2.


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La funcin est por lo tanto bien definida, y estamos ante un caso puro. En esta situacin el sistema no est en el nivel 1 ni en el nivel 2, sino que participa en ambos. Segn la mecnica cuntica, una medicin efectuada sobre un conjunto de sistemas caracterizados por esta funcin de onda acabar por medir El o E2, con probabilidades dadas respectivamente por el cuadrado de las amplitudes |c1|2 y |c2|2. Esto significa que, habiendo partido de un caso puro, es decir de un con-junto de sistemas representados todos por la misma funcin de onda , desem-bocamos en una mezcla, en un conjunto de sistemas representados por dos fun-ciones de onda distintas, u1 y u2. Este paso del caso puro a la mezcla se denomina "reduccin" de la funcin de on-da. Parece entonces que la mecnica cuntica nos impone el paso de las potenciali-dades, descritas por la funcin de onda , a las actualidades que medimos. Pero, a qu corresponde dicho paso? Es ajeno a la evolucin descrita por la ecuacin de Schrdinger, que, como dijimos, describe la transformacin de una funcin de onda en otra y no la de un caso puro en una mezcla. Se sugiri a menudo que esta ltima transformacin resulta de nuestras mediciones. Es el punto de vista que Weinberg expresa en el extracto citado en la primera seccin de este captu-lo. Con el fin de destacar la analoga entre esta interpretacin y la que atribuye la responsabilidad de la flecha del tiempo a la imperfeccin humana, hablamos de "Paradoja cuntica": de qu manera una accin humana como la observacin puede ser responsable de la transicin de potencialidades a actualidades? La evolucin del Universo sera diferente si estuvieran ausentes los hombres o los fsicos? En su Introduccin a The new physics, Paul Davies escribe: En ltimo trmino la mecnica cuntica propone un procedimiento totalmente satisfactorio para prede-cir los resultados de la observacin de microsistemas, pero, al preguntar lo que de verdad sucede cuando tiene lugar una observacin, Desembocamos en sin-sentidos! Los intentos para salir de esta paradoja van desde ideas raras, como los Universos mltiples de Hugh Everett, a ideas msticas, como el papel de la con-ciencia del observador, invocado por John von Neumann y Eugene Wigner. Tras medio siglo de discusiones, el debate sobre la observacin cuntica mantiene su vivacidad. Los problemas de la fsica de lo muy pequeo y de lo muy grande son formidables, pero es posible que esa frontera la interfase del intelecto y la ma-teria sea el legado ms provocativo de la Nueva Fsica.26 La cuestin de la interfase entre espritu y materia ya estaba presente en la fsica clsica: en la paradoja del tiempo. Si la flecha del tiempo debe atribuirse al punto de vista humano respecto de un mundo regido por leyes temporales simtricas, la adquisicin misma del conocimiento se torna paradjica, ya que cualquier medi-cin supone un proceso irreversible. Si algo podemos aprender acerca de un obje-


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to temporalmente reversible es slo gracias a los procesos irreversibles que impli-ca toda medicin, ya sea en el nivel del aparataje (por ejemplo, una reaccin fo-toqumica) o en el nivel de nuestros mecanismos sensoriales. Anlogamente, en mecnica clsica, cuando preguntamos cmo incluir la observacin del mundo en la descripcin, desembocamos en un sinsentido, como dice Davies. La nica dife-rencia es que esta intrusin de la irreversibilidad fue percibida como un problema menor por la fsica clsica, y el xito de esta fsica no autorizaba dudas en cuanto a su carcter objetivo. La situacin es asaz diferente en mecnica cuntica, pues-to que la inclusin de la medicin en la descripcin fundamental de la Naturaleza es exigida por la estructura misma de la teora, por su irreductible dualidad: por un lado, la ecuacin de Schrdinger; por otro, la reduccin de la funcin de onda. En 1947, en una carta a Markus Fierz, el gran fsico Wolfgang Pauli destacaba las extraas consecuencias de esa estructura dualista: Algo se produce verdadera-mente slo cuando se efecta una observacin y en conjuncin con ella... aumen-ta la entropa. Entre las observaciones no se produce nada en absoluto.27 Sin embargo, el papel en que escribimos se aja y amarillea, observmoslo o no. Cmo resolver esta paradoja? Adems de las posiciones extremas que Davies menciona hay que citar la interpretacin llamada de Copenhague, propuesta por Niels Bohr. Sumariamente, Niels Bohr considera que la interrogante sobre qu tipos de procesos dinmicos son responsables de la reduccin de la funcin de onda no se debe plantear. La funcin de onda carecera de sentido sin un aparato de medicin. Segn l, debemos tratar de manera clsica este aparato de medi-cin que nos sirve de intermediario con el mundo cuntico. Imaginemos un sa-cerdote o un chamn en comunicacin con otro mundo: en la medida en que po-demos entenderlos, los mensajes que nos transmiten tienen un sentido para no-sotros, pero seramos incapaces de remontarnos hasta las fuentes que los engen-draron en ese otro mundo. De igual modo, Bohr sugera soslayar el conferir un valor explicativo a la funcin de onda, evitar pensar que rinde cuenta del mundo cuntico: no representa al otro mundo, sino nuestras posibilidades de comunicar-nos con l. La interpretacin de Bohr es fascinante, pero su definicin del instrumento como intermediario "clsico" no es satisfactoria. Qu prescripciones definen la posibili-dad de que un sistema fsico o fsico-qumico pueda ser utilizado como instrumen-to de medicin? Basta que nosotros decidamos tratarlo de la manera clsica? Acaso la mecnica cuntica no es universal? Dnde se detienen las reglas cun-ticas? El colaborador ms cercano de Niels Bohr, Len Rosenfeld, era consciente de esa debilidad de la interpretacin de Copenhague. Consideraba dicha interpre-tacin como una primera etapa, y pensaba que la siguiente consistira en una in-terpretacin dinmica realista del papel del instrumento de medicin. Hacia el fi-


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nal de su vida tal conviccin lo llev a colaborar con nuestro grupo. Las publica-ciones resultantes anuncian ya el enfoque descrito en este libro.28 Otros fsicos propusieron identificar el instrumento de medicin con un dispositivo macroscpico. Segn ellos, el concepto de dispositivo macroscpico se asocia al de aproximacin. Por razones prcticas seramos incapaces de localizar las pro-piedades cunticas del aparato. Pero la posibilidad misma de la medicin depende entonces de nuestras aproximaciones. Si furamos capaces de eliminar las aproximaciones, el aparato ya no servira como instrumento de medicin. Se ha sugerido tambin que el aparato sea definido como un sistema cuntico abierto, en interaccin con el mundo.29 Perturbaciones contingentes y fluctuaciones provenientes del entorno destruiran las propiedades cunticas del sistema y seran por ende responsables de la medi-cin. Pero, qu significa la nocin de "entorno"? Quin opera la distincin entre un objeto y su entorno? En ltimo trmino, dicha distincin es slo una versin disfrazada de la posicin de John von Neumann, segn la cual somos nosotros, por nuestra accin, quienes procedemos a la reduccin de la funcin de onda. En su excelente libro Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics,30 J. Bell expres con energa la necesidad de eliminar el elemento subjetivo as asociado con la mecnica cuntica. Esta necesidad se deja sentir con tanto mayor intensi-dad cuanto que hoy la mecnica cuntica es una herramienta indispensable para explorar el Universo en sus primeras etapas de existencia, vecinas del Big Bang. Quin mide entonces el Universo? Nos lo recuerda Murray Gell-Mann en su lti-mo libro, The quark and the jaguar. Sin embargo, la solucin que propone la introduccin de una descripcin de tra-zos gruesos (coarse grained) de las historias cunticas del Universo vuelve nuevamente a postular una aproximacin como solucin de un problema fundamental. La descripcin a trazos gruesos suprime los trminos de interferencia que dan testimonio de la diferencia entre casos puros representados por una sola fun-cin de onda superpuesta a las amplitudes de probabilidad (en el ejemplo citado ms arriba = c1 u1 + c2 u2 ) y mezcla. Si desdeamos dichos trminos de interferencia, se resuelve el problema: se tor-na innecesario pasar de la potencialidad a la actualidad. Toda medicin se limita a localizar los distintos ingredientes de la mezcla. Pero, por qu razn podran desdearse los trminos de interferencia? Cmo justificar la eleccin de limitar-se, especialmente en cosmologa, a una descripcin grosera? En numerosas aplicaciones importantes de la mecnica cuntica los trminos de interferencia el hecho de que la funcin de onda al cuadrado no sea la suma de probabilidades de los diferentes resultados posibles de medicin desempean un papel central. Segn qu criterio podramos decidir si se requiere una des-


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cripcin cuntica exacta o si basta una descripcin que suprima los trminos de interferencia? Es posible resolver verdaderamente la cuestin de la articulacin entre mecnica cuntica y cosmologa, y la del papel del observador, recurriendo a aproximaciones? Por lo dems, cmo entender dicha actitud en un autor que afirma, como vimos, que la mecnica cuntica es el marco en el cual debe entrar toda teora fsica contempornea? Los diferentes intentos de solucin al problema de la medicin son entonces poco satisfactorios. Y ms an porque no ofrecen perspectiva nueva alguna, ninguna posibilidad de prediccin que pudiere ponerse a prueba. Nuestra conclusin se acerca a la de numerosos especialistas de la teora cuntica, como A. Shimony31 y B. Espagnat.32 Segn ellos, slo una innovacin radical, que, no obstante, debera conservar to-dos los resultados de la mecnica cuntica, podra eliminar las dificultades aso-ciadas a la estructura dualista de la teora. Sealemos finalmente que el problema de la medicin no es un problema aislado. Como destacaba Len Rosenfeld, la nocin de medicin est intrnsecamente asociada a la irreversibilidad. Y ocurre que en mecnica cuntica no hay lugar para procesos irreversibles, estn o no asociados a mediciones. Desde este punto de vista la situacin es totalmente si-milar a la que presentamos para la mecnica clsica (seccin III) y, como vere-mos, tambin la solucin que propondremos ser semejante. Otra vez la inestabi-lidad acapara el papel central. Sin embargo, el caos determinista es decir, las trayectorias divergentes de ma-nera exponencial no se puede trasponer a la mecnica cuntica, donde no hay trayectorias sino funciones de onda. En cambio, la inestabilidad asociada a las resonancias de Poincar conserva un sentido preciso, tanto en mecnica cuntica como en mecnica clsica. Nuestro enfoque nos conduce a incorporar las resonancias de Poincar en la des-cripcin estadstica. Obtenemos entonces trminos difusivos ajenos a la mecnica cuntica formulada en trminos de funciones de onda. Al igual que en mecnica clsica, el objeto central de la mecnica cuntica pasa a ser la probabilidad (de-nominada tambin "matriz densidad" en mecnica cuntica) y ya no la funcin de onda . As, gracias a las resonancias de Poincar, realizamos la transicin de las amplitudes de probabilidad a las probabilidades propiamente dichas, y sin recurrir a hiptesis no dinmicas incontrolables. Al igual que en dinmica clsica, la pregunta fundamental es entonces: Cundo son observables estos trminos difusivos? Cules son los lmites de la teora cuntica tradicional? La respuesta es semejante a la que presentamos en el caso clsico (seccin III), y anlogamente a la espera de las experiencias de labora-torio, nuestras predicciones fueron verificadas mediante simulaciones numri-cas. Abreviando, los trminos difusivos se tornan dominantes en las interacciones


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persistentes. En otras palabras, podemos definir de manera rigurosa lo que una hiptesis como la de Gell-Mann dejaba en la sombra: podemos explicitar los crite-rios que diferencian las situaciones donde la funcin de onda (y los trminos de interferencia que ella implica) debe ser conservada, de aquellas situaciones donde la descripcin es irreductiblemente probabilista y ya no puede remitirse a una descripcin en trminos de funcin de onda. Correlativamente, la dinmica cun-tica as extendida conduce entonces a la destruccin de las interferencias. La cuestin de la medicin encuentra por lo tanto su solucin, y la mecnica cuntica es interpretada de manera realis

el fin de las insertidumbres

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