el cÁlculo de π (autoguardado)

8/19/2019 EL CÁLCULO de π (Autoguardado)

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EL CÁLCULO DEπ .

La media de la circunferencia, no puede lograrse comparándola con unsegmento rectilíneo tomando como unidad, pues por pequeño que este sea, nopuede coincidir con ninguna parte de la curva, y por tanto, es imposible hallar larazón entre la longitud de la circunferencia y del segmento rectilíneo, pero esacurva puede considerarse como el límite del perímetro de un polígono regular inscrito en ella cuyo número de lados aumenta indefinidamente.

omo la circunferencia puede considerarse como el límite a que tiende elperímetro de un polígono regular de un número muy grande de lados,calculando el semiperímetro de un polígono regular, se obtiene un valor

apro!imado del número π .

"os valemos de teoremas y problemas para llegar a esa apro!imación

utilizando geometría #uclidiana. #l número π se representa con la letra

griega $i % π &' por comodidad la utilizaron los matemáticos de la (poca para

no escribir ).*+*- para (ste número irracional.

eorema/ toda cuerda de una circunferencia es media proporcional entre el

diámetro que pasa por uno de sus e!tremos y su proyección sobre el diámetro.

0ip/ 12 uerda 32 4iámetro

esis/ BC : BA∷BA : BD

racemos la cuerda 1 y la %perpendicular& 14. Los triángulos 21 5 241son seme6antes pues son rectángulos y comparten un ángulo agudo luego/

#sta igualdad puede e!presarse como/

BC : BA∷BA : BD , es decir (BA)2=BC∙ BD .



7esolvemos ahora el siguiente problema/ 4ados el lado l el radio r de un

polígono regular inscrito, calcular el lado l ‘ del polígono regular inscrito, de

doble número de lados.

AB=l , y, OA=r , el lado y el radio

dados.

racemos el diámetro CD a AB

que resulta dividido por CD en dos

partes iguales y AC =l ‘ que es el lado

pedido. #ntonces apliquemos el teorema*/

#l cuadrado de una cuerda es igual aldiámetro por proyección de la cuerda sobre (l.

Luego/ (ac )2=CD∙CE

8sea

‘l¿¿¿

‘

l¿¿¿

omo el trianguloOEA

es rectángulo entonces/

OA2=OE

2+ EA2

ó r2=OE

2+( l

2 )2

Luego/ (OE)2=¿ r2−

l2

4= 4 r

2−l2

4.

r

r



1sí que OE=¿ √ 4 r

2−l2

2 sustituyendo (ste valor en (2) se tiene

l ‘=√ 2 r2−r ∙√ 4 r

2−l2

omando r=l=1 la formula da/

l ‘=√ 2−√ 4−l2

9bserve que en este caso el polígono correspondiente al he!ágono regular losvalores sucesivos del lado para los polígonos regulares de *:, :+, +;,<=, etc.

Lados son/

l12=√ 2−√ 4−l

2=0.5176380902 %uando l=1 &

#n (stas condiciones, π puede apro!imarse por la mitad del perímetro del

polígono correspondiente.

>emiperímetro/1

2 P

12=0.517638 ∙6=3.105828541

Luego/

l24√ 2−√ 4−(0.517638 )

2=0.2610523844 %undo l=l17 &

>emiperímetro/

1

2 P

24=0.261052 ∙12

=3.132628613

l48√ 2−√ 4−(0.261052)

2=0.130806 %undo l=l24 &

>emiperímetro/



1

2 P

48=0.130806 ∙24=3.139345

l96√ 2−√ 4−(0.130806)

2=0.65438 %undo l=l48 &

>emiperímetro/

1

2 P

96=0.65438 ∙48=3.141032

L.?.$

9 otra forma para calcular el número π , es haciendo la construcción

siguiente/

OC =1 razamos el diámetro ∢COD=30 el triangulo OCD resulta la

mitad de un triangulo equilátero cuya altura OC =1 y cuyo lado OD es el

doble de CD .

4esde el punto D , ll(vese a lo largo de la recta MN , ) veces la longitud

del radio. 1sí se obtiene el punto B , que unido con A , da un segmento

AB , de longitud apro!imadamente igual a la semicircunferencia es decir a

π .

#n efecto, del triangulo rectángulo OCD se obtiene/ OD2=CD

2+OC 2

9

sea OD2−CD

2=OC 2=1

11

1



>ustituyendo OD por su igual : CD , resulta/

4CD

2

−CD

2

=3CD

2

=1

4e donde

CD=√1

3=

√ 3

3=0.577350

Considerando el triángulo rectángulo ACB se tiene.

BD−CD ¿2

¿ AC

2+¿ AB=√ AC 2+BC 2=√ ¿

3−0.5774 ¿2

¿22+¿

AB=√ ¿

AB=√ 9.8690=3.141533

L.?.$

Bibliografía:

• Curso de Geometría. Felipe de Jesús Landaverde

• Curso de Geometría. or una reuni!n de profesores

• Geometría "lemental. "d#in $. %ermeling



resentado por el profesor: "rnesto Cárdenas Gir!n&a.

'eiva( 1) de ma*o de +)1,

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el cÁlculo de π (autoguardado)

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