el aprendizaje de la mediciÓn

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Este documento fue preparado por el consultor de la UMC:David Palomino Alva

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5DOCUMENTO DE TRABAJO Nº 7

contenido

PÁGINA

INTRODUCCIÓN 7

EL PROBLEMA DE LA MEDIDA 9

1. La medición en la cultura de la humanidad 112. Importancia de la medición en la vida cotidiana 143. La medición en la educación básica 15

3.1. La medición en la Estructura Curricular Básica de EducaciónPrimaria de menores 15

3.2. Capacidades relacionadas con la medición de longitudes propuestasen la Estructura Curricular Básica 15

4. Didáctica y evaluación de la medición 174.1. Didáctica de la medición 174.2. El material concreto como mediador de aprendizajes 204.3. La evaluación de la medición 21

UNA EXPERIENCIA CON ALUMNOS PERUANOS DE CUARTO YSEXTO GRADOS PRIMARIA 23

5. La evaluación de las capacidades referidas a la medición en laEvaluación Nacional 2001 255.1. Las capacidades evaluadas 255.2. El instrumento de evaluación 255.3. Características del grupo evaluado 275.4. El material concreto utilizado 28

6. Análisis de resultados según los tipos de actividades matemáticas 316.1. Medición directa de longitudes 316.2. La estimación de longitudes 356.3. Resolución de problemas sobre medición de longitudes 426.4. Cálculo del perímetro, área y volumen 48

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7. Resultados de los alumnos en la prueba escrita de matemática 608. Reflexiones finales 629. Conclusiones 64

BIBLIOGRAFÍA 67

ANEXOS

Anexo 1 Resumen de las tareas de la prueba de material concreto de cuartogrado de primaria 69

Anexo 2 Resumen de las tareas de la prueba de material concreto de sextogrado de primaria 71

Anexo 3 Módulo de materiales distribuidos por el Ministerio de Educacióna los centros educativos de educación primaria 75


INTRODUCCIÓN

1. Cueto, S. y Rodríguez, J. (2001): �¿Cuánto aprenden nuestros estudiantes? Presentación de la Evaluación Nacional 2001�.En: Ministerio de Educación del Perú Unidad de Medición de la Calidad Educativa. CRECER, N° 2, julio de 2001, Lima,pp. 20-23.

Como parte complementaria de la Evaluación Nacional 2001 (EN 2001) del área LógicoMatemática, la Unidad de Medición de la Calidad Educativa (UMC) aplicó, en ese año,pruebas de solución de problemas con material concreto. En la presentación de la EN

2001, se señalaba que la evaluación nacional dirigida a los grados cuarto y sexto de primariaincluiría este tipo de pruebas1 . Estas pruebas y sus resultados son interesantes en tanto repre-sentan el primer intento en el país de realizar un tipo de evaluación que dé cuenta del desem-peño de los alumnos en la resolución de problemas matemáticos usando material concreto. Eneste sentido, el presente trabajo pretende difundir los resultados de estas pruebas aplicadas enel marco de la EN 2001.

Este trabajo ha sido dividido en dos partes. En la primera, se presenta un marco históricocultural de la medición, así como aspectos relevantes acerca de su didáctica en la educaciónbásica. En la segunda parte, se analizan las características generales de la prueba y las res-puestas de los alumnos de cuarto y sexto grados de primaria a las tareas propuestas.

Los resultados se han distribuido de acuerdo con el tipo de actividad matemática implicada.Siguiendo este patrón, se presentan cuatro grupos de tareas: el primero agrupa las tareas refe-ridas a la medición de longitudes; el segundo está referido a la estimación; el tercero se ocupade la resolución de problemas abiertos con medición de longitudes; y el último analiza lasrespuestas sobre el cálculo del perímetro y área de figuras elementales, así como el cálculodel volumen de sólidos simples.

Se espera que este trabajo sea de utilidad tanto para evaluaciones futuras como para todas laspersonas interesadas en mejorar la didáctica de la medición en la educación básica.


EL PROBLEMADE LA MEDIDA


En 1988, el investigador Alan J. Bishop publi-có Mathematical Enculturation, trabajo en elque plantea una tesis que, desde ese enton-ces, ha merecido la atención y la reflexiónde otros educadores matemáticos. Bishopsostiene que existen determinadas activida-des matemáticas compartidas por todo gru-po cultural, las cuales surgen, precisamente,de las necesidades del entorno inmediato. Lasactividades interculturales que identificó fue-ron seis: contar, situar, medir, diseñar, jugary explicar2 . Como se observa en esta lista,realizar mediciones forma parte de las acti-vidades cotidianas de cualquier grupo cultu-ral humano. En nuestra cultura, en particu-lar, la medición ha interesado a científicos einvestigadores en todas las épocas de la his-toria de la ciencia y la tecnología, y es unaactividad que se encuentra presente en lavida cotidiana de cualquier ciudadano dehoy.El cuerpo humano ha sido, por lo general, unode los primeros referentes para la medición.Sin embargo, aunque este hecho se hayaobservado en la cultura occidental, no apa-rece, necesariamente, en todas las culturas.Lo que sí parece ser general en todas es lanecesidad de ser capaz de establecer, pormedio del lenguaje, comparaciones apoya-das en expresiones del tipo �más que� y �me-nos que� antes de desarrollar la idea de me-dida. En los estudios sobre la evolución delos sistemas de unidades, se aprecia, clara-mente, el paso de los sistemas vinculados conlas necesidades ambientales y sociales ha-cia otros más precisos.

Como ya se ha anotado, el desarrollo de lamedición en la cultura occidental se iniciócon referentes en el cuerpo humano. Fueronlas medidas de longitud las primeras en serdesarrolladas. Así, inicialmente, se utilizabanlos pies y los dedos de las manos. Aunquepodía resultar útil, este tipo de medidas infor-males no aseguraba la comparabilidad de susresultados, pues existe variación de longitu-des entre dichos referentes corporales, loscuales dependen de las personas que reali-cen la medición.Entre las medidas de longitud más antiguas,se puede señalar el codo. Por ejemplo, en laBiblia, se lee que el Arca de Noé tenía 300codos de longitud, 50 codos de ancho y 30codos de altura. El codo de los tiempos deNoé era la longitud del brazo de un hombredesde la punta del codo hasta el extremo deldedo medio. Obviamente, la longitud delcodo varía con la persona. Por ejemplo, elcodo de Noé se considera, por lo general, deunos 45,72 cm, mientras el codo real egipciotenía 52,42 cm y el codo olímpico de Gre-cia, 46,32 cm.

1. LA MEDICIÓN EN LA CULTURA DE LAHUMANIDAD

Fig. 1. Una de las definiciones del codo

2 Esta actividad, explicar, está relacionada con la bús-queda de argumentos objetivos para demostrar una ase-veración y se encuentra en el origen del razonamientodeductivo.

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Otras medidas antiguas de longitud eran eldígito, que era la anchura de un dedo; lamano o palma, que era la anchura de la manohumana; y el palmo, que era la distancia delextremo del pulgar a la punta del dedo meñi-que con la mano extendida. El pie fue adop-tado como unidad de medida mucho más tar-de, hacia el año 280 a.C.Análogamente al sistema de unidades actual,las medidas en la Antigüedad también se re-lacionaban entre ellas: el palmo era 1/2 deun codo, la palma era 1/6 de un codo, etc.Para medir distancias más extensas, se utili-zaban otras medidas, como el paso, la braza

o la yarda, que estaban referidas a longitu-des corporales más grandes.Aún hoy en día, en algunos pueblos del Perú,se siguen utilizando medidas corporales. Porejemplo, los habitantes del pueblo de Chaya-chuita, en Iquitos, para construir sus casas, uti-lizan medidas corporales, como el paso con elque miden la tierra que va a ser el patio de lacasa; la braza (A�na tampa), con la que midenlos horcones, las soleras, las vigas, las cum-breras; la cuarta (A�na imira), que es emplea-da para medir la distancia de techada de lashojas; y el geme, dimensión utilizada paramedir las patillas de los horcones.

Fig. 2. Algunas medidas corporales de la Antigüedad

Fig. 3. Construcción de una casa

cumbrera

horcón

solera


La búsqueda de mayor precisión y seguridaden la comparabilidad entre las medicionesprodujo que las culturas se interesasen cadavez más en el desarrollo de mejores siste-mas de medición. En el caso de la culturaoccidental, este camino tuvo un hito consi-derable en marzo de 1791, fecha en la quese presentó a la Asamblea Nacional France-sa3 un reporte que proponía la adopción deun sistema decimal de pesas y medidas. Estesistema definió como unidad de longitud ladiezmillonésima parte de la distancia entreel Ecuador y el Polo Norte a lo largo delMeridiano de París; a esta unidad se le deno-minó �metro�. Entre los años 1792 y 1799,científicos franceses, considerando que laTierra era una esfera perfecta, estimaron ladistancia total y la dividieron entre diez mi-llones; de este modo, obtuvieron una aproxi-mación al metro. Más tarde, después de des-cubrirse que la forma de la Tierra no es per-fectamente esférica, el metro se volvió a de-finir como la distancia entre dos líneas finastrazadas en una barra de aleación de platinoe iridio. En 1960, la Conferencia Internacio-nal de Medidas redefinió el metro como1 650 763,73 longitudes de onda de la luzanaranjada-rojiza emitida por el isótopo crip-tón 86. Sin embargo, las medidas de la cien-cia moderna requerían una precisión aun

mayor. Así, en 1983, el metro se definió como�la longitud del espacio recorrido por la luzen el vacío durante un intervalo de tiempode 1/299 792 458 de segundo�, definición ac-tualmente aceptada.La medición del área de superficies, por otrolado, fue entendida en la Antigüedad comouna comparación basada en regiones geomé-tricas conocidas, las que servían como uni-dades de medida y de las cuales la que másse utilizó fue la región cuadrangular. En elantiguo Egipto, se desarrollaron interesantesmétodos para realizar la medición de áreas,pues las crecidas del río Nilo, algunas ve-ces, borraban las demarcaciones de los te-rrenos y, como estos eran utilizados para elcálculo de los impuestos, los agrimensoresdebían delimitar nuevamente estos terrenosmediante el uso de algún método socialmen-te aceptado.La mayor parte de los antiguos métodos utili-zados para el cálculo del área y del volu-men se agrupa en dos grandes categorías:métodos de exhaución, aquellos en los quese rellena el interior de la superficie irregu-lar con figuras de área conocida; y los méto-dos de acotación, en los cuales la figura irre-gular es delimitada por otra figura de áreasconocidas mayores o menores.

3. Este informe fue presentado el año 1791 �durante laRevolución Francesa� por la Academia de Ciencias deFrancia, por encargo de la Asamblea Nacional Fran-cesa. Véase: Ross, F. (1974)

Fig. 4. Métodos de exhaución y acotación

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2. IMPORTANCIA DE LA MEDICIÓN EN LAVIDA COTIDIANA

La medición es una actividad importante quedebe ser desarrollada desde los primeros gra-dos de educación primaria. El niño, al enfren-tarse al mundo que lo rodea, desarrolla supercepción de la distancia a partir de la ideade cercanía: cerca, si lo puede agarrar; le-jos, si no está al alcance de su mano. Poco apoco, llega, por abstracción, a tener unamejor idea de la noción de distancia, lo cualle permite realizar comparaciones. Por estarazón, estas experiencias cotidianas debenser incorporadas en la educación formal,pues conforman ideas y saberes previos queayudarán al adecuado tránsito del procesode comparación al de medición.A lo largo de su vida, el niño necesitará lasmedidas socialmente aceptadas y, principal-mente, la habilidad de estimar, habilidad quemuchos adultos de hoy, educados en la for-ma tradicional, no tienen desarrollada. Esti-mar es anticipar o predecir el resultadoaproximado de una medición o de las opera-ciones que permiten conocer indirectamen-te una medida. Esta habilidad es muy nece-saria en la vida cotidiana. Por ejemplo, cuan-do un ama de casa va al mercado a comprary requiere saber si el dinero que lleva serásuficiente, no necesita calcular el valor exac-to de la compra; en su lugar, realiza una es-timación del precio total de lo comprado. Así

mismo, cuando un taxista asigna un precio auna carrera, está estimando el tiempo y elgasto en gasolina que realizará y, dependien-do de la distancia, la ruta y la hora, asignaráun costo a la carrera. Así como estas, se po-dría elaborar una lista de actividades huma-nas en las que el sentido numérico, la medi-ción y la estimación son los principales pro-cesos que permiten que estas se lleven a cabocon éxito.Las medidas están presentes en nuestro mun-do y su buen uso permite la eficiente interac-ción en la sociedad. En el mundo infantil, lasmediciones son sumamente importantes,pues los niños están insertos en una socie-dad que comparte un sistema de medidasdeterminado, al cual ellos deben adaptar supensamiento. Conocer la talla de ropa queusan, estimar el peso de la mochila, estimarel tiempo de sus recreos o de las pruebas enel aula, organizar sus actividades familiares,etc. son actividades presentes en la vida deun niño y constituyen un efectivo contextopara el ejercicio de los procesos de compa-ración, estimación y medición. En este senti-do, resulta de suma importancia desarrollarlas habilidades de medición y estimación demedidas desde los primeros grados de la edu-cación escolarizada.


3. LA MEDICIÓN EN LA EDUCACIÓN BÁSICA

rá vías para el desarrollo de las capacida-des de relación, representación y cuantifi-cación.La ECB de Lógico Matemática de primariaconsidera cinco aspectos o hilos conducto-res del currículo. Uno de ellos es la medi-ción, la cual se trabaja desde los primerosaños de la escolaridad. Este aspecto se dis-grega en varias capacidades, cuyo desarro-llo se facilita en la realización de activida-des con material concreto.

3.2. CAPACIDADES RELACIONADASCON LA MEDICIÓN DELONGITUDES PROPUESTAS EN LAECB.

En el año 2001, la Unidad de Medición de laCalidad Educativa del Ministerio de Educa-ción del Perú, como parte del operativo lla-mado Evaluación Nacional 2001, aplicó ungrupo de pruebas diseñadas por la UMC paraevaluar el nivel de desempeño en las capa-cidades relacionadas con la medición em-pleando material concreto. Las pruebas fue-ron administradas por un grupo de examina-dores debidamente entrenados a una mues-tra de alumnos de cuarto y sexto grados deprimaria.Las capacidades seleccionadas para ser eva-luadas mediante este proceso se tomaron delas estructuras curriculares vigentes publica-das en los siguientes documentos:

3.1. LA MEDICIÓN EN LAESTRUCTURA CURRICULARBÁSICA DE EDUCACIÓNPRIMARIA DE MENORES

La Estructura Curricular Básica (ECB) deEducación Primaria de menores publicadaen el año 2000 por el Ministerio de Educa-ción del Perú adoptó un diseño curricularpor competencias centrado en las necesi-dades del estudiante. En él, la matemáticase concibe como una actividad humana útilpara comprender el mundo, organizarlo yresolver situaciones problema susceptiblesde ser matematizadas. En la fundamenta-ción del área de Matemática, se mencio-na: �Aprender matemática es hacer mate-mática�. Esta idea implica que los estudian-tes, ante una situación problema, se apro-pien de ella y la enfrenten sin temor; bus-quen, diseñen, seleccionen o adapten es-trategias de solución; y desarrollen actitu-des de confianza y perseverancia en labúsqueda de soluciones a la situación queenfrentan.Otro aspecto importante es la considera-ción de la matemática como un medio decomunicación que permite a los estudian-tes formular y expresar múltiples activida-des humanas. De este modo, los alumnospueden acceder al mismo simbolismo ló-gico, espacial y cuantitativo aceptado ennuestra sociedad, lo cual les proporciona-

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� Estructura Curricular Básica de Educa-ción Primaria de Menores. ProgramaCurricular del Tercer Ciclo. Quinto y sex-to grados. Dirección Nacional de Edu-cación Inicial y Primaria, 1999.

� Estructura Curricular Básica de Educa-ción Primaria de Menores. ProgramaCurricular del Segundo Ciclo de Educa-ción Primaria de Menores. DirecciónNacional de Educación Inicial y Prima-ria, 2000.

Estas capacidades curriculares fueron refor-muladas posteriormente para que pudiesenser medidas a través de una evaluación es-tandarizada. En la segunda parte de este tra-bajo, se presentará la reformulación de estascapacidades curriculares.


4. DIDÁCTICA Y EVALUACIÓN DE LAMEDICIÓN

4.1. DIDÁCTICA DE LA MEDICIÓN

Cuando se fija la atención en dos o más ob-jetos para descubrir sus relaciones o estimarsus diferencias o semejanzas, se realiza unacomparación. Así, por ejemplo, se puedecomparar el color de los autos, la altura delas personas, el número de alumnos de va-rias clases, etc. A partir de esta comparación,es posible efectuar una clasificación de es-tos objetos de acuerdo con un criterio prees-tablecido. Por ejemplo, se pueden clasificarlos autos por los colores, las personas por sualtura, los salones por el número de alum-nos, etc. El paso siguiente consistirá en efec-tuar ordenaciones de objetos según una de-terminada propiedad, como ordenar del másalto al menos alto, del menos ancho al másancho, etc.Algunas cualidades de los objetos se puedencuantificar; otras no. A aquellas cualidadessusceptibles de ser cuantificadas se les de-nominará �magnitudes�. Para obtener un nú-mero que represente una magnitud de unobjeto, se escoge una unidad de compara-ción y se elabora un procedimiento que per-mita hallar el número de veces que la uni-dad se encuentra contenida en la magnitudde dicho objeto.Al principio, cuando el niño intenta realizaruna medición, es suficiente una aproxima-ción más o menos vaga, como lo era para elhombre de la Antigüedad la medición hecha

con unidades corporales. El desarrollo de lasmedidas estándares surgió por la necesidadde una mayor precisión. Sin embargo, aunahora, es importante reconocer que las me-diciones solo pueden resultar tan precisascomo lo sea la herramienta utilizada parahacerlas. No obstante, en muchas situacio-nes cotidianas, la precisión extrema resultainnecesaria. Por ejemplo, el vendedor de te-las que requiere cinco metros de tela parauna cliente, por lo general, corta una medi-da levemente mayor; al final, la cliente selleva cinco metros y un poco más. Por el con-trario, un ingeniero no puede conformarsecon mediciones de ese tipo, por lo que em-plea instrumentos que le permitan realizarmediciones con mucha mayor precisión.La selección y el empleo de unidades demedición constituyen procesos de abstrac-ción relativamente avanzados que solo sepueden alcanzar después de una gran expe-riencia con los diversos aspectos del aumen-to de una cualidad particular, seguida deexperimentos con medidas arbitrarias que,por lo general, parten de referentes cerca-nos del alumno, como su propio cuerpo, loselementos de sus juegos, la duración de susactividades cotidianas, entre otros. Además,el interés por realizar mediciones puede sur-gir en el alumno espontáneamente como con-secuencia de un hecho particular que hayapresenciado en su casa, en la escuela o ensus juegos.

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El trabajo de Jean Piaget y sus colaboradoresdestinado a comprender el desarrollo en elniño de los conceptos relacionados con lamedida ofrece una contribución valiosa. Pia-get identifica dos operaciones fundamenta-les de las que se desprende el concepto demedida: la conservación y la transitividad.La primera se relaciona con la invarianza deciertas cualidades de los objetos cuando seejercen transformaciones sobre ellos. Por suparte, la noción de transitividad señala que,si un elemento es igual a un segundo elemen-to y este es, a su vez, igual a un tercer ele-mento, entonces el primero será igual al ter-cero. Simbólicamente, esta noción se expre-sa de la siguiente manera:

Si A = B y B = C entonces A = C.

4. Véase: Ayala, C. y otros (1997), p.125.

La transitividad puede ser ilustrada con unejemplo sencillo. Si se quiere construir un astade bandera de igual altura al asta del cole-gio, se puede cortar una cuerda de igual lar-go que el asta; así, se podrá construir un astade bandera de igual altura que la del colegiosin necesidad de transportar el asta a la casa.La didáctica de los conceptos y procesos re-lacionados con la medición es una tarea difí-cil que un maestro debe enfrentar para lo-grar que sus alumnos asimilen óptimamenteestos conceptos y procesos. Se han organi-zado diversas secuencias didácticas para sudesarrollo en el aula. A continuación, se pre-senta la secuencia propuesta por Martínez(1991)4 , la cual consta de cuatro fases queserán luego descritas.

EXPLOTACIÓN Y EQUIVALENCIASDE LAS UNIDADES LEGALES

INTRODUCCIÓN DE LASUNIDADES LEGALES

INTRODUCCIÓN DE UNIDADESARBITRARIAS

CONCEPTUALIZACIÓN PREVIA

FASES DE LA DIDÁCTICA DE LA MEDIDA


a. Fase de conceptualización previaEn esta fase, se trabajan los conceptosbásicos en los que se asentarán losdiversos procedimientos de medición,como los cuantificadores comparativos(más o menos largo, más o menos ancho,más grande, menos tiempo, etc.). Paradesarrollar esta fase, se les puede pedira los alumnos que clasifiquen y ordenenobjetos en virtud del atributo o cualidadque se trabaje (longitud, duración de unsonido, tiempo que se tarda en llegar adiversos lugares, tamaño, etc.).

b. Fase de introducción de unidadesarbitrariasEn esta fase, se plantean situaciones pro-blema que requieren el proceso de la me-dición para ser resueltas (¿cómo podemossaber si el armario pasa por la puerta delsalón?, ¿cuántos vasos de leche puede lle-nar una botella?, ¿cuál ventana es más lar-ga?, ¿qué está más lejos del salón: el bañoo el quiosco?). Para responder estas pre-guntas, se introducen medidas arbitrarias,se realizan mediciones usando estas me-didas y, luego, se comparan los resultadosobtenidos.

c. Fase de introducción de las unidadeslegales o estándaresEn esta fase, se introduce al alumno en lasconvenciones sociales de la medida, lascuales permiten comunicar los resultadosa los demás y establecer equivalencias yrelaciones más fiables. Para trabajar estafase, se les plantea a los alumnos situacio-nes problema como las siguientes: una lon-gitud ha sido medida por la longitud dellápiz de dos niños y salen distintas medi-das, ¿por qué?, ¿cómo podemos obteneruna misma medida?; se han utilizado to-

dos los clips para medir el largo de un ob-jeto, ¿cómo podemos medir el largo de unobjeto nuevo si no tenemos más clips?;¿cómo le explicas a tu mamá cuál es laaltura de un compañero de tu clase?, etc.Es conveniente introducir primero unaserie de unidades convencionales: me-tro (m), decímetro (dm) y centímetro (cm);litro (l), ½ l y ¼ l; kilogramo ( kg), ½ kg y¼ kg; segundo, minuto, hora, día y se-mana. Lógicamente, el alumno asimilaestas unidades de medición a partir deluso de material concreto idóneo, comoregletas de 1 dm o de 1 cm.

d. Fase de explotación y equivalencias delas unidades legalesEn esta fase, se trata de introducir a losalumnos mediante material concreto ymanipulable en la realización de equiva-lencias entre las distintas unidades conven-cionales presentadas en la fase anterior.Se pueden formular preguntas como ¿cuán-tas regletas de un dm caben en un espaciode 40 cm? o ¿cuántas pesas de ½ kg equi-librarán un peso de 2 kg? En esta fase, sepresentan actividades en las que los alum-nos miden varios objetos usando instrumen-tos de medición de diversa graduación.También usan material concreto para es-tablecer equivalencias entre unidades con-vencionales. Por ejemplo, se pueden for-mular preguntas como ¿cuántas regletasde 1 cm caben en una regleta de 1 dm?

La propuesta didáctica presentada es solouna de las diversas que han diseñado inves-tigadores en educación matemática; pero,sea esta secuencia didáctica u otra la adop-tada para desarrollar la capacidad de medir,debería incluir en cualquier nivel educativo:

� actividades de conservación;

� actividades de medición con unidades demedida arbitrarias;

� actividades de comparación;

� actividades de medición con unidadesestandarizadas simples;

� actividades de selección de unidadesadecuadas;

� actividades de estimación de medidas;

� actividades de medición con diversasunidades de medida de la misma cualidad;

� actividades de conversión de unidades; y

� actividades de medición directa deperímetros, áreas, volúmenes y de su cálculobasado en fórmulas.

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En la segunda parte del presente trabajo, sedescribirán algunas de estas actividades. Asímismo, se analizarán los resultados de losalumnos de cuarto y sexto grados evaluadosmediante algunas de estas tareas.

4.2. EL MATERIAL CONCRETO COMOMEDIADOR DE APRENDIZAJES

Medir es una actividad que debe ser apren-dida mediante métodos experimentales. Nobasta explicar el sistema de unidades demedida y, luego, realizar ejercicios sobreconversiones de unidades. Es necesario quelas clases destinadas a desarrollar esta ca-pacidad incluyan actividades de tipo experi-mental, en las cuales los alumnos, individual-mente o en grupo, puedan ejercitarse en elproceso de medición con instrumentos varia-dos, haciendo las conversiones necesarias,estimando medidas y, luego, comprobandola calidad de sus estimaciones.El objetivo principal es que los alumnos rea-licen experimentalmente mediciones y esti-maciones, desarrollen destrezas en el uso deinstrumentos de medición, y resuelvan pro-blemas que involucren diferentes magnitu-des, utilizando las unidades de medida con-vencionales más comunes.La construcción y el uso de instrumentos demedición �como el metro, las cintas gradua-das, el dinamómetro, la balanza, el termó-metro� son actividades que también favore-cen la comprensión del significado de me-dir.El desarrollo de las capacidades relaciona-das con la medición debe ser realizado apartir de actividades apropiadas y adaptadasal nivel de los alumnos; estas capacidadesse deberían presentar en contextos accesi-bles e interesantes para ellos. El énfasis deberecaer en que el alumno lleve a cabo lasactividades en diversos contextos y situacio-

nes. En este sentido, el entorno del aula debeproporcionar a los estudiantes los materialesnecesarios para desarrollar las actividades,pero, además, el docente puede y debe rea-lizar algunas actividades en el entorno co-munitario.Las actividades de laboratorio matemático enlas que es necesario el uso de material con-creto para resolver las situaciones plantea-das adquieren, en este caso, una singularimportancia. Así mismo, es importante queel proceso de aprendizaje considere el de-sarrollo histórico de la medición en la cultu-ra del hombre mediante el diseño de una se-cuencia de actividades que complementenla enseñanza de la medición.Con el fin de que los alumnos tengan la posi-bilidad de construir sus conocimientos mate-máticos a partir de actividades interesantespara ellos, el Ministerio de Educación del Perúha distribuido, en los centros educativos es-tatales, instrumentos de medición y módulosconstituidos por material concreto de com-probada utilidad didáctica, tales como regle-tas de colores, material base diez, multicu-bos, mosaicos, cronómetros, unidades de me-dida de capacidad, entre otros5 . Estos mate-riales pueden ser utilizados de diversas ma-neras y bajo múltiples orientaciones pedagó-gicas y permiten a los alumnos trabajar coo-perativamente, ya que el material actúa comoun medio físico para lograr la interdependen-cia positiva en el interior del grupo.El material concreto también puede ser utili-zado como soporte para la construcción deconceptos de tipo numérico y geométrico, ypara la solución de problemas referidos a lamedición de magnitudes, en particular, lon-gitud, superficie y volumen.Algunas razones que justifican el uso de ma-terial concreto en la clase de matemática enbeneficio del aprendizaje de los alumnospueden resumirse en el siguiente cuadro:

5. Véase anexo 3.


� Facilita la visualización de conceptos matemáticos.

� Proporciona una aproximación experimental a conceptos matemáticos.

� Permite construir conceptos a partir de una fase sensorial, lo que conlleva la posteriorgeneralización y, luego, la abstracción del concepto.

� Facilita el trabajo cooperativo en el aula, pues el material puede actuar como elementointegrador del grupo.

� Motiva y permite introducir elementos lúdicos en el desarrollo de una actividad.

� Proporciona diversas vías de aproximación a los conceptos y procedimientos al integrarmúltiples perspectivas.

� Proporciona medios para estimular diversas inteligencias.

4.3. LA EVALUACIÓN DE LAMEDICIÓN

Puesto que el medio más idóneo para desa-rrollar la capacidad de medir o estimar es elexperimental, es lógico pensar que la eva-luación de dichas capacidades conlleve eldiseño de tareas y pruebas que incluyan ac-tividades con material concreto. En estas ta-reas, el alumno debe demostrar que es ca-paz de utilizar eficientemente los instrumen-tos de medición, comprender la cualidad delobjeto que se le solicita medir, seleccionarla mejor unidad de medida, realizar la medi-ción y registrar sus resultados de manera es-crita.

Cabe señalar que una prueba de lápiz y pa-pel no brindaría información suficiente acer-ca del desarrollo de las capacidades relacio-nadas con la medición, pues el alumno debeponer en práctica sus conocimientos y ope-rar con objetos reales para responder a lasinterrogantes que se le planteen.En conclusión, si se desea diseñar un instru-mento para evaluar las capacidades de me-dición y estimación, se requiere un tipo es-pecial de prueba conocido, en la literaturaespecializada, como �pruebas de desempe-ño con material concreto�. La aplicación deeste tipo de pruebas, a alumnos de cuarto ysexto grados de primaria, será analizada enla segunda parte del presente trabajo.


UNA EXPERIENCIACON ALUMNOS

PERUANOSDE CUARTO Y SEXTO

GRADOS DE PRIMARIA


5. LA EVALUACIÓN DE LAS CAPACIDADESREFERIDAS A LA MEDICIÓN EN LA EN 2001

5.1. LAS CAPACIDADES EVALUADAS

Como se ha señalado anteriormente, en elaño 2001, como parte del operativo nacio-nal de evaluación, la Unidad de Mediciónde la Calidad Educativa del Ministerio de Edu-cación del Perú decidió evaluar, en los gra-dos cuarto y sexto de primaria, las capacida-des del currículo vigente relacionadas conla medición mediante pruebas de desempe-ño con material concreto.Para realizar esta evaluación, la UMC selec-cionó, adaptó y reformuló las capacidadesdel currículo relacionadas con la mediciónque eran susceptibles de ser evaluadas me-diante instrumentos estandarizados. Este pro-ceso, que incluyó consultas a docentes, in-vestigadores, autores y editores de textos, yorganismos no gubernamentales, culminó conuna propuesta de capacidades reformuladaspara los grados cuarto y sexto de primaria.

Cuarto grado

1. Estima y mide, en centímetros, la longitudde determinados elementos de un objetodado y de otros objetos que construye.

2. Compara, en centímetros, la longitud dedeterminados elementos de variosobjetos dados y de otros objetos queconstruye.

Sexto grado

1. Resuelve, en centímetros y metros,problemas de estimación y medición dela longitud de objetos y de otros queconstruye a partir de estos.

2. Calcula, en centímetros y metros, elperímetro y, en centímetros cuadrados ymetros cuadrados, el área de regionespoligonales de no más de doce lados.

3. Calcula el volumen de cuerpos que noson redondos utilizando unidadesarbitrarias y centímetros cúbicos demanera experimental, sin fórmulas.

4. Fundamenta su respuesta ante unapregunta y señala el procedimientoseguido.

5.2. EL INSTRUMENTO DEEVALUACIÓN

Las pruebas aplicadas consideraron, ademásde la medición de longitudes, áreas y volú-menes, la medición del tiempo6.Para cuarto grado, la prueba constó de die-cisiete preguntas. Cuatro de ellas estuvieronreferidas a la medición del tiempo; doce, ala medición de longitudes; y una, al cálculode perímetros.

6. En este trabajo, se comentan solo los resultados corres-pondientes a la medición de longitudes y cálculosgeométricos.

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Para sexto grado, la prueba constó de veinti-siete preguntas. Seis de ellas trataban sobrela medición del tiempo; siete, sobre la medi-ción de longitudes; y catorce, sobre cálculosgeométricos. Estas preguntas fueron presen-tadas a los alumnos en dos partes.En todas las pruebas, los preguntas han sidode respuesta abierta, tanto corta como ex-tendida. En el ítem de respuesta abierta cor-ta, el estudiante debía escribir solamente su

respuesta: no se requería la presentación delproceso seguido para llegar a ella. En el casode los ítemes de respuesta abierta extendi-da, el estudiante sí debía explicitar el proce-so de solución. Este último formato permiteidentificar, con mayor precisión y de mane-ra más detallada, las estrategias de solución,así como los errores cometidos por los estu-diantes.

Mide el perímetro de la siguiente figura.

Respuesta: _______________

Mide el largo de tu lápiz en centímetros.

Respuesta: El lápiz mide ____________.

a) Ítem abierto de respuesta corta. En este tipo de ítem, el estudiante debe registrarsolamente su respuesta.

b) Ítem abierto de respuesta extendida. En este tipo de ítem, el estudiante debe registrarlas estrategias que utilizó para llegar a la solución o justificar por escrito su respuesta.

�

�Escribe en esteespacio tusoperaciones


La administración de las pruebas estuvo acargo de examinadores previamente capa-citados para este fin. Esta aplicación se rea-lizó en un ambiente acondicionado especial-mente para que el alumno pudiese manipu-lar el módulo de material concreto con el queiba a resolver la prueba. La aplicación de laprueba se realizó de manera personalizada,y se registraron los diversos acontecimien-tos, las dudas y el comportamiento del alum-no examinado en un formato diseñado paratal efecto.El examinador seleccionó un espacio en elcolegio donde el alumno pudiese trabajar conla comodidad y el silencio adecuados. Alalumno se le presentó una tarea matemáticapara la que disponía del módulo de materialconcreto, que podía utilizar cuando lo nece-sitase. En lo que respecta a la duración delas sesiones, la de cuarto grado tuvo una du-ración promedio de 35 minutos, mientras quela de sexto duró, en promedio, 70 minutos.

5.3. CARACTERÍSTICAS DEL GRUPOEVALUADO

La muestra diseñada para la EN 2001 fuealeatoria, sin exclusión de ningún tipo decolegio. Es decir, se consideraron colegiosurbanos y rurales, con polidocencia y unido-cencia, con aulas multigrado o aulas de unsolo grado; además, incluyó grupos aimara yquechua de Educación Bilingüe Intercultural.Para los grados cuarto y sexto de primaria, lamuestra se diseñó para representar el rendi-

7. En los colegios rurales multigrados, se consideraron solo2 ó 3 alumnos para la muestra.

N° NºCENTROS ALUMNOS7

CUARTO 54 185

SEXTO 50 184

miento de los alumnos de colegios estatalesy no estatales a escala nacional.Para las pruebas de material concreto, se usócomo base la muestra de la EN 2001, pero elnúmero de colegios y, consecuentemente, dealumnos examinados fue menor. Para la apli-cación de este tipo de pruebas, el examina-dor �luego de evaluar por medio de las prue-bas de rendimiento� seleccionó, al azar, acuatro alumnos de cada aula evaluada (unaula por cada colegio), y les aplicó las prue-bas con material concreto.Los centros educativos seleccionados, todosellos de gestión estatal, fueron los mismospara ambos grados. Sin embargo, cuatro deellos no contaban con sexto grado, por lo que,mientras en cuarto grado se aplicó la pruebaa 54 colegios, en sexto grado fue aplicadasolo a 50. Los colegios estaban ubicados enlos departamentos de Ancash, Cusco, Lore-to, Piura, Puno, Lima y la provincia constitu-cional del Callao.

Al ser pequeño el número de centros educa-tivos elegidos por muestreo intencional, losresultados son representativos solo en el ám-bito de los alumnos evaluados.

GRADO

28

5.4. EL MATERIAL CONCRETO UTILIZADO

El material que se entregó a los estudiantes de cuarto grado de primaria para resolver la prue-ba consistió en los siguientes elementos:

� 1 regla de plástico milimetrada de 30 centímetros� 1 juego de regletas de material microporoso con las siguientes características:

� 1 caja de fósforos (5,2 cm x 3,1 cm x 1,3 cm)� 20 cuadraditos de material microporoso de 1 cm2 de área� 1 lápiz� 1 borrador� 1 tajador

El material que se entregó a los estudiantes de sexto grado de primaria para resolver la pruebaconsistió en los siguientes elementos:

� 1 regla de plástico milimetrada de 30 centímetros� 1 juego de regletas de material microporoso con las siguientes características:

FORMA COLOR LARGO ANCHO CANTIDAD

Cuadrangular blanco 2 cm 2 cm 24Rectangular rojo 4 cm 2 cm 12Rectangular verde claro 6 cm 2 cm 4Rectangular rosado 8 cm 2 cm 3Rectangular amarillo 10 cm 2 cm 3Rectangular verde oscuro 12 cm 2 cm 3Rectangular negro 14 cm 2 cm 3Rectangular marrón 16 cm 2 cm 3Rectangular azul 18 cm 2 cm 3Rectangular anaranjado 20 cm 2 cm 3Rectangular plomo 35 cm 2 cm 3

FORMA COLOR LARGO ANCHO CANTIDAD

Cuadrangular blanco 2 cm 2 cm 24Rectangular rojo 4 cm 2 cm 12Rectangular verde claro 6 cm 2 cm 4Rectangular rosado 8 cm 2 cm 3Rectangular amarillo 10 cm 2 cm 3Rectangular verde oscuro 12 cm 2 cm 3Rectangular negro 14 cm 2 cm 3Rectangular marrón 16 cm 2 cm 3Rectangular azul 18 cm 2 cm 3Rectangular anaranjado 20 cm 2 cm 3Rectangular plomo 35 cm 2 cm 3


� 1 reloj de agujas (con horario y minutero)� 3 cajas de fósforos (5,2 cm x 3,1 cm x 1,3 cm)� 20 cuadraditos de material microporoso de 1 cm2 de área� 1 geoplano de malla cuadrangular de 10 x 10 (espacio entre clavijas: 3 cm)� 1 caja con ligas de diversos tamaños� 20 cubitos de 1 cm3

� 1 lápiz� 1 borrador� 1 tajador

Fig. 5. Juego de regletas de material microporoso

30

Fig. 9. Cuadrados 1 cm de lado Fig. 10. Cubos de 1 cm de arista

Fig. 8. Caja de fósforos

Fig. 7. Geoplano de 10 x 10 (30 cm x 30 cm)

Fig. 6. Útiles entregados por la UMC


6. ANÁLISIS DE RESULTADOS SEGÚN LOSTIPOS DE ACTIVIDADES MATEMÁTICAS

6.1. MEDICIÓN DIRECTA DELONGITUDES

Una de las actividades más importantes enla construcción del procedimiento de medi-ción de longitudes es la medición directa uti-lizando instrumentos de medición estánda-res. Estas actividades se realizan, por lo ge-neral, luego de introducir unidades arbitra-rias de medida y de haber generado, en elgrupo de alumnos, la necesidad de utilizaruna medida universal.El uso de material concreto puede ayudar aldesarrollo de estas capacidades, pero lo fun-damental es enfrentar al alumno a las medi-ciones de diversos objetos de su entorno: pri-mero, objetos que midan una cantidad ente-ra de unidades de medida; luego, objetos quetengan una longitud mayor que la longituddel instrumento de medida; y, finalmente, lis-tones de diversas longitudes que permitan

generar problemas y realizar mediciones dela longitud de objetos compuestos.Es conveniente utilizar reglas de tamañosdistintos para que el alumno seleccione laregla más apropiada para resolver cada casopresentado. Luego de trabajar con este tipode actividades, se puede introducir la medi-ción de la longitud de objetos con unidadesfraccionarias de medida, por ejemplo, 3,5 cmó 10,8 cm.A continuación, se presentan algunos resul-tados de la aplicación de la prueba de mate-rial concreto en tareas similares a las descri-tas anteriormente. Estos resultados daráncuenta del grado de desarrollo de los alum-nos de cuarto y sexto grados de primaria eva-luados respecto de la capacidad de medir lalongitud de objetos cuando estos tienen unamedida entera de centímetros y de menorlongitud que el instrumento de medida em-pleado.

32

AAAAANÁLISISNÁLISISNÁLISISNÁLISISNÁLISIS DDDDDEEEEE TTTTTAREAAREAAREAAREAAREA PRPRPRPRPROOOOOPUESTPUESTPUESTPUESTPUESTAAAAA 1 1 1 1 1

Ficha técnica

� Actividad: Medición de la longitud de objetos aislados� Grupo evaluado: Alumnos de cuarto grado de primaria� Material utilizado:

� 1 regleta rectangular marrón de material microporosode 16 cm x 2 cm

� 1 regleta rectangular amarilla de material microporosode 10 cm x 2 cm

� 1 regleta rectangular negra de material microporosode 14 cm x 2 cm

� 1 regleta rectangular azul de material microporosode 18 cm x 2 cm

� 1 regla de plástico de 30 cm de largo graduadaen milímetros

Tarea propuesta 1

Con una regla mide el largo de las tiras marrón, amarilla,negra y azul.

La tira marrón mide: _________________________La tira amarilla mide: ________________________La tira negra mide: ________________________La tira azul mide: _________________________

Ahora escribe los colores de las dos tiras de menor longi-tud.______________________________________________________________________

Intención de la tarea

La resolución de esta tarea implica que elalumno utilice la regla disponible para reali-zar las mediciones de las longitudes solicita-das. Para ello, deberá leer, en la graduaciónde la regla, la medida y deberá indicar unarespuesta que haga referencia a la unidad demedición. Luego, el alumno deberá realizaruna comparación numérica entre las medi-das obtenidas y seleccionar aquellas regle-tas que tengan menor longitud. En esta tarea,se encuentra implícita la evaluación de lacomprensión de la relación comparativa�menor que�.

Criterios de calificación

En el momento de la calificación, se aceptóun margen de error de 0,5 cm, por lo que lasrespuestas que se consideraron correctaspara la tarea fueron las siguientes:

Regleta marrón: 16 ± 0,5 cmRegleta amarilla: 10 ± 0,5 cmRegleta negra: 14 ± 0,5 cmRegleta azul: 18 ± 0,5 cm

Para la comparación entre regletas, se hanaceptado como respuestas correctas los co-lores o las medidas de las regletas indistinta-mente; es decir, el alumno hubiese podidoescribir: �La amarilla y la negra� o �Las quemiden 10 y 14 centímetros�.Cualquier medición está correctamente rea-lizada si se ha hecho la comparación con unaunidad estándar o arbitraria. Es decir, no bas-ta que, al realizar la medición, el evaluadomencione el número de unidades; es nece-sario que señale qué unidades utilizó pararealizar la medición. En este sentido, no sehan considerado como respuestas correctasaquellas en las que se haya registrado úni-camente el numeral.


Resultados y comentarios

Alrededor de un 50% de los evaluados logrórealizar las mediciones de las longitudes delas tiras de manera correcta. Estos alumnosescribieron el número asociado con la uni-dad de medida. Para cada medición, los por-centajes de respuestas correctas fueron lossiguientes:

Tira marrón: 48,6%Tira amarilla: 50,3%Tira negra: 50,3%Tira azul: 51,4%

Adicionalmente, hubo un grupo de alumnos quecolocó solamente el numeral. Es probable queestos, al realizar la medición con la regla quese les entregó, solo leyeran el número indica-do, lo cual significa que estos alumnos no tie-nen afianzado el concepto de medida, ya querealizan únicamente la lectura de un instrumen-to. Si la regla hubiese tenido otra graduación,los alumnos hubieran escrito el mismo nume-ral. Este grupo se ubica entre el 14% y el 19%de los evaluados.

Alrededor de un 3% de los alumnos colocóde manera correcta el numeral, pero utilizóunidades de medida inapropiadas. Por ejem-plo, en el caso de la medición de la tira ma-rrón, estos alumnos escribieron: �16 metros�.

Todas las regletas por medir tenían una lon-gitud menor que el instrumento entregadopara realizar la medición, la regla de plásti-co de 30 cm. De este modo, la tarea señala-da permite inferir que uno de cada dos alum-nos evaluados puede realizar la medicióncorrectamente cuando el instrumento tieneun largo mayor que la longitud del objetomedido.En la consigna sobre comparación de longi-tudes, el 63,8% de los evaluados realizó lacomparación correctamente en la medida enque identificaron las dos regletas de menorlongitud. Un 4,9% de los alumnos solo iden-tificó la regleta de menor longitud. Este tipode respuesta puede deberse a la costumbreque han desarrollado los alumnos de presen-tar solo una respuesta a los problemas de lamatemática escolar.

34

Tarea propuesta 2

Ahora con tu regla mide lo que se indica en cada caso yescribe su medida.

El largo de una tira marrón mide ________________

El lado de la base del geoplano mide ____________



En esta tarea, el alumno deberá realizar lamedición física de la regleta, para lo cual uti-lizará la regla de plástico proporcionada.Para contestar correctamente esta pregunta,el alumno deberá utilizar adecuadamente losinstrumentos de medición, ubicar la regla enel inicio de la escala (0 cm, no en el inicio dela regla de plástico) y, luego, leer el numeralque indica la regla. Esta tarea nos brinda in-formación acerca de la capacidad para rea-lizar mediciones directas cuando se tiene uninstrumento de medida apropiado.


Dado que lo que se está evaluando es la ha-bilidad de medir con instrumentos, el mar-gen de error aceptado debería ser el del ins-

trumento, que, en el caso de la regla propor-cionada, es de ½ mm. Sin embargo, para estaevaluación no se consideró este error, pueslas medidas de los elementos proporciona-dos eran números enteros de centímetros.Las respuestas correctas aceptadas fueron�16 cm� para la regleta marrón y �30 cm�para la base del geoplano. Además, se con-sideró imprescindible la colocación de launidad de medida, pues, de lo contrario, se-ría una simple lectura en una escala gradua-da sin considerar las medidas estándares queel alumno usó para comparar.


En el caso de la medición de la regleta ma-rrón, un 58,7% contestó correctamente. Enel caso de la medición de la base del geo-plano, el porcentaje de aciertos fue de 53,3%.En el grupo de alumnos que no respondió co-rrectamente, los resultados señalan que loserrores en que estos incurrieron se produje-ron sin patrones frecuentes de comportamien-to. Por ejemplo, colocaron medidas ininteli-gibles o escribieron números al azar. En al-gunos casos, se ha podido detectar el uso dela regla desde el extremo sin considerar elinicio de la graduación (0 cm).

Ficha técnica

� Actividad: Medición de objetos aislados� Grupo evaluado: Alumnos de sexto grado de

primaria� Material utilizado:


� 1 regleta rectangular marrón de materialmicroporoso de 16 cm x 2 cm

� 1 geoplano cuadrangular de 30 cm x 30 cm


�

Inician lamedición aquí

Fig. 11. Error común al hacer mediciones

6.2. LA ESTIMACIÓN DE LONGITUDES

Estimar es el proceso de medir o de obtenerla medida de un objeto sin la ayuda de ins-trumentos, sino mediante juicios subjetivos.Una estimación es el resultado de estimar;es la medida realizada �a ojo� de una deter-minada cualidad medible de un objeto. Setrata, por lo tanto, de una conjetura. Así, sepuede definir la estimación como una aproxi-mación basada en experiencias anteriores,en la que se utiliza una unidad de medidaestándar de una cualidad de un objeto.La capacidad de estimación debe ser ejerci-tada desde los primeros niveles de la educa-ción formal. Se trata de una de las capacida-des de mayor utilidad en la vida cotidiana.Cuando los niños realizan sus juegos, muchasveces, hacen estimaciones de medidas. Estaactividad se puede observar en la delimita-ción de arcos de fulbito, en la elaboración

de un diagrama para el juego de mundo, enel juego de bolitas, entre otros. Del mismomodo, los alumnos deberán realizar una es-timación al decidir cuántas y cuáles golosi-nas pueden comprar con el dinero de la pro-pina o cuánto tiempo asignarán a una deter-minada tarea.El Informe Cockroft8 señala que la estima-ción es útil en situaciones en las que la me-dición efectiva es difícil o molesta de obte-ner, en las que es posible el uso de estrate-gias de ensayo y error, o en las que se admi-ten amplios márgenes de tolerancia. Sin em-bargo, pese a que se reconoce la estimacióncomo una capacidad importante por desarro-llar en el alumno, no suelen realizarse siste-máticamente en las aulas actividades rela-cionadas con la estimación. Esta situaciónpuede deberse, entre otras, a algunas de lassiguientes razones:

� Los adultos, en general, y los maestros, en particular, no tienen desarrollada esahabilidad.

� No se dispone de orientaciones lo suficientemente precisas sobre cómo hacerlo.

� No se tiene en cuenta el tiempo preciso para desarrollarlas.

� Es difícil evaluar esta habilidad.

(Olmo y otros, 1993)

8. Véase: Cockcroft, W. (1985).

36

Hildreth (1983) señala que estimar la longi-tud con cierto grado de exactitud es una la-bor compleja que involucra conceptos y ha-bilidades como:

� la comprensión de la cualidad que serámedida,

� la comprensión del concepto de �unidadde medida�,

� una imagen mental de la unidad que seráutilizada en la tarea de estimación,

� la habilidad de comparar objetos segúnel atributo que será medido,

� la habilidad de realizar la iteración de launidad,

� la habilidad de seleccionar y usarestrategias adecuadas para realizar

estimaciones, y� la habilidad de verificar la adecuación

de la estimación.

Incluir la estimación en el aula requiere undiseño y una selección adecuados de lasactividades que pueden ayudar a los niños adesarrollar las habilidades mentales enume-radas anteriormente. Bright (1976) propuso unesquema para diseñar actividades de estima-ción que desarrollen estas habilidades envarios niveles. A continuación, se presentaeste esquema acompañado de un ejemploque permitirá al docente generar sus propiasactividades para el trabajo de estimación ensus clases.

Veamos un ejemplo del uso de este esque-ma:A1: Se pide estimar la longitud de un lápiz

en centímetros. El lápiz y una regleta deun centímetro están físicamentepresentes en el momento de presentar latarea. En este caso, el atributo es lalongitud; el objeto por medir, el lápiz. Elobjeto y la unidad están físicamentepresentes.

A2: Se pide estimar la longitud de un lápizen centímetros. El lápiz está presente,

pero la unidad de medición estáfísicamente ausente en el momento depresentar la tarea. En este caso, elatributo es la longitud; el objeto por medir,el lápiz. El alumno debe imaginarsementalmente la unidad para poderrealizar la estimación.

A3: Se pide estimar la longitud de una cajade fósforos. Solo una regleta de uncentímetro está físicamente presente enel momento de presentar la tarea. En estecaso, el atributo es la longitud; el objeto

SITUACIONES DE ESTIMACIÓNSITUACIONES DE ESTIMACIÓNSITUACIONES DE ESTIMACIÓNSITUACIONES DE ESTIMACIÓNSITUACIONES DE ESTIMACIÓN


por medir, la caja de fósforos, pero solola unidad está físicamente presente.

A4: Se pide estimar la longitud de una cajade fósforos en centímetros. En esta

oportunidad, no se encuentran presentesni el objeto ni la unidad de medida. Eneste caso, el atributo es la longitud; elobjeto por medir, la caja de fósforos.

B1: Se presentan diversos objetos y se le pideal alumno que indique cuál o cuáles deestos objetos pueden medir cincocentímetros. Una regleta de uncentímetro se encuentra físicamentepresente en la experiencia.

B2: Se presentan diversos objetos y se le pideal alumno que indique cuál o cuáles deestos objetos pueden medir cincocentímetros. La unidad de medición nose encuentra físicamente presente en laexperiencia.

B3: Se le pide al alumno que mencioneobjetos que puedan medir diezcentímetros de longitud. La unidad demedida se encuentra presentefísicamente en el momento de realizarla tarea.

B4: Se le pide al alumno que mencione ob-jetos que puedan medir diez centímetrosde longitud. La unidad de medida, el cen-tímetro, no se encuentra físicamente pre-sente en el momento de realizar la ta-rea.

38

¿Cuál de las siguientes unidades utili-zarías para medir:

... el ancho de tu dedo?

km m cm mm

...la altura del profesor?

m km dm cm

.... la longitud del río Amazonas?

m km dm mm

Como se ha mostrado en el ejemplo anterior,el esquema de Bright puede ayudar a dise-ñar diversas actividades no solo para la esti-mación de longitudes, sino para trabajar laestimación de otros atributos como el área oel volumen.Además de estas actividades, pueden reali-zarse otras, como actividades sobre selec-ción de medidas adecuadas para medir de-terminados atributos. Por ejemplo:

En estas actividades, el niño va identifican-do el hecho de que, si bien cualquiera de lasunidades mostradas dará la longitud estima-da, es mejor y más económico utilizar aque-lla que puede ser visualizada de alguna ma-nera y que proporciona números manejablespara otros cálculos.Es posible organizar las actividades de esti-mación en forma lúdica y trabajando en gru-pos cooperativos. En estas actividades, sepueden proponer conjuntos de objetos paraestimar algún atributo y se puede designarcomo ganador al grupo que logre una esti-mación con el menor error por defecto o porexceso.Dado que la estimación es una conjetura, lamedición directa, luego de la estimación apriori, irá retroalimentando la habilidad deestimar mediante un trabajo continuo y siste-mático.A continuación, se presentan los resultadosde la prueba de material concreto en tareasde estimación de medidas. Algunas de ellasse inscriben en el esquema propuesto porBright.


Tarea propuesta 3

Coge una cajita de fósforos.

¿Cuántos centímetros crees que mide el largo de esta ca-jita?

Respuesta: ________________

AAAAANÁLISISNÁLISISNÁLISISNÁLISISNÁLISIS D D D D DEEEEE T T T T TAREAAREAAREAAREAAREA P P P P PRRRRROOOOOPUESTPUESTPUESTPUESTPUESTAAAAA 3 3 3 3 3


En esta tarea, se intenta evaluar la capaci-dad de estimar longitudes de objetos comu-nes del entorno del alumno. La respuestacorrecta de esta tarea implica que el alumnoreconozca el término �largo� asociado conuna forma prismática rectangular, que elijauna medida adecuada para la estimación yque pueda hacerse de una imagen mental dela unidad de medida que utilizará.


Teniendo en cuenta la edad de los alumnosevaluados, se han aceptado respuestas en unrango de 4 a 6 cm. Además, se han considera-do como correctas respuestas que no asocianla medida con el numeral, dado que la tarea

propone la unidad en que se realizará la esti-mación. Sin embargo, se ha logrado identificarel porcentaje de los que responden usando launidad y el de los que no lo hacen.


Un 66% de los alumnos evaluados logró rea-lizar la estimación correctamente. Como seha explicado anteriormente, la capacidad deestimar medidas será muy útil para lograr undesempeño adecuado en la vida cotidiana olaboral. En este sentido, resulta alentador quese haya logrado un porcentaje tan alto dealumnos que pueden realizar la estimaciónde manera correcta. Si descontamos de estegrupo a aquellos que solo dieron el numeral,el porcentaje no disminuye significativamen-te, ya que se ubica en un 53,5%.

Ficha técnica

� Actividad: Estimación de longitudes de objetosdel entorno

� Grupo evaluado: Alumnos de cuarto grado deprimaria

� Material utilizado:� 1 caja de fósforos con las siguientes

dimensiones: largo: 5,2 cm; ancho: 3,9 cm;alto: 1,2 cm

40

Tarea propuesta 4

Forma un tren con una tira amarilla y una tira ploma.

¿Cuántos centímetros crees que mide el largo de este tren?

Respuesta: ___________________

Ahora usa tu regla para medir el largo de este tren. ¿Cuán-to mide?

Respuesta: ___________________

AAAAANÁLISISNÁLISISNÁLISISNÁLISISNÁLISIS DDDDDEEEEE T T T T TAREAAREAAREAAREAAREA P P P P PRRRRROOOOOPUESTPUESTPUESTPUESTPUESTAAAAA 4 4 4 4 4

Ficha técnica

� Actividad: Estimación seguida de compro-bación física de la medición

� Grupo evaluado: Alumnos de cuarto gradode primaria

� Material utilizado:� 1 regleta rectangular amarilla de material

microporoso de 10 cm x 2 cm� 1 regleta rectangular ploma de material

microporoso de 35 cm x 2 cm� 1 regla de plástico de 30 cm de largo


Esta tarea presenta dos partes. La primeraintenta conocer si el alumno es capaz de rea-lizar la estimación de la longitud de un obje-to de mayor longitud que la de los instrumen-tos de medición que suele utilizar en su vidaescolar. Así, desde el punto de vista del alum-no, esta actividad constituye una situaciónnovedosa.La segunda parte cierra la tarea con una com-probación de lo estimado en la primera par-te. El alumno debe realizar la medición conel instrumento entregado y debe diseñar un

método adecuado para realizar esta medi-ción, pues la longitud de su regla es de 30cm y la del tren es de 45 cm.


En la estimación de la longitud del tren, seaceptó un error absoluto de 2 cm, con lo quela respuesta considerada como válida se en-contró en el intervalo [43, 47]. Por su parte,en la medición del largo del tren, se conside-ró como respuesta correcta �45�.


La estimación de la longitud del tren fue laparte más difícil para los alumnos, pues soloun 10,8% logró responder correctamente.Además, en este grupo, uno de cada nueveestudiantes no señaló la unidad de medidarespectiva al escribir su respuesta.La medición del largo del tren fue realizadacorrectamente por el 37% de alumnos. Deeste porcentaje, la quinta parte no utilizó launidad de medida correspondiente al dar surespuesta. El 63% no respondió bien a estaparte. Este alto porcentaje se puede explicar


Tarea propuesta 5

Fíjate en los objetos que se indica en cada pregunta yresponde:

¿Cuánto crees que mide el largo de una tira marrón?

Respuesta: __________________

¿Cuánto crees que mide un lado de la base del geoplano?

Respuesta: __________________

por la dificultad que implica para los alumnoshacer una medición iterada, es decir, utilizarmás de una vez el instrumento de mediciónpara hallar una longitud. La dificultad de esteproceso radica en que la lectura no es directay se debe realizar un cálculo adicional.Los resultados de esta tarea pueden habersido interferidos por la respuesta a una tarea

anterior de la prueba, en la cual se pedía ellargo de cada una de estas tiras. El alumnopodría haber recuperado esta información ysumado las longitudes.Dado que la tarea solo recogía la respuestadel alumno, no se han podido rescatar las es-trategias utilizadas para resolver esta parte.



Las dos partes de esta tarea están dirigidas aexplorar la capacidad del alumno para reali-zar estimaciones. La elección de unidadesmétricas idóneas se encuentra implícita enesta tarea; por ello, las preguntas no indicanninguna unidad de medición para ser utiliza-da. Por el contrario, es el alumno quien, apartir del objeto dado a estimar, debe elegirla unidad que más le conviene utilizar.


La tira marrón medía 16 cm y la base delgeoplano proporcionado medía 30 cm. Comolo que se deseaba explorar era la capacidad

de estimar longitudes y no la de medirlas, seaceptaron como respuestas correctas aque-llas que tuvieran un error absoluto no mayorde 2 cm en cada caso. La elección de esta

Ficha técnica

� Actividad: Estimación de longitudes� Grupo evaluado: Alumnos de sexto grado de


� 1 regleta rectangular marrón de materialmicroporoso de 16 cm x 2 cm

� 1 geoplano cuadrangular de 30 cm x 30 cm

42

cota de error se acordó en consulta con do-centes de primaria.Se consideró una categoría de calificaciónpara aquellos alumnos que acertaban con elnúmero, pero que colocaban unidades in-apropiadas, como el km o el mm. No se con-sideraron como válidas aquellas respuestasque, aunque propusieran el número correc-to, no indicaban las unidades de medida.La estimación de una medida no está correc-tamente efectuada si no se le ha asignado launidad de medida respectiva. Esta capaci-dad está relacionada con el sentido numéri-co y la habilidad de seleccionar medidasadecuadas para diversos contextos. Por ejem-plo, una consecuencia del conocimiento ca-bal del sistema de unidades de longitud essaber que el km es una unidad de medidamás apropiada que otras, como el cm, paraestimar la distancia entre Cusco y Puno.


El 35,9% de los alumnos evaluados estimócorrectamente la longitud de la tira marrón yel 37,5% estimó correctamente la longitud dela base del geoplano. Como se observa, losporcentajes de las dos actividades son simi-lares. Si el margen de error hubiese sido me-nor, el porcentaje de los resultados exitososhabría disminuido considerablemente. El por-centaje de omisiones fue sumamente bajo:en ambos casos, fue del orden del 1%. Losdatos anteriores permiten afirmar que aproxi-madamente un 60% de los alumnos evalua-dos de sexto grado no logra realizar buenasestimaciones. Tal vez, la razón de este altoporcentaje de fallas pueda encontrarse en lapoca práctica de esta habilidad que se haceen la educación escolarizada. Una revisiónde los libros de matemática existentes en elmercado nacional revela que las actividadesde estimación de longitudes no suelen ser con-sideradas en forma sistemática.Es recomendable que los docentes trabajencon más actividades de estimación no solo

de longitud, sino de superficie, volúmenes,masa, dinero, entre otros. Es fácil conseguirlos materiales e, inclusive, se pueden dise-ñar actividades lúdicas para adquirir destre-zas en estimación.

6.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMASSOBRE MEDICIÓN DE LONGITUDES

La resolución de problemas debe apreciarsecomo la razón de ser del contenido matemá-tico, un medio poderoso para desarrollar co-nocimiento matemático y un logro indispen-sable de una buena educación matemática.El logro principal asociado con el desempe-ño eficaz en matemática es que los alumnosdesarrollen diversas estrategias que les per-mitan resolver problemas con cierto grado deindependencia y creatividad. La elaboraciónde estrategias personales de resolución deproblemas genera en los alumnos confianzaen sus posibilidades para hacer matemáticay estimula su autonomía. Además, expresael grado de comprensión de los conceptos yfacilita a los alumnos mecanismos de trans-ferencia a otras situaciones.Un problema matemático puede definirsecomo una situación a la que se enfrenta un in-dividuo o un grupo, que requiere solución ypara la cual no se vislumbra un camino apa-rente y obvio que conduzca a su solución. Paraenfrentarse con estas tareas, el alumno requie-re comprender la situación y asumirla comoun problema por resolver, diseñar una estrate-gia de solución combinando las ya conocidaso elaborando una nueva, aplicarla a la situa-ción, y controlar en el proceso si su plan deresolución es el adecuado o si requiere reajus-tes. Finalmente, si su empresa es lograda conéxito, el alumno debería realizar una revisióncrítica del proceso de solución con el fin deinteriorizar los nuevos aprendizajes.En general, el proceso que sigue un alumnoal enfrentarse a un problema se puede resu-mir en el siguiente diagrama de flujo (Tapia,1997):


Existen numerosos materiales estructuradosque pueden ser utilizados para generar acti-vidades de resolución de problemas relacio-nados con la medición, como el geoplano,las regletas de Cuisinaire o el tangram. Adi-cionalmente, estos materiales también per-miten diseñar actividades de trabajo coope-rativo, con lo que la clase de matemáticaadquiere un dinamismo y un clima que favo-rece el aprendizaje significativo. De la am-plia literatura existente para diseñar activi-dades de resolución de problemas que invo-lucran la medición de longitudes, se presen-tan aquí algunas que se pueden proponer enel trabajo en aula:

� Construir con un conjunto de regletas dediversas longitudes trenes con unalongitud determinada

� Averiguar de cuántas maneras puedeconstruirse un tren de una determinadalongitud con un conjunto de regletas

� Construir trenes de longitud máxima ymínima con un grupo de regletas

� Construir figuras geométricas con deter-minadas características en el geoplano(segmentos de una longitud dada, rectán-gulos con base dada, cuadrados con ladodado)

Las tareas que se presentan a continuaciónfueron parte de la EN 2001. Se clasificaroncomo tareas de resolución de problemas entanto el alumno debía, primero, comprenderla situación y, luego, establecer una estrate-gia de solución personal y creativa para re-solverla. Es posible que los conocimientos ne-cesarios para resolver la tarea propuesta fue-ran de dominio de los alumnos, pero la estra-tegia de solución debía ser diseñada al en-frentarse con la tarea. De esta manera, seconvirtió en un reto para su habilidad de uti-lizar la información disponible para resolverla situación presentada.

¿Funciona?

Visión retrospectiva

Ejecución del plan

Diseño o selección deun plan

Comprensión delproblema

NO

SÍ

Fig. 12. Diagrama del buen resolutor de problemas

44

Tarea propuesta 6

Forma un tren que tenga 24 centímetros de largo utilizan-do tiras de diferentes colores. No puedes repetir ningúncolor.

a) ¿Cuántas y de qué color son las tiras que utilizaste?

Respuesta: ___________________

Forma un tren que tenga 30 centímetros de largo utilizan-do tiras de dos colores diferentes.

b) ¿Cuántas y de qué color son las tiras que utilizaste?

Respuesta: ___________________

Construye el tren más largo que se puede formar con trestiras de colores diferentes.

c) ¿Cuánto mide en centímetros el largo de este tren?

Respuesta: ___________________



Esta tarea pertenece a la categoría de pro-blemas abiertos, pues admite múltiples res-puestas. Además, el alumno puede planteardiversas estrategias de solución para arribara dichas respuestas.

En las partes a) y b) el alumno puede, prime-ro, ordenar las tiras de mayor a menor longi-tud y, a continuación, decidir si formará eltren con dos, tres o cuatro tiras para que ledé la longitud solicitada. Para ello, puede usarla regla para señalar la medida pedida y, lue-go, ir colocando las tiras hasta encontrar elpar. La mayoría de estrategias suele ser deensayo y error sistemático. Un pensamientomás sofisticado dejaría el material concretopara trabajar con las medidas de las regle-tas; si se observa la tabla de medida de lasregletas, el problema se transformará en unproblema de corte aritmético. Esta salida im-plica hallar el valor 24 ó 30 usando los nú-meros que representan las longitudes de lasregletas.

Ficha técnica

� Actividad: Problemas sobre medición delongitudes de objetos compuestos

� Grupo evaluado: Alumnos de cuartogrado de primaria

� Material utilizado:� 1 juego de regletas de material mi-

croporoso� 1 regla de plástico de 30 cm de largo

graduada en milímetros


La última parte es la más interesante, pues elniño debe darse cuenta de que, para logrararmar el tren más largo, debe identificar lastres tiras más largas. Este proceso mentalimplica una prueba matemática, pues elalumno deduce que no es necesario cons-truir todos los trenes de tres tiras que se pue-dan hacer con el material proporcionado, sinoque bastará seleccionar el conjunto de lastres más largas. El alumno que resuelve co-rrectamente esta tarea presenta, entre sus ca-pacidades cognitivas, la de la argumentaciónmediante el uso de referentes y descripcio-nes matemáticas.


a) Se han considerado correctas todas lascombinaciones de regletas que medían24 cm que hubiesen sido conseguidas condos, tres o cuatro regletas. Las respuestasque se aceptaron como correctas fueronlas siguientes:

Con dos regletas:amarilla y negranaranja y rojamarrón y rosadaazul y verdenaranja y roja

Con tres regletas:verde, rosada y amarillaverde oscuro, rosada y rojanegra, rosada y blancaazul, blanca y rojamarrón, blanca y verdenegra, blanca y rosadanegra, roja y verdeverde oscuro, blanca y amarillaverde oscuro, roja y rosada

Con cuatro regletas:blanca, roja, verde y verde oscuroamarilla, rosada, blanca y roja

Las respuestas correctas se hanclasificado en dos grupos: aquellos niños

que presentan la cantidad y los colorescorrectos, y aquellos niños que soloescriben los colores correctos.

b) Para el caso de la construcción del trende 30 cm de largo, se aceptaron comorespuestas correctas aquellas formadascon dos regletas en las combinacionesque se detallan a continuación:

naranja y amarillaazul y verde oscuromarrón y negra

c) El tren más largo que se puede formarcon las regletas proporcionadas mide73 cm. Considerando que, al acoplar lasregletas, se puede incurrir en errores demedición, se aceptaron como respuestascorrectas aquellas que no sobrepasaronun error absoluto de 0,2 cm.


El 72,4% de los alumnos contestó correcta-mente la primera parte de la tarea. La segun-da parte fue correctamente contestada porun 78,4%. Ambos porcentajes muestran unnivel bastante alto de aciertos; sin embargo,la construcción del tren de longitud máximasolo fue correctamente realizada por un 36%de los evaluados, mientras que un 62% delos evaluados falló en esta parte.En general, se observó que, en las tres partesde la tarea, el porcentaje de alumnos que nocontestó es muy bajo. Este hecho puede serexplicado por la presencia del material con-creto, que, de algún modo, motiva a los alum-nos a intentar resolver la situación. La ideadel máximo de un conjunto dado todavía noha sido muy bien construida por los alumnos.Además, como se señaló anteriormente, laadecuada resolución de la tarea implicaríaque el alumno esté manejando argumentosdeductivos que, aunque elementales, puedenresultar difíciles de lograr.

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Tarea propuesta 7

Forma un tren que tenga 24 centímetros de largo utilizan-do tiras de diferentes colores. No puedes repetir ningúncolor.

a) ¿Cuántas y de qué color son las tiras que utilizaste?

Respuesta: _____________

Forma un tren que tenga 30 centímetros de largo utilizan-do tiras de dos colores diferentes.

b) ¿Cuántas y de qué color son las tiras que utilizaste?

Respuesta: _____________

Construye el tren más largo que se puede formar con trestiras de colores diferentes.

c) ¿Cuánto mide en centímetros el largo de este tren?

Respuesta: ____________



Esta tarea propone tres problemas abiertossobre medición de longitudes. Las estrategiasque el estudiante puede elegir para resolver-los pueden ser gráficas, dinámicas, aritméti-cas, etc. Para resolver correctamente estatarea, el estudiante deberá organizar la tiras

que tiene a su disposición, estimar y utilizarla regla proporcionada como medio de com-paración para lograr construir el tren con lalongitud solicitada.


a) Para el caso del tren de 24 cm de largo,se aceptaron como respuestas correctasaquellas formadas con dos, tres o cuatroregletas en las combinaciones que sedetallan a continuación:

Con dos regletas:amarilla y negranaranja y rojamarrón y rosadaazul y verdenaranja y roja

Ficha técnica

� Actividad: Resolución de problemas sobremedición de longitudes

� Grupo evaluado: Alumnos de sexto grado deprimaria

� Material utilizado:� 1 juego de regletas� 1 regla de plástico de 30 cm de largo



Con tres regletas:verde, rosada y amarillaverde oscuro, rosada y rojanegra, rosada y blancaazul, blanca y rojamarrón, blanca y verdenegra, blanca y rosadanegra, roja y verdeverde oscuro, blanca y amarillaverde oscuro, roja y rosada

Con cuatro regletas:blanca, roja, verde y verde oscuroamarilla, rosada, banca y roja

b) Para el caso del tren de 30 cm de largo,se aceptaron como respuestas correctasaquellas formadas con dos regletas en lascombinaciones que se detallan acontinuación:

naranja y amarillaazul y verde oscuromarrón y negra

c) El tren más largo que se puede formarcon las regletas proporcionadas mide73 cm. Considerando que, al acoplar lasregletas, se puede incurrir en errores demedición, para esta parte, se aceptaron

como respuestas correctas aquellas queno sobrepasaron un error absoluto de0,2 cm.


En el primer problema, un 83,3% de los alum-nos contestó correctamente, mientras que, enel segundo problema, lo hizo un 79,2%. Estosdos porcentajes son bastante alentadores, puesambos problemas eran abiertos y, en general,este tipo de problemas no suele ser propuestoen las clases de matemática. Adicionalmente,se observó que la mayoría de los evaluadosintentó resolver los problemas ensayando conel material proporcionado; muy pocos se inde-pendizaron de este y optaron por utilizar estra-tegias numéricas para resolverlo. Existe entreun 13% y un 18% de alumnos que cometieronerrores en la medición. El tercer problema deeste conjunto fue el que alcanzó la menor fre-cuencia de respuestas correctas: solo un 19%logró responderlo con éxito.Como en el caso de cuarto grado, se observóque el porcentaje de alumnos que omite latarea fue muy bajo, lo que refuerza la hipó-tesis de que la presencia del material con-creto motiva a los alumnos a involucrarse eintentar resolver la situación planteada.

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6.4. CÁLCULO DEL PERÍMETRO, ÁREAY VOLUMEN

Antes de iniciar en el aula el trabajo de me-dición de superficies y volúmenes, es con-veniente presentar a los alumnos el concep-to de área a partir de actividades sensorialesque los ayuden a distinguir las distintas cua-lidades de los objetos que manipulan. Unode los problemas que con más frecuencia serepite en las aulas es que los alumnos tien-den a confundir el perímetro con el área. Estaconfusión se debe a que no se han tenido ex-periencias que permitan distinguir estas doscualidades medibles.Para percibir la cualidad área de superficie,las actividades de embaldosado son muy úti-les. Las baldosas pueden ser construidas enpapel o cartulina con diversas formas geomé-tricas: triángulos equiláteros, cuadrados, rec-tángulos, pentágonos, hexágonos, heptágo-nos, etc. Estas son distribuidas a los niños paraque traten de �pavimentar� un tablero, unamesa u otra superficie sin dejar huecos. Alprincipio, los alumnos intentarán cubrir loshuecos con cualesquiera de las figuras y sesorprenderán al ver que solo con algunas deellas es posible lograrlo, mientras que conotras no.

También ayudan a fijar el concepto deárea actividades en las que el alumno hagauso de unidades de medida arbitrarias. Porejemplo, tomando un tangram chino, se lespuede pedir a los alumnos que encuentren

el número de triángulos pequeños necesa-rios para cubrir cada una de las piezas deltangram. En este caso, el triángulo peque-ño es una medida arbitraria de área. El tan-gram chino es la disección de un cuadra-do en siete piezas, como se muestra en lafigura 14. Hay un cuadrado, un romboidey cinco triángulos: dos grandes, uno me-diano y dos pequeños.

Nº deFIGURA TRIÁNGULOS

PEQUEÑOS

Triángulo grande 8

Triángulo mediano 4

Cuadrado 2

Romboide 2

El tangram también puede ser útil para cons-truir el concepto de equivalencia de áreas.En la figura 15, se puede observar que elárea del paralelogramo es igual al área delcuadradito, pues ambas equivalen a dostriángulos pequeños. Por ello, se dice queambas figuras son equivalentes. El concep-to de equivalencia se fija si los alumnostienen experiencias con figuras que, auncambiando su forma y posición, mantienensu área.

Fig. 13. Baldosas hexagonales

Fig. 14. Tangram chino


Fig. 15. Equivalencia entre el cuadrado yel romboide de un tangram

A continuación, se presentan otras activida-des que pueden ayudar en la didáctica de lamedición del área de figuras geométricas.

� Dibujar huellas corporales (mano, pie)colorearlas y recortarlas.

� Pintar con las manos el interior de figuras� Hacer sellos de papa con diversas formas

y tratar de cubrir el área de una figuracon ellos, y, luego, explicar si es posiblehacerlo o no.

� Dibujar en papel diferentes formas pla-nas y entregar conjuntos de cuadrados,círculos y piezas rectangulares; obser-var y discutir sobre qué piezas cubrenmejor las figuras dibujadas; discutir acer-ca de qué regiones o figuras son más fá-ciles de cubrir.

� Construir figuras con pentominos9.� Construir rectángulos de igual área con

tres pentominos.

� Elaborar rompecabezas utilizando formascuadradas, triangulares, etc.

� Calcular áreas de polígonos irregularespor triangulación.

9. Los pentominos son figuras que se forman uniendo porsus lados cinco cuadraditos iguales.

� Comparar huellas de manos y pies de losalumnos mediante superposición.

� Identificar figuras equivalentes conmayor o menor área.

� Generar la necesidad de la unidad demedida estándar.

� Construir formas en mallas cuadrangula-res o rectangulares.

� Distinguir área de perímetro.� Medir el perímetro de varios rectángulos

equivalentes.� Realizar actividades con tiras tipo me-

cano: áreas dinámicas.� Medir con cuerdas perímetros de figuras

y luego compararlos.� Construir figuras de perímetro dado en el

geoplano y, luego, calcular el área decada una.

En la EN 2001, las tareas que se les propusoa los alumnos incluyeron algunas de las acti-vidades enumeradas aquí. A continuación, serevisará cómo respondieron los estudiantesante estímulos similares a los comentados.

Fig. 17. Triangulación de polígono

Fig. 16. Los doce pentominos

Fig. 18. Trapecio construido en un geoplano

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Tarea propuesta 8

Coge una tira amarilla y halla su perímetro.¿Cuál es en centímetros el perímetro de esta tira?

Respuesta: ____________

Ahora forma un cuadrado con tres tiras de color verde cla-ro.¿Cuál es su perímetro?

Respuesta: ____________


Intención

Para resolver correctamente esta tarea, elalumno debe conocer el significado de lapalabra perímetro y construir una estrategiapara realizar la medición. En ambos casos,se pide el perímetro de figuras elementales:un rectángulo en el primero y un cuadradoen el segundo. Los alumnos pueden haberaprendido a usar fórmulas para cada caso,pero también pueden hallar el perímetro, sim-plemente, midiendo los cuatro lados y, lue-go, sumando las cantidades obtenidas.


Como el alumno evaluado iba a realizar va-rias mediciones, se consideró que podría exis-

tir un error de operación en cada medida, asíque, en ambas partes, se aceptó un error de1 cm. Las respuestas consideradas como co-rrectas fueron las siguientes:� Perímetro de la regleta amarilla: 24 ± 1 cm� Perímetro del cuadrado: 24 ± 1 cm


Solo un 18,3% de los evaluados logró res-ponder la primera parte correctamente, mien-tras que un 22,7% respondió correctamentela segunda parte. Estos porcentajes fortale-cen la hipótesis presentada en el informe des-criptivo de la EN 200111, donde se señala quelos conceptos geométricos son trabajados enlas aulas de forma incipiente, y sin el énfasisy la variedad requeridos para lograr apren-dizajes significativos.Es probable que el porcentaje real de acier-tos fuese menor, pues no se tiene seguridadde la intervención del evaluador, el cual pudo

11. Véase: Montané, A., ed. (2003a).

Ficha técnica

� Actividad: Cálculo experimental del perímetrode rectángulos y cuadrados

� Grupo evaluado: Alumnos de cuarto gradode primaria


microporoso de 10 cm x 2 cm� 1 regleta rectangular verde claro de

material microporoso de 6 cm x 2 cm� 1 regla de plástico de 30 cm de largo



haber explicado el significado de la palabraperímetro. La matemática tiene su propia sim-bología y vocabulario, los cuales deben ma-nejarse con soltura. No se trata solo de queel alumno se desempeñe bien al resolver pro-blemas; es también necesario que maneje unvocabulario elemental y el conjunto de no-

taciones de la rama matemática que está es-tudiando. Por este motivo, esta tarea utilizala palabra perímetro y, así, evita colocar cual-quier palabra castellana que denote lo mis-mo, pero que no provenga del vocabularioestándar de la matemática.


Tarea propuesta

Coge una tira amarilla y halla su perímetro.

¿Cuál es en centímetros el perímetro de esta tira?

Respuesta: _______________

Ficha técnica

� Actividad: Cálculo experimental del perímetrode un rectángulo






Para resolver esta tarea correctamente, elalumno debe entender qué es el perímetrode una figura plana, en este caso, un rectán-gulo. El perímetro puede ser medido de di-versas maneras: sumar los cuatro lados delrectángulo; medir solo el largo y el ancho,duplicar cada medida, y sumarlas; medir ellargo y el ancho, sumar estas medidas y du-plicar el resultado; usar una fórmula previa-mente aprendida, etc.En la prueba, se proporcionó la unidad demedida al alumno. De este modo, solo se re-quería que colocara el número al que llegódespués de hacer sus cálculos.


Teniendo en cuenta el grado evaluado, lacalificación de esta tarea fue más exigente.La respuesta que se consideró como correc-ta fue �24 cm� o �24�. Si el alumno escribíamedidas inapropiadas como �metros� o �ki-lómetros� adjuntas al numeral 24, la respuestano se consideraba correcta.


Solo un 21,7% de los alumnos evaluados res-pondió correctamente esta tarea. Dentro delgrupo de alumnos que erraron, un 14% deellos colocó unidades inapropiadas como�km� o �mm�.

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Tarea propuesta 10

Construye un tren con dos tiras anaranjadas y una rosada.

¿Cuál es en centímetros el perímetro de este tren?

Respuesta: _______________

¿Y cuál es este perímetro en metros?

Respuesta: _______________


Además del cálculo geométrico, que implicahallar el perímetro de la figura compuesta, latarea permite explorar acerca de la capacidaddel evaluado para identificar equivalenciaselementales. No se está evaluando la capaci-dad de convertir unidades, pues la tarea, sim-plemente, requiere que el alumno recuerde laequivalencia entre 1 m y su correspondientecantidad en centímetros. El proceso de solu-ción de esta tarea requiere que el estudianteforme la figura, entienda el concepto de perí-metro de esta composición y lleve la cuentade las mediciones que realiza. Luego, deberárealizar los cálculos correspondientes, seanadiciones o multiplicaciones.


Se consideró como respuesta correcta �100 cm�o �100� para la primera parte. En el caso de lamedición en metros, se consideró como válidaslas repuestas que consignaban el numeral 1 ólos que escribían �1 m� o �1 metro�.


El cálculo del perímetro de la figura com-puesta parece resultar difícil para los evalua-dos. Solo un 15,2% de los estudiantes logróla respuesta correcta, mientras que un 11,4%omitió la tarea.La conversión a metros tiene un porcentajede aciertos de 17,4%. El mayor porcentajeobtenido en esta parte se debe a que los alum-nos estiman el perímetro o, simplemente, con-vierten un número grande de centímetros enun metro.

Ficha técnica

� Actividad: Cálculo experimental de perímetrosde rectángulos


� Material utilizado:� 2 regletas rectangulares anaranjadas de

material microporoso de 20 cm x 2 cm� 1 regleta rectangular rosada de material





Tarea propuesta 11

En el geoplano, con ligas, representa un rectángulo, de modo que unode sus lados mida 12 centímetros.

a) Escribe en centímetros la medida de cada uno de los otros treslados de este rectángulo.

Respuesta: ________ centímetros; ________ centímetros;

________ centímetros.

b) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo que has representado en elgeoplano?

Respuesta: ________ centímetros.

c) ¿Y cuál es este perímetro en metros?

Respuesta: ________ metros.

Ficha técnica

� Actividad: Construcción de rectángulos dadoun lado del mismo y cálculo de perímetros derectángulos


� Material utilizado:� 1 geoplano cuadrangular de 30 cm x 30 cm� 1 caja con ligas de diversos tamaños� 1 regla de plástico de 30 cm de largo


Intención

El problema admite múltiples respuestas. Esun problema abierto, pues no informa acer-ca de cuál debe ser la longitud del otro lado.Esta pregunta pretende explorar la compren-sión del concepto de rectángulo y la capaci-dad de calcular longitudes en términos deotras unidades de medida, pues la separaciónentre los clavos del geoplano era de tres cen-tímetros, lo que implicaba que un lado de nue-ve centímetros abarcara tres separaciones.En esta tarea, se explora, en un nivel suma-mente sencillo, el conocimiento de la equi-valencia entre centímetros y metros.


La definición matemática de un rectángulopermite incluir el cuadrado como un tipo par-ticular de rectángulo, pues verifica las con-diciones necesarias y suficientes para serconsiderado como tal; sin embargo, la ma-yoría de docentes de primaria no considera,

en el trabajo de aula, al cuadrado como untipo particular de rectángulo. Según los ni-veles de desarrollo de Van Hiele12, esto pue-de permitirse en alumnos de 8 a 9 años, yaque todavía no pueden establecer con clari-dad relaciones de inclusión. No obstante, enla educación secundaria, no se vuelve sobre

12. Para mayor información, véase: Crowley, M. L. (2004):El modelo de Van Hiele de desarrollo de pensamientogeométrico. http://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/upn/vol13/sec_84.html

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el tema para hacer la aclaración, lo que oca-siona errores en el razonamiento de los estu-diantes.Dado que los docentes de primaria no sue-len considerar al cuadrado como un tipo par-ticular de rectángulo, al establecer los crite-rios de calificación, se decidió excluir al cua-drado de las respuestas posibles.En la primera parte, se consideró como correc-ta toda respuesta que fuera coherente con elconcepto de rectángulo y que fuera posibleconstruirla usando el geoplano.Para la segunda parte, se usaron los datosque el alumno colocó, se calculó el períme-tro, y, si existía coincidencia, se considera-ba la segunda parte como correcta. Finalmen-te, partiendo de esta medida, se evaluó la con-versión a metros del resultado de la terceraparte.


La tarea referida a la construcción del rec-tángulo fue correctamente respondida por un63,6% de los alumnos evaluados. El porcen-taje se reduce a 23,9% cuando se realiza elcálculo del perímetro de este rectángulo ysolo un 4,9% logra expresar el perímetro enmetros. Estos resultados permiten sostenerque los alumnos, en su mayoría, pueden ela-borar figuras con el geoplano, que respon-dan a una definición construida, pero los cál-culos geométricos y las conversiones nece-sitan una mayor dedicación y práctica conactividades en las cuales puedan experimen-tar vívidamente el concepto de perímetro yrealizar una aproximación comprensiva a lasconversiones.


Tarea propuesta 12

Fíjate que el cuadradito crema tiene 1 centímetro cuadra-do de área.

Mide la superficie de la figura siguiente utilizando comounidad el cuadradito crema.

Respuesta: El área de la figura es __________ cuadradi-tos cremas.

¿Y cuál es el área de la figura en centímetros cuadrados?

Repuesta: El área de la figura es _________ centímetroscuadrados.

Ficha técnica

� Actividad: Medición experimental de áreas� Grupo evaluado: Alumnos de sexto grado de


� 20 cuadraditos crema de material micropo-roso de 1 cm2 de área



Esta tarea explora sobre la habilidad del es-tudiante para establecer la relación entre unrecubrimiento �usando cuadraditos�, el con-cepto de área de una figura y el uso de unaunidad de superficie adecuada. La figuramostrada es bastante sencilla para ser traba-jada, pues permite calcular su área con unnúmero entero de los cuadraditos proporcio-nados.


Se consideró como respuestas correctas paraambos casos si el alumno escribió el nume-ral �7� o la palabra �siete�.


El material concreto ayuda mucho a los alum-nos, lo que se refleja en el 79,3% de alumnosque contestó correctamente la pregunta delrecubrimiento. Sin embargo, al establecer la

relación entre el recubrimiento y el área dela figura, el porcentaje disminuye a 53,3%.Esta disminución revela que los estudiantesno comprenden bien el sistema de unidadesde medida de superficie.El recubrimiento es una actividad pedagógi-ca importante. En este sentido, es recomen-dable trabajar con mosaicos y recubrimien-tos cuadrangulares, triangulares, hexagona-les, etc., y hacer estimaciones de los recu-brimientos. No obstante, estas actividades

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Tarea propuesta 13

Sobre la base del geoplano, construye un cuadrado de 3centímetros de lado.

¿Cuál es el área del cuadrado que has construido?

Respuesta: _______ centímetros cuadrados.

solo resultan útiles si, luego de realizarlas, elalumno puede establecer su relación con lasunidades de superficie convencionales y silogra, poco a poco, independizarse de loscuadraditos y estimar, con estrategias de des-composición o división en partes simples y

menores, el valor del área. Esta subdivisiónse encuentra en la base de los primeros cál-culos de área realizados por Arquímedes deSiracusa y en las ideas fundamentales del cál-culo integral.



Esta tarea pretende que el alumno realice elcálculo del área del cuadrado, para lo cualpuede utilizar los cuadraditos proporciona-dos. Si decide hacerlo así, deberá formar conlas ligas en el geoplano un cuadrado de trescentímetros de lado y, luego, cubrirlo con loscuadraditos entregados. Finalmente, deberáestablecer la relación que permitirá afirmarque el número de cuadraditos cremas nos dael área del cuadrado mayor.


Las respuestas que se aceptaron como co-rrectas fueron �9� y �nueve�. Solo se consi-

Ficha técnica

� Actividad: Construcción de cuadrados dada lalongitud del lado


� Material utilizado:� 1 geoplano cuadrangular de 30 cm x 30 cm� 1 caja con ligas de diversos tamaños

deró la cantidad, ya que el formato de respues-ta incluía la unidad de medición. Es posible quelos alumnos hayan contestado bien sin tenerclara la idea de que estaban realizando unamedición del área en medidas convenciona-les. Para ellos, la respuesta �nueve� puede sig-nificar únicamente �nueve cuadraditos� y noestar relacionada con las unidades convencio-nales de medida de superficie.


Solo un 13,6% de alumnos respondió correc-tamente esta tarea, porcentaje muy similaral de omisiones (12%). El error más frecuen-te fue construir un cuadrado cuyo lado eraigual a tres unidades del geoplano, con lo quela cantidad de cuadraditos cremas proporcio-nados era insuficiente para cubrir el cuadra-do. Otros alumnos dieron la medida del perí-metro del cuadrado que habían construido enlugar de su área.Estudios realizados sobre el proceso de apren-dizaje de conceptos geométricos en los ni-ños han señalado que el concepto de perí-metro es más fácil de comprender que el con-cepto de área; los resultados obtenidos en estaevaluación parecen reforzar esta hipótesis.


Tarea propuesta 14

Sobre la base del geoplano, construye un rectángulo cu-yos lados midan 12 centímetros y 6 centímetros.

Ahora mide la superficie de este rectángulo utilizandocomo unidad un cuadrado del geoplano de 3 centímetrosde lado.

¿Cuántos de estos cuadrados tiene de área el rectángulo quehas construido?

Respuesta: _____________

¿Y cuál es en centímetros cuadrados el área de este rec-tángulo?

Respuesta: _____________



La intención de esta tarea es introducir unaunidad informal de superficie, en este caso,el cuadrado del geoplano. Luego, la tareasolicita la conversión de la medida informala una medida estándar, lo que requiere unaestrategia multiplicativa o nociones de pro-porcionalidad.


Se aceptaron como respuestas correctasaquellas en las que el alumno escribió el nu-meral �8� o la palabra �ocho�. Esta respues-ta podía estar acompañada o no de una no-tación propia que indicara la medida infor-mal de cuadrados del geoplano. En la segun-da parte, se consideró como respuesta co-rrecta si escribió �72� o �72 cm2�.


La primera parte de la tarea fue correctamen-te contestada por un 57,1% de los alumnosevaluados. El porcentaje disminuye conside-rablemente a solo 11,4% en el caso de la

Ficha técnica

� Actividad: Construcción de rectángulos a partirde sus lados


� Material utilizado:� 1 geoplano cuadrangular de 30 cm x 30 cm� 1 caja con ligas de diversos tamaños� 1 regla de plástico de 30 cm de largo graduada

en milímetros

conversión a la medida estándar en centíme-tros cuadrados, ya que un 63% de los eva-luados trasladó la medición en cuadrados degeoplano directamente a la medición en cen-tímetros cuadrados; es decir, este porcentajede alumnos dio como respuesta �8 cm2�.Estos resultados revelan que, para estos alum-nos, no importa el tamaño del cuadrado quese usa para recubrir una figura; para ellos, elnúmero de cuadrados es el área de la figura.

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Esta tarea está referida a la geometría delespacio y hace uso de un objeto del entornodel alumno. El material concreto proporcio-nado incluía cubitos de 1 cm de arista. Sepretendía que el alumno utilice estos cubi-tos, y establezca una relación entre el nú-mero de cubitos y el volumen de la caja defósforos.

Tarea propuesta 15

Coge una cajita de fósforos y cubitos blancos.

Fíjate que el volumen de un cubito blanco es 1 centímetrocúbico.

a. ¿Cuál es aproximadamente en centímetros cúbicos,el volumen de esta cajita de fósforos?

Respuesta: ________ centímetros cúbicos.

Utiliza tres cajitas de fósforos y construye un bloque.

b. Aproximadamente, ¿cuál es en cubitos blancos elvolumen del bloque que has construido?

Respuesta: ________ cubitos blancos.

c. ¿Y aproximadamente cuál es el volumen del mismobloque en centímetros cúbicos?

Respuesta: _____________

Ficha técnica

� Actividad: Cálculo experimental del volumen decuerpos prismáticos

� Grupo evaluado: Alumnos de sexto grado de pri-maria

� Material utilizado:� 3 cajas de fósforos con las siguientes dimensio-

nes: largo: 5,2 cm; ancho: 3,9 cm; alto: 1,2 cm� 20 cubitos blancos de material microporoso

de 1 cm3


Para responder adecuadamente la primeraparte, el alumno debe tener noción de volu-men. Entonces, formará un modelo de la ca-jita con los cubitos que se le ha proporciona-do, contará estos cubitos y dará respuesta alcálculo del volumen de la cajita.En la segunda parte, las estrategias puedenser diversas. Los alumnos no cuentan con su-ficientes cubitos para armar el bloque, así quedeben saber que el volumen es invariable yse mantiene en el espacio. El alumno puederealizar una estrategia de partición y hallarel volumen del bloque como la suma de laspartes, es decir, como la suma de tres volú-menes conocidos. Esta medición se realizade manera informal. En esta parte, no se es-tablece una relación entre el volumen en tér-minos de cubitos y las unidades estándar.En la última parte de esta tarea, se preguntapor el volumen en cm3. La intención es cla-ra: se desea saber si el alumno es capaz deestablecer la relación entre la medida encubitos y la medida en cm3.



La repuesta correcta para la parte a) fue�15 cm3�; para la parte b), �45 cubitos blan-cos�; y, para la parte c), �45 cm3�. En cadacaso, se aceptó un margen de error de 1 cu-bito ó 1 cm3.


La primera parte referida a la medición encentímetros cúbicos hecha con ayuda de los

cubitos blancos fue resuelta correctamentepor un 35,3% de los alumnos evaluados; lasegunda parte, por un 30,4%; y la última par-te, solo por un 23,9%.Esta tarea fue la que tuvo el mayor porcenta-je de omisiones: en un caso, llegó al 20% derespuestas en blanco. Este puede ser un pro-blema de cobertura, ya que, en la mayoríade programas, la geometría del espacio setrabaja posteriormente a los conceptos degeometría plana, pese a que los niños sedesenvuelven en un mundo tridimensional.

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7. RESULTADOS DE LOS ALUMNOS EN LAPRUEBA ESCRITA DE MATEMÁTICA

Como se señaló anteriormente, los alumnosque rindieron la prueba de desempeño conmaterial concreto fueron seleccionados en-tre aquellos que habían rendido la prueba es-crita de matemática. Esta prueba consideróaspectos referidos a la medición, motivo porel cual conviene hacer un breve comentarioacerca del desempeño de los alumnos enestas tareas.En el caso de cuarto grado, se incluyeron ta-reas sobre el manejo de información acercade las unidades más representativas de lasmagnitudes fundamentales del SLUMP (Sis-tema Legal de Unidades de Medida del Perú)y sobre el reconocimiento de las relacionesde equivalencia entre las unidades más usua-les en situaciones cotidianas.Estas preguntas no incorporaron capacidadesreferidas a problemas cuya solución deman-de la aplicación de la noción de medida o elplanteamiento de estrategias de solución li-gadas a una secuencia de operaciones, ni eluso de instrumentos de medición.En el caso de sexto grado, se propusieron si-tuaciones problemáticas enmarcadas en uncontexto realista. Los contenidos involucra-dos estuvieron relacionados con las unida-des de longitud, masa, tiempo y volumen, lasequivalencias más usuales y la noción de pe-rímetro. Las tareas incluyeron la estimaciónde la longitud de diversas figuras y la resolu-ción de problemas que involucraban la no-ción de perímetro y de las magnitudes men-

cionadas; así mismo, era necesario que losestudiantes fueran capaces de realizar con-versiones entre unidades de medida.El cuadro muestra la distribución de los alum-nos que rindieron las pruebas de materialconcreto según los niveles de desempeñodefinidos para la EN 2001 en la prueba es-crita.

NIVEL DE CUARTO SEXTODESEMPEÑO GRADO GRADO

Debajo del básico 29 % 53,9 %

Básico 16,2 % 41,9 %

Suficiente 54,8 % 4,2 %

Como se puede observar, el porcentaje quellegó al nivel suficiente en el caso de cuartogrado fue de 54,8%, porcentaje similar al deaciertos en varias tareas de la prueba dematerial concreto; sin embargo, cabe anotarque las preguntas consideradas en la pruebade matemática EN 2001 para medición fue-ron sumamente sencillas.En el caso del conocimiento de la medición,las preguntas consideradas en la prueba es-crita fueron sumamente elementales. Se li-mitaron principalmente a explorar el gradode incorporación de la información que seasumía previamente enseñada. Además, nose incluyeron preguntas referidas a proble-


mas que involucraran la noción de medida,cálculos aritméticos o el uso de instrumentosde medición. El hecho de que no se hayanincluido preguntas con estas exigencias sedebió a que, en la prueba piloto de la EN 2001(junio de 2000), la mayoría de alumnos evi-denció muchas dificultades para resolver estetipo de problemas.Es así que el denominado nivel suficiente de-finido para la prueba escrita13 no debe serconsiderado como un nivel de logro impor-tante en relación con lo que los alumnos de-berían haber logrado en el grado que cursa-ban.Como dato adicional se puede indicar que, enla encuesta sobre oportunidades de aprendi-

zaje aplicada a los docentes de cuarto gradode primaria en el marco de la EN 200114, en lacual se le consulta al docente sobre el currí-culo desarrollado, solo un 25% de los encues-tados afirma haber desarrollado completa-mente la competencia referida a medicióndurante el ciclo. Además, en cuanto al gradode profundidad con que la desarrollaron, lamayoría confiesa haberla trabajado solo demanera introductoria.En el caso de sexto grado, se observa que elporcentaje de aciertos, en la mayoría de lastareas propuestas en la prueba de materialconcreto, es sensiblemente mayor que el por-centaje que se ubica en el nivel suficienteobtenido en la prueba escrita.

13. Véase la descripción de este nivel en Montané, A., ed.(2003a). 14. Véase: Zambrano, G. (2003).

62

8. REFLEXIONES FINALES

8.1. COMENTARIOS GENERALESSOBRE EL DESEMPEÑO DE LOSESTUDIANTES

En las conclusiones de la EN 2001 respectode los resultados de las pruebas de lápiz ypapel aplicadas a alumnos de primaria, seseñala que los docentes no trabajan la geo-metría ni la estadística con el énfasis con elque trabajan los algoritmos de operacionesbásicas o el sistema de numeración decimal.Esta situación se ve reflejada en los bajos ni-veles alcanzados por los alumnos en las pre-guntas referidas a geometría y organizaciónde la información, lo que puede indicar unproblema de cobertura curricular. La mate-mática en primaria no puede reducirse al tra-bajo aritmético ni únicamente al cálculo ope-ratorio. De hecho, la información estadísticay los problemas reales referidos a la admi-nistración y organización del espacio estánmuy presentes en la vida cotidiana del niño,por lo que resulta importante preocuparse porintroducir, en las clases, los temas de geo-metría, azar y estadística.Por otro lado, como se ha apreciado en losresultados de la prueba con material concre-to comentada en este documento, el bajo por-centaje de omisiones en las tareas propues-tas permite inferir que, cuando los niños tie-nen materiales concretos para resolver un pro-blema, se ven motivados para intentar resol-verlo: se involucran en él, elaboran sus pro-

pios métodos de solución y dan respuestas adicho problema. La matemática puede resul-tar interesante para los niños si se introducenen las clases actividades de investigación enlas que se utilicen materiales concretos. Es-tos ayudan mucho a la motivación e interésdel grupo; del mismo modo, sirven como me-diadores entre los conceptos abstractos y losconceptos intuitivos previos. Por tanto, es con-veniente ir incluyendo en las clases, de ma-nera sistemática, el uso de estos materialesno solo en el caso de la medición, sino enotros temas como la numeración, el cálculogeométrico, el azar, etc. La experimentacióncon este tipo de materiales proporcionará es-pacios para construir con el grupo de alum-nos aprendizajes valiosos y significativos, queserán más duraderos que aquellos obtenidosúnicamente por medios auditivos o visuales.

Como era de esperar, las actividades referi-das al cálculo de áreas y volúmenes fueronlas más difíciles para los alumnos, seguidaspor aquellas en las que debían estimar. Encuanto a la medición directa de longitudes,la frecuencia de aciertos indica que es unaactividad relativamente fácil de realizar porlos evaluados.La confusión entre los conceptos de área yperímetro fue evidente; por ello, se requiererealizar mayor cantidad de actividades vi-venciales para lograr distinguir entre estas doscualidades (área y perímetro). El trabajo, en


este caso, deberá ser experimental y no de-berá estar enfocado únicamente en el uso defórmulas, pues estas pueden ser utilizadas sintener claros los conceptos mencionados.En el caso de sexto grado de primaria, unade las tareas más difíciles de la prueba fue lareferida al cálculo de volúmenes. Al pare-cer, los temas de geometría del espacio nose trabajan mucho en las escuelas, pues soloen la tarea referida al cálculo de volúmenesse nota un porcentaje significativo de omi-siones.Por otro lado, los resultados de las pruebasescritas para cuarto y sexto grados de prima-ria indican que las conversiones resultan tam-bién difíciles para los estudiantes. Cabe se-ñalar que, en las conversiones solicitadas enesta prueba de material concreto, el niño nocontaba con algún soporte concreto para rea-lizar la conversión, por lo que solo recurría asu conocimiento.Por último, las mediciones de la longitud rea-lizadas en un solo paso (cuando la longituddel objeto es menor o igual a la del instru-mento) son más fáciles de realizar que aque-llas que requieren un número mayor de pa-sos.En los informes pedagógicos publicados porla UMC15, en los cuales se presentan los re-sultados de la Evaluación Nacional 2001,co-rrespondientes a cuarto y sexto grados de pri-maria, se indica que, en el caso de cuartogrado, el porcentaje de evaluados que llega-

ba al nivel suficiente en la competencia re-ferida al conocimiento de la medición fue de45,5%, un porcentaje análogo al de los acier-tos encontrados en las pruebas de materialconcreto en lo que respecta a las medicio-nes directas de longitud.En el caso de sexto grado, solo un 4,68% seubica en el nivel suficiente en la competen-cia referida a medición, porcentaje muy bajocomparado con los resultados de las tareasde la prueba de material concreto.Al realizar comparaciones entre aquellosestudiantes que rindieron ambas pruebas (esdecir, con lápiz y papel, y con material con-creto), se puede señalar que, en el caso decuarto grado de primaria, el porcentaje dealumnos evaluados que llega al nivel sufi-ciente (54,74%) es mayor que el porcentajede aciertos en la prueba de material concre-to. Sin embargo, se debe destacar que lasactividades de conocimiento de la mediciónpropuestas en la prueba escrita fueron suma-mente sencillas. En el caso de sexto grado,el porcentaje de alumnos que se ubica en elnivel suficiente en las pruebas con lápiz ypapel fue de 4,68%. Este porcentaje es con-siderablemente menor que el porcentaje deaciertos alcanzado por estos mismos alum-nos en la prueba de material concreto.Finalmente, se presentan, en la siguiente sec-ción, algunas conclusiones específicas delanálisis de los resultados de las pruebas dematerial concreto.

15. Véanse: Montané, A., ed. (2003a); y Montané, A., ed.(2003b).

64

9. CONCLUSIONES

Las conclusiones que se presentan se refie-ren solo al grupo de alumnos evaluados y,de ningún modo, pueden ser extrapoladas aun nivel nacional; sin embargo, se puede darluces acerca del comportamiento de un gru-po de alumnos al enfrentarse con tareas ma-temáticas en las cuales no requieren única-mente lápiz y papel.

� El bajo porcentaje de preguntas omitidaspor los estudiantes permite inferir que,cuando los alumnos tienen materialesconcretos para resolver una tarea o unproblema, se involucran en ellos e inten-tan darles solución. Este hecho se puedeconfirmar mediante la comparación en-tre las pruebas con lápiz y papel, y lasde material concreto.

� El formato usado para registrar las res-puestas y la tradición que existe sobrepruebas escritas parecen ser la causa deun patrón de comportamiento de losalumnos en lo referente a usar informa-ción anterior para resolver nuevas tareas.En algunos casos, una tarea podía serresuelta usando las respuestas anteriores.Sin embargo, la mayoría de los exami-nados no regresaba a revisar los proble-mas ya resueltos.

� Aunque de forma leve, los casos deolvido de contenidos se incrementan deun grado inferior a uno superior. Estasituación se observa en algunas tareas,

pues el porcentaje de aciertos alcanzadoen cuarto grado de primaria era mayorque el porcentaje correspondiente ensexto. Para esta comparación, se hanconsiderado preguntas con el mismocontenido e intención.

� Respecto de sexto grado, entre las tareasmás difíciles de la prueba, se encuentranlas referidas al cálculo de volúmenes. Alparecer, en las escuelas, no se trabajanmucho los temas de geometría delespacio, ya que en estas tareas se notaun porcentaje significativo de omisiones.

� De la misma manera, las conversionesresultan difíciles para los estudiantes. Estadificultad se observa en los resultados delas pruebas escritas para cuarto y sextogrado. Cabe recalcar que, en las conver-siones solicitadas en la prueba de mate-rial concreto, el alumno no contaba conun soporte concreto para realizar la con-versión, por lo que solo recurría a su co-nocimiento.

� Las mediciones de la longitud realizadasen una sola etapa de medición (es decir,cuando la longitud del objeto es menor oigual a la longitud del instrumento) sonmás fáciles de realizar que aquellas querequieren un número mayor de etapas.

� Los errores más frecuentes en el uso dela regla fueron medir desde el inicio delinstrumento �la regla� y medir a partirde la graduación 1 cm. Esta última ten-


dencia está relacionada con el proceso decontar: siempre contamos a partir de 1.También se observó un porcentaje signi-ficativo de alumnos que colocó única-mente el numeral, lo que indica que, paraeste grupo, el proceso de medición esanálogo al proceso de conteo y no unacomparación con algún tipo de medidaestándar.

� La terminología matemática convencio-nal es otro obstáculo para lograr el éxitoen la solución de las tareas. En muchoscasos, términos como perímetro, área ovolumen no son comprendidos por losestudiantes.

� En cuanto a la dificultad de las tareas, sepuede afirmar que las referidas al cálculode longitudes son más simples que lasreferidas a áreas y estas, a su vez, sonmás simples que las referidas avolúmenes.

� Por último, en sexto grado, existe un por-centaje significativo de alumnos que tie-ne la noción del área, pero que no haconstruido aún el concepto ni lo ha afian-zado como para poder usarlo delibera-damente en diversos contextos.


BIBLIOGRAFÍA

LIBROS E INVESTIGACIONES

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Arellano,T., ed. (2000): Compartiendo experiencias: testimonio de docentes del Proyecto deMateriales Educativos. CAB/GTZ, Lima.

Ministerio de Educación del Perú. Unidad de Medición de la Calidad Educativa (2000): CRECER.Lima, N° 1, abril de 2000.

Montané, A., ed. (2003a): Cómo rinden los estudiantes peruanos en Comunicación y Matemática:resultados de la Evaluación Nacional 2001. Cuarto grado de primaria. Informe pedagógico.Ministerio de Educación del Perú. Unidad de Medición de la Calidad Educativa, Lima.

Montané, A., ed. (2003b): Cómo rinden los estudiantes peruanos en Comunicación y Matemática:resultados de la Evaluación Nacional 2001. Sexto grado de primaria. Informe pedagógico.Ministerio de Educación del Perú. Unidad de Medición de la Calidad Educativa, Lima.

Zambrano, G. (2003): Las oportunidades de aprendizaje en lógico-matemática: un estudiopara cuarto grado de primaria. En: Boletín UMC Nº 22, Unidad de Medición de la CalidadEducativa, Ministerio de Educación, Lima.


ANEXO 1

RESUMEN DE LAS TAREAS DE LAPRUEBA DE MATERIAL CONCRETO DE

CUARTO GRADO DE PRIMARIA16

Con una regla mide el largo de las tiras marrón, amarilla, negra y azul.

La tira marrón mide: _________________________ (48,6%)La tira amarilla mide: ________________________ (50.3%)La tira negra mide: ________________________ (50,3%)La tira azul mide: ___________________________ (51,4%)

Ahora escribe los colores de las dos tiras de menor longitud.___________________________________________________ (63,8 %)

Coge una cajita de fósforos.¿Cuántos centímetros crees que mide el largo de esta cajita?

Respuesta: _________________ (66%)

Forma un tren con una tira amarilla y una tira ploma.¿Cuántos centímetros crees que mide el largo de este tren?

Respuesta:____________________ (10,8%)

Ahora usa tu regla para medir el largo de este tren.¿Cuánto mide?

Respuesta: ___________________ (37%)

16. El porcentaje entre paréntesis indica el porcentaje de respuestas correctas a la pregunta respectiva.

70

Forma un tren que tenga 24 centímetros de largo utilizando tiras de dife-rentes colores. No puedes repetir ningún color.¿Cuántas tiras y de qué color son las tiras que utilizaste?Respuesta: ____________________ (72,4%)

Forma un tren que tenga 30 centímetros de largo utilizando tiras de doscolores diferentes.¿Cuántas y de qué color son las tiras que utilizaste?Respuesta: ____________________ (78,4%)

Construye el tren más largo que se puede formar con tres tiras de coloresdiferentes.¿Cuánto mide en centímetros el largo de este tren?

Respuesta: ____________________ (36%)


Respuesta: ____________________ (18,3%)

Ahora forma un cuadrado de tres tiras de color verde claro.¿Cuál es su perímetro?

Respuesta: ____________________ (22,7%)


RESUMEN DE LAS TAREAS DE LA PRUEBA DE MATERIALCONCRETO DE SEXTO GRADO DE PRIMARIA17

Fíjate en los objetos que se indica en cada pregunta y responde:¿Cuánto crees que mide el largo de una tira marrón?

Repuesta: ___________________ (35,9%)

¿Cuánto crees que mide un lado de la base del geoplano?

Respuesta: ____________________ (37,5%)

Ahora con tu regla mide lo que se indica en cada caso y escribe su medi-da.

El largo de una tira marrón mide: ______ (58,7%)

El lado de la base del geoplano mide: ____________ (53,3%)

Forma un tren que tenga 24 centímetros de largo utilizando tiras de dife-rentes colores.No puedes repetir ningún color.

¿Cuántas y de qué color son las tiras que utilizaste?

Respuesta: _______________ (83,3%)

Forma un tren que tenga 30 centímetros de largo utilizando tiras de doscolores diferentes.¿Cuánto mide en centímetros el largo de este tren?

Respuesta: _____________ (79,2%)

Construye el tren más largo que se puede formar con tres tiras de coloresdiferentes.¿Cuánto mide en centímetros el largo de este tren?

Respuesta: _____________ (19%)

17. El porcentaje entre paréntesis indica el porcentaje de respuestas correctas a la pregunta respectiva.

ANEXO 1

72


Respuesta: ________________________ (21,7%)

Construye un tren con dos tiras anaranjadas y una rosada.

¿Cuál es en centímetros el perímetro de este tren?

Respuesta: ______________ (15,2%)


Respuesta: _________________ (17,4%)

En el geoplano, con ligas, representa un rectángulo, de modo que uno desus lados mida 12 centímetros.

Escribe en centímetros la medida de cada uno de los otros tres lados deeste rectángulo.

Respuesta: _________ centímetros; _______________ centímetros;

___________ centímetros. (63,6%)

¿Cuál es el perímetro del rectángulo que has representado en el geopla-no?

Respuesta: _________ centímetros. (23,9%)


Respuesta: _________ metros. (4,9%)


Fíjate que el cuadradito crema tiene 1 centímetro cuadrado de área.

Mide la superficie de la figura siguiente utilizando como unidad el cua-dradito crema.

Respuesta: El área de la figura es _______ cuadraditos cremas. (79,3%)

¿Y cuál es el área de la figura en centímetros cuadrados?

Repuesta: El área de la figura es ______ centímetros cuadrados. (53,3%)

Sobre la base del geoplano, construye un cuadrado de 3 centímetros delado.

¿Cuál es el área del cuadrado que has construido?

Respuesta: ______ centímetros cuadrados. (13,6%)

Sobre la base del geoplano, construye un rectángulo cuyos lados midan12 centímetros y 6 centímetros.

Ahora mide la superficie de este rectángulo utilizando como unidad uncuadrado del geoplano de 3 centímetros de lado.¿Cuántos de estos cuadrados tiene de área el rectángulo que has construi-do?

Respuesta: ______ (57,1%)

¿Y cuál es en centímetros cuadrados el área de este rectángulo?

Respuesta: ______ (11,4%)

74

Coge una cajita de fósforos y cubitos blancos.

Fíjate que el volumen de un cubito blanco es 1 centímetro cúbico.¿Cuál es aproximadamente en centímetros cúbicos el volumen de estacajita de fósforos?

Respuesta: ________ centímetros cúbicos. (35,3%)

Utiliza tres cajitas de fósforos y construye un bloque.Aproximadamente, ¿cuál es en cubitos blancos el volumen del bloqueque has construido?

Respuesta: ________ cubitos blancos. (30,4%)

¿Y aproximadamente cuál es el volumen del mismo bloque en centíme-tros cúbicos?

Respuesta: _____________ (23,9%)


ANEXO 3

MÓDULO DE MATERIALES DISTRIBUIDOS POR EL MINISTERIODE EDUCACIÓN A LOS CENTROS EDUCATIVOS DE

EDUCACIÓN PRIMARIA

MATERIAL DIDÁCTICO DE 3º Y 4º GRADOS

ÍTEM MATERIAL DESCRIPCIÓN

1 CASCABEL � 1 cascabel con 8 sonajeros� 1 instructivo

2 SALTERIO � 1 salterio de madera con cuatro platillos metálicos� 1 instructivo

3 TAMBORÍN � 1 tamborín de madera y badana de 25 cm de diámetro� 2 palillos� 1 instructivo

4 LUPAS � 4 lupas de 4x� 1 instructivo

5 IMANES � 1 imán en forma de herradura de 75 mm� 4 imanes en forma de barra de 68 mm

6 BRÚJULA � 1 brújula� 1 instructivo

7 BALANZA � 1 balanza con dos platillos y dos recipientes para líquidos� Pesas de plástico y de metal� 1 instructivo

8 MEDIDAS � 3 envases de plástico transparente con medidas de DE CAPACIDAD 1 litro, ½ litro y ¼ litro

� 1 instructivo

9 TUBOS DE ENSAYO � 6 tubos de ensayo de plástico

10 PORTA TUBOS � 1 porta tubos de metal plastificado con capacidad DE ENSAYO para 48 tubos

11 RELOJ � 1 reloj de cuarzo de 20 cm de diámetro con funcionamiento a pila� 1 instructivo

12 JUEGOS DE � 15 triángulos amarillos, 15 triángulos azules, 15 triángulosPOLIEDROS verdes, 15 triángulos rojos

DESARMABLES � 7 cuadrados amarillos, 7 cuadrados azules, 7 cuadradosverdes, 7 cuadrados rojos

� 3 pentágonos amarillos, 3 pentágonos azules,3 pentágonos verdes, 3 pentágonos rojos

� 1 instructivo

13 JUEGO DE CUBOS � 100 cubos de plástico� 5 tarjetas plastificadas con muestras de figuras armadas

con los cubos� 1 instructivo

76

MATERIAL DIDÁCTICO DE 5º Y 6º GRADOS

Área

ComunicaciónIntegral

LógicoMatemática

Ciencia yAmbiente

PersonalSocial

Descripción

� Un par de maracas� Cajón� Juego de razonamiento

lógico-verbal� Tablero ruleta-magnético

del lenguaje

� 10 calculadoras� Trimino para cuatro

operaciones� Juego de mosaico

trapezoidal ytangramas

� Trípode� Mechero� Juego de 12 tubos de

ensayo� Pinzas� Gradillas para tubos de

ensayo� Juego de 12 tapones� Dinamómetro� Estación de experimentos

del agua y del aire

� Planisferio

Descripción

� Huiro� Cajón� Juego de razonamiento

lógico-verbal� Tablero ruleta-magnético

del lenguaje

� 10 calculadoras� Cronómetros� Juego de pentabloques y

pentominos� Juego de 4 envases para

volumen

� Trípode� Mechero� Juego de 12 tubos de

ensayo� Pinzas� Gradillas para tubos de

ensayo� Juego de 12 tapones� Dinamómetro� Estación de experimentos

del agua y del aire

� Planisferio

Área

ComunicaciónIntegral

LógicoMatemática

Ciencia yAmbiente

PersonalSocial

QUINTO GRADO SEXTO GRADO

el aprendizaje de la mediciÓn

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