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ANEXO. – Desarrollo Técnico de la Investigación

El análisis numérico de la estabilidad de los estados de equilibrio de los

remolinos cuasi-geostróficos

Resumen

Las observaciones muestran que entre los remolinos oceánicos son frecuentes los

casos de la formación de las configuraciones cuasi-estacionarias, cuando durante la

evolución del solitario, o de los grupos de los remolinos se conservan ciertas propiedades

principales de su dinámica. En la hidrodinámica clásica tales configuraciones se llaman

"estados de equilibrio". De estos se distinguen los estados de traslación y de rotación.

En el primer caso los remolinos se mueven en cierta dirección con la velocidad

constante sin cambios en su forma. En el océano los ejemplos de las configuraciones de

traslación son: (1) el movimiento del remolino a lo largo de la costa o de una singularidad

de la topografía del fondo; (2) la formación de las estructuras del tipo el doblete (con la

forma parecida al hongo) como resultado de la inestabilidad de las corrientes de chorro del

tipo el Gulf Stream o Kuroshio.

En el caso de configuraciones de rotación, los remolinos participan en el

movimiento giratorio con la velocidad angular constante o se mueven a lo largo de una

órbita constante, o se quedan inmóviles en algún lugar. Esto puede ser: (1) los remolinos de

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la naturaleza topográfica; (2) la interacción entre los remolinos con la circulación igual; (3)

los remolinos formados bajo la influencia del cierto campo externo de las velocidades.

Los estados indicados pueden existir durante tiempo considerable; pueden pasar de

un estado a otro; o pueden destruirse por la inestabilidad interna o bajo la influencia de las

fuerzas externas.

En el presente proyecto algunos estados de equilibrio en los casos del océano

barotrópico y baroclínico (de dos capas) fueron construidos y investigados numéricamente

mediante el modelo cuasi-geostrófico. Las condiciones y peculiaridades de la inestabilidad

de estas configuraciones fueron detectadas. Se encontró (en ambos casos) una

transformación nueva, que consiste en la generación de las estructuras orbitales, en

particular, el tripolo asimétrico.

Introducción

La propagación de un par de vórtices iguales en un fluido ideal ilimitado es un

problema clásico en la hidrodinámica bidimensional gobernable por las ecuaciones de

Euler. Un aspecto importante de este problema involucra soluciones de equilibrio para las

manchas de vorticidad con el área finita, conocido como V-estados [1].

V-estados de traslación, cuando los vórtices siguen con una velocidad constante sin

cualquier cambio en la forma, se estudia bien. Sadovskii (1971) y más tarde Saffman y

Tanveer (1982) calcularon la forma de una configuración vórtice límite, cuando los vórtices

tienen la frontera común (ver también Wu et al. (1984)). Los ejemplos particulares de un

par de manchas del vórtice se presentaron por Deem y Zabusky (1978). Pierrehumbert

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(1980) calcularon a una familia de los estados de equilibrio dependientes de el tamaño del

vortices y de la distancia entre sus centros. Kozlov y Makarov (1998) consideraron un solo

vórtice cerca de una pared infinitamente larga con dos huecos singulares a través de los que

un flujo potencial fue generado. Un estado inmóvil de un vórtice, localizado contra la pared

entre los huecos, fue encontrado analíticamente, para el caso cuando la mancha del vórtice

tenía forma elíptica, y numéricamente en un caso general. Los estados de equilibrio

orbitales, cuando el vórtice se mueve a lo largo de una órbita constante, fue presentaron por

Makarov y Bulgakov (2008).

En dicho proyecto los nuevos estados de equilibrio fueron construidos mediante un

algoritmo numérico y después fueron examinados por la inestabilidad mediante el método

de la dinámica de contornos.

Métodos y materiales

1. El algoritmo de construcción de los estados de equilibrio

En el presente trabajo se utiliza el esquema numérico que representa la

generalización del algoritmo, ofrecido por Makarov y Bulgakov (2008). El método es

basado en el uso de la condición de equilibrio, el cual es escrito para el componente del

vector de la velocidad normal a la frontera del vortice.

La condición de equilibrio tiene la forma simple:

( ) ( ) ( ) ( ) 0v x u U yν ν ν ν′ − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ′ , (1)

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donde parámetro ν ≥ 0 se cambia monótonamente a lo largo del contorno C, U es la

velocidad constante progresiva del par de vortices, u(ν) y v(ν) – son los componentes del

vector de la velocidad en el punto corriente ν del contorno.

Fig. 1. Escuema del algoritmo.

Las coordenadas de la partícula líquida que está en el contorno del vortice, es

posible presentar en la siguiente forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

exp cos ,

exp sin .c

x r

y Y r

ν ν θ ν

ν ν θ ν

⎧ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

= + ⎡ ⎤ ⎡⎪ ⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎤⎦ (2)

Si para el ángulo polar dar la dependencia simple lineal

( ) 0 , constθ ν θ δν δ= + = , (3)

ec. (1) es reducido a la ecuación ordinaria diferencial del primer orden relativamente a r(ν),

con la solución común

( ) ( )00

r r f r dν

ν δ ν= + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ν , (4)

donde

( )( )

cos sinsin cos

u U vf

U u vθ θθ θ

− +=

− +. (5)

5 

 

−

Cuando el contorno es aproximado por un sistema de N puntos de referencia ν = 0,

1,..., N y r (0) = r (N), r(0) = r(N), δ = 2π N -1, de la ecuación (4) sigue el procedimiento

simple iterativo para la construcción del estado de equilibrio

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1

1 , 1,2,..., 1k k kr r f r d Nν

ν

ν ν δ ν ν ν+ +

−

⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦∫ , (6)

el cual debe ser completado con una relación para el cálculo de la velocidad progresiva U.

2. El método de la dinámica de los contornos

La solución numérica del problema de evolución no lineal de los vórtices da el

algoritmo de la cirugía de los contornos (Dritschel 1988, Makarov 1991) que es la

generalización del método de la dinámica de los contornos (Zabusky, Hughes y Roberts

1979, Kozlov 1983) a un caso cuando la transformación topológica de los contornos se

requiere. De ecuaciones principales del problema sigue que el campo de velocidad es

definido únicamente por la forma de contorno líquido C. El algoritmo computacional

consiste en la aproximación del contorno por el sistema de puntos de referencia (ξn, ηn) y

en la solución subsecuente de las ecuaciones integro-diferenciales

( ) ( ), , , , 1, 2,...,n n n n n nd dt U d dt V n Nξ ξ η η ξ η= = = , (7)

las cuales describen el movimiento lagrangiano del contorno. El sistema de ecuaciones (7)

se resuelve usando el esquema de Runge-Kutta de cuarto orden. Después de cada paso de

tiempo un spline cúbico periódico se usa para redistribuir los nodos uniformemente a lo

largo del contorno, y las transformaciones topológicas se llevan a cabo si es necesito

(Makarov 1996, Sokolovskiy y Verron 2000).

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Resultados

1. Caso barotropico

La familia de los estados de equilibrio de traslación (Pierrehumbert, 1980) es el caso

especial (cuando la circulación y la velocidad angular son iguales al cero) de una familia

común de los estados orbitales. En este caso para el análisis de la estabilidad es posible

examinar el diagrama de la dependencia del momento angular del vórtice individual de la

velocidad lineal U del movimiento progresivo de los vórtices.

Figura 2а muestra la parte superior de esta curva, donde hay todos los puntos

extremos de la función. En el intervalo restante la curva es rigurosamente monótona. Es

interesante notar que la presencia del máximo intermedio en la cantidad de la velocidad del

traslado no se notaba antes en la literatura. El valor máximo de la velocidad (el punto B) y

el valor mínimo del momento angular (el punto C) no coinciden.

Fig. 2. Propiedades de inestabilidad

La recta punteada en Fig. 2а, dibujada paralelamente al eje U a través del punto A

(que corresponde al estado limite), divide la solución al respecto del parámetro d en los

intervalos de univocidad (del punto A hasta el punto D) y de no univocidad (del punto D

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hasta la infinidad). Es decir, en el intervalo de no univocidad los estados de equilibrio con

los mismos momentos angulares (y áreas) pueden tener la velocidad diferente. La idea es

que el punto D puede servir como un criterio de la estabilidad de la solución.

Los valores de parámetros principales de los estados de equilibrio en los puntos

presentados en Fig. 2а, son mostrados en la Tabla 1.

Tabla 1.

d U J0-1 η δ ε

A 0.4679 0.2910 0.1417 3.3378 0.5000 0.6000

B 0.4807 0.2914 0.1434 3.1786 0.4986 0.6309

C 0.5619 0.2876 0.1477 2.6240 0.4884 0.7803

D 0.6797 0.2745 0.1417 2.1566 0.4728 0.9804

E 0.6861 0.2736 0.1410 2.1372 0.4720 0.9909

F 0.6916 0.2729 0.1405 2.1209 0.4714 1.0000

Los resultados de algunos experimentos numéricos mediante el método de la

dinámica de contornos son mostrados en Fig. 2b como las trayectorias para el centro del

vórtice superior. Cualquier estado de equilibrio recorre la distancia no menos de tres radios.

Las trayectorias que corresponden a los puntos críticos son marcadas por las letras que

corresponden al Fig. 2a.

Figura 2c muestra el "tiempo" l (en las distancias pasadas) del inicio de la primera

fase (la curva continua) y de la segunda (la curva con los puntos, en que se cumplían los

experimentos) de la inestabilidad. La primera fase era fijada según el criterio δP > 0.001, la

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segunda - por la primera transformación topológica de cualquier de los contornos. Con

respeto a configuración final, los estados de equilibrio se dividen a dos intervalos: cuando d

<~0.59 se obtiene un tripolo asimétrico orbital, mientras que al contrario siempre se genera

un dipolo orbital. Los resultados presentados en Fig. 2b-c, no dependen prácticamente de

los parámetros del algoritmo numérico.

La evolución de los estados de equilibrio inestables fue calculada por el método de

la cirugía de contorno y puede ser dividida en 5 fases. (1). La fase del comportamiento

estable, cuando todos los parámetros y la forma de los vórtices se quedan prácticamente

constante. (2). La fase de las interacciones elásticos, cuando se pierde la simetría de los

contornos y su forma inicial. (3). La fase de la interacción activa inelástica, es decir, la

destrucción de la estructura topológica inicial de los vórtices, acompañada por el proceso

intensivo de filamentacion. (4). La fase de la estabilización, durante la que la nueva

estructura coherente es formada. (5). La fase final del comportamiento estable de la nueva

configuración cuasi estacionaria.

La fase final consiste en el movimiento estable de las configuraciones cuasi

estacionarias a lo largo de una órbita hasta la terminación de los cálculos (hasta 2000 -

4000 y más unidades del tiempo). Los cálculos han mostrado que existen dos principales

tipos de la estructura final obtenida en proceso de evolución.

El primer tipo es un dipolo asimétrico estable el que va a lo largo de la órbita casi

circular, que, a su vez, se traslada por la órbita del radio esencialmente más grande (a veces

paralelamente el eje) a cuenta de la interacción con el tercer vórtice pequeño. El ejemplo de

tal movimiento es presentado en Fig.3.

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Fig. 3. Las características de la formación del dipolo asimétrico orbital

Fig. 4. Las características de la formación del tripolo asimétrico orbital

El segundo tipo, que aparentemente no fue anteriormente observado, es un tripolo

asimétrico estable. Esta configuración además de su propio bastante complicado rotación

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participe en un movimiento "externo" orbital. En la existencia del curto externo

(relativamente del tripolo) vórtice, toda la configuración puede trasladarse casi por la

trayectoria rectilínea (Fig. 4а). Sin satélite la trayectoria externa del tripolo asimétrico se

hace prácticamente circular (Fig. 4с).

2. Caso baroclínico (con dos capas)

Las distribuciones de los parámetros básicos de los estados de equilibrio construidos

con 10-13 ≤ γ* ≤ 10 и -0.34 ≤ h* ≤ 1 se presentan en la Fig. 5.

Fig. 5. Los parámetros de los estsdos de equilibrio de los vórtices baroclínicos (de dos

capas)

En el eje de las ordenadas (cuando γ* → 0) se localizan los estados inmóviles

redondos, con la distancia 2h* de centro a centro. El mismo límite es alcanzado,

evidentemente, y cuando h* → ∞. En el primer caso la inmovilidad es determinada por la

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estructura de las fórmulas para el cálculo de las velocidades que lleva a la compensación

especifica. En el segundo caso la tendencia de la velocidad progresiva al cero es causada

por aumento de la distancia entre centros de los vórtices. Entonces, el eje de las ordenadas y

la recta h* = ∞ son las asíntotas para la velocidad progresiva, el área y excentricidad.

Otro conocido caso limite de los estados inmóviles es dos vórtices redondos que

recubren por completo uno a otro.

Cuando γ* → ∞, en el límite resulta la familia clásica de las manchas de vorticidad

para el par de vórtices barotrópicos (Deem and Zabusky, 1978; Pierrehumbert, 1980), que

se trasladan con la velocidad constante. Esto menciona también Polvani (1991). En caso de

las capas iguales por el espesor la velocidad progresiva del par es por dos veces menos, que

en баротропном el caso barotrópicio. Si también h* → 0, este estado pasa al vórtice

clásico de Sadovskii (1971), mostrado en la Fig. 6.

Fig. 6. El estado de equilibrio limite

Las formas típicas de los estados de equilibrio construidos son presentadas en Fig.

7. La solución con la simetría axial es presentada en la esquina izquierda inferior y también

para при γ* = 2, h* = 0. Notaremos que en este caso el campo de la función de la corriente

construida para la capa superior, no contiene los puntos críticos.

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Fig. 7. Las formas de los estados de equilibrio de los vórtices baroclínicos (de dos capas)

La estabilidad de los estados de equilibrio fue determinada mediante las

calculaciones de la evolución de los mismos con el método de la dinámica de contornos.

Encontramos la zona de inestabilidad localizada debajo de la curva en Fig. 8 y Fig. 9.

Fig. 8. La froniera entre las zonas de estabilidad e inestabilidad para los estsdos de

equilibrio en el plano (de, γe).

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Fig. 9. La froniera entre las zonas de estabilidad e inestabilidad para los estsdos de

equilibrio en el plano (h, γ).

La evolución de los estados de equilibrio inestables en el caso baroclínico es más

complicada, pero en el principio es suficientemente parecida al caso barotrópico: también

existen las estructuras orbitales del tipo de dipolo y tripolo.

Impacto

Los nuevos estados de equilibrio fueron obtenidos y estudiados para los vórtices

cuasi-geostróficos en el océano barotrópico y baroclínico de dos capas. Se detectaron las

condiciones de inestabilidad y los posibles escenarios de la evolución no lineal. Se encontró

una transformación anteriormente no observada – generación de un tripolo asimétrico, pero

estable. Dicho tripolo es el resultado del proceso de la inestabilidad de un dipolo traslado y

consiste de tres vórtices (uno ciclónico y dos anticiclónicos). Toda la configuración se

mueve a lo largo de una órbita circular con la velocidad constante sin ningún cambio en su

forma.

Los resultados obtenidos presentan nuevos elementos teóricos en la dinámica no

lineal de flujos bidimensionales y pueden servir para la interpretación de las observaciones

en los experimentos de laboratorio y en el océano.

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Literatura citada

Deem, G. S. and N. J. Zabusky. 1978. Vortex waves: stationary ‘V-states’, interactions,

recurrence, and breaking. Phys. Rev. Lett. 40, 859.

Dritschel, D. G. 1988. Contour surgery: a topological reconnection scheme for extended

contour integrations using contour dynamics. J. Comput. Phys. 77, 240.

Kozlov, V. F. 1983. The method of contour dynamics in model problems of the ocean

topographic cyclogenesis. Izv. Atmos. Ocean. Phys. 19, 635.

Kozlov, V. F. and V. G. Makarov. 1998. Vortex patch dynamics in a coastal current.

Oceanology 38, 456.

Makarov, V. G. 1991. Computational algorithm of the contour dynamics method with

changeable topology of domains under study. Model. Mech. 5(22), 83.

Makarov, V. G. 1996. Numerical simulation of the formation of tripolar vortices by the

method of contour dynamics. Izv. Atmos. Ocean. Phys. 32, 40.

Makarov, V.G. and S.N. Bulgakov. 2008. Regimes of near-wall vortex dynamics in

potential flow through gaps. Phys. Fluids. 20, 086605.

Pierrehumbert, R. T. 1980. A family of steady, translating vortex pairs with distributed

vorticity. J. Fluid Mech. 99, 129.

Polvani, L. M. 1991. Two-layer geostrophic vortex dynamics. Part 2. Alignment and two-

layer V-states. J. Fluid Mech. 225, 241.

Sadovskii, V. S. 1971. Vortex regions in a potential stream with a jump of Bernoulli’s

constant at the boundary. App. Math. Mech. 35, 773.

Saffman, P. G. and S. Tanveer. 1982. The touching pair of equal and opposite uniform

vortices. Phys. Fluids 25, 1929.

15 

 

Sokolovskiy, M. A. and J. Verron. 2000. Finite-core hetons: stability and interactions. J.

Fluid Mech. 423, 127.

Wu, H. M., E. A. Overman II and N. J. Zabusky. 1984. Steady-state solutions of the Euler

equations: rotating and translating V-states with limiting cases. I. Numerical

algorithms and results. J. Comput. Phys. 53, 42.

Zabusky, N. J., M. N. Hughes and K. V. Roberts. 1979. Contour dynamics for the Euler

equations in two-dimensions. J. Comput. Phys. 11, 440.