el análisis lógico de la vaguedad

El análisis lógico de la vaguedad

Autor: Alejandro Sobrino

Arbor, CXLVI, 573-574 (Septiembre-Octubre 1993), pág. 57-82

ISSN: 0210-1963

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Arbor El análisis lógico de la vaguedad

Alejandro Sobrino

Arbor CXLVI, 573-574 (Septiembre-Octubre 1993) 57-82 pp.

El objetivo de este trabajo es ofrecer información, a través de un breve recorrido histórico, de algunos intentos de analizar lógicamente a la vaguedad En primer lugar, se considera la preocupación de Aristóteles y Lukasiewicz por aspectos del lenguaje ordinario que, como la indeterminación, no se identifican con la vaguedad, pero que han tenido una repercusión importante en el análisis lógico de esta característica. Las dificultades que la vaguedad origina en la sistematización formal clásica del lenguaje son analizadas en las propuestas de dos lógicos notables: Frege y Tarski Se 1nuestra a continuación el interés de Russell por la vaguedad lingüística, asentando algunas tesis que ya son clásicas sobre esta propiedad del lenguaje. Se ilustran por fin dos lógicas tempranas de la vaguedad· la lógica de la «consistencia de aplicacióm de Black y la lógica de los conceptos inexactos de Korner. Por último, se estudian algunas de las característica.<; y prnblemtu asociados a la vaguedad con modos más actuales de análisis lógico, con especial referencia a .la lógica de los enunciados vagos (lógica fuzzy).

l. La preocupación inicial por la vaguedad

Es frecuente encontrar en los textos que de una forma u otra aluden al análisis lógico de la vaguedad referencias que se remontan a Aristóteles_ El motivo no es otro que la preocupación del estagirita por una característica de algunos términos del lenguaje que tienen un horizonte significa-

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tivo abierto. Son los términos de significado indeterminado, donde la carencia de determinación se debe, en alusión del autor, a la incapacidad de decidir ahora algo concluyente acerca de eventos o sucesos que alcanzan una expresión en tiempo futuro. Las oraciones en tiempo futuro o futuros contingentes se han considerado frecuentemente como paradigmas de expresiones indeterminadas y, a menudo, también se le ha atribuido el calificativo de «imprecisas» o «vagas)). El ejemplo clásico de futuro contingente es la célebre expresión aristotélica «Mañana habrá una batalla naval», recogida en el capítulo IX del De Interpretatione. No obstante, la indeterminación se clistingue de la imprecisión o vaguedad, como veremos en ejemplos posteriores.

En el De Interpretatione Aristóteles llama la atención sobre este tipo de oraciones de significado indeterminado y las dificultades que para la lógica tendria recoger en sus Leyes y Reglas (Modos Silogísticos) la indeterminaCión significativa asociada a los futuros contingentes. Un problema inmediato que se adivina es la problematicidad que a este respecto se presenta en el clásico Principio de Bivalencia, que indica que toda oración susceptible de análisis lógico puede ser valorada de dos formas, con «verdad» o con «falsedad», y que esos son los dos únicos modos de valorar. El criterio de demarcación entre expresiones susceptibles de análisis lógico y aquellas que no lo son viene determinado por su carácter asertivo, de compromiso con algún estado de cosas, que es lo que permite decir si son «verdaderas» o «falsas». La oración «Mañana habrá una batalla naval» cumple con este requisito; sin embargo, no puede ser objeto de un análisis lógico tradicional, ya que no es sensato decir hoy que es «verdadero» o «falso» sin más que tal evento ocurrirá mañana.

A pesar de señalar esta contrariedad, Aristóteles no incluyó en su Silogística -su cálculo lógico- moctificación alguna que mostrase un intento de modelar formalmente esta particularidad del lenguaje. Los futuros contingentes cuestionaban el Principio de Bivalencia, pero éste mostraba utilidad en su sistema formal, en los modos de razonamiento silogísticos. A pesar de que Aristóteles no actuó más que como fedatario de los problemas que podía acarrear la indeterminación y no modificó ninguna ley clásica, no re-


sulta equilibrada la denominación de las lógicas que no acatan el Principio de Bivalencia como lógicas no aristotélicas, ya que sí anticipó, de alguna forma, las dificultades que algunas características del lenguaje ordinario, como la indeterminación, podían acarrear a esta ley. Una denominación más apropiada es la de lógicas no crisipianas, en referencia a Crisipo, lógico estoico que hizo una defensa explícita de la Bivalencia vinculada a una visión determinista del mundo. Otra denominación equivalente y más actual es la de lógicas no clásicas (algunas de ellas relacionadas con el análisis lógico de la vaguedad), en las que a Aristóteles se le reconoce frecuentemente un papel germinal.

En efecto, la semilla dejada por Aristóteles y su análisis de los futuros contingentes fue muy importante para desarrollar algunas lógicas no clásicas, en las . que, entre otras particularidades, no vale el Principio de Bivalencia. En particular, su influjo se dejó notar en el inicio de las lógicas polivalentes, algunas de ellas muy vinculadas al análisis lógico de la vaguedad.

Así, en los inicios de este siglo, Lukasiewicz, un brillante lógico polaco, retoma el problema de los enunciados en tiempo futuro. De la oración (referida a su persona) «La n1añana del 21 de diciembre del año próximo estaré en Varsovia» dice -al igual que Aristóteles- sólo se puede decir hoy, sensatamente, que es indeterminada. Pero a diferencia de él, Lukasiewicz propone una valoración nueva, que capture de modo lógico (semántico) la indeterminación de este tipo de oraciones. Es el valor 1/2, que incorpora a su sistema formal, al diseñar tablas de verdad para conectivas en las que figura esta nueva valoración. Diseña así un sistema trivalente de lógica que más tarde sería expandido por el propio Lukasiewicz a un sistema infinitamente valorado, generalizando el concepto de polivalencia y propiciando el surgimiento de las lógicas polivalentes.

Un apunte histórico que reviste cierto interés es que el primer sistema polivalente que propuso Lukasiewicz no fue el trivalente, sino el tetravalente, de cuatro valores de verdad, cuya motivación era ajena a la indeterminación. La preocupación de Lukasiewicz lo era también sobre un tema que tenía cierta relación con el tiempo, pero más explícitamente con un criterio que permitía demarcar oraciones

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necesariamente (intemporalmente) verdaderas (falsas) de oraciones posiblemente (dependientes en buena medida de evaluación temporal) verdaderas (falsas). Ejemplos serian:

(a) Oraciones necesariamente (intemporahnente) verdaderas: «Es martes o no es martes».

(b) Oraciones lógicamente (intemporalmente) falsas: <<Es martes y no es martes».

(e) Oraciones posiblemente (temporalmente) verdaderas: «Mañana me desplazaré en autobús».

(d) Oraciones posiblemente (temporahnente) falsas: «Mañana pesaré dos kilos más que hoy».

Mientras las oraciones de tipo (a) son siempre verdaderas y las de tipo (b) siempre falsas, la evaluación de las oraciones de tipo (e) y ( d), aunque se pueden agrupar indicando que son contingentes, fueron representadas por las fracciones 1/2 y 3/4. Surge así un sistema tetravalente de lógica para el que Lukasiewicz dio sus tablas de verdad, que deberian recoger las cuatro modalidades aléticas: lo necesario, lo imposible y lo posible en sus dos variedades, afirmativo y negativo.

Por tanto, y en resumen, la posible deficiencia de la bivalencia o incluso la conveniencia de la polivalencia resultan en Aristóteles y Lukasiewicz de una consideración por las expresiones en tiempo futuro (vinculada además con el tema de las modalidades al éticas en el segundo). Ambos ponen de manifiesto la indeterminación del significado de algunas oraciones como aquello que establece el criterio de demarcación entre oraciones susceptibles de análisis lógico clásico (bivalente) y las que no lo son. La ausencia de precisión de la oración en el momento de ser proferida seria el criterio que señalaría la imposibilidad de este análisis. Pero mientras Aristóteles apuntó simplemente el problema, fue Lukasiewicz el que propuso una lógica alternativa para esas oraciones, dando lugar así a las lógicas polivalentes, que sistematizan la noción de consecuencia lógica cuando hay más de dos valores de verdad

Por tanto, en el origen de la polivalencia parece que no ha sido central el análisis lógico de la vaguedad. Es el factor temporal el que parece haber sido el desencadenante de la


polivalencia. Sin embargo, a su regazo no se desarrollaron las lógicas temporales, como parecía natural, sino las lógicas polivalentes, a pesar de que fuese tempranamente cuestionado (respecto a los trabajos de Lukasiewicz), si éstas eran las más adecuadas para solventar el análisis lógico de los futuros contingentes. Pero si bien la vaguedad no fue la espoleta de las lógicas polivalentes, alguna de éstas, como es el caso de la lógica infinitamente valorada de Lukasiewicz, es considerada tradicionalmente como una lógica de la vaguedad.

2. El rechazo de la vaguedad

El análisis lógico de la vaguedad no fue tema habitual en los textos de lógica hasta muy recientemente. No obstante, sí constituyó un motivo de zozobra en los primeros sistematizadores de algunas de sus nociones clave, por más que la referencia a este tema en sus obras fuese puntual y minoritaria. Frege y Tarski constituyen ejemplos de lo que decimos.

2.1. En Frege

En la Conceptografía, una de sus obras fundamentales, Frege define a los conceptos vagos como expresiones lingüísticas que tienen sentido, pero no referencia. Dado que, desde un punto de vista lógico, lo que importa de una oración es su referencia y fregeanamente se puede decir que la referencia de una oración es reductible a un valor de verdad, siendo dos los valores admisibles, «verdadero» y «falsm>, para las expresiones vagas no hay función veritativa posible. Esto es, no forman parte del dominio & ninguna función caracteristica clásica y, en consecuencia, deben quedar fuera del alcance de la lógica. El criterio de demarcación que utiliza Frege para separar las oraciones susceptibles de análisis lógico de las que no lo son es, precisamente, la precisión. La oración «3 es un númeró primo» tiene una referencia precisa y de ella se puede decir si es «verdaderm> o «falsa». En cambio, la oración «x es un número grande»

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no tiene un correlato claro para muchas instanciaciones de la variable x. No puede ser valorada, por tanto, en numerosos casos, como «verdadera» o «falsa» y, en consecuencia, debe ser excluida del ámbito de la lógica.

Este criterio conduce a una valoración del lenguaje científico como más propicio a la sistematización lógica que el lenguaje ordinario. Es el lenguaje de la ciencia, (particularmente el de la matemática) el que mejor expresa nuestros pensamientos, nuestros conceptos más acabados y profundos. P. ej., en el ámbito de una observación médica se puede decir que la lupa del microscopio aumenta 1.000 veces el tamaño del tejido o, simplemente, que es un microscopio de mucha precisión. De la primera expresión es posible indicar, a causa de su total precisión como oración, si es verdadera o falsa. De la segunda, en cambio, a pesar de que incluye la palabra «precisión>) pueden existir reservas, a causa de su inespecificidad y vaguedad. No obstante, expresiones como la segunda son más usadas que la primera en contextos específicos de la conversación ordinaria. Esto también sería asumiqo por Frege, pero a renglón seguido indicaría que, si bien no se puede dudar de la existencia de conceptos vagos en el lenguaje ordinario, donde cumplen una misión comunicativa importante, también parece claro que no son apropiados llevar a buen fin argumentaciones rigurosas.

En efecto, una consecuencia indeseable de la presencia de predicados vagos en los argumentos es que conducen a éstos a paradoja. Tal ocurre con el predicado «ser montóm> o «ser calvo», que, a causa de su vaguedad, origina la paradoja del Sorites o Falakros. Esta paradoja puede ser ejemplificada así:

Un acúmulo de n granos es un montón. Si un acúmulo den granos es un montón, al retirarle un

grano a ese acúrnulo sigue siendo un montón.

Todo acúmulo de n granos, incluido el que hace a n = O, es un montón.

(El mismo tipo de argumento se puede constrUir, para la versión Falakros, usando el predicado «calvo»).

Lo que este ejemplo ilustra es que, partiendo en algunos casos de premisas absolutamente verdaderas y, en otros, de


premisas que son verdaderas respecto al juicio hecho sobre la premisa anterior en el orden de extracción de los granos, se llega a una conclusión manifiestamente falsa. Podria considerarse que alguna de las premisas es falsa; en el ejemplo

· de arriba la que hace a n = 1 ó, menos claramente, la que hace a n = 1010 (suponiendo que se agrupan en forma de «montón»). Pero esto no es importante, porque aún así sigue sin estar claro donde dar, con fundamento, el corte que separe el acúmulo que es montón del acúmulo que no es montón, por lo que, para algún n = n-1 que fuese conclusión, estaríamos de nuevo comprometidos. La vaguedad de los predicados vagos hace naufragar, pues, argumentos aparentemente válidos, como los del tipo Sorites.

Además de no expresar el auténtico sentido de las expresiones, los predicados vagos ocasionan problemas en razonamientos que, de incluir términos precisos, serian evaluables claramente como válidos o inválidos. Ponen además en cuestión principios lógicos para Frege tan irrenrmciables como el de Bivalencia. Irrenunciables porque, efectivamente, admite que pueda ser vaga la expresión «Hay un grado de humedad alto», pero en ningún caso admitiría como vaga la expresión compleja «Hay un grado de humedad alto o no hay un grado de humedad alto». Esta última sólo puede ser, en su opinión, verdadera.

Los predicados vagos originan dificultades, pero existen en el lenguaje ordinario. Dado que el lenguaje de la ciencia no puede sustraerse completamente al uso del lenguaje ordinario, alguna solución hay que proponer, entonces, para este tipo de predicados. Frege apunta una doble: (a) su regimentación; esto es, arbitrar algún procedimiento que los convierta en precisos, (b) su eliminación del alcance de la lógica. Ambas operaciones habría que hacerlas de una vez por todas, ya que el dominio de la lógica debe abarcar a todos los conceptos; de otra forma nos encontraríamos con casos en los que la lógica es aplicable y otros en los que no, lo cual a su juicio no es admisible. Para este caso también es aplicable el Principio del Tercio Excluso: o la lógica se aplica o no se aplica.

Esta solución drástica viene propiciada quizás por una peligrosa peculiaridad de los predicados vagos, también apuntada por Frege: su carácter infeccioso. En efecto, la

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expresión «Un caballo es un animal» es una oración precisa. Pero si se le añade el predicado «grande», pasa a ser vaga, a causa de la vaguedad de «grande». La oración «Un caballo es nn animal grande>) conectada a cualquier otra oración precisa convierte a la expresión compleja en imprecisa. De ahí que la regimentación o eliminación fuese concebida por Frege como una operación total y no parcial.

2.2. En Tarsk.i

Úna de las bases de la semántica fregeana se asienta en el principio, ya enunciado, de que la referencia de una oracion precisa es reductible a un valor de verdad. Tarski fue un discípulo de Lukasiewicz que, entre otros méritos, es reconocido por haber tratado de proporcionar un criterio explicito y «neutral» para definir la noción de «verdad» en un lenguaje formalizado, del que es un ejemplo la lógica Dos son los criterios que, a su entender, se han de seguir en tal tarea: la corrección formal y la adecuación material. La corrección formal tiene que ver con la distinción de planos de lenguaje, que evite paradojas como la siguiente:

«La oración de la línea número 29 de la página 5 de este trabajo es falsa es verdadero»

No es el propósito de este ensayo abundar más en este aspecto, ya que es relativamente periférico respecto al tema de la vaguedad. Para más información remitimos al texto clásico de Tarski. Más vinculación con el tema de la vaguedad tiene el criterio de la adecuación material. U na definición de «verdad» se dice materialmente adecuada si responde al esquema T (truth), que se ejemplifica de la siguiente manera:

«p» es verdadero si y sólo si p, ·

donde el p entrecomillado es el nombre de p, que eventualmente puede corresponderse con una proposición o con un estado de cosas. «p» pertenece, por tanto, a un nivel metalingüístico y de p sin entrecomillar decimos que está en el lenguaje objeto.


En un lenguaje formalizado, el criterio T puede ser objeto de la siguiente ejemplificación. Considérese el grupo ordenado de los enteros, E=< Z, <, +,-,O>. El lenguaje de E, L (E), tiene como alfabeto

(a) Símbolos predicativos: =, L (b) Símbolos funcionales: P, M (e) Símbolos constantes: O L (E) contiene además, m símbolos constantes para todos

los m e Z. Una interpretación de los términos cerrados deL (A), tA,

seria de la siguiente forma:

t

m p (tl, 12) M (t1, tz)

donde a m se le puede interpretar como «su número», a P como «más» y a M como «menos». Un ejemplo de definición de verdad para una proposición en la estructura indicada usando el esquema T seria el siguiente:

2 + 2 = 4 es verdadero syss 2 + 2 = 4 (esto es, si la adición de los números 2 y 2 da como resultado el número 4).

Tarski aventuró en su trabajo las dificultades que en su opinión tendría la aplicación del criterio T a los lenguajes naturales. Una se refería al número infinito de oraciones que pueden ser generadas en el lenguaje natural. La otra tiene como punto de inflexión a la vaguedad. Cuando el lenguaje incluye términos vagos, parece complicado dar ejemplificaciones del esquema T (a no ser que se relaje el mismo concepto de verdad). Obsérvese sino los •siguientes ejemplos.

(a) «X es un número redondo» es verdadero syss x es un número redondo, donde «número redondo» se define como aquel número que consta de una cantidad relativamenle alla de (aclores primos comparativamente pequeños entre sí. Dada la vaguedad de «número relativamente alto»

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y de «comparativamente pequeño», se hace muy complicado establecer una equivalencia única y precisa entre el nombre de un número redondo y el número redondo en sí (bajo el supuesto, que no contraviene a Tarski, de que no se dispusiese de un cálculo que indicase en qué medida x es un número redondo).

(b) «Gringo es alto» es verdadero syss Gringo es alto, donde Gringo es alto puede ser sustituido por la oración precisa, Gringo mide 1,70 m. Otra vez la correspondencia entre el nombre de tm estado de cosas y ese estado de cosas («Gringo es alto» es verdadero syss Gringo mide 1,70 n1.) es problemático, ya que en la mayoría de los contextos no se podria establecer de forma biunivoca.

De nuevo un tema central de la lógica clásica, cual es la definición de «verdad», se convierte en problemática si la lógica pretendiese sistematizar su objeto de estudio, la noción de consecuencia lógica, en el lenguaje ordinario, y no se restringiese al dominio del lenguaje científico o matemático. El lenguaje preciso aparece así como una garantía de la «maquinaria» deductiva de la lógica: evita paradojas (Frege) y permite usar uno de los criterios que explicitan la noción de «verdad>> en un lenguaje formal (Tarski). No obstante, el lenguaje vago tiene un papel importante en la argumentación ordinaria (Frege y Tarski).

3. La vaguedad considerada: Russell

A pesar de las dificultades que la vaguedad originaba a la lógica clásica en su intento de sistematizar conceptos fundamentales implícitos en la noción clásica de consecuencia, Russell, uno de los principales impulsores de la monumental tarea de la fundamentación lógica de la matemática, emprendida en la obra compartida con Whitehead, Principia Mdtematica, escribe en el año 1923 un trabajo titulado «Vagueness». Para publicar este artículo elige el primer número de una revista que acababa de nacer, el Australiasian Journal of Philosophy, a la postre una publicación de prestigio. Que Russell se ocupase de la vaguedad encuentra justificación en el proyecto global de la filosofía analítica, para la


cual la mayoría de sus problemas provenían de un uso deficiente de su propio discurso, que a menudo se revelaba como incorrecto o falaz. En la tarea de desinfección del lenguaje de elementos que pudiesen distorsionar la argumentación en general y filosófica en particular, la vaguedad era un elemento a tener en cuenta. Respecto a esta característica, Russell hace algunas anotaciones que se han convertido ya en clásicas.

De la vaguedad dice Russell que es una característica intrinseca, no accidental de los predicados que denominamos «vagos». En efecto, los predicados vagos son inerradicablemente vagos, en un doble sentido: (a) bien porque tomamos al lenguaje tal y como se nos da y no hacemos juicio ulterior alguno acerca de un posible contexto que lo convertiría en preciso, (b) bien porque, aún precisando el contexto, el predicado permanece vago. El sentido (b) tiene obviamente un aire de irreductibilidad superior al (a). P. ej., la oración «Es alto» puede ser vaga en el momento de ser proferida Con más información, quizás podría ser precisada. Eso ocurre cuando se dispone, v. gr., de una cinta métrica que permite sustituirla por la expresión, «Mide 1,70 m.>>. Pero la oración «Una persona que mide 1,70 m. es una persona alta» es vaga y, dada la especificación de la altura de la persona, no parece que haya más mecanismos para reducir o eliminar la vaguedad de esa oración. Por tanto, hay oraciones que, como éstas, son intrinsecamente vagas. Obsérvese también como la oración de arriba no es indeterminada (en el sentido en el que lo eran los futuros contingentes), ya que el postergamiento de su evaluación no garantiza en absoluto su precisión.

Si hay predicados irremediablemente vagos, dice Russell, todo el lenguaje es vago. Para hacer esta afirmación se basa en el principio de infección antes comentado, según el cual los predicados vagos contaminan de vaguedad a las oraciones que les acompañan. En efecto, «Gringo es una persona)) es una oración precisa, pero si Gringo mide 1,70 m. «Gringo es una persona alta» será, en la mayoria de los contextos, una oración vaga a causa de la vaguedad del predicado «alto)).

La tercera característica apuntada por Russell que merece ser destacada tiene relación con las dos anteriores. Si

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hay predicados cuya vaguedad no es accidental, sino intrínseca y si, dado su carácter infeccioso, todo el lenguaje es vago, entonces, la lógica o bien se sustrae del lenguaje natural, como ocurría en Frege, o se muestra incapaz de hacer un análisis lógico del mismo. Russell se adhiere a esta última posibilidad e indica que la lógica clásica no se puede ocupar del lenguaje natural, ya que pertenece a un reino celestial, no al mundo terreno donde discurre nuestra cotidianía conversacional.

Por tanto, parece claro que la lógica clásica no podía ocuparse del lenguaje natural. A causa de la precisión como criterio de demarcación entre oraciones susceptibles de análisis lógico y oraciones no susceptibles de análisis lógico, la vaguedad estaba sujeta a una alternativa exclusiva: o era eliminada o no debía entrar dentro de los propósitos analíticos de la lógica. No obstante, pronto se dejó notar en el ámbito de la filosofía analítica un interés por éste y otros aspectos del lenguaje natural. Esta motivación tuvo como origen un giro en la propia filosofía del lenguaje, uno de cuyas mejores ejemplificaciones es la obra de Wittgenstein. En el Tractatus, se ocupa de la forma lógica de las oraciones y «de aquellas de las que no puede hablarse (conforme a los cánones de la lógica) mejor es callarse». En las Investigaciones Filosóficas, en cambio, se entusiasma con los juegos de lenguaje, con la diversidad de formas comunicativas que nos permiten verbalizar nuestra cotidianía. El interés por el lenguaje ordinario coincide también con la preocupación por modelar conductas inteligentes comunes, después de que algunas de las consideradas facultades superiores hubieran sido ya simuladas, p. ej., por las calculadoras. Surge así la futeligencia Artificial, a cuya sombra proliferan un conjunto notable de lógicas no clásicas, entre ellas, las lógicas de la vaguedad.

No obstante, también en la etapa más logicista de la filosofía de lenguaje se hicieron intentos de un análisis lógico de la vaguedad. A continuación recogemos dos de las propuestas más notables.


4. El análisis lógico de la vaguedad. Primeros intentos

4.1. La lógica de la «consistencia de aplicación» de Black

Black comparte la opinión de que los predicados vagos forman parte habitual del lenguaje y que muestran su importancia en la conversación ordinaria, donde no se requieren normalmente conceptos precisos. Ensáyese sino a tener una conversación corta en la que no figuren términos vagos. Pero la imprecisión provoca una relación problemática entre la lógica y el lenguaje, ya que ni los conceptos vagos deben ser excluidos del alcance de la lógica, ni ésta ha sido diseñada para tratar con predicados vagos. Para salir de este impás, Black propone la conveniencia de diseñar un simbolismo apropiado para el tratamiento de la vaguedad, de tal forma que las «leyes de la lógica, en su interpretación abso- . lutistica usual, aparezcan co1no un punto de partida de leyes más elaboradas de las cuales las anteriores puedan ser consideradas ahora como casos especiales o limitantes».

La lógica de Black presupone algunas caracteristicas de su concepción del lenguaje. En su opinión, un análisis lógico del lenguaje natural muestra que dentro de cada comunidad de habla se dan un conjunto de convenciones para el uso de los términos o conceptos de su lengua. Un hablante de esa comunidad hace un uso vago de un término si hay un objeto o serie de objetos para los cuales no sabernos decir si el término en cuestión se aplica o no se aplica, en una definición de término vago con resonancias peirceanas. Los objetos para los cuales no sabemos decir si un símbolo se aplica o no se aplica constituyen la franja de aplicación del término. El análisis lógico de la vaguedad pasará entonces, en buena medida, por la de dar una representación formal adecuada del concepto de «franja».

Una franja, relativa a un concepto, es aquella zona donde no se puede decir sin más si el concepto se aplica o no se aplica. Esto es, es una zona donde existe un «gap» de valoración, y donde no tiene validez el Principio del Tercio Excluso. P. ej., y referente a una gama cromática, sea R el término vago «rojo» y sea S una serie de 10 tarjetas donde los colores se van difuminando de la primera a la última. Rx significa que x cae bajo la extensión de R y 1Rx que x

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cae fuera de la extensión de R. Supongamos que las tarjetas van difuminando el color «rojo» de la 1 a la 10, de manera que de 1-4 no hay dudas acerca de que son rojas o, cuando menos, que tienen más de rojo que de otro color. De 7 a 1 O, en cambio, son no rojas. Quedan las tarjetas S y 6 que son dudosas; esto es, algunos hablantes dirían que tienen más de «rojo» que de otra cosa y otras que tienen más que ver con otros colores que con el rojo. Esto lleva a un solapamiento de las extensiones de Rx y 1 Rx para la zona comprendida entre T 4 y T7, incompatibles con las propiedades de la negación clásica, ya que determinadas tarjetas, como T5 y T6, se sitúan en la extensión de la «caja negra)} donde reclaman extensión tanto TR como TNR.

------- TR

o TNR

TL T2 T3 T4 T5 T6 TI T8 T9 TIO u

U= {Tarjeta 1, ... ,Tarjeta 10}; TR =tarjetas r ojas; TNR =tarjetas no rojas

Esto es, en la franja vale el Principio de Contradicción, ya que se verifica que 3x (Rx A , Rx), o, en una formulación alternativa, que 3x (-, Rx A , (• Rx)). Por tanto, esta definición de franja no es lógicamente correcta a no ser que se proporcione un nuevo sentido de la negación. No se puede decir que la franja esté mal definida: se sabe que son las tarjetas S y 6 las que se solapan. Pero, con una negación clásica, tampoco se puede decir que esté bien definida, pues siguiendo un argumento tipo-Sorites, ¿por qué es TS la que se solapa y no T4?

Una definición más rigurosa de «franja» pasa por caracterizar a una «comunidad de hablantes» que usa una lengua determinada, donde el resultado del uso es considerado no como un dato introspectivo, sino como un dato real. Dado que, como se indicaba antes, las franjas no están bien definidas, existen variaciones. Las variaciones pueden deberse


al usuario de la lengua (U) o al objeto lingüístico (0). Si fuesen debidas a U, las variaciones serían subjetivas y probablemente no tendrían un carácter sistemático. Si se debiesen a O, serían objetivas y posiblemente presentarían, en cambio, regularidad. Por tanto, cuando estamos, no ante un hablante que decide poner límites a la extensión de un concepto donde su buen juicio le indica, sino ante un grupo de hablantes de una comunidad, nos encontramos con que las decisiones de establecer limites en las situaciones fronterizas presentan regularidades estadísticas. Esta objetivación de la vaguedad le permite afirmar a Black que la lógica no vale en cualquier mundo posible. La lógica clásica, p. ej., no se aplica a los conceptos ordinarios, mientras que su lógica sí lo hace. Pero para ello hay que hay que hacer una sustitución precisa del concepto de «franja». Propone entonces como sustituta a la noción de «consistencia de aplicación>), que resulla de aplicar procedimientos estadísticos muy sencillos acerca del uso de un término por una comunidad de hablantes.

Denote Dxt la discriminación del objeto x por el término t (en el lenguaje L ). A veces esta discriminación no ofrecerá problemas, pero en la franja o zona de transición es probable que no haya unanimidad entre los hablantes de una comunidad respecto a Dxt. Sea m el número de hablantes que situarían a x bajo la extensión de t y n los que situarían a x en la extensión de --rt. Se define la consistencia de aplicación de t a x como el límite al que tiende la ratio 1n/ n cuando el número de discriminaciones y de ohservaciones se incrementa indefinidamente. Si la consistencia de aplicación es una función de t y de x, se puede representar como C (t, x), que se lee de la siguiente forma: la consistencia de aplicación con la que el término t designa al objeto x en el lenguaje L es C.

En el ejemplo anterior, se puede decir que la consistencia de aplicación para Rx irá decreciendo a partir de T4, mientras que a partir de esta misma tarjeta se incrementará la consistencia de aplicación para -,Rx. La lista de valores obtenidos permiten una representación gráfica de C (t, x), que a menudo adopta la forma de una figura poligonal abierta. Al perfil que dibujado se le denomina perfil de consistencia de la aplicación del término t deL a la seiie S

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de objetos x. La «caja negra)) que ilustraba la nocton de «franja)) es sustituida ahora por trazos que permiten decir algo acerca de en qué medida TS ó T6 son tarjetas rojas.

TR

o TNR

Tl T2 TI T4 T5 T6 TI T8 T9 no u

U = {Tarjeta 1, ... , Tarjeta 10}; TR = tarjetas rojas; TNR = tarjetas no rojas

El perfil de consistencia puede ser visto como una función numérica. Como tal, es ajeno a las dificultades encontradas antes para una definición clásica de la negación. En este caso no habrá una negación total, de manera que el complemento de un término de la serie es lo que queda por delante o por detrás de la serie, sino una negación respecto a la consistencia de aplicación del término a un elemento de la serie. R6 no será la negación ni de Rt ni de Rw. Si la consistencia de aplicación de R6 es g, la de 1R6 será 1-g. La distribución de la consistencia puede ser vista entonces como una indicación del grado para el cual un término se aplica a un objeto; de manera que t(x, g) puede leerse como que x cae bajo la extensión de t con grado g. Se sustituye entonces el concepto intuitivo de «casos fronterizos)) por el preciso de «grado)), introduciendo así una de las nociones clave en el análisis lógico de la vaguedad.

4.2. La lógica de los conceptos inexactos en Korner

La vaguedad vs. precisión vuelve a resurgir en Korner como un criterio de demarcación entre proposiciones a las que se le puede o no aplicar los recursos de la lógica. Los ténninos empíricos tendrían la primera propiedad, provocadora de situaciones dudosas. Los términos de la matemática, en cambio, serian precisos y verificarían las leyes lógicas


clásicas. Uno de los objetivos de Korner es desarrollar una teoría de conjuntos o clases vagas, en la que se reflejen las distintas relaciones lógicas que se verifican en las situaciones de imprecisión.

Las relaciones que se verifican entre los conceptos inexactos se caracterizan, según Korner, por presentar candidatos neutros. Un candidato neutral puede definirse como «un objeto para el cual un predicado es asignado y refutado con igual corrección», esto es, un objeto para el cual tanto la atribución como la negación de nn concepto es conforme a una regla de asignación (de rechazo) de la propiedad al concepto. Sir es el nombre de tal regla y Ces el concepto, r es u.ila regla inexacta de referencia y e es Wl concepto inexacto si:

(a) La atribución de un objeto a C es conforme a r, mientras que la negación transgrede r. Se dice entonces que el objeto es un candidato positivo.

(b) La negación de un objeto a e es conforme a r, mientras que la afirmación transgrede r. Se dice entonces que es un candidato negativo.

(e) Tanto la atribución como la negación de un objeto a C son conformes a r. Se dice entonces que es un candidato neutro.

Es decir, un concepto es inexacto si incluye candidatos positivos, negativos y neutros.

(d) Sí se define un concepto C' requiriendo que los candidatos neutros de C sean candidatos inequívocos de C', C' tendrá candidatos positivos, negativos y neutros.

Es decir, un concepto es inexacto si infecta de inexacti-tud a los conceptos de los que forma parte. ~

Con estas nociones, Korner desarrolla una teoria de clases inexactas. Sean U y V conceptos susceptibles de tener candidatos neutros. Los entrañamientos posibles entre relaciones provisionales y finales son los siguientes:

l. Si la relación provisional es de inclusión, la relación final posible también es la de inclusión.

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2. Si la relación provisional es exclusión, la relación final también es de exclusión.

3. Si la relación provisional es de traslape (intersección), la final también es de traslape.

4. Si la relación provisional es de inclusión, la relación final es de inclusión y traslape; es lo que se denomina K6rner, «traslape inclusivo».

S. Si la relación provisional es de exclusión, la relación final es de exclusión y traslape, es lo que denomina como «traslape exclusivo».

6. Si la relación provisional es de indeterminación, la final es de inclusión, exclusión y en ocasiones traslape.

Si las relaciones posibles son las de 1-3, entonces los conceptos que participan en ellas son exactos. Estas relaciones muestran el sentido usual de la negación en la lógica clásica. Si además se verifican las relaciones 4, S y 6 entonces los conceptos son inexactos. Por tanto, las relaciones propias de una lógica de los conceptos inexactos son las de traslape inclusivo y traslape exclusivo. Su representación conjuntística sería la siguiente:

V V

Traslape inclusivo (Es V y F que un elemento de U es un elemento de V).

u V u V

Traslape exclusivo (Ni es V ni es F que un elemento de U es un elemento de V).


La relación de traslape inclusivo recoge de un modo ilustrativo lo que es habitual denominar como «glut» de valoración. El término «glut» es empleado para indicar una sobreabundancia de valores de verdad, situación propia de los predicados vagos que presentan candidatos neutrales, candidatos que son casos positivos y negativos del predicado en cuestión.

Por el contrario, la relación de traslape exclusivo recoge la noción de «gap» o ausencia de valoración, referida a aquellos casos que ni pertenecen ni no pertenecen a la extensión de algún predicado. Esta relación, más que en consonancia con la noción de «candidato neutro>> refleja mejor lo que sería un candidato indecidible: No es que una proposición determinada tenga una sobreabundancia de valores de verdad; es que ni siquiera se puede decidir qué valoración tiene.

Se definen a continuación otras relaciones, éstas ya específicas para los conceptos inexactos, en la lógica de Korner. Se distingue:

(a) Relaciones lógicas entre expresiones atómicas.

- Relación lógica de un concepto inexacto consigo mismo. Dado un concepto inexacto, un candidato neutro para él puede ser a la vez positivo y negativo. Esto provoca que la relación lógica de un concepto consigo mismo sea de traslape inclusivo y no de inclusión.

- Dado un concepto inexacto, la relación lógica que se verifica entre el concepto y su complementario no es de exclusión, sino de traslape exclusivo.

(b) Relaciones lógicas para expresiones complejas.

Los compuestos de conceptos inexactos pueden ser a su vez exactos o inexactos. Se ejemplifica a continuación en qué casos la suma de conceptos inexactos da como resultado un concepto exacto:

Sea A un concepto exacto y Pl, P2, .... , Pn conceptos inexactos. A es una suma exacta de los P, si y sólo si

(i) Todo candidato positivo de A es un candidato positivo

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de los Pi y todo candidato negativo de A es un candidato negativo de los P¡.

(ü) Todo candidato neutro de algún P¡ es positivo de algún otro P¡.

(iü) Todos los candidatos positivos y negativos de los P¡ agotan a los candidatos positivos y negativos de A.

Si se cwnplen estas tres condiciones, entonces la suma de los P¡ es igual a A y A es exacta. P. ej., «coloreado» es un concepto preciso que es la suma de «verde» + «azul» + ... que son especies inexactas del primero.

Queda así esbozada una rudimentaria lógica de relaciones inexactas. Después de la lógica de la consistencia de aplicación de Black, la lógica de Korner representa nn segundo intento formal de modear la inexactitud. Su aproximación no ofrece, sin embargo, un cálculo numérico de la vaguedad, como se daba a través de la consistencia de aplicación: se analiza únicamente de qué modo las relaciones lógicas para los conceptos inexactos extienden a las relaciones lógicas usuales (que Korner llama provisionales) de los conceptos exactos.

La lógica de los «perfiles de consistencia» de Black y la «lógica de los conceptos inexactos de Komen>, constituyen dos de las aportaciones más notables, si -bien no las únicas, para el análisis lógico del lenguaje vago. Cabe citar que en el periodo que va de la publicación del trabajo de Black (1936) hasta el año 1960, en que se da a conocer el estudio de Korner, las lógicas polivalentes tuvieron nn desarrollo importante. No obstante, como ya indicamos a propósito de su nacimiento, su despliegue no estuvo siempre orientado al análisis lógico de la vaguedad, pero sí a temas relacionados, como la imprecisión o la indeterminación del lenguaje natural (con parentela con la vaguedad). Al mismo tiempo, cada vez se le adivinaban más sus posibilidades aplicadas, fundamentalmente al área de la computación. El ámbito de las aplicaciones será precisamente fundamental en el surgimiento de aquella lógica· que se ha ocupado específicamente, y con más éxito hasta hoy, del análisis de la vaguedad: la lógica fuzzy, sobre la cual daremos a continuación un breve apunte en relación con algunos temas que hemos destacado


en lo que se podía denominar, de modo laxo, como intentos precursores de formalización de la vaguedad.

S. La lógica de los enunciados vagos (lógica fuzzy) como una lógica adecuada para el análisis de la vaguedad

No es el objetivo de este trabajo hacer un relato pormenorizado de la lógica fuzzy. Para eso remitimos al estudio que específicamente se dedica, en este monográfico, a este tema. Nuestra pretensión es sólo apuntar dos o tres notas caracteristicas de esta lógica en la que se muestre la evolución que representan respecto a sus predecesoras en el intento de formalización de la vaguedad.

- En lógica fuzzy la evaluación de una proposición vaga no se corresponde a menudo con un grado de verdad, con uno de los diez decimales que cabe distinguir entre O y 1, que corresponde a un valor de verdad polivalente, sino con un valor de verdad borroso o número borroso. A continuación se expone, en la siguiente secuenCia, una ilustración comparada de las distintas formas de valorar: clásica, polivalente y borrosa.

05 1-------.------4

O .S

o......_ ____ ..... o...._ ___ ___,

X X

o

- ------¡.--'"

,.

X

ní v erdadcro ní raJso

o

Obsérvese cómo mientras en la valoración clásica se puede decir «verdadero)) o «falso» o, alternativamente, 1 y O, en la versión polivalente se suele cualificar a «verdadero» numéricamente, de manera que se dice, p. ej .• «es verdadero

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en grado O, 7». La cualificación numenca, en cambio, es imposible cuando se valora un enunciado vago a través de un número borroso. Un número borroso, brevemente descrito, es un nfunero que agrupa dentro de sí a cuatro numeraciones: la que señala la ascensión hacia la pertenencia, la que indica donde empieza la pertenencia absoluta, la que apunta donde empieza a decaer la pertenencia y, por último, la que señala la no pertenencia, lo que da como resultado el trapecio que se puede observar en el gráfico del margen derecho. Ese trapecio responde al número borroso (0.45, 0.57, 0.65, 0.72), cuya verbalización con1prensible es imposible. Por eso, en vez de ese número decimos que «es más o menos verdadero», ya que el trapecio que corresponde a esas valoraciones se encuentra en la capa mtermedia entre lo absolutamente verdadero y lo absolutamente falso. A diferencia de las valoraciones polivalentes, que se matizan mejor numéricamente, las valoraciones borrosas alcanzan una mejor ejemplificación a través de una etiqueta lingüística. Lo específico de la lógica fuzzy, por tanto, más que ser una lógica de grados de verdad, es ser una lógica de valores de verdad lingüísticos.

Respecto al esquema T de Tarski y a las dificultades que el lenguaje natural vago ocasionaba de cara a su aplicabilidad al lenguaje natural, se puede apuntar una consecuencia de adoptar valoraciones de verdad lingüísticas distintas a «verdadero» y «falso» en la lógica borrosa. La lógica que utiliza Tarski en su explicitación del criterio T se atiene al criterio de verdad aristotélico: Decir de lo que es, es, y de lo que no es, no es, es verdadero; en cambio, decir de lo que es, no es, o de lo que no es, es, es falso. Por tanto, no es raro que, ateniéndose a esta defirúción, se dé la equivalencia

ya que si «p» es verdadero, p es, y si p es, y de p se dice «p», «p» es verdadero. No tiene porqué ocurrir así, sin embargo, en la lógica fuzzy. Dado que disponemos de más valoraciones lingüísticas que «verdadero», la equivalencia de arriba no tiene porqué darse. Se da la implicación en un sentido: si «p» es verdadero, entonces p es. Pero no tiene porqué darse en el sentido contrario: Si p es, dado que p es un objeto


susceptible de una representación vaga, de p puede decirse que es «bastante verdadero», o «más o menos verdadero», no tiene porqué valorarse necesariamente como «verdadero». Los valores de verdad lingüísticos se convierten así en valoraciones apropiadas a la hora de formular posibles propiedades metalógicas de la lógica fuzzy. Constituyen, por tanto, una de sus características más propias.

- En lógica fuzzy tiene una importancia capital el contexto, ya resaltado también en la lógica de la consistencia de aplicación de Black. En lógica fuzzy es posible mostrar cómo una alteración del contexto representa también una alteración inmediata en la valoración de una proposición vaga. El contexto de una regla que mide 1 O cm. una entidad de 9 cms. es alta en grado 0,9. Si la regla utilizada ahora es de 1.000 cm. la misma entidad de 9 cms. sería alta en una proporción mucho menor: 0,009. Por tanto. la evaluación numérica (sea a través de un grado de verdad sencillo, como el que hemos utilizado en el ejemplo, o a través de un valor de verdad borroso, un número borroso) es adecuada si atiende al contexto. En la lógica fuzzy, el contexto queda siempre fijado por el universo de discurso, que se especifica siempre antes de emprender cualquier análisis de un problema. Esta es la razón de que se hable de subconjuntos borrosos y no de conjuntos borrosos.

En un ámbito diferente al de la lógica fuzzy, las teorias formales de contextos han puesto siempre mucha atención en la captura formal de lo que es un contexto. Normahnente éste queda definido delimitando una comunidad de hablantes y definiendo funciones de una serie de factores implícitos en el uso del lenguaje (foco de interés, presupuestos, corpus de conocimiento acerca de lo que se habla, contexto de uso ... ) en el significado del término que se usa. Si con este instrumental no se consigue eliminar la vaguedad del término en cuestión, entonces se usa para su modelización formal una lógica trivalente (normalmente en nna aproximación supervaloracional).

- En la lógica fuzzy se considera que los predicados vagos no tienen todos el 1nismo tipo de vaguedad. Sea, p. ej., el concepto vago <<mover desarrollo en bicicleta» y consi-

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deremos, de modo simplificador, que este concepto es la suma de otros dos conceptos vagos: «cOrona pequeña» y «plato grande». Supongamos que, si un individuo mueve una corona o piñón del 16 mueve desarrollo con grado 0,7. Supongamos, también, que si mueve un plato o catalina del 52, mueve desarrollo con grado 0,6. Si «mover desarrollo en bicicleta» es la conjunción de «mover una corona pequeña» y «mover un plato grande», entonces, usando la definición mayor de conjunción como el mínimo del grado de atribución de los dos conceptos vagos, el resultado sería 0,6. Pero en un terreno llano, y para un ciclista no profesional esta valoración sería normalmente considerada como desmesurada. Ello se debe a que los desarrollos de la corona y el plato no son independientes, sino que de su interacción depende el desarrollo que se lleva en la bicicleta. Por tanto, más apropiado parece usar otra definición de la conjunción, como p. ej., el producto entre los dos grados. En ese caso resultaría 0,42, que rebajarla sustancialmente el valor 0,6 y que estaña más acorde con el sentido de la frase vaga «mover desarrollo en bicicleta» (en el contexto apuntado antes). ·

La vaguedad de los predicados condicionan, por tanto, la lógica de la vaguedad o lógica fuzzy a elegir. Por eso de la lógica fuzzy se dice que es plural, que no hay una única lógica fuzzy, sino varias, tantas como formas diferentes hay de definir a sus conectivas.

6. La relevancia del análisis lógico de la vaguedad

A modo de conclusión, resumimos a continuación la relevancia que en el área filosófica, lógica y computacional, han tenido los intentos de modelización de la vaguedad que hemos señalado en este breve ensayo.

6.1. Relevancia filosófica

Como se ha apuntado a lo largo de este trabajo, el análisis lógico de la vaguedad ha ayudado a destapar o


mostrar algunos problemas filosóficamente importantes. Citamos sólo algunos de ellos:

- Problemas vinculados al ámbito de la ética: el determinismo, la libertad, la elección racional de objetivos mal especificados.

- Problemas relacionados con el análisis del lenguaje: el lenguaje preciso como criterio de demarcación en lógica clásica. La relevancia del lenguaje ordinario tal como se presenta en la comunicación ordinaria. La importancia de la forma lógica de los diferentes juegos de lenguaje.

6.2. Relevancia lógica

La relevancia lógica proviene fundamentalmente de proporcionar modelos formales para el análisis lógico y la sistematización formal adecuada de los razonamientos vagos. Destacamos en este trabajo,

- La necesidad de evitar paradojas.

- Evitar que el lenguaje preciso se constituya en un criterio de demarcación entre lo que es susceptible de análisis lógico y lo que debe quedar excluido_ de su alcance.

- Acentuar el sentir de que es útil extender el ámbito de sistematización de la noción de consecuencia lógica a una parte muy representativa del lenguaje ordinario.

- Extender el concepto de valor de verdad, acentuando la oportunidad de las valoraciones lingüísticas en el contexto de la evaluación de información vaga.

6.3. Relevancia computacional

Viene delimitada por la máxima de L. A. Zadeh -el padre de la lógica fuzzy-, de que una de las características que distinguen al cerebro humano del «cerebro electrónico» es la posibilidad del primero de razonar con información vaga. Las lógicas que hacen un análisis formal de la vaguedad, destacando entre ellas la lógica fuzzy, contribuyen con sus herramientas al diseño de ordenadores cada vez más «humanos»; es decir, contribuyen de manera notable al des-

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arrollo del proyecto de Inteligencia Artificial, una de cuya áreas de investigación más notable y de resultados más esperanzadores se centra en la construcción de artefactos que «entiendan)), «razonen>> y «comuniquen» de modo aproximado o vago.

7. Referencias

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el análisis lógico de la vaguedad

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