ejercitario taller 1 2015
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7252019 Ejercitario Taller 1 2015
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FACULTAD DE INGENIERIA
CALCULO 2 - TALLER 1
bull El objetivo de taller es verificar el trabajo extra aula del alumno
bull El alumno deberaacute entregar los ejercicios resueltos el dia del examen parcial
bull Una vez publicado el resultado del Taller el alumno tendraacute tres diacuteas parapresentar los reclamos correspondientes
bull No se admite trabajos realizados con procesador de texto
bull Se calificara considerando orden y aseo y por ejercicio correctamentedesarrollado
TEMARIO
1 Graficar la curva interseccioacuten de las superficies y representarla mediante unafuncioacuten vectorial usando el paraacutemetro adecuado
a) 022
=++= y x y x z b)
2224 x z y x ==+
c) 2292 y x z x y minusminus=+=
2 Dala la curva interseccioacuten de los cilindros paraboacutelicos z= y 2 e y=x 2
hallar la funcioacuten vectorial que la representa hallar los vectores T y N y el valor
de la Torsioacuten para t=1
3 Dada la curva en el espacio ( ) k jir t t sent t 3232cos3 ++= π π Hallar
a) v y a b) la curvatura κ c) Calcular las componentes de la aceleracioacuten aT y a N
4 El movimiento de una partiacutecula estaacute definido por el vector posicioacuten
983101 983139983151983155 + 983156 983155983145983150 + 983155983145983150 minus 983139983151983155 donde t estaacute expresada en
segundos iquestA los cuaacutentos segundos el vector posicioacuten y el vector aceleracioacuten
son (a) perpendiculares (b) paralelos
5 Calcular T N B para una heacutelice ( ) k jir t t sent t 5232cos3 ++= Ademaacutes
demostrar quedt
d B es perpendicular a B
6 Encontrar la longitud de la curva en el intervalo dado
r (t) = a cos t i + a sen t j + c t k 0 le t le 2 π
7 Hallar las ecuaciones parameacutetricas de la recta tangente a la curva
( )23 12
1
6 +=
+=minus= t z
t
t yt t x para t =1
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8 Sea ( ) f t r
una funcioacuten vectorial dada por2
2 2
2 1( ) 1
1 1
t t f t
t t
minus=
+ +
r
Demostrar que el
aacutengulo formado por ( ) f t r
y( )df t
dt
r
es constante
9 Siendo Ar
y Br
vectores constantes y ( ) f t r
definido como 2 2( ) t t f t e A e Bminus= +
r r r
Demostrar que2
2
( )( ) 0
d f t f t
dt and =
rr
10 Hallar la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva interseccioacuten de las superficies
2022 222=++ z y x 42 22
=++ z y x
11 Siendo ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k = + +
rr rr el vector de posicioacuten ( ) ( )v t r t =
r ramp el vector
velocidad y ( ) ( )a t r t =
r rampamp el vector aceleracioacuten Demostrar que
2( )1
( ) ( )2
d v t v t a t
dt sdot =
rr r
siendo ( )v t r
el modulo de la velocidad
12 Una partiacutecula se mueve a lo largo de la curva x = 3t3 y = t2 z = t3 siendo t eltiempo Hallar a) Los moacutedulos de la velocidad y de la aceleracioacuten en el instante t=1b) La componente de la velocidad y de la aceleracioacuten en el instante t=1 en la
direccioacuten del vector b = 4i -2j + 4k
13 Hallar la torsioacuten de la curva 211
12 2
+=minus
=minus
+=
t zt
t
yt
t
x Razonar larespuesta
14 Un proyectil es lanzado desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 768piesseg a un aacutengulo de elevacioacuten de 30ordm Determinar a) la funcioacuten vectorial ylas ecuaciones parameacutetricas de la trayectoria del proyectil b) la altura maacuteximaalcanzada c) el alcance del proyectil y d) la velocidad o rapidez en el impactocontra el suelo
15 Determinar el plano tangente a la superficie 983101 + 983093 minus 983091 + en
el punto 983101 983089 983101 983089
16 Se llama evoluta de una curva parametrizada regular con curvatura nonula al lugar geomeacutetrico de los centros de curvatura Denotamos la evoluta de
por
a) Encontrar una parametrizacioacuten para
b) Hallar la evoluta de la heacutelice 983101 radic
983139983151983155 radic
983155983141983150 radic
)
17 Hallar las constantes a b y c de forma que F sea irrotacional y demuestra que
se puede expresar como el gradiente de una funcioacuten escalar 983101 + 983090 + + minus 983091 minus + 983092 + + 983090
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18 Siendo k )( j)(i)( z y x R z y xQ z y xPF ++=
rarr
y k )( j)(i)( z y x N z y x M z y x LG ++=
rarr
Demostrar que Grot F F rot GGF divrrrrrr
sdotminussdot=and )(
19 Probar que para todo versor T r
se cumple T rot T T T rrrr
andminus=nablasdot )(
20 Si Ar
es un vector constante probar la identidad
( ) ( ) Bdiv A Brot B Agrad Arrrrrr
=andminussdot
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8 Sea ( ) f t r
una funcioacuten vectorial dada por2
2 2
2 1( ) 1
1 1
t t f t
t t
minus=
+ +
r
Demostrar que el
aacutengulo formado por ( ) f t r
y( )df t
dt
r
es constante
9 Siendo Ar
y Br
vectores constantes y ( ) f t r
definido como 2 2( ) t t f t e A e Bminus= +
r r r
Demostrar que2
2
( )( ) 0
d f t f t
dt and =
rr
10 Hallar la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva interseccioacuten de las superficies
2022 222=++ z y x 42 22
=++ z y x
11 Siendo ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k = + +
rr rr el vector de posicioacuten ( ) ( )v t r t =
r ramp el vector
velocidad y ( ) ( )a t r t =
r rampamp el vector aceleracioacuten Demostrar que
2( )1
( ) ( )2
d v t v t a t
dt sdot =
rr r
siendo ( )v t r
el modulo de la velocidad
12 Una partiacutecula se mueve a lo largo de la curva x = 3t3 y = t2 z = t3 siendo t eltiempo Hallar a) Los moacutedulos de la velocidad y de la aceleracioacuten en el instante t=1b) La componente de la velocidad y de la aceleracioacuten en el instante t=1 en la
direccioacuten del vector b = 4i -2j + 4k
13 Hallar la torsioacuten de la curva 211
12 2
+=minus
=minus
+=
t zt
t
yt
t
x Razonar larespuesta
14 Un proyectil es lanzado desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 768piesseg a un aacutengulo de elevacioacuten de 30ordm Determinar a) la funcioacuten vectorial ylas ecuaciones parameacutetricas de la trayectoria del proyectil b) la altura maacuteximaalcanzada c) el alcance del proyectil y d) la velocidad o rapidez en el impactocontra el suelo
15 Determinar el plano tangente a la superficie 983101 + 983093 minus 983091 + en
el punto 983101 983089 983101 983089
16 Se llama evoluta de una curva parametrizada regular con curvatura nonula al lugar geomeacutetrico de los centros de curvatura Denotamos la evoluta de
por
a) Encontrar una parametrizacioacuten para
b) Hallar la evoluta de la heacutelice 983101 radic
983139983151983155 radic
983155983141983150 radic
)
17 Hallar las constantes a b y c de forma que F sea irrotacional y demuestra que
se puede expresar como el gradiente de una funcioacuten escalar 983101 + 983090 + + minus 983091 minus + 983092 + + 983090
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18 Siendo k )( j)(i)( z y x R z y xQ z y xPF ++=
rarr
y k )( j)(i)( z y x N z y x M z y x LG ++=
rarr
Demostrar que Grot F F rot GGF divrrrrrr
sdotminussdot=and )(
19 Probar que para todo versor T r
se cumple T rot T T T rrrr
andminus=nablasdot )(
20 Si Ar
es un vector constante probar la identidad
( ) ( ) Bdiv A Brot B Agrad Arrrrrr
=andminussdot
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18 Siendo k )( j)(i)( z y x R z y xQ z y xPF ++=
rarr
y k )( j)(i)( z y x N z y x M z y x LG ++=
rarr
Demostrar que Grot F F rot GGF divrrrrrr
sdotminussdot=and )(
19 Probar que para todo versor T r
se cumple T rot T T T rrrr
andminus=nablasdot )(
20 Si Ar
es un vector constante probar la identidad
( ) ( ) Bdiv A Brot B Agrad Arrrrrr
=andminussdot