LOGICA MATEMTICASimplifique las siguientes proposiciones

Bicondicional

Condicional Simple

Morgan

Asociativa

Distributiva

Complemento

Identidad

Distributiva

Complemento

Identidad

Morgan

Condicional

Condicional

Morgan

Distributiva

Complemento

Identidad

3.-Demostrar la siguiente equivalencia lgica

Condicional Morgan Morgan Distributiva Complemento Identidad Asociativa Complemento Identidad

1. Utilizando reglas de inferencia demostrar que se puede concluir r , bajo las siguientes premisas. P1: P (~P ^ Q) P2: ~P (~Q v R) P3: QC1: ~P v (~P ^ Q) Def. Condicional P1C2: ~P Absorcin C1C3: P v (~Q v R) Def. Condicional P2C4: (~Q v R) Tollendo Ponens C2 , C3C5: R Tollendo Ponens P3, C4

CONJUNTOS

Utilizando las leyes de conjuntos simplificar:( AUBUC ) [ ( B-A )C ( C-A )C ] ( AUBUC ) [ ( B-A )C ( C-A )C ] (AUBUC) [ (B AC)C (C AC)C ] Def. Diferencia (AUBUC) [ (BC U A) (CC U A) ] Morgan (AUBUC) [ A U (BC CC)] Distributiva (BUC) U A [ A U (BC CC)] Asociativa (BUC) U A Absorcin AUBUC

Demostrar las siguientes igualdades

DiferenciaDistributiva Complemento IdentidadDiferencia

2.-

Diferencia Distributiva Conmutativa Diferencia

3.-

Diferencia Simetrica Idempotencia Absorcin Diferencia = Morgan Distributiva ComplementoIdentidad Diferencia

SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESECUACIONESHallar los x R tal que se cumpla la siguiente igualdad

1) Sacamos el CVA

-12X+1-++

-x+2++-

CVA [-1;2]

Resolver la Ecuacin = (3-x)

C.V.A.x-3 0 ^ 3 - x0 x 3 ^ x 3 x=3 = (3-x)= = 0 = 0= 0 =0

X=3S = Resolver + = 5a+x+ = 12a ) = =

= 0 0X = 4a x= 3aVALOR ABSOLUTO E INECUACIONESResolver2

2 v - 22 v -2+ 20 v 0 0 v 0 0 v 0 C.V.A. x 0

- -3 0 1 +

Halla el dominio de la relacin para que sea funcin

- -2 3+-++

--+

+-+

- -2 3 +

Resolver la siguiente inecuacin C.V.A

Aplicando la propiedad

- -3 0 + - 0 1 +-++

--+

+-+

-+

-++

+-+

- -3 0 1 +

Resolver la inecuacin: CVA: 0 - 0 +

Resolver: CVA:

CVA:

(+) (-) V V V V - 0 1 +--+

-++

+-+

Sol:

BINOMIO DE NEWTON Y DIVISIBILIDAD1. Demostrar que: n N: 32n 2n es divisible por 7.P(n ) : 32n 2n divisible por 7 i.- P(1): V/ P(1)=32(1) 21 = 7p = 32 2 =7(1) = 7=7p ii.- P(K) P(K+1) H.I.- P(K) = 32K 2K =7p 32K =7p + 2k T.I.- P(K+1) = 32(K+1) -2K =7q = 32K+2 -2K+1 =7qD.- P(K+1) = 32K+2 -2K+1 - = 32K.32 2K.2 = (7p + 2k)9 - 2K.2 = 63p + 9.2k 2k.2 = 63p + 2k (9 -2) = 63p + 2k.7 = 7 (9p + 2k) = 7qP(n) es verdadero divisible por 7

Demostrar por induccin que es divisible para 3

1-) Demostracin: DemuestreSea P =1

3 = 3(1) 2-) Entonces

Sea P=k

P.D. Sea P = k+1

3q

Sea r = 3 r

FUNCIONES REALESFUNCIN INYECTIVA, FUNCIN SOBREYECTIVA, FUNCIN BIYECTIVA Y FUNCIN INVERSA

Sea Trasformar en biyectiva y hallar la inversa.

(+)

PD::inyectiva PD: : sobreyectiva

.. Inyectiva

: no es sobreyectiva.. : Sobreyectiva

.. Inyectiva Sobreyectiva

.. Biyectiva

Inversa

Trasformar la funcin a biyectiva y halle la inversa.

--1 0 +

Redefinida para que sea sobreyectiva

Hallar la inversa.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

EXPONENCIALES

FUNCIN INYECTIVA, FUNCIN SOBREYECTIVA, FUNCIN BIYECTIVA Y FUNCIN INVERSA

Dada la funcin:

a) Demostrar q es inyectivab) Redefinir para que sea biyectiva y hallar su inversa

No tenemos demonio por lo tanto a nica conclusin es que el denominador sea diferente de cero

- 0 +

2

Calculando el recorrido

1

- 1 +

No hay otro conjunto de llegada aparte del conjunto que sacamos por la tanto esta funcin es sobreyectiva

Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez entonces es biyectiva Calculo de la inversaDespejando x

Cambio de variable

Sabiendo que la funcin:

Es inyectiva, transfrmela en biyectiva y determine la funcin inversa

1 -1

- 1/2 1 +

Sean las funciones:f(x)= si x g(x)= si xHallar donde exista.

= = =-1

Si ^ x 0

LOGARITMICAS

INECUACIONES

RESOLVER:

C.V.A: ^ v - +

-2 C.V.A : U

INTERVALO I : x

- -1 7 +--+

-++

+-+

CSI= U CSTI= CSI INT I - + -2 -1 - 7 CSTI:

INTERVALO II : x

- -7 1 +--+

-++

+-+

CSI= U CSTII= CSII INT II - + -7 1 2 CSTII:

Resolver:

CVA

CVA Resolucin

-2+1+3z+2-+++

z-1--++

z-3---+

-+-+

Como la funcin es decreciente por que la base es menor a 1 cambiamos el sentido de la desigualdad

1/8 1/2 16

0 1/8 1/2 16

Resolver

CVA: -4 1 X+4 - o + +x-1 - - o + + - + U

x

Resolver la siguiente inecuacin

C.V.A

-016 +C.V.A

z-3--++

z-1-+++

4-z+++-

+-+-

- 1 3 4 +

- 0 2 8 16 +

Resolver la siguiente inecuacin 2

Cambio de base

0

Resolver la siguiente inecuacin

- -1 6 +-++

--+

+-+

-1/42 +

- 2 +-++

++-

-+-

DOMINIO

Hallar el dominio de la funcin.

1.- Dos positivos1.1) 1.2) 2.- Dos negativos 2.1) 2.2) 1.1 v v v

-

1

-1 1 2

-1

S1 S2

-1 0 1/2

S1: X -1 x 0

2.1

^ -1/4 1/2

S1

2.2

2

S2.2:

ST: S1 U S2

0 1

ST2:

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

ECUACIONES

Resolver la siguiente ecuacin

C.V.A

INECUACIONESResolver la inecuacin

C.V.A.

C.V.A.

MONOTONIAHallar los intervalos de monotona

Resolucin

1) 1

0,21 0 -1

Este recorrido se convierte en el dominio de la siguiente funcin2)

01/4-1-1/21

Intervalos de monotona en la parbola:

NUMEROS COMPLEJOS1. Hallar a y b tales que

Demostrar que:

CALCULO DE LAS N RACES DE UN COMPLEJO

Calcular las 3 races cubicas de:

Si 1 -

Si k= 0

Si k= 1

Si k= 2

Encontrar las 4 races en de: SEA = m+m+1=0m= ; =-+ , =--= -+ ; = -+= ; =

RAICES CUADRADAS DEL COMPLEJO

= -+ == -+ ==60 = 1 =120 =30 = 1 =240EXISTEN DOS RAICES: ; EXISTEN DOS RAICES: ; K=0 k=0

= 0,5+0,866=-0,5+0,866K=1 k=1=== -0,5-0,866= 0,5-0,866