8/16/2019 EjerciciosLimites_YoAprueboMate

1/6

  Clases Para Universitarios Yo Apruebo Mate  Contactanos: yoapruebomate@gmail.com 

Teléfono: +56995600348 

Álgebra de Limites: (Principiantes)Explicado paso a paso.

1.- →

  +−

−+

 Primera evaluación:

→

 

 ~

 

Esto indica que existe un factor que está haciendo cero tanto en el numerador como en el denominador de laexpresión, para lo cual se analiza la tendencia del límite.

→ 1 ⟹ 1 → 0 El factor que se debe buscar es 1, ya que causa la indeterminación del límite, y está presente tanto ennumerador como en el denominador del ejercicio propuesto.

→

 

= →

 ()()()()

= →

 ( )( )

 

Se vuelve a evaluar para saber si se ha resuelto la indefinición, de ser así ese será el valor del límite, de lo contrariose debe buscar la forma matemática de resolver dicho problema.

→

 ( )( )

=

=

=

 

2.- →  − √ +−  Primera evaluación:

→

  √ 

 ~

 Esto indica que existe un factor que está haciendo cero tanto en el numerador como en el denominador de laexpresión, para lo cual se analiza la tendencia del límite.

→ 2 ⟹ 2 → 0 

Factor es evidente en el denominador, pero no en el numerador, al existir una raíz se deberá buscar medianteracionalización. (Se amplifica por el conjugado de la parte que contiene una raíz)

→

  √ 

 

√ 

√  =

→ 

 ( )

( ) ( √  ) 

Nota: se debe amplificar por dicho conjugado tanto en el denominador como en el numerador para no alterar laexpresión original dada.Recomendaciones:

1)  En el numerador nos encontraremos con una suma por su diferencia, lo que implica que al multiplicar losfactores, solo quedaran los términos externos cuadráticos, desapareciendo los factores intermedios.

8/16/2019 EjerciciosLimites_YoAprueboMate

2/6

  Clases Para Universitarios Yo Apruebo Mate  Contactanos: yoapruebomate@gmail.com 

Teléfono: +56995600348 

2)  La racionalización se realiza porque el numerador (en este caso) tiene problemas, NO realice lamultiplicación donde no se produce el encuentro de raíces.

→

   ( )

( ) ( √  )

= →

  ( )

( ) ( √  )

= 

→

 ()

( ) ( √  )=

→ 

 ( √  ) 

Ahora que la expresión esta ordenada se puede realizar otra evaluación:

→

 

 ( √  )=

 ( √  )=

 

 

3.- →

  (−)

(−) 

Primera evaluación:

→

 ( )

( ) ~

 

Esto indica que existe un factor que está haciendo cero tanto en el numerador como en el denominador de laexpresión, para lo cual se analiza la tendencia del límite.

→ 3 ⟹ 3 → 0 Como se ve en el denominador es evidente y el factor se repite (cero persistente), se debe buscar 3 en elnumerador, se probara con eliminar un solo factor para ver que se produce.

Recordar: ( ) = ( ) ( ) Por tanto el límite se puede reescribir de la siguiente manera:

→

 (()())

( )=

→ ( )( )

( ) 

Se prueba con eliminar solo un factor:

→

 ()()

( ) ~

 

El problema sigue persistiendo, y claro aún en denominador y numerador se mantiene el factor que causa el problema. Lo eliminamos, ordenamos y finalmente volvemos a evaluar.

→

 ()()

( )=

→ ( )

=

=

8/16/2019 EjerciciosLimites_YoAprueboMate

3/6

8/16/2019 EjerciciosLimites_YoAprueboMate

4/6

  Clases Para Universitarios Yo Apruebo Mate  Contactanos: yoapruebomate@gmail.com 

Teléfono: +56995600348 

¿Que se hizo?Acá no hay diferencia de grados, por tanto se usa el grado mayor de numerador o del denominador (da lo mismo)y se divide cada una de las expresiones componentes del polinomio. En definitiva cada vez que esto ocurra elresultado será la división entre los coeficientes que acompañan al grado mayor tanto en el numerador (4 para

nuestro caso) como en el denominador (3 en nuestro caso).Caso 3: Grado del numerador menor que el grado del denominador

→

   

 ~∞

 ∞

→

   

= →

 

 

¿Que se hizo?Dada la diferencia de grados se optó por dividir tanto numerador como denominador por el grado menor y hacer

las simplificaciones respectivas. Se sabe que si un número se divide por un número muy grande el resultado seráun número muy pero muy pequeño. (En lenguaje de límite, tiende a cero), es lo que pasa con

  ,

 

  Cuando x tiende a infinito.

→

 

= →

 

=  

5.- → √ + − −√ +

Primera evaluación:

→

 √ 

√  ~

 

Esto indica que existe un factor que está haciendo cero tanto en el numerador como en el denominador de laexpresión, para lo cual se analiza la tendencia del límite.

→ 4 ⟹ 4 → 0 

Aquí no es claro el factor que buscamos para solucionar la indefinición del límite, en estos casos donde existemás de una raíz se debe hacer una doble racionalización, con el objeto de eliminarlas y trabajar con expresionesde exponente entero.Se amplificara por ambos conjugados entonces:

→

 √ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

8/16/2019 EjerciciosLimites_YoAprueboMate

5/6

  Clases Para Universitarios Yo Apruebo Mate  Contactanos: yoapruebomate@gmail.com 

Teléfono: +56995600348 

Recomendación:1)  Realizar siempre la multiplicación de los factores que forman la suma por su diferencia, los demás factores

dejarlos expresados sino solo enredará mas el ejercicio y difícilmente llegara al resultado.

→ √ 

√  √ 

√  √ 

√ 

= →

 [( ) ][ √  ]

[ ( )] [√  ] 

Reordenando se tiene:

→

 [ ][ √  ]

[ ] [√  ]=

→ 

()[ √  ]

( ) [√  ] 

→ 

[ √  ]

[√  ] =

[ √  ∗ ]

[√  ∗ ] =

=

 

6.- →

  √ +  −

√ + − 

Primera evaluación:

→

 √   

√  ~

 

Esto indica que existe un factor que está haciendo cero tanto en el numerador como en el denominador de laexpresión, para lo cual se analiza la tendencia del límite.

→ 0 ⟹  Si bien se puede aplicar la multiplicación por el conjugado como se ha realizado en casos anteriores, al existirraíces de distinto índice se hace más complicado, es por esto que se presenta una forma alternativa pero máseficiente que nos aproxima al trabajo posterior que se debe realizar con otros limites, con derivadas y conintegrales, como lo es un cambio de variable.

Cambio de variable conveniente:Para realizar esta sustitución se debe considerar cual será el más oportuno y ente caso se puede realizar

observando los índices de las raíces que intervienen en este ejercicio.Índices: Numerador 3Denominador 2

Mínimo común múltiplo: 6

Por tanto se escoge un cambio donde el argumento de la raíz pueda eliminarse de forma inmediata 1 = 6 

Si se cambia la variable, también se altera la tendencia del número, ya que la idea de la sustitución nunca seráalterar el ejercicio inicial.

8/16/2019 EjerciciosLimites_YoAprueboMate

6/6

  Clases Para Universitarios Yo Apruebo Mate  Contactanos: yoapruebomate@gmail.com 

Teléfono: +56995600348 

Análisis de la tendencia: → 0 ⟹ 6 = 1 = 0 1 = 1 = √ 1   = 1 

Reemplazando lo anterior se tiene:

→

 √   

√  =

→ 

√   

√    =

→   

~

 

Sabemos que:

= ( )( )  = ( )( ) 

Por tanto el límite queda:

→

   

= →

 ( )( )

( )( )=

→ 

( )( )

=