1

EJERCICIOS 2.1

1. Calcular la integral∫∫

R

(| cos(x+ y)| dx dy

donde R = [0, π]× [0, π].

2. Hallar el volumen acotado por la grafica de f(x, y) = x4 + y2, el rectangulo [−1, 1]× [−3, 2]y los cuatro lados verticales del rectangulo.

3. Calcular las siguientes integrales

(a)

∫∫

R

(xy)2 cos3 x dA, R =[

0, 1]

×[

0, (π/3)1/3]

. (b)

∫∫

R

yexy dA, R = [0, 1]× [0, 1].

4. Sea f : [0, 1]× [0, 1] → R definida por

f(x, y) =

{

1 si x es racional

2y si x es irracional

Muestre que la integral iterada∫ 10

∫ 10 f(x, y) dy dx existe pero que f no es integrable.

5. Mostrar que

∫ 1

0

∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dy dx =

π

4mientras que

∫ 1

0

∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dx dy = −π

4

Por que no contradice esto el teorema de Fubini?.

6. Sea f continua, f ≥ 0 sobre el rectangulo R. Si∫∫

R

f dA = 0 demuestre que f = 0 en R.

7. Usando integrales dobles, determinar el area de una elipse cuyos semiejes tienen longitudesa y b respectivamente.

8. Sea S la region formada por los puntos (x, y) que satisfacen 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2 e y ≥ 0.Calcular

∫∫

S

(1 + xy) dA.

9. Calcular∫∫

S

y dA, donde S es el conjunto de puntos (x, y) tales que 0 ≤ 2xπ ≤ y, y ≤ senx.

10. Si f es continua en [a, b] y g continua en [c, d],

∫ b

a

∫ d

cf(x)g(y) dy dx =

(∫ b

af(x) dx

)(∫ d

cg(y) dy

)

.

Es cierto que∫∫

S

f(x)g(y) dy dx =

(∫ b

af(x) dx

)(∫ φ2(a)

φ1(b)g(y) dy

)

2

para regiones de tipo I?.

11. Sea S = {(x, y) ∈ R2/ − φ(x) ≤ y ≤ φ(x), a ≤ x ≤ b} donde φ(x) es una funcion

continua no negativa definida en el intervalo [a, b]. Sea f(x, y) una funcion definida en S tal quef(x, y) = −f(x,−y) para todo (x, y) ∈ S. Muestre que

∫∫

S

f(x, y) dA = 0.

12. Calcular

(a)

∫ 1

−1

∫ 1

|y|(x+ y)2 dx dy (b)

∫ 1

0

∫ π

4

arctan ysec5 x dx dy

13. Si f(x, y) = esen(x+y) y R = [−π, π]× [−π, π] probar que1

e≤ 1

4π2

∫∫

R

f(x, y) dA ≤ e.

14. Probar que1

6≤

∫∫

S

dA

y − x+ 3≤ 1

4,

donde S es el triangulo con vertices en (0, 0), (1, 1) y (1, 0).

15. Calcular∫∫

S

y3(x2 + y2)−3/2 dx dy, donde S es la region determinada por las condiciones

12 ≤ y ≤ 1 y x2 + y2 ≤ 1.

16. Muestre que

d

dx

∫ x

a

∫ d

cf(x, y, z) dz dy =

∫ d

cf(x, x, z) dz +

∫ x

a

∫ d

cfx(x, y, z) dz dy.

En los ejercicios 17 a 19, usando integrales triples hallar el volumen de la region correspon-diente.

17. La region limitada por z = x2 + y2 y z = 10− x2 − 2y2.

18. El solido limitado por x = y, z = 0, y = 0, x = 1 y x+ y + z = 0.

19. La region que resulta de intersecar los dos cilıdros x2 + y2 ≤ a2 y x2 + z2 ≤ a2, a > 0.

20. Calcular la integral∫∫∫

S

(x2 + y2 + z2) dx dy dz, S es la region acotada por x+ y + z = a,

a > 0, x = 0, y = 0 y z = 0.

21. Para las regiones dadas encontrar los lımites de integracion apropiados φ1(x), φ2(x), ψ1(x, y)y ψ2(x, y) y escribir la integral triple sobre la region S como una integral iterada de la forma:

∫∫∫

S

f dv =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)f(x, y, z) dz dy dx.

(a) S = {(x, y, z)/√

x2 + y2 ≤ z ≤ 1} (b) S = {(x, y, z)/x2+y2 ≤ 1, z ≥ 0, x2+y2+z2 ≤ 4}

3

22. Sea T = (0, 1] × [0, 2π) y sea G(r, θ) = (r cos θ, rsenθ). Hallar la imagen del conjunto T .Muestre que G es inyectiva en T .

23. Definimos G(u, v) =(

u−v√2, u+v√

2

)

. Mostrar que G rota el cuadrado unidad T = [0, 1]×[0, 1].

24. Sea G : R3 → R3 el cambio a coordenadas esfericas definido por (ρ, θ, φ) → (x, y, z) donde

x = ρsenφ cos θ, y = ρsenφsenθ, z = ρ cosφ

Sea T el conjunto de puntos (ρ, θ, φ) tales que ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]. Es T inyectiva? sino lo es, se puede quitar un subconjunto a T de forma que en lo que quede T sea inyectiva?.

25. Definir G(u, v) = (u2−v2, 2uv). Sea T el conjunto de puntos (u, v) con u2+v2 ≤ 1, u ≥ 0,v ≥ 0. Calcular

∫∫

G(T )

dx dy.

26. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Calcular

∫∫∫

S

dx dy dz√

2 + x2 + y2 + z2

27. Suponer que la integral doble de una funcion f extendida a una region S se reduce a laintegral iterada que se da. En cada caso representar la region S e invertir el orden de integracion.

a)

∫ 2

1

∫

√2x−x2

2−xf(x, y) dy dx b)

∫ 2

−6

∫ 2−x

(x2−4)/4f(x, y) dy dx c)

∫ π

0

∫ sinx

− sin x

2

f(x, y) dy dx

28. Calcular las siguientes integrales

a)

∫ 4

0

∫ 2

√xsin(πy3) dy dx b)

∫ 8

0

∫ 2

3√yex

4

dx dy

29. Si a > 0, pongamos I(a) =∫ aa e

−u2 du.

(a) Demostrar que I2(a) =∫∫

R

e−(x2+y2) dx dy, en donde R es el cuadrado R = [−a, a]× [−a, a].

(b) Si C1 y C2 son los discos circulares inscrito y circunscrito a R, demostrar que

∫∫

C1

e−(x2+y2) dx dy < I2(a) <

∫∫

C2

e−(x2+y2) dx dy.

(c) Expresar las integrales a lo largo de C1 y C2 en coordenadas polares y aplicar (b) para deducirque I(a) → √

π cuando a→ ∞. Esto muestra que∫∞0 e−u

2

du =√π/2.

(d) Calcular∫ +∞

0e−4x2 dx

4

30. Establecer la igualdad que se da mediante la introduccion de un conveniente cambio devariable

∫∫

S

f(ax+ by + c) dxdy = 2

∫ 1

−1

√

1− u2f(u√

a2 + b2 + c) du,

donde S = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 1} y a2 + b2 6= 0.

31. Evalue la integral al hacer un cambio apropiado de variables, siendo S la region del primercuadrante acotada por la elipse 9x2 + 4y2 = 1,

∫∫

S

sin(9x2 + 4y2) dxdy.

32. Una lamina ocupa la region dentro de la circunferencia x2 + y2 = 2y pero fuera de lacircunferencia x2 + y2 = 1. Encuentre el centro de masa si la densidad en cualquier punto esinversamente proporcional a su distancia desde el origen.

33. Una lamina tiene forma de la region limitada por la parabola y = 2x − x2 y el eje x.Determine el momento de inercia de la lamina con respecto a la recta y = 4 si la densidad de areavarıa con su distancia a la recta y = 4.

34. Evalue la integral∫ 2

0(arctanπx− arctanx) dx

escribiendo el integrando como una integral.

35. Evalue∫ a

0

∫ b

0emax{b2x2,a2x2} dy dx

donde a y b son numeros positivos.

36. Considerar la aplicacion definida por las ecuaciones

x = u+ v , y = v − u2.

(a) Calcular el jacobiano J(u, v).(b) Un triangulo T en el plano uv tiene vertices (0, 0), (2, 0), (0, 2). Representar, mediante undibujo, la imagen S en el plano xy.(c) Calcular el area se S.(d) Calcular

∫∫

S

(x− y + 1)−2 dx dy .

RESPUESTAS

1. 2π . 2. 196

15 . 3. (a)√3

18 . (b) e − 2. 7. πab. 8. π2 . 9. π

24 . 12. (a)23 . (b) 1

5

(

4√2 − 1

)

. 15.√34 . 17. 50π√

6. 18. 1

2 . 19. 163 a

3. 20. a5

20 . 21. (a)

5

∫ 1−1

∫

√1−x2

−√1−x2

∫ 1√x2+y2

f(x, y, z) dz dy dx (b)∫ 1−1

∫

√1−x2

−√1−x2

∫

√4−x2−y2

0 f(x, y, z) dz dy dx 22. G(T ) =

{(x, y) ∈ R2/0 < x2 + y2 ≤ 1}. 25. π

2 . 26.√32 − ln(1 +

√3) + 1

2 ln 2. 29. (d)√π/4.

34. 12π ln

5π

1+4π2 + 2arctan(2(π−1)

1+4π

)

. 35. 1ab(e

a2b2 − 1). 35. (a) 1 + 2u. (c) 14/3. (d)

2 + 2√3

(

arctan 1√3− arctan 5√

3

)

.