1 2.1 Operaciones y problemas con nmeros naturales. I.- Resuelve las operaciones siguientes.9 8 3 2 5 4

+ 6 5 8 7 1 06 8 7 0 2 5

3 6 3 1 6 8

+3 7 0 3 8 14 8 2 6 8 9

+ 1 9 1 4 2 86 5 7 2 7 2

6 2 9 0 8 5

5 8 2 9 7 3

+ 4 6 1 7 3 55 1 8 4 1 6

6 5 8 7 1 0

- 4 8 7 6 2 1

3 7 1 3 8 4

- 1 9 2 6 2 9

- 2 6 7 2 6 2

5 9 2 4 2 7

-

9 6 1 4 3 2 5 0 8 4 8 6

x 2 9 3 4

5 7 1 3

x 0 3 7 2

6 0 7 1

x0 8 6 3

3 9 5 4

x0 5 4 0

8 1 7 2

2 3 5

5 7 0 2

9 5 6

8 6 1 3

3 8 8

1 0 9 4 8

II.- Completa las cantidades que faltan en las operaciones siguientes. 7 2 6 7 5 ____________ = 2 5 0 1 3 8 7 4 5 0 - ______________ = 5 8 7 1 5 6 4 2 5 1 + ______________ = 1 2 5 8 9 1 5 6 4 8 x __________ = 1 9 9 9 3 9 2 1 3 1 5 2 ______ = 548 ________________ - 3 8 7 1 0 9 = 5 7 9 4 0 5 _________________ - 5 8 7 5 1 = 4 6 8 1 0 _________________ + 8 7 9 7 2 = 1 5 8 9 7 3

________________ x 6 8 2 = 1 7 3 7 7 3 6 __________ 215 = 98

__________ 36 = 284

1.- Jos compr 12 refrescos, 4 bolsas de platos y 3 de vasos desechables. Si cada refresco cuesta 14 pesos, la bolsa de platos 15 y la de vasos 8, cunto debe pagar Jos por la compra? 2.- Pedro compr una bicicleta por un costo total de $ 1680. Si hizo un pago inicial de $ 720 y dio mensualidades de $ 240, en cuntas mensualidades pag la bicicleta?

2 2.2 Operaciones y problemas con nmeros naturales. I.- Resuelve las operaciones siguientes.1 2 8 2 9 2

+ 2 7 1 2 1 83 7 7 3 7 4

5 5 7 1 2 7

+2 7 1 6 1 53 7 8 6 2 4

+ 3 5 4 4 7 63 8 4 6 5 1

6 9 2 4 1 9

8 2 2 1 7 8

+ 5 2 7 3 4 93 1 6 0 2 7

9 5 3 3 2 3

- 7 3 4 3 7 7

5 3 1 3 8 4

- 4 6 8 6 7 6

- 3 9 5 4 4 6

6 3 8 4 2 1

-

7 8 3 6 1 4 6 9 7 7 6 8

x 2 4 3 9

4 7 8 3

x 0 5 5 6

9 1 8 3

x0 7 3 7

8 0 7 6

x0 3 4 7

5 3 9 1

5 8 4

6 5 7 3

4 5 8

6 7 1 9

1 6 4

9 1 9 9 6

II.- Completa las cantidades que faltan en las operaciones siguientes. 8 2 4 7 2 ____________ = 1 5 9 1 2 6 7 4 1 1 - ______________ = 1 8 5 1 3 4 1 2 7 4 + ______________ = 1 7 5 3 9 5 5 7 4 3 x __________ = 183776 1 5 9 8 0 ______ = 235 ________________ - 5 6 7 1 3 5 = 3 7 7 4 0 4 _________________ - 5 8 2 5 4 = 9 6 2 1 6 _________________ + 3 7 7 7 5 = 1 1 8 9 1 4

________________ x 57 = 167922 __________ 578 = 56

2 4 8 4 0 _______ = 345

1.- Alejandra compra 8 refrescos y 4 bolsas de botana, Pedro compra 4 refrescos y 6 bolsas de botana. Si cada refresco tiene un costo de $15 y la bolsa de botana cuesta $12, Qu cantidad pag cada uno? 2.- En una funcin se han ocupado 9 filas de 10 asientos cada una y 7 asientos sueltos. Cunto se ha recaudado si cada entrada cuesta 60 pesos?

3 2.3 Operaciones y problemas con nmeros naturales. I.- Resuelve las operaciones siguientes.8 2 3 2 9 3

+ 2 8 1 0 1 45 8 7 6 7 4

8 7 7 1 2 3

+5 6 1 2 1 04 5 7 6 9 4

+ 1 2 4 7 7 94 0 4 5 3 4

2 5 8 4 1 5

6 2 4 6 8 2

+ 2 3 4 0 9 76 5 3 8 7 3

3 0 0 1 1 4

- 1 9 2 3 6 2

6 9 2 0 8 3

- 5 0 9 6 2 4

- 2 7 6 7 8 4

9 2 3 4 0 5

-

6 8 1 3 1 8 6 3 7 1 6 9

x 2 6 3 1

3 7 0 6

x 0 7 2 4

4 3 7 3

x0 5 0 6

5 3 8 3

x0 6 7 8

8 6 1 6

2 1 9

2 9 7 1

6 7 1

8 3 7 2

5 7 3

8 0 1 7 3

II.- Completa las cantidades que faltan en las operaciones siguientes. 7 2 4 9 1 ____________ = 3 0 9 7 5 9 5 6 3 9 - ______________ = 2 9 6 2 4 5 2 3 8 5 + ______________ = 2 8 7 4 0 7 6 8 5 4 x __________ = 562028 4 0 5 6 0 ______ = 624 ________________ - 8 1 0 0 8 3 = 6 3 7 7 5 2 _________________ -2 7 3 4 5 = 8 5 3 2 7 _________________ + 4 8 8 8 6 = 2 2 7 0 2 5

________________ x 49 = 124068 __________ 657 = 42

2 0 8 7 8 _______ = 286

1.- Jorge compra una camisa, unos pantalones y un suter. La camisa cuesta 375 pesos, los pantalones cuestan 589 pesos y el suter cuesta 498 pesos. En cada prenda le han hecho una rebaja de 45 pesos. Cunto gasta Jorge en la compra de las tres prendas? 2.- Un grupo de amigos van al cine, Mara ha pagado 250 pesos por dos entradas de adultos y 3 entradas infantiles. Cada entrada de adulto cuesta 62 pesos. Cunto cuesta una entrada infantil?

4 2.4 Operaciones y problemas con nmeros naturales. 1.- Carmen y Sandra, fueron al supermercado. Carmen compr 5 kg de manzana y 4 kg de uva, Sandra compr 4 kg de manzana y 4 kg de uva. Cada una pag con un billete de $200.00. Si el kilogramo de manzana cuesta $20.00 y el de uva $15.00 pesos. Cunto recibi de cambio cada una?

2.- Antonio est pagando en abonos una sala que cuesta $17 524. Si ha pagado $8 976, cunto le falta para pagar el precio total de la sala?

3.- Felipe pag $19 789 para cubrir el total de $36 452 de lo que deba en una tienda de autoservicio. Cunto haba abonado antes del pago?

4.- En el pueblo de Xuxek se produjo una determinada cantidad de miel; se vendieron 5 320 litros y quedaron 2 789 litros, cul fue la cantidad de miel antes de venderla?

5.- Para llenar dos depsitos de una gasolinera llegaron dos pipas; la primera llevaba 25 875 litros de combustible y la segunda 38 760 litros. Cuntos litros de ms traa la segunda pipa?

6.- Carlos compr 3 calculadoras de $36 cada una y pag con un billete de $200. l necesita saber cunto le darn de cambio.

7.- En la cooperativa escolar se juntaron $6 345 y se repartieron por igual entre los 135 alumnos de la escuela. Qu cantidad de dinero recibi cada alumno?

8.- Se tienen en un almacn 21 150 botones de diferentes tamaos. Si se quieren colocar en cajas de 45 botones cada una y se tienen 614 cajas, cuntas cajas les sobrarn?

5 2.5 Operaciones y problemas con nmeros naturales. 1.- En el ao 2006 se cosecharon en Mxico 95 835 toneladas de papa, de las cuales se exportaron 35 927 toneladas. Si el resto se reparti en 17 estados de la Repblica en partes iguales, cuntas toneladas le quedaron a cada estado?

2.- Marisa tena en su cuenta 28000 pesos. Hoy ha realizado los siguientes movimientos: primero ha ingresado 5000 pesos, despus ha sacado 12000 pesos. Y por ltimo ha vuelto a ingresar 14000 pesos Cunto dinero tiene ahora Marisa en su cuenta?

3.- Una zapatera ha rebajado sus artculos. Las botas que costaban 850 pesos se han rebajado 180 pesos. Y los zapatos que costaban 639 pesos se han rebajado 145 pesos. Cunto cuestan ahora las botas ms que los zapatos?

4.- Carlos tiene 12 aos. Su hermana Isabel tiene 4 aos menos que Carlos, su padre tiene 29 aos ms que Isabel y su madre tiene 5 aos menos que su padre. Cuntos aos tiene la madre de Carlos ms que l?

5.- Una camioneta lleva 50 cajas de tabletas de chocolate. En 20 de las cajas hay 36 tabletas en cada una y en el resto hay 24 tabletas en cada una. Deja en una tienda 50 tabletas. Cuntas tabletas de chocolate quedan en la camioneta?

6.- Ramiro da clases de krate en un gimnasio. Cada da da 7 horas y recibe por cada hora 750 ptas. Cunto recibir Ramiro al cabo de 15 das?

7.- El conductor de una lnea de autobuses hace siempre el mismo recorrido. Por la maana recorre 126 km. y por la tarde 149 km. Cuntos kilmetros recorrer al cabo de una semana?

8.- Un diccionario enciclopdico consta de 45 tomos. El precio de los dos primeros tomos juntos es de 280 pesos y el precio de cada uno de los restantes es de 120 pesos. Cul es el precio de toda la coleccin?

6 2.6 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (SUMA)

635! 8 8 8 764! 9 9 9 542! 6 6 6 21! 8 6 43! 7 4 64! 5 6 3 4 6 ! 5 6 10 6 45! 12 8 6 126! 3 4 9 51 32 ! 6 4 72 23! 3 6 8 2 43 ! 10 5 4 2 2 4 3 5 ! 5 6 10 36 2 6 2 5 ! 9 8 6 6 7 21 6 ! 12 6 8

241! 5 5 5 633! 6 6 6 1 5 3 ! 10 10 10 64! 9 5 5 6! 11 9 79! 3 8

562! 9 9 9 354! 7 7 7 8 3 7 ! 12 12 12 7 3! 10 6 10 6 ! 12 8 2 3! 25 4 243! 8 6 4 641! 9 5 2 2 34! 15 5 6

436 4 ! 8 10 65 41 ! 7 8 51 6 ! 15 12 13 2 5 3 6 ! 4 9 8 7 2 3 4 1 1 ! 3 6 4 4 2 4 3 2 ! 7 10 5

16 2 8 ! 7 9 22 53 ! 4 9 4 6 3 ! 5 20

7 2.7 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (SUMA)

457! 9 9 9 147! 3 3 3 6 8 3 ! 15 15 15 43! 6 4 21! 5 2 42! 3 4 124! 3 4 8 4 23! 10 6 4 894! 9 2 7 6 2 43 ! 7 5 83 34 ! 4 7 9 3 54 ! 12 6 6 21 3 6 ! 5 11 55 37 3 4 ! 8 9 5 7 8 32 5 ! 11 7 9

352! 6 6 6 352! 8 8 8 27 4! 11 11 11 42! 7 3 34! 9 7 57! 9 6

451! 7 7 7 784! 4 4 4 2 1 14 ! 16 16 16 51 ! 8 4 8 4! 10 6 9 1! 20 2 921! 6 4 2 429! 7 3 8 9 12! 10 3 4

54 7 5 ! 9 11 7 6 52 ! 9 8 62 7 ! 10 14 24 3 4! 5 8 91 43 22 ! 5 7 4 3 33 4 1 ! 6 8 12

27 3 9 ! 8 10 33 6 4 ! 5 10 5 7 4 ! 6 18

8 2.8 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (SUMA) 1.- De la capacidad total de un estadio de futbol hay 5/9 partes que le van al equipo azul y 1/3 que le van al equipo rojo. Qu fraccin representa la parte que falta para que se llene el estadio?

2.- Jess y Elena tienen que hacer un trabajo. Jess ha hecho dos novenos del trabajo y Elena ha hecho cuatro novenos del trabajo. Qu fraccin del trabajo han hecho entre los dos? Cunto les falta por hacer?

3.- Carolina ha vendido dos kilos de pollo esta maana y tres cuartos de kilo de pollo esta tarde. Qu fraccin de kilo de pollo ha vendido en total?

4.- Jorge se comi para desayunar 1/8 de pastel y para merendar se comi 2/8 de pastel. Qu fraccin de pastel se comi Jorge en total?

5.- Un hombre camina 4 kms el lunes, 8 2/3 kms el martes, 10 kms el mircoles y 5/8 el jueves, cunto ha recorrido en los cuatro das?

6.- Un muchacho tena 3/5 de dlar y su padre le dio 7/20 de dlar, qu parte de un dlar tiene ahora el muchacho?

7.- Pedro ha estudiado 3 2/3 horas, Enrique 5 horas y Juan 6 horas, cuntas horas han estudiado los tres juntos?

8.- Juan ha pintado de una pared y Pedro 1/3 de ella. Qu parte de la pared han pintado?

9 2.9 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (SUMA) 1.- En el sper de la esquina, Sonia compr 3/4 kg de caf, 2/3 kg de azcar, 7/8 kg de harina y 1/3 kg de sal. De cunto es el peso total en kilogramos de lo que compr?

2.- En una caja de galletas 12/30 de la caja son galletas de chocolate y 8/30 son de vainilla, qu fraccin de la caja ocupan ambos tipos de galletas?

3.- Si Luis y Mary riegan el pasto de su jardn. Luis reg del jardn y Mary 1/3 del jardn, Qu fraccin del jardn se ha regado?

4.- Despus de aplicar un examen, el maestro les informa a sus alumnos que del grupo 1/6 aprob con calificaciones excelentes y aprob con calificacin regular. Qu fraccin del grupo aprob?

5.- En una frutera una seora compr 2 kg de peras y una papaya cuyo peso fue de 5 1/8 de kg, cuntos kilogramos de frutas compr la seora?

6.- A Susy le dan 6/39 de pastel, pero como le gustaba, le dieron 12/26 ms. Qu cantidad de pastel le dieron a Susy?

7.- Juanito tiene 3 kg naranjas, pero luego le regalan 1 2/4 kg, qu cantidad de naranjas tiene?

8.- En el arreglo de la red elctrica de la escuela, se gastaron 2 m de cable en la planta y 1 2/5 m de cable en el primer piso. Cuntos metros de cable se usaron en la red elctrica?

9.- Un camin se carga con 1 toneladas de arroz, 3 toneladas de maz y 2 2/5 toneladas de trigo, cuntas toneladas en total lleva el camin?

10 2.10 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (SUMA)

263! 4 4 4 45! 2 6 10 6 ! 8 6 45 7 ! 6 7 12 7 56! 15 9 6 8 5 76 ! 10 8 5 1 1 1 ! 2 4 4 54 6 9 ! 8 16 9 2 8 110 1 7 ! 12 15 10

513! 3 3 3 83! 5 2 9 5 ! 9

6 3 4 ! 12 12 12 74! 6 5 2 1! 12 6 12 5 4 ! 9 7 5 7 5 12 ! 10 6 12 7 7 10 8 ! 12 14 43 2 9 ! 6 15 57 6 5! 8 10 6 4 2 1 10 ! 9 5

1.- Para pintar su escritorio, Carlos us primero cuntos litros de pintura utiliz?

1

de litros de pintura y posteriormente 5/6 de litro,

2.- Manuel camin el lunes 4 km y el martes 3 km, cuntos kilmetros recorri en los dos das?

3.- El lunes Rosita ley 3/8 partes de un libro, y el martes 1/5 parte. Qu parte del libro ha ledo en ambos das?

4.- En una carrera ciclista, durante la primera semana se retiran 2/13 de los corredores. Durante la segunda semana la abandonan 3/11. Qu parte del total de corredores se han retirado en las dos primeras semanas?

11 2.11 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (RESTA)

85! 9 9 21! 3 3 13 2 ! 15 15 2 3 ! 4 3 1 ! 2 7 2 ! 4 31! 4 8 9 2! 10 6 81! 9 2 3 2 1 3 ! 7 5 53 34 ! 4 6 6 3 34 ! 12 6 41 2! 5 7 5 3! 8 9 8 2! 12 7

52! 6 6 61! 8 8 92! 11 11 5 2 ! 3 9 4 ! 7 6 2 ! 6

66! 7 7 32! 4 4 15 7 ! 16 16 8 1 ! 4 4 4 ! 6 1 1 ! 3 52! 6 4 62! 7 3 21! 3 4 8 4 5 5 ! 9 10 2 6 1 2 ! 9 8 4 2 33 ! 10 4 6 3 3 ! 8 92 2 ! 5 33 1 ! 8 12

72! 8 8 9 5 ! 10 10 17 5 ! 18 18

12 2.12 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (RESTA) 1.- Almudena ha sembrado de tomates 3/8 de la huerta y Paco ha sembrado de pimientos 2/5 de la misma huerta. Qu fraccin de huerta ha sembrado Paco ms que Almudena?

2.- Cunto mide la diferencia entre los dimetros de dos llaves, si una mide de pulgada y la otra 7/32 de pulgada?

3.- Una madre de familia tiene 5/6 de una tableta de chocolate y le da a su hija Elizabeth 2/9. Cunto le queda?

4.- Un empleado gana diariamente 350 2/7 pesos y gasta 230 1/7 pesos Cunto ahorra diariamente?

5.- De la capacidad total de un estadio de futbol hay 5/9partes que le van al equipo azul y 1/3 que le van al equipo rojo. Qu fraccin representa la parte que falta para que se llene el estadio?

6.- En un teatro se venden tres tipos de localidades: plateas, pullman y palcos. Las plateas ocupan 1/3 del teatro, y los palcos, 1/5 parte. Qu fraccin de la sala est ocupada por las localidades del pullman?

7.- La familia de Oscar gasta 1/5 de su presupuesto en vivienda y 1/6 en alimentacin. Qu fraccin del presupuesto queda para otros gastos?

8.- Marta separa de su salario 3/5 para comida, 1/10 para transporte y 1/6 para pago de servicios; lo que le queda es para ropa, diversiones y gastos que puedan surgir. Qu parte del salario de Marta es para ropa, diversiones y gastos que puedan surgir?

13 2.13 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (RESTA)

64! 3 3 4 2 ! 5 5 1 ! 6 10 3 5 1 3 ! 6 8 2 5 1 ! 6 7 5 2! 11 3

86! 8 8 7 3 ! 6

73! 4 4 9 1 ! 7 84! 9 6 5 1 26 ! 10 8 85 2 ! 10 47 4 ! 18 12

51! 9 9

1.- Debo $183 y pago $42 2/7. Cunto me falta por pagar?

2.- Tengo $6 3/5. Cunto necesito para tener $8 1/20?

3.- Un hombre vende 1/3 de su finca, alquila 1/8 y lo restante lo cultiva. Qu porcin de la finca cultiva?

4.- Perd 1/5 de mi dinero y prest 1/8. Qu parte de mi dinero me queda?

5.- Tres obreros de construccin tienen que construir 125 metros de muro. Uno hace 41 3/4 metros y otro 35 1/6 metros. Cunto le corresponde que construir al tercero?

6.- Qu nmero se debe aadir a 151/6 para igualar la suma de 18 2/7 y 41/2?

14 2.14 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (MULTIPLICACIN Y DIVISIN)

3v 7 ! 8 8 4v 8 ! 8 10 8v 3 ! 9 6v 5 ! 10 4 2 v1 3 ! 3 6 7 1 v3 5 ! 5 7 21 v4! 5 85 v6 9 4z8! 9 9 7z 3 ! 9 10 3z 3 ! 5 7z 5 ! 18 52 z23 ! 7 4 6 2 z46 ! 4 8 4 2 z7! 6 7 6 z4 8

5v5 ! 4 6 4 v5 ! 11 9 9v 6 ! 8 10 v 4 ! 15

5v9 ! 9 5 6v8 ! 7 4 3v 2 ! 4 2v 4 ! 7 2 8 v35 ! 9 8 5 6 v3 2 ! 8 3 4 3 v8 ! 8 10 v 2 2 ! 6

7 v 10 ! 10 8 5 v9! 15 6

4z2! 5 5 9 z 5 ! 13 12 7z 6 ! 9 9z 4 ! 20

8z7! 6 6 4z6! 3 8 4z 2 ! 8 8z 1 ! 8 37 z2 5 ! 9 6 65 z4 3 ! 7 4 3 3 z9 ! 9 12 z 3 ! 5

8 z9! 11 8 7 z5! 11 4

15 2.15 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (MULTIPLICACIN Y DIVISIN)

4v8! 7 9 5v 9 ! 9 11 9v 4 ! 10 7v 6 ! 11 53v2 4 ! 4 7 8 2 v4 6 ! 6 8 3 2 v5 ! 6 9 6 v5 10 5 z9 ! 10 10 8 z 4 ! 10 12 4z 4 ! 6 7z 5 ! 18 6 3 z3 4 ! 5 8 7 3 z5 7 ! 5 9 5 3 z8 ! 7 8 7 z5 9

6v5 ! 5 7 5v6 ! 12 10 10 v 7 ! 9 12 v 5 ! 18

6 v 10 ! 10 6 7v9 ! 8 5 4v 3 ! 5 4v 5 ! 8 3 9 v4 6 ! 10 9 67 v4 3 ! 9 4 5 4 v9 ! 9 12 v 3 3 ! 7

8v9 ! 9 7 6 v 10 ! 16 7

5z3! 6 6 10 z 6 ! 14 16 8z 7 ! 10 9z 4 ! 20

9z8! 7 7 5z7! 4 9 4z 2 ! 8 9z 2 ! 9 4 8 z36 ! 10 7 7 6 z54 ! 8 5 4 4 z10 10 15 z 4 ! 6

9 z 10 ! 12 9 8 z6! 20 5

16 2.16 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (MULTIPLICACIN) 1.- De 18 jugadores de ftbol, 2/6 partes tienen ms de 20 aos. Cuntos jugadores son mayores de 20 aos?

2.- Una pieza de tela mide 16/3 de metro. Si se venden las 2/5 partes de la mitad, cuntos metros quedan an por vender?

3.- En un taller han arreglado en una semana 70 coches. Dos sptimos de los coches tenan estropeados los frenos, tres quintos de los coches tenan rayada la pintura y el resto tena alguna luna rota. Cuntos coches tenan alguna luna rota?

4.- Esther tiene una coleccin de 68 postales de animales y flores. Si los animales son 1/4 del total. Cuntas postales de flores tiene?

5.- Un grupo de amigos han recorrido 240 km del Camino de Santiago. Han hecho la cuarta parte a caballo, 3/5 en bicicleta y el resto andando, cuntos kilmetros han hecho de cada forma?

6.- Los 2/5 de los vecinos de mi casa son nios y los 3/9 mujeres. Si en total hay 180 vecinos, cuntos nios, mujeres y hombres hay?

7.- A una fiesta van 24 alumnos de ellos 2/3 son hombres. Cuntos hombres han ido?

8.- Utilizo un garaje con 100 plazas. A las 12 de la maana estaban ocupadas 3/4 partes, cuntas plazas estaban ocupadas?

9.- Una biblioteca que con una capacidad de 6600 libros tiene 4/12 partes de libros en ingls; cuntos libros tiene en ingls?

17 2.17 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (MULTIPLICACIN) 1.- Un kilo de pan cuesta $ 800 Cunto cuestan de kilo?

2.- Un padre reparti $ 20 000 entre sus tres hijos: 2/4 para Romina, 2/5 para Claudio y el resto para Javier. Cunto recibi cada uno?

3.- Don Leopoldo dio a su hijo mayor $2 000.00. De esa cantidad, le pidi que con un pague el predial; con la mitad de lo que le quede pague la renta; con un 1/5 de lo que le quede compre la comida; y que le regrese el cambio. Qu cantidad de dinero va a devolver a don Leopoldo?

4.- Reina va a hacer 20 flores de papel para adornar un saln de baile. Si para cada flor utiliza 1/4 del pliego de papel, cuntos pliegos debe comprar para hacer las 20 flores?

5.- Cuntos litros de agua contiene un depsito de 400 litros que est ocupado en sus 3/5 partes?

6.- En un pinar de 210 pinos se talaron sus 3/5 partes, poco despus hubo un incendio, en el que se quemaron los 5/7 de los pinos que quedaban. Cuntos pinos sobrevivieron?

7.- La familia de Oscar gasta 1/3 de su presupuesto en vivienda y 1/5 en alimentacin Cunto pagarn por la vivienda y por la alimentacin si sus ingresos mensuales son de 22350 pesos?

8.- Un ciclista tiene que recorrer 18 km que separan dos pueblos. Si han recorrido 2/3 Cuntos km le faltan todava?

9.- Una botella de agua con capacidad de contiene?

11/2

contiene agua en sus partes. Qu cantidad de agua

18 2.18 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (DIVISIN) 1.- Camila tiene 8 metros de cinta. Cuntos trozos tendr si divide la cinta en pedazos de de metro?

2.- La seora Olivia cobr en su cremera $76.50 por 12 kilos de crema. A cmo dio el kilo de crema?

3.- La maestra Alejandra va a repartir en partes iguales 8 2/4 kilos de caramelos y galletas entre sus 34 alumnos. Si los quiere poner en bolsitas, qu cantidad deber poner en cada bolsita?

4.- Martina tena una botella de 9/4 litros de leche y reparti su contenido en vasos de 1/4 litros. Cuntos vasos llen?

5.- Mara sale de casa con cierta cantidad de dinero. Gasta los 3/7 en golosinas y regresa a casa con 120 pesos. Con cunto dinero sali de casa?

6.- Mi primo se ha comido 6/9 de los caramelos que tena. Le quedan 54. Cuntos tena?

7.- Cuntos vasos chicos de 1/8 litro se puede llenar con una botella de 2 litros y medio de bebida?

8.- Debo repartir kilo de chocolate en bolsas de 1/8 de kilo. Cuntas bolsas puedo llenar?

9.- Un depsito contiene 320 litros de agua y est lleno las dos terceras partes. Qu capacidad tiene?

19 2.19 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (DIVISIN) 1.- Cuntos paquetes de 3/4 kg de azcar se pueden llenar con el contenido de una bolsa de 4 1/2kg de azcar?

2.- Un rollo de listn de 9 metros se va a dividir en 15 tramos iguales, qu fraccin de metro medir cada uno de los tramos?

3.- Cuntos retazos de 4/5 metros se pueden cortar de una pieza de tela que mide 21 4/5 metros?

4.- Calcula la velocidad de un automvil que recorri 166 2/3 km en 3

5.- Mara ley la semana pasada la mitad de un libro y esta semana la tercera parte, pero an le faltan 30 pginas, cuntas pginas tiene el libro?

6.- Un coche lleva circulando 26 minutos, en los cuales ha recorrido 2/3 de su trayecto. Cunto tiempo emplear en recorrer todo el trayecto, yendo siempre a la misma velocidad?

7.- Cada paso de Eva mide aproximadamente 3/5 de metro. Cuntos pasos dar para recorrer 6 km?

8.- Una empresa quiere embotellar 912 litros de zumo de naranja, si cada botella tiene una capacidad de 2/3 de litro, cuntas botellas necesitar?

9.- Una pelota rebota cada vez a 2/5 de la altura de donde cay. Al rebotar por tercera vez se eleva a 24 cm, desde qu altura cay la primera vez?

20 2.20 Operaciones y problemas con nmeros fraccionarios. (MULTIPLICACIN Y DIVISIN)

6v6 ! 8 5 2v 4 ! 15 3 3 v1 4 ! 6 5 2 4 v8 ! 6 6 z5 ! 14 10 2z 4 ! 8 33 z51 ! 9 5 7 6 z5 ! 71.- Una pieza de tela mide dos piezas juntas?

3v 4 ! 9 7 12 v 7 ! 4

7 v9! 11 7 3v 3 ! 7 4 9 v6 2 ! 16 9 8 6 v10 ! 9

2v 1 ! 3 10

9z3! 6 3 3z 7 ! 20

2z8! 7 4 5z 2 ! 10 3 8 z56 ! 12 8 6 6 z2 14

2 z 10 ! 12 15

23 3/5 metros; otra de la misma clase mide 21 4/9 metros, cunto miden

las

2.- Uno de mis compaeros pesaba 54 3/7 kg al principio del curso, si ha perdido 3 4/5 kg, cunto pesa actualmente?

3.- Un obrero debe acarrear 12 m3 de arena. El primer da acarre cantidad de arena le falta mover?

3 8/9 m3; el segundo 3 7/13 m3. Qu

4.- En cada paso se avanza 2/3 metros, cunto se avanza en 4800 pasos?

5.- Una persona pag $ 858 200 por las 3/7 partes de una propiedad, Calcula el valor total de sta.

21 2.21 Operaciones y problemas con nmeros decimales.4 8 3 . 2 6

+ 6 4 8 . 7 16 8 6 . 0 4

3 7 . 3 1 7

+4 8 . 0 2 85 9 . 3 6 9

+ 2 . 9 2 4 35 . 3 7

7 . 3 9 0

5 9 2 . 9 7

+ 4 7 1 . 7

5 2 9 . 4 2

7 6 9 . 7

- 3 8 6 . 6 2

4 7 . 2 3 8

- 1 9 . 3 6 2

- 1 . 5 7 3 7

6 . 9

-

9 0 0 0 . 3 4 1 9 3 . 9

x 2 9 . 5

3 8 . 2

x 0 . 3 7

9 . 0 8

x0 3 5 . 7

5 7 . 6 1

x0 6 4 . 4

7 1 7 . 2

2 3 7

5 8 . 1 9

9 4 6

. 9 6 1 4

4 8 7

2 . 1 2 9 5

. 4 8

6 9 . 2 1

6 . 7

. 8 7 2 1

. 8 0

6 . 0 2 0 7

. 2 7

3 1 2 5

7 . 8

9 7 3 0

5 . 8 0

2 0

II.- Completa las cantidades que faltan en las operaciones siguientes. 8 2 .7 7 6 ____________ = 3 6. 1 1 4 9 .7 5 6 0 - ______________ = 1. 8 8 1 6 8 4 .2 5 3 + ______________ = 3 2 7. 8 9 3 6 6 .5 0 x __________ = 2 5 9.3 5 5 . 4 1 5 3 ______ = 0.78482 ________________ - 4 8 .8 1 0 0 = 6 .8 9 5 0 _________________ - 6 8 8 5 .2 = 6 6 0. 1 2 _________________ + 6 5 9. 9 3 = 2 5 8 6. 7 4 ________________ x 9. 4 7 = 3 4 5 8.5 3 8 7 __________ 5.6 = 32.7 __________ 31.6 = 9.6

22 2.22 Operaciones y problemas con nmeros decimales.6 0 3 . 2 8

+ 8 4 1 . 7 34 8 8 . 0 3

3 6 . 3 3 5

+4 0 . 1 2 87 9 . 3 6 1

+ 1 . 9 2 9 51 . 5 7

9 . 7 1 0

5 6 2 . 9 5

+ 4 7 9 . 5

7 2 8 . 4 7

9 8 9 . 5

- 2 8 9 . 8 1

3 8 . 1 3 1

- 1 8 . 3 9 5

- 0 . 8 7 1 6

8 . 3

-

6 1 5 7 . 6 5 2 0 4 . 5

x 2 7 . 6

4 0 . 3

x 0 . 7 8

2 . 1 6

x0 4 5 . 9

7 9 . 2 3

x0 7 5 . 5

3 1 5 . 8

2 7 5

6 5 . 2 8

9 5 8

. 5 6 3 5

6 7 6

8 . 2 8 9 1

. 6 3

5 7 . 8 3

3 . 9

. 6 4 6 5

. 9 1

3 . 7 6 1 1 4

. 8 1

4 2 6 7

9 . 4

5 3 1 1

9 . 2 4

8 4

II.- Completa las cantidades que faltan en las operaciones siguientes. 128 .6 5 1 ____________ = 7 2. 5 4 8 5 .2 7 6 3 - ______________ = 4. 5 7 2 9 6 6 .2 7 1 + ______________ = 1 2 9. 1 9 8 8 1 .5 3 x __________ = 5 3 5 6.5 2 1 8 . 5 2 0 4 ______ = 0.11736 ________________ - 1 5 .3 1 9 8 = 3 .1 1 6 2 _________________ - 7 1 3 7 .3 = 4 3 1. 1 9 _________________ + 9 5 1. 9 8 = 3 5 7 6. 7 7 ________________ x 7. 2 5 = 3 0 6.0 2 2 5 __________ 27.1 = 2.19

__________ 8.2 = 53.9

23 2.23 Operaciones y problemas con nmeros decimales. 1.- Qu longitud pueden alcanzar tres varillas que se pueden acoplar una a otra y miden 1.75 m; 0.95 m y 0.6 m?

2.- De una cuerda que meda 100 m, Ana cort 17.75 m. y Paula, 24.35 m. Qu longitud de cuerda queda?

3.- Cuntas cuerdas de 0.75 m. se pueden cortar de un rollo que mide 9.75 m?

4.- Una jarra contiene 3.9 litros de agua, que deben vaciarse en vasos a los que les cabe 0.12 litros cuntos vasos completos e incompletos se tendrn?

5.- Leticia compr en el mercado, 1.750 kilogramos de peras, 2.250 kilogramos de manzanas y 3.250 kilogramos de naranjas. Cuntos kilos enteros compr de fruta?

6.- Mxico tiene 106.5 millones de habitantes y la poblacin de la Repblica Popular de China es 13 veces ms grande. Cul es el nmero total de habitantes de China?

7.- Un taxi recorre en su primer viaje 39.4 km, en el segundo 69.5 km y en el tercero 89.3 km, cuntos kilmetros recorri?

8.- Edna fue a la tienda y compr 3 kg de frijol a $11.85 cada kilo, 2 latas de atn a $5.35 cada una y 1 litro de leche a $7.20. Si pag con un billete de $100.00, cunto le dieron de cambio?

9.- En la tienda, Ana compr una bolsa de harina de $6.35, dos chocolates de $2.70 cada uno y un jabn de $5.00. Si paga con un billete de $50.00, cunto debe recibir de cambio?

24 2.24 Operaciones y problemas con nmeros decimales. 1.- Don Paco tiene que entregar 30 botes de pintura de 19 litros, que tienen un peso neto de 19.75 kg cada uno; Cuntos kilogramos tiene que transportar en total?

2.- Carlos compr 3.5 kilogramos de manzanas, si cada kilogramo cuesta 24 pesos, cunto pag?

3.- Un auto va a una velocidad constante de 100 km/h, qu distancia recorre en 2.25 horas?

4.- La distancia entre las ciudades A y B en un mapa es de 40.5 cm, si la escala es 1:100 000, cul es la distancia entre las ciudades?

5.- Un terreno mide 32.75 m de largo por 18.50 m de ancho. Si el precio por metro cuadrado es de $350, cul es el costo del terreno?

6.- Un paquete de 100 hojas mide 8 mm, cul es el grosor de cada hoja?

7.- Arturo tard 1.5 horas en hacer su tarea y Silvia tard 1.2 horas. Cuntos minutos ms tard Arturo que Silvia en terminar su tarea?

8.- Doa Francisca vende empanadas. En la preparacin de cada empanada utiliza 0.075 kg de masa, cuntas empanadas puede hacer como mximo si tiene cinco y media bolas de masa con un peso de 1.5 kg cada una?

9.- Se mezclaron 25.5 litros de una sustancia con 5.25 litros de otra sustancia, y se les puso al fuego. Al hervir la mezcla se evaporaron 0.25 litros, cuntos litros de la mezcla qued finalmente?

25 2.25 Operaciones y problemas con nmeros decimales.3 0 4 . 1 2

+ 8 2 1 . 4 35 8 9 . 0 9

3 2 . 8 3 1

+5 0 . 1 7 83 0 . 5 6 7

- 3 . 7 9 9 12 . 8 8

9 . 7 1 0

5 6 2 . 9 5

- 9 0 0 . 8

7 2 2 . 1 3

x 2 9 . 8

6 2 . 5

x 0 . 9 2

4 . 3 8

x0 6 5 . 3

9 1 . 4 5

x0 9 7 . 7

5 3 7 . 2

2 9 6

7 3 . 1 7

. 3 2

7 9 . 0 4

1 . 6

7 5 3 2

4.- Un agricultor ha recolectado 1500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el trigo a 22.35 pesos. el kilo y la cebada a 19.75 pesos. el kilo. Calcula el total recibido por la venta del trigo y la cebada

5.- Un coche A consume 7.5 litros de gasolina por cada 100 kilmetros y otro coche B consume 8.2 litros de gasolina por cada 100 kilmetros. Calcula La gasolina que consume cada coche en un kilmetro.

6.- Una jarra vaca pesa 0.64 kg, y llena de agua 1.728 kg. Cunto pesa el agua?

7.- Se tienen 240 cajas con 25 bolsas de caf cada una. Si cada bolsa pesa 0.62 kg, cul es el peso del caf?

8.- Ftima ha comprado 3 ramos de flores. Cada ramo tiene 12 flores. Si cada flor cuesta 6.70 pesos, cunto dinero ha pagado en total?

26 2.26 Suma y resta de nmeros con signo Los nmeros positivos los representaremos por fichas negras y los negativos por fichas blancas. Una ficha negra cancela una ficha blanca y viceversa. As, el nmero -1 se puede representar de las siguientes maneras:

5 + (-6) = -1

2 + ( -3) = -1

-2 + 1 = -1

-5 + 4 = -1

Resuelve las sumas siguientes, si lo consideras necesario dibuja en tu cuaderno las fichas negras y blancas. 7 + (-4) = ________ 10 + (-2) = ________ -3 + (-9) = ________ -1 +6 = ________ -8 +10 = ________ -6 -2 = ________ 17 + (-14) = ________ 20 + (-22) = ________ 8 + ( -10) = _________ 6 + ( -11) = _________ -2 + ( -8) = _________ -7 +9 = _________ -5 +11 = _________ -8 -5 = _________ 18 + ( -15) = _________ 26 + ( -17) = _________ 9 + ( -5) = _________ 3 + ( -6) = _________ -5 + ( -9) = _________ -3 + 8 = _________ -2 + 7 = _________ -4 - 2 = _________ 19 + ( -25) = _________ 33 + ( -16) = _________ -58 + ( -19) = _________ -53 + 28 = _________ -27 + 72 = _________ -47 - 12 = _________ 6 + (-10) = ________ 8 + (-4) = ________ -4 + (-12) = ________ -6 + 8 = ________ -4 + 9 = ________ -7 - 7 = ________ 16 + (-13) = ________ 48 + (-41) = ________ -34 + (-52) = ________ -96 + 58 = ________ -48 + 29 = ________ -77 - 67 = ________ 6 + (-7.9) = ________ -5 + (-9.1) = ________ -6.6 + 5.3 = ________

-37 + (-19) = ________ -52 + ( -84) = _________ -19 +62 = ________ -84 +18 = ________ -65 -22 = ________ -47 +39 = _________ -35 +17 = _________ -88 -45 = _________

2.7 + (-5.2) = ________ 5.9 + ( -3.75) = _________ 4.5 + ( -0.25) = _________ -8.5 + (-9.4) = ________ -2.8 + ( -5.7) = _________ 2.34 +( -0.6) = _________ -6.9 +7.2 = ________ -5.3 +0.98 = ________ -19.8 +9.9 = _________ -4.65 -2.9 = _________ -7.9 + 0.23 = _________

-5.6 + 7.252 = _________ -1.5 - 89.62 = ________

35! 2 8

7 ( 4 ) ! 6 3

8 ( 5 ) ! 5 6

27 2.27 Suma y resta de nmeros con signo Resuelve las sumas siguientes. 9 + (-2) = ________ 11 + (-12) = ________ -4 + (-10) = ________ -5 +3 = ________ -18 +10 = ________ -16 -2 = ________ 27 + (-16) = ________ 30 + (-32) = ________ 47 - (-10) = ________ -29 +63 = ________ -94 +38 = ________ -75 -23 = ________ 18 + ( -12) = _________ 8 + ( -12) = _________ -7 + ( -1) = _________ -11 +9 = _________ -5 +12 = _________ -8 -15 = _________ 19 + ( -13) = _________ 36 + ( -18) = _________ 62 - ( -83) = _________ -57 +38 = _________ -31 +47 = _________ -98 -46 = _________ 4 + ( -1) = _________ 23 + ( -7) = _________ -15 + ( -6) = _________ -13 + 8 = _________ -12 + 7 = _________ -14 - 2 = _________ 29 + ( -24) = _________ 43 + ( -17) = _________ 68 - ( -18) = _________ -63 + 29 = _________ -87 + 74 = _________ -57 - 13 = _________ 10 + (-10) = ________ 9 + (-9) = ________ -4 + (-10) = ________ -16 + 8 = ________ -4 + 19 = ________ -5 - 17 = ________ 17 + (-23) = ________ 58 + (-42) = ________ 44 - (-53) = ________ -86 + 57 = ________ -58 + 28 = ________ -87 - 68 = ________ 7 + (-2.3) = ________ 8 - (-7.3) = ________ -8.6 + 5.7 = ________

3.7 + (-6.7) = ________ 8.9 + ( -3.14) = _________ 3.1 + ( -5.27) = _________ 8.5 - (-9.9) = ________ 2.3 - ( -5.4) = _________ -5.9 +7.1 = ________ -3.3 +0.43 = ________ -39.2 +5.2 = _________ -8.62 +7.1 = _________ 1.39 -( -1.7) = _________ -2.4 + 2.27 = _________

-9.6 + 5.273 = _________ -7.3 + 19.12 = ________

48! 9 6 1 5! 3 7 27! 3 5

5 ( 3 ) ! 4 7 3 ( 1 ) ! 5 9 5 ( 1 ) ! 7 8

6 ( 3 ) ! 8 4 4 ( 5 ) ! 6 8 5 ( 8 ) ! 10 12

28 2.28 Suma y resta de nmeros con signo Observa los ejemplos siguientes:

6 (-3) = +9= =

-3 (-5) = +2 -5 (-2) = -3 = = =

Resuelve las restas siguientes, si lo consideras necesario dibuja en tu cuaderno las fichas negras y blancas. 10 - (-2) = ________ -13 - (-15) = ________ -8 - (-12) = ________ -39 - 23 = ________ 14 -27 = ________ 45 -21 = ________ 1 - ( -12) = _________ -5 - ( -14) = _________ -3 - ( -8) = _________ -52 - 31 = _________ 32 - 47 = _________ 68 -47 = _________ 2 - ( -5) = _________ -2 - ( -9) = _________ -6 - ( -8) = _________ -4 - 19 = _________ 37 - 54 = _________ 77 - 11 = _________ 11 - (-14) = ________ -3 - (-7) = ________ -5 - (-14) = ________ -66 - 27 = ________ 28 - 78 = ________ 47 - 28 = ________ 2 - (-5.1) = ________

7.2 - (-3.8) = ________ 6.9 - ( -3.44) = _________ 3.7 - ( -4.29) = _________ -8.7 - (-6.9) = ________ -7.3 - ( -3.4) = _________ -5.2 -7.8 = ________ 3.4 -0.45 = ________ -59.2 -7.2 = _________ 8.65 -7.5 = _________

-8.34 -( -3.4) = _________ -8 - (-5.3) = ________ -2.5 - 2.97 = _________ -6.6 - 7.7 = ________

9.9 - 6.278 = _________ 5.3 - 15.13 = ________

43! 5 6 14! 4 6

4 ( 1 ) ! 8 9 4 ( 5 ) ! 10 7

4 ( 2 ) ! 7 3 7 ( 4 ) ! 5 12

29 2.29 Suma y resta de nmeros con signo 15 - (-3) = ________ -12 - (-18) = ________ 6 - ( -16) = _________ -9 - ( -16) = _________ 3 - ( -3) = _________ -4 - ( -11) = _________ 15 - (-15) = ________ -6 - (-9) = ________ 6 - (-5.8) = ________

7.3 - (-3.9) = ________ 8.9 - ( -3.94) = _________ 3.4 - ( -6.29) = _________ -8.2 - (-3.9) = ________ -8.3 - ( -5.4) = _________ -8.5 -9.1 = ________ 6.4 -0.78 = ________ -89.5 -1.5 = _________ 1.95 -1.5 = _________

-9.34 -( -4.4) = _________ -7 - (-9.3) = ________ -5.8 - 5.21 = _________ -9.3 - 4.1 = ________

2.6 - 9.501 = _________ 8.66 - 48.46 = ________

76! 8 9 47! 7 9

7 ( 4 ) ! 11 2 7 ( 8 ) ! 12 10

7 ( 5 ) ! 10 6 10 ( 7 ) ! 8 15

1.- Julio tiene $1 129 en su cuenta de cheques en el banco. Luego deposita $3 410 y hace cheques por 135, 470 y 295 pesos. Escribe la serie de operaciones que indiquen los depsitos y pagos que hizo Julio. Cunto tiene Julio en su cuenta?

2.- Un submarino se encuentra a 100 metros de profundidad. Si asciende 55 metros, cul es su posicin ahora?. Expresa el problema numricamente.

3.- Un da de invierno, en el garaje de Juan, el termmetro marcaba 3 grados bajo cero. En el garaje de Mario el termmetro marcaba 2 grados bajo cero. Dnde era la temperatura ms alta?

4.- Mara sac del congelador un caldo que estaba a 2 grados bajo cero. Lo puso a calentar y la temperatura subi 6 grados. A qu temperatura est ahora el caldo? Con qu nmero entero se puede representar esta temperatura?

5.- En la casa donde vive Lucas hay varios stanos. Lucas sali de la segunda planta y baj cuatro plantas para tomar su coche. En qu stano est el coche de Lucas? Con qu nmero entero se puede representar esta planta?

30 2.30 Suma y resta de nmeros con signo 1.- Un avin vuela a 2 325 metros sobre el nivel de mar y un submarino est sumergido a 375 metros bajo el nivel de mar. Para poder medir la distancia que hay entre el avin y el submarino, en el momento en que el avin pasa sobre el submarino, qu operacin se debe realizar? Cul es el resultado?

2.- En la carnicera de Don Pancho el termmetro del refrigerador marca -3C, y en ese momento en la radio mencionan que la temperatura ambiental era de 19C. Cul es la diferencia entre la temperatura ambiental y la del refrigerador?

3.- La punta del monte Everest est a 8848 metros sobre el nivel del mar y el punto de mayor profundidad que se conoce en el ocano es la fosa de las Marianas, que se encuentra a 11033 metros bajo el nivel del mar, cul es la diferencia entre el punto ms alto y el ms bajo del planeta?

4.- Un hombre cobra $130. Paga una deuda de $80 y luego hace compras por valor de $95. Cunto tiene?

5.- Una ciudad fundada el ao 75 A. C. fue destruida 135 aos despus. Expresar la fecha de su destruccin.

6.- El da 10 de diciembre un barco se halla a 56 al oeste del primer meridiano. Del da 10 al 18 recorre 7 hacia el este. Expresar su longitud este da. 7.- A la 1 p.m. el termmetro marca +15 y a las 10 p.m. marca -3. Cuntos grados ha bajado la temperatura? 8.- La temperatura mnima de hoy ha sido -4 C. Si hasta alcanzar la temperatura mxima ha subido 10 C, cul ha sido la temperatura mxima de hoy? 9.- Un deportista se encuentra en la cima de El Teide que tiene 3.718 m de altura y decide practicar submarinismo y descender a la Fosa de Bonin que tiene -10.340 m. qu distancia recorre el deportista? 10.- En una cuenta bancaria se hace un depsito de 23000 pesos, la siguiente semana se efecta un retiro de 12450, en dos das despus se depositan 2500 ms, y un da despus se retiran 1589 pesos. Cunto se tiene en la cuenta bancaria? 11.- Si me pagaran un prstamo de 300 pesos que hice, tendra 4500 pesos, mi hermano tiene ahora 100 pesos ms que yo y mi prima tiene 340 menos que mi hermano y yo juntos. Cunto tenemos entre los 3?

31 2.31 Multiplicacin y divisin de nmeros con signo La multiplicacin de dos nmeros naturales es simplemente una suma repetida. Por ejemplo 3(4) es una contraccin para 4+4+4. Usando fichas negras podemos tener la siguiente representacin: 3 3 (4) = 12 tambin 4 4(3) = 12

4 3 Usando estas ideas podemos interpretar la multiplicacin 3( 4) como (-4)+(-4)+(-4) o bien usando un diagrama con fichas blancas: 3 -4 3 (-4) = -12 tambin 4 -3 4 (-3) = -12

Usando las fichas negras y blancas ahora resolveremos (-3)(-2): (3) (-2) + +(3) (-2)= -6

(-3) (-2)

=0

(-3) (-2) = +6

Obtn el resultado de las siguientes operaciones. a) (5)(3) = ________ d) (7)(-6) = ________ g) (-9)(3) = ________ h) (-8)(8) = ________ k) (+7)(+2) = _______ n) (-8)(+3) = ________ p) (-8)(0) = ________ b) (+5)(+4) = ________ e) (+7)(-8) = ________ h) (+5)(8) = ________ i) (+7)(+3) = ________ l) (+7)(+1) = ________ ) (-8)(+2) = ________ q) (-8)(-1) = ________ c) (+6)(-4) = _________ f) (+4)(-2) = _________ i) (-7)(+9) = _________ j) (+5)(-4) = _________ m) (+7)(0) = _________ o) (-8)(+1) = _________ r) (-8)(-2) = _________

3 (5) ! ________

6 8 ! _________ 4 (2) ! _________ 3 (3) (6) ! ______

15 6 ! __________ 3 (5) (1) 5 ! _________ (3) (3) (3) ! _________

8 13 ! __________ 7 (3) ! _______ 5 3 (6) ( 4) ! __________

3 (3) (5) (7) ! _________

(3) (3) (3) (3) ! __________ (3) (3) (3) ! _________ (3) (3) (3) (3) ! ________(+14) (+6) = _________ (-15) (-29) = ________ -(-18) (+17) = _________ (-16) (+15) = _________ (-16) (-17) = _______

-(-16) (+65) = _________ (-14) (+19) = __________ -(+21) (-26) = _______

32 2.32 Multiplicacin y divisin de nmeros con signo 1.- A las 6 a.m. el termmetro marca -8. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razn de 4 por hora. Expresar la temperatura a las 11 a.m. 2.- Ramiro va al club 3 das por semana. Toma un microbs para ir y uno para volver a su casa. Cada viaje le cuesta $0.80. Cunto gasta en dos semanas? 3.- Manolo ahorra cada da 120 pesos. Cunto ahorra a lo largo de 7 das? 4.- Mara Jos gasta en bocadillos 25 pesos cada da. Cunto gasta en 5 das? 5.- Al inicio del mes, Juan tena en su cuenta de ahorros un saldo favorable de 25 000 pesos, si hizo 4 retiros de 1500 pesos. Cul es su saldo ahora? 6.- Un depsito contiene 4420 litros de agua. Se abren al mismo tiempo un grifo, que vierte en el depsito 28 litros de agua por minuto, y un tubo para regar, por el que salen 45 litros por minuto. Cuntos litros de agua habr en el depsito al cabo de 15 minutos? 7.- Un buzo que se encuentra a 2000 m bajo el nivel del mar, asciende hacia la superficie a una velocidad de 5 metros por segundo. A qu altura sobre el nivel del mar se encuentra el buzo a los 5 minutos? 8.- A una altura de 1000 metros, un paracaidista va descendiendo a 47 metros por segundo, a qu altura sobre el nivel del mar se encuentra a los 19 segundos? 9.- Un automvil que sali de la Ciudad de Mxico hacia la ciudad de San Miguel de Allende, faltando 200 km para llegar, tom una velocidad de 110 km por hora, despus de viajar durante 1.5 horas cuntos kilmetros le faltarn para llegar? 10.- Hace 12 meses, tena una deuda bancaria de 60 000 pesos, si cada mes hice un depsito de 4 200 pesos, cunto le debo an al banco? 11.- Desde hace 10 das he perdido 0.125 kilogramos de peso por da, si ahora peso 74 kg, cunto pesaba hace 10 das? 12.- Al realizar una excavacin, para facilitar su trabajo, un equipo de arquelogos pone una marca cada 30 cm por debajo de la superficie; esto es, la primera marca se encuentra a -30 cm del nivel del piso. Si el registro de los arquelogos indica que la primera pieza se encontr a la 7 marcas, a qu profundidad se encontraba dicha pieza?

33 2.33 Multiplicacin y divisin de nmeros con signo (9) ( (-3) ( ) = 27@ 27 9 = ________ ( ) ( 6 ) = 48@ 48 6 = ______ (-5) ( ) = - 35@ -35-5 = ______

) = 12@ 12 -3 = -4 _____ (

) (-7) = -42@ -42 -7 = _____ (-6) ( ) = 63@ 63 (-6) = _______64 ! _____ @ 64 = (-8) ( 8

36 ! ______ @ -36 = (-4) ( ) 481 ! ______ @ -81 = (-9) ( 9

30 ! ______ @ -30 = (5) ( ) 540 ! ______ @ 40 = (8) ( 8

) .

)

)

72 ! _____ @ 72 = (-4) ( ) . 4 -48 -6 = ______

12 -3 = ______ 144 -36 = ______ -88 -8 = ______ 60 ! ______ 5 120 ! ______ 6 100 ! ______ 20 (3)(8) ! (2) ______ (15)(6) ! (5) ______ 5 v 8 ! ______ 5 2 18 v 6 ! ______ 3 2 6 z 8 ! ______ 3 4 14 z 8 ! ______ 7 4

-28 -7 = _____ -55 -11 = _____ -208 -6 = _____45 ! ______ 9

72 -18 = _____ -98 14 = _____

63 -9 = _____

-216 24 = ____ -90 -18 = _____

186 -31 = _____ -324 -9 = _____ -96 -12 = ______108 ! ______ 9 216 ! ______ 3 84 ! ______ 12 169 ! ______ 13 153 ! ______ 51 96 ! ______ 12 70 ! _____ 10 210 ! _____ 7 69 ! _____ 23

48 ! _____ 16

. . .

90 ! ______ 144 ! _____ 8 15 135 ! ______ 56 ! _____ 46 9

(8)(9) ! (3) _______ (6)(9) ! (3) _______ 30 v 16 ! 5 4 _____ 36 v 18 ! 6 2 _____ 20 z 12 ! 4 _____ 8 32 z 11 ! 8 3 _____

(4)(5) ! (2) ______ (14)(35) ! (7) ______ 24 v 12 ! 6 4 _______ 27 v 22 ! 9 11 _______ 15 z 12 ! 6 8 _______ 19 z 12 ! 4 14 _______

(12)(4) ! (8)(5) ! (3) ______ (4) ______ (16)(2) (10)(5) ! ! (2) (8) ______ ______ 32 v 21 ! 4 7 _____ 10 v 5 ! 5 10 ______

42 v 12 ! 15 v 20 ! 6 12 _____ 3 12 ______ 16 z 14 ! 12 z 4 ! 3 8 _____ 6 12 ______ 27 z 13 ! 25 z 14 ! 9 15 _____ 9 10 ______

2.34 Multiplicacin y divisin de nmeros con signo

34 1.- En la ciudad de New York, durante cierta semana se presentaron las siguientes temperaturas promedio al da: 3C, 4C, 1C, -2C, -4C, -8C y -12C. Cul fue la temperatura promedio de la semana?

2.- Dos autos salen de dos ciudades A y B, distantes entre s 840 km, y van al encuentro. El de A va 50 km/h y el de B a 70 km/h. Si salieron a las 6 am, a qu hora se encontrarn y a qu distancia de A y de B?

3.- Dos autos salen de dos ciudades A y B, situadas a 1400 km de distancia, y van uno hacia el otro. El de A sale a las 6 am a 100 km/h y el de B sale a las 8 am a 50 km/h, a qu hora se encontrarn y a qu distancia de los puntos A y B?

4.- A las 6 am, sale un auto de A a 60 km/h y va al encuentro de otro que sale de B a 80 km/h, a la misma hora. Sabiendo que se encuentran a las 11 am, cul es la distancia entre A y B?

5.- Una persona deba a un amigo 4800 pesos. Para saldar la deuda le ha estado pagando con billetes de 500 pesos, si an le falta por pagar 1300 pesos, cuntos billetes ha entregado?

6.- Un comerciante de madera compr rboles por 71580 pesos. Si por transportarlos y talarlos le cobraron 33780 y cada rbol le cost 3150, cuntos rboles compr?

7.- Una persona gana 6375 pesos y gasta 4125 pesos cada quince das. En promedio, cunto dinero ahorra cada da de la quincena?

8.- Un pescador vende 8 Kg. de pescado a 750 pesetas el Kg. con el dinero de la venta compra 5 metros de tela, cunto cuesta un metro de tela?

2.35 Jerarqua de operaciones (uso de parntesis)

35 Efecta las operaciones que se indican a) 150 32 + 5 8 = ____________________ b) 150 (32 + 5 8) = ___________________ c) (150 32 + 5) 8 = ___________________ Qu observas? _________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Efecta las operaciones que se indican. a) 3 + 28 5 3 = ______________________ b) 3 + (28 5 3) = _____________________ c) 3 + 28 (5 3) = _____________________ Qu observas? __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Efecta las siguientes operaciones: a) 7 (8 + 4) = _______ g) 6 + 4 2 = ______ b) 7 8 + 4 = _______ h) (6 + 4) 2 = ______ c) 7 4 - 5 9 = ________ f) 36 (6 2) = _________ i) 8 + 5 4 6 = ________ l) 6 (2 + 4) = ________

d) 7 (4 - 5) 9 = _______ e) (36 6) 2 ______ j) (8 + 5) (4 - 6) = ______ k) 6 2 + 4 = _______ Obtn el resultado de las siguientes operaciones.

800 (20 3x 4 5(18 3(6 1) 4(5 2))) ! _______________ 210 (17 11) ! 72 (93 37) 2 145 (526 67) 2 ! _____________ 42 __________________8(15 11) 45(91 212) 237 ! 4 38 ________________

2(5 11) ! 22 _______________

10(4 5) (4)(5) ! (7)(2)

________________

10(8 1) 5(5 4) ! 3(5) 6(5)

______________

4(7-5) + 3(4 -2) = __________________ 4(3-2) + 2(-2-5) (3 + 2) = _______________ 76-[-7+5 (9-14+7)-5]-4 (-3) = _______________ 9-(24+3 (-6)+7)-21 = _______________ 43-3 (-8)+4-3(2)-6(5) = ________________ 5 [7-6 (3-427+1)-14]+31= ___________ 9-7-5(-8)+4-92+72(-6) = __________

+5 (8-2) 2 (11 10) = ____________ 7(-8)+69 (-12)+15= _________________ (-6-43+31) (94-73)-12:(-6) = ___________ 5-(8+7-5) (-9+32-15)+18 = ____________ 862-755+9015+6(-8)= _____________ [-3-8+(3(4)](7+31-34+11)-4 = ___________

2.36 Jerarqua de operaciones (uso de parntesis)

36

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = ______________

3 2 - 5 + 4 3 - 8 + 5 2 = _____________

10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 2 - 16 : 4 = ___________ 23 + 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 22 - 16 : 4 = ___________ (15 - 4) + 3 - (12 - 5 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)= ___________ [15 - (23 - 10 : 2 )] [5 + (3 2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 3 ) = ___________

___________________________________ 14 {7 + 4 3 - [(-2)2 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 3) + 3 - (5 - 23 : 2) = ___________________________ 4+3{40/8 +4[2(4/4 +1)]}- 2= ________

4 ( 5/5+4x3)= _________ 6+3(8/8 +5 - 3)= __________ [4(5X2+8) - 2]/2= ________ 12 : 6 2 : 22 = ______

((4x5)+2) ( 2+5 - 3) + 4 = ________ ( 9+3 - 4) + (5- 4- 3)= ______ 4 5 : (- 2) - 10 + 19 = _________

3 + 4 - 2 3 2 + 1 = _________

2 - 32 5 + 21 2 + 20 = _______

2 + 3 - 5 4 - 7 + 3 = _______ 2 - 32 + 22 + 2 4 = _______ (- 3) 2 + 2 - 2 3 + 1 = ________

2 - 5 3 + 3 - 2 + 3 = _________ 5 3 + 2 6 - 3 = _________

8 - 4 4 + 4 : 2 - 22 = _________ 2 (- 3) - (- 5) + (- 2)2 = _________ (32)2 + 22 - 12 + 4 2 - 5 = _____ 4 5 : 2 = _______ 8 - 3 2 = ______ 3 4 - 2 + 7 = _______ 7 2 + 1 - 5 = _______ 5 + 20 : 5 = ______

10 + 25 : 5 = ________ 6 + 7 - 5 2 - 2 + 3 = ________ 5 5 - 5 + 5 5 = __________ 9 - 2 22 = ______________ 7 - (- 3) (- 2) = ________ 9 - 32 + 22 + 4 = ________

12 - 5 2 + 5 = ________ 5 + 2 42 = ________ 4 5 : 2 + 9 = ________

2 + 6 : 2 + 4 (- 2)2 = __________ 7 3 + 8 : 2 - 7 2 - 22 + 32 = _____ = _______________ + = __________________

24 - 2 22 + 2 32 - 4 + 3 = ________ = ________

= _________

2y5z2 6y2 4y2y5

= _________________

2.37 Jerarqu a de operaciones (uso de parntesis)

37 2+3x 4= _______ 2+3-2= _______ 3x 4+2= _______ 12 - 3 x 4 = _______ 3x 4-2= ________ 8 : 2 +2 = _________ 6:3x 2= ________ 12 32 = _______

12 - 2 + 2 = ________ 2+8:2= _______ 2x 6:3= ________ 2 + 32 = ________

12 - 8 : 2 = _______ 8:2-2= _______ 2 x 32 ________ 2+3-5= ________ 32-8:4= ________ 3 x 42 = ________ 18 : 32 = ______ 2-3+5= _______

2 +8 : 2 = _______ 8:2+2= ________ 20x 6:8= ________ 6 + 52 = _______ 6:2x 3= _______

18:2-10= ________ 72 : 42 = _______

9 62 = _______ 9-(24+3(-6)+7)-21= _________

6(2+4-1)/5(7-5) = __________ 7(-8)+69:(-3)+15= ________ 86:2-75:5+90:15+6(-8) = ___________ 76-[-7+5(9-14+7)-5]-4(-3) = _________ 5[7-6(3-42:7+1)-14]+31 = ____________ c) (-6-43+31)(94-73)-12:(-6) = ________ (-3-8+3)(7+31-34+11)-4 = ___________12 + 15 + 4 18 = ___________

9-7-5(-8)+4-92+72:(-6) = ____________ 5-(8+7-5)(-9+32-15)+18 = ____________ (-6)(-4)(-5)+72(7)-400 = _____________ 43-3(-8)+4-3(2)-6(5) = _____________ 7 2 5 14 4 v 3 = __________ 7 3 19 5 32 21 ! ________ 4

3(-4) + 5(-2) + 16= __________ 2-7(4+65-32+8)+5(-7) = _________ 5(-4) + 5 2(-3) = _________ 8-4(5)+3 = ____________ (-4-5+7)(6+9-12) 7 x 4+5 = ________1 3 1 1 3 6 = ___________ 2 4 3 2 1 3 3

-5+7-18-3+12 = _________2 7 4 v 2 10 5 = ________ ________

17 25 76 45 +86 = ___________

? 6 2 4 5A ? 8 7 2 6A= _______2 5 1 2 = __________ 3 6 2

1 1 ! _____________________ 3 4

2.38 Potencias

38 Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor que se repite se llama base y el nmero de veces que se repite se llama exponente. Exponente 6 x 6 x 6 x 6 = 64 Base Casos particulares de potencias: Un nmero elevado al exponente 1 es igual al mismo nmero. 21 = 2; Un nmero elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1; 50 = 1 Escribe en forma de potencia los siguientes productos. 5 x 5 x 5 = ____________ 6 x 6 x 6 x 6 =_____________ 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = ____________ 7 x 7 x 7 x 5 x 5 = ___________ 31 = 3

16 x 16 x 16 x 16 x 16 = __________

9 x 9 x 6 x 6 x 6 = __________

8 x 8 x 4 x 4 x 4 = __________ 9 x 9 x 9 x 7 x 7 x 7= _________ 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = ________ Halla el valor de las siguientes potencias 81 = ______ 90 =______ 102 = ______ 73 = ______ 120 = ______ 291 = ______ 63 x 32 x 43 = ______

32 x 23 = ______

33 x 42 = ______

52 x 42 = ______

52 x 42 x 60 = ______

52 x 23 x 80 = ______

41 x 52 x 20 = ______

70 x 34 x 51 = ______

101 x 123 x 150 = _______

Observa las operaciones siguientes: 21 25 = 2 32 = 64 = 26 22 23 = 4 8 = 32 = 25 24 25 = 16 32 = 512 = 29 Usando el mismo procedimiento resuelve: 22 x 23 = ______________________________ 24 x 21 = _____________________________ 33 x 31 = ______________________________ 33 x 33 = ______________________________ 43 x 40 = ______________________________ 31 x 31 x 31 = ___________________________ 51 x 51 x 52 = ___________________________ 72 x 71 x 71 = ___________________________ 92 x 92 x 91 = ____________________________ 23 x 21 = _______________________________ 32 x 32 = _______________________________ 32 x 33 = _______________________________ 34 x 31 = _______________________________ 22 x 21 x 23 = ____________________________ 42 x 42 x 41 = ____________________________ 62 x 62 x 61 = ____________________________ 82 x 81 x 81 = ____________________________ 91 x 92 x 90 = ____________________________

2.39 Potencias

39 De acuerdo a lo siguiente: m 23 24 = 23 + 4= 27 podemos establecer que: a Conforme a lo anterior, resuelve: 33 31 35 = ____________ 44 43 41 = ____________ 32 35 31= _____________ x3 x4 x5 = _____________ b8 b3 b2 = ____________ y1 y9 y -3 = ____________ 52 55 51 = ____________ 54 53 52 = _____________ 46 42 = ________________ m2m8m1 = ____________ t9 t5 t5 = _____________ z4 z-2 z1 = ____________ 38 32 = __________ 43 42 41 = _______ 32353-2 = __________ n2 n7 n10 = __________ d 6 d 2 d 0 = __________ a3 a1 a5 = ___________

an = am + n

1.- Las bacterias son seres vivos minsculos que se reproducen dividindose por la mitad cada cierto tiempo. Suponemos una bacteria que se divide cada minuto. En ese caso, despus de dos minutos tendramos cuatro bacterias, a los tres minutos ocho bacterias y as sucesivamente. Cuntas bacterias habr a las dos horas? 2.- Una persona pide que se le pague un centavo en su primer da de trabajo, que en el segundo se duplique a 2 centavos, el tercer da se duplique lo del anterior, es decir 4 centavos y as sucesivamente. Al cabo de trabajar 31 das tendr que cobrar 230 centavos. A cunto equivale en pesos?

3.- El nmero estimado de estrellas en nuestra galaxia es de 1011 y el nmero de galaxias en el universo es de 1012. Si todas las galaxias tuvieran el mismo nmero de estrellas, entonces Cuntas estrellas existiran en el universo?

4.- En una tienda de autoservicio se reciben 12 camiones con 12 cajas y en cada caja hay 12 botellas de aceite. Cuntas botellas se reciben en total? 5.- Daniel es conserje de un colegio. En un armario tiene 5 filas con 5 llaveros en cada fila. Cada llavero tiene 5 llaves. Cuntas llaves tiene en el armario? 6.- Cierto organismo tiene aproximadamente 173 ml de sangre, si hay una poblacin de 178 organismos, cuntos ml de sangre contiene toda la poblacin? 7.- El peso de una canica es de 23 gramos, si tengo 28 canicas, cul es el peso de todas las canicas?

2.40 Potencias

40 Observa las operaciones siguientes. 45 3

= 4x4x4x4x4 = 1024 = 64 = 43 4x4 16

7 7x7x7 . = 343 . = 1 . = 1 = 7-2 75 = 7x7x7x7x7 16807 49 72 Usando el mismo procedimiento resuelve: 38 = 33 510 = 57 214 = 29 103 = 101 416 = 410 38 = 33 63 = 68 34 = 310 124 = 129 158 = 15 8 -2 = 15 6 152 516 = 510 109 103 412 = 48 316 = 310 = 97 = 93 811 = 86 712 = 75 615 = 67 820 = 86 97 = 93 91 = 97 82 = 86 75 = 78 54 4 -7 -3 57 = 5 = 5 812 = 87 82 = 88 91 = 97 82 = 815

E

41 2.41 Potencias Notacin cientfica. Ejemplos: 245 000 = 2.45 x 105 0.574 = 5.74 x 10-1 Ejercicios: 527 000 = _________________ 35 000 = __________________ 68 000 000 = _______________ 3 000 000 = _______________ 9 000 000 000 = _____________ 87 587 000 = ________________ 7 123 333 = ________________ 64 000 000 000 = ____________ 0.0000078 = ________________ 0.0000899 = ________________ 0.00001544 = _______________ 0.0004784 = ________________ 58 256 000 = 5.8256 x 107 0.0007887 = 7.887 x 10-4 588 245 145 = 5.88245145 x 108 0.0000047 = 4.7 x 10-6

784 454 000 = _______________ 54 128 = __________________ 58 200 000 = ________________ 10 005 = __________________ 0.0588 = ___________________ 0.856 = ___________________ 0.002254 = _________________ 0.0007 = __________________ 0.0025 = ___________________ 0.00000016 = ______________ 0.589545 = _________________ 0.00068 = _________________ Operaciones: 4 x 105 x 5 x 107 = 4 x 5 x 1012 = 20 x 1012 = 2 x1013 5.25 x 108 x 4.126 x10-3 = 21.6615 x 105 = 2.16615 x 106 7.9 x 102 x 2.29 x 10-4 = 18.091x 10-2 = 1.8091 x 10-1

7x 103 x 4 x 108 = ____________________________________________ 3.36 x 109 x 2.148 x10-6 = ______________________________________ 8.2 x 103 x 5.27 x 10-5 = ________________________________________ 9x 104 x 5 x 109 = ____________________________________________ 4.47 x 1010 x 3.259 + x10-7 = ______________________________________ 9.3 x 104 x 6.38 x 10-6 = ________________________________________

6 x 105 = 3 x 103 2 x 102

24 x 104 = 4 x 10-5 6 x 109

72 x 10-2 = 6 x 10-6 12 x 104

64 x 10-3 4 x 10-5

= 16 x 102= 1.6x103

16 x 103 = 2 x 101 25 x 108 = 5 x 102

12 x 10-7 = 2 x 106 48 x 10-8 = 12 x 7

44 x 10-2 = 11 x 10-2 54 x 10-6 = 18 x 10-9

42 2.42 Potencias 1.- La velocidad de la luz puede medirse al dividir la distancia desde el Sol a la Tierra (1.47x1011 m), con el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar a la Tierra (4.9x102s). Por lo tanto la velocidad de la luz es 1.47 x 1011m = A cuntos metros sobre segundo equivale esta expresin? 4.9 x 102s

2.- La luz que recorre aproximadamente 3105 km en un segundo, tarda cerca de 5102 s en llegar a la Tierra. Cul es la distancia aproximada, en notacin cientfica, del Sol a la Tierra?

3.- La distancia aproximada de Neptuno al Sol es de 4 490 069.76 km. Cunto tarda en llegar la luz desde el Sol a Neptuno?

4.- El estadounidense promedio consume 3.6 x 10 kg de vegetales al ao. Si hay unos 2.5 x 108 de estadounidenses, Cuntos kilogramos de vegetales se necesitan para abastecerlos cada ao?

5.- Plutn queda, aproximadamente a 3.574 x 109 millas de la Tierra. Si una nave espacial pudiera viajar a 1.8 X 104 millas por hora. Cunto tardara en llegar a Plutn?

6.- La masa de la Tierra es de 5.981024 kg y la del Sol 1.981030 kg. Cuntas veces es ms pesada la masa del Sol que la de la Tierra?

7.- La distancia de La Tierra a la Luna es de 3.8108 metros. Si la velocidad de la luz es de 3108 m/s, cunto tiempo tardar un rayo lser, enviado desde la Tierra, en llegar a la Luna?

8.- La masa de un protn es de 1.671024 gr, y su volumen es de 1029 cm3. Calcula la densidad de un protn, si la densidad es igual a la masa sobre el volumen.

43 2.43 Factor de proporcionalidad 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm Cunto mediran las dimensiones de la figura anterior, si se aplica el factor de proporcionalidad 3 ?2

Lnea de 3 cm 3 x 3 = 9 = 4.5 cm2 2

Lnea de 4 cm 4 x 3 = 12 = 6 cm2 2

4 cm

5 cm 7 cm3 cm 1 cm

3 cm

Lnea de 5 cm 5 x 3 = 15 = 7.5 cm2 2

Lnea de 7 cm 7 x 3 = 21 = 10.5 cm2 2

1 cm 2 cm

La lnea de 1 cm? ____________________

La Lnea de 2 cm? ____________________________

Aumenta o disminuye el tamao de la figura? ____________________ Cunto mediran las dimensiones de la figura anterior, si se aplica el factor de proporcionalidad 3 ?4

10 cm

2 cm

8 cm

7 cm 3 cm

Lnea de 1 cm 3 3 1 cm 1 x 4 = 4 = 0.75 cm Lnea de 3 cm 3 x 3 = 9 = 2.25 cm4 4

Lnea de 2 cm 2 x 3 = 6 = 1.5 cm4 4

Lnea de 7 cm 7 x 3 = 21 = 5.25 cm4 4

La lnea de 8 cm? ______________________

La Lnea de 10 cm? ____________________________

Aumenta o disminuye el tamao de la figura? ____________________ Fig. 1 9 cm12 cm

Fig. 2 20 cm

10 cm 25 cm 30 cm

18 cm 15 cm

Cunto mediran las dimensiones de la figura 1, si se aplica el factor de proporcionalidad La lnea de 9 cm? _____________________ La lnea de 18 cm? _____________________

1 3

?

La lnea de 12 cm? ______________________________ La lnea de 15 cm? ______________________________6 5

Cunto mediran las dimensiones de la figura 2, si se aplica el factor de proporcionalidad La lnea de 10 cm? _____________________ La lnea de 25 cm? _____________________

?

La lnea de 20 cm? ______________________________ La lnea de 30 cm? ______________________________

44 2.44 Factor de proporcionalidad 1.- Un auto se vende con un descuento de 15%. Si su precio sin descuento es de $146 000, en cunto se vende? 100% - 15% = 85%146 000 x85 100

85% =

85 100

factor de proporcionalidad

= 124 100 El auto se vender en $ 124 000.00

2.- Las reservas de agua en cierto lugar eran de 260 hm3, pero tras un perodo de lluvias han aumentado el 15%. Qu cantidad de agua hay ahora en reserva? 100% + 15% = 115% 260 x115 100

115% =

115 100

factor de proporcionalidad

= 299 Reserva de agua 299 hm3

Ejercicios: 1.- Una aldea tena 875 habitantes hace cinco aos. Desde entonces ha descendido su poblacin el 12%. Cuntos habitantes viven en la actualidad all?

2.- Sara ha comprado un suter que costaba 650 pesos, pero le han hecho una rebaja del 15%. Cunto ha pagado?

3.- He ido a comprar un baln que costaba 150 pesos, pero me han hecho una rebaja del 12%. Cunto he pagado por el baln?

4.- La paga mensual de Andrea es de 4500 pesos y le han prometido un aumento del 20% para el prximo mes. Cul ser su nueva asignacin mensual?

5.- Una cmara de video cuesta 7 200 pesos, pero tiene un descuento del18%, cunto se pagar por ella?

6.- Un televisor que costaba 5400 pesos en enero, en abril aument un 20%. Cunto cuesta en abril?

7.- Para el fabricante el costo de un traje es de 500 pesos, si al venderlo al comerciante le aumenta un 25%, en cunto lo compra el comerciante?

45 2.45 Factor de proporcionalidad 2 cm 8 cm 3 cm El volumen del prisma es 2x3x8 = 48 cm3 Si a la altura se le aplica el factor de proporcionalidad 2; entonces la altura medir 8 x 2 = 16 cm Por lo tanto el volumen del nuevo prisma ser 2 x 3 x 16 = 96 cm3 Cuntas veces aument la altura? _______________ Cuntas veces aument el volumen? _____________ El volumen del prisma es 4x5x9 = 180 cm3 Si a la altura y a la base se le aplica el factor de proporcionalidad 2; entonces la altura medir 9 x 2 = 18 cm y la base medir 5 x 2 = 10 Por lo tanto el volumen del nuevo prisma ser 4 x 10 x 18 = 720 cm3 Cuntas veces aument la altura? _______________ Cuntas veces aument la base? _______________ Cuntas veces aument el volumen? _____________ El volumen del prisma es 5x10x12 = 600 cm3 Si a la altura, a la base y al ancho se le aplica el factor de proporcionalidad 2; entonces la altura medir 12 x 2 = 24 cm y la base medir 10 x 2 = 20 y el ancho medir 5 x 2 = 10 Por lo tanto el volumen del nuevo prisma ser 10 x 20 x 24 = 4800 cm3 Cuntas veces aument la altura? _______________ Cuntas veces aument la base? _______________ Cuntas veces aument el ancho? ______________ Cuntas veces aument el volumen? _____________

4 cm 9 cm 5 cm

5 cm 12 cm 10 cm

Ejercicios: 1.- Las dimensiones de un prisma rectangular son b = 6 cm, a = 8 cm y h = 10 cm, si a la base (b) se le aplica un factor de proporcionalidad 3, cul es el volumen del nuevo prisma?

2.- Las dimensiones de un prisma rectangular son b = 7 cm, a = 4 cm y h = 12 cm, si a la base (b) y al ancho (a) se les aplica un factor de proporcionalidad 3, cul es el volumen del nuevo prisma?

3.- Las dimensiones de un prisma rectangular son b = 10 cm, a = 6 cm y h = 15 cm, si a la base (b), al ancho (a) y a la altura (h) se les aplica un factor de proporcionalidad 3, cul es el volumen del nuevo prisma?

4.- Las dimensiones de un prisma rectangular son b = 4 cm, a = 2 cm y h = 8 cm, si a la base se le aplica un factor de proporcionalidad 4, cul es el volumen del nuevo prisma?

5.- Las dimensiones de un prisma rectangular son b = 5 cm, a = 3 cm y h = 10 cm, si a la base, al ancho y a la altura se les aplica un factor de proporcionalidad 4, cul es el volumen del nuevo prisma?

46 2.46 Factor de proporcionalidad 1.- Un atleta tiene 2 kg de msculo por cada 5 kg de su peso. Si pesa 90 kg, cuntos kilogramos de msculo tiene? Factor de proporcionalidad 25

90 x

2 5

=

180 5

= 36

Kg de Msculo = 36

2.- Un ganadero tiene pienso para alimentar durante 40 das a 560 vacas. Cunto pienso necesita para alimentarlas durante 70 das? Factor de proporcionalidad 70 x560 40 560 40

=

39200 40

= 980 kg

Necesita 980 kg de pienso

3.- Cuatro obreros realizan una obra en 20 das. En cuntos das la pueden terminar 5 obreros? Factor de proporcionalidad 45

20 x

4 5

=

80 5

= 16

Ejercicios: 1.- Luis pag por el consumo de 1250 litros de agua un total de 87 pesos. Cunto tendr que pagar por 560 litros? 2.- Si un automvil recorre 36 km con 2 litros de gasolina, cuntos km recorrer con 12 litros? 3.- La relacin de velocidades de un avin a otro es 2 a 5, si el avin ms lento tiene una velocidad de 300 nudos, cul es la velocidad del ms rpido? 4.- Sobre un mapa que tiene una escala de 1 cm a 50 km, cuntos centmetros representan 540 km? 5.- Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobs a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 40 alumnos siendo el precio por persona de 9 dlares. Si finalmente hacen el viaje 30 alumnos Cunto tiene que pagar cada uno? 6.- El agua de un pozo se saca en 210 veces utilizando un cubo de 15 l de capacidad. Si empleamos un cubo de 25 l, cuntas veces necesitamos introducir el cubo en el pozo para sacar la misma cantidad de agua? 7.- Un coche tarda 6 horas en recorrer un trayecto a una velocidad de 90 km/h. Cunto tardara en recorrer ese mismo trayecto si circula a una velocidad de 60 km/h? 8.- Enrique ayuda a unos familiares en su tienda en Navidad. Por cinco das de trabajo le dan 160 darn por diecisiete das? . Cunto le

47 2.47 Factor de proporcionalidad 1.- Con un consumo de 3 horas diarias, un depsito de gas dura 20 das. Cunto durara con un consumo de 6 horas diarias?

2.- Un ganadero tiene alpacas de paja para alimentar a 20 vacas durante 60 das. Si compra 10 vacas ms, para cuntos das tiene alimento?

3.- Cuatro grifos iguales llenan un estanque en 6 horas. Cunto tardarn en llenar el estanque tres grifos?

4.- Un taxi, a 85 km/h, tarda 12 minutos en hacer cierto recorrido. Cunto tardara en hacer el mismo recorrido a una velocidad de 60 km/h?

5.- Un pintor puede resanar y pintar 240 m2 en 6 das en cuntos das harn el mismo trabajo dos pintores?

6.- Si un kilo de pistaches cuesta 120, pesos y t quieres comprar 46 pesos, cunto te deben despachar?

7.- Si cuatro personas tardan ocho das en aplanar un terreno, cuntas personas se necesitan para hacerlo en dos das?

8.- El dueo de una papelera ha pagado 6000 pesos por 20 cajas de hojas de mquina; si comprara 25 cajas, cunto pagara?

9.- Cinco carpinteros necesitan 21 das para entarimar un suelo. Cuntos carpinteros sern necesarios si se desea hacer el trabajo en 15 das?

10.- Una finca tiene una valla antigua sostenida por 650 postes que estn colocados a intervalos de 1.20 m. Cuntos postes se necesitarn para la nueva valla en la que los postes se colocarn a intervalos de 1.30 m?

11.- Una locomotora a 85 km/h, tarda tres horas y dieciocho minutos en realizar un viaje de ida entre dos ciudades. Cunto tardar en el viaje de vuelta si aumenta su velocidad a 110 km/h?

48 2.48 Proporcionalidad Mltiple 1.- Un hombre recorre 144 kilmetros en 4 das, caminando 6 horas diarias. Cuntos kilmetros recorrer durante 10 das caminando 2 horas diarias, si mantiene el mismo ritmo? km 144 x das 4 10 D horas 6 2 D x = 144 v10 v 2 = 2880 = 120 24 4v 6 Recorrer 120 km

2.- Si 9 obreros pintan 3 casas en 4 das, cuntos das demorarn 15 obreros en pintar 5 casas, bajo condiciones similares? obreros 9 15 I casas 3 5 D das 4 x x = 4 v 5 v 9 = 180 = 4 3 v15 45 Tardarn 4 das

3.- Una guarnicin de 500 hombres tiene vveres para 20 das a razn de 3 raciones diarias. Cuntas raciones diarias tomar cada hombre si se quiere que los vveres duren 5 das ms? hombres 500 500 I Ejercicios: das 20 25 I raciones 3 x x = 3 v 20 v 500 = 30000 = 2.4 12500 25 v 500 Tomarn 2.4 raciones diarias

1.- Una mecangrafa escribe 240 pginas en 20 das trabajando 8 horas diarias. Cuntas pginas escribir en 10 das, trabajando 10 horas diarias en condiciones similares?

2.- Cuatro mineros abren una galera de 15 metros de longitud en 9 das. Cuntos metros de galera abrirn 6 mineros en 15 das?

3.- Tres molinillos durante 5 horas muelen 60 kg de caf Cunto molern 8 molinillos durante 3 horas?

4.- Cinco obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 12 das para levantar un muro. Cuntos obreros necesitamos para construir ese muro en 9 das, trabajando jornadas de 10 horas?

49 2.49 Proporcionalidad Mltiple 1.- En una cadena de montaje, 17 operarios, trabajando 8 horas al da, ensamblan 850 aparatos de radio a la semana. Cuntas horas diarias deben trabajar la prxima semana, para atender un pedido de 1000 aparatos, teniendo en cuenta que se aadir un refuerzo de tres trabajadores?

2.- Si 30 mquinas fabrican 5 000 m de tejido en 20 das, cuntas mquinas, iguales a las anteriores, ser preciso poner en marcha para producir 7 000 m en 14 das?

3.- Un depsito de capacidad 500 litros es llenado por un grifo de 5 cm2 de seccin en 12 horas. Cunto tiempo tardar en llenarse un depsito de 750 litros por un grifo de 8 cm2 de seccin?

4.- Seis mecangrafas preparan 720 pginas en 18 das. En cuntos das, 8 mecangrafas, de igual eficiencia que las primeras, prepararn 800 pginas?

5.- En una residencia con 30 estudiantes, se gastan $ 18 000 en 25 das. Cunto gastaran 42 estudiantes en 34 das, viviendo en idnticas condiciones?

6.- La alimentacin de 12 animales, durante 8 das, cuesta $ 8 000. Cul sera el costo de alimentacin de 15 animales en 5 das?

7.- Un automvil con una rapidez de 60 km/h , rodando 5 horas por da, hace cierto recorrido en 12 das. Si su rapidez fuese 75 km/h y rodase 6 horas por da, en cuntos das hara el mismo recorrido?

50 2.50 Proporcionalidad Mltiple 1.- Un horno a petrleo consume 18 litros en 5 das, funcionando 4 horas diarias. En cuntos das consumir 48 litros, si funciona 9 horas por da?

2.- Se sabe que 18 animales consumen 480 kg de alimento en 12 das. Para cuntos das les alcanzaran 360 kg del mismo alimento a 24 animales?

3.- Un libro tiene 120 pginas de 27 lneas de 16 cm de largo cada una. Si se reimprime con 36 lneas de 15 cm de largo por pgina, cuntas pginas tendra el libro?

4.- Cinco obreros instalan 50 postes trabajando 8 horas diarias. Cul es el nmero de obreros que se necesitara para instalar 120 postes de iguales caractersticas, trabajando 12 horas diarias?

5.- Si 10 mquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 das, cuntas mquinas sern necesarias para triplicar la produccin en 6 das, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?

6.- Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 meses trabajando 8 horas diarias, cuntos obreros necesitaran para terminar la obra en 2 meses, trabajando 6 horas diarias?

7.- Cuatro operarios producen en 10 das 320 unidades de un cierto producto. Cuntas unidades del mismo producto pueden producir 10 operarios en 16 das?

8.- Doce campesinos recogen una cosecha en 9 das trabajando 6 horas diarias, cuntos campesinos sern necesarios para recoger la cosecha en 3 das trabajando 8 horas diarias?

51 2.51 Proporcionalidad Mltiple 1.- En 18 das, 20 mquinas aran un terreno de 60 hectreas. Cuntas mquinas iguales aran un terreno de 36 hectreas en 12 das?

2.- Nueve obreros trabajan 8 horas diarias y pintan una casa en 12 das. Cuntos das demoran 18 obreros en pintar la misma casa trabajando 6 horas diarias?

3.- Diez trabajadores siembran un terreno de 10000 m2 en 9 das. En cuntos das sembrarn 15000 m2, 12 trabajadores?

4.- Para alimentar 8 cerdos durante 25 das se necesitan 140 kilos de alimento. Cuntos kilos de alimento se necesitan para mantener 24 cerdos durante 50 das?

5.- Una persona recorre 54 km. caminando 4 horas diarias durante 6 das. Cuntas horas diarias tendra que andar para recorrer 140 km. en 14 das?

6.- Tres motores iguales funcionando 6 horas necesitan 9000 litros de agua para refrigerarse. Cuntos litros de agua necesitarn 5 motores funcionando 8 horas?

7.- Tres obreros trabajando 8 horas diarias realizan un trabajo en 15 das. Cuntos das tardarn en hacer el trabajo 5 obreros trabajando 9 horas?

8.- Tres grifos llenan un depsito de 10 m3 en 5 horas. Cunto tardarn en llenar un depsito de 8 m3 dos grifos iguales a los anteriores?

52 2.52 Proporcionalidad Mltiple 1.- Con 12 kilos de pienso 9 conejos comen durante 6 das. Cuntos das tardarn 4 conejos en comerse 8 kilos de pienso?

2.- Seis obreros enlosan 1200 m2 de suelo en 4 das. Cuntos metros cuadrados de suelo enlosarn 12 obreros en 5 das?

3.- En una campaa publicitaria 6 personas reparten 5000 folletos en 5 das. Cuntos das tardarn 2 personas en repartir 3000 folletos?

4.- Para construir 4 casas iguales en 30 das hacen falta 60 albailes. Cuntos albailes se necesitarn para construir 6 casas en 90 das?

5.- Para imprimir unos folletos publicitarios, 9 impresoras han funcionado 8 horas diarias durante 40 das. Cuntos das tardarn en imprimir el mismo trabajo 6 impresoras funcionando 10 horas diarias?

6.- En una campaa publicitaria 10 personas reparten 5000 volantes en 12 das. Cunto tiempo tardarn 6 personas en repartir 2500 volantes?

7.- Se han cosechado 50 ha de viedo y para ello se han empleado a 25 personas durante 12 das. Cuntas hectreas podran haber cosechado 15 personas durante 8 das, trabajando al mismo ritmo que las primeras?

8.- Para realizar una obra, 40 obreros han necesitado 100 das trabajando 6 horas diarias. Cuntos obreros, trabajando slo 4 horas diarias se necesitaran para terminar la misma obra en 120 das?

53 2.53 Proporcionalidad Mltiple 1.- Para alimentar las 248 mquinas de una fbrica durante 24 horas se gastan 8928 pesos. Si trabajan 12 horas 324 mquinas iguales, cunto gastarn?

2.- Para recorrer una distancia de 15000 km, un pjaro tarda 20 das, volando durante 9 horas diarias. Cuntos das tardar en recorrer 2000 km, si vuela durante 12 horas diarias?

3.- Sabemos que para llenar 5 depsitos de agua que abastecen a una poblacin se necesitan 4 bombas funcionando durante10 horas. Si queremos llenar 14 depsitos, durante cunto tiempo debern estar funcionando 8 bombas?

4.- Cuatro grifos llenan en 12 horas 2 depsitos de agua de 60 m3 de capacidad cada uno. Cunto tiempo tardarn 6 grifos en llenar 3 depsitos de 80 m3 cada uno?

5.- Durante quince das de vacaciones una familia compuesta por 6 personas ha gastado 25200 pesos en. Cunto gastara una pareja en 20 das de vacaciones?

6.- Seis motores consumen 3.000 l de combustible durante 12 minutos de trabajo. Cuntos litros de combustible necesitarn 20 motores para trabajar 1 hora?

7.- Por los trabajos realizados en un campo de 1400 m de largo y 500 m de ancho se pagan 3300 pesos. Cunto habra que pagar por realizar los mismos trabajos en otro campo de 420 m de largo y 90 m de ancho?

8.- En una granja avcola hay 5600 gallinas que ponen 11200 huevos en 12 horas de luz. Si se sacrifican 2800 gallinas, cuntos huevos habrn puesto, durante tres horas, el resto de las gallinas?

54 2.54 Proporcionalidad Mltiple 1.- Cada 24 das, los 40 alumnos de un comedor escolar consumieron 192 barras de pan. Cuntas barras de pan habr que comprar para alimentar a 65 alumnos durante 80 das?

2.- 14 hombres pavimentan 140 m. de un camino en 10 das trabajando 8 horas diarias. Cuntas horas diarias deben trabajar 20 hombres para pavimentar 180 m. en 15 das?

3.- 35 gallinas consumen 96 kilos de alimento cada 4 das. Cuntos kilos de alimento consumirn 60 gallinas en 2 das?

4.- Una modista cose 10 camisas en 8 horas. Cuntas horas tardarn 4 modistas en coser 20 camisas?

5.- Cinco fotocopiadoras tardan 6 minutos en hacer 600 fotocopias. Si ponemos en funcionamiento 7 fotocopiadoras y queremos hacer 1400 fotocopias, cuntos minutos tardaran?

6.- Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, cuntos obreros, trabajando 10 horas, se necesitaran para pintar 15 km?

7.- 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 das. Cunto tardarn 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

8.- Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 das 3 kg de pan. Cuntos kg de pan sern consumidos en 5 das, estando dos personas ausentes?

55 2.55 Proporcionalidad Mltiple 1.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una poblacin que est a 60 km de distancia una empresa de transporte me ha cobrado 90 pesos. Cunto me costar enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

2.- Una pieza de tela de 2.5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 300 pesos. Cunto costar otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1.20 m de ancha?

3.- Cinco mquinas embotelladoras envasan 7 200 litros de aceite en una hora. Cuntos litros envasarn 3 mquinas en doshoras y media?

4.- Doce obreros, trabajado 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 das. Cunto tardarn en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?

5.- Cincuenta terneros consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. Cuntos kilos de alfalfa se necesitarn para alimentar a 20 terneros durante 15 das?

6.- En un hospital con 30 pacientes se gastan 18 000 pesos en 25 das, cunto gastaran 42 pacientes en 34 das en idnticas condiciones?

7.- Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 das por 12672 pesos. Cunto costar el hotel de 15 personas durante ocho das?

8.- Para construir una pared de 12 metros de largo y 5 metros de alto se necesitan 400 ladrillos. Qu altura tendr la pared si tuviera 4 metros de largo y se contara con 200 ladrillos?

56 2.56 problemas de conteo, arreglos rectangulares y diagramas de rbol 1.- Para ir de la casa de Juan a la de Pablo hay 5 caminos diferentes y para ir de casa de Pablo a la de Sofa hay 3. Si Juan va a pasar por Pablo y despus a casa de Sofa, cuntos caminos distintos puede tomar Juan?

m=5

n=3

Frmula: A = m x n Puede tomar 5 x 3 = 15 caminos

2.- Un candado tiene 4 discos con 10 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), cuntas combinaciones se pueden hacer? m = 10 n = 4 No entran todos los elementos. En cada combinacin de 10 dgitos se toman slo 4. S importa el orden por tratarse de nmeros. Se repiten los nmeros. Frmula: VRnm VR410 = 104 Se pueden hacer 10000 combinaciones

3.- Cuntas placas con 3 letras y 3 nmeros se pueden formar si las letras van en los 3 primeros lugares? Toma 27 letras y 10 cifras. Para los nmeros m = 10 n = 3 Para las letras m = 27 n = 3 No entran todos los elementos. En cada combinacin de 10 nmeros se toman slo 3, en cada combinacin de 27 letras se toman slo 3. S importa el orden por tratarse de nmeros y letras. Se repiten los nmeros. Frmula: VRnm x VRnm VR310 x VR327= 103 x 273 = 1000 x 19683 = 19 683 000 Se pueden formar 19 683 000 placas 4.- Claudia necesita 3 lpices de colores distintos. Si tenemos una caja de 12 colores, cuntos grupos distintos de 3 se pueden formar? m = 12 n = 3 No entran todos los elementos. En cada combinacin de 12 colores se toman slo 3. S importa el orden por tratarse de colores distintos. No se pueden repetir los colores. Frmula: Vnm =m! (m n)!

V312 =

12! = 12 v 11 v 10 v 9! (12 3)! 9!

= 12x11x10 = 1320

Se pueden formar 1320 grupos distintos

57 2.57 problemas de conteo, arreglos rectangulares y diagramas de rbol 5.- En la escuela se elegir al presidente de la sociedad de alumnos entre Felipe, Andrs, Carolina, Lucero y Luis. Los candidatos para el puesto de secretario son: Federico, Juan, Lydia y Marcela. Finalmente, Pedro, Manolo y Conchita compiten por el puesto de tesorero. Cuntas posibles ternas de presidente, secretario y tesorero se tienen? m=5 n=4 p=3 Frmula: A = m x n x p 5 x 4 x 3 = 60 Puede haber 60 ternas 6.- Alberto, Brbara y Carlos se reparten 12 manzanas. Cada persona se lleva al menos una manzana, de cuantas maneras distintas se puede hacer el reparto? Para 1 manzana al primero hay 10 maneras distintas 1 10 1 9 Para 2 manzanas al primero hay 9 maneras distintas 2 9 2 8 Para 3 manzanas al primero hay 8 maneras distintas 3 8 3 7 Para 4 manzanas al primero hay 7 maneras distintas 1 4 7 2 4 6 Para 5 manzanas al primero hay 6 maneras distintas 5 6 5 5 Para 6 manzanas al primero hay 5 maneras distintas 6 5 6 4 Para 7 manzanas al Primero hay 4 maneras distintas 7 4 7 3 Para 8 manzanas al primero hay 3 maneras distintas 8 3 8 2 Para 9 manzanas al primero hay 2 maneras distintas 9 2 9 1 Para 10 manzanas al primero hay 1 maneras distintas 10 1 Sumando hay 55 maneras distintas 7.- Cinco amigos se encuentran en la calle y se saludan de mano. Cuntos apretones de mano hubo en total? Si entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los las parejas de personas Frmula: Cnm C2 5 =5v 4 2!

=

20 2

= 10

Hubo 10 apretones de mano.

8.- Se lanza una moneda 8 veces seguidas y se anotan sucesivamente los resultados obtenidos en cada uno de los lanzamientos. Los ocho lanzamientos constituyen una experiencia, en cuntas experiencias se pueden obtener 5 guilas y 3 soles? Frmula: P n.pm P5.38 =8! 5!v3!

=

8 v 7 v 6 v 5! 5!v3!

=

8v 7v 6 3!

=

8v 7v 6 3v 2

= 56

Se pueden obtener 5 guilas y 3 soles en 56 experiencias Ejercicios: 1.- Ximena y sus amigas fueron a comprar aguas, al pedir el agua les dieron las siguientes posibilidades: tamao del vaso: grande y pequeo, sabor de agua: horchata y aguacate, color del vaso: rosita, amarillo o blanco. Cuntas posibilidades le ofrecen en la venta?

2.- Tanya va ir a bailar y tiene las siguientes opciones: lugar: saln California, dancing club, el patio de su casa. Vestimenta : Minifalda, de mezclilla, tapa rabos y huaraches. Acompaante: Ricardo, Jean Paul, Tizoc. Tipo de msica: Quebradita, la marcha de Zacatecas, la Adelita. Cuntas posibilidades tendr?

58 2.58 problemas de conteo, arreglos rectangulares y diagramas de rbol 1.- Max dise la cartula de un libro cuyo ttulo puede ser azul o rojo. El fondo puede ser amarillo, verde, naranja o violeta. Cuntas combinaciones se pueden hacer para la cartula?

2.- Irene es una escritora. En la maana, escribe o investiga. En la tarde, edita, lee las pruebas o contesta cartas. De cuntas maneras puede utilizar el da?

3.- Felipe desea empezar un programa de ejercicios con dos actividades. Durante la semana puede correr o montar en bicicleta. En los fines de semana, puede jugar bisbol, ftbol o voleibol. Cuntos programas de ejercicios puede planear Felipe?

4.- Diana se viste para ir al trabajo. Se va a poner una falda negra. No sabe si combinarla con una blusa rosada, blanca o azul. Tambin podra usar zapatos negros, blancos o rosados. Cuntos trajes posibles puede formar?

5.- Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (Normal, Alta o Baja). En cuntas clasificaciones pueden estar los pacientes de este mdico?

6.- Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa?

7.- El men del restaurante de comidas corrientes El Corrientazo ofrece la posibilidad de elegir como plato de entrada sopa o arroz; como plato principal se puede elegir carne, pollo o pescado y de postre pastel o helado, cuntas posibilidades de comida corriente ofrece el restaurante? 8.- De cuntas maneras se pueden alinear tres libros (fsica, qumica y matemticas) en un estante?

9.- Poseo cuatro pantalones, seis camisas y tres corbatas. Cuntos conjuntos de pantaln, camisa y corbata puedo formar?

59 2.59 problemas de conteo, arreglos rectangulares y diagramas de rbol 1.- Un estuche de instrumentos de ptica hay seis lentes, cuatro espejos y tres prismas. Si un estudiante desea realizar un experimento donde emplea una lente, un espejo y un prisma, de cuntas maneras puede escogerlos de dicho estuche?

2.- Un estudiante debe tomar un curso de matemticas, un curso de espaol, un curso de historia y un curso de ingls. S en su escuela se ofrecen dos cursos de matemticas, cuatro cursos de espaol, tres cursos de historia y tres cursos de ingls, cuntos programas de estudio distintos hay?

3.- En una escuela los alumnos tienen que elegir un deporte y un taller para cursarlos. Los deportes que se ofrecen son: futbol, basquetbol, volibol y atletismo. Los talleres son: carpintera, electricidad y mecanografa. De cuntas formas distintas puede un alumno combinar estas opciones?

4.- En una fbrica de muecos tienen 5 tipos de cabezas, 3 tipos de cuerpos, 8 tipos de vestidos y 6 tipos de zapatos. Cuntos muecos diferentes pueden armar?

5.- En un torneo de volibol participan 12 equipos de escuelas diferentes. Cada equipo se enfrenta a otro dos veces, una vez como local y otra como visitante. Cuntos juegos se realizan en total?

6.- Se quiere ir de una ciudad A a una ciudad M, pasando por las ciudades P y Q. De A a P hay cuatro caminos, de P a Q hay dos y de Q a M hay tres. De cuntas formas diferentes se puede ir de A a M?

7.- Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuntas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

8.- Cuntas banderas de tres franjas y colores diferentes pueden hacerse si se dispone de tela de cinco colores? Y si se permite repetir un mismo color en franjas separadas?

9.- Considerando las cifras 1,3, 5, 7 y 9, cuntos nmeros diferentes de dos cifras es posible formar?

60 2.60 Problemas de conteo, arreglos rectangulares y diagramas de rbol 1.- Considerando nuevamente las cifras 1,3, 5, 7 y 9, cuntos nmeros diferentes de cuatro cifras distintas es posible formar?

2.- Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5 Cuntos nmeros diferentes de tres cifras sin repetir se pueden formar?

3.- De cuntas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas diferentes?

4.- Se extraen sucesivamente dos bolas de una bolsa que contiene seis de diferentes colores. Cuntos resultados distintos pueden producirse? a) Con devolucin.

b) Sin devolucin. 5.- 7. El viaje de la ciudad A a la ciudad B se puede realizar por cinco carreteras distintas. De cuntas formas puede realizarse el viaje de ida y vuelta?

6.-De A a B puede irse en coche, avin, moto, tren o barco. De cuntas formas posibles se puede hacer el viaje de ida y vuelta?

7.- Una matrcula de coche de un pas europeo est formada por 3 letras elegidas entre 27 y 4 nmeros escogidos entre los nmeros comprendidos entre 0 y 9. Cuntos coches se pueden matricular en cada pas con este sistema?

8.- Cuntas comisiones de tres alumnos pueden formarse con los 35 alumnos de una clase?

9.- Cuntos equipos de 5 atletas se podran formar para participar en una competicin con los doce atletas mejor preparados?

61 2.61 Problemas de conteo, arreglos rectangulares y diagramas de rbol 1.-En una carrera en la que toman parte 8 caballos se juega una apuesta que consiste en acertar los dos primeros sin tener en cuenta el orden. Cuntas apuestas diferentes pueden jugarse en esa carrera?

2.- Un alumno puede elegir 3 entre sus 15 compaeros de clase para realizar un viaje, cuntas elecciones distintas pueden hacerse?

3.- Con 5 clases de vino, cuntas mezclas se pueden formar de tres vinos?

4.- De cuntas formas posibles pueden elegirse dos botellas entre 18 existentes.

5.- En una competicin en la que participan 16 atletas, se dan tres medallas, oro, plata y bronce. De cuntas formas pueden llevarse las medallas?

6.- De un conjunto formado por 5 chicos y 4 chicas hay que formar una comisin compuesta por 3 personas. Cuntas comisiones pueden formarse?

7.- Entre los 30 alumnos de clase se quieren formar equipos de dos alumnos para jugar al tenis. Cuntos equipos se pueden formar?

8.- Una nia tiene 13 muecas. Cada da va a llevar al parque un grupo de 3. Cuntos das puede salir con un grupo diferente de muecas?

9.- En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

10.- En la final de unas olimpiadas corren la final de 100m 8 atletas. De cuntas formas se puede configurar el pdium con los 3 primeros lugares?

62 2.62 Expresiones algebraicas equivalentes La multiplicacin de dos nmeros representa el rea de un rectngulo. Por ejemplo 8 x 12 12 8 2 12 96 10 8 8 x 12 = 96 80 8 8 (10 + 2) = 80 + 16 = 96 16 El rea del rectngulo es 8 x 12 = 96 Pero como 12 puede ser igual a 10 + 2 Entonces se tiene tambin que 8 x 12 = 8 (10+2) = 80 + 16 = 96 Esto lo podemos representar geomtricamente como:

Utilizando el modelo anterior, representa los siguientes productos. a) 9 x 15 15 9 9 x 15 = ______ b) 7 x 14 5 10 9 9 (10 + 5) = ______________________

___________________ c) 6 x 16

_____________________________

___________________ d) 5 x 18

_____________________________

___________________

_____________________________

63 2.63 Expresiones algebraicas equivalentes a) 10 x 19

___________________ b) m x 18 18 18m

_____________________________ 8 10 8m 10m

m m x 18 = 18m c) y x 13

m m (10 +8) = 10m + 8m = 18m

___________________ d) a x 11

_____________________________

___________________ e) p x 24

_____________________________

___________________ f) r x 25

_____________________________

___________________

_____________________________

64 2.64 Expresiones algebraicas equivalentes a) (a + 2) x 4 4 4a 8 4 4a + 8 a +2 4 (a + 2) = 4a + 8

a + 2 4 x a + 8 x a = 4a + 8 b) (m + 3) x 6

______________________ c) (y + 7) x 9

_______________________________

______________________ d) (p + 6) x 8

_______________________________

______________________ e) (r + 10) x 15

_____________