Ejercicios resueltos y explicados sobre Transformaciones Geométricas en el plano:Z7,Z8 y Z9Dibujo Técnico

Z7

Dados los puntos A, B y C sobre una recta r, de manera que AB = 20 mm y BC = 20 mm, determina sobre r el punto D para que la razón doble (ABCD) = 19/14.

1. Por los puntos A y B de la recta r se trazan dos rectas n y m paralelas entre sí.2. Sobre la recta m se llevan dos segmentos BE = 14 mm y BF = 19 mm en el mismo sentido porser positiva la razón.3. La recta que une los puntos C y E corta a la recta m en el punto A, y la recta AF corta a r en el punto D.

A B C

r

A B C

nm

r

A B C

F

nm

r

19

A B C

E

F

nm

r1419

A B C

E

F

A nm

r1419

A B C D

E

F

A nm

r1419

Sobre una recta r hay situados tres puntos M, N y P, halla el punto Q de r para que se cumpla que (NMPQ) = –2

1. Por los puntos M y N de la recta r (figura 2) se trazan dos rectas m y n paralelas entre sí.2. Sobre la recta m se llevan dos segmentos MA = 20 mm y MB = 10 mm (uno el doble del otro) en sentido contrario por ser la razón negativa.3. La recta que une los puntos A y P corta a la recta n en el punto C, y la recta CB corta a r en el punto Q.

PN Mr

PN Mr

nm

A

PN Mr

nm

20

A

PN M

B

r

nm

20

10

A

C

PN M

B

r

nm

20

10

A

C

PQ N M

B

r

nm

20

10

Dado el triángulo ABC (AB = 60 mm, BC = 55 mm y AC = 35 mm), dibuja un cuadrado inscrito en el triángulo dado con un lado perteneciente al lado AB, un vértice en BC y otro en AC.

1. Dado el triángulo ABC, y con un segmento DG arbitrario, perpendicular al lado AB, se dibuja el cuadrado DEFG.2. La recta que une los puntos A y F corta al lado BC en el punto H.3. Por el punto H se traza la perpendicular HK y la paralela HL al lado AB, y por L, la perpendicular LJ, obteniendo el cuadrado JKHL que se pide.

B

C

AB

C

A

G

DB

C

A

GB

EDB

B

C

A

GB

EDB

B

C

A

GB

EJD

L

K

Con centro de homotecia en A, determina un polígono homotético del polígono dado, de manera que sus longitudes sean 4/6 de las longitudes iniciales.

1. Se une el punto A con todos los vértices del polígono.2. El segmento OB, por ejemplo, se divide en 7 partes iguales y se cuentan 5 de esas partes paraobtener el punto B’, homotético del B.3. Por el punto B’ se traza la paralela a BC hasta cortar al rayo AC en el punto C’.4. Por el punto C’ se traza la paralela a CD hasta cortar al rayo AD en el punto D’, y así sucesivamente.

F

E D

C

B

A

1

6

5

4

3

2

A'

C'

B'

A'

C'

D' B'

A'F'

C'

E' D' B'

Dado el triángulo ABC y el punto O, halla la figura homotética de ABC cuyo centro de homotecia es O y su razón vale k = 1,7

1. Se une el punto O con los vértices del triángulo mediante los rayos OA, OB y OC.2. El segmento OC, por ejemplo, se divide en diez partes iguales, trasladando siete de esaspartes en el mismo sentido del segmento OC, obteniendo así el punto C’, de manera que OC’ = OC · 1,7.3. Por el punto C’ se trazan las paralelas a CA y CB, que cortan a los rayos OA y OB en los puntos A’ y B’, obteniendo el triángulo A’B’C’.

O

A

B

C

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

7

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

C'C'A'

C'

B'

A'C'

B'

A'

Dada la figura ABCDEFGHIJ, dibuja la figura simétrica respecto del punto O. Con la figura obtenida, efectúa una simetría axial según el eje "e" dado.

1. Se une el vértice A del polígono dado con el punto O y se traslada sobre dicha recta la distanciaOA’ = OA. Se realiza la misma operación con los demás puntos B, C, D, etc.2. Por el punto A’ se traza la perpendicular al eje e, y se traslada al otro lado del eje, sobre estaperpendicular, la distancia que hay desde A’ al eje, obteniendo el punto A’’. Se realiza la misma operación con todos los demás puntos B’, C’, D’, etc.

A B

C D

EF

GH

IJ

O

e

A'

E' F'

G' H'

J'

A'B'

C'D'

I'E' F'

G' H'

J'

A'B'

C'D'

I'E' F'

G' H'

J'

A'B'

C'D'

I'

A'A''

A'

B''

A''A' J''

H''

G''F''

E''D''

C'B''

A''

I''

A' J''

H''

G''F''

E''D''

C'B''

A''

I''

Z8

Halla el punto homólogo del C, conociendo un par de segmentos homólogos AB y A’B’ y un punto doble M

1. Se halla el centro O de homología: punto de intersección de los rayos AA’ y BB’.2. Se halla el eje e de homología: recta que une el punto R de intersección de las rectas homólogas AB y A’B’ con el punto doble M-M’.3. La recta s que une los puntos B y C corta al eje en el punto S. La recta s’, homóloga de s, se halla al unir S con el punto C. El punto C’, homólogo de C, se halla donde se corta el rayo OC con s’.

A' B'

MA

B

C

A' B'

MA

B

C

O

A' B'

MA

B

C

R

O

A' B'

MA

B

C

R

M'e

O

s

s'

s

s'

s

C'

En la homología dada, halla la figura homóloga del rectángulo ABCD.

1. Se determina el centro O de la homología: llamando r a la recta que une los puntos A y B (que corta al eje en el punto doble B-B’ y a la recta límite en R’’), y llamando r’, homóloga de r, a la recta que une los puntos A’ y B’, el centro O de la homología se halla donde se corta la recta r’’, paralela a r’ trazada por R’’, con la recta a que une dos puntos homólogos, A y A’.2. La recta s es la que une los puntos A y D, y corta al eje en el punto S. La recta s’, homóloga de s, se halla al unir S con A’. El punto D’, homólogo de D, se encuentra donde se cortan las rectas s’ y d, que une el centro O con D.3. La recta t, que une los puntos C y D, corta al eje en el punto T. La recta t’, homóloga de t, se halla al unir los puntos T y D’. Por tanto, el punto C’, homólogo de C, está donde se corta la recta t’ y el rayo c que une el centro O con C.

A

B

C

DA'

R.L

ejeBB'B

O

B'

r'

r

R''

B

O

B'

r'

r

R''

B

O

B'

r'

r

s'

R''

B

O

B'

r'

r

s'

R''

B

O

B'

D'

r'

r

s'

R''

B

O

B'

D'

r'

r

t

s'T

R''

B

O

B'

D'

r'

r

t

s' t'T

R''

B

O

B'

D'C'

r'

r

t

s' t'T

R''

B

O

B'

D'C'

r'

r

t

s' t'T

R''

En una homología de centro V, eje E y recta límite I, determina la figura homóloga del cuadrilátero ABCD

1. La recta r, que une los puntos A y D, corta a la recta límite l en R’ y al eje e en R. La recta homóloga r’ se halla al trazar por R la paralela a la VR’.2. La recta a, que une el centro de homología V con A, se corta con r’ en el punto A’, homólogo de A; la recta d, que une V con D, se corta con r’ en D’, homólogo de D.3. La recta s’ –paralela al eje e, trazada por D’– es homóloga de la recta s, que une los puntos C y D por ser también esta paralela al eje.4. La recta c, que une V con C, corta a s’ en C’, homólogo del punto C. El polígono A’B’C’D’ es la figura homóloga que se pide.

A

B

C D

e

V

lR'

R

R'R'A'

D'

r'

R'A'

D'C's'

c

r'

R'A'

D'C's'

c

r'

B'

Halla el punto afín del B conociendo el eje y un par de puntos afines A y A’

1. Se elige un punto C cualquiera, y se une con A mediante la recta r hasta cortar al eje en el punto R . La recta r’ que une R con A’ es la recta homóloga de r. El punto C’ de intersección de r’ con la paralela a la dirección a de afinidad, definida por los puntos homólogos A y A’, es el homólogo de C.2. Se unen los puntos B y C mediante la recta s hasta cortar al eje en el punto S. La recta s’ que une los puntos S y C’ es la recta homóloga de s. Donde se corta la recta s’ con la recta a-b está el punto B’ homólogo de B.

A'

B

A

ejeCCr

s

r'

C'c

r'

C'c

a-b

s

r'

B'

Hallar la figura homotética de la dada conociendo los transformados de dos de sus puntos.

A

B

C

D

E

B'

A'

F

F'

E'

F'

D'

E'

F'

C'D'

E'

F'

C'D'

E'

F'

Dado el triángulo ABC, hallar el homotético conociendoel centro O y un punto C’.

OA

B

C

C'

A'A'

B'

A'

B'

Z8

En la dibujo, la circunferencia pasa por el centro de inversión O, y se conoce el inverso de P, que es P’. Halla la figura inversa del arco PQ.

1. En una inversión, la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión O es una rectar, perpendicular a la recta que une O con el centro de la circunferencia . Por tanto, por el punto P’ se traza la recta r, perpendicular a la recta OC.2. La recta que une el punto Q con O se corta con la recta r en Q’, punto inverso de Q. El segmento P’Q’ es lafigura inversa del arco PQ.

P

P'O

Q

C

P

P'O

Q

C

P

P'O

Q

Q'C

P

P'O

Q

Q'C

Dibuja la circunferencia inversa de la dada, siendo A-A’ un par de puntos inversos

1. La recta OA corta a la circunferencia dada de centro C en el punto B.2. Como los puntos A’ y B son homotéticos, por A’ se traza una recta paralela a BC hasta cortar a la recta OC en C’, centro de la circunferencia inversa de la dada. Donde la circunferencia de centro C’ se corta con la recta OB se encuentra B’, punto inverso del B.

O

A

A'

O

A

A'B

O

A

A'B

C'

O

A

A'B

C' C'

O

A

A'B

C' C'

O

A

A'

B'

B

C' C'

O

A

A'

B'

B

C' C'

En la inversión determinada por su centro O y el par de puntos inversos A-A’ , halla el punto B’.

1. Se elige un punto C cualquiera, y se hace pasar por los puntos A, A’ y C una circunferencia que se corta con la recta OC en el punto C’, inverso de C.2. Se traza la circunferencia de centro P, que nos dará en la recta de puntos alineados el inverso B’

O A A' BO A A' B

C

O A A' B

C

PO A A' B

C

C'

PO A A' B

C

C'

PO A A' B

C

C'

P

P

O A A' B

C

C'

P

P

B'

Hallar la figura homóloga del cuadrilátero A,B,C,D, conociendo eje, centro de homología y la recta límite R.L.

D

C

EJE

R.L

O

D

C

EJE

R.L

O

D

C

EJE

R.L

O

D

C

EJE

R.L

O

D

C

EJE

R.L

O

C´

D´

D

C

EJE

R.L

O

C´

D´

D

C

EJE

R.L

O

C´

D´

C´

A´

D´

B´