ejercicios resueltos de la unidad nro 5

8/17/2019 Ejercicios Resueltos de La Unidad Nro 5

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. EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 5

Ejemplo 1

1.Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.....

SOLUCIÓN

En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6.

Al sustituir estos alores en la ecuación (!) de la sección ".!., se o#tiene:

Al desarrollar los #ino$ios en la %lti$a i&ualdad y si$'lificar, se o#tiene final$ente:

Ejemplo 2

2.allar la ecuación de la circunferencia ue 'asa 'or el ori&en y tiene su centro en el'unto co$%n a las rectas: y .

..

..SOLUCIÓN

Al resoler si$ult*nea$ente el siste$a: se o#tiene .

Asi ue el centro de la circunferencia es el 'unto C(3, !).


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Ahora, co$o la circunferencia 'asa 'or el 'unto +(+, +), se tiene

ue

es el alor del radio.

sando nuea$ente la ecuación (!) de la sección ".!. con y , se

o#tiene:

..Ejemplo 3

3.eter$ine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos di*$etros es el se&$ento deetre$os y .

......SOLUCIÓN

/i D denota el di*$etro de la circunferencia, entonces, el

radio r es .

Es decir, (fór$ula de la distancia).

Esto es,


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Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del 'unto $edio del

se&$ento . (0er fi&.).

Asi ue: y

1ue&o, la ecuación de la circunferencia 'edida

es: .

Ejemplo 4

4.1a ecuación: re'resenta una circunferencia. eter$inesu centro C(h, k) y su radio r .

....

..SOLUCIÓN

1a ecuación dada 'uede escri#irse en las for$as euialentes:

Co$'arando esta %lti$a ecuación con la ecuación (!) de la sección ".!., se deduce

ue: y .

1ue&o, el centro de la circunferencia es el 'unto C(-3, 7) y su radio es r = 8.

Ejemplo 5


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5.allar la ecuación de la circunferencia ue 'asa 'or los 'untos A(+, 6), (, -2) y C(4,3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.

....

....

SOLUCIÓN

Co$o A, yC no est*n alineados, hay una circunferencia 5 ue 'asa 'or A, y C.

/u ecuación es la for$a

2 y2 2d 2ey f = +

alle$os d, e y f.

Co$o A(+, 6) ∈ C ,

+2 62 2d.+ 2e.6 f = +

Asi ue: 36 !2e f = + (!)

Co$o (, -2) ∈ C , !6 2d. 2e.(-2) f = + Es decir, 2+ 7d 8 e f = + (2)

Co$o C(4, 3) ∈ C , 7! 4 2d.4 2e.3 f = +

Asi ue: 4+ !7d 6e f = + (3)


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El siste$a de ecuaciones (!), (2), (3) 'uede escri#irse as9:

!2e f = -36

7d 8 e f = -2+

!7d 6e f = -4+

o ta$#in:

cuya solución es: d = -, e = -3, f = +

1ue&o la ecuación de 5 es : 2 y2 8 7 8 6y = + ue 'ode$os escri#ir:

(2 8 7 !6) (y2 8 6y 4) = 2"

ó ( 8 )2 (y 8 3)2 = 2"

As9 ue la circunferencia C circunscrita al tri*n&ulo AC tiene centro en (, 3) y radio ".

..Ejercicio 6

6.eter$ine los 'untos co$unes a la circunferencia y a larecta .

..

Ejercicio

.eter$ine los 'untos co$unes a la circunferencia y a larecta .


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..

..SOLUCIÓN

Co$o en el caso anterior, los 'untos co$unes son las soluciones al siste$a de ecuaciones:

(!)

(2)

e (2) se tiene: (3).

/ustituyendo (3) en (!) se 'uede escri#ir:

1a %lti$a ecuación, tiene co$o %nica solución x = 2 ue corres'onde a la a#scisa del %nico

'unto de intersección.

/ustituyendo el alor de x = 2 en (3) se o#tiene: . e esta for$a es

el %nico 'unto co$%n a la recta y a la circunferencia.

En este caso, la recta es tan&ente a la circunferencia en el 'unto .

1a fi&ura ad;unta ilustra la situación.


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.

..

Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse

1. alle la ecuación de la eli'se ue tiene su centro en (+, +) y cuyos focos son los 'untos


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%i&. 6.5.'.e esta for$a, los rtices de la eli'se son los 'untos V 1(5, 0), V 2(-5, 0), V 3(0, 4) y

V 4(0, -4). Ade$*s, su ecuación iene dada 'or :

2. >ra?ar la eli'se cuya ecuación iene dada 'or:

25x 2 + 4y 2 = 100

Sol!ci"#$

1a ecuación: 25x 2 + 4y 2 = 100, 'uede escri#irse en las for$as euialentes:

2 y 2= ! ('oru@) 4 25

1a %lti$a ecuación corres'onde a una eli'se centrada en el ori&en cuyo e;e $ayor es b = 5 y e;e

$enor es a = 2. Ade$*s, los focos de la eli'se est*n locali?ados so#re el e;e y .

e otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran locali?ados en los 'untos y .

Ade$*s, los rtices de la eli'se son los 'untos: V 1(2, 0), V 2(5, 0), V 3(-2, 0) y V 4(-5, 0).

1a fi&ura 6.".4. reco&e toda la infor$ación o#tenida.


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%i&. 6.5.(.3. eter$ine el centro, los rtices, los focos y di#u;ar la eli'se ue tiene 'or ecuación:

4x 2 + y 2 –16x + 2y + 13 = 0

Sol!ci"#$

1a ecuación dada se 'uede escri#ir en las for$as euialentes:

(co$'letación de cuadrado)

(factori?ación y si$'lificación)

(diidiendo 'or )

Esta %lti$a ecuación corres'onde a la eli'se cuyo centro es el 'unto C(2, -1), se$ie;esa = 1 y b = 2. Co$o a < b, el e;e focal es 'aralelo al e;e y y tiene 'or ecuación x = 2 (er fi&.

6.".!+.).

1os rtices son los 'untos V 1(2, 1), V 2(2, -3), V 3(3, -1) y V 4(1, -1).


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Co$o , se tiene ue los focos est*n locali?ados en los

'untos y .

%i&. 6.5.1).4. *ropie+,+ Óp-ic, +e l, Elipe

En &eo$etr9a 'lana se de$uestra el si&uiente resultado: /i se tiene un tri*n&ulo ABC y un

'unto Dso#re BC (er fi&ura 6.".!!), entonces:

es isectri? del *n&ulo .

Esta 'ro'iedad 'er$ite construir la nor$al y 'or ende latan&ente en un 'unto cualuiera de la eli'se.

Al unir el 'unto 1 de la eli'se con !" y con ! , 'uede

de$ostrarse ue la #isectri? del *n&ulo !" 1! es la nor$al ## a la cura 'or 1 (fi&. 6.".!2.).

%i&. 6.5.11.

Esta 'ro'iedad se conoce co$o la 'ro'iedad ó'tica o focal de la eli'se y tiene interesant9si$asa'licaciones:


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%i&. 6.5.12.

1/ Considrese un rayo de lu? ue se enfoca desde un foco hacia un 'unto 1 de la cura.Co$o## es #isectri? del *n&ulo !" 1! , entonces, *n&ulo de incidencia = *n&ulo de refleión y 'ortanto el rayo se refle;ar* 'asando 'or el otro foco. Este hecho es utili?ado en la construcción de

conchas ac%sticas.

/u'on&a$os ue la eli'se se hace rotar alrededor del e;e x for$ando una su'erficie dereolución e i$a&ine$os un salón cuyos techos y 'aredes son la su'erficie anterior. Cuandouna 'ersona ha#la desde un foco


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directri?, la ecuación de la eli'se es (!) donde y

donde co$o se 'uede de$ostrar f*cil$ente ue a & b.

Ahora, cuando , de;ando fi;os los de$*s ele$entos directri?, foco y ', la eli'se sea'roi$a a una circunferencia y 'or tanto la ór#ita es cada e? $as cercana a una circuferencia

En efecto:

.

/i y y 'or tanto, a y # se acercan al $is$o alor y

la ecuación (!) tiende a ser la ecuación de una circunferencia.

Esto 'uede erse ta$#in en el si&uiente cuadro.

' = !

+."

+.

+.2

+.!

+.+!

+.++2

+.++!

+.6666

+.62

+.2+73

+.!+!+

+.+!++

+.++2

+.++!

+."3"

+.36

+.2+!

+.!++"

+.+!++

+.++2

+.++!

Guchos de los 'lanetas incluyendo la tierra tienen ór#itas ue son a'roi$ada$ente circulares:

Gercurio +.2! /aturno +.+6


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0enus

>ierra

Garte

H%'iter

+.+!

+.+2

+.+4

+.+"

rano

De'tuno

Ilutón

+.+"

+.+!

+.2"

no de los o#;etos $as i$'ortantes del siste$a solar es el co$eta alley ue tiene una

ecetrici- dad de y una ór#ita de alrededor de .A. de ancho 3" .A. de lar&o(! .A.: !"+ $illones de kiló$etros = se$ie;e $ayor de la ór#ita de la tierra J distancia tierra 8sol). El 'er9odo de reolución de este co$eta es de 6 aKos.


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Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

1

!eter"inar# en $or"a reducida# las ecuaciones de las si%uientes parábolas# indicando el

valor del pará"etro# las coordenadas del $oco y la ecuación de la directri&.

1


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2


16/24

3


2

!eter"ina las ecuaciones de las parábolas 'ue tienen(

1 !e directri& x = -)# de $oco *)# 0.


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2 !e directri& y = 4# de v,rtice *0# 0.

3 !e directri& y = -5# de $oco *0# 5.


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4 !e directri& x = 2# de $oco *-2# 0.

5 !e $oco *2# 0# de v,rtice *0# 0.


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6 !e $oco *)# 2# de v,rtice *5# 2.

7 !e $oco *-2# 5# de v,rtice *-2# 2.


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8 !e $oco *)# 4# de v,rtice *1# 4.



21/24

3

Calcular las coordenadas del v,rtice y de los $ocos# y las ecuaciones de la directrices de las

parábolas(

1

2


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3


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4

allar la ecuación de la parábola de ee vertical y 'ue pasa por los puntos( /*# 1# *-2# )#

C*1# .


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5

!eter"ina la ecuación de la parábola 'ue tiene por directri& la recta( y= 0 y por $oco el

punto *2# 4.

ejercicios resueltos de la unidad nro 5

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