10 ejercicios resueltos de la unidad nro 9

7/26/2019 10 Ejercicios Resueltos de La Unidad Nro 9

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.10 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 9

1.Use la definicin de la derivada de una funcin, para calcular yo f

(x)si y evaluarla en .

SolucinDe acuerdo a la definicin 9.2., se tiene:

(indeterminado de la forma )

En particular,

Obsrvese !ue yno e"iste en y por lo tanto, aun!ue el dominio

de es , el dominio de su derivada es .

2.#ea funa funcin cuyo dominio es el con$unto % de los n&meros

reales y tal !ue: ' para todoxe y. dems, f(*)+

y e"iste. -robar !ue f (x)e"iste para todoxy .

SolucinDe acuerdo a la definicin de la derivada, se tiene para f:

(iptesis)

(factor com&n)


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-ero, (%.D.7 )

8ue0o,

b!ntes de usar las re0las de derivacin se debe e"presar la funcin g(t)con e"ponentes racionales. si:

Entonces:

(#e usaron las re0las: %.D.. y %.D..).

c.

-ero,


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8ue0o,

.En primer lu0ar note !ue:

si !ue:

-ero,

8ue0o,

".De dos funciones fy gse sabe !ue:

; ; y


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-ero, y

8ue0o,

#e puede verificar y se de$a como e$ercicio !ue la informacin dada es

insuficiente para calcular y . (=>erifi!ue?).

#.#i las variablesxe yestn li0adas impl@citamente por la frmula:

, /allar y.

Solucin

8a ecuacin: puede escribirse en las formase!uivalentes:

()

Derivando impl@citamente la i0ualdad () se tiene:

, de donde,

$.#upon0a !ue y (x)es una funcin diferenciable de la variablex; yadems las variablesxe yestn li0adas por la frmula:

()

#upon0a !ue y()+. allar si0uiendo estos pasos:

a! Demuestre !ue:

b! Use la parte a. para calcular yA().

c! Derive la ecuacin obtenida en a. para demostrar !ue:

!Use la ecuacin obtenida en c. para calcular (Bota: #e


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De donde,

%.Determine las ecuaciones de la recta tan0ente y de la recta normal(recta perpendicular a la tan0ente) 8Ba la curva de

ecuacin: , en el punto P(, ).

SolucinBote en primer lu0ar !ue el punto de tan0encia P(, ) pertenece a lacurva (fi0. .)

fi0. .

8a pendiente de , viene dada por:

-ero,

si !ue,

Usando a/ora la forma: &un'o ( &)ni)n')de la ecuacin de la recta,

se tiene entonces para : , es laecuacin de la recta tan0ente.

/ora, como , se deduce !ue .Usando nuevamente la forma: &un'o ( &)ni)n')de la ecuacin de la


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recta, se tiene para : es laecuacin de la recta normal.

9. Encontrar la ecuacin de la recta normal a la curva de

ecuacin , !ue es paralela a la recta de ecuacin:"2y6+*

Solucin

En la fi0. 2. aparece la 0rfica de la curva y de la recta dada.

fi0. 2.

#i se denota por 8Bla recta normal, como es paralela

a , se tiene !ue (seccin 5..).

-ara determinar la ecuacin de , /ace falta conocer el punto P(x1,

y1)de tan0encia.-ara ello, se usa el /ec/o de !ue ( : pendiente de latan0ente).

De otro lado,

si !ue

Este &ltimo resultado, indica !ue e"isten dos puntos de tan0encia a

saber: P (2, 9) y P2 (62, 67).

En consecuencia, e"isten dos rectas normales !ue verifican las
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condiciones iniciales del problema.

Una de ellas, pasa por P (2, 9) y pendiente .

#u ecuacin viene dada por:

8a otra, pasa por P2 (62, 67) y pendiente .#u ecuacin viene dada

por:

*. Encuentre la ecuacin de la recta tan0ente a la

curva: en el punto (, ).

Solucin

En primer lu0ar note !ue: , indicando con esto!ue el punto (, ) pertenece a la curva.

/ora,

-ara determinar se usa derivacin impl@cita en la

ecuacin:

Esto es,

De donde,

8ue0o,


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Es decir,

si !ue la ecuacin de la recta tan0ente a la curva en el punto (, ),viene dada por:

11.#e lanFa una pelota verticalmente /acia arriba con una velocidadinicial de 2* mtsGse0. allar:

a.8a velocidad cuando /an transcurrido y se0.b. El tiempo !ue tarda en alcanFar la altura m"ima.c.8a altura m"ima alcanFada.

.8a rapideF al lle0ar de nuevo al suelo.

Solucin-artiendo de la ecuacin del movimiento conocida en

f@sica: , en donde: mGse0 (velocidadinicial); ges la aceleracin (0ravedad), !ue se toma apro"imadamenteen * mGse02y cuya direccin positiva es /acia aba$o, se puedeescribir:

S+ f(t)+ 2*tH t2()

a.8a velocidad en cual!uier instante t, viene dada por:

Esto es, (2)

(>elocidad cuando /a transcurrido se0.)

(>elocidad cuando /an transcurrido se0.)

b.Del enunciado inicial y de la parte a!puede notarse !ue:

1uando t+ *, V+ 2* mGse0.

1uando t+ , V+ * mGse0.

1uando t+ , V+ 6* mGse0.

Estos resultados indican !ue /ubo un instante en el cual la velocidad


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fue V+ *, es en ese instante cuando la pelota alcanFa su alturam"ima.

pero se0. (tiempo !ue tarda en alcanFar la

altura m"ima).

/ora, como en la ecuacin (), Sindica la posicin (distancia) en cadainstante t, se tiene en particular para t+ 2,

S+ 2*(2) H (2)2+ 2* m. (altura m"ima).

.-ara determinar la rapideF al lle0ar de nuevo al suelo, debedeterminarse primero, el tiempo !ue tarda en /acerlo y lue0o sustituireste valor de ten (2).

-ara ello se /ace S+ * en ():

* + 2* tH t 2

t+ * (momento del lanFamiento) t+ 5 (momento en!ue re0resa al suelo)

/ora

la rapideF es

12.Determine, si e"isten los e"tremos absolutos (m". y m@n.) de la

funcin: en el intervalo I6,2J

Solucin1omo fes continua en el intervalo dado, la e"istencia de m"imo ym@nimo absoluto esta 0arantiFada por el teorema 2 de la seccin9.9.. -ara determinarlos, se aplica la re0la prctica dada en la

observacin del mismo teorema.

1onsidere los puntos cr@ticos por medio de la derivada.

son los &nicos puntos cr@ticos.

8os e"tremos absolutos se esco0en entre los si0uientes valores:

.
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K"imo absoluto de fen es

K@nimo absoluto de fen es

13.Determine, si e"isten los e"tremos absolutos de la

funcin: en el intervaloI6,5J

Solucin

8a continuidad de fen el intervalo , 0arantiFa la e"istencia dee"tremos absolutos de fen dic/o intervalo.#e debe determinar primero los puntos cr@ticos por medio de la

derivada.

El &nico punto cr@tico de f esx+ , donde la derivada no e"iste. (Bote

!ue no tiene solucin).

8os e"tremos absolutos se esco0en entre los si0uientes valores:


K@nimo absoluto de fen es


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14.1onsidere la funcin fdefinida por:

Determine los e"tremos absolutos de fen el intervalo I6,J .

Solucin

8a funcin es continua en todos los puntos del intervalo(verifi!ue). -or el teorema 2 (seccin 9.9..), f (x)posee m"imo ym@nimo absoluto en el intervalo considerado. -ara determinarlos, seconsideran primero los puntos cr@ticos de f:

-uesto !ue y , la derivada no e"iste enx+ y por lotanto corresponde a un punto cr@tico de f.

De otro lado, la derivada no se anula en nin0&n punto del intervalo. Enconsecuencia, el &nico punto cr@tico esx+ .

8os e"tremos absolutos de fse esco0en entre los si0uientes valores:


K@nimo absoluto de f en es

1".naliFar si satisface las /iptesis del C.>.K. para

derivadas en el intervalo y en caso afirmativo, determine elvalor(es) de C!ue satisfacen la conclusin.

Solucin


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b.Use la parte a. para demostrar !ue: esconstante. llese el valor de dic/a constante.

Solucin

a.Bote en primer lu0ar !ue fsatisface las /iptesis del C.>.K.(-or!u3).

/ora, sean o* &un'o* cual+ui)radel intervalo Ia, bJ y sea flafuncin.

-ara probar la parte a. es suficiente probar !ue , lo cualobli0a a !ue la funcin sea constante.

#e0&n el C.>.K., e"iste un n&mero Centre y tal !ue:

y como , se concluye entonces

!ue .

b. (CEO%EK #E114LB9..)

.

1omo , se si0ue de la parte a. !ue es una funcinconstante.

-ara /allar el valor de la constante, basta evaluar la funcin en al0&nn&mero espec@fico, el cual se puede ele0ir arbitrariamente, por

e$emplo, .

#e tiene entonces, .

8ue0o, para todox. (xen el dominio com&n de lasecante y la tan0ente).

Este resultado no debe sorprender puesto !ue , es unaidentidad tri0onomtrica conocida.

1%.Evaluar los si0uientes l@mites:

a.


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b.

Solucin

a.El l@mite es indeterminado de la forma .-ara eliminar la indeterminacin, se divide numerador y denominadorporx; as@:

1omo ,x M * y se puede escribir en el numerador.

8ue0o,

b.Este l@mite tambin es indeterminado de la forma .

-ara eliminar la indeterminacin, se divide numerador y denominador

nuevamente porxy como , se puede escribir en elnumerador, asi:


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19.Evaluar el si0uiente l@mite:

SolucinEl l@mite es indeterminado de la forma: .

-ara eliminar la indeterminacin, se multiplica y se divide la e"presin inicial

por y lue0o, se divide numerador y denominador porx.

Esto es,

/ora, comox' * se puede escribir en el denominador de la &ltimafraccin.De esta forma:

20.Evaluar los si0uientes l@mites:

a.

b.


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Solucin

a.l dividir numerador y denominador por (mayor potencia dex), seobtiene:

b.Btese !ue como la funcin es una funcin par,

esto es , si0nifica esto entonces !ue el comportamientode fpara valores 0randes dexpositivos y para valores 0randesdexne0ativos, es el mismo. si !ue,

21.CraFar la curva correspondiente a la funcin:

SolucinDeterminemos los elementos fundamentales de la curva como son:

1. Do,inio na'ural ) - /!.

8os &nicos valores dexpara los cuales no e"iste la funcin son

y (valores dex!ue anulan el denominador). De esta

forma: .

2. In')rc)&'o*

i.1on el e$ex(se /ace y+ o en ()):Esta &ltima ecuacin no tiene #olucin real, indicando con esto !ue lacurva no corta al e$ex.


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ii. 1on el e$e y(se /acex+ o en ()): si !ue, la

curva corta al e$e yen el punto .

3. A*n'o'a*

i. )r'ical)*son a!uellos valores dex!ue anulen el denominador de(). En este caso, las rectas verticalesx+ 2 yx+ H 2 son as@ntotasverticales de la curva.

dems,

ii.orion'al)*

1omo: , se deduce !ue y + esuna a*n'o'a 5orion'alde la curva. De otro lado,

como, , se deduce entonces !ue los valoresde la funcin para valores 0randes dexen valor absoluto, son mayores!ue , indicando con esto !ue la curva siempre est por encima de lacurva.

En la fi0. . se indica el intercepto de la curva con el e$e y, elcomportamiento de la curva cerca de las as@ntotas.


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fi0.

iii. Oblicua*Bo tiene.


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#i0no de (xH 2)6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 N

2#i0no de (x 2)6 6 6 6 6 6 6N 62#i0no de fAA(x) N 6 6 6 6 6 6 6 N 62 2El si0no de la se0unda derivada indica !ue:

f (x) es cncava /acia arriba () en

f (x) es cncava /acia aba$o (6) en

En los puntosx+ H2 yx+ 2 la concavidad cambia de si0no, indicandocon esto !ue /ay infle"in pero, no e"iste punto de infle"in(


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El &nico valor dexpara el cual no e"iste fesx+ (valor dex!ue anula

el denominador). si !ue

la funcin es continua para todo , por ser el cociente de dospolinomios.

2. In')rc)&'o*

i.1on el e$ex(se /ace y+ * en ()): . 8ue0o el

punto es el intercepto de la curva con el e$ex.

ii.Con el ejey(se hacex= 0 en (1)): . Luego elpunto es el intercepto de la curva con el ejey.

3. A*n'o'a*

i.)r'ical)*El &nico valor dex!ue anula el denominador esx+ yesta es la &nica as@ntota vertical de la curva.

De otro lado:

ii.orion'al)*Bo tiene (


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estudia la diferencia: , para un mismo valor dex.

Donde : la ordenada de la curva y : ordenada de la as@ntota.

Esto es, #ix'*,

entonces, , indicando con esto, !ue para valores 0randesdex(positivos), la curva esta por encima de la as@ntota.

#ixM*, entonces, , lo cual indica !ue para valores 0randesdex(ne0ativos), la curva esta por deba$o de la as@ntota.

En la fi0ura se ilustra los interceptos de la curva con los e$escoordenados, asi como tambin el comportamiento de la curva cercade las as@ntotas.

fi0. .

4. In')r6alo* on) cr)c) 7 )cr)c) la cur6a. E/'r),o* r)la'i6o*.

-ara ello se /ace el anlisis del si0no de la primera derivada.

El si0no de f (x)depende de los si0nos !ue poseen los factores (xH ) y


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La ecuacin # carece de solucin (Por$u2).

3i # entonces y

Luego# los interceptos de la curva con el ejex# son los puntos:

y

ii.Con el ejey(se hacex= 0 en (1)). s4 .

3. Intervalos donde crece ! decrece la curva. "xtremos relativos

3e otienen analizando el signo de la pri'era derivada of(x).

l signo de la derivada depende del signo de los !actores y

en el intervalo .

es positivo# sixpertenece al pri'ero o al cuarto cuadrante# es

decir# s i # es negativo#

sixpertenece al segundo o al tercer cuadrante# es decir#

si .

hora# co'o sie'pre $ue # se deduce $ue

si si .

,a'in# sie'pre $ue # as4

$ue si .

l llevar esta in!or'acin al diagra'a adjunto se puede escriir:


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#i0no de ( 2 cos ")

en el intervalo

#i0no de

en el intervalo

#i0no de

en el intervalo

l signo de indica $ue es creciente en los

intervalos: y#

es decreciente en los intervalos: y# .

el diagra'a anterior# se puede concluir ta'in $ue:

corresponde a un mximo relativo# es decir# es un punto

'-*i'o de la curva

corresponde a un mximo relativo# es decir# es un punto

'-*i'o de la curva

corresponde a un mnimo relativo# es decir# es un punto

'4ni'o de la curva

6inal'ente# corresponde a un mnimo relativo# es decir#

es un punto '4ni'o de la curva

#. Intervalos de Concavidad. Puntos de inflexin

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada: .


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(%)

Para hallar los posiles puntos de in!le*in# se resuelve la

ecuacin: .s decir#

7esolviendo esta /lti'a ecuacin reducile a cuadr-tica# se otiene:

(8)

9ediante una calculadora# o una tala de !unciones trigono'tricas# se

pueden otener los siguientes valores apro*i'ados dex:

y

Para deter'inar si estos valores dexcorresponden a posiles puntos de

in!le*in# se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada

Los valores dados en (1)# per'iten escriir as4:

9ediante consideraciones si'ilares a la hechas para # se puede

otener la in!or'acin $ue aparece en el diagra'a siguiente:

#i0no

de

#i0no

de

#i0no de

l signo de indica $ue:


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es cncava ne$ativa en:

es cncava positiva en:

de'-s# se otienen los siguientes puntos de in!le*in:

y

Con la in!or'acin dada en los cuatro puntos anteriores# se puede trazar una

uena apro*i'acin a la curva correspondiente# co'o aparece en la !ig. ;.

6ig. ;.

.11. EJERCICIOS 8RO8UESTOS DE LA UNIDAD N 9

9.11.1 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) D)ri6acin

1. Use la definicin de la derivada para calcular la derivada de las si0uientes funciones:

a.

b.

c. y evaluarla en


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.t(")+

2.#ea allar las derivadas laterales de f(x)enx+ 2 y

determinar si e"iste.

3.#ea Determine los valores de las constantes ay b para

!ue e"ista.

4.#i , probar !ue y . 1alcular: y

".#ea f la funcin definida por: -robar !ue sie"iste, entonces, f es continua en a.

#. #ea funa funcin cuyo dominio es el con$unto % de los n&meros reales y tal

!ue: , para todo ay b. dems, y e"iste. -robar

!ue e"iste para todoxy adems se cumple !ue: .

$.Usando las re0las de derivacin, calcular la derivada de las si0uientes funciones:

a.b.

c..

).-.

;. 5.

i. :.


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ll.

n.o.

&.

+.

r. rr.

%.#uponiendo !ue cada una de las si0uientes ecuaciones define una funcin dexderivable,

encuentre yo usando derivacin impl@cita.

a. b.

c."6 "2y 9"y + * .

).-.

;. 5.

i.:.

9.#ea una funcin derivable dex tal !ue: . #upn0ase !ue .

/allar si0uiendo estos pasos:

a.-robar !ue .

b.Usando la parte a. /allar .

c. Derivar la ecuacin en a. para demostrar !ue: .

.Usando la ecuacin en c. /allar Iyuda: #e conocen y J.

10.allar y si , y, .

11. allar , si y adems,


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9.11.2 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) La In')r&r)'acin =)o,>'rica 7 ?*ica D) LaD)ri6aa

1.En los e$ercicios si0uientes, encontrar la ecuacin de la recta tan0ente y de la rectanormal a la curva dada y en el punto de abscisa dado.

a. ;x + b. ;x+ *

c. ;x+ . ;x+ 5

). ;x+

2.Encuentre la ecuacin de la normal a la curva: en el punto(, )

3.Demuestre !ue las /iprbolas , y, se intersectan en n0ulo recto.

4.Determine la ecuacin de la recta tan0ente a la curva !ue es paralela a la

recta .

".Encontrar una recta !ue pase por (2, H ) y sea tan0ente a la curva .

#.En los e$ercicios si0uientes una part@cula se mueve sobre un e$e /oriFontal, se0&n laecuacin de movimiento dada. allar la velocidad instantnea para los valores particulares

detindicados. Determine adems, los instantes en los cuales la part@cula se encuentra enreposo.

a. ; t+ 2b. ; t+ G

c. ; t+ . ; t+ 5

$.#e lanFa un ob$eto con una velocidad inicial de 2* mGse0. en direccin vertical /aciaarriba. Encuentre:

a.8a velocidad instantnea cuando t+ se0.

b.8a altura m"ima a la !ue lle0a el ob$eto

c.8a rapideF en el instante t + 2 se0.

.El tiempo !ue tarda en re0resar al punto de partida.


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c. en

. en

). en

-. en

4.-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones del

Ceorema de %olle y encuentre el punto C!ue satisface la conclusin delteorema.

a. en

b. en

c. en

. en

".-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones delCeorema del >alor Kedio (C.>.K.) y encuentre el punto C!ue satisface laconclusin.

a. en

b. en

c. en

. en

). en

-. en


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#.#ea . Demostrar !ue no e"iste nin0&n punto Cen (; 2)!ue satisfa0a la conclusin del C.>.K. Dibu$e la 0rfica de la funcin ysePale la parte de la /iptesis !ue falla en este caso.

$.#ea . Demuestre usando el Ceorema de

%olle, !ue la ecuacin: tiene al menos una ra@Freal en el intervalo (*; ).

%.#ea una funcin continua en I a, b J y tal !ue para

todoxen .

-robar !ue: para todox en I a, b J.

9.Quan via$ 2 Rm. en 2 /oras y ase0ur !ue en su recorrido nuncae"cedi el l@mite de * Rm. por /ora. Use el Ceorema del >alor Kedio

para demostrar !ue minti (ayuda: #ea la distancia recorridaen el tiempo t.)

10.#ean y dos funciones !ue satisfacen la si0uiente

condicin: para todoxde . Demostrar !ue e"iste

una constante Ctal !ue: para todoxde

11.Demostrar !ue si para todoxde , entonces, e"iste

una constante Ctal !ue para todoxde . (yuda:

#ea y apli!ue el e$ercicio *).

12. #upn0ase !ue lo &nico !ue se sabe a cerca de las funciones

y es lo si0uiente: , ,

y Demostrar !ue:

(yuda: #ea y use el problema ).

13.En cada uno de los literales si0uientes, determine el valor de

!ue satisface la definicin de l@mites al infinito, conociendo , Ly .

a. ; L+ ; + *.**

b. ; L+ *; + *.*2


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c. ; L+ 62; + *.**

. ; L+ ; + *.*

14.Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites al infinito. Describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.

a. b.

c. .

). -.

;. 5.

1".Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites infinitos y describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.

a. b.

c. .

). -.

;. 5.


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%esponda las si0uientes pre0untas acerca de (no de ):

a.

".Determine las dimensiones del cilindro circular recto de ** cm devolumen y !ue demande la ,)nor can'iaposible de material.

#.Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 6olu,)n,/i,o!ue se puede inscribir en una esfera de radio a.

$.Determine las dimensiones del cono circular recto de 6olu,)n,/i,o!ue se puede inscribir en una esfera de radio a.

%.allar las dimensiones del rectn0ulo de r)a ,/i,a!ue se puedeinscribir en la elipse de ecuacin:


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9.Un e"cursionista se encuentra en un bos!ue a 2 Rm. de una lar0acarretera recta. Desea caminar a su cabaPa !ue se encuentra a * Rm.de distancia por el bos!ue y tambin a 2 Rm. de la carretera. (>erfi0ura). -uede caminar a RmG/ por la carretera y a RmG/ por elbos!ue. s@, decide caminar primero por el bos!ue /acia la carretera,lue0o por la carretera y finalmente por bos!ue /acia la cabaPa.

Srfica en 1onstruccin

a.erifi!ue !ue su respuesta es el m@nimo absoluto.

11.Otro 0ran$ero desea cercar un terreno rectan0ular con un rea de.** pies2. Cambin desea utiliFar al0o de cerca para construir doscercas internas de divisin, ambas paralelas a las mismas secciones

e"teriores del borde. erifi!ue!ue su respuesta es el m@nimo absoluto.

13.#e necesita construir un recipiente cil@ndrico, sin tapa, con un

volumen de pie. 8a parte cil@ndrica del recipiente se fabrica conaluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces mas caro !ue elaluminio.


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altura 2 cm.3

b.


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Localiar Rac)*.

1.UtiliFar el mtodo de Beton para calcular las ra@ces de las ecuacionesdadas con dos cifras decimales e"actas.

a.

b.

c.

.

2.En los si0uientes e$ercicios utilice el mtodo de Beton para /allar lara@F indicada, con una e"actitud de tres cifras decimales.

a.8a ra@F positiva de

b.8a mayor de las ra@ces de "6" + *

c.8a ra@F de

.8a ra@F de

3.Usar el mtodo de Beton para /allar las ra@ces indicadas, con una

e"actitud de cuatro cifras decimales.

a. ; b. ; c. ; .

4.a.Kuestre !ue el mtodo de Beton aplicado a la

ecuacin: produce la iteracin:

para apro"imar la ra@F c&bica de a.

b.Use esta iteracin para determinar con una precisin de cincocifras decimales.

". a.Kuestre !ue el mtodo de Beton produce la iteracin:

para apro"imar la ra@F V6sima del

n&mero positivo a.


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$.En los e$ercicios si0uientes /allar: y

a. ;

b. ;

c. ;

%.Dibu$ar una fi0ura seme$ante a la de la fi0. 9.5* (b) tal !ue la 0rfica sea cncava /acia

aba$o. 4ndicar los se0mentos de recta cuyas lon0itudes sean:

9.11. EJERCICIOS 8RO8UESTOS DE LA UNIDAD N 9

9.11.1 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) D)ri6acin

1. Use la definicin de la derivada para calcular la derivada de las si0uientes funciones:

a.

b.

c. y evaluarla en

.t(")+

2.#ea allar las derivadas laterales de f(x)enx+ 2 ydeterminar si e"iste.

3.#ea Determine los valores de las constantes ay b para

!ue e"ista.

4.#i , probar !ue y . 1alcular: y


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".#ea f la funcin definida por: -robar !ue si

e"iste, entonces, f es continua en a.

#. #ea funa funcin cuyo dominio es el con$unto % de los n&meros reales y tal

!ue: , para todo ay b. dems, y e"iste. -robar

!ue e"iste para todoxy adems se cumple !ue: .

$.Usando las re0las de derivacin, calcular la derivada de las si0uientes funciones:

a.b.

c..

).-.

;. 5.

i. :.


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a. b.

c."6 "2y 9"y + * .

).-.

;. 5.

i.:.

9.#ea una funcin derivable dex tal !ue: . #upn0ase !ue .

/allar si0uiendo estos pasos:

a.-robar !ue .

b.Usando la parte a. /allar .

c. Derivar la ecuacin en a. para demostrar !ue: .

.Usando la ecuacin en c. /allar Iyuda: #e conocen y J.

10.allar y si , y, .

11. allar , si y adems,

9.11.2 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) La In')r&r)'acin =)o,>'rica 7 ?*ica D) LaD)ri6aa

1.En los e$ercicios si0uientes, encontrar la ecuacin de la recta tan0ente y de la rectanormal a la curva dada y en el punto de abscisa dado.

a. ;x + b. ;x+ *

c. ;x+ . ;x+ 5

). ;x+

2.Encuentre la ecuacin de la normal a la curva: en el punto

(, )


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9.11.3 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) Traao D) Cur6a*

1.-ara las funciones dadas a continuacin, encontrar los m"imos ym@nimos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de lacurva.

a. b.

c..

). -.

;.5.

2.Determine el valor de las constantes ay b para !ue la funcin

definida por , ten0a un e"tremo relativo en (2, ).

3.-ara cada una de las funciones dadas a continuacin, determine lose"tremos absolutos de fen el intervalo dado.

a. en

b. en

c. en

. en

). en

-. en

4.-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones delCeorema de %olle y encuentre el punto C!ue satisface la conclusin delteorema.


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a. en

b. en

c. en

. en

".-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones delCeorema del >alor Kedio (C.>.K.) y encuentre el punto C!ue satisface laconclusin.

a. en

b. en

c. en

. en

). en

-. en

#.#ea . Demostrar !ue no e"iste nin0&n punto Cen (; 2)!ue satisfa0a la conclusin del C.>.K. Dibu$e la 0rfica de la funcin ysePale la parte de la /iptesis !ue falla en este caso.

$.#ea . Demuestre usando el Ceorema de

%olle, !ue la ecuacin: tiene al menos una ra@Freal en el intervalo (*; ).

%.#ea una funcin continua en I a, b J y tal !ue para

todoxen .

-robar !ue: para todox en I a, b J.


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9.Quan via$ 2 Rm. en 2 /oras y ase0ur !ue en su recorrido nuncae"cedi el l@mite de * Rm. por /ora. Use el Ceorema del >alor Kedio

para demostrar !ue minti (ayuda: #ea la distancia recorridaen el tiempo t.)

10.#ean y dos funciones !ue satisfacen la si0uiente

condicin: para todoxde . Demostrar !ue e"iste

una constante Ctal !ue: para todoxde

11.Demostrar !ue si para todoxde , entonces, e"iste

una constante Ctal !ue para todoxde . (yuda:

#ea y apli!ue el e$ercicio *).

12. #upn0ase !ue lo &nico !ue se sabe a cerca de las funcionesy es lo si0uiente: , ,

y Demostrar !ue:

(yuda: #ea y use el problema ).

13.En cada uno de los literales si0uientes, determine el valor de

!ue satisface la definicin de l@mites al infinito, conociendo , Ly .

a. ; L+ ; + *.**

b. ; L+ *; + *.*2

c. ; L+ 62; + *.**

. ; L+ ; + *.*

14.Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites al infinito. Describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.

a. b.


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c. .

). -.

;.5.

1".Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites infinitos y describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.

a. b.

c. .

). -.

;. 5.

1#.CraFar las 0rficas de cada una de las si0uientes funciones,indicando: Dominio, interceptos, as@ntotas, crecimiento, decrecimiento,m".6m@n., intervalos de concavidad, posibles puntos de infle"in.

a. b.

c. .

).-.


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1$.Dibu$e la 0rfica de una posible funcin f!ue satisfa0a las si0uientescondiciones:

a. fes continua en todo el e$e real.

b. ,

c. para

. para

1%.Dibu$e la 0rfica de una posible funcin g!ue cumple las si0uientespropiedades:

a.ges continua en todo el e$e real.

b. ,

c. para

. para ; paraparax'

19.#ea funa funcin continua en todo el e$e real y derivable entodo . 8a fi0ura ad$unta es el 0rfico de la funcin derivada

(no de ).

Srfica en 1onstruccin

%esponda las si0uientes pre0untas acerca de (no de ):

a.


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10.Un 0ran$ero !uiere cercar un terreno rectan0ular con una rea de2.5** pies2. Cambin !uiere utiliFar al0o de cerca para construir unadivisin interna paralela a dos de las secciones del borde. erifi!ue !ue su respuesta es el m@nimoabsoluto.

12.Un tercer 0ra$ero desea cercar un terreno rectan0ular deA pies2derea. Cambin desea usar una cerca adicional para construir n(enterofi$o positivo) cercas internas de divisin, todas ellas paralelas a lasmismas secciones e"teriores del borde.


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b.


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a.8a ra@F positiva de

b.8a mayor de las ra@ces de "6" + *

c.8a ra@F de

.8a ra@F de

3.Usar el mtodo de Beton para /allar las ra@ces indicadas, con unae"actitud de cuatro cifras decimales.

a. ; b. ; c. ; .

4.a.Kuestre !ue el mtodo de Beton aplicado a la

ecuacin: produce la iteracin:

para apro"imar la ra@F c&bica de a.


". a.Kuestre !ue el mtodo de Beton produce la iteracin:

para apro"imar la ra@F V6sima deln&mero positivo a.


#.Kuestre !ue el mtodo de Beton aplicado a la ecuacin:produce la frmula iterativa: "n+ 2"n6 a( "n)2, lo !ue proporciona unmtodo para apro"imar el rec@proco de asin realiFar divisiones. Estemtodo es &til ya !ue, en la mayor@a de las computadoras de altavelocidad, las operaciones de divisin consumen mas tiempo !ue variassumas y multiplicaciones.

9.11.# E:)rcicio* &ro&u)*'o* Sobr) Di-)r)ncial)*


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1.8a altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. l medirla seencontr !ue la altura es de m. con un error de *.** m. Encontrar el error apro"imadoen el volumen del cono.

2.#i al medir la arista de un cubo se comete un posible error de *.* cm. Encontrar elerror apro"imado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de

m.

3.Encontrar el volumen apro"imado de una conc/a esfrica cuyo radio interior es de *cm. y cuyo espesor sea G* cm.

4.Usando diferenciales, calcule el valor apro"imado de las si0uientes cantidades:

a. ;

b. ;

c. ;

.

".#i , y allar en y

#.allar si

$.En los e$ercicios si0uientes /allar: y

a. ;

b. ;

c. ;

%.Dibu$ar una fi0ura seme$ante a la de la fi0. 9.5* (b) tal !ue la 0rfica sea cncava /acia

aba$o. 4ndicar los se0mentos de recta cuyas lon0itudes sean:

10 ejercicios resueltos de la unidad nro 9

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