ipri

Ejercicios resueltos de Geometría

1. Dados el plano 0

2 6 y la recta 4

y zx z r

x y az

:

a) Encuentra el valor del parámetro a para que y r sean paralelos. b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ' que contiene a

r y es perpendicular a .

2. Dado el punto 1,0,0P y la recta

2

3 con

1

x

r y

z

.

a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r .

b) Calcula la distancia de a P r .

3. Dado el plano 3y z y la recta

2

1 ,

1

x

r y

z

:

a) Estudia la posición relativa de y r . b) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s paralela a que corta a r

perpendicularmente en el punto 0,1, 1P .

4. Dados los planos 1 22 0 y 2 4x y z x y z :

a) Calcular el valor del parámetro para que los planos sean perpendiculares. b) Para el valor de obtenido en el apartado anterior, obtén unas ecuaciones paramétricas de

la recta r paralela a 1 2 y que pasa por el punto 1, 2,3P .

5. Dadas las rectas 1

1 y , 2 3

1

xx z

r y s y

z

:

a) Estudia su posición relativa. b) Calcula la distancia entre y sr .

.TL =u

-r). (., o,-r) = o

= (a+l , t,-1)

e) L(a*r\ t r =o &)

= Zx-Z = e

I Y +a - c,

=1 Lx--Y+ea =\

e> 1Í. I ñ," @>lf'.

=r-r(i f Il\t -L t I

ño=o 4=) (atl .L(

r? er= iA.=(-|,'r,-1)l-LÍr. =(¿rot-a)

aA ?tu,o,ó)§-7

?4 a! * = z)-

\*Rr=17=3+\ t'LZ = ^¡

a\ § ,.&r \-t ü;:1,"= G, L,o) , B(z) ,Z+\ '-l)er 1Fe = (z\ , ?+\, -{l -(r, Ó, o\ - (¿r - r 'i+ x '-l) J

+ ?, t, ol' (tx- ! tj+' -'r)- o :/ qX-z+7+

?o, \.,^h , Ts ;ilR: (. (-*),*1(-il ,ü

TL

r

.\\ru

-.{Lfr

ü..

al

t \ tt-'k=t{ -) ) *3<o

* Y -!z-=o*-a:¡ 7c"o

" ['1' o' o)

?7 -(r*-q) - zY -za - *V - 6 +7z\o \:o{l

-{y=o

t x-\f>\=

\-zy

r \L= c§,q.\

-,\z{

-zz

f Ft=+ tl'.'!R = ó=)Ur

x-

e>* x+ +>

§ri, ^ -Llt- s/tlu5/¿)

\i.xÑl

\ '1-

=) A ='= L

\k &,0\st 5 I=(-

"r*G

f*=z{7=L*=

J"u.\* A < rI(" \

t) JG,.) =

A to,z,-r)ñ = (0, -i,

t'. x Ñ :' *+l -t$=(+, r,-?)

fzro

*-1+"t

(xt,lz

Í.. = (0, t, -r)^l * =y -z -a(.-(e, l, l) J 5.^r\'\.*\*or

\ -\ = o -)\\ §\C<,rm,1\t-Ft

,,\ \(ZT

L -J

5,)

J"l

*'*(- ?\' r (-1\'

5i;t-.,'=Z\: 1+)=-r+-\

\*Gz-*\t^ \ ^13.-) TL= Y-z=3. r=

a) ?9i'..''.d^ o\o\"*.*

:ot.=(e,-l ,t) e*\^ tt'U\1L'oo'

s.^r\'I.-trvrnr¡J gto, t,-t) er *\" tc '

-rt-", : 1- ¡ 1* o =,1 r.3 r'r' 5"'o ?'\'q\t\qj

o2+, I 4, =r-7 :) x_r-Y ¡ ?- = D

= *l- -=) L+ =+*4\=l x ^zz'z=o

-L:-i\ {o t -'\,- olz \ , rt-\r -L o \

-r',-- J

r! \*t; -z)

o\+b -)r-o'\"il=¿ I. -zl" '\r \r =rl-

^L -:\ \ -

t- o 7 \= -t, *o -l \q§ t1:i J

) -L -.-\

a v\,r 1i L,' *,!¿ §*b*' -l^" In F"' ? ('

Y111- Á tl r

17 I T\(":\, i -,\=za -+-zÉ=-(l. r r \

o*{lri""s '\* § ="^.' G\s

: 1 , = \-z/'

I L*=-\-?

rlB:k-+rYt'to\"

x y-\t------2 2*^ .L

[o .-I

¡1= \ 1- -'L\r- o

\o\tt\=o , I L

\rt

\-z\"

r{\

tr) L* recf'^ ?"\\-+4d'..rq.\ur Ss = Y1

üt =-Y\Rx U\

t\U\A*S -<c5. trraw

",ya'\<\ o-s

Lvccl or

Pqr\-

"i \

"R

TL 3"n--*---

{,-r) b

,*7,-?)

<"n/

¿

-\r-d

(o

G

/Lu

?(c

:L.

A

-2 t¡

-2L

! 5 rl5.í

-Í

v\ó \-

l+1 /

rf64V5¿ it ,r-\

(¿,-.,-t\.(",-rr§ - o <:)

Ír=ñr,.*Í*" ff t¿

* eú*.ir qÍ- 7-ti ;

l) Ynzx-zl -7=ot.3?x-y+\z=\

a) \ f.t. ruo Lrt.lzn J- Tz. e? Én I ñr, . q Í*.'4.. = o e7

(:72 +z-\ =o *rF-=-11

\,) r...L \.r. f;t[,;:\:.Lo' oJ* r *V LL'*i^^to 1o" 3-(&'1'3) b

?."f*J^.^^L" ,t -fln §-a' T¿a .

f a 1 L\\z- -t q )

= (--q( -6r 3)

( : =rll :r X -2/ -z-r)

¿--t<I r - Y! =t3*' -zz +

L L* A

íx=Y -) x-7^a*rl ¡-'Lx=a* -r-X ^z+to\ (r-z ó

-: \ , fi= \'" :n -;

-r) Vr'o-L

c," ¡uR/\s{, L -7/q

" -6rIx=r= j,=L?=

a\

,\l,ll@ r=+ sr*t=* \eR

a) ?"sic\l'^

34i

Cx =, sa l, =

lo=,.\r.tlt^

--: c|

L-ot-

4=

z-raa3

-,

-z¿1

-Io

X - v+ IL*t

x j) = aO

i)\3t-L

I=\

-Ló

-)

Y\

;\=.!

\l

t:fo ¿l toso 11 =3

lPr

=+

v-r)

\=

LL,_

-l

fi>)

s)=

\l'trL

[\A\ o

r, S

zoL

5e cr L/\

(.1",

-zoO-Z

-t ó

O-t

=tlru S->ol é

1&L

l6 --?- 8\=\a o z \=lo#odl-, -r -,. I

\t -zlo 6

\" rlo -z

,Er. l\

ó^Z-zBoZ

-t -1

J"^L

r4^,\L\4v

ü(.

du^ 311

--au"§/ ?r.§ ¿?re r

1i¡" "ü \

g'- = (r, ¡,=) 1 FJ. : b'-o'¿) -(o'o'l) = (o'-t'o)

E*, =(á-, -l ,-i) J e (o,-r,l) , P'("' o'!)

é1 li 1' 1\ ? = (-r,s,r)ri. ^ (s =

\; "^n:,

f _qi_+s[+

-¿lg\

\ ü.* \lr \ =t \ f ¿d-et (_U" ,us

( qf t 5a+la =

, Eí"\ = J*[

F,.

ti,-

,-1

z\-\ \= -5ó)

\- E \

.É

tjtr LLq¿

d (r, $) = d (t, TL) Jo*d* l--t rrr u'u\ y\uo" l'1.

IL=IB,'(' ,q:])

=) -tL= \x'5'Y -A4 't = Ó

ü (?',É):T, (.,-1,u)

\ q"CI-5'(-r)-r+1\t-

Itr,s)= d(",8)

)scTLtrl[i-i (l^.f

i\=

\x 1

tt-=l Y 4

lz-¿ -'\=O

5=i "é

\f {Z

J (., s)

'---"'-_-'#

f-z+(-r¡'t1-r¡'

1, o ):0 é)

+\,-1)er (f'ü,"') -(r¡,3+X€> FÑ"i. =o€7 z (4-¿\) *3 -

*),:* (-+),-,)

?. (r), 3*---+

?.? =(4,?.P I r

P'('(-?, .\=A(

@b)

a(

,r)P,

=- r)

D* u\^ $ r'll

.¿.i I r¡-éiüov1 .\.q I !

L.

*,-r)q-

§r(=(+,+,-r)-(r,0,0):