ejercicios resueltos de algebra de baldor

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 13

13

V a l o r n u m r i c o Valor numrico de expresiones compuestas

P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numrico 2. Se efectan las operaciones indicadas

Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para:


EJERCICIO 14

14

Ejercicios sobre notacin algebraica

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 15

15

S u m a

Suma de monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se escriben las expresiones una a continuacin de otra y con sus respectivos signos 2. Se reducen los trminos semejantes. Para reducir trminos semejantes se procede de la siguiente forma: a. Si los trminos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo comn b. Si los trminos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del nmero mayor en valor absoluto c. A continuacin del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recuerdese que los trminos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

S u m a r :


EJERCICIO 16


16

S u m a

Suma de polinomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los tminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los trminos semejantes: a. Se suman los trminos positivos b. Se suman los trminos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el trmino corresponder al del nmero mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una lnea debajo de la ltima fila; y debajo de esta lnea se escriben los trminos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

Hallar la suma de:


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S u m a

Suma de polinomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los tminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los trminos semejantes: a. Se suman los trminos positivos b. Se suman los trminos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el trmino corresponder al del nmero mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una lnea debajo de la ltima fila; y debajo de esta lnea se escriben los trminos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

Hallar la suma de:


EJERCICIO 18

18

S u m a

Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los tminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los trminos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo 4. Se dibuja una lnea debajo de la ltima fila; y debajo de esta lnea se escriben los trminos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Nota: las fracciones las vamos a sumar por el mtodo de hallar el mnimo comn denominador (m.c.d.)

Hallar la suma de:


EJERCICIO 19

19

S u m a

Suma de polinomios y valor numrico

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se suman los polinomios 3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numrico 4. Se efectan las operaciones indicadas y se reduce el resultado

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numrico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.


EJERCICIO 20

20

R e s t a

Resta de monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado 3. Se reduce la expresin resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

De:


Restar:


EJERCICIO 21

21

R e s t a

Resta de polinomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada trmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresin resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

De:


22

R e s t a

Resta de polinomios


1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada trmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresin resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

Restar:


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R e s t a

Resta de polinomios


1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada trmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresin resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

De:


EJERCICIO 24

24

R e s t a

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada trmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresin resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mnimo comn denominador (m.c.d.)

De:


25

R e s t a

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios


1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada trmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresin resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mnimo comn denominador (m.c.d.)

Restar:


EJERCICIO 26


26

R e s t a

Resta de polinomios y valor numrico

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signo cambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada trmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresin resultante 4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numrico 5. Se simplifica aritmticamente el resultado Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mnimo comn denominador (m.c.d.)

Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numrico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5:

De:


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Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros

Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efecta la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, segn el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada trmino con signo cambiado, debajo del minuendo y, los trminos semejantes compartiendo columna 5. Se efecta la suma indicada


EJERCICIO 28

28

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros

Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efecta la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, segn el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada trmino con signo cambiado, debajo del minuendo y, los trminos semejantes compartiendo columna 5. Se efecta la suma indicada


29

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios

Procedimiento

1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efecta la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada trmino con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efecta la suma indicada Nota: las sumas las realizamos por el mtodo de agrupar los trminos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d.


EJERCICIO 30

30

Suma y resta combinadas


31

Signos de agrupacin

Supresin de signos de agrupacin

Procedimiento Para suprimir signos de agrupacin se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se suprime un signo de agrupacin precedido del signo +, los trminos que estaban agrupados por l no cambian de signo 2. Cuando se suprime un signo de agrupacin precedido del signo -, los trminos que estaban agrupados por l cambian de signo 3. Cada vez que se suprime un signo de agrupacin, se procede a reducir los trminos semejantes

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupacin y reduciendo trminos semejantes:


EJERCICIO 32

32

Signos de agrupacin

Supresin de signos de agrupacin

P r o c e d i m i e n t o 1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupacin ms interiores 2. Cuando el signo de agrupacin est precedido del signo +, no se cambian los signos de los trminos una vez "destruidos los parntes" 3. Cuando el signo de agrupacin est precedido del signo menos, se cambian los signos de los trminos una vez "destruidos los parntes" 4. Se reducen los trminos semejantes

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupacin y reduciendo trminos semejantes:


EJERCICIO 33

33

Signos de agrupacin

Introduccin de signos de agrupacin

Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupacin se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupacin precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupacin precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia

Introducir los tres ltimos trminos de las expresiones siguientes dentro de un parntesis precedido del signo +:

Introducir los tres ltimos trminos de las expresiones siguientes dentro de un parntesis precedido del signo -:


EJERCICIO 34

34

Signos de agrupacin

Introduccin de signos de agrupacin

Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupacin se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupacin precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupacin precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia


EJERCICIO 35

35

Multiplicacin

Multiplicacin de monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base comn y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

M u l t i p l i c a r :


EJERCICIO 36

36

Multiplicacin


P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base comn y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"



EJERCICIO 37

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 37

Multiplicacin



1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre s para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base comn y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

E f e c t u a r :


EJERCICIO 38

38

Multiplicacin


Producto continuado de monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el nmero de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el nmero de signos menos es par el producto es positivo 2. Se multiplican los coeficientes numricos entre s. En el caso de fraccionarios se efecta as: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre s para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base comn y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

M u l t i l p l i c a r :


EJERCICIO 39

39

M u l t i p l i c a c i n

Multiplicacin de polinomios por monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comn y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante



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Multiplicacin de polinomios por monomios


1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadores c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante



EJERCICIO 41



Multiplicacin de polinomios por polinonomios


1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la lnea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los trminos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los trminos semejantes

Ley de los signos

+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +

Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o ms potencias con la misma base, basta con escribir la base comn y sumar los exponentes respectivos.



EJERCICIO 42

42



Multiplicacin de polinomios por polinomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la lnea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los trminos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los trminos semejantes

Ley de los signos






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Multiplicacin de polinomios por polinomios


1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los trminos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los trminos semejantes

Ley de los signos






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Multiplicacin de polinomios con coeficientes separados

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los trminos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los trminos semejantes Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fraccin cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el mtodo de hallar el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.d.)

Ley de los signos






EJERCICIO 45



Multiplicacin por coeficientes separados

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un trmino 3. La parte literal del primer trmino del producto ser igual al producto de las letras de los primeros trminos, el del multiplicando y el del multiplicador

Multiplicar por coeficientes separados:


EJERCICIO 46 46

M u l t i p l i c a c i n Producto continuado de polinomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y as sucesivamente hasta que no quede ningn factor 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los trminos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los trminos semejantes Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los parntesis Nota2: para multiplicar un monomio por un parntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los trminos dentro del parntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos"

Ley de los signos




S i m p l i f i c a r :


47


Multiplicacin combinada con suma y resta


1. Se efectan los productos indicados: multiplicando cada trmino del multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos) 2. Se reducen los trminos semejantes Nota1: Deduccin de la frmula general para el "cuadrado de un binomio":

Nota2: Deduccin de la frmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades":

Ley de los signos




EJERCICIO 48


Supresin de signos de agrupacin con productos indicados

P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen los signos de agrupacin ms internos 2. Se reduce 3. Se suprimen los signos de agrupacin que quedaron como ms internos, se reduce; y as sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupacin



49

D i v i s i n

Divisin de monomios


1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base comn con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numrico y, por ltimo, la parte literal en orden alfabtico

Ley de los signos

Dividir:


EJERCICIO 50

50

D i v i s i n

Divisin de monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base comn con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numrico y, por ltimo, la parte literal en orden alfabtico

Ley de los signos

D i v i d i r :


EJERCICIO 51

51

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos D i v i s i n

Divisin de monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fraccin cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la divisin, se escribe una fraccin sobre otra fraccin, se dice, entonces, que "el cociente es una fraccin cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base comn con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numrico y, por ltimo, la parte literal en orden alfabtico

Ley de los signos

Dividir:


EJERCICIO 52


52

D i v i s i n Divisin de polinomios por monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se hace una separacin de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada trmino del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base comn con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numrico y, por ltimo, la parte literal en orden alfabtico

Ley de los signos

D i v i d i r :


53 D i v i s i n

Divisin de polinomios por monomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se hace una separacin de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada trmino del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fraccin cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la divisin, se escribe una fraccin sobre otra fraccin, se dice, entonces, que "el cociente es una fraccin cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base comn con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numrico y, por ltimo, la parte literal en orden alfabtico

Ley de los signos

D i v i d i r :


EJERCICIO 54

54

D i v i s i n

Divisin de dos polinomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, ste ser el primer trmino del cociente 3. El primer trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada trmino debajo de su semejante 4. Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, ste ser el segundo trmino del cociente 5. El segundo trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el producto se resta del resto que qued en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada trmino debajo de su semejante 6. Se divide el primer trmino del segundo resto entre el primero del divisor y se efectan las operaciones anteriores ... 7. Se contina as sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Dividir:


EJERCICIO 55

55

D i v i s i n


P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, ste ser el primer trmino del cociente 3. El primer trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente trmino del dividendo que no entr en la resta 4. Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, ste ser el segundo trmino del cociente 5. El segundo trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el producto se resta del resto que qued en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente trmino del dividendo que no entr en la resta 6. Se divide el primer trmino del segundo resto entre el primero del divisor y se efectan las operaciones anteriores ... 7. Se contina as sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la divisin, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada trmino que no aparece

D i v i d i r :


EJERCICIO 56

56

D i v i s i n


P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, ste ser el primer trmino del cociente 3. El primer trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente trmino del dividendo que no entr en la resta 4. Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, ste ser el segundo trmino del cociente 5. El segundo trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el producto se resta del resto que qued en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente trmino del dividendo que no entr en la resta 6. Se divide el primer trmino del segundo resto entre el primero del divisor y se efectan las operaciones anteriores ... 7. Se contina as sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la divisin, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada trmino que no aparece

D i v i d i r :


EJERCICIO 57

57

Divisin de polinomios con coeficientes fraccionarios Dividir:


EJERCICIO 58

58

D i v i s i n

Divisin de polinomios por el mtodo de coeficientes separados

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algn trmino 3. Se efecta la divisin con los coeficientes 4. El exponente del primer trmino del cociente se calcula restando el exponente del primer trmino del divisor del exponente del primer trmino del dividendo. Los exponentes de los dems trminos irn disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el trmino correspondiente

Dividir por coeficientes separados:

EJERCICIO 59


Cociente mixto

Hallar el cociente mixto de:

EJERCICIO 60

60

Valor numrico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos

Procedimiento 1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numrico 2. Se efectan las operciones indicadas 3. Se simplifica Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa


EJERCICIO 61 61

M i s c e l n e a

Suma, resta, multiplicacin y divisin 1. A las 7 a.m. el termmetro marca +5 y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razn de 3 por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. Solucin: 5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1 -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4. 2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar grficamente que un punto B est situado a + 40 m de A y otro punto C est situado a -35 m de B. Solucin: Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto est a la derecha de otro punto y como negativo que est a la izquierda:


EJERCICIO 62

62

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s

Productos notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica tanto el primero como el segundo trmino del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2

Escribir por simple inspeccin, el resultado de:


63


Productos notables

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades


1. Se identifica tanto el primero como el segundo trmino del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2



EJERCICIO 64

64


Productos notables

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

P r o c e d i m i e n t o 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.



EJERCICIO 65

65


Productos notables

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

P r o c e d i m i e n t o 1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.



EJERCICIO 66

66


Productos notables

Cubo de un binomio

P r o c e d i m i e n t o 1. Se desarrolla el parntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad ms el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.



67


Productos notables

Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)


1. El desarrollo de los parntesis da un trinomio 2. El primer trmino ser el cuadrado del primer trmino de los parntesis (igual en ambos) 3. El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminos independientes por el primer trmino comn de los parntesis 4. El tercer trmino ser el producto de los trminos inde pendientes



68


Productos notables

M i s c e l n e a


EJERCICIO 69


69


Cocientes notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos.

Hallar, por simple inspeccin, el cociente de:


EJERCICIO 70



Cocientes notables

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades


1. Factorizamos la diferencia o la suma, segn el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos.



EJERCICIO 71 71

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s

Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades


Criterios de divisibilidad

Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solucin est dada por :

Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solucin est dada por:

Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solucin est dada por :

Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :

Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su divisin es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.



EJERCICIO 72

72


Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor

son diferentes de 1)


Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Criterios de divisibilidad

Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solucin est dada por :

Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solucin est dada por:

Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solucin est dada por :

Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :

Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su divisin es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.

Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada trmino 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo trmino del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentar este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes trminos. Las soluciones de estos cocientes tendrn las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) :

Nota : El nmero de trminos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre

n.

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Hallar, por simple inspeccin, el cociente de:


EJERCICIO 73

73


Cocientes notables

M i s c e l n e a Escribir el cociente sin efectuar la divisin:


EJERCICIO 74

74

Teorema del residuo

P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b". Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:

Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.

Hallar, sin efectuar la divisin, el residuo de dividir:


EJERCICIO 75

75

Divisin sinttica

P r o c e d i m i e n t o Para hallar el cociente y el residuo de la divisin de un polinomio entero en x por un binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera:

1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los trminos del dividendo (si el polinomio carece de alguna de las potencias se escribe all 0) y, separada por una lnea vertical, la a. 2. HALLAR EL COCIENTE : Grado del cociente : El cociente ser de un grado menor que el dividendo. Coeficiente del primer trmino: El primer trmino del cociente tendr el mismo coeficiente que el primer trmino del dividendo. Dems coeficientes : Los coeficientes de los otros trminos del cociente se obtienen multiplicando el coeficiente del trmino anterior (previamente hallado) por la a y, seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo. 2. OBTENCIN DEL RESIDUO : El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del ltimo trmino del cociente (previamente hallado) por a y, sumando este producto con el trmino independiente del dividendo. NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y, consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Adems, cada nmero debe dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un trmino del cociente. Explicacin: Para aplicar apropiadamente el mtodo de la divisin sinttica, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operacin es por lo que se divide cada nmero, que est destinado a convertirse en coeficiente de un trmino del cociente, por b.

Hallar, por divisin sinttica, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:


EJERCICIO 76

76

Corolario del Teorema del residuo

P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la divisin de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la divisin, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.

Hallar, sin efectuar la divisin, si son exactas o no las divisiones siguientes:


Sin efectuar la divisin, probar que:


Sin efectuar la divisin, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:


EJERCICIO 77

77

Teorema del residuo

P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la divisin de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la divisin, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.

Diga, por simple inspeccin, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cul es el residuo:


EJERCICIO 78

78

E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o Resolucin de ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita

P r o c e d i m i e n t o 1. Se reducen trminos semejantes 2. Se hace la transposicin de trminos, los que conengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 3. Se reducen tminos semejantes 4. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita, y se simplifica.

Resolver las ecuaciones:


79

E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o

Resolucin de ecuaciones de primer grado con signos de agrupacin

P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupacin, comenzando por los ms internos 2. Se reducen trminos semejantes 3. Se hace la transposicin de trminos, los que conengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen tminos semejantes 5. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita, y se simplifica.

Resolver las siguientes ecuaciones:


80


Resolucin de ecuaciones de primer grado con productos indicados

P r o c e d i m i e n t o 1. Se efectan los productos indicados 2. Se reducen trminos semejantes 3. Se hace la transposicin de trminos, los que conengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen tminos semejantes 5. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita, y se simplifica.

Resolver las siguientes ecuaciones:


EJERCICIO 81


81


M i s c e l n e a Resolver las siguientes ecuaciones:


EJERCICIO 82

82

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita


83



EJERCICIO 84

84



EJERCICIO 85

85

Problemas sobre ecuaciones enteras


EJERCICIO 86

86

Problemas sobre ecuaciones enteras


EJERCICIO 87

87

Problemas sobre ecuaciones enteras 1. Compr doble nmero de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero cost 2 y cada traje 50. Cuntos sombreros y cuntos trajes compr?


EJERCICIO 88

88

M i s ce l n e a d e p r o b l e m a s s o b r e e c u a c i o n e s e n t e r a s


EJERCICIO 89

89

Descomposicin factorial

Factor comn

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el factor comn 2. Se divide cada trmino del polinomio por el factor comn 3. Se escribe el factor comn y a continuacin, dentro de un parntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)

Factorar o descomponer en dos factores:


EJERCICIO 90

90


Factor comn

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el factor comn 2. Se divide cada trmino del polinomio por el factor comn 3. Se abren dos parntesis, en el primero se escribe el factor comn y en el segundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)



EJERCICIO 91

91


Factor comn por agrupacin de trminos

P r o c e d i m i e n t o 1. Se agrupan los trminos convenientemente, utilizando parntesis 2. Se saca factor comn de cada uno de los parntesis 3. Se realiza una segunda factorizacin (el factor comn ser, en este caso, el parntesis



EJERCICIO 92

92


Trinomio cuadrado perfecto Definicin : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales.


1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos 3. Se halla el doble producto de las races obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo termino del trinomio y si el primero y tercer trminos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un parntesis las races cuadradas del primer y tercer trminos, separadas por el signo del segundo trmino, y el parntesis elevado al cuadrado.



EJERCICIO 93

93


Diferencia de cuadrados perfectos

P r o c e d i m i e n t o 1. Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos parntesis 3. En el primer parntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las races halladas en el paso 1.



EJERCICIO 94

94


Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial)

P r o c e d i m i e n t o 1. Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos parntesis 3. En el primer parntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las races halladas en el paso 1. 4. Se reduce, si es el caso

Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:


EJERCICIO 95

95


Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinacin de estos dos casos)

P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) 2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92) 3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94). 4. Se reduce, si es el caso



EJERCICIO 96

96


Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos 3. Se halla el doble producto de las races halladas en el paso anterior 4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo trmino del trinomio 5. Se suma o resta, segn el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo trmino del trinomio cuadrado perfecto 6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresin no se altere



97


Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin

Factorar una suma de dos cuadrados


1. Se extrae la raz cuadrada de ambos trminos 2. Se halla el doble producto de las races halladas en el paso anterior 3. Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior 4. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto as formado 5. Se factoriza la diferencia de cuadrados



EJERCICIO 98

98


P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un binomio 3. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primer trmino de cada uno de los parntesis 4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del segundo parnteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 8. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundo trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el segundo trmino del segundo parntesis 9. Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los nmeros requeridos en los pasos 7 y 8



EJERCICIO 99

99


Casos especiales


1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un binomio 3. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primer trmino de cada uno de los parntesis 4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del segundo parnteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 8. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundo trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el segundo trmino del segundo parntesis 9. Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los nmeros requeridos en los pasos 7 y 8. Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo trmino sea la raz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer trmino.



EJERCICIO 100

100



Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

y se factoriza como en el Ejercicio 98: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer trmino, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un binomio 4. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primer trmino de cada uno de los parntesis 5. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del segundo parnteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 9. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundo trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el segundo trmino del segundo parntesis 10. Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los nmeros requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los parntesis que tengan factor comn 12. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador .



EJERCICIO 101

101


Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Casos especiales


Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

y se factoriza como en el Ejercicio 99: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer trmino, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un binomio 4. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primer trmino de cada uno de los parntesis 5. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del segundo parnteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 9. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundo trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el segundo trmino del segundo parntesis 10. Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los nmeros requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los parntesis que tengan factor comn 12. Se simplifica Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo trmino sea la raz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer trmino. Nota2: siempre es posible eliminar el denominador .



EJERCICIO 102

102


Factorar una expresin que es el cubo de un binomio

P r o c e d i m i e n t o El desarrollo del cubo de un binomio es:

En esta clase de ejercicios se nos da una expresin como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera: 1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2. Se extrae la raz cbica del primero y cuarto trminos del cuadrinomio 3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo 4. Se triplica el cuadrado de la raz cbica del primer trmino por la raz cbica del cuarto trmino y se compara con el segundo trmino del cuadrinomio dado 5. Se triplica la raz cbica del primer trmino por el cuadrado de la raz cbica del cuarto trmino y se compara con el tercer trmino del cuadrinomio dado 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un parntesis se escriben las races cbicas del primero y cuarto trminos del cuadrinomio y separadas por el signo ms o por el signo menos, segn el caso; y se eleva al cubo el parntesis 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Factorar:

ejercicios resueltos de algebra de baldor

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