UAP-FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL Asignatura: Matemática Básica I – Docente: Lic. M. Nilda Mosqueira L. Unidad 4: Línea Recta Ejercicios Resueltos 1. Halle la ecuación de la recta L que:

• Pasa por el punto ( )3,6 −− y tiene un ángulo de inclinación de o45 Solución

L pasa por P(-6,-3) y 1º45º45 ==⇒= tgmLθ la ecuación de L es entonces: 3)6( +=+ xy

• Tiene pendiente -3 y cuya intercepción Y es -2

Solución L pasa por P(0,-2) y 3−=Lm entonces su ecuación es xy 32 −=+

2. Hallar la ecuación simétrica de la L recta que: • Pasa por los puntos ( ) ( )6,21,3 −− ByA

Solución

Usemos A y B para hallar la pendiente de L: 57

−=m )3(57)1( +−=−⇒ xy es la

ecuación de la recta, de donde la intercepción X es: 3/16− y la intercepción Y

es -16/5 entonces la ecuación simétrica es: 1

516

316

=−

+−

yx

• Tiene pendiente -2 y pasa por ( )4,1−A Solución

( ) 0221242 =−+⇒+−=−⇒−= yxxym es la ecuación general, de donde la intercepción X es: x =1 i la intercepción Y es y=2 entonces la ecuación simétrica

es 12=+

yx

3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados

determinan en la recta 1535 −+ yx Solución Las intercepciones de la recta L: 1535 −+ yx son y = 5 i x = 3 luego el punto

medio del segmento que los ejes determinan en la recta L es: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,

23

La pendiente de la recta L es 35−

=m y la de la mediatriz será 53'=m entonces su

ecuación es: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

23

53

25 xy o 0853 =+− yx

4. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax – By + 4=0 de una recta, si debe pasar por los puntos ( ) ( )6,11,3 DyC −

Solución L tiene ecuación ( ) 0431,304 =+−−∈−⇒=+− BAcumpleseLcomoByAx

( ) 0466,1 =+−∈ BAcumplesetambiénLcomoy , resolviendo simultáneamente

estas ecuaciones, se obtiene 1920

1916

=∧= AB

5. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son

011540152902775 =++∧=−−=+− yxyxyx Hallar sus ángulos y comprobar los resultados.

Solución

7502775: 11 =⇒=+− myxL , si α es el ángulo entre ⇒∧ 21 LL

º425953

5953

1 21

12 ≅=⇒=+−

= arctgmmmmtg αα

2901529: 22 =⇒=−− myxL , si β es el ángulo entre

º632653

23 ≅=⇒∧ arctgLL β

5401154: 33 −=⇒=++ myxL , si γ es el ángulo entre

º75311

13 ≅=⇒∧ arctgLL γ Verificando: º180º75º63º42 ≅++

6. Hallar la ecuación general de la recta L que es perpendicular a la recta L 1 :

01143 =+− yx y pasa por el punto ( )3,1 −−

Solución

La recta L tiene pendiente 43

=m la recta L 1 perpendicular a L tiene pendiente

34

1 −=m como pasa por ( )3,1 −− , su ecuación es ( ) ( )1343 +−=+ xy y su

ecuación general es: 01334 =++ yx

7. Demostrar que la recta L que pasa por los puntos ( ) ( )2,7,1,4 y− biseca al segmento cuyos extremos son los puntos ( ) ( )3,43,8 −−− y

Solución L tiene pendiente m = 1 ⇒ su ecuación es 41 −=+ xy El punto medio del segmento con extremos ( ) ( )3,43,8 −−− y es (2,-3) y este punto es de la recta L, pues sus coordenadas verifican la ecuación de L

8. La distancia de la recta L: 0134 =+− yx al punto P es 4. Si la ordenada de P es 3, halle su abscisa.(Dos soluciones)

Solución El punto P tiene coordenadas ( )⇒3,x su distancia a L es

( ) 4916194

, =+

+−=

xLPd

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−⇒7

32084

xx

x ⇒ los puntos

( ) ( )4,73,3 y− distan 4 unidades de la recta L

9. Halle la ecuación de la recta L que tenga intercepciones iguales y que pase por el punto (8,-6)

Solución

Si L tiene intercepciones iguales, entonces pasa por los puntos de forma ( ) ( ) 1,00, −=⇒ maya pasa por ( )⇒−6,8 su ecuación es ( )86 −−=+ xy es decir 02 =−+ yx

10. Encuentre las coordenadas del punto de intersección. Después escriba la ecuación

de la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la primera de las rectas dadas:

102854

=+=−

yxyx

Solución

102854

=+−=−

yxyx

⇒el punto de intersección es: ( )4,3

La pendiente de la primera recta es 54

=m luego la ecuación de la recta

buscada es ( )3544 −=− xy

Problemas Propuestos

11. Halle la ecuación de la recta que: • Pasa por el punto ( )5,1 y tiene pendiente 3 • Pasa por los puntos A ( ) ( )7,52,4 −By

12. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 0101983;010;03683 =−+=−−=−+=+− yxyxyxyx . Demostrar que

la figura es un paralelogramo y hallar las coordenadas de sus vértices. 13. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son

0101983;010;03683 =−+=−−=−+=+− yxyxyxyx . Demostrar que la figura es un paralelogramo y hallar las coordenadas de sus vértices.

8. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la recta ( ) 0181 =−−+ ykkx sea paralela a la recta 0734 =++ yx ?

14. Probar que las rectas 08760832;0753 =+−=−+=+− yxyyxyx son concurrentes.

15. Los vértices de un triángulo son ( ) ( ) ( )3,3,3,3,1,4 −−− CBA , hallar la longitud de

la altura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo. 16. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P ( )1,3 y tal que la distancia de

esta recta al punto A ( )1,1− sea igual a 22 .(Dos soluciones) 17. Calcule la ordenada del punto cuya abscisa es -3 y que es colineal con los puntos

(3,2) y (0,5) 18. Encuentre las coordenadas del punto de intersección. Después escriba la ecuación

de la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la primera de las rectas dadas:

632932525543

=+=+=−=−

yxyxyxyx

Lima, junio de 2008