Armando Duarte 1

Ejercicios Propuestos Aplicaciones de las Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

1. (Cuerpo en Caída libre) Experimentos demuestran que si un cuerpo cae en el

vacío debido a la acción de la gravedad, entonces su aceleración es constante.

Expresar esta ley como una ecuación diferencial para ( )ty y resolverla para

obtener la conocida ley ( ) 2

2

1gtty = .

2. (Cuerpo en caída libre, condiciones iniciales generales) Para el problema

anterior, el cuerpo empieza en 0=t desde su posición inicial 0yy = con

velocidad inicial 0vv = demostrar que entonces la solución es

( ) 200 2

1gttvyty ++= .

3. (Despegue de un aeroplano) Para despegar, un aeroplano recorre 1.8

kilómetros de la pista. Si el avión empieza con una velocidad de segm5

avanza con aceleración constante y recorre los 1.8 Km. en 40 segundos ¿Cuál es

su velocidad al despegar?

4. (Despegue de un aeroplano) Si desea reducirse la velocidad de despegue a

hKm250 ¿Hasta que valor puede reducirse la aceleración constante,

considerando que los demás datos permanecen como antes?

5. (Crecimiento Exponencial) Se sabe que la ecuación diferencial yy =′

gobierna el crecimiento de un cultivo de bacterias. a) ¿Cuál es la solución

particular que satisface ( ) 30 =y ? b) ¿Cuál es la cantidad inicial ( )0y necesaria

para obtener 100=y después de 2=x horas?

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6. (Crecimiento Exponencial) Si en un cultivo de levadura la razón de

crecimiento ( )xy′ es proporcional a la población actual en el tiempo x . Si y se

duplica en un día ¿Qué cantidad puede esperarse después de una semana con la

misma razón de crecimiento? ¿Después de dos semanas?

7. (Ley de Malthus) razón de crecimiento proporcional a la población actual, se

conoce como ley de Malthus1 para Estados Unidos, los valores observados en

millones de habitantes son los siguientes

t 0 30 60 90 120 150 180 190

Año 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 1990

Población 5.3 13 31 63 105 150 230 250

8. (Decaimiento exponencial; presión atmosférica) observaciones indican que la

razón de cambio de la presión atmosférica y con la altura x es proporcional a la

presión. Suponiendo que la presión a 6000 metros es la mitad de su valor a nivel

del mar, encontrar la formula de la presión a cualquier altura.

9. (Vida Media) la vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo en que

desaparece la mitad de una cantidad dada. Conociendo que para el 22688 Ra se

tiene 11110.4.1 −−−= sk ¿Cuál es la vida media del 22688 Ra en años?

10. (Ley de Enfriamiento de Newton2) Una bola de cobre se calienta hasta una

temperatura de 100 ºC. Después se coloca en agua que se mantiene a una

temperatura de 30 ºC . Al cabo de tres minutos la temperatura de la bola se

reduce a 70 ºC. ¿Encuentre El tiempo en el cual la temperatura de la bola se

reduce a 31 ºC?

1 Thomas Robert Malthus (1766-1834) científico social ingles, uno de los lideres de la economía nacional clásica. 2 Sir Isaac Newton (1642-1727) gran físico y matemático ingles, fue profesor en Cambridge en 1669 y Director de la casa de Moneda en 1699. Newton y el matemático filosofo Gottfried Leibniz inventaron en forma independientemente el calculo diferencial e integral.

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11. (Flujo de agua por orificios Ley de Torricelli3) Un tanque cilíndrico de 1.5

metros de altura descansa sobre su base circular de 1.00 metro de diámetro e

inicialmente se encuentra lleno de agua. En el fondo del tanque hay un orificio

de 1.00 cm de diámetro, el cual se abre en cierto instante, de tal modo que el

agua empieza a fugarse debido a la fuerza de gravedad4. Encontrar la altura

( )th del agua en el tanque en cualquier tiempo. En cuanto tiempo el tanque tiene

agua hasta la mitad, la cuarta parte y cuando queda vacío.

12. (Ley de Torricelli) Demuestre que la velocidad que adquiere un cuerpo en caída

libre a partir del reposo al recorrer la altura h (sin resistencia del aire) es gh2

13. (Ley de Torricelli) Si el diámetro del orificio se duplica y los datos restantes

permanecen como antes ¿Cuánto varia la respuesta?

14. (Ley de Torricelli) Suponer que el tanque del ejercicio 11 es semiesférico de

radio R , que inicialmente esta lleno de agua y que en el fondo tiene una salida

cuya sección transversal tiene un área de 25 cm . La salida se abre en cierto

instante. Encontrar el tiempo que transcurre para vaciar el tanque a) para

cualquier R y b) para mR 1= .

15. (El paracaidista; Caída Retardada) Suponer que un paracaidista cae desde la

posición de reposo hacia la tierra y el paracaídas se abre en un instante 0=t

cuando la velocidad del paracaidista es sm10 . Encontrar la velocidad ( )tv del

paracaidista en cualquier tiempo t posterior.

Sugerencia: Suponga que el peso del hombre mas el equipo es NP 712= que

la resistencia del aire es proporcional a 2v por ejemplo 2bvR = donde la

constante b depende ante todo del paracaídas, tómese 22.30 msNb =

3 Evangelista Torricelli (1608-1647) físico y matemático italiano, discípulo y sucesor de Galileo Galilei (1564-1642) en Florencia. 4 Fuerza de gravedad, es frecuente en autores norteamericanos el uso de esta terminología, en realidad se refiere al peso puesto que lo correcto es hablar de la aceleración de gravedad

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16. (El paracaidista) La velocidad del paracaidista disminuye ¿Qué ocurre si la

velocidad inicial es menor que k donde b

mgk =2 ?

17. (El paracaidista) ¿A que altura de la caída libre corresponde la velocidad

limite?

18. (El paracaidista) Si se supone que la resistencia del aire es proporcional a v

(en lugar de 2v ) de que manera cambian la ecuación y solución del paracaidista,

tómese sKgb 3.7= .

19. (Ley de Enfriamiento de Newton) Un termómetro cuya lectura es de 10 ºC, se

lleva a una habitación cuya temperatura es de 18 ºC. Un minuto después la

lectura del termómetro es 14 ºC ¿Cuánto tiempo tomara para que la lectura sea

igual a la temperatura de la habitación?

20. (Evaporación) Experimentos indican que una sustancia porosa húmeda a la

intemperie pierde su humedad a una razón proporcional al contenido de

humedad. Si una sabana tendida en el exterior pierde la mitad de su humedad

durante la primera media hora ¿Cuándo estará prácticamente seca, si las

condiciones climáticas permanecen invariables?

21. (Evaporación) Una bola de naftalina pierde su volumen por evaporación a una

razón proporcional a su área instantánea. Si el diámetro de la bola disminuye de

2 a 1 cm en tres meses ¿En cuanto tiempo la bola será prácticamente inexistente,

por ejemplo cuando su diámetro sea 1 mm?

22. (Ley de acción de la masa) establece que bajo una temperatura constante, la

velocidad de una reacción química es proporcional al producto de las

concentraciones de los reactivos. Una reacción bimolecular MbBaA →+ . Si

( )ty es el numero de moles por litro que ya han reaccionado después del tiempo

t, la rapidez de la reacción es ( )( )ybyakdt

dy −−= resolver esta ecuación

suponga que ba ≠ .