ejercicios mate avanzada

8/10/2019 Ejercicios Mate Avanzada

1/93

OJO TENER EN CUENTA:

Calcular del residuo en a en un polo simple 0 z

0

0 1lim z z

z z f z a

Si F z tiene un polo de orden m en 0 z z

0

1

01

1lim

1 !

mm

m z z

d z z f z

m dz

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Usando integracin de contorno, evalu:

2

0 2 cosd

I

SOLUCION:

Al tomar j z e , de manera que

1 1cos ( ),

2dz

z d z jz

Sustituyendo la integral se vuelve

2

21 4 11[2 ( )]2

C C

dz dz I

j z z jz z z

Donde C es el crculo unitario 1 z que se muestra en la siguiente figura


2/93

El integrando tiene singularidades en

2 4 1 0 z z

Esto es, en 2 3 z .La singularidad dentro del contorno C es el polo simple en 2 3 z

Residuo en 2 3 z

2 3

2 1 2 1 1lim [ ( 2 3) ]

( 2 3)( 2 3) 2 3 3 z z

j j z z j

As por el teorema del residuo,

1 22 ( )

3 3 I j

j

En consecuencia:

2

0

2

2 cos 3

d

2) Encontrar los residuos en todos sus polos en el plano infinito de 2( ) csc z f z e z

SOLUCION:

22( ) csc

z z e f z e z

sen z tiene polos dobles en 0, , 2 ,..........,0 z osea z m

donde 0, 1, 2,.....m

El residuo en z m es 2 21

lim {( ) }1!

z

z m

d e z m

dz sen z

2 2

2

[( ) 2( ) 2( ) cos ]lim

z

z m

e z m senz z m senz z m zsen z

Haciendo z m u ,se puede escribir como :

2 2

30

2 2 coslim { }u mu

u senu usenu u ue

sen u

=2 2

30

2 2 cos{lim }m

u

u senu usenu u ue

sen u


3/93

El lmite entre llaves se puede obtener utilizando la regla de LHospital.Sin embargo, es ms fcil

observar para el primero que3

330 0

lim lim( ) 1u u

u usen u senu

y de este modo escribir el limite como

2 2 3

3 30

2 2 coslim( . )

m

u

u senu usenu u u ue u sen u

2 2

30

2 2 coslimm mu

u senu usenu u ue e

u

Utilizando la regla deLHospital varias veces .Al calcular este limite puede utlizarse,en lugar de

esto, los desarrollos en serie 3 23! .......,cos 1 2! .......senu u u u u

3) Utilice la integracin de contorno y demuestre que:

2 2

1( 4) 16

dx x

SOLUCION:

Considere la integral de contorno

2 2( 4)C dz

I z

Donde C es el contorno semicircular cerrado que se muestra en la figura


4/93

El integrando 2 21 ( 4) z tiene polos de orden dos en 2 z j .Sin embargo , la nica

singularidad dentro del contorno C es el polo doble en 2 z j .

De residuo en 2 z j

22 22

1 1lim ( 2 )

1! ( 2 ) ( 2 ) z jd

z jdz z j z j

3 32

2 2 1lim

( 2 ) (4 ) 32 z j j

z j j

As por el teorema del residuo,

2 2

1 12 ( )

( 4) 32 16C dz

j j z

Como

2 2 2 2 2 2( 4) ( 4) ( 4)

R

C R

dz dx dz z x z

Haciendo R ,y al observar que la segunda integral se hace cero, entonces

2 2 2 2

1

( 4) ( 4) 16C dz dx

z x

Cabe indicar que, en este caso particular, podramos haber evaluado la integral sin utilizar la

integracin de contorno. Haciendo la sustitucin 22 tan , 2sec x dx d da

22 2 2 222 2 2 22 2

2sec 1 1 1 1cos [ 2 ]

( 4) (4sec ) 8 16 2 16dx d

d sen x


5/93

4) Determine los residuos de la funcin 41 (1 ) zen cada uno de sus polos en el plano finito z

SOLUCION:

La funcin 41 (1 ) ztiene polos donde 41 0 z esto es,los puntos donde 4 21 j nj z e

siendo n un entero. Recordando como determinar las races de un nmero complejo, estospuntos son

4 4 2 ( 0,1,2,3) j nj z e n

Esto es /4 3 /4 5 /4 7 /4, , , j j j j z e e e e

o tambin

(1 ) 2 , ( 1 ) 2 , ( 1 ) 2 , (1 ) 2 z j j j j

Ahora encontraremos el residuo en el punto 0 z el cual es

0

04lim( )1 z z

z z z

Donde 0 z es una de las races anteriores de 4 1 z .Se debe usar la regla de LHopital antes de

sustituir para una 0 z particular. Esto est justificado, dado que 0 4( )

(1 ) z z

zes de la forma

indeterminada 0

0en cada uno de los cuatros polos simples. Derivando el numerador y el

denominador obtenemos:

0 0

04 3 3

0

1 1lim( ) lim( )

1 4 4 z z z z z z

z z z

Dado que 34 z es distinto de cero en cualquiera de los polos. 30

14 z

Es el valor de cada residuo

en 0 z z .Al sustituir para los cuatro valores ( 1 ) 2 j se obtiene lo siguiente:

Residuo en

33

11 2 1 4 2

14 1

2

z j j j

Residuo en

33

11 2 1 4 2

14 1

2

z j j

j


6/93

Residuo en

33

11 2 1 4 2

14 1

2

z j j

j

Residuo en

33

11 2 1 4 21

4 12

z j j

j


7/93

5) Evalu la integral de contorno

3 2 2 2C dz

z z z

Donde C es el crculo 3 z

SOLUCION:

Los polos de 3 21 2 2 z z z son como sigue; un polo de orden tres en 0 z , y dos polossimples donde 2 2 2 0 z z , esto es en 1 z j .Todos estos polos estn dentro delcontorno C .

Se sabe que el residuo en 0 z esta dado por :

2

2 22 20 0 02 2

2 2 11 1 1lim lim lim

2! 2 2 2 2 2 2 2 z z z z zd d d

dz z z dz dz z z z z

22 2

40 2

2 2 1 2 2 2 2 2 1lim

42 2 z

z z z z z z

z z

El residuo en 1 z j es

3 31 1

1 1lim 1 lim1 1 1 z j z j

z j z z j z j z z j

3 31 1 1

2 2 21 2 1 2 j j j j j j

Al utilizar 3 2 31 1 3 3 2 2 j j j j j .

De donde el residuo en 1 z j ser

1 1 1 1 1 14 1 4 2 8

j j

j

El residuo en 1 z j

31

1lim 1

1 1 z j z j

z z j z j


8/93

Que es precisamente el conjugado complejo del residuo en 1 z j . De lo anterior, se puede

abreviar el lgebra y establecer el residuo como 1 18

j .

La suma de los residuos es

1 1 11 1 04 8 8

j j

As, por el teorema del residuo:

3 2 2 0 0

2 2C dz

j z z z


9/93

GRUPO N 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular la transformada Z inversa de

( ) = 13

12

Solucin:

( )=

13 12

= 13

+ 13

+ 12

= 2= 18= 18

( ) =2

12

18

13

+18

12Y por tanto

[ ] = 213

1813

+ 1812

[ ]


10/93

2. Calcular la transformada Z inversa de

( ) = 12 +

13

Solucin:

( )=

12 + 13

= 13

++ 13

( ) =

35 13

+

25+ 13

Asi:

( ) =

35

13

+

25

13

Por lo tanto:

[ ] = 35

12

+ 25

13

[ ]


11/93

3. Determine la respuesta impulsional del sistema causal definido por

( ) =1

(1 0.8 + 0.15 )

Solucin:

- Como ( ) es una funcin racional, el primer paso es descomponerla en fracciones

simples en forma de potencias de . Una posible forma de hacerlo es descomponer ( )

en potencias de z:

( ) = 0.8 + 0.15

( )

= 0.8 + 0.15

- Los polos de ( )

son 0.5 y 0.3. De esta forma, podemos escribir:

( )=

0.5+

0.3

- Es inmediato obtener = 5/2 y = 3/2 . Sustituyendo se llega a la forma sencilla de lafuncin de transferencia siguiente:

( )=

5/2 0.5

+3/2 0.3

- La respuesta temporal de un sistema causal con un transformada Z del tipo

( ) =1

(1 )

Es [ ] = [ ] . Aplicando este hecho junto con que la transformada Z es un operador lineal, sellega a:

[ ] =52

12

32

210

[ ]


12/93

4. Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuacin en diferencias

[ ] 34

[ 1 ] +18

[ 2 ] = [ ]

Hallar la funcin de transferencia y la respuesta al impulso de este sistema.

Solucin:

- Hallamos la funcin transferencia:

[ ] 34

[ 1 ] +18

[ 2 ] = [ ]

( ) 34

( ) +18

( ) = ( )

( ) 1 34 +

18 = ( )

( ) =( )( )

=1

1 34 + 18

( ) = 12

14

, | | >12

- Hallamos el impulso:

( )=

12 14

Los polos son y de esta forma podemos escribir:

( )=

12

+ 14

Donde A=2 y B=-1. Sustituyendo:

( )=

2

12

1

14

La respuesta temporal de un sistema causal con una Transformada z del tipo

( ) =1

(1 )


13/93

Es [ ] = [ ] .

Por lo tanto:

[ ] = 21

2

1

4 [ ]

5. Dada la Transformada Z de la respuesta impulsional de un sistema causal

( ) =1

(1 0.5 ) (1 + )Determinar dicha respuesta impulsional.

Solucin:

- La funcin de transferencia ( ) se puede expresar como

( ) =( 0.5 ) ( + 1 )

( )

=( 0.5 ) ( + 1 )

Que, descomponiendo en fracciones simples, se puede expresar en funcin de tres constantescomo sigue:

( ) =( 0.5 )

+( 0.5 )

+( + 1 )

Empleando el Teorema de los Residuos, se puede calcular de forma sencilla las constantes A, B, C:

=( + 1 )

| . =16

=( + 1 )

| . =59

=( 0.5 )

| =49


14/93

Se tiene entonces que:

( )=

16

(1 0.5 ) +

59

(1 0.5 ) +

49

(1 + 0.5 )

A partir de la expresin anterior, se puede plantear transformadas Z inversas de forma discretapara los das ltimas fracciones y llegar a:

( ) =59

(0.5 ) . ( )

( ) =49

(1 ) . ( )

Para el primer trmino se puede aplicar la propiedad de la derivada de la transformada Z, con loque si se toma

( ) =1

(1 0.5 ) =

(1 0.5 )

Se calcula la transformada z inversa siguiente:

( ) =12

( )

Ahora se tiene que

( ) = 0.5( 0.5 )

= 0.5(1 0.5 )

Cuya transformada Z inversa es

12

( )

Por lo que se llega que la transformada Z inversa de( . )

es ( ) que es

equivalente a ( 1 ) . Por tanto, se tendr finalmente la respuesta impulsional

siguiente :

( ) =16

12

( ) +59

12

( ) +49

(1 ) ( )


15/93


16/93

Dnde:

= 16

2cos ( 1 )

= 4

(1 cos )

Puesto que cos = (1) ,

=0,

8,

Anlogamente, se obtiene:

=2

( ) sin ( )

=2

sin ( ) +2 4

sin ( )/

+2

4

sin ( )/

= 8

( ) sin [ ( )]( )/

8

sin ( )/

= 8

tsin ( )

/

8

sin ( )

/

= 0

Dnde:

( ) = 8

(cos + 13

cos3 + 15

cos5 + )

Problema 2

Encontrar la serie de Fourier para la funcin f(t) definida por:

( ) = , < < 0

, < < / 2

SOLUCION:

Y ( + ) = ( ), = 2 /


17/93

Puesto que ( ) = 0 cuando < < 0 , se tiene:

=2

sin ( )/

= 2

( cos ) / 20

= 22

=2

sin ( ) cos ( )

= {sin [(1 + ) ] +sin [(1 ) ]}

Cuando n=1,

= sin (2 )/

= ( 12

cos2 ) / 20

=4

[1cos2 ]

=4

[1 1 ]

= 0

Cuando = 2,3,

= cos [(1 + ) ]

( 1 + ) cos [(1 ) ]

( 1 )/ 20

=2

1cos [(1 + ) ]( 1 + )

+1cos [(1 ) ]

( 1 )

=0,

22

1 + +

21

= 2

( 1 )( + 1 ) ,

Anlogamente:

=2

sin ( ) cos ( )

= {cos[(1 )/

] cos[ (1 + ) ]}

Cuando = 1

=/

cos(2 )

=2

sin2

2/ 20

=2


18/93

Cuando = 2,3,. ,

= sin[ (1 ) ]

( 1 )

sin[ (1 + ) ]( 1 + )

/ 20

=2

sin [(1 ) ] sin0

( 1 )

sin [(1 + ) ] sin0

( 1 + )

= 0

Dnde:

( ) = +2

sin 2

( 11.3

cos2 + 13.5

cos4 +)

Problema 3Desarrollar ( ) = en serie de Fourier.

SOLUCION

Para resolver este problema se usaremos las siguientes identidades

= cos

cos = +

2

sen =

2

Se expresa

sen =

2 =

132

5 + 10 10 + 5

58

sen 516

3 + 116

5

En este caso la serie de Fourier tiene tres trminos solamente.

Problema 4

Sea ( ) una funcin continua y ( ) una funcin continua por tramos en el intervalo / < < / 2 .Multiplicar

( ) = + ( + )

Por ( ), integrar termino por termino y demostrar que


19/93

[ ( )]/

/= + ( + )

SOLUCION

Aplicando:

= 2

( )/

/cos ( ) , = 0,1,2 (1)

= 2

( )/

/sen ( ) , = 0,1,2 (2)

Se obtiene:

[ ( )] = 12

( )

+ ( )/

/cos ( ) + ( )

/

/sen ( )

=14

+ ( + )

De manera:

1[ ( )]

/

/=

14 + ( + )

Problema 5

Se desea determinar la expresin de la seal X(t).se conoce que X(t) es una seal real,peridica con periodo T=4, y que los coeficientes de su representacin serie de Fourier:

= 0 | | > 1 . Se conoce tambin que la seal con coeficientes de Fourier

= / ( ) Es impar, y que | ( )| 2 = 1/ 2

( ) =

= 0 | | > 1


20/93

( ) = = + +

( ) = ( ) = + +

=

( ) = + 2 cos ( )

( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( 1 )

( 1 ) = ( 1 )

+ + =

= 0 ( ) = 22

14

| ( )| =12

2

=12

2 [cos ( ) + 1 ] =

12

2 =12

= 12

( ) = cos2

; ( ) = cos(2

)


21/93

U niversidad N acional Del

allao

Facultad de Ingeniera lctrica

Y lectrnica

PROBLEMAS RESUELTOS

DOCENTE : Ral P. Castro Vidal

TEMA : FUNDAMENTOS DE LA SERIES DE FOURIER

DE SEALES DISCRETASCURSO : Matemtica Avanzada

GRUPO : 04

ALUMNOS :

QUIONES PONTE, Holmedo Bhily. 1123220243 SERVAN FERNADEZ, Marlon Jairo 1123220127 MERA VASQUEZ, Jos Anderson 1123220136 RETIS ESPIRITU, Juan Carlos 1123220662 LIZARRAGA MEZA, Erick 1123220546 PALMA FLORENTINO, Kevin 1123220154 CALIXTO ESTRADA, Juniors 1123210156


22/93

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO INGENIERA ELECTRNICA

2FIEE

2014-A

PROBLEMA 01:

Considerando ahora la figura, hallar la representacin en series de Fourier

Solucin:

INTERVALOS DE LA FUNCION

( ) = , 1 < 1 + 2, 1 3

FORMULAS

( ) = =1

( )

Entonces

=14

+14

( + 2)

= 14

14

+ 12

=1

cos2

+2

sin2

(1 )

=4

sin(2

)


23/93


3FIEE

= 0

( ) = 4

sin2

,

0,

PROBLEMA 02:

Desarrollar en series de Fourier ( ) = , < < , con periodo .

SOLUCIN:

=2

( ) =1

=8

3

=2

( ) cos(2

) =1

cos ( )

Integrando por partes: I

= = 2

= cos( ) =sin( )

=sin( )

2sin( )

II

= =

=sin ( )

= cos( )

= cos ( )

+cos ( )

= cos ( )

+sin( )

=1 sin ( )

+ 2cos ( )

2sin ( ) 2

0 =

4

=2

( ) sin2

=1

sin ( )

= = 2


24/93


4FIEE

= sin ( ) = cos( )

= cos ( )

+ 2cos ( )

cos( ) =

sin( )

=sin( )

sin ( )

=sin ( )

+cos( )

=1

(cos ( )

+ 2sin ( )

+ 2cos( )

) 2

0 =

4

Ahora hallamos :

=12

( ) =12

4+

4=

2 + 2

Hallando :

=12

=4

3

Por lo tanto, tenemos las series de Fourier:

( ) = 4

3 + (

4cos ( )

4sin( ))

En forma compleja:

( ) = 4

3 +

2 + 2

PROBLEMA 3

Consideremos la siguiente seal peridica para =

( ) = ,

,

Calcular su serie discreta de Fourier.

SOLUCIN


25/93


5FIEE

Aplicando la definicin de serie discreta de Fourier, se tiene:

( ) = ( ) = ( ) + ( )

( ) =1

( )

1 =

( ) = sin( 2 )

sin( 10 )

PROBLEMA 4

Determinar la representacin en serie de Fourier discreta de la secuencia:

( ) = +

Solucin:

Tomemos

( ) = + = ( ) + ( ) Donde

( ) = 3 = = 3

( ) =4

= =4

Como /2 =1/6, F (T) es peridica con periodo fundamental N =6 y como /2 =1/8,F (T) es peridica con periodo fundamental N =8. Por lo tanto F(T) es peridica y superiodo fundamental esta dado por el mnimo como un mltiplo de 6 y 8, es decir, N =24y =2 /N = /12. Por la formula de Euler tenemos:

( ) =12

( ) + ( ) +12

( ) ( )

Operando

( ) =12

( ) +12

( ) +12

( ) 12

( )

As que C 3=-j(1/2),C 4=1/2,C -4=C -4+24 =C 20 =1/2,C -3=C -3+24 =C 21 =j(1/2) y para todos los otrosCK=0, por lo tanto la serie de Fourier discreta est dado por F(T) de la siguiente manera:


26/93


6FIEE

( ) = 12

+12

+12

+12

, =12

PROBLEMA 5:

Encontrar la ecuacin de anlisis de la seal con N=8

( ) = + ( )

Solucin:

Pasamos a escribir x(n) con la Ec. De Euler:

( ) = 4 + 3/ /

2 = 4

32

+32

Sabiendo que la ecuacin de anlisis tiene la siguiente forma:

( ) = ( )

Ahora tenemos X(K):

( ) = ( ) , 0 7


27/93

EJERCICIOS1) Hallar la serie de Fourier de la siguiente funcin:

( ) = < 1


44/93

b)

En este caso , la transformada de la ecuacin es, sencillamente

( ) = 4

+ 1( ) = 4 sin( 2 ) ( 2 )

( ) = 040 2

2

La grafica de esta ecuacin de la figura muestra que, como era de esperarse por lascondiciones iniciales, la masa no se mueve sino hasta que se golpe cuando = 2


45/93

EJERCICIOS RESUELTOS

2

2

2 2

2 2 2 2

2

2 ( 2 )

(( ) ( ) ) ( )

_1 :

Calcular la transformada de Fourier de una gausiana

x(t)=e

:

11

2

:

( ) e e e

e e e

t

x

t j ft t j ft

t jf jf t jf f

Pregunta

Nota

e dx

Solucin

X f dt dt

dt dt

2 2

2

2

2 2

( )

2

e e

Aplicando el cambio de variable2

( ) e2

Como el valor de la integral es la unidad,

e e

f t j f

x f

t f

dt

xt j f

dx X f e

_ 2 :

Obtener el modelo matemtico del motor DC controlado por armadura en la Figura

Hallar la funcion de transferencia

Pregunta


46/93

:

( ) ( )...............................................(1)

( ) . .................................(2)

_ _ _ _

( ) ( )................

b b m

aa a a a b

b b m

Solucin

e t K w t

die t R i L e

dt Aplicando la transformada de laplace

E s K W s

.............................(3)( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )[ ( ) ( )]..................(4)

_ _ _ _ :

( ) ................................................

a a a a a b

a a ba a

m i a

E s R I s L sI s E s

I s E s E s R sL

Ahora la ecuacin del Torque

T t K i

....(5)_ _ _ _ :

( ) ( )..............................................(6)

_ _ :

( ) ( )

_ _ _ :

( ) ( ) ( )

m i a

mm m m m

m m m m m

Su Transformada de Laplace es

T s K I s

Se tiene tambien

dwT t B w t J

dt Aplicando transformada de Laplace

T s B W s J sW s

1

( ) ( ) ( )...............................(7)

1( ) ( )[ ( ) ( )].............(8)

_ _ :

( ) ( )

_ _ _ _ :

( ). :

( ) ( )( )

m mm m

m i a ba a

b b m

m i

a m m a a

W s T s J s B

T s K E s E s R sL

Y Tambien tenemos

E s K W s

La funcion de transferencia es

W s K F T

E s J s B R sL

i bK K


47/93

2

/ 22

/ 2

2 / 2 2 / 2

_ 3 :

Calcular la transformada de Fourier de un pulso

( ) sin ( )

:

{ ( )} ( )

sinsin ( )

2

_ , _ 1

j ft

t

T j ft

t T

j fT j fT

Pregunta

t T c Tf

T Solucin

t t F e dt

T T

e dt

e e Tf T c Tf

j f f

En particular si T

:

( ) sin ( )

_ _ _ _ _ _ tan :

t c f

Transformada de Fourier de un pulso rec gular

_ 4 :

Calcular la corriente que circula por el circuito RLC aplicando Laplace

Pregunta


48/93

Voltajes en los componentes:

Resistor: RI

Capacitor: ( ) la ecuacin correspondiente para el voltaje seria

( ) = + +1

( )

( ) = 120 ,0 10, > 1

( ) = 120 120 ( 1)

{ ( )} = {120 120 ( 1)}

{ ( )} = {120 } 120{ ( 1)}

120 120{( 1 + 1) ( 1)}

120

120{( 1) ( 1) + ( 1)}

{ ( )} = 120

120[1

+1

]

{ ( )} = 120

120

120

]

Para el inductor tenemos: = = [ ( )] = ( )

Para la resistencia tenemos: { } = ( )

Y para el capacitor tenemos: { ( ) } = ( )

0.1 ( ) + 20 ( ) + 10

( ) = 120

120

120

( ) = 1200( + 100)

1200( + 100)

1200( + 100)

Hacemos fracciones parciales para: ( ) = ( ) ( ) +

( ) = 3

25( + 100) 12

( + 100) + 325 +

325( + 100) +

12( + 100)

325

+ 1200

( + 100)


49/93

( ) = 325 100 12 +

325 +

325

( ) ( 1) + 12( 1) ( 1) ( )

325 ( 1) 1200( 1)

( ) ( 1)

( ) = 3

25[1 ( 1)]

3

25 ( ) ( 1) 12[

99( 1) ( 1) ( )]

2

/ 22 2

/ 2 / 22

/ 2

_ 5 :

_ _ ( )

:

lim

lim2

lim2

sin( )lim

lim sin( )

_ _ _ exp

j ft

a j ft j ft

a

t t aa j ft

aa

j fa j fa

a

a

a

Pregunta

Demostrar que f e dt

Solucin

e dt e dt

e

j f

e e

j f

fa f

a af

Vemos que puede resar

2

_ _ lim _ __ _ _ _ _ sin . _ tan :

( ) j ft

se como ite de funciones En particular de la funcion c Por to

f e dt


50/93

MATEMATICASAVANZADAS

Escuela: Ing. Electrnica

Profesor: Ral Castro VidalTema: transformada de Fourier

Ciclo: 2014-A

Alumnos:

Diburga Valdivia luz Claudia

Infantes Cayo CorinaMendoza Gutirrez cristina Valeria

Remigio edones Giovanna Evelyn

Prez Espinoza Efran

Mallco pereda Giovanni

Retegui Terrones Rolando Miguel

2014

CORINAToshiba

02/07/2014


51/93

[MATEMATICAS AVANZADAS ] 2 de julio de 2014

C a p

t u l o

: E J E R C I C I O S G R U P O

8

1

EJERCICIOS GRUPO 8

E J E R C I C I O 1 :

Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular( )d P t

de la figura 1 definido por:

11;

2( )1

0;2

d

t d P t

t d

Solucin:De la definicin se tiene:

( ) ( ) ( ) jwt d d F w P t P t e dt

2

2

d

jwt

d

e dt

2

2

1d

jwt

d

e jw

/ 2 / 21 jwd jwd e e jw

22

wd sen

w

2

2

wd sen

d wd

Ejercicio 2:

Hallar la transformada de Fourier de la funcin:

( ) senat

f t

t


52/93


C a p

t u l o


8

2

Del resultado anterior sabemos:

22

( ) wd d p t senw

Segn la propiedad de la simetra de la transformada de Fourier, dada por la teora se tiene:

22 ( )

2 d dt

sen p wt

12 ( )d

sen dt p w

t

...(2)

Como( )d p w

est definida por:

11

2( )1

02

d

para w d p w

para w d

Es una funcin par de w; por consiguiente,

( ) ( )d d p w p w

Haciendo12

d aen (2), obtenemos

2 ( )asenat

p wt

Dnde:

2 1( ) 0a para w a p w para w a

Las grficas de( ) at f t sen t y su transformada,

( )F wse muestran en las figuras:

Ejercicio 3:

Hallar la transformada de Fourier de la funcin coseno de duracin finita a .


53/93


54/93


C a p

t u l o


8

4

Ejercicio 4:

Encuentre la transformada de Fourier de un pulso nico rectangular de amplitud y una alturaA, que se muestra en la figura:

Solucion:

( )

= = /2

/2

=2

/

/

2

/2/2

=2

Si se hace que y , entonces:

( )

= 20Cuyo espectro de amplitud se muestra en la siguiente figura:

Ejercicio 5:

Obtenga la transformada de Fourier de la funcin exponencial, que se muestra en la figura:


55/93


C a p

t u l o


8

5

Solucion:

( )

=

( )

= , > 00, < 0

De esta forma:

( )

= ( ) =

( )

= 1+

( )

0

( )

=1

+Ejercicio 6La temperatura constante de una placa semi-infinita est determinada por:

2 2

2 2 0u u

x y

0 x

,0 y

(0,y) 0u u( , y) e y ,

0 y

0

0 y

u y 0 x

, encontrar el valor de(x, y)u

.

SOLUCIN:


56/93


C a p

t u l o


8

6

El dominio de la variable y la condicin en0 y

indican que se puede aplicar la transformadade Fourier coseno al este problema.

Definimos:

0{u(x,y)} (x,y)cos y.dy U(x,y)c f u

En vista de:2 2

2 2 {0}c c cu u

f f f x y

Se convierte en:2

22 (x, ) u (x, 0) 0 y

d U U

dx

O:2

22 (x, ) u (x, 0) 0 y

d U U

dx

Puesto que el dominio de x es un intervalo finitooptamos por escribir la solucin de la ecuacindiferencial ordinaria como:

1 2(x, ) C cosh C senhU c x x (1)

Ahora se convierte en:

{u(0, y)} {0}c c f f y

{u( , y)} {e } yc c f f

Son a la vez equivalentes a:

(0, ) 0U y

2

1( , )

1U

Cuando aplicamos esta ultima condicin, la solucin (1) nos da:

1C 0y

22C 1 (1 ) senh


57/93


C a p

t u l o


8

7

Por lo tanto :

2(x, ) (1 ) senhsenh x

U

De modo que apartir de:

1

0

2{F( )} ( ) cosc f F yd

Llegamos a:

20

2(x, y) cos

(1 ) senhsenh x

U yd


58/93

G R U P O 9

T E M A D E E X P O S I C I N : T R A N S F OR M A D A

D I S C RE TA D E F O U R I E R

I N T E G R A N T E S :

M A L L Q U I B A L L A RTA C H RI ST I A N 1 0 0 7 3 8 B

G O M E Z V E G A E RI C K 1 0 2 3 2 1 0 0 8 7

C H U Q U I YA U R I J U S T O E DW I N 1 0 0 7 2 7 K


59/93

Tr a n s f o r m a d a Di s c r e t a d e Fo u r i e r.

EJEMPLO (1)1. Convolucin circular y lineal.1. Para las secuencias x[n] y h[n]1.1. Determinar las Transformadas Discretas de Fourier de las secuencias.1.2. Obtener la convolucin circular.

1.3. Calcular la longitud de la convolucin lineal de las secuencias.1.4. Obtener las secuencias modificadas para calcular la convolucin lineal.1.5. Calcular las Transformadas Discretas de Fourier de las secuencias modificadas.1.6. Obtener la convolucin lineal.

[ ] = {1;1:0}[ ] = {1;0:12}

solucin:Solucin:1.1. La Transformada Discreta de Fourier de las secuencias es:

[ ] [ ] = 1 + = 2;12 32 ;12 + 32[ ] [ ] = 1 +1

2 = 3

2;34 3

4 ;34 3

4

1.2. El producto de las dos transformadas es:

[ ] = [ ] [ ] = 1 + 1 + 12 = 32 + + 12 = 3;34 34 ;34 + 34antitransformando, por la propiedad de convolucin circular

[ ] = [ ] [ ] = 13 [ ] = {32;1;12}

1.3. La longitud de la convolucin lineal de las secuencias es

{ [ ][ ]} = { [ ]} + [ ]} 11.4. Las secuencias deben modificarse agregando tantos ceros como sea necesario paraque su longitud concuerde con la de la convolucin lineal:

[ ] = {1;1;0;0;0}[ ] = 1;0;12;0;0

1.5. La Transformada Discreta de Fourier de las secuencias modificadas es

[ ] = [ ] = 1+= 1;1+ 12 ;1+ 12 ;1 + 12 ;1 + 12

[ ] = [ ] = 1+ 12= 1;1+ 12 ;1+ 12 ;1 + 12 ;1 + 12


60/93

1.6. El producto de las transformadas es

[ ] = [ ] [ ] = 1+ 25 1+12 45 =1+ 25 +12 45 +12 65antitransformando, se obtiene la convolucin circular de las secuencias modificadas, que esigual a la convolucin lineal de las secuencias originales

[ ] = [ ][ ] = [ ] [ ]15 [ ] = {1;112;12;0}2. Solapamiento en el tiempo.2. Considerar la secuencia temporal x[n]=0.5 nu[n].2.1. Determinar ( )2.2. Determinar la secuencia X[k] ( )| =2 k/4 para k=0;1;2;3.2.3. Si la secuencia obtenida en el punto anterior fueran los coeficientes de unaTransformada Discreta de Fourier, determinar la secuencia temporal que se deriva dedicha secuencia.2.4. Comparar la secuencia obtenida con x[n] y justifique el resultado

solucin:

2.1. La transformada de Fourier de tiempo discreto es:

( ) = 222.2. La secuencia obtenida para w=2k/4 con k=0;1;2;3 es:

[ ] = 22 , : = 24 , :[0] = 2; [1] = 2

2+ ; [2] = 2

3; [3] = 2

22.3. La secuencia temporal que generara X[k]es:[ ] = 14 22 , : [ ] =

1615; [ ] = 815; [ ] = 415; [ ] = 215

2.4. La transformada inversa de X[k]es diferente de X[n] porque existe solapamiento a niveltemporal ya que X[n]es diferente para n>N.

[ ] = [ ]1 (12) , [ ].


61/93

PROBLEMA: CALCULAR LA TDF XN

= [ ]

= [3] ( ) + [2] ( ) + [2] ( ) + [3] ( )= 1 + 1 + 1 ( ) +1 ( )= cos(3 ) + (3 ) + cos(2 )+ (2 )+ cos(2 )+ (2 ) (cos(3 )+ (3 )

= cos(3 )+ (3 )+ cos(2 ) + (2 ) + cos(2 ) (2 ) cos(3 )+ (3 )

= 2cos(2 ) + 2 (3 ) = ( )= 4cos (2 ) + 4 (2 )= 2

+

2 + 2

+

2

= + +

( ) = arctan ( )

( ) 2

= 4cos (2 ) + 4 (2 )


62/93

( )

arctan (3 )

cos(2 ) .. = 4 +2 ;

2 .. = 4 +2 ;

2

.. = 4

+2 ;


63/93

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONVOLUCIN Y TRANSFORMADA DEFOURIER DE LA CONVOLUCIN (GRUPO 10)

Problema 01: Obtener la convolucin f * g de las funciones ( ) t f t e y

( ) t g t e

, constante.

Solucin:

( ) ( 1)

0 0 0

( )* ( ) ( ) ( )t t t

u t u t u f t g t f u g t u du e e du e e du

= ( 1) ( 1)0

11 1

t t u t t e e e e

= , 11

t t e e si

si 1 ,tenemos:

( )

0 0 0 0

( )* ( ) ( ) ( )t t t t

u t u u t u t t f t g t f u g t u du e e du e e e du e du te

De esta forma:

, si 1;( )* ( ) 1

, si 1.

t t

t

e e f t g t

te

Problema 02: Considrese un sistema lineal e invariante en el tiempocaracterizado por la respuesta al impulso ( )h t de la figura.

Solucin:

( ) 4 ( 1) 4 ( 3)

( ) 2 ( 1) 2 ( 2)

h t u t u t

x t u t u t

Se aplica la propiedad distributiva de la

convolucin con respecto a la adicin.

De manera similar se muestra en lafigura, la entrada ( ) x t que se desea

aplicar al sistema LTI. Determinar lasalida resultante.


64/93

( ) ( )* ( ) y t x t h t

2 ( 1) 2 ( 2) * 4 ( 1) 4 ( 3)

2 ( 1) * 4 ( 1) 2 ( 1) * 4 ( 3) 2 ( 2) * 4 ( 1) 2 ( 2) * 4 ( 3)

u t u t u t u t

u t u t u t u t u t u t u t u t

Se convolucionan las funciones singulares y por ltimo se simplifica como se muestra:

( ) ( ) * ( )

8 ( 1 1) 8 ( 1 3)

8 ( 2 1) 8 ( 2 3)

8 ( ) 8 ( 2) 8 ( 3) 8 ( 5)

y t x t h t

r t r t

r t r t

r t r t r t r t

El resultado se muestra en la siguiente grafica

Problema 03: Tmese en consideracin la seal ilustrada en la figura ( ) f t ,hllese lafuncin de autocorrelacin.

Solucin:

La funcin de autocorrelacion ( ) f R de la funcin ( ) f t se puede calcular por medio de la

convolucion de f con el conjugado de su versin reflejada tal, y como se muestra:

( ) ( ) * * ( ) f R f f


65/93

La representacin de ( ) f t en funciones singulares es la siguiente:

( ) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 1) ( 1) 2 ( 1) f t u t r t r t r t u t

En la figura anterior se muestra la versin reflejada de ( ) f t , se puede observar larepresentacin en funciones singulares de ( ) f t :

( ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 2) 2 ( 2) f t u t r t r t r t u t

La funcin de autocorrelacin se calcula a continuacin. El cambio de variable es unformalismo fundamentado en el hecho que la funcin no representa una seal.

( ) ( )* *( )

2 ( 2) 2 ( 2) ( 1) ( 1) 2 ( 1) *

2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 2) 2 ( 2)

f R f f

u r r r u

u r r r u

Despus de aplicar la propiedad distributiva de la convolucin, con respecto a la adicin seobtiene:

( ) ( ) * *( )

4 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1) 4 ( ) 4 ( )

4 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1) 4 ( ) 4 ( )

2 ( 2) ( 2) ( ) 2 ( 1) 2 ( 1)

2 ( ) ( ) ( 2) 2 ( 3) 2 ( 3)

4 ( ) 2 ( ) 2 ( 2) 4 ( 3) 4 ( 3)

f R f f

r p p p r

p c c c p

p c c c p

p c c c p

r p p p r


66/93

Problema 04: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

0

0 ,2( )

cos( ) , 2

T t

f t T

t t

Solucin:

Podemos hacerlo aplicando la definicin:

0 02 2

0

2 2

cos( )2

T T

i t i t i t i t

T T

e e f t dt e dt e

0 0( ) ( ) 2

0 02

1( )

2

T i t i t

T

ie ie f

0 00 0

1 ( 2 ) ( 2 )( ) ( ) ( )

2 2 2i i T i i T

f sen sen

0 0

0 0

( ) ( )2 2

( )2

2 2

T T sen sen

T f

T T

Pero, tambin podemos usar:

f hg h g

0 ,2( )

1 ,

2

T t

h t T

t

2( )

2

T sen

h T T

0cos( )g t t 0 0

( ) ( ) ( )2

g

0

0 ,2( )

cos( ) ,2

T t

f t T

t t

( ) ( ) f t h t g t


67/93

f hg h g

1

( ) ( ) ( )2

i t h g h t g t dt e

0 0'

1 2 ( ) ( ') ( ') ' ( ' ) ( ' ) '

22 '2

T sen

h g h g d T d T

0 0

0 0

( ) ( )1 2 2 ( ) ( )( )

222 2

T T sen sen

T f h g

T T

Problema 05: Calcular la transformada de Fourier del producto de convolucin de lassiguientes funciones:

0 ,2( )

1 ,2

a bt

f t a b

t

Solucin:

1( ) ( ) ( )2

f g t f u g t u du

( ) ( ) ( ) ( )2 2

a b a b f g t f u t u t u du

( ) ( ) ( )2 2

a b a b f g t f t f t

Es decir que el producto de convolucin de f(t) y g(t) son dos funciones pulso de anchura a-b

centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya grfica es la siguiente:

0

1

-a -b b a0

( ) 22 2

a b a bg t t t


68/93

Y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:

2 ( ) 2 ( )

2 2

a sen a b sen ba b

Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del producto de convolucin def(t) y g(t) es usar el teorema de convolucin, segn el cul, la transformada de Fourier delproducto de convolucin de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourierrespectivas de f(t) y g(t):

. .

0 , ( )2 2( ) ( )

21 ,22

F T

a b a bt sena b f t f

a ba bt

Calculamos la transformada de Fourier de g(t):

1 ( )2

i t g g t dt e

1 22 22

i t a b a bg t t dt e

2 2 2cos2

a b a bi i a b

g e e

( )

2 ( ) 2 cos22

2

a bsena b a b

f ga b

2 1

( ) 2 ( ) cos2 2

a b a b f g sen

2 1

( ) ( ) f g sen a sen b

Que coincide con la transformada que habamos calculado del otro modo.


69/93

Ejercicio 1. Resuelva el problema de interpolacin trigonomtrica compleja en[0,2] para el vector y = (1,2,3,4) y compruebe grcamente que la parte real delcorrespondiente "polinomio" de interpolacin complejo interpola los pares

Qu pares interpola la parte imaginaria?

Solucin.y=1:4;beta=fft(y);t=0:0.001:2*pi;fun=zeros(1,length(t));for k=1:4fun=fun+beta(k)*exp((k-1)*t*i);endfun=0.25*fun;

plot(t,real(fun))hold onplot(0:pi/2:3*pi/2,1:4, 'or' )hold offshgpauseplot(t,imag(fun))hold onplot(0:pi/2:3*pi/2,zeros(1,4), 'or' )hold offshg


70/93


71/93

f (t) = 0 .5 + 2sen(2 f 1t) + cos(2 f 2t), f 1 = 3 .125 Hz, f 2 = 6 .25 Hz.

Con la muestra de 64 puntos equiespaciados obtenida en el ejercicio anterior,realice un periodograma (grfica de amplitud frente a frecuencia) delcorrespondiente polinomio de interpolacin trigonomtrico. Compruebe la exactitud

del anlisis espectral, es decir, que en la seal reconstruida aparecen las mismasfrecuencias que en la original.

Solucin.function barfou(x,v)N=length(x);M=N/2;beta=fft(x);beta(1)=beta(1)/2;beta(M+1)=beta(M+1)/2;beta=(2/N)*beta;beta=beta(v);bar(real(beta), 'b' );hold onbar(imag(-beta), 'r' );hold offshg

Ejercicio 4. Determine la transformada discreta/rpida de Fourier de 512 puntosmuestreados sobre un periodo de un segundo y procedentes de la seal

f (t) = sen(2 f 1t) + 2sen(2 f 2t),

Donde f 1 = 30 Hz y f 2 = 400 Hz . Describa el fenmeno de aliasing que aparece ycomo lo podra solventar.

Solucin.(Grfica de la seal original)t=0:0.001:1;f1=30;f2=400;y=sin(2*pi*f1*t)+2*cos(2*pi*f2*t);plot(t,y)

Nota: La frecuencia de 400 Hz hace que la visualizacin en el tiempo sea confusa.(Obtencin de la muestra: 512 puntos)t=0:1/512:1;t=t(1:512);m=sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t);(Anlisis espectral)barfou(m,1:206)

Nota: A tenor del anlisis espectral, la seal reconstruida esg(t) = sen(2 f 1t) 2sen(2 g2t), con g2 = 212 .


72/93

Hay un fenmeno de aliasing debido a un muestreo lento. Para solventar elproblema basta muestrear con 802 puntos puesto que la frecuencia ms alta es de400 Hz.

Ejemplo 5. Obtenga el espectro de frecuencias de una seal de ECG que ha sido

muestreada a una tasa de 250 muestras por segundo. Para ello, implementeun programa en Matlab y utilice para el clculo de la DFT la funcin FFT para 512puntos. Grafique la funcin de ECG en el tiempo y su correspondiente espectro, en HZ.

Solucin.Utilizando la funcin espectro se obtiene la seal en el tiempo y su espectrode frecuencias, como se ilustra en las Figura 6.24.

function espectro(x,Np,fm);% x --- seal discreta de entrada% Np --- nmero de puntos de la DFT% fm --- frecuencia de muestreo

L=length(x); % Longitud de la sealTm=(1/fm); % Tiempo de muestreoMp=ceil(Np/2); % Mitad de puntos de la FFTwd=0:2*pi/Np:2*pi*(Np-1)/Np; % Vector de Frec. discretawdo=zeros(1,Np); % Vector de Frec. disc. org.fc=zeros(1,Np); % Vector de Frec. cont. Hzz=abs(fft(x,Np)); % Magnitud de FFT de la sealzo=zeros(1,Np); % Vector para reorganizar laFFTt=0:Tm:Tm*(L-1); % Vector de tiempo

% Reorganizacin de frecuenciaswdo(Np-Mp+1:end)=wd(1:Mp);wdo(1:Np-Mp)=wd(Mp+1:end)-2*pi;

% Frecuencia continua en Hzfc=wdo/(2*pi*Tm);

% Reorganizacin de la FFTzo(Np-Mp+1:end)=z(1:Mp);

zo(1:Np-Mp)=z(Mp+1:end);

% Visualizacinplot(t,x);title( 'Seales de ECG' );xlabel( 'Tiempo (seg)' );figure;plot(wdo,zo);


73/93

title( 'Magnitud de la DFT' )xlabel( 'Frecuencia discreta (rad)' )figure;plot(fc,zo);title( 'Magnitud de la DFT' )xlabel( 'Frecuencia (Hz)' )


74/93

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADADE FOURIER: Ejercicios Resueltos

MATEMATICAS AVANZADAS

INTRODUCCION:

El siguiente documento contiene una serie de ejercicios donde se aplica la

transformada de Fourier a la solucin de ejercicios que podran plantearseen algunas aplicaciones de compresin


75/93

1

GRUPO DE TRABAJO DE MATEMATICA

GRUPO NUMERO 12

Avalos Tovar Vctor Manuel 100710K coordinador

Guzman Alvitrez Cesar Augusto 090609K

Callado Acosta Angel Jorge 112322065

Ponte Izaguirre Omar Masias 100684J

APLICAR LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

I. Calcular la transformada de Fourier de un pulso:

( ) ( )

Solucin:

1 = 1

= 1/

/

/ / 2 =

sin= ( )

En particular, si = 1:

( ) ( )

La figura siguiente ilustra esta transformada.


76/93

2

II. Calcular la transformada de Fourier de una

gaussiana: ( ) = 2

Nota:

1 2

= 1

Solucin:

( ) = 2 2 = ( 2+ 2 )

= (( ) ( ) ) = ( ) = ( )


77/93

3

Aplicando el cambio de variable + = ,

( ) = 2

2 2

Como el valor de la integral es la unidad,

< >III. Calcular la transformada de Fourier de las

siguientes seales peridicas:

a.

( ) = | . ( )|

solucin:


78/93

4

= 2 ( ) dt = 22 dt

= 4( ) dt ( ) dt

= 4

( )

(1 n) 0 +( )

(1 + n) 0

= 4

( ) 1(1 n) +

( ) + 1(1 + n)

( ) = 2

( ) 1(1 n) +

( ) + 1(1 + n)

( ) = 2

( ) 1(1 n) +

( ) + 1(1 + n) ( )

b.

( ) = (200 )


79/93

5

Solucin:

= 1

( )/

/

dt = 14 dt =

14 i

11 =

14

i

= 12

Sen( )

( ) = 2 Sen( )

( ) = ( ) = 2 Sen( )

( )

( ) = ( ) + ( )

2

( ) = Sen( ) ( 200 ) +

Sen( ) ( + 200 )


80/93

6

(0) = . (5 )

IV. usando la transformada de Fourier hacer las

siguientes integralesa.

F(0) = (1 t ) e dt

Solucin:

F(w) = f(t)e dt F(0) = f(t)dt

f (t ) = (1 2t + t )e dt = e dt 2 e . t dt + e . t dt

f (t ) = e 1 w

2 w

8 con w = 0 f (t ) =

b.

(0) = . (5 )

Solucin:

F(w) = f(t)e dt F(0) = f(t)dt

f (t ) = 12 e (1 + cos(10t))dt = e dt + e . cos(10t)dt


81/93

7

F e = e con w = 0 F e =

f (t ) = + e + e

2

V. Desarrollar la siguiente funcin: ( ) =en serie de Fourier.

Solucin:

Se usaran las siguientes identidades: = cos

cos = +

2

sen =

2

La funcin quedara expresada as:

sen =

2

= 132 5 + 10 10 + 5

58 sen

516 3 +

116 5


82/93

8


83/93

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e l C a l l a o F I E E 2 0 1 4 A

2014

Algoritmos en elTratamiento de Seales

Grupo G14: PROBLEMAS RESUELTOS:

Alvarez Huertas, Elvis

Arrieta Caballero, Gerardo

Bardales Cceres, Stephen

Boceta Rodriguez, Giuseppe

Rodriguez Lengua, Paulo

Matemtica Avanzada


84/93

Algoritmos en el Tratamiento de Seales

Algoritmos en el Tratamiento de SealesProblemas Resueltos:

Seales Analgicas, Seales Discretas y Teorema de Muestreo:1) Se tiene la siguiente seal analgica:

( ) = ( ) + ( ) + ( )Responder:a) Cul es la frecuencia de Nyquist para analizar la seal? b) Si usamos una frecuencia de muestreo de 5ksps. Cmo ser la seal discreta despusdel muestreo? c) Cul ser la seal de salida si reconstruimos la seal usando la interpolacin ideal?

Solucin:( ) = 3 (2000 ) + 5 sin (6000 ) + 10 (12000 )( ) = 3 (2 1000 ) + 5 sin (2 3000 ) + 10 (2 6000 )

La seal est compuesta por frecuencias de:

= 1 , = 3 , = 6

a) Debido a que la frecuencia mxima de la seal es de 6kHz, la frecuencia de muestreo

> 2 6 = 12 , entonces tenemos que:= 12

b) Al usar una frecuencia de muestreo de 5ksps, es decir: = 5 , la mxima frecuencia quese puede representar con dicho muestreo ser = 2.5 . El resto de seales que nocumplan con el criterio de Nyquist sern sujetas al efecto de aliasing, de la siguiente manera:

( ) ( ) = = 3 2000 + 5 sin 6000 + 10 12000

( ) = 3 20005000

+ 5 sin 60005000

+ 10 120005000

( ) = 3 2 5 + 5 sin 2 35 + 10 2

65

( ) = 3 (2 0.2 ) + 5 sin (2 0.6 ) + 10 (2 1.2 )

Ahora debido a que los trminos con mayor frecuencia que 2.5kHz muestran que f de lasinusoidal discreta 0.5 0.5 , como en:

( ) = 3 (2 0.2 ) + 5 sin 2 0.6 + 10 2 1.2Debemos usar la propiedad de las seales sinusoidales discretas para llevarlo a dicho rango:cos ( + ) = cos ([ + 2 ] + )Entonces tendremos:

( ) = 3 (2 0.2 ) + 5 sin (2 [1 0.4] ) + 10 (2 [1 + 0.2] )( ) = 3 (2 0.2 ) 5 sin (2 0.4 ) + 10 (2 0.2 )


85/93


( ) = 13 (2 0.2 ) 5 sin (2 0.4 )

c) Al reconstruir la seal muestreada a 5ksps, usando un DAC ideal, solo basta reemplazar= :

( ) = 13 (2 0.2[ ] ) 5 sin (2 0.4[ ] )( ) = 13 (2 0.2[5000 ] ) 5 sin (2 0.4[5000 ] )( ) = 13 (2 1000 ] ) 5 sin (2 2000 ] )( ) = 13 (2000 ] ) 5 sin (4000 ] )

Dicho resultado difiere enormemente de la seal original.

Periodicidad de Seales Discretas:2) Determinar si las siguientes funciones discretas son peridicas y si lo son, hallar su

periodo fundamental:

a) ( ) = ( . )b) ( ) = ( )c) ( ) = ( / ) ( / )d) ( ) = ( / ) ( / ) + ( / + / )

Solucin:El periodo fundamental N es el mnimo valor que cumple la ecuacin:

( + ) = ( )

a) ( ) = cos (0.01 )

( ) = cos2

200 , =

1200

( ) = cos2

200 = cos

2200

[ + ]

( ) = cos2

200 = cos

2200

+2

200Debido a que se trata de una seal sinusoidal de periodo 2 .

2 = 2200

, =200

, = 200Dicha seal si es peridica dado que con el valor N=200, k=1 y se vuelve un nmero enterode manera que cumple con el periodo 2 para el coseno.

b) ( ) = sen (3 )

( ) = sen 23

2 , =

32

( ) = sen (2 ) = sen (2 [ + ])( ) = sen (2 ) = sen (2 + 2 )


86/93


Debido a que se trata de una seal sinusoidal de periodo 2.

2 = 2 , = , = ,3

2 =

En este caso, dicha seal discreta no es peridica debido a que no hay forma de que losvalores k y N sean enteros y la razn entre ambos nmeros enteros tengan como resultado

.

c) ( ) = cos(n/8)sin ( /8 )De la experiencia de los ejercicios anteriores podemos concluir que cos(n/8) no es una funcinperidica ya que su frecuencia no es un nmero racional =En el caso de la funcin sin ( /8 ) que compone la seal, si es peridica debido a que:

= = de la cual se puede concluir que N=16.Sin embargo el producto de una funcin peridica con una no-peridica resultar en una funcin no-peridica.

( ) = cos(n/8)sin ( /8 ) Es no-peridica.

d) ( ) = sin ( /2 ) sin( /8) + 3cos( /4 + /3)La funcin est compuesta por:

=14

, =1

16, =

18

La suma de estas funciones peridicas har que ( ) tambin sea una funcin peridica. Elperiodo fundamental ser 16, debido a que es el mnimo valor de periodo comn para todas lasseales.

Sistemas discretos LTI en ecuaciones en diferencias:3) Determinar la respuesta del sistema:

( ) = . ( ) . ( ) + ( ) + ( ) Ante una entrada de ( ) = ( ) .

Solucin:( ) = 0.7 ( 1 ) 0.12 ( 2 ) + ( 1 ) + ( 2)

Escribiremos la funcin discreta en forma de su transformada Z.

( ) = 0.7 ( ) 0.12 ( ) + ( ) + ( ) ( ) 0.7 ( ) + 0.12 ( ) = ( ) + ( ) ( )( 1 0.7 + 0.12 ) = ( ) ( + )

( ) =( + )

(1 0.7 + 0.12 )

( )


87/93


Sabiendo que ( ) = ( ) , entonces tendremos que ( ) = ( [ ( ) ])

.

( ) =

11

( ) = 1 = ( 1 ) ( )( )

( 1 )

( ) =( 1 )

=(1 )

Reemplazando ( ) en el sistema LTI.

( ) =( + )

(1 0.7 + 0.12 ) (1 )El polinomio (1 0.7 + 0.12 )se puede expresar como:(1 0.7 + 0.12 ) = ( 0.3)( 0.4)(1 0.7 + 0.12 ) = (0.3 )(0.4 )

(1 0.7 + 0.12 ) = 0.3 1 .

0.4 1 .

(1 0.7 + 0.12 ) = 0.12 1 0.3

1 0.4

( ) =1

0.12+

1 0.3 1 0.4 (1 )

( ) =1

0.12+

1 103 1 52 (1 )

( ) =1

0.12+

1031 52

1 ( 1 ) 1

( ) =1

0.12+

103 52 ( 1 )

( )=

10.12

1 +

103 52 ( 1 )

1 +

103 52 ( 1 )

=( 1 )

+( 1 )

+ 103

+ 52


88/93


Multiplicando la expresin por y haciendo =

1 +

52 ( 1 )=

10

3( 1 ) + 10

3( 1 ) + + 10

3 52

1 + 103103

52 (

103 1)

= =234245

Multiplicando la expresin por y haciendo =

1 + 103 ( 1)

= 52

( 1 ) +

52

( 1 ) +

52

103

+

1 + 5252

103

52 1

= = 2815

Multiplicando la expresin por ( 1 ) y haciendo z=1.( 1 + )

103 52

= + ( 1) +( 1 )

103+

( 1 )

52(1 + 1 )

1 103 1 52

= =47

El ltimo trmino de la expresin se puede hallar diferenciando la expresin respecto a z yhaciendo z =1.

(1 + )

103 52 = +

[ ( 1 )]+

( 1 )

103 +

( 1 )

52

(1 + )

356 +253 = 0 + + 0 + 0


89/93


356 +253 2

356

356 +253

= 356 +

253 2

356

356 +253

=1 356 +

253 2

356

1 356 +253

=88

147Finalmente la expresin se convierte en:

( )=

( ) +

( )+

Regresando a la funcin Y(z):

( )=

10.12

1 +

103 52 ( 1 )

( )=

10.12

47

1( 1 )

+88

1471

( 1 )+

234245

1

103

2815

1

52( ) = 4.76 1

( 1 ) + 4.99 1

( 1 )+ 7.96 1

103

15.56 1 52

( )= 4.76

( )+ 4.99

( )+ 7.96 15.56

( ) = 4.76( )

+ 4.99( )

+ 7.96 15.56

Para encontrar la respuesta en tiempo discreto y(n) aplicamos la transformada inversa de Z.

( ) = 4.76 [ ( ) ] + 4.99 [ ( ) ] + .

.

( ) = 4.76 [ ( ) ] + 4.99 [ ( ) ] + 2.38103

( ) 6.2252

( )

( ) = 4.76 + 4.99 + 2.38103

6.2252

( )


90/93


91/93


En la grfica de MATLAB, muestra la amplitud del filtro respecto a la frecuencia en la partesuperior y la fase del filtro respecto a la frecuencia en la parte inferior. Podemos concluirque se trata de un filtro pasa-bajo ya que para los valores de w que tienden a infinito (altasfrecuencias), la amplitud del filtro decrece.

5) Determinar la frecuencia de corte y la respuesta en frecuencia del siguiente filtro digital de Butterworth de primer orden si este es implementado en un procesador con frecuenciade muestreo de 10kHz.

( ) . ( ) = . ( ) + . ( )

Solucin:La resolucin de este ejercicio es similar al anterior con la excepcin de que se debe calcularla frecuencia de corte del filtro, este valor depende de la frecuencia de muestreo que usa elconversor anlogo-digital en el procesador.

( ) 0.5 ( 1 ) = 0.25 ( ) + 0.25 ( 1) 0.5 = 0.25 + 0.25 ( )1 0.5 = 0.25 + 0.25

( ) =

0.25 + 0.251 0.5

= 0.251 +

10 .5


92/93


Para calcular la frecuencia de corte en el dominio de debemos encontrar un valor deeste dominio que tenga la salida del filtro en -3dB.

3 = 10 log0.5 =

0.5 = 0.25 1 +10.5

2 = 1 + cos ( ) ( )

1 0.5cos ( ) + 0.5 ( )

2 = 1+cos ( ) +2cos ( ) + ( )

1 + 0.25cos ( ) cos( ) + 0.25 ( )

2 = 2+2cos ( )

1.25 cos( )=

2 1 + cos ( )

1.25 cos( )

2 = 1+cos ( )

1.25 cos( ) 2 =

1 + cos ( )1.25 cos( )

2.5 2cos( ) = 1 + cos ( )1.5 = 3cos ( )0.5 = cos ( )

= arccos(0.5)

=3

La frecuencia de corte obtenida es pero pertenece al dominio de las frecuencias

complejas en rads/muestras. Para obtener la frecuencia de corte medida en Hz debemosusar la frecuencia de muestreo.

=

Donde:: Frecuencia angular en el dominio discreto (rad/muestra)

: Frecuencia angular en el dominio continuo (rad)

: Frecuencia de muestreo

=

3

=2

16

= =6

=10000

6= 1666.667 1.6

Podemos usar MATLAB para comprobar dichos resultados:


93/93


Al igual que en el ejercicio anterior conviene expresar el filtro en su forma de latransformada Z.

= 0.25 1 +1 0.5 ( ) =

0.25+0.251 0.5

Cdigo en MATLAB:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Respuesta en frecuencia del filtro Butterworth%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H(z) = [0.25 + 0.25(z^-1)]/[1-0.5(z^-1)];

%1) Almacenar los coeficientes en dos vectoresnumerador = [0.25 0.25]; %estos son los coeficientes del numeradordenominador = [1 -0.5]; %estos son los coeficientes del denominador

%2) Usar la funcin freqzfreqz(numerador, denominador)

ejercicios mate avanzada

Documents