APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA ECONOMIA

CURSO: MATEMATICA IV PROFESOR:HENRY CARRETERO

ROJAS ALUMNO: CARLOS CABALLERO

CASTILLO CODIGO:2012022716

Problema 1.

La demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por D= -2p(t) + 3p’(t) + 48 y S=p(t) + 4p’(t) + 30,respectivamente. Si en t = 0 el precio es de 10 unidades, encuentre:

a. El precio para cualquier tiempo t > 0b. Si hay estabilidad o inestabilidad de precio

a. Aplicado el principio económico de la oferta y la demanda:

(

Aplicando la condición inicial:

Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma que es el precio en cualquier tiempo t:

b. Nos damos cuenta que si entonces habrá una estabilidad en los precios y como entonces los precios son estables

Problema 2.Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precio p, por S = 60 + 2p y D = 120 – 3p, la constante de proporcionalidad es Determinar el precio en cualquier instante de tiempo t > 0 si cuando t = 0, p = 8Solución:La ecuación diferencial se expresa de la forma:

Aplicando la condición inicial

Finalmente la ecuación queda de la forma:

Que es precio de cualquier tiempo

12

8El precio es estable

y el precio de equilibrioes 12

Problema 3.La oferta y la demanda de un bien están dadas en limites de unidades respectivamente por:

En t = 0 el precio del bien es 5 unidades

a. Encontrar el precio en cualquier tiempo superiorb. Determinar si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.

Solución:a. Aplicando el principio económico de la

oferta y la demanda:

Aplicando la condición inicial

La ecuación queda de la siguiente forma en cualquier tiempo t:

b. Nos damos cuenta que si ( entonces habrá una estabilidad en los precios y como ( , los precios si son estables, el precio de equilibrio es 20

Problema 4.Para proteger sus ganancias, un productor decide que la taza a la cual incrementan sus precios, debe ser numéricamente igual a la oferta y la demanda están dadas en función del precio por:

Y que cuando el tiempo es t = 0, encuentre el precio en cualquier tiempo “t”

Solución:Cuando se desarrolla la teoría de los inventarios:

Donde

Desarrollando la ecuación diferencial:

Aplicando la condición inicial

El precio en cualquier instante de tiempo que de la forma:

Problema 5.La oferta y la demanda de un cierto producto están dadas en límites de unidades por:

En t = 0 el precio del bien es 12 unidades, encuentre:a. El precio en cualquier tiempo posterior b. Determine si hay estabilidad en el

precio y el precio de equilibrio si existiese.

Solución:a. Aplicando el principio de la oferta y la

demanda:

Tenemos que:

Aplicando la condición inicial

La ecuación queda: (que es el precio para cualquier tiempo t)

b. Nos damos cuenta que si ( entonces habrá una estabilidad en los precios y como ( , los precios si son estables, y cuando aplicamos límite ese es el precio de equilibrio = 16

PROBLEMA 6 La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de

unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

Solución:  El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la

demanda, esto es, 48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18 Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p =

10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto

tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades

PROBLEMA 7 Suponga que la oferta y la demanda están dadas en

términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0

solución:  De la formula dp/dt = - dq/dt la ecuación diferencial

requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240

resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ce

usando p = 8 en t = 0 da c = - 4 y así p = 12 - 4e

PROBLEMA 8 Un fabricante de mesas estima que los

mayoristas compraran q de mesas cuando el precio sea

p= d(p)=131-1/3 q^2

dólares por mesa, el mismo número de mesas se ofertarán cuando el precio sea

p=s(q)=50 +2/3 q^2 dólares por mesa.

Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar el punto de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones

131-1/3 q^2 =50+2/3 q^2 q=9 y p=104