ejercicios ing sistemas e industrial - 2012-1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA

ÁLGEBRA LINEAL (1000003) PARA EL(LOS) PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INDUSTRIAL

Realizados por:

Sebastián Alarcón Ramos 257902 Estudiante de Ingeniería de Sistemas.

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá

Primer semestre de 2012

1. Método Gráfico – Programación Lineal. Objetivos:

Familiarizar al estudiante con el uso del álgebra lineal en la investigación operativa para maximizar y minimizar funciones

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Investigación de Operaciones, Álgebra lineal.

a. Optimización de producción en Telas Lafayette La fábrica de telas Lafayette requiere fabricar dos telas de calidad diferente T1 y T2; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T1 diariamente se necesitan 125 gr de hilo a, 150 gr de hilo b y 72 gr de hilo c; para producir un metro de T2 por día se necesitan 200 gr de hilo a, 100 gr de hilo b y 27 gr de hilo c. T1 se vende a $4000 el metro y T2 se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T1 y T2 se deben fabricar? Explicación del problema Se desea saber la cantidad de tela T1 y de tela T2 que se debe producir de tal forma que se obtenga el mayor beneficio o utilidad posible. Solución En primer lugar se debe plantear la función a optimizar junto con sus respectivas restricciones. x: Cantidad de metros de la tela T1. y: Cantidad de metros de la tela T2.

Lo primero que se debe hacer es quitar los signos de e igualar las

restricciones. Acto seguido se debe evaluar cada restricción para y para conocer los puntos de corte con los ejes

coordenados.

Para ( )

Para

( )

Y se procede a graficar los puntos obtenidos:

X Y

0 2500

4000 0

De la misma forma continuamos con el resto de restricciones.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Para ( )

Para

( )

X Y

0 3000

2000 0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1000 2000 3000 4000 5000

Para ( )

Para

( )

X Y

0 4000

1500 0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 1000 2000 3000 4000 5000

Nuestra área de solución es el área sombreada de la siguiente gráfica, los puntos donde la función objetivo es óptima son los vértices de la misma.

El punto donde la función objetivo es la intersección dada por las restricciones definidas por las siguientes ecuaciones:

Lo que tenemos es un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas, procedemos a resolverlo.

( )

: ( )

Por último remplazamos en la función objetivo los valores de y obtenidos para saber la respuesta correcta.

( ) ( )

b. Publicidad

Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.

Los estudios de mercado han mostrado que:

1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.

2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.

La publicidad en periódico tiene un costo de $500 por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de $2000 por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.

Explicación del problema Saber la cantidad de comerciales y anuncios que se deben emitir para minimizar los costos de publicidad. Solución En primer lugar se debe plantear la función a optimizar junto con sus respectivas restricciones.

x: Cantidad de comerciales por TV. y: Cantidad de anuncios en periódico.

Lo primero que se debe hacer es quitar los signos de e igualar las

restricciones. Acto seguido se debe evaluar cada restricción para y para conocer los puntos de corte con los ejes

coordenados.

Para ( )

Para ( )

X Y

0 12

18 0

Para

( )

Para ( )

X Y

0 10

20 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14

Nuestra área de solución es el área sombreada de la siguiente gráfica, los puntos donde la función objetivo es óptima son los vértices de la misma.

Vamos a comprobar los tres vértices donde la función puede ser mínima.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

El mínimo de la función es para lo que quiere decir

que se deben emitir comerciales en TV y anuncios en el periódico.

2. Método Simplex Objetivos:

Capacitar al estudiante en la formulación de modelos para la solución de problemas

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Investigación de Operaciones, Álgebra lineal.

a. Transporte de mercancías. Un fabricante desea despachar varias unidades de un artículo a tres tiendas T1, T2, y T3. Dispone de dos almacenes desde donde realizar el envío, A y B. En el primero dispone de 15 unidades de este artículo y en el segundo 20. La demanda de cada tienda es de 10, 7 y 3 unidades respectivamente. Los gastos de transporte de un artículo desde cada almacén a cada tienda están expresados en la tabla:

T1 T2 T3

A 2 5 1

B 1 4 3

¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible? Explicación del problema Aunque existe el método de transporte, el cual es más indicado para este tipo de problemas, el problema se puede formular como uno de Simplex tradicional. La idea es definir cada una de las características del problema y hallar un modelo matemático que facilite su solución.

Solución Lo primero que debemos hacer es definir las variables de decisión.

Xi: número de unidades transportadas desde cada almacén a cada tienda

X1: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda

T1


T2


T3

X4: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda

T1


T2


T3

Luego, se escriben las restricciones de nuestro problema, estas

restricciones salen de la disponibilidad y demanda de cada almacén, que se

describen en el enunciado del problema

{

{

No olvidar las restricciones de no negatividad:

Por último definimos la función objetivo:

Bibliografía

[1] F. S. Hillier and G. J. Lieberman, Investigación de operaciones. McGraw-Hill, 2002.


CÁLCULO INTEGRAL (1000005) PARA EL(LOS) PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INDUSTRIAL

Realizados por:

Sebastián Alarcón Ramos 257902 Estudiante de Ingeniería de Sistemas


Segundo semestre de 2011

1. ÁREA BAJO LA CURVA Objetivos:

Aplicar el concepto de integrales de área en ejercicios

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo integral, Cálculo en varias variables

a. Área entre dos curvas

Calcular el área limitada por la parábola y la recta

Explicación del problema Usando conceptos básicos de cálculo integral, determinar el área limitada por la función dada y demás restricciones. Solución Consideremos la gráfica

Lo primero q debemos hacer es hallar los puntos de corte entre la recta y la curva dada, si es los hay.

( ) ( )

Es útil tener estos puntos de corte ya que este será nuestro intervalo de integración. Planteamos la siguiente integral a partir de la información conocida.

∫ √

∫

∫ √

[

]

[

] [

]

( )

2. Integrales definidas Objetivos:

Aplicar el concepto de integral en física

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo integral, Cálculo en varias variables, Fundamentos de mecánica

a. Recorrido de un cohete Se lanza un cohete verticalmente al aire, su velocidad segundos

después es ( ) ¿Qué distancia recorrerá durante los primeros 100 segundos?

Explicación del problema El objetivo del problema es hallar la distancia recorrida por el cohete en los primeros 100 segundos, para esto debemos integrar la función v(t) evaluada en el intervalo de 0 a 100 seg. Debido a que, en física, la integral de la función de velocidad nos resulta la función de espacio recorrido. Solución

∫

[ ]

Bibliografía [1] Notas de clase

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA CÁLCULO DIFERENCIAL (1000004) PARA EL(LOS)

PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INDUSTRIAL

Realizados por:



Segundo semestre de 2011

1. DERIVADAS Objetivos:

Aplicar el concepto de derivadas a diversos problemas en física y otras materias

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo diferencial, Fundamentos de Mecánica.

a. Movimiento de un auto

La relación entre la distancia recorrida en kilómetros por un auto y el tiempo en segundos es ( ) . Calcular:

1. La velocidad media entre y 2. La velocidad instantánea en Explicación del problema Aplicar el concepto de derivada para hallar la velocidad instantánea del auto en determinado . Solución

1. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2. Para hallar la velocidad instantánea en un punto debemos derivar

la función y evaluarla en el punto que queremos saber

( )

( )

( ) ( )

( )

2. LÍMITES Objetivos:

Aplicar el concepto de límites a problemas de diversa índole

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo Diferencial,

a. Análisis del precio de un artículo

Se sabe que el precio de un artículo “P” a través del tiempo “t” (en

meses) está dado por la función: ( )

, si se sabe que el

precio de este artículo el próximo mes será de $6,50 y el siguiente mesa será de $6,00. Se debe saber: 1. El precio del artículo para este mes. 2. En que mes el precio será de $5.50. 3. ¿Qué ocurre con el precio a largo plazo? Explicación del problema Para el fácil desarrollo del ejercicio, lo primero que se debe realizar es saber el valor de las constantes y .

Después se buscará analizar la función según lo indique cada punto y finalmente se buscará sacar una conclusión con respecto al precio cuando ha pasado suficiente tiempo. Solución Tenemos:

( ) ( )

Para denominar el mes actual usaremos 0, el mes siguiente 1 y el mes siguiente 2.

( )

( )

( )

( )

( )

__________________________________________

( )

( )

( )

( )

Resolver el sistema de ecuaciones formado por I y II.

Remplazamos en (II)

( )

,

Ahora tendremos la función: ( )

1. El precio del artículo para el mes actual es:

( ) ( )

( )

( )

( )

El precio del artículo en el mes actual es de $8,00 2. En un determinado mes t, el precio del artículo será de $5,50.

( )

En el mes 5 el artículo tendrá un precio de $5,50

3. Para evaluar el comportamiento a largo plazo debemos evaluar la

función cuando

A largo plazo el artículo tiende a tener un valor de $5.00.

[1]

Bibliografía [1] J. Stewart, Cálculo Diferencial E Integral. Cengage Learning

Editores, 2006.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS BÁSICAS (1000001) PARA EL(LOS) PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INDUSTRIAL

Realizados por:




1. TRIGONOMETRÍA: ANGULOS Y LADOS. Objetivos:

Hacer uso práctico de la trigonometría, ángulos y lados

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, cálculo diferencial, fundamentos de mecánica

a. Altura de la torre. Carlos y Fernando ven desde las puertas de sus respectivas casas una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre. Explicación del problema Se debe construir un triangulo donde se especifiquen los ángulos y medidas de los lados. Se deben usar los principios de la trigonometría para hallar la altura de la torre. h A B

126m

45° 60°

Solución Lo primero que se debe hacer es definir cada una de las distancias de los observadores a la base de la torre. h A x 126-x B 126m Usamos cada uno de los ángulos para determinar el valor de h.

{

{

45° 60°

2. ANÁLISIS DE FUNCIONES Objetivos:

Incentivar al estudiante en el aprendizaje del comportamiento y características de una función

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral

a. Análisis de una función

Determine el Dominio, Rango, Puntos de corte con los ejes y si es que existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de la siguiente función:

Explicación del problema Se deben aplicar diferentes técnicas para analizar el comportamiento de la función de tal forma que sin disponer de la gráfica de la misma, se pueda hacer una idea general al respecto.

Solución Dominio:

Rango:

√

√

√

√

Puntos de corte con los ejes: Con el eje x:

(0,0)

Asíntotas La única asíntota que existe es vertical y se determina de la siguiente manera:

3. [1] COMBINATORIA Objetivos:

Afianzar al estudiante con el concepto de combinatoria y su uso.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, Matemáticas discretas, Algoritmos, Probabilidad y Estadística, Investigación de operaciones.

a. Comité de hombres y mujeres

Un grupo, compuesto por 7 hombres y 12 mujeres, forma un comité de 4 hombres y 5 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. 2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité. 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité. Explicación del problema Usando el concepto de combinatoria se pretende saber de cuántas formas posibles se puede formar el comité, con las características indicadas en cada uno de los numerales. Solución

1. ( ) (

)= 27.720

2. ( ) (

)= 11.550

3. ( ) (

)= 3.960

[2]

Bibliografía [1] “Representación gráfica de funciones,” Vitutor. [Online]. Available:

http://www.vitutor.com/fun/5/c_1.html. [2] “Combinatoria,” Vitutor. [Online]. Available:

http://www.vitutor.com/pro/1/a_1.html. [3] Notas de clase


ÁLGEBRA LINEAL (1000003) PARA EL(LOS) PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INDUSTRIAL

Realizados por: Sebastián Alarcón 257902



1. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Objetivos:

Ver la aplicación de la solución de sistemas lineales a problemas de optimización

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Álgebra lineal, Investigación de operaciones

a. Optimización por simplex A partir de un sistema de ecuaciones líneas se puede plantear un problema de optimizar una función con ciertas restricciones. Un problema de optimización es de la forma:

Para resolver un problema de optimización se pueden utilizar diversos métodos: Simplex (Gráfico y Algebraico o por Tablero), Simplex Dual, Transporte, etc. Para resolver por simplex, se usa el método del tablero que se basa en reducir un sistema de ecuaciones lineales hasta encontrar la solución. Considere el siguiente problema:

Resuelva el ejercicio por el método del tablero. Explicación del problema En investigación de operaciones el método simplex se trata de construir un tablero en donde se coloca la función objetivo y las restricciones para hallar las soluciones óptimas de la función a maximizar o minimizar. Se basa en el hecho de solucionar un sistema de ecuaciones lineales.

Solución Lo primero que se debe hacer es cambiar las restricción para que

queden de la manera Ax=b (Eliminar ). Para ello se debe añadir en cada restricción una variable de holgura que tendrá un subíndice distinto a los ya usados, en este caso x3, x4 y x5.

Este es el tablero inicial, hay que tener en cuenta que en las celdas donde el índice de la fila y la columna coinciden hay un 1, en los otros valores de la columna hay 0’s. (Se sombrean las columnas donde esto se ve)

Var # Z x1 x2 x3 x4 x5 LD

Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

x3 1 0 1 0 1 0 0 4 4

x4 2 0 1 3 0 1 0 15 15

x5 3 0 2 1 0 0 1 10 5

La variable que entra es la que sea más negativa, en este caso x1. Para determinar la variable que sale, se toman los valores del lado derecho y se dividen por los valores no negativos y mayores que cero de la columna de la variable que sale. Después se toma el menor valor, esa variable (O fila) es la que sale.


Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

x3 1 0 1 0 1 0 0 4 4

x4 2 0 1 3 0 1 0 15 15

x5 3 0 2 1 0 0 1 10 5

Lo primero que se hace para el siguiente tablero es llenar las columnas donde coinciden se encuentran las variables básicas de tal forma que en dichas celdas donde coinciden se coloquen 1’s y en el resto de la columna 0’s. Posteriormente lo que se hace es realizar operaciones entre las filas (Usando un pivote y tomando como base la fila que entró en esta

iteración) de tal manera que se tiene un tablero nuevo. Finalmente se repite el mismo proceso hasta que en la fila Z no hayan más valores negativos.


Z 0 1 0 -2 3 0 0 12

x1 1 0 1 0 1 0 0 4

x4 2 0 0 3 -1 1 0 11 11/3

x5 3 0 0 1 -2 0 1 2 2


Z 0 1 0 0 -1 0 2 16

x1 1 0 1 0 1 0 0 4 4

x4 2 0 0 0 5 1 -3 5 1

x2 3 0 0 1 -2 0 1 2


Z 0 1 0 0 0 1/5 7/5 17

x1 1 0 1 0 0 -1/5 3/5 3

x3 2 0 0 0 1 1/5 -3/5 1

x2 3 0 0 1 0 2/5 -1/5 4

Este es el tablero final ya que en la fila Z no hay más valores negativos. Del Lado Derecho sale la solución a nuestro problema donde nuestro conjunto de soluciones será el siguiente:

( ) ( )

b. Optimización por simplex dual Considere el siguiente problema:

Construya el modelo dual para este problema primal. Resuélvalo gráficamente. Explicación del problema En principio se busca resolver el problema primal de otra manera, para ello se requiere que se pase el modelo a un problema Dual. Esto se hace de la siguiente manera:

Modelo Primal

Modelo Dual

Tener en cuenta que el número de variables de modelo dual es igual número de restricciones del modelo primal y que el número de restricciones del modelo dual es igual al número de variables del modelo primal. Después de convertir el problema se soluciona de la manera gráfica o usando el método del tablero. Solución En primer lugar determinamos cuáles son nuestra matriz A, que son los coeficientes de las variables en las restricciones; nuestro vector C que son los coeficientes de las variables en la función objetivo; y nuestro vector b que son el lado derecho de las restricciones.

[ ]

[

]

[ ]

Después de construir nuestro problema dual, lo que debemos hacer es cambiar nuestras restricciones a la forma Ax=b (Eliminar ≤).

Método Gráfico: De las restricciones originales se obtiene que:

(

) ( )

Obteniendo la siguiente gráfica:

En donde el área sombreada es nuestra área de solución al ser la función objetivo un mínimo. Esto nos da que el punto donde la función es mínima y se resuelve el método dual gráfico es (2,6) y al remplazarlo en la función objetivo nos da que Wmin=36.

2. OPERACIONES ENTRE MATRICES Objetivos:

Aplicar las operaciones entre matrices para resolver un problema de optimización en Investigación de operaciones

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Álgebra lineal, investigación de operaciones

a. Simplex Revisado

El método simplex revisado permite resolver problemas de Simplex a través de una serie de operaciones entre matrices y no entre filas a través de un tablero. A continuación se enumeran las operaciones necesarias para resolver un problema por Simplex Revisado. Dado:

C-> Vector de coeficientes A-> Matriz nxm b-> Vector del lado derecho x-> Vector de variables La manera de construir el tablero para la primera iteración:

Var # Z Var. Originales

Var. Holgura

0

Z 1 1 -C 0 0

Xs m 0 A I b

Xs->(Conjuntos de varibles básicas) Y para cada iteración después de la primera:

Var # Z Var. Originales

Var. Holgura

0

Z 1 1 CBB-1A-C CBB

-1 CBB-1b

XB m 0 B-1A B-1 B-1b

Donde CB es el vector de coeficientes de Variables Básicas en la Función Objetivo

Dado:

Si se conoce el hecho de que las variables básicas en la solución óptima son x1 y x3 utilice el método Simplex Revisado para encontrar el tablero final. Explicación del problema Usando el método de simplex revisado arriba explicado, resolver el problema de simplex descrito. Solución

[

]

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

|

|

⁄

|

⁄| ⁄

|

|

|

|

⁄

|

|

[

]

[

] [

] [

]

[ ] [

] [ ]

[ ] [

] [ ] [ ]

[ ] [

] [ ]

[

] [ ] [

]

[1]


Z 0 1 0 18 0 9 7 230 x1 1 0 1 3 0 1 1 30

x3 2 0 0 9 1 3 2 70

Bibliografía [1] F. S. Hillier and G. J. Lieberman, Investigación de operaciones.

McGraw-Hill, 2002.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA CÁLCULO DIFERENCIAL (1000004) PARA EL(LOS)

PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INDUSTRIAL

Realizados por:

Sebastián Alarcón 257902



1. RAZÓN DE CAMBIO Objetivos:

Mostrar al estudiante la aplicación de la razón de cambio en otras áreas de Ingeniería.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo Diferencial, Fundamentos de mecánica.

a. Velocidad de dos trenes alejándose. Dos trenes se alejan desde su punto de partida a velocidad constante de 100 km/h cada uno, formando un triángulo isóceles. El ángulo que separa los rieles en las salidas es de 90°. ¿A qué velocidad se separan uno del otro luego de ½ hora (0.5h) desde su partida? Explicación del problema El problema consiste en hallar la velocidad luego de un tiempo t, sabiendo que existe una variación en la posición de los dos trenes. El ejercicio se puede resolver con la ayuda de la siguiente figura:

Solución Se puede entonces plantear lo siguiente en primer lugar:

A partir del triángulo planteado y por Pitágoras tenemos:

Se deriva:

Por otro lado, se va a averiguar el valor de y .

Luego de t=0.5h

Para hallar S, partiendo del análisis de Pitágoras:

√

√

√

Finalmente se remplaza en 1)

2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Objetivos:

Mostrar aplicaciones de los máximos y mínimos en la optimización de problemas que se relacionan con distintas áreas.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo diferencial, Cálculo integral, Investigación de operaciones.

a. Cableado óptimo entre dos puntos

Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts de ancho. El punto D está a 600 mts de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?

Explicación del problema El problema consiste en minimizar el costo total y teniendo en cuenta la longitud del cable y su costo. Se debe crear una función de costo y finalmente minimizarla.

Solución

Por teorema de Pitágoras se tiene que:

√

La función de costo total está definida por:

(

)

Sustituyendo 1) en 2):

(

) (√ )

Ahora se deriva y se iguala a cero:

(

) (

√ )

(

√ )

[(

√ )]

[(

√ )]

[(

√ )]

√

√

Aplicando el criterio de la segunda derivada se confirma que es un mínimo

relativo. Y si se evalúa la función en este punto nos dará:

(

) (√ )

Que es el costo total mínimo y estaría representado por el siguiente gráfico:

[1]


Editores, 2006.


CÁLCULO INTEGRAL (1000005) PARA EL(LOS) PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INDUSTRIAL




1. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Objetivos:

Ver cómo se pueden resolver problemas de integración numérica usando métodos numéricos

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo integral, Métodos numéricos, Señales y Sistemas.

a. Integración numérica usando la regla del trapecio simple

Para la integración numérica existen diversos Método Numéricos que se basan en aproximaciones para hallar el valor de una derivada, una interpolación, una ecuación diferencial e incluso una integral. Esto tiene un uso bastante aceptado en un ámbito experimental ya que sirve para calcular una integral incluso si no se tiene una función definida sino una serie de datos experimentales. A continuación se define la regla del trapecio simple para hallar la integral definida de una función.

∫ ( )

[ ( ) ( )]

Calcule:

a. ∫ √

b. ∫ ⁄

c. ∫ √ ⁄

Explicación del problema Calcular las integrales definidas haciendo uso de la regla del trapecio. Solución Nota: Recordar que los valores obtenidos son valores aproximados.

a.

[√ √ ]

( )

b. ⁄

[

]

(

)

c. ⁄

[√ √

]

( )

b. Integración numérica usando la regla del trapecio simple

Otro de los métodos numéricos usados para el cálculo de integrales definidas es el de Simpson en sus múltiples formas. A continuación

se explicará el más simple de ellos (Simpson Simple ⁄ ).

∫ ( )

[ ( ) (

) ( )]

Calcule:

a. ∫

b. ∫

c. ∫

Explicación del problema Calcular las integrales definidas haciendo uso de la regla de Simpson simple 1/3 Solución

a.

[

⁄

⁄

]

[ ]

b.

[

( ⁄ )

]

[ ]

c.

[

( ⁄ )

⁄

]

[ ]

[1]


Editores, 2006.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS BÁSICAS (1000001) PARA EL(LOS) PROGRAMA(S) DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INDUSTRIAL




1. LEY DE COSENOS Objetivos:

1. Ver la aplicación de la Ley de Cosenos en ejercicios y así hacer que el estudiante mejore su habilidad en el uso de la misma.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, Cálculo Diferencial, Álgebra Lineal, Fundamentos de Mecánica.

a. Navegación de un barco

Un barco navega 15km con dirección Norte (N) y después navega 28km con dirección de 70° al Este (E) a partir de (N). ¿A qué distancia está el punto de partida? Explicación del problema Usando Ley de Cosenos se puede ver a través de la gráfica que es la manera idónea de solucionar el problema.

Solución Para hallar el lado x planteamos:

( ) Sustituimos y operamos:

( )( ) ( ) ( )( )

b. Vuelo de un avión

Un avión vuela a una distancia de 150 millas, de la ciudad A a la ciudad B. Luego cambia su rumbo 50° y se dirige a la ciudad C, que esta a 100mlls. ¿Que distancia hay entre las ciudades A y C? ¿Qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C, para volver a la ciudad A? Explicación del problema Usando Ley de Cosenos se busca resolver el problema donde se puede ver gráficamente que no es un triángulo rectángulo y que para hallar la respuesta es la forma más conveniente de desarrollar el problema.

Solución Teniendo en cuenta que:

( ) Hallamos el lado b que representa la distancia entre la ciudad A y la ciudad C.

( )( ) ( ) ( ) ( )

Ahora, para hallar el ángulo C planteamos:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Objetivos: 1. Ver la aplicación de la transformación de funciones en otras áreas. Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, Cálculo Diferencial, Álgebra Lineal, Señales y sistemas, Sistemas de Comunicación

a. Transformación de funciones. En Señales y Sistemas existen funciones para expresar este tipo de fenómenos, las transformaciones en la variable independiente es un comportamiento constante que tienes este tipo de funciones. Se encuentran el corrimiento de tiempo, la inversión de tiempo y el escalamiento de tiempo. Se habla de tiempo porque las funciones allí trabajadas se estudian bajo el dominio del tiempo, ya sea discreto o continuo. Sus formas generales son: Corrimiento de tiempo: ( ) ( ) Inversión de tiempo: ( ) ( ) Escalamiento de tiempo: ( ) ( ) ( ⁄ )

A continuación se presentan una serie de transformaciones. Se puede ver una función original dada y otras dos transformaciones, diga cómo es la fórmula de dichas transformaciones y cuáles tipos de transformación presentan:

1.

Función original (Rojo): 2.

Función original (Rojo):

Explicación del problema Basándose en la explicación de los distintos tipos de transformaciones y tomando las funciones originales, averiguar las ecuaciones de las funciones transformadas e indicar qué tipo de transformaciones sufrieron. Solución 1. Para la función en azul se puede decir que sufre una

transformación de corrimiento de tiempo y de inversión de tiempo. Para la función en verde se puede decir que se sufre una transformación de corrimiento de tiempo. Expresiones:

Azul: ( ) Verde: ( )

2. Para la función en azul se puede decir que sufre una transformación de corrimiento de tiempo y de escalamiento de tiempo. Para la función en verde se puede decir que sufre una transformación de escalamiento de tiempo. Expresiones:

Azul:

Verde:

[1]

Bibliografía [1] J. Stewart, Cálculo: Trascendentes tempranas. Cengage Learning

Editores, 2002.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS

ASIGNATURAS MATEMÁTICAS BÁSICAS (1000001), CÁLCULO DIFERENCIAL (1000004), CÁLCULO

INTEGRAL (1000005) Y ÁLGEBRA LINEAL (1000003); PARA LOS PROGRAMAS DE

INGENIERÍA DE SISTEMAS E INDUSTRIAL

Realizados por: Daniel Santiago Rincón Parra 02-257966

Revisados por:



1. Simplex, método gráfico. Objetivos:

• Aplicar los conceptos básicos del álgebra lineal para maximizar las ganancias de una empresa.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Aplicado en Álgebra lineal e Investigación de operaciones.

a. Jugos VS Gaseosas. Bebidas Refrescantes S.A tiene dos tipos diferentes de productos a la venta, las gaseosas le dan $700 de ganancia por cada unidad vendida, los jugos naturales le dan $900 de ganancia por cada unidad vendida, la empresa tiene algunos límites de producción, los cuales son:

- Se cuenta con 300 horas de trabajo mensuales, de las cuales las gaseosas necesitan 2 horas por unidad, y los jugos naturales necesitan 3 horas por unidad.

- No se pueden hacer más de 100 unidades de gaseosas. - No se pueden hacer más de 80 unidades de jugos naturales

Encuentre el número de unidades de cada producto de manera que la ganancia sea máxima, use el método gráfico. Explicación del problema Es un problema básico de optimizar ganancias, el cual consiste en una función objetivo y unas restricciones. La función objetivo determina la ganancia total, y esta es la que tenemos que maximizar, teniendo en cuenta las restricciones. Solución X1: Gaseosas. X2: Jugos naturales. Función Objetivo:

𝑍𝑍 = 700𝑋𝑋1 + 900𝑋𝑋2 Restricciones:

2𝑋𝑋1 + 3𝑋𝑋2 ≤ 300 𝑋𝑋1 ≤ 100 𝑋𝑋2 ≤ 80

𝑋𝑋1,𝑋𝑋2 ≥ 0 Por el método gráfico se grafican cada una de las restricciones, con X1 en el eje X y X2 en el eje Y.

La región sombreada de azul es la región de soluciones factibles, es decir, las que cumplen las restricciones. La solución óptima se encuentra en alguno de los vértices, estos tienen los valores de:

- (0,0)-- Z=0. - (100,0)--- Z=70000 - (0,80)--- Z=72000 - (30,80)- Z=93000 - (100,100/3)- Z=100000

Z se obtiene reemplazando los valores de cada punto en:

𝑍𝑍 = 700𝑋𝑋1 + 900𝑋𝑋2 Como el ejercicio es maximizar, se elije el punto con mayor valor en Z, y la respuesta es: X1=100 X2=33.333

2. Combinatoria Objetivos:

• Aplicar los conceptos básicos de combinatoria y permutación en problemas cotidianos.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas discretas.

a. Equipo de desarrollo En la Universidad Nacional de Colombia hay un equipo de desarrollo de software, muy reconocido por sus buenos trabajos. Este grupo está conformado por 15 mujeres y 40 hombres. Una importante empresa de desarrollo necesita de 6 programadores de alto nivel y es informado de este equipo de desarrollo. a. ¿De cuántas maneras posibles puede esta empresa seleccionar 6

programadores del equipo de desarrollo? b. Por las políticas de la empresa, deben contratar al menos 2

mujeres, ¿Cuántas maneras posibles hay de contratar a los 6 programadores con esta condición?

Explicación del problema En este problema es necesario utilizar adecuadamente la combinatoria, ya que el orden no importa, Ej: Es igual escoger a Juan y a Pedro que escoger a Pedro y a Juan. Otra característica de este ejercicio es que es una combinatoria sin repetición, es decir, no se puede escoger 2 veces la misma persona. La formula de combinatoria sin repetición es:

𝐶𝐶(𝑅𝑅 ,𝑁𝑁) =𝑅𝑅!

𝑁𝑁! (𝑅𝑅 − 𝑁𝑁)!

Solución

a. Para saberlo se hace una combinatoria entre 55 y 6:

𝑪𝑪(𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟔𝟔) = 𝟓𝟓𝟓𝟓!𝟒𝟒𝟒𝟒!𝟔𝟔!

= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟒𝟒𝟐𝟐𝟒𝟒𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓

b. Para saberlo se hace una combinatoria entre 15 y 2, luego se multiplica por una combinatoria entre 53 y 4. 𝑪𝑪(𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟓𝟓!

𝟏𝟏𝟏𝟏!𝟐𝟐!= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓

𝑪𝑪(𝟓𝟓𝟏𝟏 𝟒𝟒) = 𝟓𝟓𝟏𝟏!

𝟒𝟒𝟒𝟒!𝟒𝟒!= 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓𝟓

R: 30746625

3. N-ésima derivada. Objetivos:

• Aplicar los conceptos básicos de programación y de cálculo diferencial e integral.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo diferencial, cálculo integral, programación de computadores, programación orientada a objetos.

a. Software diferencial. Su equipo de desarrollo ha sido contratado por Matemática avanzada S.A para el desarrollo de un programa capaz de derivar cualquier función. Para comenzar quieren hacer una prueba con una función predeterminada, esta función es:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑋𝑋−1 Lo que ellos quieren es calcular la enésima derivada de esta función, para esto usted debe hacer un método que reciba el número n de derivadas a realizar, y que retorne la enésima derivada, en un dato de tipo String.

Explicación del problema En este problema se necesita saber la serie o el patrón que sigue las diferentes derivadas de la función, luego de conocer esto se debe aplicar a un método capaz de hacer dichos cálculos correctamente. Solución La enésima derivada de la función se puede definir como:

𝐹𝐹𝑛𝑛(𝑥𝑥) = (−1)𝑛𝑛𝑛𝑛!𝑋𝑋−(𝑛𝑛+1) La función encargada de calcularla, en lenguaje Java es: Public string nderivada (int n){ //Recibe el número n de derivadas Fact=1; For(int i=1;i<=n;i++) Fact = Fact*i; //Calcula el factorial de n Fact=Fact*(-1^n); //Multiplica el factorial por -1^n int Exp=-(n+1) //Calcula el exponent de X Return “La función es “+ Fact +”X^”+Exp; //Retorna la función

}

4. Permutación. Objetivos:

• Aplicar el concepto de permutación en un ambiente real de programación.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, Matemáticas discretas, Programación de computadores, Programación orientada a objetos.

a. Reproductor de música. Suponga que su equipo de desarrollo ha sido contratado para el desarrollo de un reproductor de música. Algunos de los requisitos del cliente son: - El reproductor debe soportar una biblioteca con máximo 20

canciones. - Debe tener reproducción aleatoria, sin repetir ninguna canción y

la lista de reproducción debe ser de 5 canciones. Suponiendo que la biblioteca tiene el máximo de 50 canciones, ¿Cuántas maneras diferentes tiene la lista de reproducción para reproducir las 15 canciones? Explicación del problema El problema se debe solucionar con una permutación y no con una combinatoria, ya que el orden de reproducción es importante.

La permutación es sin repetición, ya que el cliente es claro al decir que no se debe repetir ninguna canción. La formula de permutación sin repetición es:

𝑃𝑃(𝑅𝑅 ,𝑁𝑁) =𝑅𝑅!

(𝑅𝑅 − 𝑁𝑁)!

Solución

𝑃𝑃(5, 20) = 20!15!

= 1′860.480 Maneras diferentes.

5. Integral definida. Objetivos:

• Aplicar el conocimiento de cálculo integral a uno de los temas centrales del curso Señales y sistemas I, del programa de ingeniería de sistemas.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo integral, Señales y sistemas 1.

a. Transformada de Fourier Cuando se habla se señales y sistemas, es común hablar de la transformada de Fourier de una señal, la cual está definida como: Sea X(t) una señal.

ℱ{𝑋𝑋(𝑡𝑡)} = � 𝑋𝑋(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡∞

−∞𝑑𝑑𝑡𝑡

Hallar la transformada de Fourier de:

𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡 El dominio de esta función va a estar restringido solamente a los números mayores o iguales a 0. Explicación del problema Este problema se resuelve con una integral sencilla, reemplazando la función dada en la integral de la transformada de Fourier. Solución

ℱ{𝑋𝑋(𝑡𝑡)} = � 𝑋𝑋(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡∞

−∞𝑑𝑑𝑡𝑡 = � 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = � 𝑒𝑒−𝑡𝑡(𝑗𝑗𝑗𝑗 −𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑡𝑡

∞

0

∞

0

= −𝑒𝑒−𝑡𝑡(𝑗𝑗𝑗𝑗 −𝑎𝑎)

𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑎𝑎�∞0 = 0 − (−

1𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑎𝑎

�) =1

𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑎𝑎

6. Operadores lógicos Objetivos:

• Aplicar el uso de operadores lógicos para conectar varias proposiciones y hacer operaciones lógicas

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, matemáticas discretas.

a. Mundial de futbol En la cultura colombiana es muy común hablar de futbol, mas exactamente hablar del mundial de futbol. Una persona dice que si un equipo gana todos los partidos de la eliminatoria, entonces este equipo clasifica al mundial, y afirma que es así para todos los equipos. Represente esta afirmación de la persona por medio de proposiciones y operadores lógicos, y después niegue esta afirmación, con palabras y con operaciones lógicas. Explicación del problema Este problema se soluciona con operaciones de lógica, y se hace representando la afirmación de la persona con proposiciones, y conectándolas con operadores lógicos. Solución Sean: P(x) -> El equipo gana todos los partidos. Q(x) -> El equipo clasifica al mundial. Lo que la persona dice, representado lógicamente es:

∀𝑥𝑥,𝑃𝑃(𝑥𝑥) →𝑄𝑄(𝑥𝑥)

Siendo x un equipo de futbol.

Para negar una proposición con el operador ∀, se debe utilizar el operador ∃, y negar la proposición, es decir:

∃𝑥𝑥, ~𝑃𝑃(𝑥𝑥) ∧ 𝑄𝑄(𝑥𝑥) Esta proposición, representada en palabras quiere decir que “Existe al menos un equipo que no gana todos los partidos y clasifica al mundial”, que equivale a la negación de lo que dijo la persona.

7. Método de gauss Objetivos:

• Aplicar el método de gauss para resolver sistemas de ecuaciones.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, Álgebra lineal, Ecuaciones diferenciales, Investigación de operaciones.

a. Requisitos estrictos. Suponga que una empresa lo contrata para la asignación de recursos a los procesos correspondientes, estos recursos son diferentes tipos de materia prima (X1, X2 y X3), los cuales tienen que cumplir estrictamente estos requisitos: 3X1 + 2X2 + X3 = 18 5X1 + 3X2 + 2X3 = 15 2X1 + X2 + 3X3 = 6 ¿De qué manera debe asignar los recursos? Explicación del problema El problema está representado en un sistema de ecuaciones, el cual podemos solucionar usando el método de eliminación gaussiana. Para esto es necesario definir dos matrices, una matriz A que contenga los coeficientes de las restricciones, y un vector B que contenga el lado derecho de las restricciones (El valor después del igual). Solución

𝑨𝑨 =𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝑩𝑩 =𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟔

𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟔

→

𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔� 𝟏𝟏.𝟏𝟏�𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝟔𝟔𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟔

→

𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔� 𝟏𝟏.𝟏𝟏�𝟏𝟏 −𝟏𝟏.𝟏𝟏� 𝟏𝟏.𝟏𝟏�𝟏𝟏 −𝟏𝟏.𝟏𝟏� 𝟐𝟐.𝟏𝟏�

𝟔𝟔

−𝟏𝟏𝟓𝟓−𝟔𝟔

→ 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔� 𝟏𝟏.𝟏𝟏�𝟏𝟏 −𝟏𝟏.𝟏𝟏� 𝟏𝟏.𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟐

𝟔𝟔

−𝟏𝟏𝟓𝟓𝟒𝟒

→

𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔� 𝟏𝟏.𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟏𝟏 −𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝟔𝟔

−𝟒𝟒𝟓𝟓𝟒𝟒.𝟓𝟓

Con esto nos queda: X3=4.5 X2=-45+4.5= -40.5 X1= 6 + 81/3 – 4.5/3 = 31.5

8. Tipos de permutación. Objetivos:

• Aplicar los conceptos básicos de programación a la definición de permutación con y sin repetición.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, matemáticas discretas, programación de computadores, programación orientada a objetos.

a. Programando con permutación. Suponga que lo contratan para hacer un programa sencillo de permutación, para fines didácticos. Le piden un método que reciba los dos números para la permutación, y un valor que diga si la permutación es con repetición o no. ¿Cómo haría dicho método? Explicación del problema

Este problema es sencillo, lo que podría ser un poco complicado es la operación factorial. Solución Public int permutacion(int a, int b, boolean rep){ int per=0; If(rep){ //Cuando es con repetición per=a^b; //Fórmula para permutación con repetición }else{ //Cuando es sin repetición int FactA=1; int FactB=1; For(int i=1;i<=a;i++) //Factorial de a FactA = FactA*i; For(int i=1;i<=(a-b);i++) //Factorial de a-b FactB= FactB*i; per = FactA/FactB; // Fórmula para permutación sin repetición } return per; }

9. Método de Newton - Raphson. Objetivos:

• Aplicar los conocimientos de derivación de funciones para hacer una aproximación a las raíces o ceros de una función continua.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo diferencial, Métodos numéricos

a. Método de Newton - Raphson.

Utilice el método de Newton – Raphson para encontrar la raíz de la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑋𝑋2 – 7 Dado el punto x=3.5 Realice 3 iteraciones del método.

Explicación del problema. El método de Newton – Raphson es un método muy útil para aproximarse a las raíces de una función, una de las cosas más útiles de este método es que no necesita muchos datos, ya que sólo necesita un punto cercano y la derivada de la función. Las restricciones de este método son que el punto sea lo suficientemente cercano a la raíz, y que la función sea derivable. El método consiste en hallar puntos cada vez más cercanos a alguna raíz de la función, por medio de la ecuación:

𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝0 − 𝑓𝑓(𝑝𝑝0)𝑓𝑓′(𝑝𝑝0)

Con cada iteración, la aproximación es más exacta. Solución

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑋𝑋2 – 7

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑋𝑋 Sea p0= 3.5

𝑝𝑝1 = 3.5 −𝑓𝑓(3.5)𝑓𝑓′(3.5)

= 3.5 −5.25

9= 2.9167

𝑝𝑝2 = 2.9167− 𝑓𝑓(2.9167)𝑓𝑓′(2.9167)

= 2.9167− 1.507

5.8334= 2.6584

𝑝𝑝3 = 2.6584− 𝑓𝑓(2.6584)𝑓𝑓′(2.6584)

= 2.6584− 0.067

5.3168= 2.6458

Igualando la función a cero, sabemos que la raíz es √7, es decir, 2.64575, valor muy cercano al calculado.

10. Interpolación Objetivos:

• Aplicar los conceptos básicos de polinomios para encontrar polinomios interpoladores adecuados.

Aplicación o contextualización para el programa curricular:

Matemáticas básicas, métodos numéricos.

a. Polinomio interpolador de Lagrange. Encuentre el polinomio de Lagrange de grado 2 para:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 Dados los puntos X0=3 X1=6 X2=9 Luego haga la interpolación para X = 3. Explicación del problema Interpolar significa estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una media ponderada de sus valores conocidos en puntos cercanos al dado. Hay varias maneras de hacer un polinomio interpolador, J.L. Lagrange descubrió que se puede encontrar este polinomio usando el siguiente método, para un polinomio de grado 2:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)

(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥2)+ 𝑦𝑦1

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)

+ 𝑦𝑦2(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)

Solución Lo primero es hallar los valores de Y, con la función dada: Y0=20.086 Y1=403,482 Y2=8103,084 Y ahora reemplazamos en la ecuación del polinomio:

= 20.086(𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 − 9)(3 − 6)(3 − 9)

+ 403.482(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 9)(6 − 3)(6 − 9)

+ 8103.084(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 6)(9 − 3)(9 − 6)

= 20.086𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥 + 54

18+ 403,482

𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 27−9

+ 8103,084𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 + 18

18

= 1.116𝑥𝑥2 − 16.738𝑥𝑥 + 60.258− 44.831𝑥𝑥2 + 537.976𝑥𝑥 − 1210.446+ 450.171𝑥𝑥2 − 4051.542𝑥𝑥 + 8103.084 = 406.456𝑥𝑥2 − 3530.31𝑥𝑥 + 6952.896

Para x=3, P(3) = 20.07, muy cercano a 𝑒𝑒3 = 20.086.

Bibliografía [1] Métodos Numéricos con MATLAB, MATHEWS, John [2] J. Stewart, Cálculo Diferencial E Integral. Cengage Learning Editores, 2006.

[3] B. Kolman and D. R. Hill, Algebra Lineal. Pearson Educación, 2006.

[4] J. Stewart, Cálculo: Trascendentes tempranas. Cengage Learning Editores, 2002.

[5] Señales y Sistemas, Oppenheim

[6]Notas de clase

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS

ASIGNATURAS MATEMÁTICAS BÁSICAS (1000001), CÁLCULO DIFERENCIAL (1000004), CÁLCULO

INTEGRAL (1000005) Y ÁLGEBRA LINEAL (1000003); PARA LOS PROGRAMAS DE

INGENIERÍA DE SISTEMAS E INDUSTRIAL

Realizados por: Daniel Santiago Rincón Parra 02-257966

Revisados por:



11. Transformada Z Objetivos:

• Aplicar los conocimientos de series y sucesiones, vistos en cálculo integral, para hallar la transformada Z de una señal.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Aplicado a cálculo integral y señales y sistemas I

a. Transformada de una señal Dada la señal:

𝑋𝑋[𝑛𝑛] = 𝑎𝑎𝑛𝑛 Encuentre la transformada Z unilateral de esta y defina su intervalo de convergencia. Explicación del problema La transformada Z de una señal es calculada de la siguiente manera:

𝑋𝑋(𝑧𝑧) = � 𝑋𝑋[𝑛𝑛]𝑧𝑧−𝑛𝑛∞

𝑛𝑛=−∞

Siendo X[n] la señal. La transformada unilateral es igual, solo que cambian los límites de la sumatoria:

𝑋𝑋(𝑧𝑧) = �𝑋𝑋[𝑛𝑛]𝑧𝑧−𝑛𝑛∞

𝑛𝑛=0

Solución La transformada de esta función quedaría de la siguiente forma:

𝑋𝑋(𝑧𝑧) = �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧−𝑛𝑛∞

𝑛𝑛=0

= �(𝑎𝑎𝑧𝑧−1)𝑛𝑛 = ��𝑎𝑎𝑧𝑧�𝑛𝑛∞

𝑛𝑛=0

∞

𝑛𝑛=0

Como se puede apreciar, queda con forma de una serie geométrica, y dado esto, se sabe que esta es convergente únicamente cuando:

�𝑎𝑎𝑧𝑧� < 1

|𝑎𝑎| < |𝑧𝑧|

Lo que nos dice la región de convergencia, en la cual la transformada equivale a:

𝑋𝑋(𝑧𝑧) =1

1 − 𝑎𝑎𝑧𝑧

12. Derivación numérica Objetivos:

• Aplicar los conceptos de cálculo diferencial para probar la efectividad de los métodos numéricos utilizados para la aproximación de derivadas.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo diferencial, Métodos numéricos.

a. Diferencias centradas, ¿Si es confiable? En ocasiones, cuando no se puede deducir una derivada por medio del cálculo diferencial, es muy común utilizar métodos numéricos para aproximar este valor, pero, ¿Es realmente confiable? Para comprobarlo se plantea el siguiente ejercicio: Dada la función:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 Calcule su derivada en el punto: X= 2.5 Luego, calcule la aproximación por medio de las diferencias centradas de orden O(h²), con un h de 0.5, y compare los resultados. Explicación del problema La idea del problema es probar la confiabilidad de el método de diferencias centradas de orden O(h²), que dice que la aproximación de la derivada en un punto dado es:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) ≈𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 − ℎ)

2ℎ

Eligiendo un h relativamente pequeño. Solución Primero se calcula la derivada de la función, utilizando el cálculo diferencial:

𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)

Luego se calcula en el punto dado (x=2.5)

𝐹𝐹′(2.5) = 𝑒𝑒2.5(2.5 + 1) = 42.638729 Y luego se calcula la aproximación:

𝑓𝑓′(2.5) ≈𝑓𝑓(2.5 + 0.5) − 𝑓𝑓(2.5 − 0.5)

2(0.5)≈ 42.750478

Tenemos entonces que el error absoluto es de:

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = |42.638729− 42.750478| = 0.111749

13. Método Simplex Objetivos:

• Aplicar las operaciones básicas con matrices, vistas en álgebra lineal, para resolver un ejercicio por el método simplex.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Álgebra lineal, investigación de operaciones.

a. Fábrica de guitarras: Una fábrica de guitarras tiene dos tipos diferentes de productos, guitarras eléctricas y guitarras acústicas, las primeras le dejan una ganancia de 100 (miles de pesos) cada una y las acústicas le dejan una ganancia de 60 (miles de pesos) cada una. En la fabricación tienen unas restricciones con respecto a la materia prima, estas son: - La madera utilizada para una guitarra eléctrica es 7 (unidades), y

para una acústica es 5 (unidades), la fábrica cuenta con un máximo de 700 unidades de madera al mes.

- La fábrica cuenta con un máximo de 70 juegos de cuerdas de acero (utilizadas en las guitarras eléctricas) al mes.

- La fábrica cuenta con un máximo de 90 juegos de cuerdas de nylon (utilizadas en las guitarras acústicas) al mes.

¿Cuántas unidades de cada producto se deben fabricar para obtener una ganancia máxima?

Explicación del problema Este es un problema básico de investigación de operaciones, el cual se puede resolver por medio del método simplex que consiste en: - Definir una función de ganancia (función objetivo), la cual se

quiere maximizar. - Definir las restricciones como igualdades, agregando variables de

holgura para quitar las desigualdades. - En un tablero inicial colocar las restricciones y la función objetivo,

esta última igualada a cero. - Las variables básicas iniciales son las variables de holgura. - La variable que entra es la de menor coeficiente en el renglón Z

(tiene que ser un coeficiente negativo). - La variable que sale se saca haciendo una división entre el lado

derecho y la columna de la variable que entra, el de menor valor es la variable que sale (tiene que ser un coeficiente positivo).

- Aplicar el método de Gauss para reducir la matriz de restricciones. - Hacer varias iteraciones, obteniendo cada vez una mejor solución. - Cuando todos los coeficientes del renglón Z sean positivos, esta

será la solución optima. Nota: Este método necesita de una explicación mucho más amplia, por lo que se recomienda al estudiante que, si no ha visto algún curso de investigación de operaciones, revise la referencia [6] o pida una asesoría. Solución La función objetivo queda así:

𝑍𝑍 = 100𝑋𝑋1 + 60𝑋𝑋2 𝑍𝑍 − 100𝑋𝑋1 − 60𝑋𝑋2 = 0

Siendo 𝑋𝑋1 guitarras eléctricas y 𝑋𝑋2 guitarras acústicas. Las restricciones quedarían así:

7𝑋𝑋1 + 5𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 = 700 𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋4 = 70 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋5 = 90 𝑋𝑋𝑖𝑖 ≥ 0

Siendo 𝑋𝑋3,𝑋𝑋4 𝑦𝑦 𝑋𝑋5 variables de holgura.

Los tableros quedan así, en amarillo la variable que entra y en azul la que sale:

Variable Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado derecho Z 1 -100 -60 0 0 0 0 X3 0 7 5 1 0 0 700 X4 0 1 0 0 1 0 70 X5 0 0 1 0 0 1 90

Variable Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado derecho Z 1 0 -60 0 100 0 7000 X3 0 0 5 1 -7 0 210 X1 0 1 0 0 1 0 70 X5 0 0 1 0 0 1 90

Variable Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado derecho Z 1 0 0 12 16 0 9520 X2 0 0 1 0.2 -1.4 0 42 X1 0 1 0 0 1 0 70 X5 0 0 0 -0.2 1.4 1 48

La solución óptima es: 70 guitarras eléctricas y 48 guitarras acústicas, lo que dejaría una ganancia de $9’520.000.

14. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Objetivos:

• Aplicar el método de los valores y vectores propios para solucionar sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Álgebra lineal, ecuaciones diferenciales.

a. Sistema de ecuaciones homogéneo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑋𝑋′ = �−2 11 −2�𝑋𝑋

Explicación del problema Para resolver este tipo de problemas es necesario saber los valores y vectores propios de la matriz, de esta manera la solución sería:

𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1𝑋𝑋1 + 𝐶𝐶2𝑋𝑋2 + ⋯+ 𝐶𝐶𝑘𝑘𝑋𝑋𝑘𝑘

𝑋𝑋𝑘𝑘 = 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑒𝑒𝜆𝜆𝑘𝑘𝑡𝑡

Donde V es un vector propio de la matriz, y 𝜆𝜆 es un valor propio de la matriz y C es un valor constante. Solución Hallamos los valores y vectores propios de la función:

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 �−2 − 𝜆𝜆 11 −2 − 𝜆𝜆� = 0

𝜆𝜆2 + 4𝜆𝜆 − 3 = 0 (𝜆𝜆 + 3)(𝜆𝜆 + 1) = 0 𝜆𝜆1 = −1, 𝜆𝜆2 = −3

Para 𝜆𝜆1 = −1

�−1 11 −1� �

V1V2� = �0

0�

𝑉𝑉1 = �11�

𝑋𝑋1 = �11� 𝑒𝑒

−𝑡𝑡

Para 𝜆𝜆2 = −3

�1 11 1� �

V1V2� = �0

0�

𝑉𝑉2 = � 1−1�

𝑋𝑋2 = � 1−1� 𝑒𝑒

−3𝑡𝑡

Solución general:

𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1 �11� 𝑒𝑒

−𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 �1−1� 𝑒𝑒

−3𝑡𝑡

15. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo Objetivos:

• Aplicar los conocimientos de límites para encontrar el error de estado estacionario de un sistema realimentado simple.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cálculo diferencial, señales y sistemas I

a. Error de estado estacionario.

Determine el error de estado estacionario de un sistema retroalimentado simple, si la función de transferencia del error de dicho sistema es:

𝐹𝐹(𝑎𝑎) =𝑎𝑎 + 4

(𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎 + 3)

Y la entrada es:

𝑈𝑈(𝑎𝑎) =1

𝑎𝑎2 + 4

Explicación del problema El error de estado estacionario de un sistema retroalimentado simple esta dado por:

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = lim𝑎𝑎→0

𝑎𝑎𝐹𝐹𝐸𝐸(𝑎𝑎)𝑈𝑈(𝑎𝑎) Siendo Fe(s) la función de transferencia del error y U(s) la entrada del sistema. Solución


𝑎𝑎 �𝑎𝑎 + 4

(𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎 + 3)� �1

𝑎𝑎2 + 4�


𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 3)(𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎2 + 4)

= 0

16. Operaciones básicas

Objetivos: • Aplicar los conceptos básicos de programación para hacer

operaciones básicas, como una sumatoria. Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, programación de computadores.

a. Sumatoria Desarrolle una función en Java que calcule la siguiente sumatoria:

�𝑋𝑋𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑛𝑛=𝑎𝑎

Su función debe recibir los valores de a, b y X, y retornar el resultado de esta sumatoria. Explicación del problema Para este problema es necesario conocer los conceptos básicos de programación, en especial ciclos. En cuanto a matemáticas, se debe conocer los conceptos básicos de la sumatoria Solución public double sumatoria(int a, int b, double X){ double sum=0; For(int i=a;i<=b,i++){ sum=sum+X^I; } return sum }

17. Ajuste de curvas Objetivos:

• Aplicar los conceptos de matemáticas básicas en los métodos numéricos de ajuste de curvas.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, álgebra lineal.

a. Recta de regresión de mínimos cuadrados. Determine la recta óptima de mínimos cuadrados de la forma Ax+B para los siguientes conjuntos de datos: Xk Yk -2 2.8 -1 2.1 0 3.25 1 6.0 2 11.5 Explicación del problema Para este problema es necesario saber conceptos básicos de matemáticas básicas (sumatoria) y de álgebra lineal (resolver sistemas de ecuaciones).

La recta de mínimos cuadrados es de la forma Ax+B, donde A y B salen de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

��𝑋𝑋𝑘𝑘2𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

�𝐴𝐴 + ��𝑋𝑋𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

�𝐵𝐵 = �𝑋𝑋𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

𝑌𝑌𝑘𝑘

��𝑋𝑋𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

�𝐴𝐴 + 𝑁𝑁𝐵𝐵 = �𝑌𝑌𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

Donde N es el número de datos, y X e Y son los datos dados. Solución

�𝑋𝑋𝑘𝑘2𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

= 10

�𝑋𝑋𝑘𝑘 = 0𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

�𝑋𝑋𝑘𝑘𝑌𝑌𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

= 21.3

�𝑌𝑌𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑘𝑘=1

= 25.65

10𝐴𝐴 = 21.3 5𝐵𝐵 = 25.65

𝐴𝐴 = 2.13 𝐵𝐵 = 5.13

La recta óptima es 2.13X+5.13

18. Estabilidad de sistemas Objetivos:

• Aplicar el conocimiento de álgebra lineal (determinantes) en el polinomio de Routh – Hurwitz.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Álgebra lineal, señales y sistemas I.

a. Polinomio de Routh - Hurwitz Suponga que el siguiente polinomio indica los polos de un sistema dinámico:

𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎5 + 𝑎𝑎4 + 3𝑎𝑎3 + 9𝑎𝑎2 + 16𝑎𝑎 + 10 Explicación del problema El teorema de Routh – Hurwitz sirve para comprobar la estabilidad de un sistema dinámico, es decir, si tiene algún polo en el semiplano derecho.

𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 𝑎𝑎𝑛𝑛−4 ... 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑛𝑛−3 𝑎𝑎𝑛𝑛−5 ... 𝑎𝑎𝑛𝑛−2

... 𝑎𝑎1 𝑎𝑎0

- Cada nueva línea se construye con información de las dos líneas

inmediatamente anteriores. - Para calcular el término j-ésimo de una línea se ejecuta la

operación:

𝐶𝐶𝑗𝑗 =− �𝑎𝑎1 𝑎𝑎𝑗𝑗+1𝑎𝑎1 𝑎𝑎𝑗𝑗+1

�

𝑎𝑎1

- El número de raíces del polinomio en el semiplano derecho es

igual al número de cambios de signo que suceden en la primera columna del arreglo de dicho polinomio.

Solución

𝑎𝑎5 1 3 16 𝑎𝑎4 1 9 10 𝑎𝑎3 -6 6 0 𝑎𝑎2 10 10 0 𝑎𝑎1 12 0 0 𝑎𝑎0 10 0 0

Nota: Se mostrará el proceso para algunos de los valores de la tabla, puesto que al ser muy repetitivo no es necesario mostrar todos.

𝐶𝐶3,1 =− �1 3

1 9�

1= −6

𝐶𝐶3,2 =− �1 16

1 10�

1= 6

𝐶𝐶4,1 =− � 1 9−6 6�

−6= 10

... El sistema es inestable, ya que la primera columna presenta dos cambios de signo, es decir, tiene dos polos en el semiplano derecho.

19. Aproximación lineal Objetivos:

• Por medio de métodos numéricos encontrar una aproximación a las raíces de una función en un intervalo dado.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, métodos numéricos.

a. Bisección de Bolzano. Por medio de bisección de Bolzano encontrar la raíz de:

𝑌𝑌 = 𝑋𝑋2 − 5 En el intervalo (2,7), con un máximo de 4 iteraciones. Explicación del problema Este método sirve para encontrar una raíz en un intervalo dado, este intervalo (a,b) debe satisfacer que f(a)*f(b)<0, para garantizar que hay una raíz en el. Los pasos a seguir son: - Tomar el punto medio del intervalo:

𝐶𝐶 =𝑎𝑎 + 𝑎𝑎

2

- Si f(a) y f(c) tienen signos opuestos, entonces hay una raíz en (a,c).

- Si f(c) y f(b) tienen signos opuestos, entonces hay una raíz en (c,b).

- Si f(c) es cero, entonces c es una raíz. - Renombramos el nuevo intervalo como (a,b) y repetimos el

proceso hasta que el intervalo sea tan pequeño como se desee. Solución

𝐹𝐹(2) = −1 𝑦𝑦 𝐹𝐹(7) = 44

𝐶𝐶 =2 + 7

2= 4.5

𝐹𝐹(4.5) = 15.25

𝐶𝐶1 =4.5 + 2

2= 3.25

𝐹𝐹(3.25) = 5.56

𝐶𝐶2 =3.25 + 2

2= 2.625

𝐹𝐹(2.625) = 1.891

𝐶𝐶3 =2.625 + 2

2= 2.3125

𝐹𝐹(2.3125) = 0.3125 Con 4 iteraciones obtuvimos una aproximación de x=2.3125, por deducción sabemos que la raíz de esa función es √5=2.236, por lo que concluimos que el método se aproxima bastante al valor real.

20. Combinatoria Objetivos:

• Aplicar el concepto de combinatoria a un problema real. Aplicación o contextualización para el programa curricular: Matemáticas básicas, matemáticas discretas.

a. Eurocopa La Eurocopa es un torneo de fútbol en el que participan 16 equipos, con los cuales se forman cuatro grupos de 4 equipos cada uno, ¿de cuántas maneras diferentes pueden quedar estos grupos? Explicación del problema Al no importar el orden de los equipos, y al no poder repetirse equipos en varios grupos, el problema se soluciona con una combinatoria sin repetición:

�𝑛𝑛𝑟𝑟� = 𝐶𝐶(𝑛𝑛, 𝑟𝑟) =𝑛𝑛!

𝑟𝑟! (𝑛𝑛 − 𝑟𝑟)!

Solución Para el primer grupo se tienen 16 equipos, por lo cual hay:

16!4! 12!

= 1820

Para el segundo grupo se tienen 12 equipos, entonces: 12!

4! 8!= 495

Para el tercer grupo se tienen 8 equipos, entonces: 8!

4! 4!= 70

Para el cuarto grupo se tienen 4 equipos, entonces: 4!4!

= 1

El número total de opciones es la suma de las anteriores, que es igual a 2386 opciones.

Bibliografía [1] Métodos Numéricos con MATLAB, MATHEWS, John [2] J. Stewart, Cálculo Diferencial E Integral. Cengage Learning Editores, 2006.

[3] B. Kolman and D. R. Hill, Algebra Lineal. Pearson Educación, 2006.

[4] J. Stewart, Cálculo: Trascendentes tempranas. Cengage Learning Editores, 2002.

[5] Señales y Sistemas, Oppenheim

[6] Introducción a la investigación de operaciones – Frederick Hillier, Gerald Lieberman

[7] Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera - Nagle

[8]Notas de clase

ejercicios ing sistemas e industrial - 2012-1

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