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GRADO DE INGENIERA AEROESPACIAL. CURSO 201314 MATEMTICAS II. DPTO. DE MATEMTICA APLICADA II

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1

A continuacin se relaciona una lista de ejercicios que han sido propuestos en diferen-tes exmenes de aos anteriores. Todos estn pensados para que cada uno de ellos sea resuelto en un tiempo de una hora aproximadamente y su solucin pueda ser es-crita en una hoja A4 por ambas caras. La numeracin hace alusin a la leccin de cu-yos contenidos se debe hacer uso para su resolucin.

Leccin 1.1. Se dobla en dos una hoja de cartulina de 24 por 36 cm para formar un rectngulo de 24 por 18 cm, como se muestra en la figura siguiente.

Despus se cortan, de las esquinas del rectngulo doblado, cuatro cuadrados de longitud .x Se des-doblan la hoja y las seis solapas hacia arriba para formar una caja con paredes y tapa.

1) Escribe una frmula ( )V x para el volumen de la caja en funcin de ,x determina el dominio apropiado de la funcin V y dibuja esquemticamente la funcin ( ).V x

2) Calcula los valores de x pertenecientes al dominio de definicin de la funcin V que dan un volumen de 1120 cm3.

3) Calcula el valor de x que maximiza la funcin ( ).V x Cul es el volumen mximo? Leccin 1.2. 1) Escribe la frmula de Taylor alrededor de a = 0 de orden 2n, siendo n un nmero natural, de la funcin seno hiperblico senh x.

2) Comprueba razonadamente que cosh z < 2 para todo z 0,1"# $%.

3) Comprueba que el error que se produce al aproximar senh x por su polinomio de Taylor alrede-dor de a = 0 de orden 6 es menor que 5104 , si x 0,1"# $%.



2

Leccin 1.3. Calcula sen36 con un error menor que 103. Nota. Si lo necesitas, toma el valor = 3.142 y 3 = 1.732. Leccin 1.4. Determina las dimensiones del cilindro de volumen mximo inscrito en un cono circu-lar recto de radio 0R > y altura 0.h > Leccin 1.5. 1) Enuncia el teorema de Weierstrass.

2) Calcula los extremos absolutos (y los puntos dnde stos se alcanzan) de la funcin

f (x) = x2 1+ 9 x2

en su dominio de definicin. Leccin 1.6. Encuentra las dimensiones de un cono circular recto de volumen mximo que se puede inscribir en una esfera de radio R. Cul es el volumen de dicho cono? Y la relacin (el cociente) entre dicho volumen y el de la esfera? Leccin 1.7. Calcula las dimensiones de una pirmide recta de base cuadrangular de volumen mx-imo inscrita en una esfera de radio R > 0. Cul es el volumen de dicha pirmide? Leccin 1.8. 1) Calcula las longitudes de los lados de un tringulo issceles de rea mxima inscrito en una circunferencia de radio r > 0. Cul es el rea de dicha dicho tringulo? Nota. Puedes suponer que la ecuacin de la circunferencia es x2 + y2 = r2 y que un vrtice del trin-gulo est situado en el punto (0,r).

2) Calcula las dimensiones (de las aristas) de una pirmide recta de base triangular de volumen m-ximo inscrita en una esfera de radio R > 0. Cul es el volumen de dicha pirmide? Leccin 1.9. Considera la circunferencia C de radio

0r > centrada en el origen de coordenadas y los puntos

( )0,A r= y ( ),0 .B r= Sea L el arco de C con trazo continuo que une A con B. Calcula las coordenadas del punto ( ),P x y= del arco L para que el triangulo ABP tenga rea mxima. Calcula adems el rea de dicho tringulo. Recuerda que el rea del triangulo ABP viene dada por 12AB

AP

.



3

Leccin 2.1. 1) Calcula, mediante integracin, el rea de una seccin parablica (observa el dibujo) de base b y altura h.

2) Calcula el volumen de un slido sabiendo que su base es un tringulo equiltero de lado 1 y las secciones perpendiculares a la base, paralelas a uno de sus lados, son secciones parablicas de doble altura que base.

Leccin 2.2. Determina, aplicando algn criterio de convergencia, si la integral dxx2 + x0

es convergente. En caso afirmativo calcula su valor.

Leccin 2.3. Considera la funcin

f : x 0,1( ) f (x) = 1x log 1

x

.

1) Calcula los siguientes lmites limx1

1 xx log x

y 0

lim ( ).x

x f x+

2) Justifica que la integral impropia

f (x)dx0

1

es convergente. Leccin 2.4. 1) Enuncia el criterio de comparacin por paso al lmite.

2) Estudia la convergencia de la integral impropia

x 1x4 log x

dx0

1

usando el criterio de compara-cin por paso al lmite. Leccin 2.5. 1) Usa integracin por partes y el mtodo de descomposicin en fracciones simples

para calcular una primitiva de la funcin ( )2

( ) : .1

x

x

xef xe

=+

b

h



4

2) Enuncia correctamente el criterio de comparacin por paso al lmite para integrales impropias.

Usa este criterio para establecer la convergencia de la integral 0( ) .f x dx

3) Calcula el valor de la integral 0( ) .f x dx

Leccin 2.6. Determina si la integral impropia ( )01 tanh x dx

es convergente. En caso afirmativo calcula su valor.

Leccin 2.7. 1) Determina los valores de 0p > para los que 1

30

p p

dxx x+ es convergente.

2) Determina los valores de 0p > para los que 31

p p

dxx x

+ es convergente. 3) Determina los valores de 0p > para los que 3

0p p

dxx x

+ es convergente. 4) Si es convergente, calcula el valor de la integral

30.dx

x x

+ 5) Determina los valores de 0p > para los que 3p p

dxx x

+ es convergente. Leccin 2.8. Se taladra un agujero cilndrico de radio r a travs del centro de una esfera maciza de radio ,R siendo .r R< Calcula el volumen del slido resultante en funcin de r y .R

Leccin 2.9. 1) Comprueba que limx0

tanh xx

=1 y calcula limx0+

log(tanh x)log x

.

2) Determina si la integral impropia log(tanh x)dx0

1

es convergente. 3) Determina si la integral impropia 1log x dx0

1

es convergente.



5

4) Determina si la integral impropia log(tanh x)log x dx01

es convergente. Leccin 2.10. Calcula el volumen del slido cuya base B es el conjunto del plano OXY

B := (x, y)2 :2 x 2,4 x2 4y 8 2x2{ }

y las secciones perpendiculares a la base B y paralelas al plano OYZ son secciones parablicas cuya altura mide el doble que su base. Observa la figura del slido.

Leccin 2.11. 1) Calcula, en funcin de 0,r > el rea de una seccin hiperblica equiltera (obser-

va la figura de abajo a la izquierda) descrita por Hr := (x, y)2 : r x r,x2 + y2 r2{ }.

2) Calcula el volumen del slido S de la figura de arriba a la derecha sabiendo que su base es un semicrculo de radio 1 y que las secciones perpendiculares al plano de la base son secciones hiper-blicas equilteras de forma que la altura de su vrtice es la mitad de la longitud de la base (observa la figura de arriba en el centro).

Leccin 2.12. Determina si la integral impropia 1

1

1log1x dxx

+ es convergente. En caso afirmativo

calcula su valor.

Leccin 2.13. Considera la funcin f (x) = et

t dt1x

, definida para x > 0.

S

S

r

2r

rH



6

1) Halla los polinomios de Taylor de orden 2 y 3 de f alrededor de a = 1.

2) Aproxima el valor de f (1.1) usando el polinomio de Taylor de orden 2 y estima el error co-metido. Para ello, toma el valor e = 2.7183.

3) Tomando e1.1 = 3.0042, prueba que el error cometido en la aproximacin del apartado anterior es menor que una milsima.

Leccin 3.1. Considera la curva C de ecuacin polar r( ) := sen 3

2, con

0 2

3.

1) Calcula las pendientes de la curva C en los puntos 0,0( ) y 12 ,32

. Realiza un dibujo esque-

mtico de la curva.

2) Calcula el rea encerrada por la curva .C

3) Representa grficamente la curva de ecuacin polar r( ) := sen 3

2 y calcula el rea que encierra.

Justifica la respuesta. Leccin 3.2. Considera la curva de ecuacin polar r( ) = 2+ 2cos(2 ).

1) Determina las coordenadas de los puntos de tangente vertical y horizontal de .C

2) Estudia las posibles simetras de la curva C y dibjala esquemticamente, indicando las coor-denadas de los puntos de corte con los ejes coordenados.

3) Calcula la longitud de la curva .C

4) Encuentra la ecuacin cartesiana de la curva C y describe de qu curva se trata. Leccin 3.3. Considera la curva, llamada lgrima, que mostramos a continuacin, parametrizada por ( ) cos ,x t a t= ( ) 2 sen sen(2 ),y t b t b t= con [ ]0,2t y , 0.a b >

OX

OY



7

1) Indica las coordenadas cartesianas de los puntos de corte (y el valor del parmetro) con los ejes coordenados. Asimismo, comprueba que x(2 t), y(2 t)( ) = x(t),y(t)( ), para todo t 0,"# $% y deduce, por tanto, que la curva es simtrica respecto del eje .OX

2) Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos con tangente horizontal.

3) Calcula el rea encerrada por la curva. Leccin 3.4. Considera la curva C de ecuacin polar 2cos .r =

1) Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos de tangente horizontal y de los puntos de tan-gente vertical. Realiza un dibujo esquemtico de la curva.

2) Calcula el rea encerrada por la curva .C

3) Calcula la longitud de la curva .C Leccin 3.5. El folium de Descartes es la curva de la figura, de ecuacin cartesiana x

3 + y3 3xy = 0.

1) Determina su ecuacin polar r = r( ) y comprueba que est definida en el conjunto dado por la

unin:

0,2

34

,

32

, 74

.

2) Si 0

2, se obtiene el lazo del primer cuadrante. Calcula el rea que encierra dicho lazo.

Sugerencia. Para calcular la integral del apartado 2) puedes realizar el cambio x = tan . Leccin 3.6. Considera las cardioides de ecuaciones polares C1 r = 2 2cos y 2 1 cos .C r = +

1) Dibuja las grficas de 1C y 2C , estudiando sus puntos de corte.

2) Calcula el rea de la zona A del plano definida por la siguiente propiedad

A := P 2 : P es interior a C2 y es exterior a C1{ }.

x3 + y3 3xy = 0

x + y +1= 0



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3) Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la cardioide 1C en los puntos de corte que tiene con la recta .y x= Leccin 3.7. Considera la curva C de ecuacin polar r( ) = cos(2 ).

1) Determina las posibles simetras de C.

2) Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos de tangente vertical y horizontal.

3) Comprueba que C pasa por el origen de coordenadas y calcula las ecuaciones de sus rectas tan-gentes en dicho punto.

4) Dibuja esquemticamente la curva C.

5) Calcula el rea que encierra la curva C. Leccin 3.8. Sea C el arco de la curva (x, y, z)3 : z =1 x2 , y = z{ } que une los puntos (1,0,0) y (1,0,0).

1) Calcula la longitud de .C

2) Calcula unas ecuaciones de la recta normal a C en el punto (0,1,1).

3) Calcula la curvatura de C en el punto 12, 34, 34

. Es mxima la curvatura de C en ese punto?

Razona la respuesta. Leccin 3.9. Dada la curva parametrizada C(t) = (et cos t,etsen t,et ), con t , se pide:

1) Comprueba que la curva est contenida en un cono del que debes escribir su ecuacin. Realiza un dibujo esquemtico de la curva.

2) Demuestra que la curvatura de C en cada punto es inversamente proporcional a la distancia del punto al eje del cono en que est contenida la curva.

3) Calcula la longitud del arco de la curva C comprendido entre los planos z = 0 y z = 1. Leccin 3.10. 1) Realiza un dibujo esquemtico de la curva de ecuacin polar r( ) := cos , estu-diando previamente, simetras, puntos de tangencia horizontal o vertical, etc.

2) Calcula el rea que encierra la curva del apartado anterior.

3) Realiza un dibujo esquemtico de la curva de ecuacin polar r( ) := cos .

Leccin 4.1. Considera la funcin 2 21( , ) log .

4f x y

x y=

1) Indica su dominio de definicin y realiza un dibujo esquemtico de su grfica.



9

2) Cul es la direccin de mximo crecimiento de la funcin f en el punto ( )1,1 ? Cunto vale la pendiente mxima en ese punto? En qu direcciones es nula la derivada direccional de la funcin f en el punto ( )1,1 ?

3) Considera las funciones ( ) cos( )x t t t= e ( ) sen( )y t t t= y ( )( ) ( ), ( ) .z t f x t y t= Calcula (1).z Calcula el vector tangente a la curva ( )( ) ( ), ( ), ( )C t x t y t z t= en ( )1,0, log3 .

4) Considera las funciones 1 1( , )x u vu v

= + e 1 1( , ) .y u vu v

= Calcula las derivadas parciales de la

funcin ( )( , ) ( , ), ( , )z u v f x u v y u v= en el punto ( )2,2 . Es diferenciable la funcin ( , )z u v en el punto ( )1,1 ? Leccin 4.2. 1) Sean f y g dos funciones, de una variable, suficientemente regulares. Comprueba que la funcin, de dos variables, ( , ) ( ) ( )z u v f u g v= + verifica que ( , ) 0uvz u v = para todo ( ), .u v

2) Sea ( , )z z x y= una funcin suficientemente regular que verifica 0xx yyz z = y considera el cam-bio de variables ,u x y= .v x y= + Transforma la ecuacin anterior mediante el cambio de varia-bles dado en otra ecuacin en las variables ,u v y .z

3) A la vista de los resultados anteriores, muestra dos ejemplos no triviales de funciones ( , )z z x y= que verifican la ecuacin 0.xx yyz z =

Leccin 4.3. Considera la funcin 2 21( , ) 36 9 4 .4 2

z x y x y=

1) Determina su dominio de definicin y realiza un dibujo esquemtico de su grfica.

2) Calcula la direccin de mximo crecimiento en el punto ( )0,1 y el valor de la correspondiente derivada direccional.

3) Calcula el vector tangente, en el punto ( )0,1,1 , a la curva que se obtiene al cortar la grfica de la funcin ( , )z z x y= con el plano 0.y z = Leccin 4.4. Considera la funcin ( )2 2( , ) log 36 9 4 .z x y x y=

1) Determina su dominio de definicin y realiza un dibujo esquemtico de la grfica de la funcin.

2) Calcula la direccin de mximo crecimiento en el punto ( )2, 3 y el valor de la correspondien-te derivada direccional.

3) Calcula el vector tangente, en el punto ( )2, 2, log10 , a la curva que se obtiene al cortar la gr-fica de la funcin ( , )z z x y= con el plano 0.x y =



10

Leccin 4.5. Considera la ecuacin diferencial 5 5 5 52 2 0,xx x yy yxy z y z x yz x z + = siendo ( , )z z x y= una funcin de clase 2C en el primer cuadrante, es decir, para 0,x > 0;y > y considera

tambin el cambio de variables 3

3

,.

x u vy u v

= +

= Transforma la ecuacin anterior mediante el cambio de

variables dado en otra ecuacin diferencial en las variables ,u v y .z Leccin 4.6. Consideremos una funcin de dos variables f (u,v) y sean u(x, y) = sen x + e

x y y

v(x, y) = (x y 1)2 + arctan y. Si Df (1,1) = (3,4) y D

2 f (1,1) es la matriz nula, calcula D2g(0,0),

sabiendo que g(x, y) = f (u(x, y),v(x, y)). Leccin 4.7. Considera la funcin f (x, y) = (x2 + y2 1)2.

1) Describe las curvas de nivel f (x, y) = c y, en particular, dibuja las curvas de nivel para c = 0,

c = 14, c = 1 y c = 3. Dibuja esquemticamente la grafica de la funcin f .

2) Comprueba que Df (1,1) es un vector normal a la curva de nivel f (x, y) = 1 en el punto (1,1).

3) Determina los puntos de la grfica de f en los que el plano tangente es horizontal.

4) Calcula la recta tangente a la curva que se obtiene al cortar la grfica de f con el plano 2x = y en el punto (1, 2,16).

5) Sean x = x(u,v) e y = y(u,v) funciones diferenciables tales que x(0,0) = y(0,0) = 1 y verifican f (x(u,v), y(u,v)) = u v. Calcula xu(0, 0)+ xv (0, 0)+ yu(0, 0)+ yv (0, 0).

Leccin 4.8. Considera la funcin 2 2 2( , ) 2 ( 1) .f x y x y= +

1) Describe las curvas de nivel ( , )f x y c= y, en particular, dibuja las curvas de nivel para 2,c = 1,c = 0c = y 2.c = Dibuja esquemticamente la grafica de la funcin .f

2) Sea 0 0( , )x y un punto de la curva de nivel ( , ) 2f x y = Qu relacin existe entre 0 0( , )Df x y y el vector normal a la curva de nivel ( , ) 2f x y = en el punto 0 0( , )x y ?

3) Determina los puntos de la grfica de f en los que el plano tangente es paralelo al plano de ec-uacin 4 4 0.x y z+ =

4) Calcula la recta tangente a la curva que se obtiene al cortar la grfica de f con el plano 2 .x y= en el punto (2,1,14).

5) Sean ( )x x t= e ( )y y t= dos funciones derivables tales que (0) (0) 1x y= = y adems verifican 2( ( ), ( )) 1 4 .f x t y t t= Sabiendo que (0) (0) 0x y = = y (0) 0,x > Calcula (0)x e (0).y

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