SIMPLIFICACIN DE PROPOSICIONES

7. Leyes del Condicional: a) p q ~p q b) ~ (p q) p ~q

8. Leyes del Bicondicional: a) p q (p q) (q p) b) p q (p q) (~p ~q)

10. Leyes de Transposicin: a) (p q) (~q ~p) b) (p q) (~q ~p)11. Ley de Exportacin: (p q) r p (q r)

12. Formas normales: Para la Conjuncin: V V V; V P P; F P F Para la Disyuncin: F F F; F P P; V P V

13. Elementos Neutros para la Contradiccin y Tautologa: P C = C; C T = T; P T = T; C T = C donde: T= Tautologa (Verdad), C = Contradiccin (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera

SIMPLIFICACIN DE PROPOSICIONES

La simplificacin de una proposicin, o dicho de otra manera, la simplificacin de una expresin lgica consiste en reducir la expresin lgica a una forma ms simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lgicas.

La simplificacin consiste en ir desarrollando la expresin paso a paso mediante la sustitucin en cada paso de una expresin lgica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresin lgica irreducible.

A travs de la simplificacin podemos tambin demostrar una equivalencia lgica sin usar tablas de verdad.

1.- Simplificar la expresin:

[(p p) q] [~q (r q)] [p (p ~q)] Recuerde Ubicar la ley que utiliza[(~p p) q] [~q (r q)] [~p (p ~q)] Condicional [(~p p) q] [~q (r q)] [(~p p) ~q] Asociativa(V q) [~q (r q)] (V ~q) Forma NormalV [~q (r q)] V Forma normalV V [~q (r q)] AsociativaV [~q (r q)] Forma normal~q (r q) Distributiva(~q r) (~q q) Elemento neutro(~q r) V Forma normal~q r

2.- Simplificar

[~(p q) (~p q)] (~p q Ley de Morgan[(~p ~q) (~p q)] (~p q) Distributiva[~p (~q q)] (~p q) Complemento(~p V) (~p q) Forma Normal~p (~p q) Condicional~ (~p) (~p q) Doble negacinp (~p q) Distributiva(p ~p) (p q) ComplementoV (p q) Forma Normalp q

3. [(p ~q) ~p ] q Condicional

~ [~ (~p v ~q) v ~p ] v q Morgan [~~ (~p v ~q) ~~p ] v q Doble negacin [ (~p v ~q) p ] v q Conmutativa [ p (~p v ~q) ] v q Distributiva [ (p ~p ) v (p ~q) ] v q Complemento [ F v (p ~q) ] v q Forma Normal (p ~q) v q Conmutativa q v (p ~q) Distributiva (q v p) (q v ~q) Complemento (q v p) V Forma Normal (q v p)

4. [(p q) ~r] v [p (q ~r)] Condicional [~ (p q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)] Morgan[(~p v ~q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)] Elimino signos de agrupacin~p v ~q v ~r v ~p v ~q v ~r Asociacin(~p v ~p) v (~q v ~q) v (~r v ~r) Idempotencia~p v ~q v ~r Morgan~ (p q r)

Simplificar las siguientes proposiciones aplicando las leyes:1. ~{[(~p) (~q)] ~q ]} Asociativa ~{[ ~p (~q ~q)] } Idempotencia ~[~p ~q] Morgan ~~p ~(~q) Doble Negacin p q

2. [~p q] [~q ~p]3. ( p ~p) [p (q p)]4. [~ (p q) ~ (q p)] (p q)5. {[(p q) ~q] ~q}6. ~[(p p) p]7. [(p ~q) q] p8. ~[~ (p q) ~q] q9. [(~p q) (r ~r)] ~q10. [(p q) (p ~q)] (~p ~q)11. [(~p q) (r ~r)] ~q12. [(p p) q] [~q (r q)] [p (p ~q)]13. [~(p q) (~p q)] (~p q)14. [( p ~ q) ~p] q15. [( p q) ~r] v [ p ( q ~r)]

FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA

1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p la comida es buena; con q el servicio es bueno y con r es de tres estrellas. Escribir simblicamente las siguientes proposiciones:a) La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosasb) La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas.c) La comida es buena y el servicio no.d) No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellase) Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellasf) No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio.

2) Denotemos con p el clima es agradabley con q vamos de da de campo. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial y, si es posible, simplificar:

a) p qb) p qc) q p

3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales:

a) (p q) p b) (p q) p c) p (p q)

d) (q p) (p q) e) (p q) ( r)f) (r r)

4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; r y s son respectivamente V; F; F y V. Obtener los valores de verdad de:

i) [(p q) r] s ii) r (s p) iii) (p r) (r s)

5) Determinar en cada caso si la informacin que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.

i) (p q) r; r es V ii) (p q) ( p q); q es V

6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (p q) q si p q es Falso

b) p (p q) sip q es Verdad

c) [ (p q) q] q sip es Verdad y q es Verdad

7) Simplificar las siguientes proposiciones:

a) ( p q) b) (p q) ( p q)

8) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lgicas:

i) p q r iii) p [ p q ]

ii) [ (p q) (q r) ] (p r)

9) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes

i) (p q) r iii) q r

ii) p qiv) p (q r)

FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA

1) Denotemos con p el material es interesante; con q los ejercicios son difciles y con r el curso es agradable. Escribir las siguientes afirmaciones en forma simblica:a) el material es interesante y los ejercicios son difcilesb) el material no es interesante, los ejercicios no son difciles y el curso no es agradable.c) Si el material no es interesante y los ejercicios no son difciles entonces el curso no es agradable.d) Que el material sea interesante significa que los ejercicios son difciles y viceversa e) O el material es interesante o los ejercicios no son difciles pero no ambas cosas.

2) Escribir las siguientes afirmaciones en forma simblica:a) El sol brilla y la humedad no es altab) Si termino mi tarea antes de la cena y no llueve, entonces ir al partido de ftbolc) Si no me ves maana significa que habr ido a la playad) Si el costo de las utilidades crece o se niega la requisicin de fondos los adicionales, entonces compraremos una nueva computadora si y solo si podemos mostrar que los recursos de cmputo son, en efecto, insuficientes.

3) a) Escribir una afirmacin compuesta que sea verdadera cuando exactamente dos de tres afirmaciones p; q y r sean verdaderas.b) Escribir una afirmacin compuesta que sea verdadera cuando ninguna, o una, o dos de las tres afirmaciones p; q y r sean verdaderas.

4) Determinar en cada caso si la informacin que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.

i) (p q) (p r); pes V y r es Fii) p (q r);(p r) es V

5) Simplificar los siguientes esquemas proposicionales aplicando las leyes:

i) (p q)ii) (p q) q

6) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lgicas

i) p (p q)ii) p (p q)

7) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; r y s son respectivamente: V; F; F y V. Obtener los valores de verdad de:

a) [ (p q) r] sb) (r s) (p s)c) (s q) p

8) Demuestre por tablas de verdad las siguientes leyes:

i) [ (p q) q ] qii) (p q) p qiii) (p q) p q

En los siguientes prrafos transfrmelos a formulas lgicas:

9) Antonio, Miguel y Juan perteneces al club Alpino. Cada miembro del club esqua, escala o ambas cosas. A ningn escalador le gusta la lluvia y a todos los esquiadores les gusta la nieve. A Miguel le disgusta lo que a Antonio le gusta, y le gusta lo que a Antonio le disgusta. A Antonio le gusta la lluvia y la nieve. Hay algn miembro del club Alpino que sea escalador pero no esquiador ?

10) Cierto pas est habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que respondern preguntas solo con si o no. Un turista llega a una bifurcacin en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qu camino seguir, pero hay un nativo, el seor z, parado en la bifurcacin. Qu nica pregunta deber hacerle el turista para determinar qu camino seguir?.

11) Determine si cada una de las afirmaciones de los ejercicios 1-8 es una proposicin. Si la afirmacin es una proposicin, escriba su negacin. (No se le piden los valores de verdad de las afirmaciones que son proposiciones).

1. 2 + 5 = 19 2. Mesero, puede traer las nueces? Es decir, puede servir las nueces a los invitados? 3. Para algn entero positivo n, 19340 = n 17. 4. Autrey Meadow fue la Alicia original en The Honeymooners. 5. Plame una uva. 6. La frase Hazlo de nuevo, Sam aparece en la pelcula Casablanca. 7. Todo entero mayor que 4 es la suma de dos nmeros primos. 8. La diferencia de dos primos.

12) Ejercicio de aplicacin 2

Construir la tabla de verdad de (p ~q) r. El nmero de casos o filas que tiene la tabla de verdad de una proposicin compuesta es siempre 2n, siendo n el nmero de proposiciones simples de que consta. Por ejemplo, si intervienen tres proposiciones habr: 23 = 8 casos.

13) Evale cada proposicin en los ejercicios 1 6 con los valores de verdad. p = F, q = V, r= F.1. p q Verdadero2. ~p ~q3. ~p q4. ~p ~ (q ^ r) Verdadero5. ~ (p q) ^ (~p r)6. (p ~r) ^ ~ ((q r) ~ (r p))