Mecánica de fluidos

EJERCICIOS

PROBLEMA N°06: El agua entra en una tubería desde un recipiente de grandes dimensiones y después de abandonarla índice sobre un alabe de flector que desvía el chorro a 90°, según se muestra en la figura. Si sobre el alabe deflector se desarrolla un empuje horizontal de 100kg. ? Cuál es la potencia en caballos de vapor desarrollada por la tubería si antes de la misma la presión es de 3kg/cm2

PB.A

P=3kg/cm2 D= 0.15m

2

F=100kg

PB=3 kg /cm2

Solución:

F=PB . A−PD . A F=(P¿¿ B−PD)x A ¿

BERNOULLI 1 Y 2:

P1

γ+

V 12

2g+Z1=

P2

γ+

V 22

2 g+Z2

P1

81=

V 22

2 g−

V 12

2g………(1)

POTENCIA= V∗Q∗HD

76= kg

m3∗m∗m3/s F x V

BERNOULLI EN D y Y:

PD

γ+

V D2

2 g+ZD=

PY

γ+

V Y2

2 g+ZY

Fγ

=( PB

γ−

PD

Y )A F=γ∗H D∗A

1000kg=1000kg/m3xH Dx Π4

x 0 .152 H D=5.65 m

Potencia=γx Qx HD

76

P1

γ=V B2

2 g−V C2

2g

3kgcm2

1000 kgcm3

=V B2

2 g

V B=3x 104

1000x 2x 9.81 V B=24.26m /s Q=V x A

Q=24.26xΠ4 x0.15

Q=0.42m/s

Potencia=V∗Q∗HD

76

Potencia= 1000 kg/cm3 x 0.42 x5.65 m76

Entonces: potencia=

11. Un chorro de agua es descargado por un chiflón, de 2.5cm de diámetro, en dirección vertical y ascendente; suponemos que el chorro permanece circular y que se desprecian las pérdidas de energía durante el ascenso.a) Calcular el diámetro del chorro, en un punto a 4.60m sobre la boquilla del chiflón, si la

velocidad del agua al salir es de 12m/seg (considerar que el coeficiente de Coriolis α=1).b) Determinar la presión que debe leerse en el manómetro M, si el diámetro en la tubería es de

0.40m. Considere despreciable la pérdida de energía entre las secciones 0 y 1.c) Si el chorro forma con la horizontal un ángulo de 45° y se desprecia la fricción con el aire,

determinar la altura máxima que alcanzará y la magnitud de la velocidad en ese punto.

SOLUCIÓN

1.º. Tomando datos del problema:

2.º. Desarrollando la pregunta a): Calculando el diámetro del chorro.

De la ecuación de continuidad, tenemos:

…(1)

Y de la ecuación de Bernoulli, hallamos :

31.22HP

Tomando los datos del problema, la ecuación queda de la siguiente manera:

Reemplazando en el (1):

Entonces el diámetro del chorro es .

3.º. Desarrollando la pregunta b): Calculando la presión que debe leerse en el manómetro M.

De la ecuación de continuidad, tenemos:

Y de la ecuación de Bernoulli, hallamos :

Tomando los datos del problema, la ecuación queda de la siguiente manera:

Entonces el diámetro del chorro es .

ROBLEMA N°12: En una tubería de 0.30m de diámetro escurre agua; para medir la velocidad se ha instalado un tubo de pitot- como se muestra en la figura- donde el líquido empleado en la medición tiene un γ= 850kg/m3. Calcular la velocidad “v” para Δh= 0.25m y el gasto en la tubería.

γ = 850kg/m3

D=0.30m

v

Solución:

P1

γ+

v12

2g+z1=

P2

γ+

v22

2g+z2 ; z1=z2

Entonces: Q1=Q2 A1 V 1=A2 V 2 ; A1=A2 V 1=V 2

Ahora: P1

γ+

v12

2g=

P2

γ+

v22

2g

P2−P1

γ=0 P2−P1=0

POR MANOMETRIA:

P1- x γagua – (0.25) (850)+ (0.25+x)γagua= P2+γaguaV 2

2

2

Δh

P1-x γagua-212+0.25γagua+x γ agua=P2+γaguav2

2

2

P1−212+250=P2+500V 22 38 - 500V 2

2=P2−P1=0

V 2=√ 38500

Por lo tanto: V 2=0.28m / s

Ahora: Q=A2 V 2=0.28∗Π

4(0.3)2 Q=0.0198m3/s

14) En la tuberia (mostrada en la figura) se ha aforado un gasto de agua es de 6 m3 /min cuando la carga es de H = 10m

a) Calcular las perdidas atravez del sistema como función de la carga de velocidad KV2 /2g .

b) suponiendo que en el extremo de la tubería se coloca un chiflon cuya boquilla tiene un diámetro de 0.05m , calcular el gasto y la presión en la sección justo arriba del chiflon ; para ello considere que las perdidas en la tubería son : 4V1

2/2g + 0.05V22/2g y que H=7m . En este caso V1 y

V2 son las velocidades del agua en la tubería y en el chiflon respectivamente .

c) Calcular la potencia del sistema.

Solución :a) Q =AV ↔ Q = 6m3/mim = 0.1m3/seg

→ 0.1 = Vπ (0.15)2/4 V = 5.7 m/s EC. De la Energia : P1/ Ұ +V1

2/2g +H = P1/ Ұ +V22/2g +H +hf

H/g - V22/2g = hf

hf = -0.6245b) hf = 4V1

2/2g + 0.05V22/2g

Ec. De continudad :V1A1 =V2A2

V1D1 =V2D2

9V1 =V2

V22 =81V1

2 ……….(I) Ahora por la Ec de la energía se tiene: P1/ Ұ +V1

2/2g +H = P1/ Ұ +V22/2g +H +hf …………(II)

Ahora (I) en (II) se tieneH/g +H1 –H2 = 81V1

2/2g + /2g + 0.05V22/2g –V1

2/2g

Para g =10 , H1 =10 Y H2 =71+ 10 – 7 = 84V1

2/2g + /2g + 81/40g4 =1761/400 V1

2

V12 = 0.953m/s

Como 9V1 =V2 → V2 = 8.577 m/sEl gasto es : Q = 8.577*π (0.05)2/4 Q = 0.0168m3/sLa presión es :P = 1000*7P = 7000

c) la potencia es :Pot = 1000*0.0168*7Pot = 117.6 HP

Ejercicio 17: La velocidad en el punto A, de la figura, es de 18 m/s. ¿Cuál es la presión en el punto B, si se desprecia la fricción?

SOLUCIÓN

Vc = VB x cos(45°)

18 = VB x 0.07071

VB = 25.5 m/s.

VCAC = VBAB

25.5 x π4

(0.1)2 = VB x π4

(0.25)2

VB = 4 m/s

(PB/γ) + (VB2/2g) = (PA/γ) + (VA

2/2g)

(PB/1000) + (42/2(9.81)) = (25.52/2(9.81))

PB = 32.32

C

Bomba

S

DD

20. Una bomba eleva agua desde un cárcamo, a través de un tubo vertical de 0.15m de diámetro. La bomba tiene una tubería de 0.10m de diámetro, cuya descarga horizontal esta 3.25m arriba del nivel de cárcamo. Al bombear 0.036 kg/cm2, en el manómetro del lado de la succión de la bomba se lee 0.324 kg/cm2 y del lado de la descarga 1.8 kg/cm2. El manómetro colocado del lado de la descarga esta 1.50m arriba de la succión. Calcular la potencia que la bomba entrega agua.

D2=0.10m 1.50m

3.25 m D1=0.15m

Solución

Datos:

D1 = 0.15 mD2 = 0.10 mPD = 1.8 kg/cm2

PS = 0.324 kg/cm2

1. Calculando las aéreas

AS = πx D12

4 = 0.018 m2

AD = πx D2

2

4 = 0.008 m2

2. Aplicando la Ecuación de Bernoulli

V 2

2g+P

δ+Z

V S2

2 g+

PS

δ+ZS=

V D2

2g+

PD

δ+ZD+hf S−D

V D2−V S

2=2g (PD−PS

δ+Z D−ZS)

V D2−V S

2=29.46 ------

3. Aplicando la Ecuación de la Continuidad

AS .V S=AD .V D

0.018 V S=0.008V D

V D=2.25V S -----

4. Reemplazando 2 en 1

(2.25 V ¿¿S )2−V S2=29.46 ¿

¿¿¿

4.06 V S2=29.46

V S=2.69 mseg

V D=6.05 mseg

5. Calculando la potencia

Pot=σQHD75 η

σ = 1000 Q = V D . AD

Q = 0.0484 m3/seg

Hf = 10.7LQ1.85

C1.85 D4.87

C = 150L = 3.25 m D2 = 0.10 m

Hf = 0.90 mHD = 4.15 m

Luego:Pot =5.36 Hp

PROBLEMA N 23

Una bomba de flujo axial eleva el agua desde una canal y la descarga hacia una zanja de riego cuyo nivel se encuentra 1.5m por encima del nivel del canal, tal como se muestra en la figura. Si el gasto requerido es de 3.785m3/min min y la eficiencia de la bomba es del 65%,determinar la velocidad con que sale el agua y la potencia aprox. que requiere el motor.

DATOS:

Q= 3.875m3/min Q=3.875m3/min Hb=1.80 n=65 % 0.65 d=0.25m

a).-Determinar la velocidad en que sale el agua.

Q = V.A

3.875=Vx .(0.25)2/4

V=0.301 m/s

b).-Potencia aprox. que requiere el motor.

P=ϒxQxHB/75x n

P=1000 x 3.7853x1/60x1.80/75x0.65

P=2.33CV

25. El agua de un gran depósito, como se muestra en la fig. Tiene su superficie libre 5 m arriba del tubo de salida. Según se muestra, el agua es bombeada y expulsada en forma de charro libre mediante una boquilla.Cuál es la potencia en caballos de vapor requerida por la bomba

Solución

Aplicando la Ecuación de Bernoulli en 1 y 2

P1

δ+

V 12

2 g+Z1+H D=

P2

δ+

V 22

2 g+Z2+hP

5+H D=V 2

2

2g+1.5

H D=V 2

2

2 g−3.5 ----- A

Aplicando la Ecuación de Bernoulli en 2 y 3

P2

δ+

V 22

2 g+Z2=

P3

δ+

V 32

2g+Z3

Como es un chorro libre V3= V2 Cos 45°

V 22

2g+1.5=

V 32

2g+7.5

V 22

2g−

V 32

2 g=6

V 22

2g−¿¿

V 22( 1−cos245

2 g)=6

V 22

2g(0.5)=6

V 22

2g=12 ----- B

V 2=15.34

Reemplazamos B en A

HD = 8.5 m

Q2 = A2.V2

= π (0.12)4 √2 x9.81 x12

= 0.121 m3/seg

Pot=δQHD75

Pot = 13.71 HP

En caballos de vapor

13.71 HP x 745.7 w1 HP

x 1CV735.499 w

Luego:

Pot = 13.90 cv

Problema N° 30

El tirante en un rio, aguas arriba de una presa, es de 3.70m como se ve en la figura, el gasto es de 1.12m3/seg para cada metro de la presa

a) El tirante y2 al pie de la presa suponiendo despreciables las pérdidas

b) La figura horizontal resultante de empuje dinámico del agua arriba de la presa comparar la figura con la que se obtendrá supuesta una presión hidrostática

Solución: 1) Aplicando la Ecuación de Bernoulli

P1

δ+

V 12

2 g+Z1=

P2

δ+

V 22

2g+Z2

V 2=√2g (Z1−Z2) = V 2=√2g ( y1− y2)2) Aplicando la Ecuación de la

ContinuidadQ = AVPara un metro de ancho =1.12m3/seg1.12 = y2 √2 g( y1− y2)1.12 = y2 √2(9.81)(3.7− y2)(1.12)2 = y2

2(19.62)*(3.7-y2)1.25 =72.6y2

2 - 19.62y23

1.25 =19.62 y23 - 72.6y2

2

19.62y23- 72.6y2

2 + 1.25 = 0y2 = 0.134mAhora:p1 = δph1

p1 = (1000)*(9.81)*(0.134)p1 = 1314.54pascal

Entonces:

P2 = δph2

P2 = (1000)*(9.81)*(3.70)

P2 = 36297pascal

Para:

h = 3.7 – 0.134

h = 3.566

Luego:

F = A*1

F = (P1+P 2

2¿h∗1

F = (1314.54∗36297

2¿3.566∗1

F = 67061.4N

34 .Determinar las fuerzas de los componentes Fy y Fx necesarias para mantener en reposo la caja de distrubucion mostrada en la figura . No considerar las fuerzas debidas a la presion en la tuberia.

Solución:

Primero proyectamos las fuerzas según al eje “x” y considerando el cambio de cantidad de movimiento

FX = γg (-Q1V1 COS (45®)-Q4V4 COS (30®)+Q3V3 COS

(45®)-Q2V2)

FX = 10009.81 *(-0.3*1.8*cos(45)- (0.33)(3) cos(30)+(0.24)(3.6) cos(45)+(0.21)(4.5))

FX = 160.44 kg

Analógicamente proyectamos las fuerzas según al eje “y” y considerando el cambio de cantidad de movimiento

FY = γg (-Q1V1 SEN (45®)-Q4V4 SEN (30®) +Q3V3 SEN (45®)-Q2V2)

FY = 10009.81 *(-0.3*1.8*sen(45)- (0.33)(3) sen(30)+(0.24)(3.6) sen(45)+(0.21)(4.5))

FY = 123.35kg

Fuerza dinámica total:

F = √ Fx2+F y

2

F =√160.442+123.352 = 202kg

EJERCICIO # 37

Una tuberia horizontal de 6m de diametro tiene un codo reductor ue conduce al agua a una tuberia de 4m de diametro, unida a 45° de la anterior. La precion a la entrada del codo es de 10kg/cm2 y la velociadaad de 15m/s.determinar las componentes de la fuerzas que an de soportar los anclejes del codo.despreciar las pedidas en el codo y el peso del liquido dentro del mismo.

12

SOLUCIÓN

Datos:

D1 = 6 mD2 = 4 mV1= 15 m/sP1 = 10kg/cm2 =105kg/m2

1.- Calculamos la velocidad en el punto 2.

Aplicando la Ec. De CONTINUIDAD

Q1 = Q2

Π∗36∗15

4 = Π∗16∗V 2

4

V2 = 33.8m/s

2.- Aplicando la Ecuación de Bernoulli entre (1) y (2).

V 12

2 g+

P1

δ+Z1=

V 22

2g+

P2

δ+Z2

152

19.6+ 105

103 =P2

103 +33.82

19.3+7

P2= 46360 kg/m2

3.- calculamos el caudal.

Q1 = A1 * V1

Q1 = 28.27 m2 * 15 m/sQ1 = 424.12 m3/s

3.- Calculamos las componentes de las fuerzas. Para la componente X.

∑❑

❑

Fx=¿δQ (Vs−Ve)¿

F1 –F2cos45° – Fx = δQ (V 2 cos45 °−V 1)

P1*A1–P2*A2cos45° – Fx =1000∗424.12∗(V 2 cos45 °−V 1) Fx = 1969.75 Ton

Para la componente Y.

∑❑

❑

Fy=¿ δQ(Vs−Ve)¿

–F2sen45° +Fy¿ 1000*424.12*(V 2 sen 45°−V 1) –P2*A2sen45° +Fy¿1000*424.12*(V 2 sen 45°−V 1) Fy¿ 1506.30 ton

Ejercicio N° 38: ¿qué fuerza propulsora se ejerce sobre la vagoneta de la figura? ¿Cuál es el rendimiento de este chorro como sistema de propulsión?

DATOS:

D = 75 mm 0.075 m

V = 10 m/s

--- 0 ---

Q = V.A

Q= 10xπ (0.075)2

4

Q = 0.044 m3/s

FR = γg Q(Vs – Ve)

FR = 10009.8 ( 0.044)(cos30°)(0-15)

FR = 58.32 Kg

40

41. La tubería mostrada cambia su diámetro de D1 = 1.5m a D2 = 1m y conduce un gasto de agua Q = 1.8m3/seg, siendo la presión p = 4kg/cm2. Despreciando la perdida de energía debida al cambio de diámetro. Calcular la fuerza dinámica F a que está sujeta la pieza que sirve para realizar la transición.

Solución:

1) Aplicando la ecuación de Bernoulli:

P1

γ +

V 12

2g + Z1 =

P2

γ +

V 22

2 g + Z2

……………….(1)

2) Aplicando la ecuación de continuidad:

Q1 = Q2

A1 V 1 = A2 V 2

π4 *1.52*V 1 =

π4∗12*V 2

V 2 = 2.25V 1

Por dato: Q = A1 V 1

1.8 =π4 *1.52*V 1

V 1 = 1.0186m/seg V 2= 2.2918m/seg

3) Reemplazando en 1 :

4∗104

1000 + 1.01862

2∗9.81+ 0 = 2.29182

2∗9.81 +

P2

1000 + 0

P2 = 39785.18 kg/m2 P2 = 3.9785 kg/

cm2

4) Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento:

F = P1 A1−P2 A2−ρQ(V 2−V 1)

F= 4*104*π4 *1.52−¿3.9785* 104∗π

4*

12−10009.81 *1.8*(2.2918−1.0186 ¿

F = 39205.154 kg.

EJERCICIO N. 43

Una turbina descarga el agua al canal de desagüe a través de un tubo de succión que tiene la forma de un tronco de cono, el cual se inicia con un diámetro d =1m y termina con D = 2m, siendo su longitud L =4m, el descargado por la maquina es Q = 5.5m/s, el desnivel H= 3m. la perdida de energía en el difusor se puede calcular . De la ecuación W= 6000

Calcular la fuerza dinámica producida sobre

el difusor.

POR LA ECUACIÓN E CONTINUIDAD

Q1 = Q2

V1 A1 = V2 A2

V1 (1)² = V2 (2)²

Vѕ = 4Vҽ

Q=V*A

5.5= Vҽ π4∗12

Vҽ=7.0028 m/sVҽ

∑ f=§∗Q(¿Vѕ−Vҽ )¿

10009.8

(4Vҽ−Vҽ )

W-FH = (1000)/9.8 *(3) (7.0028)

6000-FH= 1000∗3∗7.0028

9.81

FH= 3858.47 KG

EJERCICIO Nº45: En la bifurcación mostrada en la figura D= 1.2m; d=0.85m; el ángulo Ө=45º; y la presión p=50Kg/cm2. El gasto total es Q=6 m3/seg de agua y la bifurcación está contenida en un plano horizontal.

a) Calcular la fuerza dinámica que se produce.

D

d

d

p1

3

2

SOLUCIÓN:A = (πxD2)/4 =1.13m2

Por medio del caudal hallamos la velocidad:Q=Q1+Q2Q=AxVQ= (π D2/4 )V6m3/seg=1.13m/seg+VV=5.31m/seg

Hallamos V1 Y V2

Vπ=V1π+V2πVπ x 9/4= V1π +V2πV x 9/4=V1+V2

11.95m/seg=V1+V2

Se sabe que V1=V2

11.95m/seg=2V1

V1=5.98Ranal izquierdo: ∑Fx= ρQ(vS-ve)Q1=3.40m3/seg-Fx+Pa-Pa=6m3/seg x 1000Kg/m3(5.98-5.31) Fx= - 4020 Kg

∑ FX2= ρQ (Vs-Ve)-Fx2+ Pa=3.40 x 1000(5.98 Cos45 - 5.31)-Fx2+ Pa=3.40m3/seg x 1000Kg/m3 (5.98Cos45 –

5.31) Fx2=-503677 Kg

∑ Fx1=ρQ (Vs – Ve)-Fx1+ Pa-PaCos45=2 x 3.40m3/seg x 1000 Kg/m3 (5.98Cos45 – 5.31) Fx=153800Kg

FUERZA TOTAL=653457Kg

∑Fy=ρQ (Vs – Ve)-Fy + PaSen45 =6m3/seg x 1000Kg/m3(5.98Sen45 - 5.31)

Fy = 360042Kg

FUERZA DINAMICA:=√6534572+3600422

=746081 Kg

46.- La bifurcación mostrada en la figura tiene la siguiente geometría: D=3m, d=2m, , con

un gasto total de agua y una presión . Calcular la fuerza dinámica considerando que la bifurcación está contenida en un plano horizontal.

SOLUCIÓN

1) Datos del problema:

D=3md=2m

=??2) Calculando las áreas de las tres

tuberías:

Como

3) Calculando las velocidades:

Como

4) Aplicando la ecuación de bernoulli entre la sección 1 y 2

Como

5) Proyectando las fuerzas según el eje y.

6) Proyectando las fuerzas según el eje x.

A1=π4

D2= π4

(32 )

A2=π4

D2=π4

(22)

A1=7 .07 m2

A1=3 .14 m2

A2=A3=3 . 14m2

V 1=Q1

A1=35

7. 07

Fy+F3 Sen(θ )+F2 Sen(θ )= γg(Q3V 3 Sen(θ )+Q2V 2 Sen(θ ))

V 1=4 . 95m /s

V 2=Q2

A2=17 .5

3 .14V 2=5 .57m / s

Fy=103

9 .81 [2(17 . 5 x5 .57 Sen(60 ))]−[2 (29 . 97 x104 x 3.14 xSen(60 ))]V 2=V 3=5 .57 m / s

F y=−1612750. 11 Kg

p1

γ+

V 12

2 g+z=

p2

γ+

V 22

2g+z

p2=30 x104+103 ( 4 .952+5 . 572

2x 9 .81)

p2=p1+γ (V 1

2−V 22

2g)

p2=29 .97 x 104 Kgm2

p2= p3=29 .97 x 104 Kgm2

Fx=103

9. 81 [2(17 .5x 5 .57 Cos(60 )+30 x 4 . 95)]+[2(29 . 97 x104 x3 .14 xCos(60 ))]−(30 x 104 x7 .07)

Fx+F1−F3Cos (θ )−F2Cos(θ )= γg(Q2V 2Cos(θ)+Q3 V 3Cos(θ )+Q1V 1)

Fx=−1154868. 096 Kg

7) Calculando la fuerza dinámica:

LISTA DE ALUMNOS

Arce Bazán, Cristhian.

Arias Verastegui, Luis Anderson.

Asiu Domínguez, Gissela.

Carrasco Rodríguez, Lennin.

Fdinam=1983603 .60 Kg

Fdinam=√1612750.112+1154868.0962

Castillo García, Ruben Olmedo.

Chilcón Julca, Maikol.

Díaz Vásquez, Roger.

Guerrero Bravo, Carla.

Huamán Díaz, Yndy.

Laban Lizana, Carlos.

Llanos Oblitas, Thalia.

Ojeda Jaimes, Janet.

Olaya Serrano, Luis.

Paredes Jiménez, Maria M.

Rodríguez Montenegro, Arnold.

Romero Cano, Kevin.

Serrano Baldera, Carlos.

Tantalean Rojas, Carlos.

Tineo Barboza, Marlyn F.

Tinoco Lozada, Kely.

Villegas Misme, Ruben Smith.