ejercicios de álgebra selectividad · pdf fileies juan garcía valdemora...

IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS

Página 1

1. Dadas las matrices

−=

53

21A y

=

24

10B calcula:

a) BA+

b) BA−

c) BA 32 −

d) BA ⋅

e) AB ⋅

f) BBA t ⋅+ )(

g) 1)( −⋅ BA

h) 2)( BBA t −⋅

i) 12 )( −⋅− BIA t


−=

503

120

031

A y

−=305

110

012

B calcula:

a) BA+

b) AB −

c) BA 3+

d) BA ⋅

e) 2B

f) BA −3

g) tt BA )( −

h) 1−⋅ AB

i) 2)( BBA t −⋅

3. Dadas las matrices ( )5311 −=A

−

=

1

0

5

4

B

−=1130

2104

9723

C

−

−=

22

20

11

27

D

−−=

312

403

112

E calcula:

a) BA ⋅

b) AB ⋅

c) CA⋅

d) AC ⋅

e) BC ⋅

f) CB ⋅

g) DA⋅

h) DC ⋅

i) 3E

j) EIE ⋅− )2(

k) CE ⋅

l) 1−E

4. Halla la inversa de las siguientes matrices:

−−=

39

47A

−=

20

11B

=

10

21C

−=

11

23D

−−=

312

403

112

E

−−=

122

010

011

F

−−−−−−

=251

5122

261

G

−=310

213

541

H

5. Resuelve la ecuación matricial PBAX +=⋅ , siendo

−=

42

11A

=

02

31B y

−−=

26

44P .


Página 2

6. Resuelve la ecuación matricial PNXM =+⋅ , siendo

−=

21

12M

=

51

32N y

=

30

29P

7. Resuelve la ecuación matricial CBAX =⋅⋅ , siendo

−=

10

41A

−=

41

23B y

−−

=12

21C

8. Resuelve la ecuación matricial BXA 22 =⋅ , siendo

−=

42

11A y

−−

=130

411B

9. Sean las matrices:

−−

=23

12A ,

−−=

111

210B ,

−−

=143

521C

a) Realiza, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices: BA ⋅ , CB ⋅ y AC ⋅

b) Resuelve la ecuación matricial CBXA =+⋅

10. Sean las matrices

−−

=120

012A ,

=

22

12B ,

−

−=

02

20

21

C :

a) Calcula la matriz P que verifica tCAPB =−⋅

b) Determina la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto CMA ⋅⋅

c) Determina la dimensión de la matriz N para que NC t ⋅ sea una matriz cuadrada.


−=

22

01A ,

−−

=011

210B ,

−−−

=110

121C :

a) Calcule BIA ⋅− )( 2 , siendo 2I la matriz identidad de orden 2

b) Obtén la matriz tB y calcula, si es posible, ABt ⋅

c) Calcula la matriz X que verifica CBXA =+⋅

12. Dada la matriz

−=

31

21A , determina una matriz B tal que BABA ⋅=+

13. Dada la matriz

−−

=12

213A , calcula una matriz triangular superior B tal que tBBA ⋅= . La matriz B, ¿es

única?


=01

31

13

A ,

=

y

xB ,

=0

1

1

C ,

=z

z

z

D . Calcula x, y, z, sabiendo que DCBA −=⋅ 2


Página 3

15. Calcula las potencias n-ésimas de las siguientes matrices:

=

a

aA

0

1

=100

010

111

B

=

22

22C

=100

010

101

D

Calcula, utilizando la fórmula general,5A , 40B , 9C y 25D .

16. Calcula los valores de t, para que el rango de la matriz

−−−

=t

A

42

242

121

a) sea 1 b) sea 2 c) sea 3

17. Calcula el rango de las siguientes matrices:

−

−−=

032

270

151

321

A

−−−−

−=

4530

2211

0112

B

−

−=

12785

0523

6154

C

−−−

−=

16243

1510

5111

D

−−−−−

=

1310

2024

36123

1241

E

−=

0111

1100

1210

1001

F

18. Dada la matriz

=

21

32A halla la matriz X tal que

=⋅

11

23XA

19. Dada la matriz

−

−=

m

mA

14

30

101

averigua los valores del parámetro m para que exista 1−A . Calcula 1−A

para 4=m .

20. Dada la matriz

−−−

=m

mA

11

60

101

averigua los valores del parámetro m para que exista 1−A . Calcula 1−A

para 2=m .


=

01

32A y

−=

22

31B . Halla la matriz X que verifica la igualdad 22 ABAX =⋅−


Página 4

22. Determina una matriz X que verifique la relación

=⋅

100

010

001

1711

017

001

X

23. Dada la matriz

+−

−=

021

360

112

m

mA

a) Halla los valores de m para los cuales A es regular.

b) Para 4=m resuelve la ecuación matricial ( )113=⋅ AX

24. Dada la matriz

−−−=

016

10

11

m

m

A

a) Halla los valores de m para los cuales A es singular.

b) Para 2=m , obtén, si existe, la matriz X que cumple ( )101 −=⋅ AX

25. Calcula la matriz X talque ABXA =+⋅ siendo

=

10

21A y

−=

11

10B

26. Dada la matriz

=

21

32A halla la matriz X tal que

=⋅⋅

32

11AXA

27. Halla la matriz X que verifica la siguiente ecuación matricial:

=⋅

−+

−−

⋅101112

15120

31

21

101

1123 X

28. Determina aquellos valores de “y” para los que la matriz

=

20

0yZ verifica la ecuación matricial:

OIZZ =+−2

52

siendo I la matriz identidad de orden 2 y O la matriz nula de orden 2.

Expresa 1−Z en función de Z.

29. Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los precios de coste de cada unidad son 6 €, 9´20 €

y 14´30 € respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 18 €,

28 € y 40 €. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente.

Sabiendo que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y que la matriz de ventas, V, es una

matriz fila:


Página 5

a) Determina las matrices C, I y V.

b) Obtén, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tres

artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales.

30. Tres escritores presentan a un editor, al acabar una enciclopedia, la minuta siguiente:

Horas de trabajo Conferencias dadas Viajes

Escritor A 40 10 5

Escritor B 80 15 8

Escritor C 100 25 10

El editor paga la hora de trabajo a 30 €, la conferencia a 75 € y el viaje a 50 €. Si sólo piensa pagar,

respectivamente el 75 %, el 80 % y el 60 % de lo que corresponda a cada escritor, ¿qué gasto tendría el

editor?

31. Tres supermercados A, B y C, se disputan los clientes de una ciudad. Inicialmente cada uno tiene una cuota

de mercado igual a la tercera parte de los consumidores. Como consecuencia de una campaña publicitaria,

un mes después se constata que:

• A conserva el 80 % de sus clientes, gana el 10 % de los de B y el 2 % de los de C.

• B conserva el 70 % de sus clientes, gana el 14 % de los de A y el 8 % de los de C.

• C conserva el 90 % de sus clientes, gana el 6 % de los de A y el 20 % de los de B.

A partir de estos datos:

a) Escribe, matricialmente, los cambios producidos en los porcentajes.

b) Usar la matriz anterior para calcular la cuota de mercado que tiene cada supermercado después de la

campaña.

32. De una matriz A se sabe que su segunda fila es ( )21− y su segunda columna es

− 3

2

1

. Halla los restantes

elementos de A sabiendo que

−=⋅

10

00

102

111A .

33. Hallar todas las matrices ℜ∈

= cba

cb

aX ,,

0 que satisfacen la ecuación matricial XX 22 = .


Página 6

34. a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad:

⋅

−=

⋅

−2

3

1

1

23

11

y

x

y

x

b) Determina la matriz X de dimensión 2 x 2 tal que:

−−

=

−

⋅

13

01

11

102

52

31X

35. Determina una matriz A simétrica sabiendo que:

−−=

−−⋅−=

31

124

31

62y 7 AA

36. Determina la matriz X que verifica la ecuación BXXA −=⋅ siendo

001

000

100

−=A y

−−=

110

110

101

B .

37. Determinar las matrices X que verifican la ecuación XAXB 2=−⋅ siendo

−=

13

77A y

30

12

−=B .

38. Resuelve la siguiente ecuación matricial CBXA =−⋅ 2 siendo

−=

011

101

210

A ,

−=4

2

1

B ,

=1

3

5

C .

39. a) Resuelve la ecuación matricial XBAXA t ⋅=+⋅ , siendo tA la matriz traspuesta de A.

b) Halla la matriz X sabiendo que

−−=

101

110

001

A y

−−

−=

1123

1121

1023

B

40. Sea ℜ∈

= dcba

dc

baA ,,, y suponemos que la matriz A cumple las propiedades IAA =⋅ y 1=A ,

siendo I la matriz identidad. Calcular los coeficientes de la matriz A.


Página 7


−−−=

215

113

001

A y

−=000

010

001

B se pide:

a) Hallar 1−A .

b) Hallar la matriz X, tal que: BAXA t =⋅⋅ .


−=01

12

201

x

xA ,

=00

10

01

C y

=

10

01D

a) ¿Para qué valores de x la matriz A tiene inversa? b) Calcular la inversa de A para 1−=x . c) ¿Qué dimensión debe tener una matriz B para que la ecuación matricial DCBA ⋅=⋅ tenga sentido?

Calcula B para 1−=x .

43. Resuelve la ecuación matricial BAXAIAB +⋅⋅=+⋅ )2( , siendo

−−−−−

=102

114

123

A y

−−−

−=

110

101

211

B .

44. Sea

−=

y

xA

1

1

a) Calcula 2A .

b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica

−−+

=12

212 xA .

45. Hallar la matriz X que cumple BAAXA 2= , siendo

=

23

12A y

=

32

01B .

46. Para cada “a” se considera la matriz )(aA dada por

=100

10

11

)( a

a

aA .

Encontrar el rango de la matriz )()(2 aAaA t− en función del valor de a.


Página 8

47. Se consideran las matrices

−=12

13

10

A y

−=

410

231B :

a) Calcula BA ⋅ y AB ⋅ .

b) Discutir si existe solución del sistema

=

⋅⋅0

5

2

z

y

x

BA .

En caso afirmativo, resolverlo utilizando el método de Gauss.

48. Sabiendo que

=−

724

71252 BA y

=+

351020

0251123 BA

a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B? b) Calcula las matrices A y B.

49. Halla la inversa de la matriz

=012

110

121

A


−=

11

04A

−=

02

21B y

−=

21

02C calcula la matriz X que verifica

CBXA 2=⋅⋅ .

51. Determinar el valor real de “x” para el que se cumple la siguiente propiedad:

El determinante de la matriz 2B es 160, siendo

−+=

12

241

13

2xx

x

x

B .

52. Determinar la matriz X que verifica XABX 2=− siendo:

−=

13

77A y

−=

30

12B

Justifica la respuesta.

53. Determina todas las matrices X tales que AXXA ⋅=⋅ , donde

=

11

11A .

54. Hallar una matriz con tres filas y tres columnas que tenga tres elementos nulos y tal que ninguno de sus

menores de orden 2 sea nulo.


Página 9

55. Considera la matriz

−−=

aa

a

aa

A

0

00

20

donde a es distinto de cero.

a) Calcula 2A .

b) Calcula 1−A .

c) Calcula, razonadamente, 20A .

d) Calcula, razonadamente, )( 19ADet .

56. Determinar todas las matrices A que conmutan con

=

01

11B , es decir, verifican ABBA ⋅=⋅ .

De estas matrices determina las que tienen la suma de todos sus elementos igual a 0. 57.

a) Discutir para qué valores de m tiene inversa la matriz

−−=101

21

01

m

m

A .

b) Calcular la inversa para ese valor de m.

58. Dada la matriz

−−

=21

12

3

1B halla una matriz X que verifique la ecuación 1−=+⋅ BBBX .


−=01

12

201

x

xA ,

=00

10

01

C y

=

10

01D

a) ¿Para qué valores de x la matriz A tiene inversa. b) Calcular la inversa de A para 1−=x . c) ¿Qué dimensión debe tener una matriz B para que la ecuación matricial DCBA ⋅=⋅ tenga sentido?

Calcula B para 1−=x .

60. a) Determina la matriz X para que tenga solución la ecuación IBXAC =⋅+⋅ )( donde A, B y C son

matrices con inversa de orden “n” e I es la matriz identidad de orden “n”.

b) Aplica el resultado anterior para

=

21

43A ,

=

10

11B y

=

11

01C .

61. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3, cuyas columnas son, respectivamente, 1C , 2C y 3C y cuyo

determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son 2C− , 23 CC + y 13C . Calcula,

razonadamente, el determinante de 1−A en caso de que exista esta matriz.


Página 10

62. Siendo A una matriz cuadrada de orden “n” y tA su traspuesta, demostrar que tAA+ es una matriz simétrica.

Obtener la matriz inversa de tAA+ donde

=302

010

121

A .

63. Estudia en función de a y b el rango de la matriz

++=

b

ab

aA

01

2315

01

312

64. Sabiendo que 5

333

111

=zyx , calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

333

zyx

cba

b)

333

222

555

zyx

cba +++

65. Probar que ))()(( cdbcaba

dcba

ccba

bbba

aaaa

−−−= .

66.

a) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 con 2=A y 4−=B . Calcular, justificando la respuesta:

)(Arango ; )(Brango ; 3A ; A− ; 1−A ; A2 ; tBA⋅ ; 1−⋅ ABt

b) Si A y B son matrices cuadradas de orden n, ¿se verifica que ?BABA +=+ En caso afirmativo

demostrarlo, en caso negativo poner un contraejemplo. 67. Estudia el rango de la matriz A en función de los valores del parámetro ℜ∈a .

i)

−−+−−−

=11

1)1(1

421

a

a

a

A ii)

−+

+=

aa

a

aa

A

2

213

31

iii)

+−+

=011

2011

11

a

aa

aaa

A

Razonar si para algún valor de “a” existe 1−A .

68. Se considera la matriz

−=

0

111

11

xx

x

A

a) Calcula los valores de “x” para los que no existe la inversa de A. b) Para 3=x , si es posible, calcula 1−A .


Página 11

69. Sea A la matriz dada por

=

20

11A . Encuentra la ley de formación para las potencias sucesivas de A, es

decir, para nA , y demuestra dicha ley mediante un razonamiento por inducción.

70. Determina a, b y c para que la matriz 2

1

2

10

001

=

cba

A verifique que su traspuesta,tA , coincida con su

inversa 1−A . Calcula en todos esos casos 4A .

71. Se considera la función:

x

x

x

baba

xf

100

010

001

32

)(

−−

−−

=

Sabiendo que 3)0( −=f y )1()1( −= ff determinar a y b.

72.

a) Comprobar que la matriz

−−

−−=

112

001

101

A cumple que IAA −−=3 y 1−A .

b) Si A es cualquier matriz con n filas y n columnas tal que IAA −−=3 y se sabe que mA =)det( , calcula el valor del determinante de IA+ en función de m.

73. Una matriz cuadrada A de orden “n” tiene la propiedad de que IAA += 22 donde I es la matriz unidad.

a) Demostrar que A admite matriz inversa y obtenerla en función de A.

b) Dada la matriz 11

11

−+

=m

mB , hallar para qué valores de m se verifica que IBB += 22 y para

esos valores escribir la matriz inversa de B.


−=

−−−=

000

010

001

By

215

113

001

A se pide.

a) Hallar 1−A . b) Hallar la matriz X, tal que BAXA t =⋅⋅ .


Página 12

75.

a) Dado el sistema

=−=+

23

12

yx

yx, escribir una tercera ecuación de la forma cbyax =+ (distinta de las

anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible.

b) Dado el sistema

=++=−+12

122

zyx

zyx, escribir una tercera ecuación de la forma

1=⋅+⋅+⋅ zyx γβα (distinta de las anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado.

76. Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación IBXA =⋅⋅ , siendo I la

matriz unidad. a) Si 1−=A y 1=B , calcular razonadamente el determinante de X.

b) Calcular de forma razonada la matriz X si

=

43

32A y

−−−

=32

21B .

77. Para cada número real λ , )(λM es la matriz

−=

1

212

34

)(

λλ

λλM . Se pide:

a) Obtener el determinante de la matriz )(λM y justificar que para cualquier número real λ existe la

matriz 1)( −λM inversa de )(λM .

b) Calcular 1)( −λM para 0=λ .

78. Calcular los valores de “a” para los cuales la inversa de la matriz

−=

a

aA

4

4

5

1 coincide con su

traspuesta.

79. Se dice que dos matrices cuadradas A y B, de orden n, son semejantes si existe una matriz inversible, P, tal que PAPB ⋅⋅= −1 , donde 1−P denota la matriz inversa de P. Determine si son semejantes las matrices

=

10

21A y

10

01

−=B .

80. Se consideran las matrices

=10

2

01

kA y

−=

211

10kB

a) Discutir, en función de los valores que pueda tomar k, si la matriz BA ⋅ tiene inversa. b) Discutir, en función de los valores que pueda tomar k, si la matriz AB ⋅ tiene inversa.

81. Estudiar, en función de los valores del parámetro “a”, el rango de la matriz

=aa

aa

aa

A

11

11

11

.


Página 13

82. a) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa. b) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado.


−

−=

−

−=

002

111

101

By

123

012

101

A se define la matriz mBAC += .

a) Estudia en función de “m” el rango de C. b) Para 1−=m , resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C.

84. Sea )(ℜ∈ nMA tal que 0≠A y AA =2 . Calcula los valores de m para los que ImAmIA 23).( −=− .

85. Halla todas las matrices X triangulares inferiores de orden 2 con coeficientes reales tales que XX 22 = .

86. Demuestra que: 422

22

22

22

22

)( yx

xxyxyy

xyxyxy

xyyxxy

yxyxyx

−=

87. Resolver la ecuación: 0

8271

491

231

1111

3

2 =

−

−

x

x

x

88.

a) Dada la matriz

−−−

=m

A

01

011

111

determina para qué valores del parámetro m existe la inversa de A.

b) Para 1−=m resolver la ecuación OxIA =−−1

89. Sean 1C , 2C y 3C las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de

orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de 3A b) El determinante de 1−A c) El determinante de A2 d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,

respectivamente, 313 CC − , 32C y 2C .


Página 14

90.

a) Resuelve el sistema de ecuaciones

=++=+=+

=++−

123

12

234

1

zyx

yx

zy

zyx

b) Considera ahora el sistema:

=++=+=+

=++−

12

12

24

1

zayx

yx

azy

zyx

¿Es posible encontrar valores para “a” tales que el sistema sea incompatible? En caso afirmativo, indica cuáles. Justifica tú respuesta. ¿Es posible encontrar valores para “a” tales que el sistema sea compatible determinado? En caso afirmativo, indica cuáles. Justifica tú respuesta.

91.

a) Discutir y resolver según los valores del parámetro m:

=+−=+−

=+−

1

02

2 2

zymx

yx

mzyx

b) Dado el sistema

=++=+

=++

aazyx

yx

zyx

223

02

2

Demostrar que es compatible para todos los valores de a. Resolverlo en los casos en que sea compatible indeterminado.

92. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro “a” y resuélvelo en los casos

en que sea compatible:

=−++=++

=++

azayx

zayx

zyx

)2(

13

02

93. Sea el sistema

=+=+

=++

azay

zax

zyx

02

53

a) Estudiar la compatibilidad del sistema en función de los valores del parámetro “a”. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado.


Página 15

94. Discute según los valores del parámetro a el sistema

=++=++=++

1

1

0

azyx

zayx

zyax

¿Para qué valores de “a” se puede aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema? 95.

a) Discute el sistema de ecuaciones

−=++=++=++

262

242

062

azayx

zayx

zyax

según los valores del parámetro “a”.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para 2=a .

96. Discute y resuelve el sistema según los valores de λ :

=++=++=++

0

0

0

zyx

zyx

zyx

λλ

λ

97. Se considera el sistema de ecuaciones

=++=++

=++

1

1

zyx

zyx

zyx

λλ

λ

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro λ . b) Resolver para 3−=λ . c) Resolver para 1=λ .

98. Dado el sistema

=−+−=++−

=+−−

0

0)1(

042)1(

zayx

zyax

zyxa


99. Discutir el siguiente sistema para los diferentes valores de “a” y resolverlo para 0=a

−=+++=+++−=+++

22)1(

3)1(2

22)1(

zyax

zayx

zyxa

100. Dado el sistema de ecuaciones lineales

=−+=−+

=+−

622

32

zyx

zyx

zyx

λλλ

λ, con λ parámetro real, se pide:

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro λ . b) Resolver el sistema cuando tenga solución.


Página 16

101. Se considera el sistema de ecuaciones

=−+=+−=−−++

0

2

3)1()2(

zmyx

zymx

zymxm

a) Discútelo según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo para 1=m .

102. Estudiar, según los valores del parámetro “a”, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

=+−=+−

=−+

03

12

zyx

azyax

azayx

Resolverlo, si es posible, para 1−=a utilizando la Regla de Cramer.

103. Dado el sistema

−=−+−−=++−

=+

1)22()22(

12

2

mzmxm

zyx

zy

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro m. b) Resolver los casos compatibles. c) En cada uno de los casos de la discusión del apartado a) hacer una interpretación geométrica.

104. Dado el sistema

=−+−=++−

=+−−

0

0)1(

042)1(

zayx

zyax

zyxa


105. Diga para qué valores de k el siguiente sistema es compatible determinado. ¿Cómo es el sistema para

2=k ?

+−=−++++=+=++++−

229)1()1(2

22

)22()12()1(

kkzkykx

kkykx

kzkykxk

106. Se considera el sistema de ecuaciones:

=

⋅

1

1

1

11

11

11

111 λ

λλ

λ

z

y

x

a) Discutirlo según los valores del parámetro real λ . b) Resolverlo para 3−=λ . c) Resolverlo para 1=λ


Página 17

107. Discutir, en función de los valores des parámetro a , el sistema:

=+=−=−−=++

232

53

1

32

zay

ayx

azyx

zayx

Si para algún valor de a es compatible indeterminado resolverlo en ese caso.

108. Discute en función de “m” y resuelve (cuando sea posible) el sistema de ecuaciones lineales:

=

−

⋅

+

0

0

0

2

4

3

21

21

111

mz

y

x

m

m

m

109. Halla un número capicúa de cinco cifras sabiendo que verifica:

• La suma de sus cifras es 9. • La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las unidades y • la de las decenas. • Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número resultante disminuye en 9.

110. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 19152 €. La última versión del

videojuego ha salido a la venta por un importe de 36 €. Además de la última versión, también ha vendido otras dos versiones anteriores, con un descuento del 30 % y del 40 % respectivamente. El número total de ejemplares vendidos de las dos versiones anteriores ha sido la mitad del de la última versión. ¿Cuántos ejemplares vendió de cada versión?

111. Encontrar tres números tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 80.

112. Juan, Pedro y Luis corren a la vez en un circuito. Por cada km que recorre Juan, Pedro recorre 2 km y

Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar, la suma de las distancias recorridas por los tres fue de 45 km. ¿Cuántos km recorrió cada uno?

113. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva. Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche.

114. Tres trabajadores A, B y C para terminar un determinado mes, presentan a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, las dietas de mantenimiento y los km de desplazamiento fijadas por cada uno de ellos.

Horas de trabajo Dietas Km A 40 10 150 B 60 15 250 C 30 6 100


Página 18

Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x € por hora trabajada, y € por cada dieta y z € por km de desplazamiento y que paga ese mes un total 924 € al trabajador A, 1390 € al trabajador B y 646 € al trabajador C, calcula x, y, z.

115. Tres familias van a una pizzería. La primera familia pide 1 pizza grande, 2 medianas y 4 pequeñas. La

segunda familia pide 1 pizza grande y 1 pequeña. La tercera familia pide 1 pizza mediana y 2 pequeñas. a) Sea A una matriz 33× que expresa el número de pizzas grandes, medianas y pequeñas que pide cada

familia. Calcular 1−A . b) Si la primera, la segunda y la tercera familia se han gastado en pizzas 51,50 €, 15,90 € y 21 €,

respectivamente, calcular el precio de una pizza grande, el de una pizza mediana y el de una pizza pequeña

116. Juan decide invertir una cantidad de 12000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas

distintas A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido una año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,50 euros. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.

117. Tres hermanos tiene edades diferentes, pero sabemos que la suma de las edades de los tres hermanos es 37, y la suma de la edad del mayor más el doble de la edad del mediano más el triple de la edad del menor es de 69 años.

a) Expresa las edades de los tres hermanos en función de la edad del hermano mayor. b) Es posible que el hermano menor tenga 5 años? ¿Y 12 años? Razona la respuesta. c) Calcula las edades de los tres hermanos

118. Cuando en el año 1800 Beethoven escribe su primera sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del

jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta; en ese momento la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera sinfonía. Determina el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores

119. Una fábrica de helados elabora tres tipos de helados, H1, H2 y H3 a partir de tres ingredientes A, B y C.

Se desea saber el precio unitario de cada ingrediente sabiendo que el helado H1 se elabora con 2 unidades de A, 1 unidad de B y 1 unidad de C y supone un coste de 0,90€. El helado H2 se elabora con 1 unidad de A, 2 unidades de B y 1 unidad de C y supone un coste de 0,80€. El helado H3 se compone de 1 unidad de A, 1 unidad de B y 2 unidades de C y supone un coste de 0,70€.

120. Halla tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del tercero le restamos seis resulta la suma del segundo y el tercero, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho.


Página 19

121. Juana y Mercedes tenían 20000 € cada una para invertir. Cada una de ellas distribuye su dinero de la misma forma en tres partes P, Q y R y las ingresan en una entidad financiera. Al cabo de una año, a Juana le han dado un 4% de interés por la parte P, un 5% por la parte Q y un 4% por la parte R y a Mercedes le han dado un 5% por la parte P, un 6% por la parte Q y un 4% por la parte R. Juana ha recibido un total de 850 € de intereses, mientras que Mercedes ha recibido 950€. ¿De qué cantidad de euros constaba cada una de las partes P, Q y R?

122. La suma de las tres cifras de un número es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 108 unidades. Calcula dicho número.

123. Las edades de tres vecinos suman 54 años y son proporcionales a 2, 3 y 4. Halla la edad de cada uno de ellos.

124. Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0,20 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24 fotografías que le han ocupado un total de 9,2 megabytes de memoria. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de

cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema. b) ¿Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima? c) La semana pasada también hizo 24 fotos y ocupo 9,2 megabytes de memoria en total. ¿Es posible que el

número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana?

125. a) Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema:

“Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 céntimos; en total hay 22 monedas. Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de monedas de 2 céntimos, obtenga el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero”.

b) Resuelva el sistema formado por las ecuaciones:

=−+=+−=++

3323

322

6

zyx

zyx

zyx

126.

a) Un autobús transporta 90 viajeros con 3 tarifas diferentes: • 1ª: Viajeros que pagan el billete entero, que vale 0.70 euros. • 2ª: Estudiantes, con descuento del 50 %. • 3ª: Jubilados, con descuento del 80 %.

Se sabe que el número de estudiantes es 10 veces el de jubilados y que la recaudación total ha sido de 46,76 €. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar el número de viajeros, de cada tarifa, que va en el autobús.


Página 20

b) Dada la matriz

=101

011

001

A determina, si existe, la matriz X que verifica

=⋅3

2

1

XA .

127.

a) Un establecimiento pone a la venta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razón entre los precios de las camisas C y B es 19/18 y entre los de B y A es 6/5. Al comprar tres camisas, una de cada clase, se pagan 130 €. Plantee el sistema de ecuaciones que permita conocer el precio de cada camisa.

b) Siendo

=101

012

001

A y

=11

01

10

B , razone si posee solución la ecuación matricial BXA =⋅ y, en

caso afirmativo, resuélvela. 128.

a) Sabemos que el precio del kg de tomates es la mitad que el del kg de carne. Además, el precio del kg de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 € por 3 kg de tomates, 1 kg de carne y 250 gramos de gambas, ¿cuánto pagaríamos por 2 kg de carne, 1 kg de tomates y 500 gramos de gambas?

b) Dada la matriz

−=

10

01A calcula 2004A .

129. Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: la edad del

padre es α veces la de su hijo, el doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años y el doble de la edad del niño más la del abuelo es 100. a) Establece las edades de los tres suponiendo que 2=α . b) Para 3=α , ¿qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con 3=α , ¿qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182?

130. Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 € la unidad, y de bolsillo, que

vende a 120 € cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo. ¿Cuántos relojes de cada tipo debe producir para obtener el máximo ingreso? ¿Cuál sería dicho ingreso?

131. Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función yxyxF 53),( += , en el recinto del plano determinado por las inecuaciones:

−≥−≤+≥−

≥≥

15

2432

1023

0

0

yx

yx

yx

y

x


Página 21

132. Una pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas. Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de nata y 30 g de azúcar y se vende a 1 € la unidad. Cada trufa amarga lleva 100 g de cacao, 20 g de nata y 15 g de azúcar y se vende a 1,30 € la unidad. En un día, la pastelería sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10,5 kg de azúcar. Sabiendo que vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de cada tipo deben elaborarse ese día, para maximizar los ingresos, y determine dichos ingresos.

133. Sea el sistema de inecuaciones

≥−≥+

≤−≤+

0

33

1323

6

x

yx

yx

yx

a) Dibuja el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y obtén sus vértices. b) Halla los puntos del recinto en los que la función yxyxf 2),( −= toma los valores máximo y mínimo, y

determina éstos. 134.

a) Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: 1332 −≥− yx , 1732 ≥+ yx , 11≤+ yx , 0≥y

b) Calcula los valores máximo y mínimo de la función yxyxF 65),( += en la región anterior e indica en qué puntos se alcanzan.

135. Se considera la función yxyxf −=),(

a) Representar el conjunto }0 ,6032 ,5 ,153/),{( 2 ≥≤+−≤−≥+ℜ∈= yyxxyyxyxA y calcula el valor

máximo de ),( yxf en A. ¿Alguna de las desigualdades que definen al conjunto A se podría eliminar de

forma que siguiera siendo el mismo conjunto? b) Decir si la función ),( yxf alcanza valor máximo en el conjunto

}0 ,5 ,153/),{( 2 ≥≥−≤+ℜ∈= xyxyxyxB . En caso afirmativo calcular dicho valor.

136. Un camión de 9 Tm debe transportar mercancías de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser

inferior a 4 Tm ni superior al doble de la cantidad de B. Si el transportista gana 0,03 € por cada kg de A y 0,02 € por cada kg de B, ¿cómo debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima? ¿A cuánto ascendería esa ganancia?

137. Una tienda de café recibe 700 kg de café natural y 800 kg de café torrefacto. Envase paquetes de un kg de con dos tipos de mezcla: el tipo A con medio kg de café natural y medio kg de café torrefacto, y el tipo B con un cuarto de kg de café natural y tres cuartos de kg de café torrefacto. La ganancia por cada kg de mezcla del tipo A es de 1 € y por cada kg del tipo B es de 2 €. Determinar los paquetes de cada tipo de mezcla que deben prepararse para obtener la ganancia máxima.


Página 22

138. Una tienda de ropa deportiva tiene en su almacén 200 balones y 300 camisetas. Para su venta se hacen dos lotes, A y B. El lote A contiene 1 balón y 3 camisetas y el lote B está formado por 2 balones y 2 camisetas. La ganancia obtenida con la venta de un lote de tipo A es de 12€ y de 9€ con cada lote tipo B. Sabiendo que el número máximo de lotes del tipo A es de 80, determinar: a) El número de lotes de cada tipo que deben prepararse para obtener una ganancia máxima. b) La ganancia máxima.

Justifica las respuestas

139. Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tiene 500 kg de A y 500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual a 600 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5€ y cada kg de B 4€, calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo.

140. Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estantes. Se sabe

que son necesarios 4 kg de madera para fabricar una librería de 1 estante, siendo su precio de venta 20 euros; para fabricar una librería de 3 estantes se necesitan 8 kg de madera y el precio de venta de ésta es 35€. Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máximo ingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar más de 120 librerías de 1 estante, ni tampoco más de 70 de 3 estantes.

141. Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos A y B. El modelo A requiere, para su elaboración 20 cm2 de papel, 120 cm2 de lámina de madera y 1 enganche metálico. El modelo B requiere 60 cm2 de papel, 80 cm2 de lámina de madera y 1 enganche metálico. El coste de producción de cada modelo es 1,20 € el A y 1,30 € el B. El precio de venta es de 1,80 € cada uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm2 de papel, 7200 cm2 de lámina de madera y 70 enganches. a) Representa la región factible. b) Determina el número de abanicos de cada modelo ha de hacer para obtener beneficio máximo. c) Calcula cuál es ese beneficio.

142. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100€ y para no fumadores al precio

de 60€. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, ¿cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio?

143. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimiento del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros al préstamo de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste.


Página 23

144. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son 540 euros por vagón de coches y 360 euros por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio.

145. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros y el modelo B un tercio más caro. La oferta está limitada: por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B y por el deseo de vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 36000 euros. a) ¿Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos? b) ¿Cuál es el importe de la venta?

146. El jefe de seguridad de un museo estudia combinar dos nuevos sistemas antirrobo: cámara de vigilancia

en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 36000 €, y cada cámara cuesta 1000 € mientras que cada alarma cuesta 500 €. a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos

anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas?

b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas, ¿cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso, ¿cuál será el coste total?

147. Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para que tome una mezcla

de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: • No debe tomar más de 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g. • La cantidad de A debe ser mayor o igual que la de B. • No debe incluir más de 100 g del compuesto A.

Se sabe que cada 100 g de A contienen 30 mg de vitaminas y cada 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas.

a) Formule matemáticamente el conjunto de restricciones, dibuje la región factible y determine sus vértices. b) ¿Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas?

148. Sea el sistema de inecuaciones siguiente: 120≤+ yx , xy ≤3 , 100≤x , 10≥y

a) Representa gráficamente la región factible. b) ¿En qué punto de esa región la función yxyxF 2025),( += alcanza el máximo?


Página 24

149. Un ahorrador dispone de 10000 euros para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. La inversión en fondos A debe superar los 5000 € y, además, ésta debe doblar, al menos, la inversión en fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 2.7 % y la de los B ha sido del 6.3 %. Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la misma, determine la inversión que obtenga el máximo beneficio. Calcule este beneficio.

150. Una empresa pastelera dispone semanalmente de 160 kg de azúcar y de 240 kg de almendra para hacer tortas de almendra y tabletas de turrón. Se necesitan 150 g de almendra y 50 g de azúcar para hacer una torta de almendra y 100 g de almendra y 100 g de azúcar para cada tableta de turrón. El beneficio neto por la venta de cada torta es 1,75 €, y por cada tableta de turrón es de 1 €. Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse para obtener la máxima ganancia. ¿Cuál es el beneficio máximo semanal?

151. Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 300 coches. La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y sabe que la producción de cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un beneficio de 10€, mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un beneficio de 15€. Calcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el beneficio global de la producción sea máximo y obtenga dicho beneficio.

152. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto es de 8 €, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas? ¿Cuántas de las entradas serán de niños?

153. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 80.000€ y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo B cuesta 20.000€ y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?

154. Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

≥≥

≤+≤+

≤+

0

0

16

2632

182

y

x

yx

yx

yx

a) Calcula los vértices de eses recinto. b) Obtén, en dicho recinto, el valor máximo y el mínimo de la función yxyxF 35),( += . Di también

en qué punto se alcanzan.


Página 25

155. Sea el conjunto de restricciones siguiente:

≥≤+

≤−≤+

0

162

0

9

x

yx

yx

yx

a) Dibuja la región factible determinada por dichas restricciones. b) Calcula los vértices de dicha región. c) Obtén los puntos en los que la función yxyxF 2),( += presenta el máximo y el mínimo.

156. Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes:

≥≥

≤−+≥−−

≥−+

0

0

02043

02

01025

y

x

yx

yx

yx

a) Dibuja dicho recinto y determina sus vértices. b) Determina en qué punto de ese recinto alcanza la función yxyxF 34),( += el máximo valor.

157. En la preparación de dos paquetes de café C1 y C2, se usa café brasileño y café colombiano. Cada

paquete del tipo C1 contiene 300 gramos de café brasileño y 200 gramos de café colombiano y cada paquete del tipo C2 contiene 100 gramos de café brasileño y 400 gramos de café colombiano. Con cada paquete del tipo C1 se obtiene un beneficio de 0,90€ y con cada paquete del tipo C2 se obtiene un beneficio de 1,20€. Se dispone de 900 kg de café brasileño y 1600 kg de café colombiano. a) ¿Cuántos paquetes se han de preparar de cada tipo para obtener un beneficio máximo? b) ¿Cuál es este beneficio máximo?

158. Sea S la región del plano de coordenadas de valor mayor o igual que cero y tal que sus puntos cumplen:

• La media aritmética de las coordenadas es menor o igual que 5. • El doble de la abscisa más la ordenada es mayor o igual que 5.

a) Representa gráficamente el conjunto S. b) Determina en qué puntos de S la función yxyxf += 2),( toma el valor máximo.

159. Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 1,50€ y 1€ el metro, respectivamente, se

emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada hm (hectómetro) del tipo A y 6Kg de plástico y 12Kg de cobre para cada hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.


Página 26

160. El cuadrilátero ABCD es la región solución de un sistema de inecuaciones lineales. Los lados del cuadrilátero también forman parte de la región solución

a) Halla el valor máximo y el mínimo de la función yxyxf 3),( += en dicha región.

b) ¿En qué puntos de la región solución toma la función del apartado anterior el valor máximo y en qué puntos el valor mínimo?

c) Determina el sistema de inecuaciones lineales del que es solución el cuadrilátero ABCD. 161. Un concesionario de coches comercializa dos modelos de automóviles, uno de alta gama con el que

gana 1000 euros por unidad vendida y otro de gama baja con beneficios por unidad vendida de 600 euros. Por razones de mercado, la venta anual de estos modelos está sujeta a las siguientes restricciones:

• El número de modelos de gama alta vendidos no será menor de 50 ni mayor de 150 coches. • El número de modelos de gama baja vendidos tendrá que ser mayor o igual que el número de

modelos de gama alta vendidos. • El concesionario puede vender hasta un máximo de 500 automóviles de los dos modelos al año.

a) Formula las restricciones y representa la región factible. b) ¿Cuántos automóviles de cada modelo debe vender anualmente con el fin de maximizar los beneficios?

162. Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaños con el siguiente contenido: TIPO I : 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas. TIPO II : 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas.

En un determinado día, el número de chicles de que dispone la tienda para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envases, el número de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40. El beneficio por la venta es: 1,50€ por cada bolsa del Tipo I y 2,25€ por cada bolsa del Tipo II. Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían vender ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible.


Página 27

163. El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C1 y C2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de C2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes: el comprimido de color rojo que cuesta 0,25€ la unidad y que contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 , y el comprimido de color azul que también cuesta 0,25€ la unidad y que contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. ¿Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo? Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta.

164. La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y exterior. El precio

que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1€ y de 2€ por cada una de exterior. A día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes que son de 0,60€ por cada planta de interior y de 0,80€ por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen los 48€ por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 0,60€ por cada planta de interior que venda y de 0,50€ por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30€.

a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, ¿cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? ¿Cuánto deberá pagar al proveedor?¿Cuáles serán los costes de transporte?

165. En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han

de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 60 céntimos y el de uno de gasolina es de 90 céntimos. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenamiento sea mínimo.

166. Un colegio prepara una excursión a la montaña para 114 alumnos. Para ello, dispone de 8 vehículos de 6 plazas cada uno y otros 8 de 15 plazas, pero para el día de la excursión sólo dispone de 10 conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de 6 plazas cuesta 160€ y con uno de 15 plazas 420€. Calcula cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar el colegio para que el coste del transporte sea mínimo. Explica los pasos seguidos para obtener la solución.

167. Una fábrica de madera produce dos líneas de muebles: el clásico (C) y el funcional (F). Para su

fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar? c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la

relación FCB 23 += , ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

ejercicios de álgebra selectividad · pdf fileies juan garcía valdemora...

Documents