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EJERCICIOS DE INTEGRALES MÚLTIPLES
1. Calcular el área limitada por las curvas:
y=4sin πx3
+10
z=3 x2+ x+4a) Graficamos en Matlab:
>> syms x Y Z;
hold on
x = linspace(-3,2,100000);
Y = 4*(sin(1/3*pi*x))+10;
Z = 3*x.^2+x+4;
plot (x,Y, x,Z)
xlabel ('Eje de las abscisas');
ylabel ('Eje de las ordenadas')
title('Problema N° 1')
legend ('Y=4*(sen(1/3*pi*x))+10','Z=3*x.^2+x+4 ')
grid on
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
5
10
15
20
25
30
Eje de las abscisas
Eje
de
las
orde
nada
s
Problema N° 1
Y=4*(sen(1/3*pi*x))+10
Z=3*x.2+x+4
PARA EL ÁREA
A1= ∫−1.088
1.673
∫6.466
14.21
(dy )dx
>> Syms x y INT1 INT2 f1 g1;f1=3*x^2 + x+4;g1 = 4*sin(pi*x/3)+10;'obtenemos la primera integral';INT1 = int (1, y, f1, g1)INT1 =4*sin ((pi*x)/3)+6 - x - 3*x^2'obtenemos la segunda integral';INT2 = int (INT1, x, -1.088, 1.673)INT2 = int (INT1, y, 6.466, 14.21) INT1 =4*sin((pi*x)/3) - x - 3*x^2 + 6INT1 =4*sin((pi*x)/3) - x - 3*x^2 + 6 INT2 =(12*(cos((136*pi)/375) + cos((1327*pi)/3000)))/pi + 9787885811/1000000000 INT2 = (3872*sin((pi*x)/3))/125 - (968*x)/125 - (2904*x^2)/125 + 5808/125
Análisis:Para encontrar el área de la región delimitada por las curvas se desarrollan una integral doble.
A1= ∫−1.088
1.673
∫6.466
14.21
(dy )dx
Rem
2. Encontrar el volumen delimitado por:
z=3 x2+2 y2−4 x+2 y
X=-3:.1:3;
[x y]=meshgrid(X,X);
z=3*x.^2+2*y.^2-4*x+2*y;
surf(x,y,z)
title('Problema N° 2')
grid on
hold on
Gráfica en matlab:
-4-2 0 2
4
-4-2024-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Problema N° 2
Calculamos la integral
A1=∫0
2
❑∫0
√ x
( x2+ y2−2¿dy )dx
syms x y z INT1 INT2 f1;
z=3*x.^2+2*y.^2-4*x+2*y;
g1 =(x).^(1/2);
'obtenemos la primera integral';
INT1 = int (z, y, 0, g1)
z =3*x.^2+2*y.^2-4*x+2*y;
INT1 = x^(1/2)*(x^2 + x/3 - 2)
>> 'obtenemos la segunda integral'
INT2=int(INT1, x, 0, 2)
INT2 = (16*2^(1/2))/105 = 0.21599
ÁREA TOTAL=A1 + A2
A1= ∫−1.3
−0.667
❑ ∫x2+2x
2cos ( pi∗x2
)
(dy )dx
A2= ∫−0.667
0
❑ ∫x2+2 x
1
(dy )dx
Syms x y INT1 INT2 f1 g1;
f1=3*x^2 + x+4;
g1 = 4*sin(pi*x/3)+10;
'obtenemos la primera integral';
INT1 = int (1, y, f1, g1)
INT1 =4*sin ((pi*x)/3)+6 - x - 3*x^2
>> 'obtenemos la segunda integral';
INT2 = int (INT1, x, -1.088, 1.673)
INT2 = int (INT1, y, 6.466, 14.21)
A1 = (4*(sin ((7*pi)/20) + sin ((53*pi)/200)))/pi + 627141/1000000=1.53294
Para A2
syms x y INT1 INT2 f1;
f1=x^2 + 2*x;
'obtenemos la primera integral';
INT1=int(1,y,f1,1)
INT1 = - x^2 - 2*x + 1
'obtenemos la segunda integral';
INT2=int(INT1,x,-0.667,0)
INT2 = 3038926037/3000000000
A2 = 1.01298
A1+A2=2.54592