UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

Ejercicios Propuestos: Grafos y Dígrafos.

Alonso David Marturet Carmona

20.892.799

Cabudare, Noviembre de 2013

Ejercicio 1

Dado el siguiente grafo, encontrar:

a) Matriz de adyancencia.

b) Matriz de incidencia.

c) Es conexo?. Justifique su respuesta.

d) Es simple?. Justifique su respuesta.

e) Es regular?. Justifique su respuesta.

f) Es completo? Justifique su respuesta.

g) Una cadena simple no elemental de grado 6.

h) Un ciclo no simple de grado 5.

i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.

j) Subgrafo parcial.

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.

l) Demostrar si es hamiltoniano.

v4 v6

v5

v7

v8

Solución 1

a) Matriz de adyacencia:

Ma=G

b) Matriz de incidencia:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

V6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

V7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

V8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1 0

1 1 0 1 1 1 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 0

c) Es conexo?. Justifique su respuesta.

Si, ya que todos sus vértices están conectados entre si.

d) Es simple?. Justifique su respuesta.

Es simple ya que el grafo no tiene lazos en ninguno de sus vértices y para cada par de de vértices distintos solo existe una arista.

e) Es regular?. Justifique su respuesta.

No lo es ya que todos sus vértices no tienen el mismo grado.

gr(v1)= 5

gr(v2)= 5

gr(v3)= 6

gr(v4)= 4

gr(v5)= 6

gr(v6)= 4

gr(v7)= 5

gr(v8)= 5

f) Es completo? Justifique su respuesta.

No es completo ya que no cumple con la definición de una arista por cada par de vértices. (entre v1 y v5 no hay ninguna arista que los conecte).

g) Una cadena simple no elemental de grado 6.

C1 = [V1,a1,V2,a10,V6,a20,V7,a19,V5,a13,V3,a3,V2]

h) Un ciclo no simple de grado 5.

C2 = [V1,a2,V3,a12,V8,a15,V4,a4,V1,a2,V3]

i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.

Seleccionar Vértice V1, H1 = {V1}

arista 1 y H2= {V1,V2}

arista 10 y H3= {V1,V2,V6}

arista 20 y H4= {V1,V2,V6,V7}

arista 19 y H5= {V1,V2,V6,V7,V5}

arista 13 y H6= {V1,V2,V6,V7,V5,V3}

arista 12 y H7= {V1,V2,V6,V7,V5,V3,V8}

arista 15 y H8= {V1,V2,V6,V7,V5,V3,V8,V4}

j) Subgrafo parcial.

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.

Seleccionamos a1

Seleccionamos a3

Seleccionamos a2

Seleccionamos a4

Seleccionamos a11

Seleccionamos a12

Seleccionamos a5

Seleccionamos a6

Seleccionamos a9

Seleccionamos a10

Seleccionamos a7

Seleccionamos a13

Seleccionamos a14

Seleccionamos a15

Seleccionamos a18

Seleccionamos a20

Seleccionamos a16

El grafo no es euleriano según el algoritmo de Fleury.

Se debe tomar en cuenta que un grafo es euleriano sólo si no tiene vértices de grado impar y

este no lo es ya que varios de sus vértices son de grado impar.

l) Demostrar si es hamiltoniano.

Existe un camino hamiltoniano ya que se puede pasar por cada vértice una vez sin repetir

ninguno.

Cadena hamiltoniano V1, V3, V2, V6, V7, V5, V8, V4

Existe también un ciclo hamiltoniano.

Ciclo hamiltoniano V1, V3, V2, V5, V6, V7, V8, V4, V1

Por lo tanto el grafo dado si es hamiltoniano.

Ejercicio 2

Dado el siguiente dígrafo

a) Encontrar matriz de conexión

b) Es simple?. Justifique su respuesta

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

d) Encontrar un ciclo simple

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

Solucion 2

a) Encontrar matriz de conexiónb)

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 1 1 0 1 0

V2 0 0 1 1 0 1

V3 0 0 0 1 1 0

V4 1 0 0 0 0 1

V5 0 1 0 1 0 1

V6 0 0 0 0 1 0

c) Es simple?. Justifique su respuesta

Si, es simple ya que no tiene lazos ni arcos paralelos.

d) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

T1=[V4,a12,V6,a14,V5,a10,V2,a4,V6,a14,V5]

e) Encontrar un ciclo simple

C1=[V1,a6,V5,a13,V6,a14,V5,a11,V4,a9,V1]

McD=

f) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 1 1 0 1 0V2 0 0 1 1 0 1V3 0 0 0 1 1 0V4 1 0 0 0 0 1V5 0 1 0 1 0 1V6 0 0 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

McD=

M2=

M3=

M4=

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Finalmente Acc(D)= bin=[I7 + M+M2+M3+M4+M5+M6]

Como la matriz de accesibilidad no tiene componentes nulos se puede afirmar que el dígrafo es fuertemente conexo.

M5=

M6=

Mi=

31 4

0

33 65 6

2

79

22 3

3

24 47 4

7

58

20 2

6

22 39 4

3

49

16 2

9

21 42 3

8

48

23 3

4

25 49 5

3

60

11 1

4

12 23 2

3

30

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

=

g) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Di-jkstra

D v2 a v1 = 8

D v2 a v3 = 3

D v2 a v4 = 4

D v2 a v5 = 6

D v2 a v6 = 3

=[3,2](1)

=[0,-](0)

=[7,3](2)

=[8,4](3)

=[6,6](4) =[3,2](1)

=[4,2](1)=[3,2](1)

=[4,3](2)